Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Структурная теорема 16
1.1. Постановка задачи 16
1.2. Доказательство теоремы 19
Глава 2. Граф простых чисел конечной простой группы 25
2.1. Постановка задачи 25
2.2. Обозначения и предварительные результаты 26
2.3. Смежность нечетных простых чисел 32
2.4. Смежность с характеристикой 37
2.5. Смежность с числом 2 41
2.6. Неплотность 45
2.7. Приложения 52
Глава 3. Распознаваемость групп со связным графом простых чисел 54
3.1. Постановка задачи 54
3.2. Доказательство теоремы 3.1 55
3.3. Вспомогательные результаты о линейных группах 56
3.4. Доказательство теоремы 3.2. Квазираспознаваемость 59
3.5. Окончание доказательства теоремы 3.2 62
Глава 4. Группы с малым спектром 65
4.1. Постановка задачи 65
4.2. Предварительные сведения 66
4.3. Доказательство теоремы 4.1 67
4.4. Доказательство теоремы 4.2 69
Глава 5. Исключительные группы лиева типа 74
5.1. Постановка задачи 74
5.2. Свойства групп (?2(#) и F^(q) 74
5.3. Доказательство теоремы 5.1 79
5.4. Доказательство теоремы 5.2 82
Содержание
Приложение 85
Литература 101
- Доказательство теоремы
- Обозначения и предварительные результаты
- Вспомогательные результаты о линейных группах
- Доказательство теоремы 4.1
Введение к работе
Общая характеристика работы
Постановка задачи и актуальность темы диссертации. Пусть G — конечная группа. Спектром ui{G) конечной группы G называется множество порядков ее элементов. Иными словами, u{G) = {п Є N 3 х Є G : \х\ = п}.
Группа G называется распознаваемой по спектру, если любая конечная группа Н, удовлетворяющая условию и (Н) = w(G), изоморфна группе G. Диссертация посвящена следующей проблеме.
Основной вопрос. Какие конечные группы распознаются по спектру?
Таким образом, мы имеем дело с классической математической задачей. Дан класс объектов и некоторый естественный набор параметров, присущих каждому объекту из этого класса. Спрашивается, какие объекты данного класса характеризуются в нем этим набором параметров. Безусловно, при постановке такой задачи важен выбор набора параметров, который должен быть с одной стороны достаточным для характеризации широкого семейства объектов данного класса, а с другой — достижимым, чтобы задача его отыскания была существенно проще самой задачи характеризации.
Оказывается, что спектр конечной группы является в указанном смысле "хорошим" набором параметров для характеризации конечных простых и близких к ним групп в классе всех конечных групп. С одной стороны, многие конечные простые группы характеризуются с точностью до изоморфизма в классе конечных групп (подробнее см. ниже). С другой стороны, при абстрактном представлении конечной группы как black-box group (см. [23,24,51]), наиболее популярном сейчас среди специалистов по вычислениям в теории конечных групп, спектр — самый естественный и достижимый набор параметров. Мы не затрагиваем в диссертации связанные с этой темой вычислительные вопросы (подробности можно найти в уже упомянутых работах [24,51]), а сконцентрируемся на теоретическом аспекте проблемы.
Для того, чтобы уточнить постановку задачи, обозначим через h(G) число попарно неизоморфных конечных групп с тем же спектром, что и конечная группа G.
Будем говорить, что для группы G проблема распознаваемости решена, если мы знаем точное значение h(G). Кроме того, если h(G) = 1, то в соответствии с данным выше определением группа G называется распознаваемой по спектру (кратко, распознаваемой); если 1 h(G) со, то группа G называется почти распознаваемой; наконец, если h(G) = со, то G называется нераспознаваемой.
Безусловно, вопрос о связи между спектром группы и ее строением изучался специалистами давно. Так, хорошо известно, что группы с OJ(G) = {1,2} являются элементарными абелевыми 2-группами. В 1932 году Леви и ван дер Вар-ден [52] доказали, что при условии CJ(G) — {1,3} группа G нильпотентна и её ступень нильпотентности ограничена числом три. Нойман [64] описал группы G с u(G) = {1,2,3}. Санов [20] и М. Холл [47] установили, что группы G, для которых u){G) С {1,2,3,4}, соответственно, u(G) С {1,2,3,6} локально нильпотентны. Нейман [65] определил строение группы G, если u (G) = {1,2,5}. Отметим, что все эти результаты получены без предположения о конечности группы G. Целый ряд результатов был получен и для конечных групп. Выделим среди них результаты Хигмана и Сузуки о конечных группах, спектр которых содержит только степени простых чисел (их называют ЕРРО-группами). В 1957 году Хигман [48] показал, что порядок конечной разрешимой РР0-группы имеет не более двух простых делителей, а в 1962 году Сузуки [90] описал все конечные простые JPP0-группы. В середине 80-х годов, рассматривая общую проблему строения конечных ЕРРО-групп, китайский математик Ши Вуджи обнаружил (см. [71,72]), что знакопеременная группа АЫ5 и простая линейная группа L2 (7) однозначно характеризуются своим спектром в классе конечных групп. Именно Ши Вуджи принадлежит постановка вопроса о распознаваемости конечных групп по спектру в том виде, в котором он сформулирован в диссертационной работе. В 1988 году Ши удалось доказать распознаваемость уже бесконечной серии конечных простых групп L2(2k) (см. [73]), а затем совместно с немецким ученым Брандлом полностью решить проблему распознаваемости для простых линейных групп размерности два над произвольным конечным полем (см. [29]). Оказалось, что группы г( 7) распознаваемы при q ф 9, а группа 1 (9) Alt6 нераспознаваема. Отметим, что позднее Журтов и Мазуров [7] доказали, что группы 1 (2 ) однозначно характеризуются своим спектром даже в классе всех групп.
Кроме того, в [81] Ши показал, что группа, обладающая нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой, нераспознаваема (точное доказательство этого утверждения см. в работе Мазурова [17]). Таким образом, каждая распознаваемая или почти распознаваемая группа является расширением прямого произведе ния М неабелевых простых групп с помощью некоторой подгруппы из Out(M). Поэтому основной интерес представляет вопрос о распознаваемости простых и почти простых групп (напомним, что группа G называется почти простой, если S G Aut(5) для некоторой неабелевой простой группы S). Понятно, что проблема распознаваемости конечных простых групп тесно связана с классификацией конечных простых групп. И хотя для некоторых простых групп известно доказательство их распознаваемости (причем в классе всех групп), не использующее классификацию (см. [7]), ясно, что общее решение вопроса распознаваемости возможно лишь по модулю классификации конечных простых групп. Для удобства дальнейшего изложения напомним, что классификационная теорема утверждает, что список конечных неабелевых простых групп включает в себя:
а) знакопеременные группы Altn, при п 5;
б) 26 спорадических групп;
в) простые группы лиева типа.
К настоящему времени проблема распознаваемости решена для многих конечных простых и почти простых групп (см. обзор Мазурова [59] и таблицы 1-3 в приложении к диссертации). Отметим, что с каждым годом растет количество работ, посвященных этой проблеме, расширяется и география стран, в которых работают специалисты, интересующиеся вопросом распознаваемости. Тем не менее, полное решение проблемы распознаваемости, даже если ограничиться рассмотрением только конечных простых групп, представляется достаточно отдаленным. Так, лишь в 2004 году М. А. Гречкосеевой совместно с автором диссертации удалось указать первые примеры бесконечных по рангу серий распознаваемых групп лиева типа (см. [98]).
Чтобы пояснить, какие трудности возникают при решении проблемы распознаваемости, остановимся вкратце на схеме доказательства.
Пусть L — конечная неабелева простая группа, a G — произвольная конечная группа, удовлетворяющая условию w(G) = ui(L). Доказательство распознаваемости группы L, как правило, включает в себя три основных этапа.
1. Доказывается, что фактор-группа G/K, где К — максимальная разрешимая нормальная подгруппа группы G, является почти простой. Другими словами, доказывается, что существует неабелева простая группа S такая, что S G = G/K Aut(5).
2. Доказывается, что S изоморфна L.
3. Доказывается, что G/S = 1 и К = 1.
Естественно, в некоторых случаях на одном из этапов может произойти «сбой».
Например, в случае, когда L = Ь3(5), не удается доказать, что G/S = 1. Оказывается, что h(L) = 2 и группа L имеет тот же спектр, что и ее расширение с помощью графового автоморфизма порядка 2 (см. [15]). А группа L = Ьз(3) имеет один и тот же спектр с разрешимой группой Фробениуса (см. [18, предложение 3[) и, следовательно, является нераспознаваемой. Однако, несмотря на исключения, в большинстве работ по распознаваемости реализуется именно указанная выше схема.
Вернемся к первому этапу. Отметим, что совпадение спектров групп LnG влечет совпадение их графов простых чисел. Граф простых чисел или граф Грюнберга — Кегеля GK{G) конечной группы G определяется следующим образом. Множество вершин этого графа образует множество K{G) простых делителей порядка группы G. Простые числа р и q, рассматриваемые как вершины графа GK(G), смежны (т. е. соединены ребром) тогда и только тогда, когда в G найдется элемент порядка pq. Обозначим через s(G) число связных компонент графа GK(G). Грюнберг и Кегель дали структурное описание конечных групп с несвязным графом простых чисел, а Уильяме и Кондратьев описали все конечные простые группы L с s(L) 2 (см. [13,94] и таблицы 4-6 в приложении). Эти глубокие результаты имели целый ряд важных следствий. Для нас существенно, что из них, а также результата Алеевой [1] следует, что конечная группа G, имеющая тот же спектр, что и конечная неабелева простая группа L, отличная от групп з(3), /з(3), 4 (3) и удовлетворяющая условию s(L) 2, содержит единственный неабелев композиционный фактор S и s(S) s(L). Иными словами, для всех простых групп с несвязным графом простых чисел, кроме групп 3(3), Сз (3), 54(3) (для которых проблема распознаваемости уже решена — они нераспознаваемы), первый этап доказательства пройден. Более того, и на втором этапе структурная теорема Грюнберга — Кегеля оказывается важным вспомогательным инструментом, поскольку для неабелева композиционного фактора S имеет место неравенство s(S) s(L), а значит, он, как и L, содержится в списке простых групп с несвязным графом простых чисел, полученном Уильямсом и Кондратьевым (см. таблицы 4-6). Эта информация помогает установить, что S L. Иными словами, доказать квазираспознаваемость группы L. Уточним: конечная неабелева простая группа L называется квазираспознаваемой, если конечная группа G с тем же спектром, что и L, содержит единственный неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен L. Определение квазираспознаваемости восходит к работе [2].
Теорема Грюнберга — Кегеля используется в подавляющем большинстве работ по распознаваемости. В частности, в достаточно обширном списке групп, для которых проблема распознаваемости решена, до недавнего времени имелось всего две группы со связным графом простых чисел: группа Л/16 с h(Alti6) = 1 (см. [8]) и группа Altio с h{Altw) = со (см. [17]). С другой стороны, в наиболее "объемном" классе конечных простых групп — классических простых группах — группы с несвязным графом простых чисел скорее исключение (полный список конечных простых групп с несвязным графом простых чисел см. в таблицах 4-6). Например, если простая линейная группа Ln(q) имеет несвязный граф простых чисел, то п = р или п = р+1, где р — простое число. Таким образом, для дальнейших исследований вопроса распознаваемости крайне важным является решение проблемы прохождения первого этапа в случае, когда конечная простая группа имеет связный граф Грюнберга — Кегеля. В недавно опубликованной работе [58] показано, что группа G, спектр которой совпадает со спектром конечной неабелевой простой группы L, отличной от групп 3(3), з(З), Я (3) и Altw, является неразрешимой. Однако этот результат сложно использовать непосредственно, так как структура группы G остается неопределенной.
Основная цель диссертации — построить теоретическую базу для решения проблемы распознаваемости конечных простых групп в ситуации, когда конечная простая группа имеет связный граф Грюнберга — Кегеля, и показать, как полученные результаты можно применить для доказательства распознаваемости конкретных серий простых групп со связным графом простых чисел.
Основные результаты диссертации.
В первой главе диссертации доказана структурная теорема о строении неразрешимых конечных групп, в графе простых чисел которых хотя бы одно нечетное простое число несмежно с числом 2.
Во второй главе для каждой конечной простой группы указан исчерпывающий арифметический критерий смежности вершин в графе простых чисел. На основе этого критерия для каждой конечной простой группы найдены характеристики графа ее простых чисел: неплотность и 2-неплотность, в терминах которых заданы условия структурной теоремы из первой главы. Оказывается, что за исключением некоторых знакопеременных групп конечные простые группы удовлетворяют условиям этой теоремы. Результаты второй главы получены автором совместно с Е. П. Вдовиным.
В третьей главе рассматриваются приложения результатов первых двух глав к вопросу распознаваемости конечных простых групп, а именно, доказаны:
— квазираспознаваемость бесконечной серии простых ортогональных групп 04- (2fe) при п 8;
— распознаваемость бесконечной серии простых линейных групп Ln(2k), где п = 2т 32 (совместно с М. А. Гречкосеевой, ученицей автора диссертации).
В четвертой и пятой главе диссертации собраны результаты по проблеме распознаваемости, полученные автором до доказательства структурной теоремы из главы 1.
В четвертой главе доказана почти распознаваемость групп LQ(Z) и [/4(6). Эти результаты позволяют утверждать, что для всех конечных простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 13, вопрос распознаваемости полностью решен. Отметим также, что простая унитарная группа L = 1/ 5), для которой h(L) = 2, дает первый пример почти распознаваемой группы со связным графом Грюнберга — Кегеля.
В пятой главе рассматриваются две серии исключительных групп лиева типа. А именно, доказана распознаваемость
— групп G2(3k);
— групп Ft{2k) (в составе международного коллектива авторов).
Новизна и научная значимость работы. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований как вопроса распознаваемости групп по спектру, так и других проблем теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.
Методы исследования. В работе используются классические методы теории групп: теория конечных простых групп, теория групп лиева типа, алгебраическая теория групп, теория представлений, методы линейной алгебры, а также элементы теории графов и теории чисел.
Апробация работы. Результаты диссертации в период с 2000 по 2005 год были представлены на международных конференциях в Новосибирске, Москве, Екатеринбурге, Красноярске, Иркутске (см. [104-114]). В частности, на международной конференции "Мальцевские чтения", проходившей в Новосибирске в 2004 году, автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах Института математики СО РАН и НГУ "Теория групп" и "Алгебра и логика". Дважды, в 2004 и 2005 годах, автор выступал на семинаре по теории групп университета г. Сучжоу, Китай (руководитель - проф. Ши Вуджи, автор первых работ по проблеме распознаваемости).
Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [97-114].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 5 глав, введения, приложения и списка литературы. Она изложена на 110 страницах, включает 18 таблиц и 1 рисунок, библиография содержит 114 наименований.
Перейдем к более подробному изложению работы.
Доказательство теоремы
Пусть G — конечная группа, 7г(С?) — множество простых делителей ее порядка, u)(G) — ее спектр. Граф Грюнберга — Кегеля (или граф простых чисел) GK(G) определяется следующим образом. Множеством вершин этого графа является тг((?). Простые числа р и q, рассматриваемые как вершины графа GK(G), смежны (т. е. соединены ребром) тогда и только тогда, когда в G найдется элемент порядка щ. Обозначим через s(G) число связных компонент этого графа и через TTi(G), і = 1,..., s(G), его г -ю компоненту. Если группа G имеет четный порядок, то положим 2 Є 7Ti(G). Обозначим через u G) множество, состоящее из п Є w(G) таких, что каждый простой делитель числа п принадлежит Ki(G). Очевидно, что GK{G) однозначно определяется по cv(G).
Грюнберг и Кегель дали следующее описание конечных групп с несвязным графом простых чисел. Теорема (Грюнберг — Кегель). Если конечная группа G имеет несвязный граф GK(G), то выполняется одно из следующих утверждений: (а) s(G) = 2 и G — группа Фробениуса; (б) s(G) = 2 и G — двойная группа Фробениуса, т. е. G = ABC, где А и АВ — нормальные подгруппы группы G; АВ и ВС — группы Фробениуса с ядрами А, В и дополнениями В, С соответственно; (в) существует неабелева простая группа S такая, что S G = G/K Aut(5), где К — максимальная нормальная разрешимая подгруппа группы G. Кроме того, К и G/S являются 7гi(G)-группами, граф GK(S) несвязен, s(S) s(G), и для любого числа г, 2 і s(G), существует j, 2 j s(S), такое, что 0Ji{G)=Uj{S). Этот глубокий результат, впервые опубликованный в [94] (мы привели уточненный вариант формулировки этой теоремы из [19]), вместе с полной классификацией конечных простых групп с несвязным графом простых чисел, полученной Уильямсом и А. С. Кондратьевым (см. [94] и [13] соответственно), имел целый ряд важных следствий (см., например, [94, теоремы 3-6] и [13, теоремы 2, 3]). В последние годы эта теорема постоянно используется при доказательстве распознаваемости конечных групп по спектру (см. Введение). Доказательство теоремы Грюнберга — Кегеля существенно использует тот факт, что в группе G (если ее порядок четен) найдется элемент простого нечетного порядка, не связанный в GK{G) с простым числом 2. Оказывается, что требование несвязности графа простых чисел в большинстве случаев может быть успешно заменено более слабым требованием несмежности числа 2 с хотя бы одним нечетным простым числом. Обозначим через t(G) наибольшее число простых делителей порядка группы G, попарно несмежных в GK(G). Другими словами, если p(G) — независимое множество с наибольшим числом вершин в GK(G) (множество вершин графа называется независимым, если его вершины попарно несмежны), то t(G) = p(G). В теории графов это число принято называть числом вершинной независимости или неплотностью. По аналогии мы обозначим через t(2,G) наибольшее число вершин в независимых множествах вершин графа GK(G), содержащих простое число 2. Мы назовем это число 2-неплотностъю. Основная цель первой главы диссертации — доказать следующее утверждение, которое можно применять для широкого класса конечных групп, в том числе и со связным графом Грюнберга — Кегеля. Теорема 1.1. Пусть G — конечная группа, удовлетворяющая двум условиям: (а) существует три простых числа из TT(G), попарно несмежных в GK(G), т. е. t(G) 3; (б) существует нечетное простое число из TT(G), несмежное в GK{G) с чис лом 2, т. е. t(2,G) 2. Тогда существует конечная неабелева простая группа S такая, что S G = G/K Aut(S ) для максимальной нормальной разрешимой подгруппы К группы G. Кроме того, t(S) t(G) — 1, и выполняется одно из следующих утверждений. (1) S Alt-j или L2{q) для некоторого нечетного числа q и t(S) = t(2,S) = 3. (2) Для каждого простого числа р 6 K(G), несмежного с 2 в GK(G), силовская р-подгруппа группы G изоморфна силовской р-подгруппе группы S. В частности, t(2,S) t(2,G). Отметим, что условие (а) влечет неразрешимость группы G (см. ниже предложение 1.2.2), а следовательно, в силу теоремы Фейта — Томпсона [42] в условии теоремы нет необходимости предполагать, что порядок G четен. Более того, как следует из предложений 1.2.3 и 1.2.5, условие (а) можно без ущерба для итогового заключения заменить более слабым условием неразрешимости группы G. Поэтому теорема 1.1 является следствием следующего утверждения. Теорема 1.2. Пусть G — конечная неразрешимая группа и существует нечетное простое число из ir(G), несмежное в GK(G) с числом 2, т. е. t(2,G) 2. Тогда существует конечная неабелева простая группа S такая, что S G = G/K Aut(S) для максимальной нормальной разрешимой подгруппы К группы G. Кроме того, t(S) t(G) — 1, и выполняется одно из следующих утверждений. (1) S Alt? или L2{q) для некоторого нечетного числа q и t(S) = t(2, S) = 3. (2) Для каждого простого числа р Є K(G), несмежного с 2 в GK(G), силовская р-подгруппа группы G изоморфна силовской р-подгруппе группы S. В частности, t(2,S) t{2,G). В недавно опубликованной работе [58, теорема 2] показано, что группа G, спектр которой совпадает со спектром конечной простой группы L, отличной от групп з(3), з(З), 4(3) и Alt\o, является неразрешимой. Однако этот результат сложно использовать непосредственно, так как структура группы G остается неопределенной. Из теоремы 1.2 настоящей работы и указанного результата вытекает Следствие 1.3. Пусть L — конечная простая группа с t(2,L) 2, отличная от групп Ьз(3), /з(3), - (3) и Altw, G — конечная группа, удовлетворяющая условию w(G) = LO(L). Тогда для группы G имеет место заключение теоремы 1.1. В частности, группа G обладает единственным неабелевым композиционным фактором. Описание конечных простых групп L, удовлетворяющих условию t(2, L) 2, будет получено нами во второй главе диссертации, а пока в связи с результатом следствия 1.3 сформулируем следующий вопрос, принадлежащий В.Д.Мазурову. ВОПРОС. Верно ли, что конечная группа G, спектр которой совпадает со спектром конечной простой группы L, имеет не более одного неабелева композиционного фактора? ЗАМЕЧАНИЕ. ИЗ теоремы 1.2 вытекает положительный ответ на вопрос Мазурова для любой конечной простой группы L, удовлетворяющей условию t(2,L) 2. Более того, этот ответ можно дать, исходя лишь из совпадения графов простых чисел групп L и G. В общей ситуации этого недостаточно, как показывает следующий
Обозначения и предварительные результаты
В этой главе для каждой конечной простой группы G указан исчерпывающий арифметический критерий смежности вершин в графе простых чисел GK(G). С использованием этого критерия для графа простых чисел каждой конечной простой группы G найдены: независимое множество с наибольшим числом вершин, независимое множество, содержащее 2, с наибольшим числом вершин и порядки этих множеств, то есть величины t(G) и t{2,G). Эта информация собрана в таблицах 8-15 в приложении к диссертации. Из полученных результатов вытекает следующее описание конечных неабелевых простых групп, 2-неплотность графа простых чисел которых равна 1.
Таким образом, основное условие t(2, G) 2 структурной теоремы реализуется для очень широкого класса конечных простых групп. В частности, для всех простых групп лиева типа и всех спорадических групп. Для вопроса о распознаваемости конечных простых групп по спектру ключевое значение имеет следующее утверждение, которое вытекает из теоремы 2.1 и следствия 1.3. Следствие 2.2. Пусть L — конечная неабелева простая группа, отличная от групп з(3), з(З), (3), Alt и групп Altn с условием т(2,п) = 0. Пусть G — конечная группа, удовлетворяющая условию co(G) = UJ{L). Тогда для группы G имеет место заключение теоремы 1.1. В частности, G имеет единственный неабелев композиционный фактор. Пусть L одна из групп з(3), /з(3), Si (3), Altw. Ранее была доказана нераспознаваемость L (см. таблицу 3 в приложении). С другой стороны, поскольку 2-неплотность графа простых чисел у каждой из этих групп равна 2, то неразрешимая группа с тем же спектром (и даже графом простых чисел) имеет по теореме 1.2 единственный неабелев композиционный фактор. Таким образом имеет место следующее утверждение, которое дает положительный ответ на вопрос В. Д. Мазурова (см. 1.1) для всех конечных простых групп за исключением некоторых знакопеременных. Следствие 2.3. Пусть L — конечная простая группа, отличная от групп Altn, где п таково, что т(2,п) = 0. Пусть G — конечная группа, удовлетворяющая условию OJ{G) = LO(L). Тогда группа G имеет не более одного неабелева композиционного фактора. ЗАМЕЧАНИЕ. Известно, что существует разрешимая группа G со спектром, как у групп L — Ьз(3) и 7з(3). Вопрос о существовании разрешимой группы G со спектром, как у группы L, где L = S S) или Altw, остается открытым. Поскольку глава достаточно объемна, мы кратко опишем здесь ее структуру. В параграфе 2.2 собраны обозначения, вспомогательные результаты, а также указан очевидный критерий смежности для графа простых чисел знакопеременной группы. В следующих трех параграфах для каждой конечной простой группы лиева типа мы находим критерий смежности двух вершин в графе ее простых чисел, последовательно рассматривая следующие случаи: оба простых числа нечетны ( 2.3), одно из чисел является характеристикой поля определения группы ( 2.4), одно из чисел — это число 2 ( 2.5). В параграфе 2.6 определены значения неплотности и 2-неплотности для всех конечных неабелевых простых групп и тем самым доказана теорема 2.1. В заключительном параграфе 2.7 собраны некоторые дополнительные приложения результатов этой главы. Как уже отмечалось во введении, все результаты второй главы получены автором диссертации совместно с Е. П. Вдовиным и опубликованы в [103,113]. Если п — натуральное число, 7г — множество простых чисел, то через тг(п) обозначается множество всех простых делителей числа п, через пж обозначается наибольший делитель t числа п такой, что 7г() С я". Заметим, что для конечной группы G по определению 7Г((2) = 7Г( 7). Критерий смежности двух простых делителей для знакопеременных групп очевиден и может быть сформулирован следующим образом. Предложение 2.2.1. Пусть G = Altn — знакопеременная группа степени п. (1) Пусть r,s Є 7г((?) нечетны. Тогда г и s несмежны в том и только в том случае, когда г + s п. (2) Пусть г Є 7г( 7) нечетно. Тогда 2 u г несмежны в том и только в том случае, когда г + 4 п. Информацию о смежности вершин в графе простых чисел для всех спорадических групп и группы Титса 2F {2) можно извлечь из [36] или [43]. Таким образом, нам требуется рассмотреть лишь простые группы лиева типа. Для групп лиева типа и линейных алгебраических групп наши обозначения согласуются с обозначениями в [31] и [49] соответственно. Обозначим через Gsc универсальную группу лиева типа. Тогда каждая фактор-группа Gac/Z, где Z Z(GSC), называется группой лиева типа. Почти во всех случаях группа Gac/Z(GSC) проста и мы будем говорить, что Gac[ = GSC/Z(GSC) — группа присоединенного типа. Некоторые группы лиева типа над небольшими полями не являются простыми. В таблице 7 мы собрали информацию из [31, теоремы 11.1.2 и 14.4.1] и указали все такие исключения. Иногда мы используем обозначения Aen{q), Dsn{q) и El{q), где є Є {+, -}, и A+{q) = An(q), A {q) = 2An(q), D+(q) = Dn(q), D {q) = 2Dn(q), EZ(q) = E6(q),Ee(q) = 2E6(q).
Если G изоморфна 2An(q), 2Dn(q) или 2Ee(q), будем говорить, что G определена над полем GF(q2), если G zD {q), будем говорить, что G определена над GF(q3), и будем говорить, что G определена над GF(q) для всех остальных групп лиева типа. Поле GF(q) во всех случаях называется основным полем группы G. Если G — универсальная группа лиева типа с основным полем GF(q), то существуют натуральное число N(= \Ф+\ в большинстве случаев) и многочлен f(t) Є Щр] такие, что С? = f(q)-qN и (q, f(q)) = 1 (см. [31, теоремы 9.4.10 и 14.3.1]). Этот многочлен мы обозначим через /G(). Если G не является универсальной, то найдется универсальная группа К такая, что G = K/Z, и мы определим /G() = /к(0 Предположим, что G — связная простая линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики р. Пусть а — эндоморфизм группы G такой, что Ga = CQ{O) — конечное множество. Тогда о называется отображением Фробениуса и G — Ор (Ga) является конечной группой лиева типа. Более того, все конечные группы лиева типа, скрученные и нескру-ченные, могут получены таким способом. Далее мы полагаем, что для каждой конечной группы G лиева типа зафиксирована (некоторым способом) линейная алгебраическая группа G и отображение Фробениуса а так, что G = Op (Ga). Если группа G односвязна, то G = Ga = Ор (Gff), и если G — присоединенного типа, то Ga = G — группа внутренне-диагональных автоморфизмов группы G (см. [88, 12]).
Вспомогательные результаты о линейных группах
В этой главе мы применим результаты предыдущих двух глав для доказательства распознаваемости конечных простых неабелевых групп со связным графом Грюнберга — Кегеля. Отметим, что теорема 1.1 и следствие 2.2 из теоремы 2.1 не только позволяют успешно пройти первый этап (см. схему доказательства распознаваемости во введении), но и играют существенную роль на втором этапе, при доказательстве квазираспознаваемости. Дело в том, что неравенство t(S) t(G) — 1 и утверждение (2) из заключения теоремы 1.1 существенно сокращают количество вариантов, которые требуется рассмотреть, чтобы доказать изоморфизм исходной конечной простой группы L и неабелева композиционного фактора S группы G, для которой имеет место OJ{G) = w(L).
Квазираспознаваемость групп L = 0 п( ?), п — 2т (случай, когда т 4, — это частный случай теоремы 3.1), была доказана ранее в [98] с использованием теоремы Грюнберга — Кегеля (в этом случае граф простых чисел группы несвязен). Если же п не является степенью двойки, то группа L, удовлетворяющая условиям теоремы 3.1, имеет уже связный граф простых чисел. Тем самым мы впервые получаем бесконечную серию квазираспознаваемых групп со связным графом простых чисел.
Наиболее важным результатом главы является следующая теорема, в которой впервые доказана распознаваемость бесконечной серии простых групп со связным графом простых чисел.
Отметим также, что серия групп, указанная в теореме 3.2, бесконечна по двум параметрам: порядку поля и размерности. Во всех ранее полученных примерах серий распознаваемых групп лиева типа удавалось добиться бесконечного возрастания лишь одного из двух этих параметров.
Результат теоремы 3.1 получен автором лично и опубликован в [101]. Результат теоремы 3.2 получен автором в соавторстве с его ученицей М. А. Гречкосеевой и опубликован в [102,,114].
Поскольку в доказательстве теоремы будут использоваться результаты главы 2, то удобнее перейти к лиевой нотации при обозначении классических групп лиева типа, в том числе ортогональных групп из формулировки теоремы.
Итак, пусть L — 2Dn(q) O q), где q — 2k,k,n — натуральные числа, причем п четно и п 16. Тогда из таблицы 10 вытекает, что t(2,L) =4, а из таблицы 14 следует, что t(L) = [& ] [М±і] = із.
Пусть G — конечная группа, удовлетворяющая условию UJ(G) = w(L). Поскольку графы простых чисел групп G и L совпадают, то t(2,G) = t(2,L) =4 2и t(G) = t(L) 13. Следовательно, по теореме 1.1 группа G содержит единственный неабелев композиционный фактор 5, для которого выполняются неравенства t(2, S) t(2, L) = 4 и t(S) t{L) - 1 = 12.
Используя таблицу 8, мы видим, что для любой спорадической группы Н выполняется t(H) t(Fi) = 11 12. Следовательно, 5 не является спорадической группой. Аналогично, из таблицы 15 вытекает, что для любой исключительной группы лиева типа Н имеет место неравенство t(H) t(Es(q)) = 11 12. Поэтому S не может быть и исключительной группой лиева типа.
Таким образом, S — либо знакопеременная группа, либо классическая группа лиева типа достаточно большого ранга. Изучение таблиц 9,10 и 12 показывает, что для таких групп неравенство t(2, S) 4 имеет место только в том случае, когда S, как и L, является группой типа 2Dn, п четно, над полем характеристики 2.
Итак, мы можем полагать, что S 2Dn (2k ). Нам осталось доказать, что п = п и k = к . Напомним, что, следуя обозначениям из параграфа 2.2, мы обозначаем через rm примитивный простой делитель разности qm — 1, то есть простое число, для которого e(rm,q) = m. Из таблицы 10 следует, что для группы L множество p(2,G) = {2,г„_і,Г2п-2) 2п}- Отметим, что в силу того, что п достаточно велико, примитивные простые делители гп-.і,Г2п-2,Г2п всегда существуют (см. теорему Жигмонди). Выберем эти делители так, что е(г2гг, 2) = 2пк, е{г2П-2і 2) = (2п — 2)к и e(rn_i,2) = (п — 1)к. В силу пункта (2) заключения теоремы 1.1 (пункт (1) не
может иметь места в силу того, что t(S) 3) силовская r-подгруппа группы S для каждого г Є {гп-і,Г2п-2іі 2п} изоморфна силовской r-подгруппе группы G. Поэтому rn_i, r2n_2, г2п делят порядок группы S и несмежны между собой и с 2 в GK(S). Положим e(r2n,2k ) = e2n, e(r2„_2,2fc ) = е2„-2, e(rn_b2fc ) = еп_ь Поскольку г2п является примитивным простым делителем разности 22пк — 1 и делит 2е2пк — 1, то 2пк делит Є2Пк . По тем же соображениям (2п — 2)к делит е2п_2А; , а (п - 1)к делит еп-\к . С другой стороны, если е2пк 2пк, то простое число г, удовлетворяющее условию е(г, 2) = е2п& , делит порядок S и не делит порядок L, следовательно, г Є u (5) \ k ( 7), что невозможно. Таким образом, 2nk = Є2Пк . Предположим, что e2n_2fc (2п — 2)к. Тогда е2п_2А; 2(2п — 2)& 2пк и рассуждение, аналогичное предыдущему, приводит к противоречию. Значит, e n-ik = (2п — 2)&. Пусть, наконец, еп-\к! (п — 1)к. Если еп-\к 3(п — 1)А; 2пк, то получаем противоречие, как и в предыдущих случаях. Если же еп-\к = 2(п — 1)к = е2п-2 , то en_i = е2п-2 и по предложению 2.3.4 простые числа гп-\ и г2п-2 смежны в GK(S), что невозможно. Таким образом, еп..\к = (п — 1)А;. В частности, из полученных нами равенств следует, что е2„ е2га-2 Єп-i- Наконец, в силу предложения 2.6.4имеем {е2п,Є2п-2,еп-і} = {2п ,2п —2,п —1}. Следовательно, 2п к = 2пк, (2п — 2)к = (2п-2)А; и (п — 1)к = (п — 1)к. Откуда п = п и к = к . Таким образом, S L и теорема доказана.
Введем сначала одно удобное обозначение. Поскольку спектр u)(G) конечной группы G упорядочен отношением делимости, то корректно определено подмножество его максимальных относительно делимости элементов. Мы обозначим это подмножество через /i(G). Очевидно, что спектр w{G) однозначно восстанавливается по n(G).
Доказательство теоремы 4.1
Предположим, что m 2. По лемме 4.4.1 существует простое число р Є {7,13}, которое делит порядок Я. Предположим, что р делит \L\. Если р = 7, то в L найдется элемент порядка 7 2, что невозможно, так как 14 из(Н). Если р = 13, то либо 13 З Є OJ(H), либо каждая группа Si является группой Сузуки Sz(8) и, следовательно, 13 5 Є и{Н). В обоих случаях получается противоречие.
Таким образом, мы можем полагать, что р делит только порядок группы Out(L). Пусть р є Н — автоморфизм группы L порядкари Р = Sf. Поскольку Р проста, любая ее естественная проекция Pi на Si, і = 1,...,m, либо тривиальна, либо изоморфна Si. С другой стороны, так как Р нормальна в L, то нормальна и каждая подгруппа Pi, г = 1,... , га. Значит, Pi = 1 или Pi = Si. Следовательно, существует единственное число j Є {1,..., га} такое, что Sf = Sj. Если j ф 1, то возникает ур-орбита Д длины р, состоящая из подгрупп, изоморфных Si. Без потери общности мы можем полагать, что Д = {Si, S2,..., Sp}. Пусть ai — элемент порядка t в -Si и ai = af . Пусть д — элемент из L, проекции которого fc на Si определяются следующим образом: # = щ при г = 1,... ,р и fc = 1 в остальных случаях. Тогда д имеет порядок t, а элемент дір Є Н — порядок t р. Если р = 7, возьмем элемент ai порядка t = 2. Но 7 2 ш(Н); противоречие. Если р = 13, то либо возьмем ai порядка 3, либо Si 5 (8) и мы возьмем ai порядка 5. В обоих случаях получим противоречие. Итак, Sf = Si, и то же самое верно для каждой Si,i = l,...,m. Поскольку р ф 1, р действует нетривиально на некоторой Sk- Тогда tp индуцирует внешний автоморфизм группы Sk порядка р. Так как Sk Є ї із, это невозможно (см. третий столбец таблиц 17-18). Таким образом, тп — 1. Лемма доказана.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим последовательно все возможности для группы S. A. S Alts, Alt6, L2(7), L2(9), L2(8), C/3(3), U4(2), U5(2), L3(3). Поскольку Out(S) не делится на 5,7,13 и только одно из этих чисел делит порядок 5, получаем противоречие, используя лемму 4.4.1. B. 5 L2{ll),Mii,Mi2,M22,HS,McL,U6(2),L5{3),Suz,Fi22,L6{3) и Altn, где п = 11,..., 16. Поскольку 11 е OJ(S) \ OJ(G), получается противоречие. C.I. S Z 2(49). В этом случае 25 Є cu(S) \w(G); противоречие. С.2. S Z/2(64),54(8). Имеем 65 Є u(S) \u(G), что невозможно. С.З. S 2F4(2) ,L3(9). В этом случае 16 Є w(5) \OJ(G); противоречие. С.4. 5 3Г 4(2),56(3),07(3), (7), 2(27). Поскольку 14 Є w(5) \u(G), получаем противоречие. D. S L3(4), С/3(5), J2,56(2), /4(3), 0 (2) и ШП, где п = 7,..., 10. Поскольку 13 не делит Aut(5), имеем 13 Є и (К). С другой стороны, все перечисленные группы содержат подгруппу, изоморфную Ьг(7) и, следовательно, содержат груп пу Фробениуса F 7 : 3. Рассмотрим фактор-группу Н = Н/Оіу(К). Имеем Р = Оіз(Н) ф 1. Поэтому F действует на Р точно и ее ядро порядка 7 действует на Р без неподвижных точек. По лемме 3.3.3 в Н существует элемент порядка 13 3; противоречие. E. S г(25), /з(4), 54(5), з(3). Поскольку 7 Є ш(К) и S содержит подгруппу Фробениуса 5 : 2, получаем 7 2 Є w(#); противоречие. F. S 2(13), 2(3). Поскольку число 5 не делит Aut(5 ), оно делит поря док группы К. Так как 3 7 u(Aut(S)), то и{К) содержит 7 или 9. Тогда из леммы 4.4.1 следует, что 9 Є ш(К). Пусть Т — холлова {3,5}-подгруппа в К. По скольку 13 не делит порядок \К\, в NH(T) найдется элемент порядка 13, который действует на Т без неподвижных точек. Значит, Т нильпотентна. Поэтому 9 5 лежит ш(Я); противоречие. G. S С?г(4). В силу того, что в Aut(5) нет элементов порядка 9, 1 1 делит ся на 3. С другой стороны, S содержит подгруппу Фробениуса с ядром порядка 13 и циклическим дополнением порядка 6. Следовательно, 3 6 лежит в ы(Н); противоречие. Н. S Sz(8) 2В2(8). Используя [36], получаем, что fi(S) = {4,5,7,13}, Out(5) = 3 и /u(Aut(S)) = {7,12,13,15}. Поскольку S содержит подгруппы Фробениуса 26 : 7 и 13 : 4, в К нет элементов порядка 5,7,13. Кроме того, 4-5,9-7 Є OJ(H), откуда 4,9 6 и (К). Если Я Aut(S ), то Я содержит группу Фробениуса 13 : 12 и, следовательно, в Я существует элемент порядка 36; противоречие. Таким образом, Я = S и К является {2,3}-группой. Рассмотрим фактор-группу Я = Я/02 (AT) и ее подгруппу К = KjOi{K). Предположим, что 0з,2(-Ю Ф 0${К). Прежде всего отметим, что нетривиальная абелева группа Р = Z(02{K/03(K))) действует на Оз(К) точно. Кроме того, если С = Cfi,0i,K}(P) содержит элемент порядка 13, то С = Н/Оз{К). Отсюда 7 2 Є ш(Н); противоречие. Пусть X — подгруппа порядка 13 из Н/Оз{К). Подгруппа F = [Р, X] : X является группой Фробениуса с ядром [Р, X] и дополнением X. Группа F действует на Оз(К) точно. Поэтому в Я существует элемент порядка 3-13; противоречие. Таким образом, 0з,г( О = Оз(К), и ОгіК) является силовской 2-подгруппой в К. Теперь обозначим через Я и через К фактор-группы Н/Оз(К) и К/Оз(К) соответственно. Предположим, что 02,з(-Ю Ф Оъ{К). Используя рассуждения, аналогичные рассуждениям в предыдущем абзаце, и элемент порядка 7 вместо элемента порядка 13, получим противоречие. Следовательно, Оз(К) — силовская 3-подгруппа в К. Итак, К является прямым произведением силовской 2-подгруппы и силовской 3-подгруппы. Значит, К содержит элемент порядка 36, что невозможно. Лемма доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть К ф 1. Существует такое простое число р, что Ор(К) ф К. Обозначим через Я фактор-группу Н/Ор{К). Нормальная подгруппа К = К/Ор(К) является нетривиальной р-группой. Обозначим через Я факторгруппу Н/Ф(К) и через К фактор-группу К/Ф(К), где Ф(К) — подгруппа Фратти-ни группы К. Поскольку Я/К Н/Ф(К), достаточно показать, что ш(Н) и (Н). Поэтому мы предположим, что Я = Я и К — нетривиальная элементарная абе-лева р-группа для некоторого простого числа р. Предположим, что С = Сн{К) % К. Поскольку подгруппа С К нормальна в Я, группа СКІК содержит G. Тогда Я содержит элемент порядка 13 р. Отсюда р = 2 и 2 7 Є и {Н); противоречие. Таким образом, мы можем предполагать, что С К и G действует на К точно. Группа G содержит подгруппу L2(25), которая содержит подгруппу Фробе-ниуса с ядром, изоморфным 52, и циклическим дополнением порядка 12. Если р = 3,7,13, имеем р 12 Є OJ(H), что невозможно. Пусть р = 2 или 5. Группа G содержит подгруппу L, изоморфную /3(5), которая действует на К сопряжениями. Изучение таблиц брауэровских р-характеров для группы L в [50] показывает, что элемент х Є L порядка 7 имеет неподвижную точку в каждом абсолютно неприводимом модуле над полем характеристики р (т. е. 2 или 5). Таким образом, х централизует некоторый нетривиальный элемент в К и, значит, р 7 Є ui(H); противоречие. Лемма доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Случай р = 5 может быть исключен и другим способом, так как в 4(5) G существует подгруппа Фробениуса 24 : 5. Лемма 4.4.5. Я = G или Я = G ), где 7 — полевой автоморфизм группы G порядка 2.
