Введение к работе
Актуальность темы.
Данная работа посвящена исследованию карт на римановых поверхностях и якобианов конечных графов.
Картой (S, G) называется замкнутая риманова поверхность S вместе с вложенным в нее графом G, таким, что S \ G представляет собой дизъюнктное объединение связных компонент, называемых гранями, каждая из которых гомеоморфна открытому диску. Вершины графа представляют собой различные точки на римановой поверхности, ребра — несамопере-секающиеся кривые на римановой поверхности, не имеющие общих точек, отличных от вершин. Заметим, что мы рассматриваем только связные графы, так как для несвязного графа появляется «грань», не гомеоморфная диску.
Для карты, имеющей V вершин, Е ребер и F граней, на римановой поверхности рода д выполнена формула Эйлера-Пуанкаре [16]:
V -E + F = 2-2д.
Карты на римановой поверхности рода 0 будем называть плоскими.
Две карты (S,G) и (Si,G\) называются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм h : S —> Si такой, что h(G) = G\. Указанный гомеоморфизм будем называть изоморфизмом карт.
Систематическое исследование карт было начато в работах Татта в 1960-е годы, в них заложены основы теории карт с точки зрения топологии и комбинаторики. Поставленная им проблема о подсчете числа неэквивалентных карт с заданным числом ребер на римановой поверхности заданного рода д (см. [27]) стала уже классической в рамках данной теории. Для решения этой проблемы Таттом были введены корневые карты, то есть карты, у которых одно ребро отмечено. Корневые карты могут быть подсчитаны без учета автоморфизмов, так как только тривиальный автоморфизм сохраняет отмеченное ребро [28]. Решение корневой версии проблемы для карт с Е ребрами на римановой поверхности рода д = 0 получено Таттом [27] и выражается следующей формулой:
2 х 3Е х (2Д)! No{E) = Е\(Е + 2)\
Явная формула для числа корневых карт с Е ребрами на торе (д = 1)
была получена Д. Арком [6] :
т(Е) = ^2^-^-1 -зк) (Е*к).
В работе [10] Бендером и Кенфилдом получены производящие функции для числа корневых карт с Е ребрами на поверхности рода д = 2 и д = 3. В [29] Т. Уолшем и А. Гиоргетти подсчитаны корневые карты с Е ребрами на поверхности рода g = 4, д = 5 и д = 6.
В. А. Лисковцом получена формула для подсчета плоских карт с заданным числом ребер [22].
В работе [4] А. Д. Медных предложен новый метод вычисления числа классов сопряженных подгрупп в произвольной конечно порожденной группе. Приложением этого метода является полное решение проблемы Татта для карт с заданным числом ребер на поверхности заданного рода [23]. С помощью этого метода также получена новая формула для числа пар близнецов (карт, между которыми существует меняющий ориентацию гомеоморфизм, но не существует сохраняющего ориентацию) с заданным числом ребер [13].
В первой главе диссертации автором введено понятие круговых карт, а также, с помощью указанного метода, найдена явная формула для числа круговых карт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности. Интерес к изучению круговых карт связан с тем, что круговые карты эквивалентны картам, допускающим раскраску граней в два цвета. Последние, в свою очередь, двойственны двудольным картам.
В своей знаменитой программе [18] А. Гротендик связал исследование карт со многими задачами комплексного анализа, комбинаторной теории, теории чисел и теории фуксовых групп. Важным аспектом этой теории является теорема Г. Белого, устанавливающая связь между римановыми поверхностями, определенными над Q, и мероморфными функциями, имеющими три критических значения [2]. Указанные функции называют функциями Белого. Вычислению этих функций посвящены работы Г. Б. Шабата, А. К. Звонкина и других авторов ( [1], [3], [26]).
Гиперкартой будем называть карту, вершины которой раскрашены в два цвета таким образом, что каждое ребро соединяет вершины двух разных цветов. Другие определения гиперкарты и их эквивалентность данному можно найти в работе Т. Уолша [30]. В ней также подсчитано число плоских корневых гиперкарт с заданным числом ребер. Д. Арком получена
формула для числа корневых гиперкарт с заданным числом ребер на поверхности рода д = 1 [5]. А. Д. Медных и Р. Неделя предложена формула для подсчета гиперкарт с заданным числом ребер на римановой поверхности заданного рода [24].
Во второй главе доказана теорема о числе гиперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин, с заданным числом ребер в независимости от рода римановой поверхности. Для рода д = 0 этот результат получен в работе [21].
В последние десятилетия появилось множество работ, посвященных дискретным версиям теории римановых поверхностей ([7], [8], [9]). Роль рима-новых поверхностей в этой теории отводится конечным графам. Для них доказаны аналоги теорем Римана-Гурвица и Римана-Роха. А также построена теория якобианов. Понятие якобиана графа (также известное как группа Пикара или критическая группа) было независимо введено многими авторами ([7], [8], [11], [15]). Якобиан является важным алгебраическим инвариантом конечного графа. В частности, его порядок совпадает с числом порождающих деревьев графа. Последнее число хорошо известно для некоторых простейших семейств графов, таких как колесо, лестница, веер, призма и лестница Мёбиуса [12]. В то же время структура группы якобиана известна только в некоторых случаях (см. [17], [20], [25]).
Следуя Бейкеру и Норину [8], определим якобиан (или группу Пикара) графа следующим образом.
Рассмотрим конечный связный граф G, допускающий кратные ребра, но не имеющий петель. Пусть V(G) и E{G) — это множества вершин и ребер G соответственно. Обозначим через Div(G) свободную абелеву группу, порожденную V(G). Элементы Div(G) являются целочисленными линейными комбинациями элементов V(G), то есть для любого D Є Div(G) существует единственное представление D = X^gWG) D(x)(x)} D{x) Є Z. По аналогии с теорией римановых поверхностей элементы Div(G) будем называть дивизорами на графе G. Определим степень элемента D следующей формулой deg(D) = ^2xGv(G)D(x)- Обозначим через Div(G) подгруппу группы Div(G), состоящую из дивизоров нулевой степени.
Пусть / — Z—значная функция на V(G). Определим дивизор / по следующей формуле
*»(/)= Е Е (/(*)-/(»))(*)
xV(G) xyE(G)
Дивизор div(f) естественным образом может быть отождествлен с оператором Лапласа функции / на графе G. Дивизоры вида div(f), где / — Z—значная функция на V(G), называются главными дивизорами. Обозначим через Prin(G) группу главных дивизоров на G. Нетрудно заметить, что каждый главный дивизор имеет степень 0, поэтому группа Prin(G) является подгруппой группы Div(G).
Определим группу Jac(G), называемую якобианом (или группой Пика-ра) графа G, как фактор-группу
Jac(G) = Div(G)/Prin(G).
По теореме Кирхгофа [19], группа Jac(G) является конечной абелевой группой порядка to, где to — число порождающих деревьев графа G. Более того, любая конечная абелева группа является группой якобиана некоторого графа.
В третьей главе предложен новый метод для нахождения якобианов графов, с его помощью установлены структурные теоремы для якобианов графов лестницы Мёбиуса и призматического графа, найдена связь этих якобианов с полиномами Чебышева первого и второго рода. Эти группы были ранее вычислены совершенно другими методами в работах [25], [17] в терминах, не связанных с полиномами Чебышева. Указанный метод будет использован в четвертой главе для построения примера неединственности решения задачи Дирихле для дискретного оператора Лапласа.
Цель работы. Получить точные аналитические формулы для числа круговых, двудольных карт, а также гиперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин. Разработать новый метод для нахождения структуры якобиана конечного графа, основанный на рекуррентных соотношениях заданной степени. Применить его к вычислению якобианов лестницы Мёбиуса и призматического графа. Исследовать структуру якобиана дискретного тора. Построить пример неединственности решения задачи Дирихле для дискретного оператора Лапласа в классе функций, принимающих значения в конечной абелевой группе.
Методы исследования. Для получения основных результатов используются методы классического комплексного анализа, комбинаторного анализа, теории групп и топологической теории графов.
Основные результаты диссертации.
-
Получена точная аналитическая формула для подсчета круговых карт с заданным числом ребер. Доказана эквивалентность круговых карт и карт, допускающих раскраску в два цвета. Как следствие этих результатов, получены формулы для числа двудольных карт, а также гиперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин.
-
Разработан новый метод для нахождения якобианов графов. С его помощью установлены структурные теоремы для якобианов графов лестницы Мёбиуса и призматического графа, найдена связь этих якобианов с полиномами Чебышева первого и второго рода. В частности, предложенный метод позволяет установить, что задача Дирихле для дискретного оператора Лапласа имеет неединственное решение в классе функций, принимающих значения в конечной абелевой группе.
Научная новизна. Результаты, полученные в главах 1, 2 и 4 диссертации, являются новыми. В главе 3 предложен новый метод нахождения якобианов графов. С его помощью получен ранее известный результат для структур якобианов лестницы Мёбиуса и призматического графа. При этом, использование разработанного метода позволило связать указанный результат с полиномами Чебышева и, как следствие, получить ранее неизвестные связи между структурами якобианов рассматриваемых графов.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Результаты диссертационного исследования носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в области геометрической теории функций, комбинаторного и комплексного анализа и теории графов. Материалы диссертации могут быть полезны при организации спецкурсов по дополнительным вопросам вещественного, комплексного и функционального анализа, предназначенных для магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах Института математики СО РАН под руководством д.ф.-м.н., академика Ю. Г. Решетняка, д.ф.-м.н., профессора В. В. Асеева, д.ф.-м.н., чл.-корр. А. Ю. Веснина и д.ф.-м.н., профессора А. Д. Медных, а также на семинарах д.ф.-м.н., профессора С. К. Ландо и д.ф.-м.н., профессора М. Э. Казаряна (НИУ ВШЭ, г. Москва) и д.ф.-м.н., профессора Г. Б. Ша-бата (МГУ, г. Москва).
Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: летних школах по геометрическому анализу (г.
Горно-Алтайск, 2009 г., 2 -8 августа 2010 г., 13-19 августа 2011 г.); Российской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Топо-ногова (6 марта 2010 год, Новосибирск); XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2010 г.); XLIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2011 г.); Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19 - 26 июня 2011 г.); Десятой Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы - 2011» (г. Казань, 30 июня-7 июля 2011 г); XV International Conference on Geometry, Integrability and Quantization ( June 7 - 12, 2013, Varna, Bulgaria); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2013» (г. Новосибирск, 28-31 августа 2013 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1*] - [9*]. Работы [2*] -[3*] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК, [1*] — в электронных научных изданиях. Вклад авторов в совместные работы [1*] - [3*] и [5*] равноценный. Все положения, выносимые на защиту, принадлежат лично диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, приложения и списка литературы из 50 использованных источников. Общий объем диссертации - 83 страниц.
