Содержание к диссертации
Введение
1 Основные определения и факты 7
2 Разложения простых специальных йордановых алгебр 13
2 .1 Простые конечномерные йордановы алгебры 13
2.2 Предварительные замечания 14
2.3 Разложение алгебры билинейной формы 15
2.4 Некоторые факты о разложениях алгебр типа Н(Т>п) 19
2.5 Разложения йордановых алгебр типа H(Fn) 35
3 Разложения простых специальных йордановых супералгебр 41
3.1 Разложения супералгебр типа M„)m(F)(+> 41
3.2 Разложения супералгебр типа osp(n, m) 63
3.3 Разложения супералгебр типа Q(n) и Р(п) 71
3.4 Разложения супералгебр типа */(V,/), К%^ Dt 76
- Разложение алгебры билинейной формы
- Некоторые факты о разложениях алгебр типа Н(Т>п)
- Разложения супералгебр типа osp(n, m)
- Разложения супералгебр типа */(V,/), К%^ Dt
Введение к работе
Настоящая работа посвящена изучению всех типов простых нетривиальных разложений в специальных жордановых алгебрах и супер алгебрах над алгебраически замкнутым полем F, которое имеет произвольную характеристику отличную от двух, в случае жордановых алгебр, и нулевую характеристику, в случае жордановых супер алгебр. Под термином простое (полупростое) разложение произвольной алгебры $ мы подразумеваем представление J в виде суммы двух простых (полупростых) собственных подалгебр. Причем сумма в этом разложении не обязана быть прямой. Структура простых и полупростых разложений изучалась также и для других типов алгебр. Например, для конечномерных простых ассоциативных алгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем Ю.А. Бахтурин и О. Кегель в статье [9] доказали невозможность разложения в сумму собственных простых под алгебр. В лиевском случае А.Л. Онищик в работе [3], используя топологические методы, классифицировал все возможные полупростые разложения полупростой комплексной или вещественной алгебры Ли.
Жордановы супер алгебры впервые изучались Кацем [12] и Капланским [16, 17]. Б [12] наравне с классификацией простых конечномерных супер алгебр Ли, Кац классифицировал простые конечномерные жордановы супер алгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль используя ТКК-конструкцию (Tits-Kantor-Koecher construction). В [23] Расином и Зельмановым эта классификация была расширена до случая простых конечномерных жордановых супер алгебр с полупростой четной частью над полем характеристики р 2.
Вторая глава посвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной конечномерной йордановой алгебре J . Этот результат был получен совместно с Т.В.Твалавадзе. Автору принадлежат доказательства общих фактов справедливых для жордановых алгебр типа #( „), где Z — произвольная композиционная алгебра над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух и доказательство того, что йорданова алгебра типа H(Fn) не имеет разложений в сумму двух собственных простых подалгебр (см. параграфы 2.4 и 2.5). Остальные случаи, а именно, разложения алгебр типов Н{Т1п) и H{Qn) доказаны в диссертации Т.В.Твалавадзе
Разложение алгебры билинейной формы
В данной разделе изучаются разложения простой йордановой алгебры симметрической невырожденной билинейной формы /, то есть алгебры типа (/), в сумму двух собственных простых подалгебр. Каждая йорданова алгебра данного типа допускает несколько неизоморфных между собой разложений. Любая собственная простая подалгебра $ алгебры типа B(f) является алгеброй симметрической билинейной формы, если dim У 1, или изоморфна основному полю F если dimjT — 1. Пусть J произвольная алгебра типа 5(/), то есть J = F\ ф V и на векторном пространстве V определена симметрическая невырожденная билинейная форма / : V х V —» F. Тогда в V можно выбрать некоторый базис {ei,..., ея.}, dim К = п, ортонормированный относительно формы /. Обозначим через J"k = F\ ф Vk% где Vi = span {ei,... tei), к = 2,...,n — 1. Все эти подалгебры являются простыми, так как ограничение Луневы рожденное. Кроме того, Зч С Зъ Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма. Лемма 2.3.1 Любой автоморфизм р алгебры J является ортогональным преобразованием векторного пространства V относительно формы f. И обратно, любое такое преобразование, действующее инвариантно на подпространствах F\ и V является автоморфизмом алгебры J .
Доказательство. Пусть р произвольный автоморфизм J. Докажем, что р сохраняет билинейную форму /. Заметим, что для любого такого р верно p(Fl) С Fl, p(V) С У, то есть векторные пространства F1 и V инвариантны относительно ур. Первое вложение очевидно, так как (1) = 1, а второе следует из равенства (х)2 = /(х,ж)1г верного для любого х V. Из определения умножения в алгебре J имеем, что р(х) р(у) — f( p(x)if(y))l и ху — f(xty)l. Но (р автоморфизм, следовательно, р(ху) = р(х) р{у), значит f(x,у) - f( p(x), p(y))l. Докажем обратное утверждение. Пусть р — невырожденное линейное преобразование сохраняющее форму / и действующее инвариантно на F\ и V. Тогда ср(х)(р(у) = f (ср{х), р(у)) и ф(ху) = (/( ІЗ/)1) = /0е,2/)1- Следовательно, р(х) р(у) = р(ху). п Теорема 2.3.1 Пусть J конечномерная простая йорданова алгебра типа B(f) над алгебраически замкнутым полем F, характеристики отличной от двух. Допустим, что J = В + С, где В, С — простые йордановы подалгебры, dim В dim С. Тогда найдутся автоморфизмы (риф алгебры 3 такие, что 1. В — p{Jk), С = ф{ Тр), к +р п, если сумма не является прямой. 2. В = (р{$п \), С — ip(Fl), если сумма прямая. Обратног для любой простой йордановой алгебры, $ типа #(/) найдутся разложения типа 1 и 2. Доказательство. Алгебра J имеет тип B(f), следовательно, S = FX Ф V, где V — векторное пространство над F. Прежде всего докажем, что в алгебре J нет простых подалгебр типа /T(D„), где D композиционная алгебра п 3. Пусть 3і подалгебра в J и З — H(Dn)) для некоторого n 3. Тогда в Г содержится п попарно ортогональных ненулевых (примитивных) идемпотентов ei,...,.eft. Каждый є,-, і — 1,...,.п,. можно записать в виде е,- = аД+у», где 1 - единица Зг щ Є Є И равенство (аг,Ц-г )(аД4-V,-) = аД + v,- влечет, что либо щ = О, либо а,- = . В первом случае получаем, что е,- = 1, во втором случае е,- — + г;,-, /(«»,г;,-) = . Все идемпотенты еі,...,.ев попарно ортогональные и ненулевые значит ни один из них не равен 1, следовательно, все е-г — + V,-, где v,- - ненулевые вектора из V. Из условия ортогональности Єв = (г + "«К» + vi) ПРИ г І следует; что w,- + w;- = 0, «, — —1.
Но тогда любой идемпотент е равен либо + « , либо — и , для некоторого фиксированного Ї Є V, то есть векторы ej,.... ,е„ при п 3 линейно зависимы, что противоречит их ортогональности. Следовательно, если 3 - произвольная простая подалгебра в 3, то 3 i?C/i), где fi — некоторая невырожденная симметрическая билинейная форма,, или 3 — F. Далее обозначим через е единицу подалгебры 3 Очевидног что е идемпотент в J и равен либо 1, либо + v, для некоторого v Є V такого, что f(v,v) = І. Если е = 1, то F1 С 3\ то есть J1 = F\ Є (J П V)=Fl Є ТУ, где И = Зг П V - подпространство в V и ограничение Д — f\w -невырожденное. Следовательно, 3 — (/i) гАе (/i) = -Fl W. Если е = + vt v ф 0, f(v, v) = , то для любого х Є 3 верно, что ж( + v) =i, та есть х = ае, где а Є F. Значит в этом случае 3 — F, где F - основное поле. Пусть имеет место разложение 3 = В + С, где В, С - простые йордановы подалгебры. Если #ПС ф {0} то значит dim В 1, dim С 1, следовательно, в силу предыдущих замечаний, 1 Є В, 1 С, то есть В — Fl@Wi (/0, С = F1 ф W2 й В(/2), где 1 = # П F, Ж2 = С П V, И + 2 = W, Д = /ІИІ, /я = /к Если 5 ПС — {0}, то 1 не может одновременно принадлежать обеим подалгебрам, а так как dim С dim В, следовательно 1 В% 1 С, то есть согласно предыдущим рассуждениям С F м В = F1W в(/о, W = В П V\ А = Лцг. Далее пусть dim В = Дг + 1, Аг 1, следовательно, В = Fl Wi где dimWi = fc. Так как ограничение f\Wi является невырожденным преобразованием пространства Wu то существует ортогональное дополнение Wjf- такое, что W\ ф Wi = V п f\wx - невырожденная форма. Выберем некоторый базис {еи...,ек} подпространства W\ ортогональный относительно формы /[цгг и базис {е +і,..., ея} подпространства W - ортогональный относительно формы / х. Положим ц {е{) = є . Очевидно, что р ортогональное преобразование V и р(В) — Jk- Аналогично, для подалгебры С найдется ортогональное преобразование ф7 переводящее С в некоторую подалгебру Jv% где р = dim С — 1. Теперь докажем вторую часть теоремы. Зафиксируем некоторый базис {1,6 ---%} в V, где к = dim У, ортогональный относительно формы /, то есть , = /( -,_,) = 0, при г ф jt є\ = аД Є F, щ ф 0. Рассмотрим подпространства М\ = {єі,... , І-І), Мч = {2,-.-,). Форма / ограниченная на М\ имеет матрицу diag{ai,... ,а _і} в базисе {єи-- іЄк-і}- Очевидно, что / невырождена на М Аналогичног форма / ограниченная на Мг имеет матрицу diag{a2t... a } в базисе {е%у...}к}, следовательно, невырождена на Мг. Но тогда
Некоторые факты о разложениях алгебр типа Н(Т>п)
Основной задачей данного раздела является доказательство того, что при п 3 единственным возможным разложением алгебры типа H( D„) в сумму двух подалгебр, одна из которых имеет тип Н(0(т), а другая имеет тип B(f), является разложение вида: #(7г3) = А + В, где Л = H(F9), В #(/). Далее будет указана явная реализация этого примера в матричном виде. На всем протяжении мы будем пользоваться понятием специальной универсальной обертывающей алгебры 17(3), которая существует у любой йордановой алгебры 3- Напомним, вкраце, определение и основные свойства специальной универсальной обертывающей алгебры. Определение 2.4.1 Пусть J обозначает произвольную йорданову алгебру. Тогда пара (1/(,7), ои) состоящая из ассоциативной алгебры U(J ) с 1 и ассоциативной специализации аи (гомоморфизма из J в U(3) ) называется специальной универсальной обертывающей для 3 , если для любой ассоциативной специализации т алгебры 3 в ассоциативную алгебру Леї существует единственный гомоморфизм і], Т} : U(3) — Л, Т}(1) — 1, такой что следующая диаграмма коммутативна: В частности, любое линейное представление алгебры 3 может быть единственным образом расширено до представления U(3)-Напомним, что йорданова алгебра 3 является конечномерной специальной центральной простой алгеброй степени т 3 тогда и только тогда, когда 3 — -# (W, /), где (/, J) — конечномерная простая ассоциативная алгебра с инволюцией J такая, что (К, J) = ( m, Ji), где (U,j) — ассоциативная композиционная алгебра и Jj -- стандартная инволюция. Если мы отождествим 3 с Н(W,,/), то U и тождественное вложение H(U, J) в 3 составляют специальную универсальную обертывающую для 3 Если 3 — F V, то U(J) изоморфна алгебре Клиффорда C(V, /). Отмети, что каждое неприводимое представление B(f) — F + V имеет четную размерность. Пусть V — векторное пространство над полем F. Полезная оценка размерности подалгебры типа (/) в EndV содержится в следующем предложении. Предложение 2.4.1 В простой йордановой алгебре EndV нет подалгебр типа B(f), имеющих размерность большую, чем 2 log2 п + 2, где п?= dim V. Доказательство. Пусть J — подалгебра в EndV изоморфная алгебре типа B(f) — F ф W7 где W векторное пространство размерности г. Как было сказано выше, специальная универсальная ассоциативная обертывающая алгебра U{J) изоморфна алгебре Клиффорда C(W,f). Вложение р : J —ї EndV + продолжается до гомоморфизма :C(W,/)- EndVW Известно, что, если размерность г векторного пространства W четная и форма / невырожденная, то соответствующая алгебра Клиффорда C(W, f) является простой центральной ассоциативной алгеброй и dimC(W, /) = 2Г. Если г нечетное, то в C(Wyf) является суммой двух простых идеалов, размерность которых равна ±dimC(W,/) =2 1.
Допустим сначала, что размерность векторного пространства г четная. Тогда ядро гомоморфизма Кехф = {0}, так как C(W f) простая алгебра. Следовательно, получаем, что р изоморфное вложение в End W и dim p(C(WJ)) 2Г. Если г нечетное, то образ С(ТУ, f) имеет размерность по меньшей мере 2Г-1. В итоге, для любого г, размерность dlm(p(C(W,/)) 2Г-1. С другой стороны, dim у?(C(W,/)) dim End У = n2, то есть п2 2Г-1. Следовательно, dim ,7 = г + 1 21og2n -Ь 2. Предложение доказано. р Лемма 2.4.1 Пусть J простая подалгебра простой йордановой алгебры Н{Т п), имеющая тип Н(Т)т), где Т , Т обозначают некоторые ассоциативные композиционные алгебры. Тогда т п. Доказательство. Доказательство этой леммы является прямым следствием того факта, что любая система попарно ортогональных идемпотентов может быть расширена до системы из п попарно ортогональных идемпотентов, где п является рангом Н{Т п) (см.[8]). п Лемма 2.4.2 Пусть йорданова алгебра J типа M{V m) является собственной подалгеброй в Н{Т}п) такой, что единица Н(Т п) принадлежит этой подалгебре. Тогда если Доказательство. Прежде всего, мы рассмотрим H{Vn) в виде стандартной реализации, соответствующей ее типу. Обозначим через е единицу подалгебры J w — {ei,...,em} — расщепляющее множество идемпотентов. Согласно теореме 24 ([7]) для некоторого г 1, rkfei) = ... = rk(em) —г 1. По условию е является единицей в
Разложения супералгебр типа osp(n, m)
Этот раздел посвящен нахождению всех простых разложений в супералгебре типа osp(n, m)7 а именно, доказательству того факта, что таких разложений не существует над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Другими словами, справедлива следующая теорема. Теорема 3.2.1 Пусть супералгебра $ имеет тип osp(n,m), где n,m 0. Тогда $ we может быть представлена в виде суммы двух собственных простых нетривиальных подсупералгебр Ли В. Доказательство этой теоремы опирается на следующие две леммы. Лемма 3.2.1 Пусть супералгебра J имеет тип osp(n,m), где п,т 0, и Л, В две собственные простые подсупералгебры, ни одна из которых не имеет тип К% или Dt. Тогда J не может быть представлена в виде суммы супералгебр Л и В. Доказательство. Для удобства обозначений мы отождествим J с osp(n,m), которая рассматривается в каноническом виде. Далее, предположим противное, то есть где Л и В удовлетворяют всем вышеперечисленным условиям. Разложение (20) порождает следующее разложение ассоциативной обертывающей алгебры в сумму трех ненулевых подпространств: где 5(Д), S(B) обозначают ассоциативные обертывающие для Д, В, соответственно. Допустим, что 1 обозначает единицу всей супералгебры osp(n, m). Рассмотрим следующие случаи: Случай 1. Пусть 1 Д, 1 В. Другими словами, существуют ненулевые элементы ад, Ьо принадлежащие Апп(Д) и Апп(В), соответственно. Тогда домножая равенство (21) слева на ао, a справа на Ьо, мы получаем а$Mn+2m{F)b = 0, что неверно. Случай 2, Пусть 1 Є Д, 1 В. Шаг за шагом рассмотрим следующие подслучаи. (а) Д Aftii(F)W, В Mp,g(F)W. Исходное разложение индуцирует разложение в четной компоненте osp(n, m)o = До + BQ, которое, в свою очередь, можно спроецировать на идеалы четной компоненты. В частности, H(Fn) = тгі(До) + щ(Во). Обе проекции не могут одновременно быть простыми, так как H(Fn) не раскладывается в сумму простых подалгебр (см. теорему 2.5.1). Следовательно, одна или обе компоненты —полупростые. Пусть, для определенности, 7TI(AQ) = H(7Zk) Ф H{TZ{). Согласно лемме 2.4.2, к+1 . Тогда dimтп(До) = &2+ 2 (-1)2 + 1 = -п + 2. Если TTI(JBO) — Н{ЛР) или H(1Zq), то тогда по лемме 2.4.2, р или о . Еслитгі(Д)) Н(ПР)Н(ПЧ), то dim7ri(Bo) =р2 + а2 (s_i)2 + 1== _n + 2. В итоге, dimtf(Fn) = 2( -n + 2), f 4, п 1 или dimff(Fn) = _п + 2 + т f 2, п 1. Отдельно рассмотрим случай п = 1. Разложение примет вид оар(1,т) = Д + #, где Д й MM(F)W, Б MPi?(F) + . Тогда Я(Є„) - тг2(Л) + ъШ- Если 7г2(До) й F Є Н{Щ и тг2(#0) 2 Н(Пр)фН(Пя), то 1 + Z m,p + g m, аіттг2(До) т2-2т + 2, dim 7 (/) т2—2т+2. В результате, 2т2 —4тп+4 m(2m—1) = 2m2 — т, 4 Зт, т 1, то есть m = 1. Но в разложении osp(l,l) — A + В, обе подалгебры оказываются изоморфными M(1,1)W, следовательно, несобственными. Если одна из проекций — полупростая, а другая — простая, то тогда т(2т — 1) т2+т2 — 2т + 2 = 2т2 — 2т + 2, т 2.
Следовательно, разложение примет вид ац (1,2) = Л + В, Д Sf AfM(F) + , 5 S M1 2(F)(+), Я(Є2) = 7(.До) + 7Г2(Й0), где 7Г2(До) — простая, 7г2(Бо) — полупростая. Из соображений размерности, сумма в этом разложении прямая, то есть одна из подалгебр не содержит единицу, что в наших предположениях не выполняется- Если обе проекции простые, то озр(1}т) = Л + В, Д, В = М(1,т)(+\ Но такого разложения не существует, так как, в противном случае, из соображений размерности, Ау — В\ — osp(l,m)i потому, что их размерности совпадают. Это означает, что AQ = {А\ 0 А\) — (В\ Bi) — Во, то есть А = В = osp{\, m). (b) A = Mk!i(F)(+\ В 2 P(q) или Q(q) {q 1). Тогда H(Fn) = тгі(До) + я-і(Д ), причем тгЦИо) = #№) ф Я(Я,), 7Tj(Bo) = H(Hq). Из соображений размерности, так же как и в предыдущем случае, получаем п X. Пусть п = 1, тогда проекция TTI(AQ) = F. В этом случае, fc — 1 (или / = 1) и МЫ Имеем Следующее разложение H{Qm) = Щ{А$) + 7Г2(Д)), где 7г2(Л) S F Ф H(7Z), тг2(В0) 2 Н(ПЯ) или тг2(Л) = #(Я), 7Г2(Во) = H{Rq). В первом случае, мы только что доказали, что т — 2, то есть / = 1. Тогда разложение примет следующий вид: osp{l,2) = А + В, где A = MU(F)(+), 5 Р(2), которое индуцирует следующее представление H(Q2) = TTZ{AQ) + щ{Во), где Д0 — F Ф -?\ JSO H(7Z2). Сумма в последнем разложении — прямая и обе подалгебры содержат единицу всей алгебры, что невозможно. Во втором случае, I — q — m, то есть osp(l,m) = А + В, Л = M(l,m)W, В F(m), m 1. Так как размерность osp(l,m)i должна быть больше или равной размерности В\, то получаем неравенство 2т иг2, то есть т = 2. При m = 2, получаем разложение osp(l,2) = A + S, где .A S Mi i 1) , В = Р(2), которое индуцирует следующее представление H{Q.2) = тг2(Ло) + 7Г2(Во), где А 2 #(7 ), #0 = Н(П2). Заметим, что единица всей супералгебры osp(l, 2) принадлежит А, то есть А не имеет нетривиального двустороннего аннулятора. С другой стороны, рассмотрим Я(озр(1,2)) — ассоциативную обертывающую для osp(l,2). Известно, что S(osp(l,2)) = JVfs(jP) (см. теорему { Л з(І ) или . Очевидно, что M3(F)M3(F) 5(Л) — M${F). Так как 5(Д) С S(osp(l, 2)), то, в силу леммы 2.4.2, S(A) не содержит единицы всей алгебры, следовательно, имеет ненулевой двусторонний аннулятор. Это означает, что А имеет ненулевой двусторонний аннулятор, противоречие. (c) А, В имеют типы P(q) или Q{p). Но тогда такое разложение приводит к разложению H(Fn) в сумму двух простых собственных йордановых подалгебр, которого, как было доказано, не существует. (d) A = osp(k,l), В = MPtq(F) . Так как ассоциативная обертывающая алгебра S(A) = Mk+2i(F) содержит единицу всей супералгебры, то к + 21 . Аналогично, р + q 23. Далее dimosp(n, т) dim A + dim В, то есть Чр- + m(2m — 1) + 2пт
Разложения супералгебр типа */(V,/), К%^ Dt
Теорема 3.4.1 Пусть супералгебра $ имеет тип J(V,f) и А, В — простые подсупералгебры в ней. Тогда $ = А+В означает, что каждая из супералгебр А, В изоморфна некоторой супералгебре невырооюденой суперформы. Более того, существуют разложения супералгебры J в сумму двух подсупералгебр типа J{W\,f\) и Доказательство. Для удобства, мы отождествим данную супералгебру J с J(VJ) = {F + V0) + Vu где J(VJ)Q = F + V0l J{Vif)i — 1- Из правил умножения элементов в J(V,f) следует, что t/it/i — F1, где 1 обозначает единицу в J(V,f). В частности, А\А\ С F1 и B\Bi С FI. Отметим, что идемпотенты в JQ имеют следующий вид: 1 или + vt где f(v,v) , v Є Vo. В частности, если v\ и i 2 — попарно ортогональные идемпотенты в І/О; то i?i = 5 + v, ( = — и, где и є VJ. Далее рассмотрим следующие случаи: (a) А = Кз, где А:3 (е,ж,у), [Ж,Ї/] = е, еж - , еу = , е2 = є, є Є Л Выше было отмечено, что е = 1 или е + v, i Vo- Если є = 1, то, очевидно, ех = х ф . Следовательно, е = і -f гі. Тогда, с одной стороны, [а;,у] — f(x,y)l ф 0. С другой стороны, [#,у] = + v, где v 0. Следовательно, + v — /(j;,y)l. Но /(ж, у)1 Є -F, отсюда v Є F, что неверно. (b) Л = Д, і -1,0,1, где Д - (ei,e2,a;,sf , [х,у] = ег + е2, еі,Є2 — попарно ортогональные идемпотенты в .4. Следовательно, существует ненулевой г; 6 Ц, такой что еі = + г , Є2 = 2 - Тогда [ »у] - "4і1 + (1- К С другой стороны, [я, у] = f{x,y)l Ф 0. Следовательно, (1 — t)v = 0, то есть = 1, но Д = J(V ,f) (см. главу 1). (c) Д = osp(n,m). Так как ранг До 2, то п = 1, m = 1. Нетрудно проверить, что psp(l,l)i О 05 (1,1)! не является линейной оболочкой одного идемпотента. (d) A = Mnjtn(F). Также как и в предыдущем случае получаем, что ранг .До не более 2, то есть п — 1, т = 1. Элементарные вычисления показывает, что Miti(F) 0 Mi(i(F) также не является линейной оболочкой одного идемпотента. (e) А = Р{п) или Q(n). В этом случае, доказательство не отличается от двух предыдущих случаев. Докажем вторую часть теоремы. Представим Z%-градуированное пространство V = Vo + V\ в виде суммы двух Zs-rpavir/HpoBaHHbix подпространств W\ и Wi таким образом, чтобы Vo = (И х)о + ( 2)0 и Vi = (И і)і + ( 2)1 и ограничение формы / на (И і)о, (И )о, ( і)ь ( 2)1 — невырожденно. Тогда J = (F + K0)+Fi - {F + {W1)0 + {W2)o) + ((Wi)i + {W2)i) является суммой двух простых подсупералгебр типов невырожденной симметрической суперформы. Разложения супералгебры Капланского К% Пусть Л подсупералгебра в К$. Тогда мы имеем следующие ограничения: dim .А 3 и ранг До равен 1. Перебрав все случаи, получаем, что Л = J(V,f) является единственным подходящим вариантом, dim Л = 2. Следовательно, dim Ло = 1 и До — ( з)о = {е), где е — идемпотент. Другими словами, е является единицей в Л. Однако, если мы рассмотрим некоторый элемент вида ах + (Зу принадлежащий Лі, то е(ах+(3у) = a w, то есть е не может быть единицей, а значит К% не имеет подалгебр типа «/(V, /). Как прямое следствие этого факта получаем, что Теорема 3.4.2 Супералгебра типа К$ не имеет разложений в сумму двух собственных простых нетривиальных подсупералгебр.
Разложения супералгебры Dt Рассуждая также как и в случае Кз, мы приходит к выводу, что единственными возможными подсупералгебрами в Dt могут быть супералгебры типов К$ и J(V, /). Пусть Л = К$ — подсупералгебра в Dt, тогда в ней можно выбрать базис таким образом, чтобы Л = {е ,х ,у }, е х = у, е у , [х ,у } = е , е 2 — е , причем Д0 = (є ), Л і = {х ,і/). Таким образом, е — идемпотент, принадлежащий ( f)o — (еі,Є2). Следовательно, либо е = Є{, г = 1,2, либо е — е\ + е%. В последнем случае е (ах + /Зу) = (еі + Є2){ах + fly) = (ax + fiy) ф {ax . Значит e = e,-. Но, с другой стороны, [(ax + /?г/), (a x + (3 y)] = {a(3 — {За )(еі + ез) ф є — ЄІ. Это означает, что Д типа Яз не может быть подсупералгеброй в Dt. Пусть Д = «/(V, /) — подсупералгебра в Д, тогда До С (Д)о = (еі,ез), Ді С (Д)і = (%іУ)- Известно, что подсупералгебра типа J(V,/) имеет единицу е, е {еі,Є2), то есть е = е\ + es- Если dim До 1, то всегда можно выбрать какой-нибудь элемент вида (а е\ + /ЇЄ2) линейно независимый с в\ -f- 6 и, при этом, (aej + / 63)2 пропорционально ej + Є2. Это означает, что а = /3, dim До = 1. Но тогда если Dt = Д + В, где Д /(Уь/і), tf J(V2,/2), то До = Во = (еі + Є2), то есть (Д)о 7 До + #о- Следовательно, Теорема 3.4.3 Супералгебра типа D± не имеет разложений в сумму двух собственных нетривиальных простых подсупералгебр. [ї] Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным., Москва, 1976.
