Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 18
1.1. Необходимые определения и понятия 18
1.2. Асимптотика степени неприводимых характеров симметрической группы 27
Глава 2. Об экспонентах многообразий алгебр 49
2.1. Дискретная серия алгебр Ли с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей 49
2.2. Некоторые подмногообразия многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй картановского типа общей серии W2 59
Глава 3. Дробные экспоненты многообразий в других классах алгебр 65
3.1. Серия многообразий алгебр Лейбница с нецелочисленными экспонентами 65
3.2. PI-экспоненты некоторых простых конечномерных алгебр с единицей 75
Литература
- Асимптотика степени неприводимых характеров симметрической группы
- Дискретная серия алгебр Ли с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей
- Некоторые подмногообразия многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй картановского типа общей серии W2
- PI-экспоненты некоторых простых конечномерных алгебр с единицей
Асимптотика степени неприводимых характеров симметрической группы
Заметим, что в работе [40] для любого к 1 А. Джамбруно, Д. Ла Мат-тина и В.М. Петроградский построили унитарную PI-алгебру А конечной размерности, что сп(А) qnk, реализовав тем самым самое маленькое и самое большое значения q. Они доказали, что нижняя граница достигается только в случае, когда к является четным. Если же к — нечетно, то нижняя граница определяется как (к — 1)/к\.
Экспоненту можно также вычислять, когда алгебра содержит единицу (результат принадлежит А. Джамбруно и М.В. Зайцеву, см. [41]).
Пусть А — ассоциативная PI-алгебра и пусть А — алгебра, полученная присоединением к А единичного элемента. Тогда или ехр(А ) = ехр(А), или ехр(А ) = ехр(А) + 1.
Целочисленность экспоненты роста коразмерностей установлена для любой конечномерной алгебры Ли М.В. Зайцевым в работе [7] и в соавторстве с А. Джамбруно и А. Регевым в работе [35], а для алгебр Ли с нильпотент-ным коммутантом этот факт доказан СП. Мищенко и В.М. Петроградским в работе [50].
Заметим, что экспонента также не может быть дробной для йордановых (доказательство этого факта принадлежит А. Джамбруно и М.В. Зайцеву, см. [43]), альтернативных (доказано А. Джамбруно, И.П. Шестаковым и М.В. Зайцевым, см. [44]) алгебр и простой алгебры с единицей (результат принадлежит М.В. Зайцеву, см. [8]).
В случае произвольных линейных алгебр для любого действительного числа а 1 А. Джамбруно, М.В. Зайцевым и СП. Мищенко была построена алгебра экспоненты а (см. [42]). Аналогичный результат в классе алгебр Ли в случае счетного основного поля означал бы существование бесконечно базируемого многообразия алгебр Ли, что явилась бы существенным вкладом в теорию многообразий алгебр Ли.
Целью диссертационной работы является построение новых примеров многообразий алгебр Ли (алгебр Лейбница), экспоненты которых не являются целыми, исследование свойств этих многообразий и исследование их асимптотических характеристик. Второй целью работы является изучение многообразий, порожденных простыми конечномерными алгебрами с единицей со значительным расхождением размерности и экспоненты.
Первый пример многообразия алгебр Ли, экспонента которого не является целым числом, был построен М.В. Зайцевым и СП. Мищенко в 1999 году в работе [49]. Они рассмотрели многообразие А2 всех метабелевых алгебр Ли, которое определяется тождеством (xiX2)(xsX4) = 0.
Далее было построено полупрямое произведение М = з(А2) — относительно свободной алгебры этого многообразия с множеством свободных образующих X = {хі,Х2,Хз} и d — одномерной подалгебры в алгебре всех дифференцирований алгебры М, то есть L = М\ d . Имеет место следующая теорема: Для многообразия V = var(L) алгебр Ли над полем нулевой характеристики выполняются строгие неравенства 3 ЕХР(у) EXP(V) 4. Позже ими же в соавторстве с А.Б. Веревкиным в работе [3] было доказано существование экспоненты этого многообразия и найдено ее точное значение.
Экспонента EXP(var(L)) существует и является дробным числом, приблизительно равным 3,61. Автором был найден еще один пример многообразия с нецелочисленной экспонентой (см. [59] и [61]) для алгебр L = М\ d , где М = F A2) — относительно свободная алгебра многообразия всех метабелевых алгебр Ли А2 с множеством свободных образующих X = { 1, 2, 3, 4}, а d по-прежнему одномерная подалгебра в алгебре всех дифференцирований алгебры М. Тогда:
В случае поля нулевой характеристики для многообразия алгебр Ли V = var(L) выполняется равенство ЕХР(у) = EXP(V) 3.83.
Известен еще один классический объект, у которого экспонента роста коразмерностей не является целым числом. Это многообразие, порожденное бесконечномерной простой алгеброй картановского типа общей серии W i или, другими словами, алгеброй Ли векторных полей на плоскости.
Напомним строение кольцо многочленов от переменных і, 2, ,tk над полем Ф. Всякий элемент бесконечномерной простой алгебры Ли картановского типа общей серии Wk может быть записан в виде i i=\ Ji i, где 0{ оператор взятия частной к. В этой алгебре лиевской операцией является коммутирование операторов. Обозначим Wk — многообразие, порожденное соответствующей алгеброй Wk.
В 80-х годах СП. Мищенко в работе [16] доказал экспоненциальность роста многообразия Wk. А именно: cn(Wk) (4fc)n. С.С. Мищенко удалось уточнить оценку роста последовательности коразмерностей многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа. В работе [20] С.С. Мищенко доказал, что для верхних экспонент многообразий Wk выполняются неравенства
Дискретная серия алгебр Ли с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей
Доказательство. Предположим противное - пусть разбиение А Ь п таково, что в диаграмме Юнга вне первых s строк содержится более двух клеток. Обозначим длины столбцов этой диаграммы через Л І5..., Х х . Рассмотрим соответствующий разбиению А Ь п полилинейный полином / пространства Pn(Ls). Согласно работе СП. Мищенко ([19]), полином / равен линейной комбинации слагаемых, содержащих Лі кососимметричных наборов с А переменными в г-ом наборе. Но любой полилинейный лиевский полином, содержащий кососимметрический набор из не менее чем s + 2 переменных, или два набора по s +1 кососимметрических переменных в каждом, обнуляется в алгебре Ls. Причина этого в том, что алгебра содержит абелев идеал М 1_х коразмерности s. Действительно, пусть полилинейный полином содержит s + 2 кососимметрических переменных или более того. В силу полилинейности достаточно проверить его обнуление на каком-то базисе алгебры, подставляя вместо кососимметизованных переменных различные базисные элементы. Базис алгебры Ls построим дополнением базиса идеала М 1_х. Но вне этого идеала есть только s линейно независимых элементов,- в качестве базисных можно выбрат Поэтому в кососимметризованное выражение придется подставить не менее двух элементов из идеала Ms2_b и каждый лиевский моном рассматриваемого слагаемого после подстановки обнулится, сведясь к произведению двух элементов этого идеала с нулевым умножением. Если же в полилинейном полиноме есть два различных кососимметрических набора по s + 1 переменной в каждом, то после подстановки базисных элементов вместо кососимметризованных переменных каждое из двух множеств будет содержать хотя бы один базисный элемент из идеала М 1_х. Следовательно, лиевские мономы соответствующего слагаемого обнулятся. Поэтому полином /, соответствующий разбиению А, при любой подстановке элементов алгебры Ls обнуляется, и кратность т\ = 0.
Тем самым, утверждение леммы о двух и более клеток вне первых S строк диаграммы Юнга доказано. тождество алгебры Ls. Достаточно показать, что полилинейный полином /, зависящий кососимметрических наборов переменных длины А 1?... , А;, соответственно, принимает нулевое значение в Ls. - базис алгебры Ls. Подставим некоторые из этих элементов в /. Элемент d можем подставить только вместо одной переменной каждого кососимметрического набора, иначе сразу получим ноль. Обозначим через Ъ такие переменные в /, вместо которых мы подставили d. Остальные переменные мы обозначим у і,..., г/&. Дифференцируем элементом d столько раз, сколько это необходимо и перепишем полином / в виде линейной комбинации следующих слагаемых: (y4lbai)(y4nba2)... (уо.Ъак), (5) в которых «і, ...,«/; 0. Заметим также, что і. Элементы уфа, а 0, можно рассматривать как новые образующие. Полином / уже не будет полилинеен по этим новым образующим, но может быть записан в виде суммы где каждое слагаемое является полилинейным полиномом от части новых образующих. Пусть / кососим-метричен по у\ и 2/2, тогда те элементы из /і,..., /m, которые зависят от УАЬ УФ будут также кососимметричны по этим новым образующим. Аналогично, сохраняется кососимметричность по уі& ,у2& , где j = 2, 3,... . Докажем, что каждое слагаемое /і,..., /т принимает нулевое значение. Для этого запишем, например, f\ в виде линейной комбинации элементов (5), потом зафиксируем индексы Si,S2 и покажем, что частичная сумма f\ слагаемого f\ с этими S\,S2 уже равна нулю. Действительно, если / кососимметричен, например, по Уі,У2, причем 1,2,..., Г ф Sl,S2 и f\ зависит от 2/1,2/2 или, тогда он принимает нулевое значение, так как все yi принимают значения в метабелевом идеале Ms алгебры Ls и после подстановки перестановочны и кососимметричны одновременно. Другими словами, если fl зависит от yibai, у2Ьа2,... ,yibai и принимает ненулевое значение, тогда верно неравенство Переменные ySl и yS2 включены не более чем в 2 таких набора, а d можно подставить только вместо одной переменной каждого набора. Поэтому мы имеем по крайней мере As — 2 кососимметрических наборов длины s и \ — \+\ наборов длины і — 1, где г = 3,..., s — 1. Как было показано выше, f\ принимает ненулевое значение, если выполняется следующее неравенство:
Некоторые подмногообразия многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй картановского типа общей серии W2
Для удобства, в данном параграфе договоримся в относительно свободных алгебрах, а также при записи тождественных соотношений лиевскую операцию записывать без коммутаторных скобок. Использовать коммутаторные скобки будем только в конкретных алгебрах Ли, которые построены из соответствующих ассоциативных алгебр, в которых аЪ обозначает результат ассоциативного умножения элементов алгебры. А также напомним, что мы используем левонормированную запись произведений, опуская скобки, то есть (ab)c = abc.
Напомним определение бесконечномерной простой алгебры Ли картановского типа общей серии И7 . Пусть і?2 = Ф ъ г] кольцо многочленов от переменных t\,t2- Алгебра W состоит из дифференциальных операторов первого порядка вида где ді оператор взятия частной производной по , а f\ Є і?2, і = 1,2. Относительно операции коммутирования множество И7 является алгеброй Ли, причем результат коммутирования двух операторов первого порядка будет также оператором первого порядка. Проверим этот хорошо известный факт в явном виде. Действительно, выпишем результат коммутирования двух дифференциальных операторов, каждый из которых состоит из одного слагаемого. Для этого применим коммутатор к многочлену h Є і?2
В первом параграфе данной главы была получена дискретная серия алгебр Ли LS, где s = 3, 4,..., с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей. Напомним строение алгебры Ls. Для удобства мы увеличим количество свободных образующих Zi— ых и изменим правило, по которому действует преобразование d. Ясно, что такое преобразование не влияет на полученные результаты.
Пусть А2 - многообразие всех метабелевых алгебр Ли, определенное тождеством (xiX2)(xsX4:) = 0 , а Ms = FS(A2), s = 3,4,... - относительно свободная алгебра ранга s этого многообразия с множеством свободных образующих { о, Zi,..., zs-{\. Рассмотрим линейное преобразование d векторного пространства о, Zi,..., zs_i , действующее по правилу Zid = Zi-i, где і = 1, 2,..., s — 1, zod = 0. В этом случае d можно продолжить до дифференцирования алгебры MS, которое мы обозначим той же буквой. Линейную оболочку этого дифференцирования d можно считать одномерной алгеброй Ли с нулевым умножением. Построим полупрямое произведение алгебр Ма и d , которое обозначим Ls = Ms X d . Многообразие, порожденное алгеброй LS, будем обозначать Ls, s = 3, 4,.... симметрическая группа, а (—1)р - четность перестановки. Однако, это тождество не выполняется в алгебрах LS, где s = 3, 4,..., поэтому алгебры Ls не лежат в многообразии Wi. Действительно, для проверки этого факта достаточно подставить элементы zo,Zi,Z2, z ,d алгебры L вместо переменных тождества хо,Хі,Х2,Хз,Х4: соответственно и получить ненулевой результат подстановки. Оказалось, что многообразию W2 рассматриваемая серия алгебр уже принадлежит. Сформулируем основной результат этого параграфа.
Теорема 2. Дискретная серия алгебр Ли Ls с различными дробными экспонентами роста коразмерностей принадлежит многообразию, порожденному простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии W2.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно проверить, что любое тождество, которое не выполняется в алгебре LS, также не выполняется в алгебре W2- Предположим, что произвольное тождественное соотношение степени n+1 не выполняется в алгебре Ls. Тогда существуют такие элементы этой алгебры, после подстановки которых вместо переменных тождества получаем ненулевой элемент алгебры Ls.
Пусть вместо k образующих был подставлен элемент d. Обозначим эти образующие буквой b. А вместо остальных m = n+1-k образующих подставлены некоторые zi или их произведения, которые мы, в свою очередь, переобозначим как y0,y1,...,ym. Так как adb является дифференцированием алгебры и действует по правилу (xy)d = (xd)y+x(yd), то дифференцируя образующей b необходимое число раз перепишем наше тождественное соотношение в виде суммы левонормированных произведений элементов вида ys(ad b)p.
После подстановки базисных элементов алгебры Ls мы можем менять местами скобки, начиная с третьей, так как алгебра Ms является метабеле-вой. Это же свойство перестановки скобок выполняется и после подстановки элементов из алгебры W2, что будет следовать из того типа подстановки, о которой будет рассказано ниже. Сделаем подстановки вместо образующих элементов алгебры Ls и W2 и, производя одинаковые преобразования в обоих случаях, перепишем полученное выражение, считая, что элементы алгебр уже подставлены, но не производя вычислений. При этом еще раз заметим, что мы одновременно производим преобразования, переставляя скобки начиная с третьей и приводя подобные.
В базисе алгебры Ls, кроме zi и d, есть еще произведения свободных образующих метабелевой алгебры Ms, но произведение может быть подставлено только один раз. Так как если мы подставим произведение два раза, то по свойству метабелевости алгебры Ms получим ноль. Любой из ys(ad b)p можно "вынести" на первое место, так как мы работаем в алгебре Ли. Будем считать, что если вместо одного из yi мы подставили произведение, то именно его мы вынесем на первое место. Упорядочим скобки, начиная с третьей, по возрастанию индекса і элементов у І. Тогда тождественное соотношение после подстановки элементов из Ls или из W2 будет иметь вид:
PI-экспоненты некоторых простых конечномерных алгебр с единицей
Построим дискретную серию алгебр с единицей, размерности которых стремятся к бесконечности. Пусть Ат, т 3, алгебра размерности т с базисом является простой алгеброй с единицей. Доказательство. Из определения алгебры получаем, что элемент 2о является единицей алгебры. Докажем, что алгебра является простой. Рас rn— l смотрим некоторый ненулевой идеал и пусть а = 2 (ЗІСІІ некоторый нену г=-1 левой элемент этого идеала. Пусть s — индекс ненулевого коэффициента, причем для любого к s, f3k = 0. Умножим элемент а слева на a_i (s + 1) раз. В результате получим элемент (3sa-i. Таким образом, элемент a_i, а, следовательно, и ао = а-\а\ принадлежит идеалу. Так как идеал содержит единицу алгебры ао, то, следовательно, он совпадает со всей алгеброй.
Предложение 4 доказано. Отметим, что алгебра Ат является Z—градуированной. Выпишем разложение алгебры в прямую сумму однородных подпространств где при s = —, подпространство Am = (CLS} одномерная линейная оболочка, натянутая на базисный элемент as, а остальные пространства являются нулевыми, то есть Ат = 0, если s — 1 или s т — 2. Так как алгебра не является ассоциативной, то напомним, что как и прежде, в случае левонормированного произведения опускать скобки, то есть abc = (ab)c.
Обозначим через VTO многообразие алгебр, порожденное алгеброй Ат. Обозначим также через Ra оператор умножения справа на элемент а, например, ЪВ а = Ьааа. Напомним, что каждому разбиению А = (Ai, А2,..., А&) числа п можно сопоставить диаграмму Юнга, і—ая строка которой имеет длину равную форму диаграммы Юнга, при которых кратность т\ в сумме (1) может быть отлична от нуля. Поскольку размерность dim Ат = т, то кососим-метризация некоторого элемента по более, чем т образующим, приводит к тождественному равенству этого элемента нулю. В этом случае, как хорошо известно, если Ато+і ф 0, то кратность шд = 0. Кроме этого, оказывается, что если кратность отлична от нуля, то первая строка диаграммы Юнга должна быть достаточно длинной. Дадим точную формулировку этого ограничения на форму диаграммы Юнга.
Доказательство. Пусть шд ф 0, то есть существует неприводимый Ф5 п— подмодуль в Рп с характером %д, не лежащий в идеале тождеств алгебры Ат. Это означает, что существует полилинейный многочлен / = f(xi,... , Xk) кососимметричный по наборам переменным в количествах равных длинам столбцов диаграммы Юнга, соответствующей разбиению А Ь п, и не равный нулю тождественно в многообразии Vm. То есть существует такая подстановка вместо образующих элемента / базисных элементов алгебры Ат, при которой значение не равно нулю. Понятно, что вме сто кососимметрических образующих подставлены разные базисные элементы ai. Пусть ЖІ15 ... , Xis — образующие одного кососимметрического набора, тогда сумма индексов подставленных базисных элементов будет не менее, чем —l+0 + ... + s — 2 = 2 - Так как алгебра Ат является Z—градуированной, то результат подстановки будет принадлежать однородной компоненте Ат , где к Хл=і 2 = wtWi а А , А ,..., Ад — длины столбцов диаграммы А. Если wt(X) т — 2, то Ат = 0 и вопреки условию результат подстановки также равен нулю. Таким образом, если кратность т\ ф 0, следовательно, выполняется неравенство wt(X) га — 2.
Обозначим через Х п разбиение, принадлежащее Dn, такое что размерность соответствующего неприводимого модуля является максимальной, то есть d\{n) = тах\евп d\ . Тогда, как доказано в предложении 3 пункта 1.2. первой главы, lim \/d\{n) = F{m). Более того, мы получим такой же ре-ri—7 00 зультат, если в определении компакта Тт и множества диаграмм Dn второе условие будет равенством, то есть можно рассматривать только диаграммы с условием wt(X) = 0.
Теорема 4. PI-экспонента алгебры Ат при т 4 существует и равна дробному числу F(m), то есть EXP(VTO) = F(m).
Доказательство. В работе А. Джамбруно, М.В. Зайцева и СП. Мищенко [39] (см. теорему 1) доказано, что в случае алгебры конечной размерности кодлина порожденного этой алгеброй многообразия полиномиально ограничена. Следовательно, оценки для нижней и верхней экспоненты многообразия VTO могут быть найдены из анализа размерностей d\ неприводимых модулей симметрической группы, входящих в разложение модуля Рп(Ут) в прямую сумму неприводимых подмодулей.
Пусть D — множество разбиений /І Ь П, для которых выполняется условие wt(fi) т — 2. Обозначим через ц(п разбиение, принадлежащее D , такое что размерность соответствующего неприводимого модуля является максимальной, то есть dj ) = тахмЄ d . При фиксированном п мно жество диаграмм Dn является подмножеством множества диаграмм D . Понятно, что для любого разбиения /І Є D существует такое разбиение Л Є Dn, что соответствующие этим разбиениям диаграммы Юнга отличаются на ограниченное, не зависящее от п число клеток. Действительно, достаточно удалить не более т — 2 клетки из строк с номером больше двух и добавить столько же клеток в первую строку. Отсюда из элементарных соображений математического анализа следует, что
Докажем такое неравенства EXP(Vm) F(m), из которого будет следовать утверждение теоремы. Из результатов, сформулированных во втором параграфе первой главы и в первом параграфе второй главы следует, что достаточно для каждого п, и для каждого его разбиения v) на m частей, то есть vm ф 0, доказать, что mv ф 0 в сумме (1). При этом можно ограничиться рассмотрением только тех разбиений, для которых, например, выполняется дополнительные условия wt{y) = — 1 и v\ v i- Так как добавление конечного количества клеток к первой или второй строке не влияет на результат.