Некоторые позитивные формулы на полугруппах Малышев Андрей Николаевич

Тождественные включения в некоторых классах решеток

Все утверждения данного параграфа относятся к многообразию полурешеток То есть в данном параграфе мы не будем различать слов, отличающихся между собой только порядком и кратностью вхождения букв.

Пусть М-—произвольное непустое множество. Обозначим через В(М) множество всех подмножеств множества М Тогда относительно каждой из операций U и П множество В(М) является полурешеткой Известно, что (S(M),U) = (В(М),П) В дальнейшем, если не оговорено противное, под В(М) мы будем понимать полурешетку (В(М), П) и будем на-зыват В(М) булеапом множества М. Очевидно, что если для некоторых множеств М и N выполняется условие М = N , то В{М) = B[N) Далее, если ( М = т, то мы будем обозначать множество В [М) через В7„, а под множеством М понимать множество {1,2,. , т}. Обозначим через Г9 класс П(х2 = х,ху — ух) всех коммутативных полугрупп идемпотентов или полурешеток. Через сг„ обозначим т включение следующего вида: Х\Х2 Тп Є {Х\Х2 .х„-и%\%г Ял-гЖп, ..,х-2хг ж,,} Класс ГЙ)Т1 = Yl(xij — ух,х2 = ж,сг„) будем называть классом п-эксклюзивных полурешеток В [7, следствие 7] содержится следующая Лемма 1.2.1. Г\2 С Г,3 С --С 1\]Т7 С . Пусть Л полугруппа Л с присоединенным внешним образом нулем О Следующая лемма, основная часть которой была сформулирована (но не доказана) А Г Плаховым на ростовском полугрупповом семинаре (2001) Z/ показывает, что все включения в лемме 1.2.1 действительно строгие. Лемма 1.2.2. Вп, В% є І\,и+і\Гв)П. Доказательство. Вначале докажем, что т включение т71 не выполня ется в Д, Отобразим каждое хг (г = 1,2,. , п) из т. включения аа в элемент {1,2, . ,г-1,г + 1, . ,п} посредством отображения ip . X —У В„. Тогда получим" ip{x[X2 х„) 0,(р{хгХ2 ... хг хі+і . хп) = {г} Т о очевидно,что p(xiX2. Хп) {(p(xiX x . . Xn-l),ip(xlX2 Хп-2Хъ), . , (.Х2Ж3 Xv)} Следовательно, Вп . Г\і77. Очевидно, что В ф Г3„. Теперь докажем,что Вп Є Г9)„+і В пределах доказательства только этого факта под Вп будем понимать решетку (Д,и) От противного Предположим, что во множестве Вп найдутся такие элементы МЪМ2, ,Мп,Мп+и что /1 + 1 71+1 Из этого следует,что для каждого Мг существует ж, Є Мг такое, что V/ Є {1,2, , г — 1, г + 1, , п} ж7 Af, Следовательно, мы доказали существование n + 1-элементной последовательности попарно различных чисел в тг-элементном множестве Противоречие. Следовательно, Вп Є ГАП+і zz Теперь доркажем, что „ Є І\п+і. Рассмотрим т включение 7„+1 = (х\Х2 . . . ХпХп+1 {Х\Х2 - Хп Х\Х2 %п-\Хп+\, - . ,х2хг . Х„ХТ1+1}) Достаточно рассмотреть случай, когда р(х] ж„ж„+1) = 0, для некоторого отображения (f X —У В, так как в противном случае все элементы множества {х\, .. , xn,xn+i} отобразятся в полугруппу Вгп выполнимость в которой av доказана вьіпіе Если ір{х\Х2 .хпх„+{) — О, следовательно, О Є {ip(xi),ip(x2),.. (f(xn), (р(хп+\)}, так как 0 является в полугруппе В внешним нулем. =Ф- ір(хі хпхп+\) Є { р(хі х„), ip{xi xn-ixn+1), .. ,Lp{x2xz. -x„+i)} =» В}] Є ГвіП+1. Для доказательства следующей теоремы приведем следующую Лемма 1.2.3. [С Я. Брагпчиков [7]J Пусть Ф—некоторая совокупность т включений Тогда т. включения 1 и — и, где а Є Т{Х), 2 р(и)єір(У)} где р X — Т(Х)—произвольное отображение и (и є V) ЄФ, 3 xu a%V [uxeVx], где (uV) Є Ф, x Є X, xV = {xv j а Є V} [Vx = {vx v Є V}], 4. ueV U W, где [ueV U v), ( єИО Є Ф, 5 ЄУ U Ж; гае (uV) Є Ф, И С F(X) следуют из Ф гі Теорема 1.2.1. Т. включение а = (и G V) выполняется в классе п+1-эксклюзивных полурешеток TStH+i тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие (Vzi, х2, х„ Є x(u))(3v Є У){{хъ ж2, , xv} С x(v )) Доказательство. Необходимость. Доказательство проведем методом от противного Предположим, что для т. включения a = (v Є V) выполняется следующее (Зхъх2, ,хп Є x(«))(Vi/ Є V ){{x1}x h . . , xn] x(vf)) Докажем, что a . 6(BjJ) Из леммы 12 2 будет следовать, что т (I\,n-i-i) Построим отображение р X — В следующим образом: ф(х,) = {1,2, ,а-1,г+1, ,п}, г = 1,2, . ,п; ж Є xbJ)\{xh %ъ 7 Хп] = р{х) = 0; ж Є x{V)\x(u) = ф) = 0. =» yj(u) = 0, j (p(v ) j 0, где и є У, уз(и) = 0, где v Є V\V аі в(В) Достаточность. Докажем, что из т. включений х1 = х,ху = ух, сгп+і следует т включение х = (т/ЄІ ), удовлетворяющее достаточности условия теоремы Пусть х(и) = { ь 2: ,хт} ж\ х(«) = га Возможны два случая п т. п т Если п т, то из того, что для т включения и — [и Є V) выполняется условие (Ухъх2 , . Є х(м))(Эи Є V )({arb ж2, , яг„} С х(г/))), следует, что для слова и существует слово и Є У такое, что x(w) = xW) А из этого следует, что тождество u = « , а с ним и т включение uEV принадлежат инклюзивной теории всего класса полурешеток. = а Є Є(Г,,П+1). Теперь рассмотрим случай, когда п га. Понятно, что т.включение (легко проверяется с помощью леммы 1.2 3 с использованием пп 3 и 4) Xix2 Xf, хт Є {жіЖ2. х,,, Х1Х2 . arft_ircn+i,... 1 - 777-77 771-(77-1} - %ГП J следует из т.включения Jn+i Оно эквивалентно дизъюнктивному тождеству О! — (xiX2 . Хп Хт — Х\Х2 . Х.п V хлхг хп xm = xix2 .xn-ixn+i V V V Х\Хч хп хт = xw—nxm_(n_]} xirij Положим WQ = {w Є Vі І І Х(Ш) І П}- Понятно, что такое подмножество с точностью до повторений и перестановки букв в словах конечно

Полугрупповые позитивные формулы групп

Теорию многообразий групп можно разбить на два основных раздела многообразия групп в групповой и полугрупповой сигнатурах Если теория многообразий групп в групповой сигнатуре (т е рассмотрение тождеств в сигнатуре (-,-1, е), где _1—одноместная операция взятия обратного элемента, а е—нульместная операция выделения нейтрального элемнта группы) является частью теории групп, то теория многообразий групп в полугрупповой сигнатуре (т. е. рассмотрение тождеств в сигнатуре где обычная полугрупповая операция) является рссмот рением теории многообразий групп в контексте многообразий полугрупп Тождества в полугрупповой сигнатуре на группах впервые стал рассматривать А И. Мальцев [27].

Позитивные формулы на группах тоже можно рассмаривать в групповой и полу групповой сигнатурах. Тождественными включениями на группах в полугрупповой сигнатуре занималась Л.Н.Бобрикова [4] Дизъюнктивными тождествами и тождественными включениями в классе групп в групповой сигнатуре занимались Б И. Плоткин, С М Вов-си [35], L Alshanskii, A. Kushkuley [38] В частности, в [35] содержится доказательство существования конечного базиса дизъюнктивных тождеств в групповой сигнатуре произвольной конечной группы Небольшое из-менние этого доказательства на дизъюнктивные тождества в полугруппах позволяют распространить это утверждение на конечные полугруппы Там же отмечается, что в классе всех групп любое дизъюнктивное тождество в групповой сигнатуре эквивалентно некоторому групповому т включению Из этого можно сделать вывод, что любая конечная группа имеет конечный базис групповых т. включений. Теорема 1.4.1. Любая конечная группа имеет конечный базис полу-групповъиг, т. включений. Доказательство. Пусть G—произвольная конечная группа мощности т и 0 — (иі = U\VU2 = t 2V . Vun = v„)—произвольное дизъюнктивное тождество, выполняющееся на группе G По теореме Лагранжа, на группе G выполняются тождества хту — ухт = у. Рассмотрим произвольный дизъюнктивный член щ = v, где г = 1,2, ,п Домножим данный дизъ v ГЇІ — І ГГі юнктивньш член справа на слово гаг , и применим тождество ух = у. Получим тождество utv = v Применяя данные преобразования к каждому дизъюнктивному члену .D-тождетва 0, и учитывая, что на группе G выполняется тождество хт ут, в результате получим полугрупповое тождественное включение xw Є {u\v!{ 1, и2У" 1, , uvv" 1}, которое эквивалентно дизъюнктивному тождеству U Учитывая, что на любой конечной полугруппе базис дизъюнктивных тождеств конечен, получаем, что группа G имеет коненый базис полугрупповых т. включений.

Аналогичными методами можно доказать, что произвольное полугрупповое дизъюнктивное тождество в классе периодических групп с ограниченным периодом эквивалентно некоторому полугрупповому т включению Класс полугрупп, удовлетворяющих тождественному включению xyz є {xy,yz,xz}, называется классом эксклюзивных полугрупп Он не раз становился объектом различных исследований ([40, 47, 48, 49]) В [7] описана решетка всех тождественно включительных многообразий полурешеток, удовлетворяющих данному тождественному включению

Как хорошо известно, шжурешетка является эксклюзивной тогда и только тогда, когда она не содержит подграфов вида Согласно [25], класс Го состоит из одноэлементной и двухэлементной полурешеток, а класс Гі состоит из класса всех цепей Согласно [7], класс Г2 состоит из класса всех полурешеток, содержащих в качестве подполурешеток цепи не более 2 элементов В настоящей заметке описываются классы полурешеток Гз, Г4, Г5 и Гд. Рассмотрим следующие полурешетки, которые при построении тождественно включительных многообразий будут играть ключевую роль Будем называть полугруппу S 0-прямой суммой полугрупп {S, г Є /}, если при г ф j S,S, = S3Si = 0, S П Sj 0 и 5 является объединенеием полугрупп {S,_ г Є /}- Далее, через [S, \ і Є I] мы будем обозначать полугруппу, являющуюся 0-прямой суммой полугрупп {St ъ Є /} Через Гц обозначим класс полугрупп, являющийся 0-прямой суммой полугрупп аз 9G класса всех цепей Замечание 2.1.2. Очевидно, что для доказательства того, что полугруппа S Є П(Ф), где Ф—некоторая совокупность т включений, необходимо и достаточно, чтобы полугруппа. S удовлетворяла всем т включениям, которые являются базисом для совокупности Ф Лемма 2.1.1. Полурешетка принадлежит т. в многообразия Г з тогда, и только тогда, когда она представимо, в виде 0-прям ой суммы некоторых цепей. Полурешегпка S принадлежит классу Г з тогда и только тогда когда, она не содержит подполурсш,от,ок вида Si и S%, изображенных на. рис. 2 13

Об n-эксклюзивных полугруппах

Понятие n-эксклюзивной полугруппы было впервые сформулировано в [7] Оно является инклюзивным многообразием и естественным обобщением понятия эксклюзивных полугрупп, являющихся не раз предметом различных исследований ([7, 40, 47, 48, 49]) Класс всех 2-эксклюзивных полугрупп хорошо известен ([25]). В настоящем параграфе рассматриваются некоторые общие положения n-эксклюзивных полугрупп

Обозначим через ап т включение следующего вида. ХіХ2 ХпЄ{хіХ2 Жп_і, 351 2 Ж„_2Т„, ... ,3122 Хп) Тогда тождественно-включительное многообразие П„ = П( тп) мы будем называть классом п-эксклюзивных полугрупп Методами, аналогичными следствию 6 [7] доказывается более общее утверждение Лемма 2.2.1. П2 сЩс С П„ С Предложение 2.2.1. Если S Є Птп то Мх Є S элемент х имеет тип (&, 1), при. к п — 1 Доказательство. От противного. 1 Пусть полугруппа S Є П;і содержит элемент х бесконечного порядка Тогда (х) = (N, +}, где N—множество натуральных чисел. Отобразим каждую букву ж, (? = 1, п) тождественного включения ап в 1 Є TV Тогда из т включения а71 получаем соотношение п 1 — (п — 1) 1, которое очевидным образом не выполняется в (N, +) 2 Пусть полугруппа S содержит неединичную циклическую группу, порожденную элементом х В силу доказанного в пункте (1), элемент х Я имеет конечный порядок. Пусть порядок грз ппы (х) равен t Ф 1 В этом случае отобразим каждую букву т. включения ап в неединичный элемент а полугурлпы (ж). Тогда в данной группе получим соотношение ап = an_1, которое противоречит выбору элемента а Є (х) 3 Пусть полугруппа S содержит элемент х порядка (/г, 1), где к п В этом случае отобразим все буквы т. включения т„ в элемент х, порождающий данную полугруппу. После этого мы прийдем к соотношению хп = ж""1, из которого следует, что элемент х является элементом типа (к, 1), где к п — 1 и которое противоречит тому, что элемент х Є S является элементом типа (к, 1), где к п Из 1-3 следует, что если х S Є ПТї, то х имеет тип (&, 1), где к п— 1 Слдеующее предложение является уточнением предыдущего Предложение 2.2.2. Если элемент х Є S имеет, тип (п, 1), т,о (х) Є П„+і\П„ Доказательство. В доказательстве предложения 2 2 1 доказано, что если элемент х полугруппы 5 имеет тип (п, 1), то (ж) ф П,7 Очевидно, что для доказательства торемы достаточно доказать, что (х) Є П„+і Пусть р X —у (х)—произвольное отображение Очевидно, что любой элемент полугруппы (х) можно представить в виде ж ", где к = 1,п. Из этого следует, ЧТО ip(x\X2 XrtXv+-\) = ip(x\x 2 Xt-iTi+iXnXn+i) = 0 для любого г = 1,п+1, где 0—нуль полугруппы (х) Следовательно, т включение тп+1 выполняется в полугруппе (х) Ш S5 Введем теперь следующий тип полугрупп. Определение 2.2.1. Полугруппа S будет называться бесконечно эксклюзивной, если (Vn N) (S ф Пп) В противном случае мы будем называть полугруппу S конечно эксклюзивной. Лемма 2.2.2. Любая конечная полурешетка является конечно эксклюзивной Доказательство. Пусть S—некоторая конечная полурешетка и S \ = п Пусть р X — S—произвольное отображение Рассмотрим т включение сгл+і Тогда (Bi,j — 1,п + 1)(г ф J — ( ) = fi j)) А из этого следует, что тождственное включение о п+\ выполняется в полурешетке S\ в силу того, что 5—коммутативная полугруппа идемпотентов

Предложение 2.2.3. Существуют бесконечные полурешетки, являющиеся бесконечно эксклюзивными Доказательство. Из теоремы 12 5 получаем, что решетка В{М) при бесконечном множестве М является бесконечно эксклюзивной И Из предложений 2 2.1-2.2.2 и леммы 2.2 2 можно поставить следующий вопрос существуют ли конечные полугруппы, не имеющие нетривиальных подгрупп, являющиеся бесконечно эксклюзивными Покажем, что данный вопрос имеет отрицательное решение в классе всех коммутативных полугрупп, то есть любая конечная коммутативная полугруппа, не имеющая нетривиальных подгрупп, конечно эксклюзивна Из упражнения 4 к [14, 1 6] получаем, что класс таких полугрупп можно представить в виде полурешетки одноидемпотентных полугрупп, не имеющих нетривиальных подгрупп 5 Лемма 2.2.3- Конечные одноидемпотептные коммутативные полугруппы, не имеющие нетривиальных подгрупп, конечно эксклюзивны. Доказательство. Пусть S- произвольная конечная одноидемпотент ная коммутативная подгруппа, не имеющая нетривиальных подгрупп Очевидно, что единственный идемпотент полугруппы S является ее нулем, который мы в дальнейшем будем обозначать через 0 Пусть М— такое ее порождающее множество, не содержащее нуля, что для произвольного а Є S найдется такой элемент х из этого множества, что а Є (т). Множество М не обязательно является неприводимым порождающим множеством полугруппы 3 Пусть для определенности S = п и М — к Через к7 мы обозначим индекс элемнта х, Є М {г = 1, к) Рассмотрим т включение at, где Ь = 1 -+- 1Ег=у кі Пусть р X — S — произвольное отображение Очевидно, что для любого х, Є М выполняется х — 0 и для любого у Є (ж,) у = 0. Понятно, что для произвольных попарно различных t букв #1,ж2, найдется такое г = 1,&, что во множестве {ip(zi)i ір(х2)1 ; 4 {хі)} найдется по крайней мере А1, +1 буква из подполугруппы (х,) Пусть xs—одна из этих к, +1 букв, где s = 1, t В сипу того, что полугруппа S коммутативна, понятно, что ip{xiX2 Xt) — p(xjX2 Ч-ІТЬ±\ Х ) = 0 А из этого следует, что в полугруппе S выполняется т включение -эксклюзивности

Предложение 2.2.4. Конечная коммутативная полугруппа является п-эксклюзивной для некоторого п Є Лг\{1} тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных подгрупп Доказательство. Пусть 3—конечная коммутативная полугруппа, не имеющая нетривиальных подгрупп В силу сделанного выше замена ния, S можно представить в виде конечной полу решетки Е одноидем-потентных конечных полугрупп {Se є Є Е}, не имеющих нетривиальных подгрупп. Через п обозначим число Е , а через пе—минимальную эксклюзивность полугруппы SP для каждого є Є Е Числа пе для каждого є Є Е существуют в силу леммы 2.2 2 Пусть пта1 = тах{п(, е Е} и пусть t = п Птаг Рассмотрим т. включение at, в запись которого входят буквы г і,Х2, ,xt Пусть ср X —у S-—произвольное отображение Тогда во множестве { p(xi), ip{x2), } f{xt)} существует не менее чем nmas элементов из полугруппы SR Для некоторого .

Пример малого многообразия, имеющего континуум дизъюнктивных подмногообразий

В теории многообразий полугрупп постоянно возникал вопрос о приведении примеров бесконечных независимых совокупностей тождеств Такие бесконечные совокупности были приведены А П Бирюковым [3], Е С Ляпиным [22] и другими алгебраистами (см например [44]) В [45] был приведен первый пример конечной вполне 0-простой полугруппы, имеющей бесконечный базис т. включений В настоящем параграфе приводится пример бесконечных приводимых совокупностей т. включений С помощью этой совокупности приводится пример млого многообразия, имеющего континуум дизъюнктивных подмногообразий Эта система дополняет бесконечным образом систему, приведенную в [10] для докзатель-ства бесконечной базируемости некоторой коммутативной четырехэле-ментной полугруппы Отметим, что данная система приводима в классе коммутативных полугрупп

В [10] подсовокупность Ь;+1 к Є TV} совокупности 5 использовалась для доказательства существования бесконечного базиса т включений четырехэлементной полугруппы ,52 Заметим, что совокупность полугрупп {5. ] к Є iV\{l}} содержится в много образин нильпотентных полугрупп П{хіХ2а:з — у2}, которое является малым, то есть содержит лишь конечное число подмногообразий ([1]). Доказательство. Необходимость. Пусть St Є (). Предположим, что t k Пусть р . X — Sk—произвольное отображение, продолжи-мое до гомоморфизма, который мы будем обозначать той же буквой Пусть (р(х\) = а7 для некоторого г = l,k Тогда для лбого j = l,t получаем (р(Х)) = а, , где г — ъоР 1 Так как по предположению .&, получаем, что все элементы множества {,0( 1 2), ( 2 3), , ( t i)} равны Ъ == ФІУіУіїіь) Ф { 1 2), 2 3), ,y(xtxi)} = 8t 0(5/,) Противо-речие Достаточность Пусть t/к для некоторых t,k Є Лг\{1} и пусть f X — Sk— произвольное отображение Покажем, что в данном случае для любого отображения ср выполняется О Є f{x\X i Х Ъ, )МХ\\ Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда у({ж],xj2, . ,Xt}) С Рассмотрим два случая- t к и t к. 1 Пусть t к и ц (х]) аг для некоторого г — 1, к Тогда в силу замечания 3 2 1 следует цепочка ранвенств. (ж3ж2) а9афп if(x2X ) = а,йга,/ , , p(xtxi) = о,д_,а,., где /3, = о, s = 1, 2, , і — 1 Из замечания 3.2 1 следует, что для того, чтобы последний член alfjt_ia% был равен Ь необходимо и достаточно, чтобы г/3/ — Но так как г/Зд = га к Ф Ї, то р(х3) = ip(xtxi) = О 2 Пусть t к Так как t/k, то і = gfc+r, где 0 г к Пусть tp(xi) — а, для некоторого г = 1, к В силу замечания 3 2 1 получаем (р(хф+Т) — dtfj, где (3 = a]? +T Тогда г/3 = гек 1 = гаА + -1 = га\ 1 Последняя цепочка равенств следует из того, что элемент сед является элементом порядка, к группы подстановок -элементного множества. Теперь для доказательства теоремы нам достаточно доказать, что гагк 1 — г . {—1, fc — 1}. От противного (a) Предположим, что и Г1 — — — 1 == го? "1 — t — 1 = г к, а это противоречит тому, что 0 г к (b) Пусть теперь го [ — г = fc — 1 =J га4 — А; + ї — 1 Последнее равенство выполняется при условии г = І Если г = 1 ==Ф- la = т к. А из этого следует la L — 1 = г — 1 = к — 1 Противоречие Рассмотрим совокупность Г/, — {. к Є 7V\{1} & i/fc}. Теорема 3.2.1. Пусть S —непустое подмножество множества . Совокупность Е/ является неприводимой подсовокупностью совокупности S тогда и только тогда, когда для любых га. включений 6t,5s Є 5 выполняется условие, (t ф s —S t/sfo s/t) Доказательство. Необходимость От противного Пусть S — неприводимая совокупность из S и для некоторых двух различных чисел П[,П2 Є iV(H ) = {пЄ Лг\{1} І с„ Є Ф } выполняется Тії П2 В этом случае rii — kn2 Рассмотрим т включение 8ril. Любое натуральное число m из множества {1,2, . , тії] можно представить в виде т = дщ + г, где q к ж 0 г щ, причем, если q = к, GF то г = {). Построим отображение ір следущим образом x1l2, если г — 0; х1, если Т ф 0

Применяя такое отображение алфавита X на себя по правилу 2 леммы 12 3 получаем, что 5Пі —У Sn,, Противоречие неприводимости системы Ф Достаточность Пусть совокупность 5 совокупности S удовлетворяет условию. (\/5t]Stl Є Н )(і/Ї2 & 2 Аі) Пусть 5t—произвольное т включение из Очевидно, что для доказательсва теоремы достаточно доказать, что тождественное включение 6\ не следует из произвольной конечной подсовокупности Е" совокупности Е \{,} Рассмотрим число п — tjt2 .іч, где {5tn5t2, ,6f } = Е" По определению класса S получаем, что t/n. Тогда по лемме 3.2 2 получаем, что 5t Є в(5„) Но по той же лемме получаем, что в полугруппе S„ не выполняется ни одно из т включений St где г = і,І25 ,ts. А из этого следует, что т влюче-ние 5t не следует из совокупности Е . Ш Пусть Ер — {8t і Є Р}, где Р—множество положительных простых чисел Из теоремы 3 2 1 вытекает ряд свойств неприводимых подсовокупностей совокупности Я 1 бесконечные неприводимые подсовокупности совокупности Е существу т, а именно, такой подсовокупностью является множество Ер = {5р \ р Є Р}, где Р—множество простых натуральных чисел, больших единицы, 2 из любой неприводимой подсовокупности Ef совокупности Е следует совокупность Sf = {Sp \ p Є Pf} для некоторого P С P, 3. все бесконечные неприводимые подсовокупности совокупности Е, из которых следует бесконечная неприводимая совокупность Sp, образуют бесконечную полурешетку относительно отношения следования, 4. любое дизъюнктивное тождество 5п из совокупности Б можно вклю чить в бесконечную неприводимую подсовокупность совокупности Н Таким образом верна следующая основная теорема данной заметки Теорема 3.2.2. Многообразие полугрупп И{х\Х2Х% = у2} имеет -конечное множество подмногообразий и континуум дизъюнктивных подмногообразий Заметим, что, как уже было отмечено в параграфе 3 1, решетка подква-зимногообразий квазимногообразия полугрупп Л(ху = ух,хіХ2%з = У2) континуальна Так как многообразие Щху = yx,x1x2Xs = у2) является подмногообразием малого многообразия П(ж]Т2Жз У2)5 то получаем, что многообразие И(х\Х2Х у2) также имеет континуальную решетку под квазимногообразий.

Похожие диссертации на Некоторые позитивные формулы на полугруппах

Формулы для числа решений уравнений марковского типа в конечных поляхБаулина Юлия Николаевна

Явная формула для символа Гильберта в многомерных полных дискретно нормированных поляхБеляева Татьяна Борисовна

Связь явного закона взаимности Ивасавы с явными формулами куммерова типа Зиновьев Александр Николаевич

Дизъюнктивное свойство и канонические формулы в классе расширений минимальной логикиСтукачева Марина Викторовна

Асимптотическая формула в проблеме Варинга-Гольдбаха со сдвинутыми простыми числамиРахмонов, Фируз Заруллоевич

Асимптотическая формула в кубической задаче Эстермана с почти равными слагаемымиФозилова, Давлатбахт Миралибековна

Сложность решения задачи выполнимости булевых формул алгоритмами, основанными на расщепленииСоколов Дмитрий Олегович