Содержание к диссертации
Введение
1 Теоретико-модельные свойства плоских ЧУ-полигонов 15
1.1 Необходимые определения и предварительные сведения 15
1.1.1 Сведения из теории ЧУ-полигонов и теории моделей полигонов 15
1.1.2 Совершенные слева ЧУ-моноиды 25
1.2 Аксиоматизируемость классов плоских ЧУ-полигонов 36
1.3 Полнота, модельная полнота и категоричность классов плоских ЧУ-полигонов 49
2 Теоретико-модельные свойства проективных и свободных ЧУ-полигонов 54
2.1 Необходимые определения и предварительные сведения 54
2.2 Аксиоматизируемость классов проективных и свободных ЧУ-полигонов 59
2.3 Полнота, модельная полнота и категоричность классов проективных и свободных ЧУ-полигонов 73
3 Теоретико-модельные свойства регулярных ЧУ-полигонов 77
3.1 Необходимые определения и предварительные сведения 77
3.2 Аксиоматизируемость класса регулярных ЧУ-полигонов 80
3.3 Полнота и модельная полнота класса регулярных ЧУ-полигонов 84
Список литературы 86
- Аксиоматизируемость классов плоских ЧУ-полигонов
- Аксиоматизируемость классов проективных и свободных ЧУ-полигонов
- Аксиоматизируемость класса регулярных ЧУ-полигонов
- Полнота и модельная полнота класса регулярных ЧУ-полигонов
Введение к работе
Постановка задачи и актуальность темы диссертации.
Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются некоторые классы частично упорядоченных полигонов. С помощью современного арсенала теории моделей, включающего теорию категоричности, различные теоретико-модельные конструкции, изучаются такие свойства этих классов, как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота и категоричность.
Понятие частично упорядоченного полигона возникло при изучении S. Blyth и M.F. Janowitz [1] отображений между частично упорядоченными множествами. В некотором смысле понятие частично упорядоченного полигона является обобщением понятия полигона. Напомним, что левым полигоном над моноидом S или, просто, полигоном называется множество, на котором S действует слева, при этом единица S действует тождественно. Если S - частично упорядоченный моноид (ЧУ-моноид), то под левым частично упорядоченным полигоном над ЧУ-моноидом S или, просто, частично упорядоченным полигоном (ЧУ-полигоном) понимается частично упорядоченное множество, являющееся левым полигоном над моноидом S, на котором действие частично упорядоченного моноида S является монотонным по каждому аргументу. ЧУ-полигоны исследовались такими авторами, как S.M. Fakhruddin, X. Shi, Z. Liu, F. Wang, S. Bulman-Fleming и др..
Толчком к исследованию теоретико-модельных свойств ЧУ-полигонов послужили работы в области теории моделей полигонов Т. Г. Мустафина, S. Bulman-Fleming, V. Gould, J.В. Fountain, В. Poizat, А.А. Степановой, Е.В. Овчинниковой, А.А. Иванова. В этих работах изучаются класс всех полигонов над моноидом и классы плоских, проективных, свободных, регулярных полигонов с точки зрения их аксиоматизируемости, полноты, модельной полноты, категоричности, стабильности. Аналогичные вопросы для ЧУ-полигонов исследуются в данной работе.
Аксиоматизируемость классов плоских ЧУ-полигонов
В. Гоулд в работе [22] дала описание моноидов с аксиоматизируемыми классами слабо плоских и плоских полигонов. В данном параграфе эти результаты обобщаются на случай ЧУ-полигонов. Теоремы 1.26 и 1.27 являются аналогами соответствующих теорем для полигонов (см. [22]). Введем некоторые обозначения. Пусть S = (si, t\,..., ,sm, tm) - остов длины т. Определим следующие формулы: Теорема 1.26. Следующие условия для ЧУ-моноида S эквивалентны: 1) класс W аксиоматизируем; 2) класс W замкнут относительно ультрапроизведений; 3) для всякого двойного остова S над S и а, а Є S существует, конечное число двойных остовов Si,..., Sr над S таких, что для всякого слабо плоского ЧУ-полигона sB, если пары, (а, 6), (а/, У) Є S х В связаны, двоимой ЧУ-схемой Т над Ss и $В с двойным остювом S, то пары (а, Ь) и (а , Ь ) связаны двойной ЧУ-схемой Т над (aS U a, S)s и gB тик, что «S(T ) = Sk для некоторого к Є {1, .-.,г}. Доказательство. Из теоремы 1.1 (теоремы Лося) следует импликация 1) = 2). Предположим, что 2) выполняется, а 3) не выполняется. Через J обозначим множество всех конечных подмножеств DOS и предположим, что для некоторого двойного остова «So = (si, i, , sn, tn, щ, v\,..., um,vm) Є DOS и a,a Є S для каждого / Є J существуют слабо плоский ЧУ-полигон sBf и bj,b f Є Bf, для которых пары (a,bf),(a ,bj) Є S х Bf связаны двойной ЧУ-схемой Tf над Ss и $В с двойным остовом SQ , при этом не существует двойной ЧУ-схемы над {aS U a S)s и $Bf , связывающей (a, bf) и (а , Ь Л с остовом, принадлежащем множеству Для каждого S Є DOS положим Js = {./ Є J : S Є /} . Все пересечения конечного числа множеств Js не пусты (потому что DOS бесконечно), следовательно, существует ультрафильтр Ф на J такой, что каждое Js (S Є DOS) принадлежит Ф. Заметим, что a g b = а У в Ss 0 sB, где 5-5 = П/eJ5 / (/) — bf и b (f) — b f , и это равенство определяется двойной ЧУ-схемой над , и i? с двойным остовом SQ. Отсюда следует, что равенство а (Ь /Ф) = a g (У /Ф) выполняется также ив Ss 0 sU, где sU — (TlfejsBf)/&, и определяется двойной ЧУ-схемой над Ss и sU По предположению sU является слабым плоским ЧУ-полигоном, следовательно, (a, b /Ф) и (а , & /Ф) связаны двойной ЧУ-схемой Т над (aSUa S)s и s(7: где (/) = djj и pj(/) = gjj для любых / Є J, г Є {1,-..,п} и j {1,... ,W- Полагаем S = S{T ). Поскольку Ф замкнут относительно конечных пересечений, то существует D Є Ф такой, что для любого / Є D. Следовательно, пары (a, 6/) и (a7, 6/) связаны двойной ЧУ-схемой над (aS U a 5)s и $Bf с ДВОЙЕІЬІМ ОСТОВОМ S . Выберем / є DClJs - Тогда S Є /, что противоречит выбору (a, 6/) и {а!,Ъ Л . Таким образом, #,) доказано.
Предположим, что 3) выполняется. Построим множество аксиом для класса У\)Т . Пусть Si - множество двойных остовов S, для которых выполняется условие: если существуют а, а Є S такие, что Ss \= As(a а ), то не суіцествует слабо плоского ЧУ-полигона sB такого, что $В \= фв{Ъ, Ь ) для любых 6, У Є В. Для S Є Si обозначим предложение Пусть «S Є 2 = DOS\Si. Тогда «S является двойным остовом некоторой ЧУ-схемы, соединяющей (а, Ь) с (а/, Ь ) над Ss и некоторым слабо плоским ЧУ-полигопом sB. Следовательно, существует конечное число остовов «Si, ...,Sr, удовлетворяющих условию из п. 3) теоремы. Можно считать, что для каждого к Є {1,..., г} существуют слабо плоский ЧУ-полигоп sCk, элементы с, d Є Си такие, что Через 05 обозначим предложение Покажем, что SWJr является множеством аксиом для WJ?r . Предположим, что sD - слабо плоский ЧУ-полигон. Пусть «S Є Sj . По построению Si ясно, что sD \= xs- Пусть S Є $2 п d,df Є D такие, что sD \= ijjs(d,d ) и (a, d) связана с (a , d ) над Ss и sD двойной ЧУ-схемой с двойным остовом «S. Так как D слабо плоский, то (a,d) и (a ,d ) связаны над (aS U a S)s и s - По условию 3) можно взять двойную ЧУ-схему с одним из двойных остовов «Si,..., Sr, например, Sk Таким образом, sD != j)Sk{d, d ), откуда sD t= ф$. Следовательно, sD ЯВЛЯеТСЯ МОДеЛЫО ПреДЛОЖеіІИЯ Еуу;г Покажем, что каждая модель SWJF является слабо плоским ЧУ-полигоном. Пусть sC N Swjr , а, а Є S, с, с Є С ив 5 зС имеет место равенство а с — a g) с . Тогда существует ЧУ-схема, связывающая (а, с) с (а/, с ) над Ss и sC с двойным остовом «S. Следовательно, S Є В2. Поскольку sC (= 05 и s(7 j== T/ S(C, С ), ТО С Н fe(c5c0 Для некоторого к Є {1..., г}. Отсюда и из (8) следует существование схемы над (aSUa S)s и уС, связывающей (а, с) с (а1, с ), т.е. равенство ас = а! d имеет место и в (aSU a S)s sC Таким образом, ЧУ-гюлигон $С является слабо плоским. Теорема 1.27. Следующие условия для ЧУ-моиоида S эквивалентны: 1) класс Тк аксиоматизируем; 2) класс J- замкнут относительно улътрапроизведепий; 3) для всякого двойного остова S над S существует конечное число двойных остювов «Si,...,«Sr/ над S таких, что для всякого правого ЧУ-полигона As и любого плоского левого ЧУ-полигопа $В, если пары (а, 6), (а/, Ь ) Є Ах В связаны двойной ЧУ-схем,ой Т над As и sB с двойным, остовом S, то пары (а, Ь) и (а/, Ъ ) связаны двойной ЧУ-схемой Т над (aS U arS)s и sB так, что S(Tf) = S для некоторого к Є Доказательство.
Импликация 1) = 2) следует из теоремы 1.1. Докажем, что из 2) следует 3). Также, как в доказательстве импликации 2) = 3) в теореме 1.26, построим множество J, множества J$ для S Є DOS и ультрафильтр Ф. Предположим, что Т замкнут относительно ультрапроизведений, но условие 3) не выполняется. Предположим SQ = {si,t\, ...,sm,trmvi,ui, ...,vn,un) Є DOS такой, что для любого / є J существуют правый ЧУ-гюлигон (Af)s, плоский левый ЧУ-гюлигон $Bf и пары (a/, 6/), {a j.b j) Є А/ х Б/ такие, что (а/,Ь/) и (a pl/j) связаны над (Af)s и sB/ двойной ЧУ-схемой 7} с двойным остовом «So, по не существует двойной ЧУ-схемы над (ajS U a jS)s и sB/, связывающей (a/, bf) и (a f,b j) с двойным остовом из множества /. Заметим, что любого / Є J, и что это равенство определяется двойной ЧУ-схемой над As и $1? с остовом SQ. Отсюда следует, что равенство a (g (6 /Ф) = а g (6 /Ф) выполняется в As s7, гДе sU = (Гї/еJ- /)/ и определяется двойной ЧУ-схемой над As и $U с двойным остовом SQ. Поскольку sU плоский, то для двойного остова SQ существует двойной остов S(T ) = S = где Cj(/) = Cjj Є a/5 U a fS для 2 j п, f Є J и d,-(/) = d/j Є Б/ (1 j п и / Є J). Так как ультрафильтр Ф замкнут относительно конечных пересечений, то существует D Ф такой, что для любого / Є D. Следовательно, пары (a, 6/) и (a7, 6j) связаны двойной ЧУ-схемой над (aS U a S)s и #?/ с двойным остовом S . Выберем / Є DnJs1- Но поскольку S принадлежит /, это невозможно. Таким образом, доказано, что из 2) следует 3). Покажем, что из 3) следует 1). Предположим, что для каждого двойного остова суїдсствует конечное число двойных остовов со свойством, указанным в п. 3) теоремы. Построим множество аксиом для класса F . Пусть Si - множество двойных остовов S, для которых выполняется условие: для любого правого ЧУ-полигона As, если существуют а, а Є Л такие, что As \= /?s(a, а/), то не существует слабо плоского ЧУ-полигона sB такого, что sB \= ips(b,b ) для любых b,b Є В. Пусть S Є So = DOS\Si. Тогда для некоторого правого ЧУ-полигона As и плоского левого ЧУ-полигона sB существуют а, а Є А и b,b Є В такие, что a &b = a g b в As 8 sB.
Аксиоматизируемость классов проективных и свободных ЧУ-полигонов
В данном параграфе исследуются вопросы аксиоматизируемости классов проективных и свободных ЧУ-полигонов. По теореме 1.11 проективный ЧУ-полигон, как и проективный полигон, является копроизведеиием ЧУ-полигонов вида sSe, где є Є Е, причем элементы из разных компонент связности не сравнимы. Поэтому рассуждения, проводимые для проективных полигонов, как правило верны и для проективных ЧУ-полигонов. В частности, если любая ультрастепень ЧУ-полигона #5 проективна, то, в точности повторяя доказательство соответствующего утверждения для полигонов из [33], показывается, что S удовлетворяет условиям (А и (Мд). Более того, это доказательство проходит и при том условии, когда всякая ультрастепень ЧУ-полигона sS свободна над ЧУ-множсством. Таким образом, имеет место следующая лемма. Лемма 2.12. Если любая улътрастепепъ ЧУ-полигона sS проективна или свободна над ЧУ-множеством, то ЧУ-моноид S совершенен слева. Следующий результат дает описание ЧУ-моноидов с аксиоматизируемым классом проективных ЧУ-полигонов. Теорема 2.13. Для ЧУ-моноида S следуюище условия, эквивалентны: 1) класс V аксиоматизируем; 2) каждая улътрастепенъ ЧУ-полигона sS проективна; 3) класс S аксиоматизируем и S - совершенный слева ЧУ-мюноид. Доказательство. 3)= 1). Так как S совершенен слева, то по теореме 1.22 SJ: = V . Тогда класс Т аксиоматизируем. 1)=5-2). Ясно, что если класс V аксиоматизируем, то по теореме 1.1 каждая ультрастепень ЧУ-полигона sS проективна. 2)=5-3). Предположим, что каждая ультрастепень ЧУ-полигопа sS проективна. Тогда, в силу включения V С SJ7 , аксиоматизируемость класса 4SJr следует из теоремы 1.33. Совершенность слева ЧУ-моноида S следует из леммы 2.12. П Следующая теорема дает характеризацию ЧУ-мопоидов, над которыми класс ЧУ-полигонов, свободных над множеством, аксиоматизируем. Теорема 2.14. Класс Тг аксиоматизируем тогда и только тогда, когда класс Т аксиоматизируем и S удовлетворяет условию ( ): для любого є Є Е \ {1} существует конечное мнооїсество Т С S тпакое, что любой а S имеет е -хорошую факторизацию по w для некоторого w Є Т. Доказательство.
Если класс Тгк аксиоматизируем, то всякая ультрастепень ЧУ-полигона sS является свободным над множеством ЧУ-полигоном, а, следовательно, проективным ЧУ-полигоном. По теореме 2.13 класс Т аксиоматизируем и S - совершенный слева ЧУ-моноид. По лемме 1.23 моноид S совершенный слева. По следствию 1.25 S локален. Покажем выполнение ( ). Пусть є Є Е, е 1. Для любого а Є S имеет место равенство а — а 1. Если е — av и Sv = Se, то из локальности S следует 1 ф vc для любого с. Предположим, что условие ( ) не выполняется. Через J обозначим множество конечных подмножеств S. Предположим, что для любого / Є J суіцествует элемент Wf Є S такой, что w/ не имеет е -хорошую факторизацию по w для любого w Є f . Ясно, что S и J бесконечны. Для каждого w Є S положим Jm = {/ Є J ш Є /}. Поскольку {tui,..., wn} Є4,П...П JWn , то существует ультрафильтр Ф над J такой, что Jw Є Ф для всех w Є S. Пусть sU — s(SJ/Ф). По предположению #/ свободный над множеством ЧУ-полигон. Пусть х е S1,7 такой, что x(f) = wr. Поскольку sU свободен, то по теореме 1.12 и следствию 2.8 х /Ф = wd/Ф для некоторого и , где d/Ф является 1-сократим справа элементом. Предположим, что d(f) = df для любого / Є J. Покажем, что D = {/ Є .7 iud/ является е-хорошей факторизацией по щ} ф. Предположим противное. Тогда D = {/ Є J I df = vz для некоторых v, z таких, что є = wv и 5 ; = 5е} ф. По лемме 2.7 существует конечное число элементов v\,..., vn таких, что е = wvi и S j = 5е. Для 1 г п положим D{ — {/ Є J : df — VjZ для некоторого z]. Тогда D = D\ U ... U Dn. Следовательно, А Є Ф для некоторого і є {1,..., п}. Так как 5 = 5е и S локален, то ViS — gS для некоторого д Є Ь\ причем д ф l.Ho gvi = Vi, следовательно, gdj = df для любых f Є Di Є Ф. Откуда # і/Ф = d/Ф. Поскольку d/Ф является 1-сократим справа, то д = 1. Противоречие. Таким образом, Є Ф. Пусть Т = {f Є J : wf = wdf} . Тогда T Є Ф. Выберем / Є D ПТ П «/,„. Имеем w Є f Так как / Є Т, то w/ = u d/. Более того, поскольку / е ) то Wf является е -хорошей факторизацией по w. Это противоречит выбору Wf. Таким образом, ( ) выполняется. Предположим, что класс V аксиоматизируем и S удовлетворяет ( ). Через -р = S5Jr обозначим множество аксиом для V . Пусть є Є Е,е ф 1. Выберем конечное множество / = {щ,..., ип} , которое существует в силу ( ), такое что каждый а Є S имеет е-хорошую факторизацию по щ для некоторого і Є {1,..., п}. Поскольку класс Vе аксиоматизируем, то по лемме 2.7 для каждого і Є {1,..., п} существует конечное число элементов уц,... ,Vinii Є S, Определим фе следующим образом: Положим г =Ep U{0e еє\{1}}. Покажем, что Ej-r является множеством аксиом для TrK . Пусть sF свободный над множеством X ЧУ-полигон, є Є Е, е ф 1 и а Є F.
Тогда a = sx для некоторого ,ЇЕІ. ПО выбору элементов wi,..., ип имеем s = u{t для некоторого ІЄ S, причем t ф vw для любого w Є S и v Є S такого, что е = г г и Sv = Se. Положим b = tx. Ясно, что sE t= / с Легко понять, что si7 Ё Цр . Обратно, пусть sA - ЧУ-полигон и Л = Е г . Тогда проективен. Следовательно, 5 4 - копроизведение связных компонент вида sSa, где а является е-сократим справа для некоторого є Є Е; кроме того, еа = а. Предположим, что ефі. Поскольку sA \= Фе, то а — щЬ для некоторого b такого, что b va для любого v Є S со свойствами є = щу, Sv = Se . Так как b = wa для некоторого w Є , то а = щша, следовательно, є = и-лие. Ясно, что Se = Swe и Ь = wa = wea. Получили противоречие. Таким образом, е = 1 и А - свободный над множеством ЧУ-полигон. Аксиоматизируемость класса J-rK доказана. П Лемма 2.15. Пусть S - ЧУ-моноид. Если класс Тг аксиоматизируем, то класс Тг аксиоматизируем. Доказательство. Пз сть класс Тг аксиоматизируем. По следствию 2.3 моноид S удовлетворяет условию ( ). По теореме 1.1 всякая ультрастепень ЧУ-полигона sS является свободным над ЧУ-множеством ЧУ-полигхшом. По лемме 1.28 для любых s,t S множество (s t) либо пусто, либо конечно порождено как правый идеал S и по лемме 1.30 множество i?.(,s, t) либо пусто, либо конечно порождено как подполигои правого полигона (S х S)s- По лемме 2.9 для любых s,i Є S множество r(s,t) либо пусто, либо конечно порождено как правый идеал S. По теореме 1.32 класс ST аксиоматизируем. По лемме 2.12 ЧУ-моноид S совершенен слева. Следовательно, по лемме 1.23 моноид S также совершенен слева, что по теореме 2.1 влечет аксиоматизируемость класса V. Таким образом, по теореме 2.2 класс Тт аксиоматизируем. Для формулировки следующей теоремы нам понадобится ряд обозначений. Пусть S - ЧУ-моноид и s,t Є S, г Є Тії. Определим следующие множества: (ж, у) Є Li(s,t) х — максимальный элемент ЧУ-множсства S такой, что sx ty\ (х,у) Є L 2(s, t) x — максимальный элемент ЧУ-множества S такой, что sx ty и либо sx . tS, либо ty sS; (х,у) Є L[](r) 5 у 7 ту и х — максимальный элемент ЧУ-множества S такой, что х = ту и х у. Теорема 2.16. Пусть S - ЧУ-моноид. Класс Тг аксиоматизируем в том и только том случае, когда 1) класс Тг аксиоматизируем,; 2) ЧУ-множество S не содержит бесконечно возрастающих и бесконечно убывающих цепей; 3) для любого р Є S х S множество 7 (р) пусто или конечно порождено как правый идеал S; 4) для любых г Є {1,2} up Є S x S множество Li(p) пусто или сугцествует конечное множество Ll С Li(p) такое, что Li(p) С 5) для любого s Є Н\ множество L;i(s) пусто или сугцествует конечное множество Lzs С L {s) такое, что L (s) С {J/xy\efj(x:y)S. Доказательство. Необходимость.
Аксиоматизируемость класса регулярных ЧУ-полигонов
В этом параграфе рассматриваются вопросы полноты (модельной полноты, категоричности) классов проективных и свободных ЧУ-полигонов. Теорема 2.17. Пусть S - ЧУ-моноид такой, что класс Т) аксиоматизируем. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) класс Т полон; 2) класс Vе модельно полон; 3) класс Vе категоричен; 4) V = Тг ; 5) S - частично упорядоченная группа. Доказательство. Пусть S - частично упорядоченная группа. Тогда S удовлетворяет условиям (-А ) и (Мд). По теореме 1.22 S -совершенный слева ЧУ-моиоид и STK = V Тгк. Следовательно, S аксиоматизируем. Тогда по теореме 1.36 и замечанию 1.37 пункты 1), 2), 3). 4) эквивалентны и из 5) следует 4)- Таким образом, достаточно доказать импликацию 1) = 5). Из аксиоматизируемости класса V и теоремы 1.22 следует, что S - совершенный слева ЧУ-моноид. По лемме 1.23 S совершенный слева моноид и по теореме 1.14 S удовлетворяет условию (MR) . Следовательно, в S существует минимальный правый идеал, который по лемме 1.24 (4) имеет вид eS для некоторого є Є Е. По этой же лемме (2) левый идеал Se минимален. Ясно, что $Se Є V . По следствию 1.25 S локален. Следовательно, 1 является единственным идемпотентом таким, что Se = S или eS = S. Предположим еф\. Тогда Se С S и eS С S. Для любого а Є S полагаем В силу аксиоматизируемости класса Т , всякая ультрастепень ЧУ-полигона sS проективна. По лемме 2.7 каждое множество Ха является конечным подмножеством множества {а Є S\Sa = Se} . Пусть Хе П Se = {ai,..., ап} , щ ф a.j (г т І)- Возьмем произвольное і Є Se. Покажем, что ХегП,5е — п. Ясно, что a{t Є Xct П б є, 1 г п. Так как Se = Scii - минимальный левый идеал, то по лемме 1.24 правый идеал ajS минимален для любого і Є {1,...,п}. Предположим, что а{Ь — cijt, где 1 i,j п. Поскольку правые идеалы щв и a,jS минимальны, то a,iS — ajS. Следовательно, a7- = щк для некоторого к Є S. Так как ещ — Предположим, что существует с Є Xef П 5е такой, что с а для любого г, 1 г п. Поскольку с = се и левый идеал б є минимален, то 5е = .See = i c, т.е. левый идеал Sc также является минимальным. Следовательно, Sc = Sec и с — lee для некоторого І є S. В силу минимальности е5 выполняется равенство eS" = ecS. Следовательно, существует d Є cS такой, что ed — е и d = сг, где г Є S. Предположим, что d Є Se.
Тогда d = щ для некоторого г, 1 г п. Из равенств ecrt = edt = ea?i — et — ее следует ecr = ее. Умножим это равенство па / слева. Тогда crt = с, т.е. с = a{t. Это противоречит выбору с. Таким образом, d (Хе U с5) \ 5е. Так как d = сг, то ес7 = e i = е = ес7 е. Умножим это равенство на / слева. Тогда cr = ere, т.е. d Є Se, что не так. Таким образом, XetC\Se — {a\t, , ant} и ci{t Ф ajt (і ф j) для любого t Є Se. Следовательно, Se \= ф , где Поскольку класс 7? полой, то SA = Ц?Єц; sSe, = sB = Цгеш 53 , где 557, 55ег (г Є a ) -- копии ЧУ-полигонов $S и s e соответственно. Поскольку sA \= ф, то 5- (= V; В частности, в s? существует ровно п решений уравнения еу = е; но Хе П Se == п и 1 Є Хе\ Se, противоречие. Следовательно, е = 1. Так как моноид удовлетворяет условию (Мд), то каждый главный правый идеал aS моноида S содержит минимальный правый идеал bS и по лемме 1.24 правый идеал bS порожден идемпотентом, то aS = S для любого а Є S. Поскольку S - минимальный правый идеал, то по лемме 1.24 S является также минимальным левым идеалом, следовательно, Sa = S для любого а Є S. Таким образом, S - частично упорядоченная группа. Переходим к рассмотрению вопросов полноты, модельной полноты и категоричности классов Тг и Тт -. Следующая теорема следует из характеризации свободных над множеством ЧУ-полигонов как копроизведений копий ЧУ-полигона s$ Теорема 2.18. Пусть S - ЧУ-моноид такой, что класс Тг аксиоматизируем. Тогда класс Тгк полон, модельно полон и категоричен. Доказательство следующей теоремы в точности повторяет доказательство теоремы 1.34. Теорема 2.19. Не существует ЧУ-моноида S такого, что аксиоматизируемый класс J-r полон (модельно полон, категоричен). 3 Теоретико-модельные свойства регулярных ЧУ-полигонов 3.1 Необходимые определения и предварительные сведения Пусть в ЧУ-полигоне $А существует регулярный ЧУ-поднолигои. Заметим, что объединение всех регулярных ЧУ-нодполигонов ЧУ-полигона sA есть регулярный ЧУ-подполигон, который называется регулярным центром ЧУ-полигона gA и обозначается через R(sA). Вместо R{sS) будем писать sR Подполугруппа R ЧУ-моноида S называется регулярным центром ЧУ-моноида S. Всюду в дальнейшем предполагается R 0. Утверждение 3.1. Пусть S - ЧУ-моноид. Тогда для любых е, / Є Е из GS С fS следует е — fe Доказательство. Предположим eS С fS. Тогда е = fk для некоторого к Є S. Домножим предыдущее равенство на / слева. Получим f2k = fe = Предложение 3.2. Если е, f Є R, є2 — є и f2 — f, то Доказательство. Пусть e, f Є R, є2 = e и f2 f. Докажем 1). Если eR = /І2, то є = ее Є eR = fR С fS и eS С fS; аналогично, fS С eS, т.е. eS fS. Если eS = fS, то e = fe Є fR и eR С fR] аналогично, fR С eR, т.е. еД = /і?. Докажем 2). Если eR С fR, то е = ее Є eR С fR С /5 и е5 С fS. Заметим, что равенства быть ые может (иначе в силу п. 1 было бы eR = fR). Таким образом, eS С fS. Если eS С fS, то е = /є Є /і?, и eR С. fR.
Равенство также не возможно. Поэтому eR С fR. Пусть 5 4 - ЧУ-полигон. Элемент а Є А называется регулярным, если существует гомоморфизм ЧУ-полигопов ip : gSa — $S такой, что р(а)а = а. ЧУ-полигон sA называется регулярным, если все его элементы регулярны [48]. Класс регулярных ЧУ-полигонов обозначим 7Z . Предложение 3.3. [48] Пусть sA - ЧУ-полигон и а Є А. Следующие условия эквивалентны: 1) а - регулярный элемент; 2) существует идемпотент е S такой, что sSa = sSe. Предложение 3.4. Пусть $А - ЧУ-полигон, а Є А. Следующие условия эквивалентны: 1) а - регулярный элемент/, 2) существуют идемпотент, є Є S и изоморфизм ЧУ-полигопов ifj : sSo, — sSe такие, что ip(a) — є; 3) существует, идемпотент є Є S такой, что ЧУ-полигопы Sa и sSe изоморфны. Доказательство. 1)= 2). Пусть а Є А - регулярный элемент, (р : $Sa — sS - гомоморфизм ЧУ-полигонов такой, что ip(a)a = а. Пусть е — р(а.). Тогда е = ip(a) = р((р(а)а) = ip(a)ip(a) = е2 и еа = ip(a)a — а. Кроме того, если sa ta, то se = sip(a) = cp(sa) = p(ta) = tip(a) = te для любых s,t Є S. Тогда отображение ф : sSa — $Se такое, что ip(sa) = se для любого s G S, является изоморфизмом ЧУ-полигонов. Импликация 2) = 3) очевидна. 3) = 1). Следует из предложения 3.3. Следствие 3.5. Следующие условия для ЧУ-полигона $А эквивалентны: 1) ЧУ-полигон sA регулярен; 2) для любого а Є А существуют, идемпотент є Є S и изоморфизм, ЧУ-полигопов ф : sSa — sSe такие, что ф{а) = е; S) для, любого а Є А существует идемпотент є Є S такой, что ЧУ-полигоны sSa и sSe изоморфны. 3.2 Аксиоматизируемость класса регулярных ЧУ-полигонов В данном параграфе приводится описание аксиоматизируемого класса регулярных ЧУ-полигонов. Доказательство следующей теоремы является модификацией доказательства теоремы об аксиоматизируемости класса регулярных S-полигонов (см. [8]). Теорема 3.6. Класс 7Z аксиоматлізируем тюгда и только тогда, когда 1) полугруппа R удовлетворяет условию минимальности для главных правых идеалов, порожденных идемпотентами; 2) для любых п 1, Si,ti G S (1 і п) множество {х Є R Д s;x tix} пусто или конечно-порождено как пра,вый идеал полугруппы, R. Доказательство. Необходимость. Пусть класс TZ аксиоматизируем.
Полнота и модельная полнота класса регулярных ЧУ-полигонов
Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются некоторые классы частично упорядоченных полигонов. С помощью современного арсенала теории моделей, включающего теорию категоричности, различные теоретико-модельные конструкции, изучаются такие свойства этих классов, как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота, категоричность. Пошітие частично упорядоченного полигона возникло при изучении отображений между частично упорядоченными множествами (см. [18]). В . некотором смысле понятие частично упорядоченного полигона является обобщением понятия полигона. Напомним, что левым полигоном над v моноидом S или, просто, полигоном называется множество, на котором S действует слева, при этом единица S действует тождественно. Если S - частично упорядоченный моноид (ЧУ-моноид), то под левым частично упорядоченным полигоном или, просто, частично упорядоченным полигоном (ЧУ-полигоном) понимается частично упорядоченное множество, являющееся левым полигоном над моноидом , на котором действие частично упорядоченного моноида S является монотонным по каждому аргументу. ЧУ-полигоиы исследовались такими авторами, как S.M. Fakhrud-din [27, 28], X. Shi [47, 48], Z. Liu [48], F. Wang [48], S. Bulman-Fleming [19, 20, 25, 26, 48], V. Gould, L. Shaheen [35, 36], A. Golchin and P. Rezaci [31], S. Tajnia [50] и др.. Толчком к исследованию теоретико-модельных свойств ЧУ-поли гонов послужили работы в области теории моделей полигонов Т.Г. Мустафина [1, 9, 10, 46], S. Bulman-Fleming [22], V. Gould [22, ЗО, 33, 32], J.В. Foun- tain [29, 30, В. Poizat [46], A.A. Степановой [15, 16, 17], E.B. Овчинниковой [12], M. Kilp [6, 39, 42], U. Knauer [40, 43, 44, 45], A.H. Ряскина [13], A.A. Иванова [38], П. Нормака [11], Л.А. Скорнякова [14], L.H. Trail [51] и др. В этих работах изучаются класс всех полигонов над моноидами и классы плоских, проективных, свободных, регулярных полигонов с точки зрения их аксиоматизируемости, полноты, модельной полноты, категоричности, стабильности.
Аналогичные вопросы для ЧУ-полпгонов исследуются в данной работе. В 1980-х годах S.M. Fakhruddin публикует две работы [27, 28], посвященные тензорным произведениям и плоскостным свойствам в контексте ЧУ-моноидов, действующих на частично упорядоченных множествах. В частности, в этих работах вводится понятия плоского ЧУ-полигона. Позднее X. Shi в [47 были рассмотрены сильно плоские и слабо плоские ЧУ-полигоны. Сильно плоский ЧУ-полигои можно определить как ЧУ-полигон, удовлетворяющий условиям (Р и (-Е" ), которые являются аналогами условий (Р) и (Е) для полигонов. V. Gould и S. Bulman-Fleming в работах [3, 22, 33, 34] дали описание моноидов с аксиоматизируемыми классами сильно плоских, слабо плоских, плоских полигонов и полигонов, удовлетворяющих условию (Р) и условию (Е). Подобные результаты для ЧУ-полигонов были получены нами (теоремы 1.33, 1.2G, 1.27, 1.29, 1.31). V. Gould и L. Shaheen в [35] изучались аксиоматизируемые классы ЧУ-полигонов, удовлетворяющих некоторым более слабым, чем (Р ) п (Ек) условиям. А.А. Степановой в [15J рассматривались вопросы полноты п модельной полноты класса сильно плоских полигонов. В данной работе нами показано (теорема 1.36), что для коммутативных ЧУ-моноидов полнота (модельная полнота, категоричность) класса сильно плоских ЧУ-полигопов эквивалентна тому, что ЧУ-монопд является частично упорядоченной абелевой группой. Также нами исследована полнота (модельная полнота, категоричность) классов ЧУ-полигопов, удовлетворяющих условию (Е ) и условию (Р ) (теоремы 1.34, 1.35). Обобщением понятий плоского, слабо плоского и сильно плоского ЧУ-полигонов является понятие проективного ЧУ-полигона, которое впервые появилось в работе S.M. Fakhruddin 28]. Позднее в своей совместной работе X. Shi, Z. Liu, F. Wang, S. Bulman-Fleming [48] дали алгебраическую характеризацию проективных ЧУ-полигонов. Описание моноидов с аксиоматизируемыми (полными, модельно полными и категоричными) классами проективных ЧУ-полигонов получено А.А. Степановой в 15]. В данной работе сформулированы соответствующие результаты для ЧУ-полигоиов (теоремы 2.13, 2.17). Известно, что любой проективный ЧУ-полигон является свободным над множеством. Свободные над множествами ЧУ-полигоны впервые были рассмотрены в работе X. Shi и др. [48]. Здесь же были исследованы их свойства. S.M. Fakhruddin ввел понятие свободного над ЧУ-миожеством ЧУ-полигона [28]. Описание моноидов с аксиоматизируемым классом свободных полигонов было получено А.А. Степановой для некоторых специальных моноидов [15] и V. Gould [3] в общем случае. Нами получено описание ЧУ-моноидов с аксиоматизируемыми классами свободных над множествами и над ЧУ-множествами ЧУ-полигонов (теоремы 2.13, 2.14, 2.16, 2.17, 2.18, 2.19). В 2005 году в работе X. Shi и др. ]48] было введено понятие регулярного ЧУ-полигона и изучены некоторые его свойства. А.А. Степановой в [16] получена характеризация моноидов с аксиоматизируемым классом регулярных полигонов и исследованы вопросы модельной полноты регулярных полигонов.
Для некоторых частных случаев Е.В.Овчинниковой были исследованы полные классы регулярных полигонов [12]. Вопрос о полном описании моноидов с полным классом регулярных полигонов остается открытым. В данной работе описаны ЧУ-моноиды с аксиоматизируемым классом регулярных ЧУ-полигонов (теорема З.б) и доказано, что не существует ЧУ-моноида, над которым аксиоматизируемый класс регулярных ЧУ-полигонов был бы полон или модельно полон (теоремы 3.7, 3.8) Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в теории полигонов, при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий. Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Дальневосточного государственного университета, а также на следующих международных конференциях и школах-семинарах: Всероссийская конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2007), Дальневосточная математическая школа - семинар им. ак. Е.В. Золотова (Владивосток, 2007), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2007), XV Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2008), Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем" (Владивосток, 2008), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математико (Владивосток, 2009). Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [58, 59, 60]. Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Приведем некоторые определения, которые нам понадобятся для формулировки основных результатов работы. ЧУ-полигон sA называется слабо плоским (плоским, сильно плоским), если функтор — g sA из категории правых ЧУ-полигопов в категорию частично упорядоченных множеств сохраняет вложения правых идеалов S в S (вложения правых ЧУ-полигонов, универсальные квадраты).
