Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 5
2 Гипотеза о делимости 13
2.1 Вводные замечания 13
2.2 Коммутативные ОР: основная теорема 16
2.3 Приложения 22
2.3.1 Гипотеза об измельчении 22
2.3.2 Аффинные 2-схемы 23
2.3.3 Адамаровы разложения 24
3 WP-разложения 26
3.1 Связь с ОР простых алгебр Ли типа Ап 26
3.2 J-разложения и симплектические расслоения 26
3.3 Автоморфизмы WP-разложений 28
3.4 Аналог Теоремы Вагнера 35
4 Адамаровы разложения и алгебры 42
4.1 Связь с матрицами Адамара 42
4.2 Прямые суммы и тензорные произведения адамаровых алгебр 43
4.3 Гипотеза о делимости размерности адамаровой алгебры на 4 47
4.4 Адамаровы разложения в алгебрах матриц 48
4.5 Открытые проблемы 51
5 Сбалансированные системы идемпотентов 52
5.1 Общие результаты 52
5.2 Сбалансированные системы идемпотентов в алгебрах матриц 57
5.2.1 Матрицы полупроизведений 57
5.2.2 Симметрические и двойственные системы 60
5.2.3 Границы для числа идемпотентов 62
5.2.4 Приведенные матрицы полупроизведений 63
5.3 Автоморфизмы сбалансированных систем идемпотентов 66
5.3.1 Изоморфизм о : Мп -> FMvrF 66
5.3.2 Изоморфизм т : 7Г"1 (Aut S) -> CM(v,r)(Л) 67
5.3.3 Автоморфизмы двойственных систем 68
6 Сбалансированные системы с 2-транзитивной группой автоморфизмов 71
6.1 Конструкции 71
6.2 Общие результаты 75
6.3 Группа Г = PSL(2,q), q нечетно, и ее 2-транзитивное представление степени q + 1 80
7 Сбалансированные системы со специальными параметрами 83
7.1 1-(п + Г, г, пг)-системы 83
7.2 Конференс-матрицы и (2п, п)-системы 87
7.3 Подходящие матрицы и (тп2, m ^т)-системы 93
7.4 Сбалансированные 2-системы в алгебрах МгиМз 95
8 Сбалансированные базисы и сбалансированные алгебры 97
8.1 Матрицы Ju 97
8.2 Сбалансированные базисы в Мрп(С), р> 2 99
8.3 Сбалансированные базисы в Мгп(С) 102
8.4 Сбалансированные базисы в алгебре (п + l)Mi Мп и WP-разложения- 112
8.5 Несуществование 3-систем, являющихся базисами 114
8.6 Некоторые нерешенные проблемы 114
9 Н-биекции групп и Т^д-изоморфизмы групповых колец 116
9.1 Гипотеза о конечности группы автоморфизмов ортогонального разложения 116
9.1.1 Ортогональные разложения, связанные с расщепляемыми группами 117
9.1.2 Ортогональные разложения, связанные с обобщенными матрицами Адамара 118
9.3 Предварительные результаты 123
9.3.1 Общие факты 123
9.3.2 Две технические леммы 128
9.3.3 Пример устойчивой, но не сильно устойчивой группы 129
9.4 Жесткость и С-базисная жесткость в классе конечных абелевых групп 130
9.5 Семейства расщепления и другие жесткие семейства подгрупп 133
9.5.1 Пустое семейство подгрупп 133
9.5.2 Семейства расщепления 135
9.5.3 Другие жесткие семейства 135
9.6 Устойчивые абелевы группы 138
Открытые вопросы 146
- Коммутативные ОР: основная теорема
- Аналог Теоремы Вагнера
- Сбалансированные системы идемпотентов в алгебрах матриц
- Группа Г = PSL(2,q), q нечетно, и ее 2-транзитивное представление степени q + 1
Введение к работе
В 1981 г. А.И.Кострикин познакомил автора с так называемой "проблемой Винни-Пуха", которая явилась источником всех последующих исследований. Суть проблемы состоит в следующем. Пусть С — простая алгебра Ли над полем комплексных чисел С с числом Кокстера h и формой Киллинга ( ). Спрашивается:
Вопрос 1. Допускает ли С ортогональное разложение в прямую сумму картановских подалгебр = Я1е---еЯл+1, где (НЩ) = 0 Ответ на Вопрос 1 известен (и положителен) во всех случаях кроме простых алгебр/Ли типа Л„_і, п ф рт, р простое, и Сп, п ф 2т. Обширная информация по поводу исследований связанных с проблемой Винни-Пуха содержится в монографии [25].
Начав с изучения случая алгебр Ли типа Ап автор быстро пришел к ключевому для дальнейших исследований понятию ортогональных разложений ассоциативных алгебр. Оно было введено в [30]. Напомним его.
Пусть А — ассоциативная конечномерная над полем комплексных чисел С алгебра, через Тгд обозначим след правого регулярного представления А. Тогда Тгдггу является симметричной инвариантной формой на А, которую мы будем называть формой следа. Известно, что алгебра А полупроста тогда и только тогда, когда форма следа невырождена на А (см. Лемма 2.1.1). Далее будут рассматриваться в основном полупростые алгебры и термин "алгебра", если не оговорено противное, будет обозначать ассоциативную конечномерную над С полупростую алгебру. Таким образом, по теореме Вед дербарна алгебра А изоморфна конечной прямой сумме матричных алгебр М„(С) = Мя.
Определение 1. Семейство неединичных собственных подалгебр V = {Bj,і = 1,...,г} образует ортогональное разложение (ОР) алгебры А, если
(1) все подалгебры Bj полупросты и содержат единичный элемент 1А алгебры А;
(2) (условие ортогональности) алгебра А является прямой суммой попарно ортогональных подпространств
А= 1А ЄВ°Є-.-ЄВ°,
где В? = {х Є В,- ТГДГЕ = 0}.
Замечания. (1) Несложно показать, что условие ортогональности эквивалентно двум условиям:
(і) алгебра А линейно порождается подалгебрами В , т.е. А = Yl i і
(ii) ортогональные дополнения к Ід в каждой из подалгебр семейства V ортогональны между собой, т.е. если і Є В,-, у Є Bj, і ф j, то
ТгЛ х = ТгЛ у = 0 = ТгЛ ху = 0.
О подалгебрах, удовлетворяющих (іі), будем говорить, что они ортогонально пересекаются по единичной подалгебре.
На практике для проверки условия (ii) часто бывает удобно использовать его эквивалентную формулировку.
Критерий ортогональности: если.я Є Bj, у G Bj, і ф j, то ЪАх ТгАу -=ТгАху п п п где п = Тг 1д = dim А.
(2) Условие полупростоты подалгебр ВІ можно опустить, так как оно вытекает из условия ортогональности (см. Лемма 2.1.1).
Если все подалгебры ОР Т коммутативны, то V называется коммутативным. Если все подалгебры в V изоморфны алгебре В, то V называется однородным ОР типа В (или просто ОР типа В). Через А;МП будем обозначать прямую сумму к экземпляров алгебры матриц Мп. Группа Aut V = {о Є Aut А : Vа — V} называется группой автоморфизмов ОР Т .
Примеры. Понятие ОР объединяет такие известные темы как конечные аффинные плоскости, конечные расщепляемые группы, классические матрицы Адамара и ортогональные разложения простых алгебр Ли типа Ап в сумму картановских подалгебр. Именно:
(1) конечная аффинная плоскость порядка п соответствует однородному ОР типа nMi коммутативной алгебры n2Mi (см. Раздел 2.3.2);
(2) матрица Адамара порядка п соответствует однородному ОР типа 2Mi алгебры nMi (см. Раздел 4.1);
(3) если подгруппы {НІ} расщепляют группу G, то подалгебры {СЯ } образуют ОР групповой алгебры CG;
(4) ортогональное разложение простой алгебры Ли типа Ап в сумму картановских подалгебр соответствует однородному ОР типа (п + 1)Мх алгебры матриц Mn+i (см. Раздел 3.1).
Примитивные идемпотенты подалгебр коммутативного ОР образуют конечное семейство идемпотентов, удовлетворяющее определенным условиям, использующим функцию ТГА . Подобное семейство идемпотентов будем называть конфигурацией идемпотентов. В поисках новых интересных конфигураций автор пришел к понятию сбалансированной i-системы идемпотентов, которое является естественным обобщением понятия комбинаторной і-схемьі, соответствующей в этом контексте случаю коммутативных алгебр.
Определение 2. Семейство идемпотентов = {ei,..., ev} в алгебре А (здесь dim А 1) называется сбалансированной t-системой, если выполнены следующие два условия:
(1) (условие сбалансированности) е\ Л \-ev = к- 1д, к Є С;
(2) (условие равноугольности) для любых s (s t) различных идемпотентов ЄІХ ,..., e,-s Є значение функции следа ЇЛА Єі і • • • Єі, = А5 зависит только от s.
Сбалансированная f-система идемпотентов также будет обозначаться как t-(v,r) система, где г = Аі =ТГАЄІ. ЕСЛИ а Є AutA, то а = {ef,...,e} является t-(v,r) системой сопряженной . Группа Aut = {а Є AutA : а = } называется группой автоморфизмов системы .
Заметим, что из определения следует, что -система является также t -системой для всех t t.
Пример. Комбинаторные i-схемы. Под t-(v, к, А) блок-схемой мы понимаем семейство В А;-подмножеств (то есть состоящих из к элементов), называемых блоками, множества V из v точек такое, что каждые t точек встречаются вместе ровно в А блоках. Пусть М — v х Ь матрица инцидент ности f-схемы (V, В), где Ь = \В\ — число блоков, то есть строки М соответствуют точкам, а столбцы — блокам. Рассматривая строки М как элементы коммутативной алгебры А = С (прямая сумма v экземпляров поля С), мы получаем семейство из v идемпотентов, которое, как легко видеть, является і-системой в А. При этом число к равняется коэффициенту при Ід в условии сбалансированности, и A = At. в условии равноугольности.
Таким образом, коммутативные ортогональные разложения и сбалансированные системы идемпотентов являются основными поставщиками интересных конфигураций идемпотентов.
Диссертация состоит из трех частей.
Часть I — ортогональные разложения: Главы 2, 3, 4, Раздел 9.1.
Часть II — сбалансированные системы идемпотентов: Главы 5, 6, 7, 8.
Часть III — %-биекции групп и "Ид-изоморфизмы групповых колец: Глава 9.
Теория ортогональных разложений (ОР) ассоциативных алгебр в настоящий момент состоит из 4-х основных направлений:
1) Гипотеза о делимости;
2) Гипотеза о конечности группы автоморфизмов ОР;
3) ОР в сумму двумерных подалгебр — адамаровы разложения;
4) ОР алгебры матриц в сумму подалгебр, сопряженных диагональной — WP-разложения.
Остановимся подробнее на этих направлениях.
Важнейшей гипотезой в теории ортогональных разложений ассоциативных алгебр является
Гипотеза 1 (гипотеза о делимости). Алгебра является свободным модулем (левым или правым) над каждой подалгеброй из семейства, образующего ее ортогональное разложение.
Теорема 2.2.1 подтверждает Гипотезу 1 в случае коммутативных ОР. Это является одним из центральных результатов о конфигурациях идемпотентов. Гипотеза 1, Теорема 2.2.1 и следствия из нее рассматриваются в Главе 2.
Отметим важнейшие следствия Теоремы 2.2.1. Первое касается так называемой "Гипотезы об измельчении".
Гипотеза 2 (гипотеза об измельчении). Если подалгебры {В, С,..., D} образуют ОР алгебры А и подалгебры {В1}..., В } образуют ОР алгебры В, то {Bi,..., Bjt, С,..., D} образуют ОР алгебры А.
Из Теоремы 2.2.1 вытекает справедливость Гипотезы 2 для коммутативных ОР.
Следующее приложение Теоремы 2.2.1 относится к понятию аффинной 2-схемы [11]. Подмножество в множестве блоков В f-схемы A = {V,B} называется классом параллельности (или 1-фактором), если оно образует разбиение множества точек V. Если множество блоков В допускает разбиение на классы параллельности, то такое разбиение называется параллелизмом (или 1- факторизацией), и і-схема А в этом случае называется разрешимой. Разрешимая і-схема А называется аффинной (или аффинно разрешимой), если любые два непараллельных блока пересекаются по одинаковому количеству точек.
Если V — однородное ОР коммутативной алгебры А = иІУЦ, то по Теореме 2.2.1 все примитивные идемпотенты подалгебр из V имеют одинаковый след. В этом случае, рассматривая примитивные идемпотенты алгебры А как точки и примитивные идемпотенты подалгебр из V как блоки, мы получим аффинную 2-схему1 А с классами параллельности соответствующими подалгебрам из V: В силу обратимости указанной конструкции мы получаем, что понятия аффинной 2-схемы и однородного ОР коммутативной алгебры эквивалентны.
Третье важное приложение Теоремы 2.2.1 относится к теории адамаро-вых ОР. ОР V алгебры А называется адамаровым, если V состоит из двумерных подалгебр. Алгебра А в этом случае также называется адамаровой. Термин "адамарово" объясняется тем, что из Теоремы 2.2.1 вытекает эквивалентность понятий матрицы Адамара порядка п и адамарова разложения алгебры nMi. Кроме этого, Теорема 2.2.1 позволяет сделать первый І шаг в направлении следующей гипотезы, которая является одной из центральных в теории адамаровых ОР.
Гипотеза 3. Если алгебра адамарова; то ее размерность. делится на 4 Теорема 2.2.1 позволяет утверждать, что размерность адамаровой алгебры делится на 2.
Адамаровы разложения и алгебры рассматриваются в Главе А. Помимо Гипотезы 3 там разбираются следующие вопросы:
(а) будет ли адамаровой алгеброй тензорное произведение и прямая сумма двух адамаровых алгебр;
(б) является ли алгебра матриц четного порядка адамаровой?
"Разложения; Винни-Пуха"или WP-разложения, которые послужили отправной точкой всех последующих исследований автора, рассматриваются в, Главе 3: Центральной темой в теории WP-разложений является доказатель ство Аналога Теоремы Вагнера. Знаменитая теорема Вагнера утверждает, что конечная аффинная плоскость, обладающая транзитивной на прямых группой коллинеаций, есть плоскость трансляций.
С точки зрения теории ортогональных разложений между конечными аффинными плоскостями порядка п и WP-разложениями алгебры Мп прослеживается очевидная аналогия — и те и другие представляют из себя однородные ОР типа nMi алгебр размерности п2. Только в случае аффинных плоскостей исходной алгеброй будет коммутативная алгебра п2Мі, а в случае WP-разложений — простая алгебра Мп.
Определив в качестве аналога плоскостей трансляций так называемые J-разложения, мы можем сформулировать аналог Теоремы Вагнера следующим образом.
Гипотеза 4 (аналог Теоремы Вагнера). Если WP-разложение V алгебры М„ допускает группу автоморфизмов транзитивную на множестве примитивных идемпотентов подалгебр из V, то V сопряжено J-разложению, и, в частности, Aut V содержит неприводимую нормальную элементарную абелеву подгруппу порядка п2 = р2т, р простое, действующую тождественно на V.
Основной результат Главы 3 — Теорема 3.4.2, подтверждающая Гипотезу 4 для нечетных га, не являющихся квадратами. Теорема 3.4.2 выводится как следствие другого важного результата — Теоремы 3.4.1, в которой Аналог Теоремы Вагнера доказывается при дополнительном предположении о существовании неединичного автоморфизма, нормализующего каждую подалгебру WP-разложения.
Кроме двух указанных теорем есть еще один важный результат в направлении Гипотезы 4. Он был установлен А.И.Кострикиным и Фам Хыу Тьепом в [5] в рамках теории алгебр Ли. Мы переформулируем его в терминологии ассоциативных алгебр:
( ) ПустъТ —WP-разложение алгебры Мп. Если Aut V действует непри-водимо на пространстве матриц с нулевым следом, то V сопряжено J-разложению.
WP-разложения, которые рассматриваются в ( ), называются неприводимыми WP-разложениями и утверждение ( ) является решающим шагом в их классификации, которая является на сегодняшний день одним из основных достижений в теории WP-разложений. Неприводимым ОР простых алгебр Ли в сумму картановских подалгебр посвящена значительная часть монографии [25]..Толчком к интенсивному исследованию неприводимых ОР послужила работа автора [31].
Несложно показать, что утверждение ( ) слабее Гипотезы 4. Причем примерно настолько, насколько условие транзитивности слабее условия 2-тран-зитивности.
Отметим, что доказательство утверждения ( ), приведенное в [5], существенно использует классификацию 2-транзитивных групп, и, следовательно, классификацию конечных простых групп. Есть надежда, что техника теории коммутативных ортогональных разложений, связанная с рассмотрением идемпотентов, позволит получить доказательство ( ), не привлекающее классификацию конечных простых групп. И такое доказательство может быть одним из шагов на пути к Аналогу Теоремы Вагнера.
Четвертое направление теории ортогональных разложений — Гипотеза о конечности группы автоморфизмов ОР.
Гипотеза 5. Пусть V — ОР алгебры А. Тогда группа kutV конечна.
Гипотеза 5 рассматривается в первом разделе Главы 9. Там эта гипотеза подтверждается для всех известных О Р. Однако основная часть Главы 9 посвящена другим вопросам — исследованию "Н-биекций групп и HR-изоморфизмов групповых колец. Эти понятия стоят особняком от основной тематики диссертации — изучение конфигураций идемпотентов. Однако своему появлению они обязаны Гипотезе 5. Именно при исследовании Гипотезы 5 в случае ОР, связанных с расщепляемыми группами, автор пришел к понятиям %-биекций групп и "Ид-изоморфизмов групповых колец.
Основные результаты Главы 9 это
(а) Теорема 9.4.1 о связи понятий жесткости и С-базисной жесткости в классе конечных абелевых групп;
(б) Теоремы 9.5.3 и 9.5.4 о жесткости и Д-базисной жесткости семейства подгрупп, расщепляющих группу;
(с) Теорема 9.6.1, в которой классифицируются устойчивые абелевы группы.
Обратимся теперь к сбалансированным системам идемпотентов; второй после ортогональных разложений из главных тем диссертации. Сбалансированные системы рассматриваются в Главах 5 - 8.
В Главе 5 развивается основной технический аппарат — вводятся понятия матрицы полупроизведений, двойственных систем, изучаются автоморфизмы сбалансированных систем идемпотентов в алгебрах матриц. В качестве одного из приложений этой техники выводятся оценки для числа идемпотентов (см. Раздел 5.2.3).
В Главе 6 изучаются сбалансированные системы в алгебре матриц с 2-транзитивной группой автоморфизмов. Центральный результат в ней — Тео рема 6.3.1, в которой классифицируются 2-системы с группой автоморфизмов PSL(2,q).
В Главе 7 изучаются сбалансированные системы со специальными параметрами. Устанавливается связь (2п, п)-систем и конференс матриц, а также -систем и (?Я-матриц. Основные результаты Главы 7:
(а) Теорема 7.1.2, в которой классифицируются 1-(тг+ 1,г, пг)-системы;
(б) Теорема 7.2.2, в которой классифицируются (4,2)- и (6,3)-системы.
В Главе 8 изучаются сбалансированные системы, которые являются базисами в исходных алгебрах. Это, так называемые, "сбалансированные базисы". Алгебры, допускающие сбалансированные базисы называются сбалансированными. В случае коммутативной исходной алгебры сбалансированные базисы отвечают самому изучаемому понятию в комбинаторном анализе — симметричным блок-схемам, к которым относятся конечные проективные плоскости, 2-схемы Адамара, разностные множества в группах.
Основные результаты Главы 8:
(а) Теорема 8.2.1, в которой строятся сбалансированные базисы в алгебрах Мрп, р нечетное простое;
(б) Теорема 8.3.2 о несуществовании в алгебре Мгп сбалансированных базисов с регулярной элементарной абелевой 2-группой автоморфизмов.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [29] -[41].
Коммутативные ОР: основная теорема
В этом разделе доказывается центральная теорема данной главы, подтверждающая справедливость Гипотезы о делимости для коммутативных ОР. Теорема 2.2.1. Пусть алгебра А допускает коммутативное OP Т = {As,s = 1,г]. Тогда выполняются следующие эквивалентные условия: (1) А является свободным правым (или левым) А3-модулем для всех s = T7r; (2) для каждой подалгебры Аа значения Тгд на примитивных идемпо-тентах этой подалгебры одинаковы. Доказательство. Эквивалентность условий (1) и (2) вытекает из Леммы 2.1.2. Будем доказывать выполнение условия (2). Пусть А = фр=1МПр. Будем считать, что А реализована как блочно-диагональная подалгебра в алгебре матриц М , где d = Ylp=\nv Таким образом, 1А = Ed — единичная матрица порядка d. Положим щ + "-Пр = ар, р = \,q (таким образом, aq = d), и, если натуральное число і таково, что ар-\ г о р, то определим п(г) = пр. Как и раньше Тг = Тгд обозначает след регулярного представления алгебры А. Через Eij обозначим матричные единицы в М , X = (х ) — матрица Коэффициентами Xjj, Т.е. X = Ylij=lXijEij Следующая лемма вытекает непосредственно из определений. Лемма 2.2.1. (1) если X = (xij) Є А, то Тг X = Yli=i n(i)xu Пусть Pr(A4) = {AS,BS,.. .,CS} — множество примитивных идемпотен-тов подалгебры As, s = 1,г (количество элементов в Рг(Ая) не меньше 2 и зависит от s). Положим Так как примитивные идемпотенты образуют линейный базис коммутативной полупростой алгебры, то из условия ортогональности вытекает Лемма 2.2.2. Элементы 1A,BSJ.,.,Cs,s = 1,г, линейно независимы и образуют базис алгебры А. Следующая лемма следует из Леммы 2.1.3 в виду того, что примитивные идемпотенты в каждой подалгебре Aj образуют ортогональный (относительно формы следа Тгд ху) базис.
Лемма 2.2.3. (тождество ортогональности) Для любого X Є А имеет место равенство Тождество ортогональности (2.2.1) будет основным инструментом в доказательстве теоремы Нам достаточно показать, что ks = ls = ... = ms при любом s = 1, г. Основная идея доказательства Теоремы 2.2.1 заключается в выводе из тождества ортогональности (2.2.1) следующего равенства: Теперь, вычитая из обеих частей равенства (2.2.2) получаем В силу Леммы 2.2.2 матрицы 1 = Ed, Bs,..., Cs, s — 1,г, линейно независимы. Значит, ks = ls — ... Вывод равенства (2.2.2) из тождества ортогональности осуществим в следующей последовательности шагов. Шаг 1. Положим в (2.2.1) X = Ец Є А, і ф j. Тогда TrXAs = n(j)aij(s), ЪХВ3 = n{j)bij{s),..., ТгXCS Отсюда следует, что Если Е . А, то aij(s) = bij(s) = ... = Cjj(s) = 0. Таким образом (2.2.4) выполняется при любых г Ф Поделим это равенство на kSi и просуммируем аналогичные равенства для bu(s),..., Cjj(s). Затем, учитывая что существует ровно п(г) — 1 индексов t таких, что t ф і, Ей Є А, и равенство (2.2.5), суммируем позив результате получаем: Шаг 4. Положим в (2.2.1) X = ЕЦ. Тогда имеем: Таким образом, равенство (2.2.2) доказано для диагональных элементов. Осталось проверить его для недиагональных элементов. Шаг б. Положим в (2.2.1) X = Е + Evu Є А, где і ф j, и ф v, и среди индексов i,j,u,v по крайней мере 3 различных. Тогда ТгХ = ТгХ2 = 0 и Отсюда в силу (2.2.4) и после деления на 2n2(j) п2(г;) получаем: Ясно, что ограничение Е + Evu Є А в (2.2.9) можно снять. Шаг 7. Так как A2 = As, то при г ф j имеем: Поделим это равенство на ks и просуммируем аналогичные равенства для bij(s),..., Cij(s). Затем суммируем по s и, учитывая (2.2.9), в результате получим при гф j Шаг 8. Положим в (2.2.1) Х = Ец- Е„. Тогда ТгХ = 0, ТгХ2 = п(І) + n{j) и Ясно, что условие Euv Є А в (2.2.12) можно опустить. Шаг 10. Из (2.2.10) и (2.2.12) следует, что при і ф j: Суммируем no учитывая, что ]Ct=i n(0«(s) = Tr. 4e = fca и аналогично для других идемпотентов: где последнее равенство вытекает из соотношения А3 + В3 + —\-Cs = .. Значит, и равенство (2.2.2) проверено для недиагональных элементов. Это завершает доказательство Теоремы 2.2.1 . Одно из главных приложений Теоремы 2.2.1 касается так называемой "Гипотезы об измельчении". Гипотеза 2.3.1. (Гипотеза об измельчении) Если подалгебры {В, С,..., D} образуют ОР алгебры А и подалгебры {Вь..., В } образуют ОР алгебры В, то {Bi,..., В , С,..., D} образуют ОР алгебры Из Теоремы 2.2.1 вытекает справедливость Гипотезы об измельчении для коммутативных ОР. Теорема 2.3.1. Если коммутативные подалгебры {В,С,...,D} образуют ОР алгебры A"it подалгебры {Bi,..., Bfc} образуют ОР алгебры В, то {Вь..., В С,..., D} образуют ОР алгебры А. Доказательство. В силу Теоремы 2.2.1 ортогональность относительно формы Тгдху равносильна ортогональности относительно формы Тгв У-Это доказывает теорему. Следующее приложение Теоремы 2.2.1 относится к понятию аффинной 2-схемы [11]. Подмножество в множестве блоков В -схемы А = {Р,В} называется классом параллельности (или иногда говорят об 1-факторе), если оно образует разбиение множества точек V. Если множество блоков В допускает разбиение на классы параллельности, то такое разбиение называется параллелизмом (или I-факторизацией), и і-схема А в этом случае называется разрешимой. Разрешимая -схема А называется аффинной (или аффинно разрешимой), если любые два непараллельных блока пересекаются по одинаковому количеству точек. Теорема 2.3.2. Понятия аффинной 2-схемы и однородного ОР коммутативной алгебры эквивалентны. Доказательство. Пусть семейство подалгебр V = {Bi,...,Br} образует однородное ОР типа dMi коммутативной алгебры А = uMi.
Покажем, что рассматривая примитивные идемпотенты алгебры А как точки,.а примитивные идемпотенты подалгебр из V как блоки, мы получим аффинную 2-схему1А с классами параллельности соответствующими подалгебрам из V. В силу Теоремы 2.2.1 в каждом блоке содержится одинаковое количество точек-идемпотентов равное k = v/d. Остается лишь показать, что каждые два примитивные идемпотента є,, є, Є Рг(А) встречаются вместе в одинаковом количестве блоков. Пусть е3і Є Pr(As) — единственный примитивный идемпотент подалгебры Аа такой, что Є{Є3І ф 0, т.е. ЄІ входит в блок, соответствующий eSj. В силу первого равенства Леммы 2.1.3 имеем: Умножим обе части этого равенства скалярно на ej : 1Если V имеет тип 2Мі, то получается Адамарова 3-схема. Осталось заметить, что сумма Y?a=i А e«ej определяет число блоков, содержащих вместе идемпотенты ЄІ и ej. Таким образом, Д является аффинной 2-схемой. Непосредственно проверяется, что соответствие V — Д обратимо. Теорема доказана. Отметим, что аффинные схемы интенсивно исследовались (см. П.8. [11]). Обозначим через A s) аффинную 2-схему с s блоками в классе параллельности, и в которой непараллельные блоки пересекаются по fi точкам. Легко видеть, что пара (fi, s) полностью определяет остальные параметры схемы A s), и, в частности, (s) соответствует однородному ОР типа sMx алгебры s2fj.Mі. В первую очередь возникает вопрос: для каких пар (/І, S) схема A (s) существует? Здесь имеются следующие результаты. Множество всех гиперплоскостей аффинного (n + 2)-мерного пространства над конечным полем из q элементов образует Agn(q) для каждого примарного q. Далее, Ап(2) существует одновременно с матрицей Адамара (±1-матрица с попарно ортогональными строками) порядка 4п. Как отмечалось в [11], неизвестно никаких других значений (д, s), (а Шрикханд [27] выдвинул гипотезу, что их и нет) для которых существует аффинная 2-схема. Кимберли [24] рассматривал аффинные t-схемы, где t 3. Он доказал, что аффинная 3-схема изоморфна А (2) и получается из матрицы Адамара порядка 4 . Также он доказал, что не существует нетривиальных аффинных і-схем при t 4. В [30] высказана гипотеза о возможности измельчения произвольного ОР коммутативной алгебры до однородного. Напомним, что однородное ОР Т типа 2Mi алгебры А называется адамаро-вым. Алгебра, допускающая адамарово разложение также называется ада-маровой. Частным случаем Теоремы 2.3.2 является эквивалентность понятий классической матрицы Адамара порядка п и адамарова разложения коммутативной алгебры nMi, что и объясняет введенную терминологию. Одна из центральных гипотез об адамаровых разложениях утверждает, что размерность адамаровой алгебры кратна 4. Теорема 2.2.1 позволяет сделать первое продвижение в направлении этой гипотезы. Именно, справедлива Теорема 2.3.3. Размерность адамаровой алгебры четна. В заключение главы отметим, что на пути к доказательству Гипотезы о делимости для коммутативных ОР автор первоначально доказал ее для однородных ОР коммутативных алгебр (см. [34]).
Аналог Теоремы Вагнера
Каждое расслоение = {Ц,} Fg-пространства V определяет аффинную плоскость А(Е) специального вида — так называемую плоскость трансляций, точками которой являются вектора пространства V, а прямыми — смежные классы подпространств VJ. При этом выполняются следующие аксиомы, определяющие аффинную плоскость: (1) каждая прямая содержит по крайней мере две точки; (2) через любые две точки проходит единственная прямая; (3) для любой прямой L и точки v L существует единственная прямая, содержащая и и не пересекающая L; (4) существуют три неколлинеарные точки. Для любого вектора и Є К отображение v н- - v + и является коллинеаци-ей (т.е. сохраняет отношение инцидентности точка-прямая) плоскости v4(E), при этом каждый класс параллельных прямых переходит в себя. Коллине-ация а аффинной плоскости Л называется трансляцией, если о; действует тривиально на множестве классов параллельных прямых и действует f.p.f.1 на множестве точек плоскости А. Хорошо известно ( [34]), что трансляции могут быть охарактеризованы следующим условием: ( ) если коллинеация а действует тривиально на множестве классов параллельных прямых, и для каждого класса параллельности а действует на множестве его прямых либо f.p.f., либо тождественно, тогда а является трансляцией. 1f.p.f. означает "без неподвижных точек" Множество всех трансляций образует группу Т, которая действует полурегулярно на множестве точек и которая нормальна в полной группе колли-неаций плоскости А [17]. Если Т регулярна на множестве точек, то А называется плоскостью трансляций, а Т при этом называется группой трансляций плоскости А. Этому условию удовлетворяет плоскость .4(E).. Каждая прямая аффинной плоскости Л содержит одинаковое число точек, которое называется порядком плоскости А. Плоскость порядка п содержит п2 точек. Следовательно, если А — плоскость трансляций порядка п, то ее группа трансляций Т содержит п2 элементов. Нам понадобится следующая хорошо известная (см. [17]) характеризация плоскостей трансляций: ( ) аффинная плоскость А является плоскостью трансляций, если ее группа трансляций действует транзитивно на множестве прямых каждого класса параллельности. Плоскости трансляций представляют для нас особенный интерес.
Знаменитая Теорема Вагнера утверждает, что конечная аффинная плоскость, обладающая транзитивной на прямых группой коллинеаций, является плоскостью трансляций [28]. Напомним соответствие между аффинными плоскостями порядка п и однородными ОРтипа nMi алгебры п2М\ : идемпотенты Pr(n2Mi)2 рассматриваются как точки, а идемпотенты Рг( Р) как прямые, где V — ОР типа пМ\. В этой ситуации подалгебрам из Т соответствуют классы параллельности. Теперь, мы можем переформулировать Теорему Вагнера в терминах теории ОР: Теорема Вагнера. Пусть Т — однородное ОР тина пМ\ алгебры п2М\. Если AutV действует транзитивно на Pv(V), то A\itV содержит нормальную элементарную абелеву подгруппу регулярную на Pr(n2Mi) и тождественную наТ (другими словами, V соответствует плоскости трансляций). Вернемся к WP-разложениям и обсудим более подробно их связь с аффинными плоскостями. Следуя указанному выше соответствию.между аффинными плоскостями порядка п и однородными ОР типа пМ\ алгебры n2Mi мы видиму что прямым на плоскости соответствуют примитивные идемпотенты подалгебр ортогонального разложения, причем классы параллельности отвечают самим подалгебрам. Следующая лемма в виду характеризации ( ) оправдывает термин "WP- 2Рг(А) обозначает множество примитивных идемпотентов алгебры А трансляция". Лемма 3.4.1. Пусть автоморфизм а является WF -трансляцией WF -разложения V. Тогда (1) а действует тождественно на V; (2) для любой подалгебры В Є V а действует на Рг(В) либо тождественно, либо f.p.f. (т.е. без неподвижных точек). Доказательство. Пункт (1) вытекает из определений. (2) Пусть а Є N{, т.е. а действует на Pr(Bj) тождественно. Тогда, в силу Леммы 3.3.5 п.(1), на множестве примитивных идемпотентов любой другой подалгебры из V а действует f.p.f. Лемма доказана. Лемма 3.4.2. Пусть автоморфизм а Є AutX действует тривиально на V. Тогда а является WP-трансляцией тогда и только тогда, когда а суть сопряжение матрицей с нулевым следом. Доказательство. Будем использовать обозначения предыдущего раздела 3.3. В силу Леммы 3.3.2 имеем соотношение для характеров группы G = Aut : Пусть а является сопряжением матрицей X. В силу конечности группы G (по Лемме 3.3.1) автоморфизм а имеет конечный порядок. Поэтому мы можем предполагать, что матрица X также имеет конечный порядок. В этом случае txX l = trX Так как а: действует тождественно на V, то Ь(а) = п + 1. Следовательно s(ct) = п. Это означает, что а имеет п неподвижных примитивных идемпотентов в Рг(Р). Если любые два из этих идемпотентов принадлежат различным подалгебрам В{, Bj Є І , то, рассматривая базис Pr(Bj) Pr(Bj) в Мп, мы получим х{а) Ф 0- Это противоречит 3.4.1. Значит, все неподвижные идемпотенты автоморфизма о; лежат в одной подалгебре и, следовательно, а является WP-трансляцией. =Ф- Пусть а является WP-трансляцией. Рассматривая действие а на базисе Pr(Bi) Pr(Bj) для любых двух различных подалгебр мы получим х(а) = 0. Теперь из 3.4.1 следует Значит, tr X = 0. Лемма доказана. Следствие 3.4.1. (1) Сопряжение матрицей Ju является WP-трансляцией любого J-разложения; (2) группа G(J(n)) является группой WP-трансляций любого J-разложения. Доказательство. (1) Так как tr Ju = 0, если и ф 0, то, с учетом Леммы 3.3.9, из Леммы 3.4.2 следует Conj(Ju) является WP-трансляцией. (2) Пусть Т — группа WP-трансляций J-разложения V алгебры Мп. В силу Леммы 3.3.5 п.(7), \Т\ п2. Так как \G(J(n))\ = п2, то в силу п.(1), G(J(n)) = Т. Следствие доказано. Осталось определить аналог плоскостей трансляций. Так как для WP-разложений нет подходящего аналога множества точек аффинной плоскости, то мы будем опираться на характеризацию ( ) аффинных плоскостей. Лемма 3.4.3. Пусть Т — группа WP-трансляций WP-разложения V = {Bj} алгебры матриц Мп.
Тогда следующие условия эквивалентны: (1) для каждой подалгебры В, Т действует транзитивно на множестве ее примитивных идемпотентов Pr(Bj); (2) Т является элементарной абелевой р-группой порядка п2; (3) Т сопряжено G(J(n)); (4) V сопряжено J -разложению. Доказательство. (1)= (2) Пусть Подгруппа Ni является ядром действия группы Т на множестве примитивных идемпотентов Pr(Bj). Так как Т действует на Рг(В,) транзитивно, то Таким образом, мы имеем неравенство Отсюда получаем"/: пи, значит, к = п. Следовательно, В силу Леммы 3.3.5 п.(7), \Т\ п2. Значит, \Т\ - п2. В силу Леммы 3.3.11 п = рт, где р простое. (2)= (3) Вытекает из Леммы 3.3.11. (3)= (4) Вытекает из Леммы 3.3.10. (4)=Ф-(1) В силу Следствия 3.4.1 п.(2) группа G(J(n)) является группой трансляций J-разложения V. Имеем: iVj = пи, в силу Леммы 3.3.5 п. (6), N{ действует полурегулярно на множестве Рг(В )) при j ф г. Значит, Ni действует на Pr(Bj) регулярно для любых i,j, г ф j. Следовательно, Т действует на каждом множестве Рг(Вj) транзитивно. Лемма доказана. Следующая теорема — центральная в главе. Она является аналогом Теоремы Глисона (см. Следствие 1 к Теореме 4.26 [18] и Теорема 20.9.6 [8], а также [15]).) Теорема 3.4.1. [33] Пусть V — WP-разложение и AutV действует транзитивно на Рг(Х ). Если Aut V содержит неединичный автоморфизм, действующий тождественно на V, то V сопряжено J-разложению. Доказательство. По условию, группа N = {а Є AutX Ва = В для всех а Є V} нетривиальная. Значит, в силу Леммы 3.3.6, группа трансляций Т также нетривиальная. Очевидно, что Aut V действует транзитивно на множестве подалгебр WP-разложения V. Отсюда следует, что все подгруппы Ni — {а Є N \ Xа = х для всех х Є Bf} имеют одинаковый порядок к. Так как \Т = Ni U U iV„+i 1, то к Г. Из Леммы 3.3.7 следует к = п и, значит, \Т\ = п2. Теперь, в силу Леммы 3.4.3 получаем, что то V сопряжено J-разложению. Теорема доказана. Следующая, вторая по важности теорема этой главы, подтверждает Гипотезу 3.4.1 для алгебр матриц Мп, когда п нечетно и не является квадратом. Теорема 3.4.2. [33] Пусть V — WP-разложение алгебры М„, п — нечетный неквадрат. Если AutP действует транзитивно на Рг(! ), то V сопряжено J-разложению. Доказательство. Положим G = Aut V. Из транзитивности G на множестве примитивных идемпотентов Рг(1 ) следует, что порядок G делится на п(п + 1) = Рг(2?).
Сбалансированные системы идемпотентов в алгебрах матриц
Пусть = {еі,..., ev} — сбалансированная 2-система идемпотентов ранга г в алгебре матриц Mn, Таким образом, в наших обозначениях есть (v, г)-система в Мга или (v, г, п)-система. Коэффициент к найден применением к обеим частям условия сбалансированности функции tr. Значение Л найдено аналогичным способом из условия сбалансированности, умноженного на Нам понадобится следующая лемма, которая очень полезна при исследовании идемпотентов. Лемма 5.2.1. Пусть матрица А порядка v имеет ранг п, тогда существуют матрицы Yvxn и Xnxv ранга п такие, что A = YX. Кроме того, если A = Y X для некоторых матриц YyXn, X nxv, то существует, единственная невырожденная матрица Т порядка п так, что Y = YT и X = Т 1Х. Доказательство. Заменяя в случае необходимости матрицу А матрицей PAQ, где Р и Q — подстановочные матрицы, без ограничения общности можем считать, что А имеет ненулевой минор порядка п в верхнем левом углу. В качестве матрицы У возьмем первые п столбцов матрицы A : Y = (А ) --А ). Тогда условие YX = А однозначно определяет столбец Х х1 для і = n+l,v. Полагая теперь X = (ЕпХ(п+1)) Х ), получим требуемое представление A = YX. Пусть где п + тп = v. Без ограничения общности можем считать, что B,D — невырожденные матрицы. Так как BD = B D , то B ,D — тоже невырождены. Положим Т = B lB . Тогда ВТ = В . Из CD = CD получаем С = CDD -1. Отсюда выводим СТ = CB lB = CB B D D -1 = CB-lBDD -1 = CDD -1 = С". Значит YT = У. Аналогично T lD = B XBD = В -1 B D1 = D vs. T lF = B lBF = B -lB F = F . Значит Xі = T lX. Лемма доказана. Лемма 5.2.1 позволяет представить каждый идемпотент системы в виде произведения (v х г) матрицы и (г х v) матрицы, каждая ранга г : где Xsi есть строка длины г a YiS — столбец высоты г. Так как е2 = е», то в силу Леммы 5.2.1 Тогда блочная матрица Avrxvr = (Ац) называется матрицей полупроизведений системы . Будем говорить, что допускает матрицу полупроизведений А, которая, очевидно, определена неоднозначно. Рассмотрим матрицу столбцов и соответственно матрицу строк системы : Легко видеть, что A = YX, и условие сбалансированности равносильно равенству XY = кЕп. Лемма 5.2.2. Матрица полупроизведений (блочная) А = {Ац) обладает свойствами: При этом (2) и (3) выполняются и в случае, когда является 1-системой. Доказательство. (1) Имеем: В силу Леммы 5.2.1, отсюда получаем Ац = X Yi = Ет . Далее: Равенство A = YX влечет rank У, rank X п, и в силу размеров матриц X и Y получаем rankF = rankX = п. Лемма доказана.
Теорема 5.2.1. (1) Множество матриц полупроизведений, отвечающих данной (у,г,п)-системе , является орбитой группы блочно-мономиальных матриц M(v, г) = M(v) О GL(r, С) относительно действия сопряжением. (2) Две (v, г, п)-системы допускают одинаковую матрицу полупроизведений тогда и только тогда, когда они сопряжены. (3) Каждая матрица А = (Л ,) порядка vr такая, что при і ф j, где п г, является матрицей полупроизведений некоторой (v, г, п)- системы и Таким образом имеется биективное соответствие между классами сопряженности сбалансированных (v, г, п)-систем и классами M(v, г)-сопряженности матриц, обладающих свойствами (1) и (2) Леммы 5.2.2. Доказательство. (1) Пусть мы перешли к новым записям идемпотентов: Тогда новая матрица полупроизведений будет сопряжена исходной посред-хтвом блочно-диагональной матрицы diag(Ti,... ,STV). Перестановке идемпотентов отвечает сопряжение матрицы полупроизведений соответствующей подстановочной матрицей Р g Ег. (2) Пусть (v, г, п)-системы Е\ и Е2 допускают одинаковую матрицу полу произведений A = Y\X\ = Y2X2, где Xi,Yj, — матрицы столбцов и соответ ственно строк системы Е{. Тогда по Лемме 5.2.1 существует невырожденная матрица Т порядка п так, что Отсюда получаем Е\ = Т 12Т. В обратную сторону: пусть Z\ = Т ХЕ2Т. Ясно, что матрица полупроизведений системы \, построенная по представлениям идемпотентов е,- = X Yi Є Еі, совпадает с матрицей полупроизведений системы Е2, построенной по представлениям идемпотентов Т 1ЄІТ = (3) Как и в доказательстве пункта (3) Леммы 5.2.2 заключаем, что rank А = п 1. Отсюда следует, в силу Леммы 5.2.1, существование матриц YVTXn, Xnxvr ранга п таких, что A = YX. Из равенства по Лемме 5.2.1, получаем XY = Еп. Это значит, что семейство матриц ЄІ = X Yi,i = l,v, является (и,г,п)-системой идемпотентов. Отсюда без труда находим Л. Теорема доказана. 5.2.2 Симметрические и двойственные системы Очевидно, что = {е\,..., ebv} — является, как и Е, (и,г,п)-системой, которую будем называть транспонированной к . Система Е называется симметрической, если она состоит из симметрических идемпотентов. Лемма 5.2.3. Пусть система допускает матрицу полупроизведений А. Тогда г допускает матрицу полупроизведений А . Доказательство. Пусть е = X Yi Є Е, A = (Aij),A{j.= Y{X \ Построим матрицу полупроизведений А = (А ) системы по представлениям е\ = Yf(XWy. Имеем: Значит, А = А1. Лемма доказана. Лемма 5.2.4. Пусть А — симметрическая матрица порядка v и ранга п. Тогда существует матрица ZVXn ранга п такая, что A = ZZ . Доказательство. По Лемме 5.2.1 существуют матрицы Yvxn, Xnxv ранга п такие, что A = YX. Из А = Л следует УХ = Х У . По Лемме 5.2.1 существует невырожденная квадратная матрица Т порядка п такая, что Имеем: Следовательно ГУ = Т У. Так как rank У = п, то Т = Тг. В силу того, что каждая квадратичная форма над С приводится к сумме квадратов, существует матрица Qnxn Т = QQ1. Положим Z = YQ. Тогда Лемма доказана. Теорема 5.2.2. Система сопряжена симметрической системе тогда и только тогда, когда допускает симметрическую матрицу полупроизведений. Доказательство. =$ Пусть — симметрическая система, сопряженная (и, г, п)-системе . Тогда по Лемме 5.2. 4 каждый идемпотент є Є можно записать в виде для некоторой (п х г) матрицы Х$. Имеем: To есть отвечающая этим представлениям идемпотентов системы матрица полупроизведений A = (aij) симметрическая. Значит, и сопряженная с система в силу Теоремы 5.2.1 допускает симметрическую матрицу полупроизведений (ту же самую, что и ). = Пусть допускает симметрическую матрицу полупроизведений А. Тогда по Лемме 5.2.4 существует матрица Zvrxn : A = ZZb. В силу Леммы 5.2.1 сопряжена системе из симметрических идемпотентов ZiZ\, где Теорема доказана. Пусть A = (Aij) — матрица полупроизведений (v, г, п)-системы и vr п + г. Тогда в силу Леммы 5.2.2 матрица есть идемпотент, который будем называть ассоциированным идемпотентом системы S. Очевидно, что также является идемпотентом.
Положим Таким образом, в силу Теоремы 5.2.1 п.(3), В есть матрица полупроизведений некоторой (v, г, vr—п)-системы ,nF есть ассоциированный идемпотент этой системы. Определение 5.2.1. Две сбалансированные системы 1,82 из v идемпотен-тов одинакового ранга г в алгебре Мп будем называть двойственными, если они допускают ортогональные ассоциированные идемпотенты Используя свойства матриц полупроизведений и двойственных систем мы получим сейчас оценку для числа идемпотентов в сбалансированной -системе ранга г в алгебре Мп. Теорема 5.2.3. (1) Если существует неортогоналъная l-(v,r)-cucmeMa в Мп, то (2) Если существует 2-{v, г)-система в Мп, то Доказательство. (1) Пусть F — ассоциированный идемпотент нетривиальной 1-(г/, г, п)-системы Значит, ранг идемпотента EVT — F равен Так как система неортогональная, то в силу Теоремы 5.1.1 vr ф п. Поэтому идемпотент Evr — F содержит ненулевую скалярную подматрицу порядка г. Следовательно (2.І) Пусть — 2-(v, г, п)-система. В силу Теоремы 5.1.3, система линейно независима. Поэтому v п2. (2.ІІ) Пусть vr—r п. Тогда корректно определена двойственная (v, г, vi— п)-система . Линейная независимость влечет Теорема доказана. Замечание. Теорема 5.2.3 изложена в [41], к сожалению, с множеством опечаток (по вине автора). Властности, вместо условия "неортогональная"в п.(1), в [41] напечатано "нетривиальная", что является излишним. Кроме этого, в п.(2) в [41] требуется нетривиальность 2-(г ,г)-система в М„, что опять же излишне. Есть и другие опечатки, которые, впрочем, легко обнаруживаются и исправляются из контекста. В этом пункте будем рассматривать только сбалансированные 2-системы из примитивных идемпотентов, т.е. системы ранга 1. Поэтому ранг системы и параметр t — 2 не будет указываться. Определение 5.2.2. Пусть A = (aij)vxv — матрица полупроизведений (v, п)-системы S. Матрицу будем называть приведенной матрицей полупроизведений или сокращенно ПМП. Отметим свойства ПМП В = (6 ), вытекающие из Леммы 5.2.2: (1) при всех г : Матрица полупроизведений А однозначно восстанавливается по ПМП В следующим образом.
Группа Г = PSL(2,q), q нечетно, и ее 2-транзитивное представление степени q + 1
Будем придерживаться обозначений из [12]. Рассмотрим отдельно следующие случаи. 1-й случай: q = ра ф 9, q 5. В этом случае универсальная накрывающая G = 51/(2, q) = 2.Г и стабилизатор точки G{ = ра : q — 1, коммутант G\ = ра. Группа G имеет следующие степени нелинейных неприводимых характеров: (см.[18]). При этом ровно два характера, обозначим их ф и ф, имеют степень (+1)/2. Таким образом, существует единственная пара характеров, сумма степеней которых равна q + 1. Эта пара — (ф,ф). Так как то характеры ф,ф двойственные, и в силу Теоремы 6.2.4 каждая (q + 1, )-система с подгруппой автоморфизмов Г сопряжена либо системе с параметрами (Г, ф), либо двойственной системе с параметрами(Г,ф). 2-й случай: q = 3. Нетривиальная (4, п)-система может существовать только при п = 2. Как следует из Теоремы 8.3.1, существует единственная (4,2)-система и Aut = Р5Х(2,3) = А . Поэтому случай g = 3 можно было бы считать рассмотренным. Однако удобнее включить его в общую канву рассуждений. Группа С? = 5Х(2,3) имеет три характера степени 2. Но только для двух из них, обозначим их ф и ф, выполняется (6.3.1). Для оставшегося характера // имеем [lc, fie .] = 0. Значит, ив этом случае мы имеем единственную пару двойственных характеров (ф,ф). 3-й случай: q=5. Помимо двух характеров ф и ф степени 3 универсальная накрывающая G = SL(2,5) имеет два характерац\, Ц2 степени 2 и два характера i i, 1/2 степени 4. Пары (ДІ, UJ) отбрасываем, так как в силу Теоремы 5.2.3 не существует (6,2)- и (6,4)-систем. Для ф и ф выполняется (6.1.1). 4-й случай, q = 9. В этом случае множество Irr (7, где универсальная накрывающая G = 6.Г, помимо двух характеров ф,ф степени 5 содержит два характера /ii,/ 2 степени 4 и три характера 1, 2, 3 степени 6. Степени остальных неприводимых нелинейных характеров: 3, 8, 9, 10, 12, 15 [12]. Таким образом, кроме пары (ф,ф) мы имеем еще 6 пар характеров (fii,Uj), сумма степеней которых равна 10. Характеры //i, 2 являются фактически характерами накрывающей G = 2.Г = ,SX(2,9). Имеем: Следовательно, в силу Теоремы 6.2.3 пары (fj,i,Uj) отбрасываем. Характеры ф, ф укладываются в схему 1-го" случая: Таким образом, в каждом случае существует единственная пара двойственных характеров (ф, ф) группы G, причем их степени равны -. Следовательно, в силу Теоремы 6.2.4 справедлив вывод: (о) каждая (q+1, )-система с подгруппой автоморфизмов Г сопряжена либо системе с параметрами (Г, ф), либо двойственной системе с параметрами (Г,ф). Напомним определение матриц Пэли. Пусть х квадратичный характер поля F7 = {oi,..., aq}, q — нечетно. Положим (Q называется матрицей Джекобстола). Матрицей Пэли называется матрица Нам понадобятся следующие известные свойства матриц Пэли. Лемма 6.3.1. [16, 14] (1) При q = l( mod 4) матрица Пэли Cq+i симметрична, при q = —1( mod 4) — кососимметрична; (2)C2q+l = X(-l)qEg+1; 3) централизатор матрицы Cg+i в группе мономиалъных матриц M(q+ 1) содержит подгруппу, изоморфную SL(2, q); 4) матрицы Cq+i и —Cq+i сопряжены посредством мономиальной матрицы. Теорема 6.3.1. Существует единственная с точностью до сопряженности (q + 1,п)-система В с 2-транзитйвной группой автоморфизмов Г = PSL(2, q),q — нечетно. При этом п = и В допускает приведенную матрицу полупроизведений ієСя+і, где е(1 — х{—!)) Доказательство. В силу Теоремы 5.2.4 и пп. (1) и (2) Леммы 6.3.1, матрица Cq+i, при q = 1( mod 4), и матрица iCq+i, при q = —1( mod 4), является ПМП некоторой (q+l, (д+1)/2)-системы В. Из п.(3) Леммы 6.3.1 следует, что Aut В содержит 2-транзитивную подгруппу Г. Таким образом, с учетом (о) получаем, что каждая (q+l, )-система с параметрами (Г, , ) сопряжена либо , либо двойственной системе В. Но В допускает ПМП противоположную по знаку ПМП системы , то есть — iCq+i. Значит, в силу п. (4) Леммы 6.3.1 системы В и В сопряжены. Теорема доказана. Сбалансированные системы со специальными параметрами Как следует из Теоремы 5.1.1 сбалансированные 1-(п, г, пг)-системы имеют параметр к = 1 и, значит, ортогональны. Теперь, из сопряженности максимальных полупростых коммутативных подалгебр в М„г следует единственность 1-(п, г, пг)-системы с точностью до сопряженности. Кроме того, эта система является также сбалансированной n-системой, и ее группа автоморфизмов, профакторизованная по подгруппе, действующей тривиально на идемпотентах системы, изоморфна симметрической группе Sn. Оказывается, что указанными свойствами обладают также и 1-(п+1, г, пг)-системы. Рассмотрим сначала случай г = 1. Параметр г = 1 при обозначении системы будем для краткости опускать. Замечание. Существование (п + 1)-(п + 1, п)-системы в Мп доказывается в [38] (Теорема 8) методом, использующим кратно-транзитивные группы. Именно, пусть G{ — стабилизаторы точек в каноническом подстановочном представлениии Sn степени п +1, ф : Sn+i — М„,— соответствующее линейное неприводимое представление. Тогда идемпотенты образуют (п+1)-(гг+1,п)-систему, группа автоморфизмов которой, очевидно, изоморфна Sn+i- Рассмотрим теперь случай 1-(п + 1,г,пг)-систем произвольного ранга. Положим ЕТ = {е 8 Ег є Є }. Теорема 7.1.2. В алгебре Мгп каждая 1-(п + 1, г, тп)-система сопряжена системе {п) ЕТ. В частности, является (п + 1)-(п + 1,г, гп)-системой, порождающей подалгебру, изоморфную Мп, и Aut = Sn+i х .GL(r, С). Доказательство. Пусть — {е\,.. .,еп+1} — сбалансированная 1-(п + 1,г, гп)-система в алгебре Мгп. Из условия сбалансированности, применяя к обеим частям функцию tr, получаем (n + l)r = km. Отсюда находим параметр п Как следует из Леммы 5.2.1, каждый идемпотент ранга г может быть представлен в виде где X l\Yi — матрицы ранга г, размеров соответственно гп х г и г х т. Такое представление не единственно. Любое другое представление может быть получено из данного единственным образом с помощью подходящей невырожденной (г х г)-матрицы Т : Отметим, что если j-я строка матрицы Х ненулевая, то, используя метод исключения Гаусса, можно подобрать матрицу Т так, чтобы j-я строка матрицы Х Т состояла из нулей и одной 1 в любой наперед заданной позиции. Шаг 1. Положим X = (Х Х(п+1 ). Покажем, что ранг матрицы полученной из X вычеркиванием Х \ равен гп. Достаточно рассмотреть случай і = п + l. Предположим, что rankX(n + 1) г п. Тогда сопряжением в Мгп можно добиться, чтобы последняя строка матриц Х( \ г = 1,..., п, была нулевой. Далее, последнюю строку матрицы Х(п+1\ которая в силу условия сбалансированности нулевой быть не может, без ограничения общности в силу можно считать равной (0,..., 0,1). Тогда из условия сбалансированности следует, что последняя строка матрицы Yn+\ равна (0,..., 0, к). Так как то, приравнивая последние строки матриц Ег и Yn+iX n+1\ получаем к = 1. Это противоречит найденному ранее значению к = (n + 1)/п. Шаг 2. Так как гапкХ(тг + 1) = гп, то переходя к сопряженной системе Х х(п+1)ЕХ(п+1), получаем, что без ограничения общности можно считать Х(п + 1) = Етп. Отсюда в силу равенства YiX = Ет выводим Сопрягая блочно-диагональной матрицей Т = diag(B11,...,В х), получаем Те{Г 1 = fi Ег, то есть сопряжена системе (п) Ег. Теорема доказана. Напомним, матрица С порядка v с нулевой диагональю и +1 или —1 в других позициях называется конференс-матрицей или С-матрицей, если С удовлетворяет условию С-матрицы появляются в различных вопросах математики (см. [16, 14, 13]). Их систематическое изучение было начато около 50 лет назад Белевичем [9], который ввел термин "конференс-матрица". Известны следующие необходимые условия существования С-матриц: (2) для симметрических С-матриц: v = 2 (mod4) и v — 1 = a? + b2,a,b Є Z; [9, 10] (3) для кососимметрических С-матриц: v = 2 или v = 0 (mod 4). Очевидно, С-матрицы выдерживают умножение строки или столбца на —1 и сопряжение подстановочной матрицей. Фактически, кроме симметрических и кососимметрических, других С-матриц не существует. Лемма 7.2.1. [Ц] Путем умнооюения строк и столбцов на —1 С-матрица порядка v может быть приведена 1) к симметрическому виду, если v = 2 (mod 4); 2) к кососимметрическому виду, если v = О (mod 4).
