Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Коммутаторы и абелевы конгруэнции в конгруэнц-модулярных многообразиях 14
1. Коммутаторы конгруэнции и абелевы алгебры 14
2. Абелевы расширения и разрешимые алгебры 19
3. Клоны операций 22
Глава II. Свободные абелевы расширения в конгруэнц-перестановочных многообразиях 25
1. Свободные абелевы расширения 25
2. Свободная разрешимая алгебра 40
Глава III. Конструкция свободных абелевых расширений Sp-перестановочных алгебр 42
1. Построение свободного абелева расширения 42
2. Свободные абелевы алгебры 55
Глава IV. Свойства свободных абелевых расширений 5р-перестановочных алгебр 61
1. Свободные абелевы расширения р-алгебр 61
2. Элементы свободных абелевых расширений 63
3. Свободные абелевы расширения как модули над предаддитивными категориями 65
4. Равенства слов в свободных абелевых расширениях . 71
Глава V. Разрешимые 5р-перестановочные алгебры 79
1. Тождества на многообразиях разрешимых алгебр . 79
2. Гомоморфизмы свободных разрешимых алгебр 85
3. Свойство Хопфа 93
Литература 96
- Абелевы расширения и разрешимые алгебры
- Свободная разрешимая алгебра
- Построение свободного абелева расширения
- Свободные абелевы расширения как модули над предаддитивными категориями
Введение к работе
В настоящее время активно развивается одно из важных направлений в универсальной алгебре, в рамках которого изучается связь решеток конгруэнции алгебр данного многообразия с термальными операциями на алгебрах. Начало этих исследований связано с известной теоремой А.И. Мальцева [7], утверждающей, что многообразие является конгруэнц-перестановочным тогда и только тогда, когда существует тернарный терм р от основных операций, такой, что на данном многообразии выполнены тождества р(х,х,у) = р(у,х,х) = у. Дальнейшее развитие в этом направлении связано с работами Дея [23], Йонссона [28], Пиксли [39], в которых найдены аналогичные условия, характеризующие конгруэнц-модулярные, конгруэнц-дистрибутивные и арифметические многообразия, а также с целым рядом других работ.
В конце прошлого века, благодаря результатам Гумма, Маккензи, Смита, Фриза, Геррманна, Хагеманна и других исследователей, возникла теория коммутаторов, которая нашла важное применение при изучении конгруэнц-модулярных многообразий. Систематическое изложение этой теории можно найти в книге [25], а также в монографиях [11], [2]. Понятие коммутатора конгруэнции обобщает соответствующее понятие в группах и кольцах. В терминах коммутаторов дается определение центра алгебры, которое совпадает в группах с классическим определением центра. Обобщены также понятия абелевой, разрешимой и нильпотент-ной алгебр. В любом конгруэнц-модулярном многообразии класс абеле-вых алгебр, а также класс разрешимых (нильпотентных) алгебр степени не более к для фиксированного натурального числа к являются многообразиями. Свойства этих многообразий и отдельных алгебр активно изучаются в настоящее время. Разрешимые алгебры играют важную роль в исследовании конечных алгебр [27].
В. А. Артамонов в работе [1] перенес представление Магнуса для групп на случай произвольного конгруэнц-модулярного многообразия, обобщив тем самым понятие свободного абелева расширения. При этом вводится важный аналог целочисленного группового кольца - касательное кольцо. В этой же работе строится дифференциальное исчисление для конгруэнц-модулярных многообразий. Тем самым обобщается дифференциальное исчисление Фокса [24] для групповых колец, которое применяется для решения многих задач в свободных метабелевых группах и алгебрах Ли. Так, например, оно используется при решении задачи о примитивном элементе [31], [32], [33], [9], [35], [37], [14], помогает в некоторых случаях установить, является ли данное многообразие алгебр над полем шрейеровым [15]. Результаты, связанные с дифференцированием Фокса, можно также найти в работах [34], [36], [13], [41], а также в обзоре [21].
Представление Магнуса в конгруэнц-модулярных многообразиях дает возможность изучения разрешимых алгебр. Абелевым расширениям в конгруэнц-модулярных многообразиях посвящена также работа [40].
Теория коммутаторов также находит широкое применение при исследовании конгруэнц-перестановочных многообразий, составляющих важный класс конгруэнц-модулярных многообразий. Интерес к этим многообразиям является вполне естественным в силу того, что конгруэнц-пе-рестановочными являются, например, многообразия групп, колец, квазигрупп. С.Чакрабарти в работе [18] изучает свободные разрешимые алгебры в многообразии с одной тернарной мальцевской операцией (р алгебры). Описана конструкция свободной разрешимой алгебры, и, в частности, абелевой алгебры. Показано, что никакая свободная разрешимая алгебра конечного ранга не вложима в другую свободную разрешимую алгебру меньшего ранга. Доказывается, что любой эпи-эндомор-физм свободной разрешимой р-алгебры является автоморфизмом (свойство Хопфа). В работе [20] эти результаты были перенесены на случай общих конгруэнц-модулярных многообразий.
Конгруэнц-перестановочные многообразия привлекают внимание исследователей во многих областях алгебры, в частности, в теории унарных алгебр. В работе В.К.Карташова [3] указано правило, по которому на каждом унаре (алгебре с одной унарной операцией) можно определить тернарную мальцевскую операцию, перестановочную с унарной. Свойства полученных алгебр рассматриваются в [16].
Пусть S - моноид унарных функциональных символов, и р - тернарный функциональный символ. Алгебра G сигнатуры (р, S) называется (р, S) -алгеброй, если она удовлетворяет тождествам Мальцева для операции р, а также тождествам sis2(x) = s2(si(x)), їх = X для всех ж, у Є G, где si, S2 Є 5, и 1 - единица S. Отметим, что G является, таким образом, полигоном над моноидом S.
В настоящей работе изучаются свободные абелевы расширения в многообразии (р, 5)-алгебр. Оказалось, что изучение конструкции свободного абелева расширения произвольной алгебры в любом конгруэнц-перестановочном многообразии сводится к изучению свободного абелева расширения некоторой подходящей (р, S)-алгебры.
Отметим, что теория полигонов над моноидами активно развивается благодаря работам Л.А.Скорнякова [12], А.В.Михалева [30], У.Кнауэра, М.Килпа, И.Б. Кожухова [4] и других авторов. Помимо того, что полигоны представляют самостоятельный интерес, они изучаются и как обобщения унаров, а также находят важное применение в теории модулей.
Настоящая работа состоит из пяти глав. В первой главе приводятся необходимые сведения из теории коммутаторов в конгруэнц-модулярных и перестановочных многообразиях. В частности, дается определение свободного абелева расширения и разрешимой алгебры. Там же изложены необходимые понятия теории клонов.
Во второй главе рассматривается проблема построения свободных абелевых расширений в произвольных конгруэнц-перестановочных многообразиях. Показано, что на любой алгебре А с порождающим множеством X, принадлежащей данному конгруэнц-перестановочному многообразию ф сигнатуры Q с мальцевским термом р можно определить структуру (р, 5)-алгебры, построив моноид 5, элементами которого являются всевозможные классы полиномиально определимых унарных операций, действующих одинаково на данной алгебре. Пусть D - свободное абелево расширение (р, 5)-алгебры А, порожденное X. Тогда существует конгруэнция и, такая, что на D/u можно полиномиально определить операции из Q, причем полученная алгебра принадлежит многообразию ф. Ее подалгебра, порожденная X, является свободным абелевым расширением исходной алгебры А. Конгруэнция ш задается своими порождающими.
Во втором параграфе та же техника применяется для построения свободной разрешимой алгебры многообразия ф. Сначала приводится кон струкция свободной абелевой алгебры (разрешимой алгебры степени 1). При этом соответствующий моноид S полностью определяется тождествами многообразия ф. В качестве алгебры D в этом случае берется свободная абелева (р, 5 )-алгебра. В теореме 2.2.3 показывается, что свободная разрешимая алгебра степени к -f 1 является свободным абелевым расширением свободной разрешимой алгебры степени к для любого натурального к. Отсюда вытекает, что, используя конструкцию свободной абелевой алгебры, можно последовательно строить свободные разрешимые алгебры любой степени. Тем самым, получено описание свободных разрешимых алгебр произвольного конгруэнц-перестановочного многообразия в терминах (р, 5)-алгебр. Далее мы будем использовать обозначение АЕ(А) для свободного абелева расширения алгебры А.
Глава третья посвящена описанию конструкции свободных абелевых расширений 5р-перестановочных алгебр, то есть таких (р, 5)-алгебр, у которых полугруппа S \ {1} является свободным произведением некоторых полугрупп So и Spy причем элементы из Sp перестановочны с мальцевской операцией р. Зафиксируем полугруппы So и Sp и обозначим через V многообразие всех -перестановочных алгебр.
В первом параграфе дается описание свободного абелева расширения произвольной V-алгебры А в терминах модуля U(A) над кольцом R(A) со многими объектами в смысле [38]. Общий подход к построению таких конструкций в конгруэнц-модулярном многообразии описан в [1]. Его применение можно также найти в [18] и в [20]. Далее доказывается Теорема 3.1.8. Пусть В - свободное абелево расширение алгебры А Є V Тогда ядро I абелева гомоморфизма из В на А есть наибольшая абелева конгруэнция на В.
Во втором параграфе излагается конструкция свободной абелевой Sp-перестановочной алгебры с базой X. Рассмотрим для этого свободный ZS-модулъ Н(Х) с базой X. Положим р(х, у, z) = х — у -\- z и s(x) = sx для любых x,y,z Є Н(Х) и для каждого s € S. В полученной Sp-ne-рестановочной алгебре выделим подалгебру І7!, порожденную множеством X.
Теорема 3.2.7. F\ является свободной абелевой Sp-тіерєстановочнои алгеброй с базой X.
Пусть є - тривиализация полу группового кольца Z5, то есть отображение ZS —У Z, J2 zisi J2zi- Через єн обозначим продолжение є до модульного гомоморфизма из Н(Х) в Z, при котором ГІХІ (- є (г І). Теорема 3.2.4. Элемент т Є Н{Х) принадлежит F\ тогда и только тогда, когда є#(га) — 1 Конструкция свободной абелевой алгебры служит основой для построения всех свободных разрешимых 5р-перестановочных алгебр.
В четвертой главе изучаются свойства свободных абелевых расширений 5р-перестановочных алгебр.
Если S - единичный моноид, то мы получаем многообразие алгебр є одной тернарной мальцевской операцией, которое рассмотрено в [18]. Это обстоятельство позволяет изучать р-алгебры с позиций теории (p}S)-алгебр. Так, если F - свободная разрешимая 5р-перестановочная алгебра, и Fp - ее подалгебра, порожденная ее базой относительно операции р, то справедлива Теорема 4.1.2. Fp является свободной разрешимой р-алгеброй степени к с базой X.
Второй параграф содержит полезный критерий принадлежности эле мента модуля U(A) свободному абелеву расширению алгебры А.
В третьем параграфе свободные абелевы расширения и свободные разрешимые 5р-перестановочные алгебры рассматриваются с точки зрения модулей над предаддитивными категориями (кольцами с несколькими объектами). В частности, показывается, что каждый класс по ядру гомоморфизма из АЕ(А) на А является свободной абелевой группой. Доказано, что на свободной абелевой алгебре с базой X полиномиально определима структура модуля над целочисленным полугрупповым кольцом Z5, изоморфного подмодулю H0 = {he Н(Х) eH(h) = 0}
свободного ZS-модуля Н(Х).
При изучении многообразий универсальных алгебр большое внимание уделяется решению алгоритмических проблем. Одной из важнейших является проблема равенства слов, разрешимость (или неразрешимость) которой весьма часто помогает установить разрешимость других проблем [29]. Конструкция свободных абелевых расширений помогает решать в них проблему равенства слов.
Теорема 4.4.13. Если в Sp, в So и в А алгоритмически разрешима проблема равенства слов, то она разрешима и в АЕ{А).
Пусть свободное абелево расширение АЕ(А) некоторой 5р-переста-новочной алгебры А порождено множеством X.
Теорема 4.4.9. Подалгебра, порожденная в АЕ(А) множеством X относительно операций из S, является свободным S-полигоном.
Содержание пятой главы составляет исследование свободных разрешимых 5р-перестановочных алгебр. Обозначим через Vk многообразие всех разрешимых -перестановочных алгебр степени не выше фикси рованного числа к. В силу теоремы 2.2.3, конструкция свободной абелевой алгебры дает возможность по индукции получить конструкцию свободной разрешимой алгебры многообразия Vk для произвольного к. Из построения свободной абелевой алгебры следует, что в ней разрешима проблема равенства слов (при условии ее разрешимости в S). Отсюда, а также из теоремы 4.4.13, вытекает
Следствие 5.1.1. Проблема равенства слов разрешима в Fn тогда и только тогда, когда она разрешима в свободных сомножителях Sp, So полугруппы S \{1}.
Тем самым показывается, что, при условии разрешимости проблемы равенства в 5, в многообразии Vk имеет решение проблема распознавания тождеств. Дальнейшее изучение выполнимости тождеств на многообразиях разрешимых Sp-перестановочных алгебр приводит к следующему результату.
Теорема 5.1.4. Никакое нетривиальное тождество сигнатуры (p,S) (за исключением тождеств, которые определяют многообразие V) не выполняется на всей совокупности разрешимых Sp-перестановочных алгебр.
Последняя теорема верна и для р-алгебр, то есть, для любого положительного целого числа к можно привести примеры тождеств сигнатуры {р}, которые истинны на Vk, но не выполняются на Vk+\. В первом параграфе приводится алгоритм построения таких тождеств: пусть ui, vi Є X] un+i =p(un,vn,p(vn,un,vn)), vn+i =p(un,p(un,vn,un),un); n= 1,2,... Тогда тождества V-n+l = П) Vn+1 — vn истинны на V , но не на Vn+i.
В последних двух параграфах изучаются гомоморфизмы свободных разрешимых алгебр и рассматриваются некоторые проблемы, решенные в работе [18] для р-алгебр. Так, например, в этой работе показано, что никакая свободная разрешимая алгебра конечного ранга не вложима в свободную разрешимую алгебру меньшего ранга той же степени разрешимости. Выполнимость этого свойства для 5р-перестановочных алгебр зависит от моноида S. Как и в случае р-алгебр, показано, что если указанное свойство выполнено для свободных абелевых алгебр конечного ранга г, то оно выполняется для всех свободных разрешимых алгебр ранга г. В частности, это свойство р-алгебр обобщается на случай, когда S является произвольным конечным моноидом. Однако, это уже неверно для двупорожденного свободного моноида S.
Говорят, что алгебра обладает свойством Хопфа, если каждый ее сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом. Этим свойством обладают свободные разрешимые р-алгебры конечного ранга. В настоящей работе данный результат удается обобщить на случай произвольного конечного моноида S. Если свойством Хопфа обладает свободная 5р-перестановочная абелева алгебра F конечного ранга г, то этим свойством обладает любая свободная разрешимая Sp-перестановочная алгебра ранга г. При этом, если свободный ZS-модуль Н ранга г обладает свойством Хопфа, то F также хопфова. Справедлива Теорема 5.3.4. Если пересечение всех степеней фундаментального идеала кольца Z5 нулевое, то свободная абелева Sp-перестановочная алгебра конечного ранга хопфова.
Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах автора [43]-[46]. О них докладывалось на Международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения "памяти Л.А. Скорнякова (Волгоград, 1999), на Третьей международной алгебраической конференции в г. Сумы (2001), на семинаре "Кольца и модули "кафедры высшей алгебры МГУ (Москва, 2002), на V международной алгебраической конференции в Туле (2003), на Региональном семинаре "Алгебра, теория чисел и их приложения"(Волгоград, 2003), межвузовской конференции молодых ученых Волгоградской области (Волгоград, 2001), научных конференциях Волгоградского государственного педагогического университета, расширенных научно-исследовательских семинарах кафедры алгебры, геометрии и информатики ВШУ.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Вячеславу Александровичу Артамонову за постановку и плодотворное обсуждение задач, а также за постоянное внимание к работе.
Абелевы расширения и разрешимые алгебры
Настоящая работа состоит из пяти глав. В первой главе приводятся необходимые сведения из теории коммутаторов в конгруэнц-модулярных и перестановочных многообразиях. В частности, дается определение свободного абелева расширения и разрешимой алгебры. Там же изложены необходимые понятия теории клонов.
Во второй главе рассматривается проблема построения свободных абелевых расширений в произвольных конгруэнц-перестановочных многообразиях. Показано, что на любой алгебре А с порождающим множеством X, принадлежащей данному конгруэнц-перестановочному многообразию ф сигнатуры Q с мальцевским термом р можно определить структуру (р, 5)-алгебры, построив моноид 5, элементами которого являются всевозможные классы полиномиально определимых унарных операций, действующих одинаково на данной алгебре. Пусть D - свободное абелево расширение (р, 5)-алгебры А, порожденное X. Тогда существует конгруэнция и, такая, что на D/u можно полиномиально определить операции из Q, причем полученная алгебра принадлежит многообразию ф. Ее подалгебра, порожденная X, является свободным абелевым расширением исходной алгебры А. Конгруэнция ш задается своими порождающими.
Во втором параграфе та же техника применяется для построения свободной разрешимой алгебры многообразия ф. Сначала приводится кон струкция свободной абелевой алгебры (разрешимой алгебры степени 1). При этом соответствующий моноид S полностью определяется тождествами многообразия ф. В качестве алгебры D в этом случае берется свободная абелева (р, 5 )-алгебра. В теореме 2.2.3 показывается, что свободная разрешимая алгебра степени к -f 1 является свободным абелевым расширением свободной разрешимой алгебры степени к для любого натурального к. Отсюда вытекает, что, используя конструкцию свободной абелевой алгебры, можно последовательно строить свободные разрешимые алгебры любой степени. Тем самым, получено описание свободных разрешимых алгебр произвольного конгруэнц-перестановочного многообразия в терминах (р, 5)-алгебр. Далее мы будем использовать обозначение АЕ(А) для свободного абелева расширения алгебры А.
Глава третья посвящена описанию конструкции свободных абелевых расширений 5р-перестановочных алгебр, то есть таких (р, 5)-алгебр, у которых полугруппа S \ {1} является свободным произведением некоторых полугрупп So и Spy причем элементы из Sp перестановочны с мальцевской операцией р. Зафиксируем полугруппы So и Sp и обозначим через V многообразие всех -перестановочных алгебр.
В первом параграфе дается описание свободного абелева расширения произвольной V-алгебры А в терминах модуля U(A) над кольцом R(A) со многими объектами в смысле [38]. Общий подход к построению таких конструкций в конгруэнц-модулярном многообразии описан в [1]. Его применение можно также найти в [18] и в [20]. Далее доказывается Теорема 3.1.8. Пусть В - свободное абелево расширение алгебры А Є V Тогда ядро I абелева гомоморфизма из В на А есть наибольшая абелева конгруэнция на В. Во втором параграфе излагается конструкция свободной абелевой Sp-перестановочной алгебры с базой X. Рассмотрим для этого свободный ZS-модулъ Н(Х) с базой X. Положим р(х, у, z) = х — у -\- z и s(x) = sx для любых x,y,z Є Н(Х) и для каждого s S. В полученной Sp-ne-рестановочной алгебре выделим подалгебру І7!, порожденную множеством X.
F\ является свободной абелевой Sp-тіерєстановочнои алгеброй с базой X. Пусть є - тривиализация полу группового кольца Z5, то есть отображение ZS —У Z, J2 zisi J2zi- Через єн обозначим продолжение є до модульного гомоморфизма из Н(Х) в Z, при котором ГІХІ (- є (г І). Теорема 3.2.4. Элемент т Є Н{Х) принадлежит F\ тогда и только тогда, когда є#(га) — 1 Конструкция свободной абелевой алгебры служит основой для построения всех свободных разрешимых 5р-перестановочных алгебр.
В четвертой главе изучаются свойства свободных абелевых расширений 5р-перестановочных алгебр.
Если S - единичный моноид, то мы получаем многообразие алгебр є одной тернарной мальцевской операцией, которое рассмотрено в [18]. Это обстоятельство позволяет изучать р-алгебры с позиций теории (p}S)-алгебр. Так, если F - свободная разрешимая 5р-перестановочная алгебра, и Fp - ее подалгебра, порожденная ее базой относительно операции р, то справедлива Второй параграф содержит полезный критерий принадлежности эле мента модуля U(A) свободному абелеву расширению алгебры А.
В третьем параграфе свободные абелевы расширения и свободные разрешимые 5р-перестановочные алгебры рассматриваются с точки зрения модулей над предаддитивными категориями (кольцами с несколькими объектами). В частности, показывается, что каждый класс по ядру гомоморфизма из АЕ(А) на А является свободной абелевой группой. Доказано, что на свободной абелевой алгебре с базой X полиномиально определима структура модуля над целочисленным полугрупповым кольцом Z5, изоморфного подмодулю
Свободная разрешимая алгебра
Всюду в этом параграфе предполагается, что 9Я - конгруэнц-модулярное многообразие, и А - произвольная алгебра из 9R.
Определение 1.2.1. Алгебра В Є 9Л называется абелевым расширением алгебры А, если существует эпиморфизм В — А с абелевым ядром (абелев эпиморфизм).
Зафиксируем в алгебре А порождающее множество X. Предположим, что абелево расширение В алгебры А порождается множеством Хв, равномощным X, причем биекция Хв — X продолжается до абеле-ва эпиморфизма В — А. Обозначим через К (А, X) класс всех абелевых расширений алгебры А, обладающих указанным свойством. Определение 1.2.2. Алгебра С Є К(А,Х) называется свободным абе-левым расширением алгебры А с порождающей совокупностью X, если для любой алгебры В Є К (А, X) существует эпиморфизм ср : С — В, при котором XQ взаимно однозначно отображается на Хв, причем абелев эпиморфизм ф : С —» А пропускается через /?. Предложение 1.2.3. Пусть алгебра А порождается своим подмножеством X, и F - свободная алгебра многообразия 9Л с базой X, причем А = F/co, где со є ConF. Тогда свободное абелево расширение С алгебры А, порожденное X, изоморфно F/[co,co\. Доказательство. По свойствам коммутаторов конгруэнции, [си, со] со, и дробная конгруэнция со/[со,со] на алгебре F/[u),to] абелева. Поэтому F/[co,co] - абелево расширение А. Пусть теперь В = F//3 - произвольное абелево расширение А, (З Є Con F. Обозначим через я/ естественный гомоморфизм F — F//3. Пусть также р - абелев гомоморфизм В — А. Тогда Кекр — со//3. При этом [Кег р, Кег ьр] = Од. Отсюда, по свойствам коммутатора конгруэнции, следует, что Свободные абелевы расширения в конгруэнц-модулярных многообразиях рассматриваются в работе В.А. Артамонова [1]. Введем следующие обозначения: Определение 1.2.4. Алгебра А называется разрешимой, если для некоторого натурального числа к имеет место 1\ = 0,4, где 0 - наименьшая конгруэнция на А. При этом число к называется степенью разрешимости. Из [25] известно, что класс 271 всех разрешимых 9Л-алгебр степени разрешимости не выше к является многообразием. В частности, при к = 1 получается многообразие всех абелевых алгебр АЬ(ЯЯ). При построении конструкции свободных абелевых расширений и свободных разрешимых алгебр в работах [1],[18] используется понятие модуля над кольцом с несколькими объектами, которое приводится ниже. Определение 1.2.5 ([10, стр.432]). Категория /С называется предад-дитивной, если для каждой пары объектов А, В Є Ob(/C) множество морфизмов Ногл(А, В) является абелевой группой, причем умножение морфизмов дистрибутивно относительно сложения, то есть, а(/3 + 7) = а/3 + cry и {(3 + т) $ = (3S + 7 Для любых морфизмов а Є Hom(A, В), (3,ч Є Hom(B,C), 5єНот(С, ). В работе [38] предаддитивные категории были названы кольцами с несколькими объектами. В частности, однообъектная предаддитивная категория есть ассоциативное кольцо с единицей. В той же работе дается следующее определение. Определение 1.2.6. Пусть /С - предаддитивная категория. Непересекающееся объединение абелевых групп М. — LUeObfK) М(А) называется модулем с несколькими объектами над /С, если для любой пары объектов А, В задана система билинейных отображений Нош(Л, В) х М{А) —у М(В), действие которых согласовано с композициями мор физмов в /С, причем їда = а для любого а Є М{А). Пусть а - абелева конгруэнция на А, и В = А/а. Для произвольного 6 Є В обозначим через а(6) прообраз элемента 6 при естественном гомоморфизме А— В. Для каждой пары 6і, 62 Є В через H{b\) 62) обозначим множество всевозможных гомоморфизмов (1.4) из тернарной группы а{Ь\) в тернарную группу 0:(62). Это множество всегда непусто, так как всегда существует гомоморфизм (6i, 61, 62) : 0(61) — 0:(62), где d - терм Геррманна. Напомним, что композиция рассматриваемых гомоморфизмов согласована с композицией соответствующих термальных операций. Таким образом, можно рассматривать предаддитивную малую категорию /С = К (В) с множеством объектов В, в которой Hom(6i, 62) есть подгруппа аддитивной абелевой группы Нот (a(6i), 0(62)), порожденная множеством //(61,62). Наконец, алгебра А удовлетворяет определению модуля над кольцом с несколькими объектами К,(В).
Построение свободного абелева расширения
Пусть теперь G некоторая ф-алгебра с порождающим множеством X. В соответствии с замечанием 2.1.8, мы можем определить структуру (р, 5( ))-алгебры как на самом множестве G, так и на ее свободном абелевом расширении А, порожденном X. По предложениию 2.1.5, (р, 5( 2))-алгебра G порождается множеством X, и, следовательно, для нее существует свободное абелево (р, -S(G))-pacnmpeHHe D, порожденное X. В силу того, что (р, 5((2))-алгебра А также является абелевым расширением G с порождающей совокупностью X, существует абелев эпиморфизм (р, 5(С))-алгебр : D — А, тождественный на X. Пусть а - ядро абелева гомоморфизма из А на G. Допустим, что алгебра F получена из D так, как описано выше. В терминах теоремы 2.1.16, получаем, что Р = -1(а) есть абелево ядро эпиморфизма из D на G. Теперь из теоремы 2.1.16 вытекает
Теперь мы можем применить конструкцию из предыдущего параграфа для построения свободной разрешимой алгебры многообразия ф. Зафиксируем некоторую базу X. Свободную разрешимую ф-алгебру степени к с множеством свободных порождающих X будем обозначать через Fk- Пусть а = 1р 1. Как и в предыдущем параграфе, построим для конгруэнции а множество Е и обозначим через Dk свободную разрешимую (р, 5{е})-алгебру степени к с базой X.
Начнем с описания конструкции свободной абелевой ф-алгебры F\. В этом случае Е = {е} для некоторого фиксированного элемента е из F\, и тогда Sn состоит из всевозможных элементов вида (е,..., е) для каждой операции t из Т. По предложению 2.1.6, алгебра F\ сигнатуры (р, S{e}) является абелевой. Определим теперь на D\ конгруэнцию со, порожденную парами (2.19)-(2.21). Тогда, как показано в предыдущем параграфе, на алгебру F[ = D\/UJ можно смотреть как на ф-алгебру, определив на ней операции (2.23).
Доказательство. Прежде всего, отметим, что F[ порождается множеством X. Далее, поскольку а — 1 , то (3 = -1(а;) = 1ох и из равенства (2.24) мы получаем, что F[ х F[ С р, откуда следует, что F{- абелева О,-алгебра. Теперь утверждение теоремы следует из теоремы 2.1.16. Лемма 2.2.2. Свободное абелево расширение В разрешимой -алгебры А степени к является разрешимой алгеброй степени к + 1. Ядром соответствующего абелева гомоморфизма является Ig. Доказательство. Пусть В - свободное абелево расширение А, порож денное X, и : В — А - соответствующий абелев гомоморфизм. Поль зуясь основными свойствами коммутаторов конгруэнции, нетрудно до казать индукцией по j, что -1( ) = - V Кег, в силу чего Следующая теорема дает описание конструкции свободной разрешимой ф-алгебры. Теорема 2.2.3. Пусть к 0. Алгебра Fk+i является свободным абе-левым расширением Fk в многообразии ф. Доказательство. Рассмотрим многообразие ф +і всех разрешимых ф алгебр степени разрешимости не выше к + 1. Тогда Fk = Fk+i/ y, где 7 Є ConFjt+i. В силу леммы 2.2.2, алгебра AE(Fk) является разреши мой степени к + 1, откуда следует, что она совпадает со свободным абе левым расширением алгебры Fk в многообразии ф/с+і- Следовательно, AE(Fk) = Fk+i/[j, 7] п0 предложению 1.2.3. Однако, алгебра Fk+\/IFk+i является разрешимой степени &, в силу чего она является гомоморфным образом Fk, откуда 1р 7- Используя определение коммутатора, по лучаем, что [7,7] [ Fk 1 - J = 0 +i чт0 и требовалось. П Таким образом, получив конструкцию свободной абелевой алгебры, мы можем, используя индукцию, построить конструкцию свободной разрешимой ф-алгебры любой степени.
Свободные абелевы расширения как модули над предаддитивными категориями
Теперь нашей ближайшей целью является построение свободной абелевой Sp-перестановочной-алгебры с базой X.
Предложение 3.2.1. На произвольной абелевой Sp-перестановочной алгебре А полиномиально определима структура левого модуля над полугрупповым кольцом ZS полугруппы S над кольцом целых чисел. Доказательство. Зафиксируем произвольный элемент е из А. По теореме 1.1.13, на А определима тернарная группа (А, +) с нулевым элементом е, причем, в силу теоремы 1.1.11, следствия 1.1.12 и равенства (1.4), имеем для произвольных a,b Є А, где s 5, и as - групповой эндоморфизм, заданный по правилу: as(x) = p(s(x),s(e),e). Эндоморфизмы as для всех s S порождают подкольцо с единицей Rg кольца эндоморфизмов тернарной группы А. Более того, о;51а52 = cxSlS2 для всех s\,S2 Є 5 в силу соотношения (1.4). Следовательно, Существует ГОМОМОрфиЗМ (/Э моноида S в мультипликативный моноид кольца Rs- Очевидно, что су ществует и гомоморфизм ф кольца целых чисел в Rs, причем ясно, что ір(з)ф(г) = ф(г)(р(з) для любых s Є S, z Є Z. Следовательно, суще ствует эпиморфизм кольца ZS на Rs, откуда следует, что А образует левый модуль над Z5. D Замечание 3.2.2. Целочисленное полу групповое кольцо моноида S можно получить следующим образом. Рассмотрим свободную абелеву группу G, с множеством свободных порождающих S. Тогда G - свободный Z-модуль с базой S, причем множество элементов вида zls, где z Є Z и Is - единица S, можно отождествить с Z. Пусть теперь s - произвольный элемент из S. Тогда умножение элементов из S на s слева задает отображение множества S в себя, которое продолжается до эн-домоморфизма G. Аддитивная группа, порожденная всеми такими эндоморфизмами, изоморфна группе G. Таким образом, определена кольцевая операция умножения элементов в G. Теперь заметим, что моноид S вложим в мультипликативную полугруппу кольца G. Кольцо Z также вложимо в G. Более того, гомоморфизм моноида S в мультипликативную полугруппу кольца Z5 индуцирует групповой гомоморфизм G на Z5, который оказывается и кольцевым. Следовательно, кольцо G изоморфно %S. Замечание 3.2.3. Из предыдущего замечания следует, что каждый элемент кольца Z5 единственным образом представим в виде суммы одночленов zs, где z Є Z, s Є S. Рассмотрим теперь свободный модуль Н(Х) над полугрупповым кольцом Z5 с базой X. Пусть p(x,y,z) = x — y + z для любых x,y,z Н(Х). Рассмотрим Н(Х) как 5р-перестановочную алгебру с тернарной маль-цевской операцией р и действием моноида S на элементы Н(Х), которое индуцировано умножением на элементы кольца Z5. Ясно, что операция р перестановочна с любой операцией из 5, и сложение в Н термально выражается через р. Более того, каждая унарная операция s Є S определяет эндоморфизм абелевой группы Н(Х), вследствие чего 5р-пере-становочная алгебра Н(Х) оказывается абелевой. Обозначим через F\ подалгебру, порожденную множеством X в Sp-перестановочной алгебре Н(Х). Напомним, что гомоморфизм є, при котором e(J2zisi) = Ylzii называется тривиализацией кольца ZS [10]. В силу однозначности разложения элементов Н(Х) по базе X, гомоморфизм є можно продолжить до гомоморфизма Єн из Н(Х) в Z, полагая, что ЄН(%2ЩХІ) = 2є(щ). (3.18) Теорема 3.2.4. Элемент т Є Н(Х) принадлежит F\ тогда и только тогда, когда я(т) = 1 Доказательство. Необходимость проверяется так же, как в лемме 3.1.5. Пусть теперь т = 2 dijSiXj Є Н, причем а = 1. Легко показать, что Yl \ctij\ = 2п — 1 для некоторого натурального п. Покажем теперь индукцией по п, что т Є F\. 1) При п = 1 мы получаем т = sx для некоторых s Є S, х Є X, откуда т Є F1. 2) Предположим, что для некоторого натурального по, любой элемент т Н, для которого а = 1 и а = 2по — 1, принадлежит Fi. 3) Пусть теперь т = a s Є //, Ylaij = 1 и X! laul = 2(no + 1)-1. Среди u{j найдутся хотя бы один отрицательный коэффициент aw (иначе Yl/aii — Y \aij\ 1) и хотя бы один положительный auv (в противном случае, Ylaij 0)- Тогда в разложение т входят слагаемые a SpXr и auvsuxv. Пусть h = т + spxr — suxv, откуда h = CLijSjXi + (Opr + l)spxr + (aat - l)suxVl где і ф -p,s\ j ф r,t.