Содержание к диссертации
Введение
1 Основные категории 12
1.1 Двукрашенные рисунки 12
1.1.1 Категория детских рисунков 13
1.1.2 Категория неособых обобщенных детских рисунков . 18
1.1.3 Категория обобщенных детских рисунков 21
1.1.4 Морфизмы на сферу Белого 28
1.2 Категории конечных Z * Z - множеств 33
1.3 Функтор CAKTOQ 34
1.4 Функтор VKAW 37
1.5 Категории пар Белого 41
1.6 Функтор ВЄСУ1 44
1.7 Функтор ОПОТП 48
1.8 Функтор MAfV 50
1.9 Эквивалентность категорий 53
2 Детские рисунки с циклическими группами симметрии и кривые Вей ля 55
2.1 Правильные одноклеточные рисунки 55
2.1.1 Склейки 2п-угольника 55
2.1.2 Перечисление правильных одноклеточных рисунков 57
2.2 Правильные рисунки с циклической группой симметрии 59
2.2.1 Кривые Вейля 59
2.2.2 Функции Белого на кривых Вейля 59
2.3 Рисунки на кривых Вейля 60
2.3.1 Описание детского рисунка D(n,p,q) 60
2.3.2 Реализация детского рисунка D% некоторой парой Белого 61
2.4 Реализация правильных детских рисунков с группой автоморфизмов Ъ/пЪ на кривых Вей ля 61
2.5 Бирациональные изоморфизмы кривых Вей ля 64
2.6 Изоморфизмы кривых Вейля рода один 64
3 Конструкции штребелевых дифференциалов 68
3.1 Определения 68
3.2 Действительное семейство мероморфных штребелевых парна эллиптических кривых 71
3.3 Пример штребелева дифференциала на кривой Вейля рода Я = 3 75
3.3.1 Кривые и отображения 75
3.3.2 Голоморфный штребелев дифференциал на кривой рода д — 3 77
- Категории конечных Z * Z - множеств
- Функтор MAfV
- Реализация правильных детских рисунков с группой автоморфизмов Ъ/пЪ на кривых Вей ля
- Пример штребелева дифференциала на кривой Вейля рода Я = 3
Введение к работе
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации. На данный момент положение в современной математике таково, что актуальные задачи и традиционные подходы к ним очень сложны. И от молодого человека, решившего посвятить свою жизнь науке, требуется несколько лет упорного изучения уже накопленных знаний перед тем, как он сможет приступить к самостоятельным исследованиям. Один из величайших математиков XX-то века, Александр Гротендик видел один из выходов из создавшейся ситуации в том, что самые простые и понятные даже студенту объекты (такие, как двумерные поверхности или различные комбинаторные структуры) вполне достойны изучения. Они, по мнению Гротендика, быстро вводят нас в самые сложные и современные дисциплины (науки) такие как алгебраическая геометрия, теория чисел и т.д. Хотя сами идеи Гротендика никак нельзя назвать простыми. В своей программе [38, 39] он описывает несколько путей, ведущих от простого к сложному. Например, построение пространств Техмюллера Тдл больших родов из элементарных кубиков 7о,з>7о,4?7ї,і,7і,2- Гротендик сравнивает это с тем, как дети складывают сложные дома из кирпичиков Лего. Он называет это игрой Лего-Тейхмюллер.
Детские рисунки - это конструкция, сочетающая в себе и двумерные поверхности и комбинаторику. Детский рисунок - это двумерная поверхность и граф, вложенный в нее, так что дополнение к нему - это несвязное объединение открытых дисков. Гротендик назвал графы рассматриваемого вида детскими рисунками (dessins d'enfant) за то, что они
похожи на то, что ребенок рисует, не отрывая карандаша. В дальнейшем это название стало общепринятым. Эта, казалось бы, простая конструкция находится теперь на стыке различных разделов теоретической физики и математики. Детские рисунки связывают между собой алгебраическую геометрию, теорию чисел, теорию римановых поверхностей, теорию струн и т.д. В матричных моделях корреляторы вычисляются в терминах количеств специальных детских рисунков [30, 36]. Существует несколько параметризаций пространств модулей алгебраических кривых М.дп использующих детские рисунки [33, 20, 50].
Возникает множество естественных задач, связанных с детскими рисунками. Многие из них оказываются достаточно трудными.
Пара: алгебраическая кривая и функция на ней с тремя критическими значениями, называется парой Белого. Прообраз отрезка, соединяющего два критических значения - это детский рисунок. Для каждого детского рисунка есть реализующая его пара Белого. Г. В. Белый в своей работе [9] показал, что на любой кривой над полем алгебраических чисел есть функция с тремя критическими значениями. Задача построения пар Белого для некоторых частных случаев решена [3, 27, 31, 46, 52, 53]. Но проблема определения свойств кривой по комбинаторным свойствам рисунка на данный момент далека от решения. Начиная со второй половины восьмидесятых годов, раздел алгебры, посвященный изучению кривых над числовыми полями, рациональных функций с необщим числом критических значений и детских рисунков Гротендика, активно развивается. Современный уровень развития теории нашел отражение в печатных работах в центральных математических журналах, в ряде обзоров, в специальных сборниках [56, 57], в работе международных конференций.
Одна из основных идей программы Гротендика — это кодировка комплексной структуры комбинаторным образом. Конструкции, связанные со штребелевыми дифференциалами, также реализуют эту идею. Штре-белеву дифференциалу на кривой соответствует склеивание поверхности из прямых цилиндров. Существует параметризация Концевича пространства модулей Л4дп, использующая как детские рисунки, так и штре-белевы дифференциалы. В работах [32, 48] рассматриваются общие подходы к теории штребелевых дифференциалов. Примеры мероморфных штребелевых дифференциалов дает, например, конструкция Концевича.
Таким образом, тема работы представляется актуальной и активно разрабатываемой современными математиками.
Цель работы состоит в развитии основных идей программы Гро-тендика. А именно: обобщение понятий детский рисунок и пара Белого на случай приводимых и особых кривых, построение пар Белого для правильных детских рисунков с циклической группой симметрии, и применение техники детских рисунков к построению штребелевой пары на кривой рода 3 с большой группой симметрии.
Основные методы исследования. В работе используются методы и результаты теории детских рисунков, теории графов, перечислительной комбинаторики, теории групп , теории Галуа, римановых поверхностей, теории комплексных алгебраических кривых, теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:
Распространение понятий детского рисунка и пары Белого на приводимые и особые кривые
Описание функторов, связывающих категории обобщенных детских рисунков, пар Белого на кривых (возможно, приводимых и особых) и конечных Z * Z множеств.
Перечисление одноклеточных правильных детских рисунков и их реализация на кривых Вейля.
Доказательство того, что все правильные рисунки с циклическими группами симметрии (не только одноклеточные) также реализуются на кривых Вейля.
Построение явного примера голоморфного штребелева дифференциала на кривой рода д = 3
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в некоторых задачах теории детских рисунков Гротендика, теории
алгебраических кривых, топологической классификации многочленов и рациональных функций, теории Галуа, теории математических биллиардов, теории штребелевых дифференциалов, теории струн, квантовых компьютеров, матричных моделей.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 5 работах.
N.Amburg Regular unicellular dessins d'enfants and Weil curves. Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag, 2000, p. 393-401.
Амбург Н.Я. Реализация правильных одноклеточных эскизов с циклической группой автоморфизмов. Математические методы и приложения. МГСУ. Москва. 1999. Т. VI. С. 128-133.
Н. Я. Амбург Правильные эскизы Гротендика с циклическими симе-триями. // Международный алгебраический семинар,посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ. Тезисы докладов, Москва. - 1999.-с.7-8.
Н. Я. Амбург. Пример регулярного штребелева дифференциала // Успехи матем. наук, 2002, V.57. No.5. с. 145
Н. Я. Амбург, Е. М. Крейнес, Г. Б. Шабат Паразитические решения систем уравнений, определяющих функции Белого плоских деревьев. Вестник МГУ сер.1, Математика. Механика. 2004. N1 с. 20 - 25
В работе [7] написаной в соавторстве с Е. М. Крейнес и Г .Б. Шабатом определения 2,3,6,17, примеры 5,8,15,16 и теорема 19 принадлежат автору диссертации.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на 55-ой международной конференции по общей алгебре и дискретной математике в Потсдаме (Германия) в 1999 г.; международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры Высшей Алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова в Москве в 1999 г.; 12-ой международной конференции по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике в Москве в 2000 г.; международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию семинара О.Ю. Шмидта в Москве в 2000 г.; международной конференции по теории Галуа в Потсдаме (Германия) в 2001 г.; 65-ой международной конференции по общей алгебре и дискретной математике в Потсдаме (Германия) в 2003 г.; на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ,
на семинаре "Кольца и модули", на семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями", на еженедельном семинаре лаборатории теоретической и математической физики ГНЦ РФ ИТЭФ, на семинаре факультета математики университета в Анжере (Франция).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 86 страниц, библиография включает 64 наименования.
Краткое содержание работы.
Категории конечных Z * Z - множеств
Обозначения 1.2.1. Дальше Z — свободная циклическая группа, — знак свободного произведения, Z Z — свободная группа с образующими р0 ир„ Z/nZ — циклическая группа из п элементов. Определение 1.2.2. Категория конечных Z Z - множеств - это категория представлений группы Z Z перестановками конечных множеств. Объекты категории конечных Z Z - множеств - конечные множества с действием на них группы Z Z. Морфизмами в этой категории являются сюръективные отображения конечных множеств, перестановочные с действием группы. Определение 1.2.3. Категория однородных конечных Z Z - множеств - это полная подкатегория категории конечных Z Z - множеств, объектами которой являются транзитивные представления группы Z Z перестановками конечных множеств. Определение 1.3.1. Для обобщенного детского рисунка D = (X, Г) определим действие Z Z на множестве E(D) его ребер. Для определения действия группы Z Z достаточно определить действие ее образующих р0 и р.. Пусть є Є E(D) соединяет черную вершину А Є V.(D) и белую вершину В Є V0(D). Определим р.(е) как ребро, следующее после е при обходе по поверхности против часовой стрелки вокруг черной вершины А, а р0(е) как ребро следующее за е при обходе по поверхности против часовой стрелки вокруг белой вершины В. Пример 1.3.2. На рисунке 1.12 изображен сферический детский рисунок и пример действия образующих Z Z на ребро е. Утверждение 1.3.3. Действие, описанное в определении 1.3.1, превращает множество ребер E(D) обобщенного детского рисунка D в конечное Z Z - множество. Утверждение 1.3.4. Пусть D\,D2 — обобщенные детские рисунки, а / : D\ —У D2 — допустимое отображение обобщенных детских рисунков. ТогдаУе Є E(DX) справедливо j"(є) Є E{D2) иМе Є E(D2) Эе Є E(D{) такое, что /(e) = е . Иначе говоря, допустимое отображение определяет сюръективное отображение на ребрах. Доказательство. Для Ve Є E(D\) множество /(e) — это кривая, полностью лежащая во вложенном графе второго рисунка, причем начало этой кривой /(о) = о — это белая вершина, а конец /() = — черная, и никакая внутренняя точка не является вершиной. Следовательно /(e) — это ребро обобщенного детского рисунка Дг- Ve Є E{D2) Зе Є E(D{) с /(e) = е следует из того, что утверждение /_1(е ) . E(D\) противоречит тому, что / — допустимое отображение. Утверждение 1.3.5. Пусть D\ = (Xi, 1 ),1 = {Х21Т2) — обобщенные детские рисунки, а /і, /2 : D\ — Д —эквивалентные допустимые отображения обобщенных детских рисунков. Тогда Ve Є E(D{) верно Me) = Me). Доказательство. По определению 3F:Xix[0,l]—Х2 — непрерывное отображение, осуществляющее гомотопию. И Vt Є [0,1] имеем Ft(e) Є E(D2). Следовательно, V Є [0,1] верно /і(є) = Ft(e) = /2(e). Утверждение 1.3.6. Пусть D\,D2 — обобщенные детские рисунки, а / : D\ — D2 — допустимое отображение обобщенных детских рисунков.
Тогда /(ро(е)) = ро(/(е)),/(р.(е)) = p.(/(e)). Иначе говоря, / уважает действие Ъ Ъ на ребрах. Доказательство. Части ребер е и р0(е), выходящие из их общей белой вершины, принадлежат некоторому проколотому диску U и части ребер /(e) = /(р0(е)) , выходящие из их общей белой вершины, принадлежат некоторому проколотому диску V. В подходящих координатах отображение / между этими проколотыми дисками устроено как zk. Рассмотрим сегмент и диска U, ограниченный ребрами е и р0(е). Если е = р0(е), то это целый диск U. По определению р0(е) нет ребер, лежащих внутри t/. Тогда сегмент и отображается на сегмент у диска V, ограниченный ребрами /(e) и /(р0(е)). Если /(e) = /(р0(е)), то это целый диск V. В точки ребра /(e) или ребра /(р0(е)) не может перейти внутренняя точка ц, т.к. это противоречит тому, что / 1( (Д)) = E{D\). Если /(р0(е)) ф р0(/(е)), то в сегменте у лежит часть ребра Ро(/(е)) и для некоторой внутренней точки х Є и f(%) Є А (/(е)), а это противоречит f \E(D2)) = E(Dt). Следовательно, /(р0(е)) = А (/(е)). Утверждение /(р.(е)) = /9#(/(е)) получается аналогично. Определение 1.3.7. Пусть D\,Di — обобщенные детские рисунки, — морфизм обобщенных детских рисунков, V/ Є f — допустимое отобра жение обобщенных детских рисунков. Определим CATZTOQ() : E{D\) —у E{D2) морфизм конечных Z Z - множеств. Ve є E{Dx),CA1lTOQ S){e) = /(e). Утверждение 1.3.8. Определение 1.3Л корректно. Доказательство. Это следует из утверждений 1.3.4,1.3.5,1.3.6. Определение 1.3.9. Определим функтор CA1ZTOQ из категории обобщенных детских рисунков в категорию конечных Z Z - множеств. Для объектов CARTOQ(D) = E{D) (см. утверждение 1.3.3). Для морфизмов CAlZTOQ{f) задан в определении 1.3.7. Утверждение 1.3.10. Пусть D —детский рисунок. TozdaCAIZTOQ(D) — однородное конечное Z Z - множество. Доказательство. Пусть є, є Є E(D). Для детского рисунка D = (X, Г) граф Г связен и X — гладкая связная поверхность. Значит, существует путь е = ei, ег, ез,... ,еп = е , где ej Є E(D), соединяющий эти ребра. У соседних ребер ej и eJ+i есть общая вершина Aj и они лежат на одной поверхности X. Если Aj Є V»(D) то 3k.j такое, что ej+\ = p.k j(ej). Тогда положим aj = p.k j Є Z Z. А если Aj Є V0(D), тогда 3k0j такое, что ej+\ = p0koj(ej). Тогда положим aj = p0koj Є Z Z. Мы получили, что е = еп = ап-\ап-2 - -а\(е). Таким образом, действие Z Z на E(D) транзитивно.
Функтор MAfV
Утверждение 1.8.1. Пусть X — алгебраическая кривая и /3 — функция Белого на ней. Тогда -прообраз интервала (О,1) — это объединение одномерных действительных непересекающихся и несамопересекаю-щихся кривых. Доказательство. По определению функции Белого /?_1(0,1) не содержит особенностей. Также /?-1(0,1) не может содержать пересечений одномер ных действительных кривых, т.к. такие точки оказались бы критически ми, а значение функции Белого в критической точки может быть только Определение 1.8.2. Пусть (Х,/3) — пара Белого. Определим конечное множество как множество одномерных действительных кривых /?-1(0,1). Определим действие Ъ Ъ на множестве A4AfV((X,(3)). Пусть кривая Рассмотрим кривую ;: [0,27г] — X такую, что Рассмотрим кривую : [—7г,7г] — X такую, что Тогда р.(7) Є MNV((X,fi)) такая, что (7г) Є р.(7)- Мы определили конечное Z Z - множество Утверждение 1.8.3. Пусть (X\,fa) w ( /) — пары Белого, а — морфизм пар Белого. Тогда если кривая А также такая, что /(7) = 72- Другими словами, морфизм f определяет сюръ-ективное отображение Доказательство. Т.к. fa = fa о /, мы получаем, что Тогда из непрерывности отображений /?i, fa, 7,7ъ 72 / следует, Утверждение 1.8.4. Пусть (X\,fa) и (X2,fa) — пары Белого, AiAfT ((Xi,fa)) и MNT ((X2, fa)) — соответствующие конечные Z Ъ - множества, a f: Х\ — Х2 — морфизм пар Белого. Если действие группы Z Z. Доказательство. Рассмотрим кривую Q: [0,27Г] — Х\ такую, что Тогда сі(2тг) Є р0(щ). Отсюда /( Гі(2тг)) Є /(А, (т))- Также рассмотрим кривую ;2 = / о : [0,27г] — Х2. Для этой кривой справедливо Тогда для кривой Й выполнены условия из определения 1.8.2 на стр. 50 и й(2тг) Є ро(/(7)). С другой стороны, С2(27г) = /осі(27г) Є /(ро(т))- Следовательно кривые /(Ро(т)) = po{f{i)) совпадают. Равенство /(р,(7)) = Р« (/(7)) доказывается аналогично. П Определение 1.8.5. Пусть (Ai,/?i) и ( 2,/) — пары Белого, — соответствующие конечные Z Z - множества, а /: Х\ —У Х2 — морфизм пар Белого.
Определим морфизм конечных Z Z - множеств следующим образом: MAfV(f)(ry) := /(7)- Утверждение 1.8.6. Определение 1.8.5 корректно. Доказательство. Следует непосредственно из утверждений 1.8.3 и 1.8.4. Определение 1.8.7. Определим функтор MMV из категории пар Белого на кривых с особенностями типа пересечения в категорию конечных Z Z - множеств следующим образом: MAfV(X, /3) для объектов и M.NV{f) для морфизмов. Утверждение 1.8.8. Если (3 — функция Белого наХ, то Pi = 4/3(1—/3) — также функция Белого на кривой X. Рисунок, реализуемый парой (X,/3i), получается из рисунка, реализуемого парой (Х,(3), если все чер ные вершины перекрасить в белый цвет и на каждом ребре поставить по одной черной вершине. Доказательство. Уравнение на критические точки функции /Зі имеет вид d(3i = 4(1 — 2/3)с?/3 = 0. Из этого следует, что критические точки Pi или совпадают с критическими точками /3, и тогда она принимает значения 0 или со, или это точки, в которых Р = , и, соответственно /01 = 1. Следовательно, Pi — функция Белого на кривой X. Рисунок, соответствующий Pi, получается как /3f х[0,1] = /3-1[0,1]. Белые вершины — это /5 "1(0) = /3_1(0) U Р 1{1). Это все вершины исходного рисунка. Черные вершины — это Рї х(1) = /3-1( ) — это середины ребер исходного рисунка. Утверждение 1.8.9. Если Р — функция Белого на X то (2/3 — I)2 — также функция Белого на кривой X. Рисунок, реализуемый парой (X, (2/3 — I)2), получается из рисунка, реализуемого парой (Х,Р), если перекрасить все белые вершины в черный цвет и на каждом ребре по ставить по одной белой вершине. Доказательство. Критические точки /Зг — это точки в которых Или dp — О и это критическая точка /3,а у /Зг значение 1 или со. Или это точки, в которых р2 = 0. Рисунок, соответствующий /Зг, получается как /3 (0,1] = /З- О, 1]. Черные вершины — это /3 (1) = /3 (0) U/3_1(l). Белые вершины — это /3"1(0) = /3_1( ), что соответствует серединам ребер исходного рисунка. 1.9 Эквивалентность категорий Теорема 1.9.1. Категории детских рисунков, пар Белого на неособых неприводимых кривых, и однородных Z Z - множеств эквивалентны.
Реализация правильных детских рисунков с группой автоморфизмов Ъ/пЪ на кривых Вей ля
Доказательство. Детский рисунок D определяется перестановками ре бер (лемма 2.1.13 на стр. 58): s(p0) : q - q+(n_fc_i), s(p.) : q i- q+fc. Детский рисунок, D(n,p,q), определяется перестановками ребер (лем ма 2.3.2 на стр. 60): s (p0) : cj i- cj+p, s (p.) : cj ь- dl+q. По теоре ме 1.9.1 на стр. 53 этими перестановками рисунки полностью опреде ляются. Возьмем р= п — к — 1, q = к. Легко проверить, что с переходит в q.Следовательно рисунки D(n,p,q) и D изоморфны. 2.4 Реализация правильных детских рисунков с группой автоморфизмов Z/nZ на кривых Вейля Определение 2.4.1. Пусть D — правильный детский рисунок. Тройку чисел (к, Z, т), где к = ord(s(pQ)), / = ord(s(p.)), т = ord(s(p0p.)), назовем типом детского рисунка D. Предложение 2.4.2. Группа Aut(D(n,p,q)) изоморфна группе Z/nZ. Доказательство. Отображение (х,у) м- (акх,у) является автоморфизмом детского рисунка D(n,p, q) (а — примитивный корень степени п из 1, 0 к п—1). Такой автоморфизм переводит ребро Сд в ребро dk. Следовательно, группа автоморфизмов такого детского рисунка транзитивна, то есть детский рисунок D(n,p, q) — правильный. Обозначим через ER(D) группу перестановок ребер детского рисунка D, порожденную переста новками s (po), s (p.). Группа Aut(D(n,p,q)) изоморфна ER(D(n,p,q)), см. [2]. Кривая Х(п,р, q) неприводима. Следовательно, НОД(п,р, q) = 1. Из вида перестановок s (p0), s (p.) (см. лемму 2.3.2 на стр. 60) следует, что группа ER(D(n,p,q)) порождается перестановкой d{ ь- с +1, то есть Предложение 2.4.3. Детский рисунок D(n,p,q) имеет тип Доказательство. По лемме 2.3.2 на стр. 60 s (p0) : cj н- cj-+p. Порядок этой перестановки равен порядку элемента р в группе Z/nZ, то есть = НОД(р,п)-Аналогично = HOJC(g,n)- Кроме того (№) : 4 4+(Р+ЯУ Следовательно, т = ord(s (p0p«)) = txr\n, : П Лемма 2.4.4. Парами Белого (X{n,po,qo),x), (X(n,p,q),x) реализуются изоморфные детские рисунки тогда и только тогда, когда З/ Є Z такое, что р = fpo (mod n),g = /go (mod n) и НОД(/,n) = 1. Доказательство. Рисунки изоморфны тогда и только тогда когда изоморфны соответствующие конечные Z Z- множества. Пусть перестановки SQ(A )» SO{P») соответствуют рисунку D(n,po, 7о) а перестановки s (p0), s (p») — изоморфному рисунку D(n,p,q).
Тогда имеют место равенства s (p0) — 7 І5О(А )7 S (P») — 7 lso(P«)7 гДе 7 — некоторая перестановка, соответствующая перенумерации ребер. Заметим, что в подгруппе, порожденной перестановками s0(po) и so(/»)» есть перестановка s\\ cj н- с+1, которая при сопряжении переходит в перестановку 7 lsi7- Эта перестановка имеет вид: 7_1s i7: ц) (i+iy ДРУГ0И сто роны, она должна иметь вид 7_ls i7: +/ где / — фиксирован ное число. Отсюда / имеет порядок п, 7(0 = 7(0) + / Следователь но, s (po) : с$ и- с .+ро/, s (P-) : н- cj+ft/. Получили, что р = fp0 (mod n), g = /go (mod n) и НОД(/, n) = 1. П Теорема 2.4.5. Парами Белого ( Х(п,р, q), /3) реализуются все правильные детские рисунки с группой автоморфизмов Z/nZ. Доказательство. Обозначим 7(fc,/,m) (Z/nZ) — количество пар (р, q), где таких, что р и q порождают все группу Z/nZ, и порядки элементов ord(p) = l,oid(q) = m, ord(p + q) = т. Тогда (см.[2]) количество неизоморфных правильных детских рисунков с циклической группой симетрий порядка п имеющих тип (k, /,т), равно \Aut(Z/nZ)\ Покажем, что для фиксированного п количество неизоморфных детских рисунков D(n,p,g), имеющих тип (к,1,т) — это также \Aut(Z/nZ)\ Детский рисунок D(n,p, q) имеет тип (к, I, т), если порядки элементов р, q,p + qB группе Z/nZ равны к, I, т соответственно. Поэтому количество рисунков D(n,p,q) имеющих тип типа (к, 1,т), равно количеству пар чисел р, q 0 p,q п, таких, что НОД(р, q, п) = 1 (иначе получим обобщенный рисунок на несвязной поверхности), и порядки элементов р, Qi Р + Я равны к, I, т, тоесть 77( / )(Z/nZ). Найдем, сколько рисунков D(n,p,q) изоморфны рисунку D(n,po,qo). Рисунки D(n,po,qo) и D(n,p,q) изоморфны тогда и только тогда, когда р = /po (mod n),g = fqo (mod n) и НОД(/, n) = 1. Поэтому количество пар Белого, задающих изоморфные рисунки, равно количеству элементов порядка п в группе Z/nZ, то есть равно функции Эйлера (р(п) или, что то же самое, \Aut(Z/nZ)\. Итак, количество неизоморфных детских рисунков типа (к,1,т), доставляемых парами Белого (Х(п,р, q),/3), равно Все они правильные и имеют группу симетрий Z/nZ. 2.5 Бирациональные изоморфизмы кривых Вейля Утверждение 2.5.1. Кривые Вейля X(n,p,q), #(n,g,p) и Х(п,п — р — q, q) бирационалъно изоморфны. Доказательство. Укажем явно бирациональные изоморфизмы. 2.6 Изоморфизмы кривых Вейля рода один Предложение 2.6.1.
Кривые Вейля /3 = хг(х — I)1 и у4 = х2(х — I)1 неизоморфны. Доказательство. Из предложения 2.2.4 на стр.60 следует, что род кривых #(3,1,1) и #(4,2,1) равен 1. Группа автоморфизмов с фиксированной неподвижной точкой любого тора изоморфна одной из трех груп Z2, Z4 или Z6 (см. [58]). У кривой #(3,1,1) есть автоморфизм порядка три Пусть 0\ Є #(3,1,1) точка с координатами х{0\) = 0,y(Oi) = 0. Тогда v{0\) = 0\.Y автоморфизма v есть неподвижная точка 0\. Из трех возможных групп только у группы Ъ есть элемент порядка три. Следовательно, группа автоморфизмов кривой #(3,1,1) с фиксированной неподвижной точкой 0\ — это Ъ&. У кривой #(4,2,1) есть автоморфизм порядка четыре Пусть Ог Є #(4,2,1) точка с координатами ж(Ог) = 0,2/(( = 0. Тогда Ог является неподвижной точкой т.к. ц(02) = 02- Следовательно, группа автоморфизмов кривой А (4,2,1) с фиксированной неподвижной точкой С 2 есть Z4. У изоморфных кривых группы автоморфизмов с неподвижной точкой совпадают. Поэтому эти кривые не могут быть изоморфны. Предложение 2.6.2. Кривые #(3,1,1) и #(6,2,3) бирационалъно изоморфны. Доказательство. По теореме 2.3.4 на стр. 61 пара Белого (#(3,1,1), ж) с первой кривой реализует детский рисунок D\ (СМ. рисунок 2.4 на стр. 66), а пара Белого (#(6,2,3), х) со второй кривой реализует детский рисунок D\ (см. рисунок 2.5 на стр. 66). Рассмотрим на первой кривой функцию / = 4а:(1 — х). Она тоже будет функцией Белого. Рисунок, соответству ющий /?i, получается из рисунка D\ перекрашиванием черных вершин в белый цвет и выставлением на каждое ребро в получившемся графе по черной вершине (смотри факт 1.8.8 на стр.53). Проделав эти операции со склейкой шестиугольника, из которой получается Df, мы получаем склейку двенадцатиугольника, совпадающую с D\. Следовательно, пары Белого (#(3,1,1),/) и (#(6, 2,3),гс) реализуют один и тот же рисунок, и по теореме 1.9.1 на стр. 53 кривые бирационально изоморфны. Предложение 2.6.3. Любая кривая Вейля рода один изоморфна либо кривой #(3,1,1) либо кривой #(4, 2,1). Доказательство. Из предложения 2.2.4 на стр.60 следует, что если род кривой Вейля уп = хр(х—l)q равен 1, то выполняется равенство п = НОД(п,р) НОД(п, q) + НОД(п, п— (p+q)). Рассмотрим два случая: НОД(п,р) = J и НОД(п,р) = . Остальные случаи сводятся к этим при помощи утверждения 2.5.1 на стр.64. (1) Если НОД(п,р) = 2,тор=и = НОД(п,д)+НОД(п,п-р-д). Кривая #(n,p, q) неприводима, поэтому НОД(п, р, q) = 1. Из этого следует, что либо НОД(п, q) = 1, либо НОД(п, q) = 2, т.к. остальные делители п делят р. В случае НОД(п, q) = 2 получаем, что НОД(n, n—p—q) = 1
Пример штребелева дифференциала на кривой Вейля рода Я = 3
На данный момент положение в современной математике таково, что актуальные задачи и традиционные подходы к ним очень сложны. И от молодого человека, решившего посвятить свою жизнь науке, требуется несколько лет упорного изучения уже накопленных знаний перед тем, как он сможет приступить к самостоятельным исследованиям. Один из величайших математиков XX-то века, Александр Гротендик видел один из выходов из создавшейся ситуации в том, что самые простые и понятные даже студенту объекты (такие, как двумерные поверхности или различные комбинаторные структуры) вполне достойны изучения. Они, по мнению Гротендика, быстро вводят нас в самые сложные и современные дисциплины (науки) такие как алгебраическая геометрия, теория чисел и т.д. Хотя сами идеи Гротендика никак нельзя назвать простыми. В своей программе [38, 39] он описывает несколько путей, ведущих от простого к сложному. Например, построение пространств Техмюллера Тдл больших родов из элементарных кубиков 7о,з 7о,4?7ї,і,7і,2- Гротендик сравнивает это с тем, как дети складывают сложные дома из кирпичиков Лего. Он называет это игрой Лего-Тейхмюллер. Детские рисунки - это конструкция, сочетающая в себе и двумерные поверхности и комбинаторику. Детский рисунок - это двумерная поверхность и граф, вложенный в нее, так что дополнение к нему - это несвязное объединение открытых дисков. Гротендик назвал графы рассматриваемого вида детскими рисунками (dessins d enfant) за то, что они похожи на то, что ребенок рисует, не отрывая карандаша. В дальнейшем это название стало общепринятым. Эта, казалось бы, простая конструкция находится теперь на стыке различных разделов теоретической физики и математики. Детские рисунки связывают между собой алгебраическую геометрию, теорию чисел, теорию римановых поверхностей, теорию струн и т.д. В матричных моделях корреляторы вычисляются в терминах количеств специальных детских рисунков [30, 36]. Существует несколько параметризаций пространств модулей алгебраических кривых М.дп использующих детские рисунки [33, 20, 50]. Возникает множество естественных задач, связанных с детскими рисунками. Многие из них оказываются достаточно трудными. Пара: алгебраическая кривая и функция на ней с тремя критическими значениями, называется парой Белого. Прообраз отрезка, соединяющего два критических значения - это детский рисунок. Для каждого детского рисунка есть реализующая его пара Белого. Г. В. Белый в своей работе [9] показал, что на любой кривой над полем алгебраических чисел есть функция с тремя критическими значениями. Задача построения пар Белого для некоторых частных случаев решена [3, 27, 31, 46, 52, 53].
Но проблема определения свойств кривой по комбинаторным свойствам рисунка на данный момент далека от решения. Начиная со второй половины восьмидесятых годов, раздел алгебры, посвященный изучению кривых над числовыми полями, рациональных функций с необщим числом критических значений и детских рисунков Гротендика, активно развивается. Современный уровень развития теории нашел отражение в печатных работах в центральных математических журналах, в ряде обзоров, в специальных сборниках [56, 57], в работе международных конференций. Одна из основных идей программы Гротендика — это кодировка комплексной структуры комбинаторным образом. Конструкции, связанные со штребелевыми дифференциалами, также реализуют эту идею. Штре-белеву дифференциалу на кривой соответствует склеивание поверхности из прямых цилиндров. Существует параметризация Концевича пространства модулей Л4дп, использующая как детские рисунки, так и штре-белевы дифференциалы. В работах [32, 48] рассматриваются общие подходы к теории штребелевых дифференциалов. Примеры мероморфных штребелевых дифференциалов дает, например, конструкция Концевича. Таким образом, тема работы представляется актуальной и активно разрабатываемой современными математиками. Цель работы состоит в развитии основных идей программы Гро-тендика. А именно: обобщение понятий детский рисунок и пара Белого на случай приводимых и особых кривых, построение пар Белого для правильных детских рисунков с циклической группой симметрии, и применение техники детских рисунков к построению штребелевой пары на кривой рода 3 с большой группой симметрии. Основные методы исследования. В работе используются методы и результаты теории детских рисунков, теории графов, перечислительной комбинаторики, теории групп , теории Галуа, римановых поверхностей, теории комплексных алгебраических кривых, теории дифференциальных уравнений. Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них: Распространение понятий детского рисунка и пары Белого на приводимые и особые кривые Описание функторов, связывающих категории обобщенных детских рисунков, пар Белого на кривых (возможно, приводимых и особых) и конечных Z Z множеств. Перечисление одноклеточных правильных детских рисунков и их реализация на кривых Вейля. Доказательство того, что все правильные рисунки с циклическими группами симметрии (не только одноклеточные) также реализуются на кривых Вейля. Построение явного примера голоморфного штребелева дифференциала на кривой рода д = 3 Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в некоторых задачах теории детских рисунков Гротендика, теории алгебраических кривых, топологической классификации многочленов и рациональных функций, теории Галуа, теории математических биллиардов, теории штребелевых дифференциалов, теории струн, квантовых компьютеров, матричных моделей.
