Содержание к диссертации
Введение
1. Многогранники 13
1. Основные определения и обозначения 13
2. Диаграммы Гейла 14
2.1. Диаграммы Гейла n-мерных многогранников сп + 2ип + 3 гипергранями 17
3. Многогранники Кокстера в Шп 18
3.1. Остроугольные многогранники в Шп 19
3.2. Схемы Кокстера 22
2. Неограниченные многогранники с п + 2 гипергранями 25
1. Произведения двух симплексов 2G
2. Пирамиды 29
3. Многогранники сп + 3 гипергранями 34
1. Неограниченные многогранники конечного объема . 34
1.1. Отсутствие искомых многогранников в больших размерностях 35
1.2. Многогранники размерности 16 и 17 47
1.3. Пирамиды 56
2. Ограниченные многогранники сп + 3 гипергранями 59
4. Регулярные подалгебры гиперболических алгебр Каца — Муди 75
1. Подсистемы корней и разбиения многогранников . 75
2. Подсистемы корней полного ранга 78
2.1. Максимальные подгруппы 80
2.2. Немаксимальные подгруппы 85
2.3. Классификация подсистем корней полного ранга 86
3. Подсистемы корней коранга один 100
Литература 115
- Многогранники Кокстера в Шп
- Схемы Кокстера
- Отсутствие искомых многогранников в больших размерностях
- Максимальные подгруппы
Введение к работе
1. Пусть Хп — n-мерное евклидово пространство Еп, п-мерная
сфера п или n-мерное гиперболическое пространство Шп. Пусть
Р Є Хп — выпуклый многогранник, ограниченный гипергранями
/ь--ч/т- Многогранник Р называется многогранником Кокстера,
если двугранный угол между любой парой смежных гиперграней
/,- и fj имеет вид ~, где rriij > 2, ти Є Z.
Пусть Гр — группа движений пространства Хп, порожденная отражениями г\,...,гт относительно гиперграней /i,...,/m многогранника Р. Известно, что если Р — многогранник Кокстера, то группа Гр дискретна, и многогранник Р является ее фундаментальной областью. Иными словами, многогранники jP, 7 Є Гр, попарно не имеют общих внутренних точек и покрывают пространство Хп. При этом группа Гр задается следующими образующими и определяющими соотношениями:
(1) Гр =< п, ...,rm | г? = (г,т,-)т« = е > .
Здесь тц = rriji, rriij > 2, rriij Є Z. Для несмежных граней /, и fj удобно считать, что m2j = со и что соотношение отсутствует.
Абстрактная группа с отмеченной системой образующих и определяющих соотношений вида (1) называется группой Кокстера. Как показано Титсом в [34], любая группа Кокстера с конечным числом образующих может быть представлена в виде группы проективных преобразований, порожденной отражениями и дискретно действующей в некоторой области проективного пространства. Мы ограничимся рассмотрением групп Кокстера, имеющих представление в пространстве постоянной кривизны Е'\ S" или 1Нп с фундаментальным многогранником конечного объема.
2. Классификация сферических и евклидовых многогранников Ко-
*
кстера была получена Кокстером в 1934 г. [23]. Все сферические многогранники Кокстера являются симплексами, евклидовы — произведением нескольких симплексов. Группы, порожденные отражениями в гипергранях симплексов Кокстера, играют важную роль в теории полупростых алгебр Ли.
В отличие от сферического и евклидового случаев, полной классификации гиперболических многогранников Кокстера не существует. Известно, что в гиперболических пространствах большой размерности нет многогранников Кокстера конечного объема. Используя результаты В. В. Никулина [17] о комбинаторном строении простых многогранников, Э. Б. Винберг [7] доказал, что размерность ограниченного многогранника Кокстера не превышает 29. В работе [20] А. Г. Хованский обобщил результат работы [17] на случай многогранников, простых в ребрах. Используя результат Хованского, М. Н. Прохоров [18] показал, что размерность неограниченного многогранника Кокстера конечного объема не может превышать 995.
В то же время, примеры гиперболических многогранников Кокстера известны лишь в достаточно небольших размерностях. Рекордный пример ограниченного многогранника Кокстера был построен В. О. Бугаенко [22] как фундаментальный многогранник подгруппы отражений группы автоморфизмов решетки [— (у/Ъ + l)]±Es- Его размерность равна восьми. Неограниченный многогранник максимальной известной размерности построил Борчердс [21]. Это 21-мерный многогранник с 210 гипергранями.
Классификация гиперболических многоугольников Кокстера была получена Пуанкаре в 1882 г. [33]. Такой многоугольник может иметь любое число к > 3 сторон и любые углы —,..., — (где
тпі — целое > 2 или со), лишь бы выполнялось условие
1 1 , ft
— + ... + — <к-2;
mi тпк
при этом он зависит еще от к — 3 вещественных параметров.
Трехмерные гиперболические многогранники Кокстера полностью описаны Е. М. Андреевым. В работах [1] и [2] он указал простые необходимые и достаточные условия, при которых в пространстве JH3существует выпуклый многогранник конечного объема с заданными двугранными углами, не превосходящими |.
За исключением вышеописанного и отдельных примеров, изучены лишь некоторые комбинаторные типы многогранников Кокстера.
Многогранники простейшего комбинаторного типа — симплексы — полностью классифицированы. Ограниченные симплексы Кокстера перечислил Ланнер [32], их размерность не превышает 4. Известен также полный список неограниченных симплексов (см., например, [10]), их размерность не превышает 9.
В работе И. М. Каплинской [13] (см. также [8]) классифицированы симплициальные призмы Кокстера, т.е. многогранники, комбинаторно эквивалентные произведению симплекса на отрезок. ОНИ Существуют При 71 < 5.
Эссельман [24] перечислил ограниченные многогранники с п + 2 гипергранями размерности п > 4, не являющиеся симплициаль-ными призмами. Вместе с результатом работы [13] это составило полную классификацию ограниченных многогранников Кокстера с п + 2 гипергранями.
Им Хоф [29] перечислил гиперболические многогранники Кокстера, схемы Кокстера которых линейны или являются циклами. Эти многогранники имеют не более чем п + 3 гиперграни.
В работе Эссельмана [25] доказано, что размерность ограни-
ченного n-мерного гиперболического многогранника Кокстера с п + 3 гипергранями не превышает 8.
Известны также следующие серии гиперболических многогранников.
В работе [16] В. С. Макаров построил несколько бесконечных серий ограниченных многогранников Кокстера в JH4 и в Ш5. Каждый многогранник в этих сериях получается склейкой некоторого числа многогранников Pi и Р2, где Pi и / — симплициальные призмы (в Ш5) или симплексы с двумя обрезанными идеальными вершинами (в Ш4).
В. О. Бугаенко [3] построил серию ограниченных многогранников в Шп, п < 7. Они являются фундаментальными многогранниками подгруппы отражений группы ортогональных преобразований формы
т / \ * ' V" 2 2 2
К\х) = —Х0 + Хг + Ь Хп.
В работах Э. Б. Винберга [6], а также Э. Б. Винберга и И. М. Ка-плинской [9] построены неограниченные многогранники в Шп, п < 19. Они являются фундаментальными многогранниками подгруппы отражений группы ортогональных преобразований формы
Jn\x) = ~%о ~Ь xi ~Ь *' * + хп.
В продолжение изучения гиперболических многогранников Кокстера, первые три главы настоящей диссертации посвящены классификации гиперболических многогранников Кокстера некоторых комбинаторных типов. Точнее, исследуются многогранники Кокстера конечного объема в Шп сп + 2ип + 3 гипергранями.
3. Гиперболические многогранники Кокстера тесно связаны с одним классом алгебр Каца — Муди. Точнее, следуя книге В. Каца [14], алгебру Каца — Муди назовем гиперболической, если она
построена по обобщенной матрице Картана гиперболического типа. В свою очередь, симметризуемая обобщенная матрица Картана называется матрицей гиперболического типа, если при симметризации получается невырожденная матрица сигнатуры (п, 1), любая главная подматрица которой эллиптическая или параболическая. Как и полупростые алгебры Ли, гиперболические алгебры Каца — Муди допускают корневое разложение с некоторой системой корней А. Такие системы корней мы будем называть гиперболическими. Группа Вейля гиперболической системы корней является дискретной группой, порожденной отражениями, в Шп. Ее фундаментальная камера — гиперболический симплекс Кокс-тера.
В [11] Е. Б. Дынкин ввел понятие регулярной подалгебры полупростой алгебры Ли д, как подалгебры, инвариантной относительно присоединенного действия некоторой картановской подалгебры \) алгебры д. Далее Дынкиным перечислены регулярные подалгебры полупростых алгебр Ли, или, что то же самое, подсистемы корней в системах корней. Каждая подсистема корней в системе, кореней соответствует подгруппе, порожденной отражениями, в конечной группе, порожденной отражениями. Таким образом, каждая регулярная подалгебра полупростой алгебры Ли соответствует некоторому разбиению сферического симплекса Ко-кстера.
Аналогично конечномерному случаю, для алгебр Каца — Муди также можно ввести понятие регулярной подалгебры. В последней главе настоящей диссертации классифицированы регулярные гиперболические подалгебры полного ранга и коранга один гиперболических алгебр Каца — Муди.
Нумерация теорем сквозная, нумерация предложений, лемм, таблиц и рисунков подчинена нумерации глав.
Основные результаты
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены основные определения и факты о гиперболических многогранниках Кокстера (полученные Э. Б. Винбергом в работе [8]), а также о выпуклых многогранниках и диаграммах Гейла. Результат этой главы — лемма 1.1 — является основным инструментом, применяемым нами в дальнейшем. Лемма 1.1 устанавливает связь между диаграммой Гейла, отвечающей за комбинаторику многогранника, и схемой Кокстера многогранника Кокстера.
Во второй главе исследуются неограниченные многогранники Кокстера конечного объема в Шп, имеющие п + 2 гиперграни. Используя диаграммы Гейла и классификацию евклидовых многогранников Кокстера, в лемме 2.1 доказано, что искомые многогранники комбинаторно эквивалентны либо произведению двух симплексов, либо пирамиде над произведением двух симплексов.
В разделах 2.1 и 2.2 доказаны теоремы:
Теорема 1. Существует единственный неограниченный гиперболический многогранник Кокстера конечного объема, комбинаторно эквивалентный произведению двух симплексов размерности большей, чем один. Схема Кокстера этого многогранника представлена на рис. 2.1.
Теорема 2. Все гиперболические кокстперовские многогранники конечного объема, комбинаторно эквивалентные пирамиде над произведением двух симплексов, описаны в табл. 2.2 и 2.3.
Вместе с результатами Каплинской [13] и Эссельмана [24] теоремы 1 и 2 завершают классификацию гиперболических п-мерных многогранников Кокстера, имеющих п + 2 гиперграни.
В третьей главе изучены многогранники Кокстера в Шп, имеющие п + 3 гиперграни. В разделе 3.1 доказана теорема:
Теорема 3. В гиперболическом пространстве размерности п > 17 не существует неограниченных многогранников Кокстера конечного объема сп + 3 гипергранями. В Ш10 существует ровно один такой многогранник; он имеет следующую схему Кокстера:
№«^
н г:
При доказательстве теоремы 3 попутно мы получаем классификацию неограниченных многогранников Кокстера конечного объема сп + 3 гипергранями, являющихся пирамидами. В лемме 3.11 доказано, что все такие многогранники комбинаторно эквивалентны пирамиде над произведением трех симплексов. Далее, доказана теорема:
Теорема 4. Все гиперболические кокстеровские многогранники конечного объема, комбинаторно эквивалентные пирамиде над произведением трех симплексов, описаны в таблицах 3.4 и 3.5.
В разделе 3.2 исследуются компактные гиперболические многогранники Кокстера сп + 3 гипергранями. Доказана следующая теорема:
Теорема 5. Все схемы Кокстера ограниченных гиперболических n-мерных многогранников Кокстера сп + 3 гипергранями, п > 4, перечислены в табл. 3.8—3.12.
Вместе с результатами Андреева [1] и Эссельмана [25] теорема 5 завершает классификацию ограниченных гиперболических n-мерных многогранников Кокстера сп + 3 гипергранями.
В четвертой главе изучаются регулярные подалгебры гиперболических алгебр Каца — Муди. Введено определение гиперболической системы корней как системы корней гиперболической
алгебры Каца — Муди. С помощью корневого разложения алгебр Каца — Муди устанавливается связь между регулярными гиперболическими подалгебрами, гиперболическими подсистемами корней и разбиениями специального вида гиперболических симплексов Кокстера. Введено понятие максимальной гиперболической подсистемы корней как подсистемы корней Лі С А, для которой не существует гиперболической подсистемы корней Лг С А такой, что Аі С Дг-
В разделе 4.2.2 доказана теорема:
Теорема 6. Пусть Р и Р\ — n-мерные гиперболические симплексы Кокстера конечного объема, не имеющие двугранных углов, отличных от |, |, \, | и 0. Пусть Wpx С Wp — группы, порожденные отражениями относительно гиперграней Р\ и Р соответственно. Тогда найдутся система корней А с фундаментальным симплексом группы Вейля Р и система корней А\ с фундаментальным симплексом группы Вейля Pi такие, что А і С А является подсистемой корней.
В разделе 4.2.3 доказана теорема:
Теорема 7. Пусть Аі С А — гиперболические системы корней, и L\ С L — соответствующие решетки корней. Тогда следующие условия эквивалентны:
(і) Ai = AnLb
(її) Ai С А является подсистемой корней.
При доказательстве теорем б и 7 использован список разбиений специального вида гиперболических треугольников Кокстера, полученный Е. Клименко и М. Сакумой [31], и гиперболических симплексов Кокстера, полученный А. Феликсон [27], [19].
Также в разделе 4.2.3 получена классификация гиперболических подсистем корней полного ранга (см. рис. 4.1-4.19).
В разделе 4.3 получен полный список максимальных гиперболических подсистем коранга один в гиперболических системах корней (см. табл. 4.2-4.8). При этом существенно использован список регулярных подалгебр полупростых алгебр Ли, полученный Б. Б. Дынкиным в [11].
Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. профессору Э. Б. Винбергу и к.ф.-м.н. доценту О. В. Шварцману за постановку задач, полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе.
Многогранники Кокстера в Шп
Опишем модель гиперболического пространства Шп, которой мы будем пользоваться. Пусть Еп 1 — псевдоевклидово векторное пространство сигнатуры (п, 1). Обозначим через С+ и С- связные компоненты открытого конуса Пусть 0пд — группа ортогональных преобразований пространства Еп г, а 0 п1 — ее подгруппа индекса 2, состоящая из тех преобразований, которые сохраняют каждую из связных компонент конуса С. Пусть IR+ — группа положительных чисел, полупространств Н и HJ определяется знаком (е, /). Отрицательный знак указывает на то, что имеет место один из следующих трех случаев: 1) гиперплоскости Яе и Н/ пересекаются, и двугранный угол Н f] Hj острый; В данном разделе приведены основные факты об остроугольных многогранниках в гиперболическом пространстве. Доказательства см. в [8]. Пусть Р — выпуклый многогранник в Шп, представленный в виде (2). Для каждого і Є I пусть ег- обозначает такой единичный вектор, ортогональный гиперплоскости Я,-, что Hf = Н . Матрицу Грама системы векторов {е,-г Є /} назовем матрицей Грама многогранника Р и обозначим через Gr{P). Это симметрическая матрица с единицами на диагонали. При г ф j ее элемент ду равен минус косинусу двугранного угла Hf П # , если гиперплоскости Щ и Hj пересекаются, минус единице, если они параллельны (т.е. пересекаются в бесконечно удаленной точке), и минус гиперболическому косинусу расстояния между гиперплоскостями Hi И Hj, если они расходятся. Многогранники, все двугранные углы которых не превосходят тг/2, мы будем называть остроугольными. В терминах матрицы Грама это означает, что gij 0 при і ф j. Сигнатурой матрицы Грама назовем тройку чисел (n+,n_,no), где на первом месте стоит положительный индекс инерции, на втором — отрицательный индекс инерции, а на последнем — размерность ядра. Предложение 1.4 ([8], теор. 2.1). Пусть Gr = (gij) — неразложимая симметрическая матрица сигнатуры (п, 1,по) такая, что да = 1, а д О при і ф j. Тогда в Шп существует выпуклый многогранник Р, матрица Грама которого совпадает с Gr. Многогранник Р определен однозначно с точностью до движения пространства Шп. Пусть Gr — матрица Грама многогранника Р, и J С / — подмножество множества граней Р. Через Grj обозначим матрицу Грама системы векторов {е,-г Є J}. Число элементов в J обозначим через \J\. Предложение 1.5 ([8], теор. 3.1). Пусть Р С Шп — остроугольный многогранник с матрицей
Грама Gr, и J С I. Множество является гранью многогранника Р тогда и только тогда, когда матрица Grj положительно определенадействующая в Еп 1 гомотетиями. В этих обозначениях Шп может быть отождествлено с фактормножеством С+/Ш+ таким образом, что движения будут индуцироваться линейными преобразованиями из группы 0 п х. Через Ш обозначим замыкание пространства Шп в {Еп 1 \ {0})/R+. Точки границы дШп = Ж\Шп назовем бесконечно удаленными точками Шп. Обозначим через 7г каноническое отображение Любая гиперплоскость пространства Шп в описываемой модели может быть представлена в виде где е — вектор с положительным квадратом. Ограничиваемые ей замкнутые полупространства обозначим через Н и Н+ так, чтобы Взаимное расположение гиперплоскостей Не и Я/ при условии, что (е, е) = (/,/) = 1, описывается следующим образом. Гиперплоскости Яе и Я/ пересекаются (соответственно, параллельны или расходятся) тогда и только тогда, когда (е, /) 1 (соответственно, (е,/) = 1 или (е,/) 1). Если они пересекаются, то угол между ними определяется по формуле если расходятся, то расстояние между ними определяется по формуле Взаимное расположение полупространств Н и HJ определяется знаком (е, /). Отрицательный знак указывает на то, что имеет место один из следующих трех случаев: 1) гиперплоскости Яе и Н/ пересекаются, и двугранный угол Н f] Hj острый; В данном разделе приведены основные факты об остроугольных многогранниках в гиперболическом пространстве. Доказательства см. в [8]. Пусть Р — выпуклый многогранник в Шп, представленный в виде (2). Для каждого і Є I пусть ег- обозначает такой единичный вектор, ортогональный гиперплоскости Я,-, что Hf = Н . Матрицу Грама системы векторов {е,-г Є /} назовем матрицей Грама многогранника Р и обозначим через Gr{P). Это симметрическая матрица с единицами на диагонали. При г ф j ее элемент ду равен минус косинусу двугранного угла Hf П # , если гиперплоскости Щ и Hj пересекаются, минус единице, если они параллельны (т.е. пересекаются в бесконечно удаленной точке), и минус гиперболическому косинусу расстояния между гиперплоскостями Hi И Hj, если они расходятся. Многогранники, все двугранные углы которых не превосходят тг/2, мы будем называть остроугольными. В терминах матрицы Грама это означает, что gij 0 при і ф j. Сигнатурой матрицы Грама назовем тройку чисел (n+,n_,no), где на первом месте стоит положительный индекс инерции, на втором — отрицательный индекс инерции, а на последнем — размерность ядра. Предложение 1.4 ([8], теор. 2.1). Пусть Gr = (gij) — неразложимая симметрическая матрица сигнатуры (п, 1,по) такая, что да = 1, а д О при і ф j. Тогда в Шп существует выпуклый многогранник Р, матрица Грама которого совпадает с Gr. Многогранник Р определен однозначно с точностью до движения пространства Шп. Пусть Gr — матрица Грама многогранника Р, и J С / — подмножество множества граней Р. Через Grj обозначим матрицу Грама системы векторов {е,-г Є J}. Число элементов в J обозначим через \J\. Предложение 1.5 ([8], теор. 3.1). Пусть Р С Шп — остроугольный многогранник с матрицей Грама Gr, и J С I. Множество является гранью многогранника Р тогда и только тогда, когда матрица Grj положительно определена. Размерность грани равна п — «7.
Схемы Кокстера
Многогранники Кокстера удобно описывать их схемами Кокстера. Схемой Кокстера назовем одномерный симплициальный комплекс, каждому ребру которого приписан некоторый положительный вес, причем все веса либо не меньше единицы, либо вида cos — для некоторого целого т 3. Графически ребра схемы Кокстера изображаются следующим образом: если вес равен cos , то вершины соединены (т — 2)-кратным ребром или простым ребром с отметкой га; если вес равен единице, то вершины соединены толстым ребром; если вес больше единицы, то вершины соединены пунктирным ребром с отметкой, равной весу. Подсхемой схемы Кокстера называется подкомплекс, получающийся удалением нескольких вершин и всех инцидентных им ребер. Пусть S — схема с d вершинами щ,...,щ. Пусть Gr(S) — симметрическая dxd матрица, в которой диагональные элементы равны единице, а элемент дц при і ф j равен весу ребра щщ, взятому со знаком минус, если вершины щ и Uj смежны, и нулю в противном случае. Схемой Кокстера многогранника Кокстера Р назовем такую схему. S, что матрица Gr(S) совпадает с матрицей Грама многогранника Р. Другими словами, вершины схемы Кокстера S(P) соответствуют гиперграням многогранника Р. Две вершины соединены (га — 2)-кратным ребром или простым ребром с отметкой га, если двугранный угол, образованный соответствующими гипергранями, равен —. Если соответствующие гиперграни параллельны, вершины соединены толстым ребром. Если гиперграни расходятся, вершины соединены пунктирным ребром с отметкой ch p, где p — расстояние между гипергранями. Если S(P) — схема Кокстера многогранника Р, то вершины схемы естественным образом нумеруются элементами множества / = {1,...,с?}. Для любого подмножества J С I обозначим за Sj подсхему схемы S, составленную из вершин, номера которых принадлежат J. Очевидно, Gr(Sj) = Gr(S)j. Под сигнатурой, рангом и определителем схемы S будем понимать соответственно сигнатуру, ранг и определитель матрицы Gr(S). Порядок схемы S (число вершин) обозначим через \S\. Схема Кокстера S называется эллиптической, если матрица Gr(S) положительно определена, параболической, если матрица Gr(S) параболическая, и гиперболической, если отрицательный индекс инерции матрицы Gr(S) равен единице. Схему Кокстера назовем неотрицательной, если матрица Gr(S) положительно полуопределена. Связные эллиптические и параболические схемы — это в точности схемы Кокстера соответственно сферических и евклидовых симплексов Кокстера. Полный список связных эллиптических и параболических схем вместе с их общепринятыми обозначениями приведен, например, в [8]. Ланнеровской (квазиланнеровской) схемой называется связная схема Кокстера, которая не является ни эллиптической, ни параболической, но любая ее собственная подсхема эллиптическая (эллиптическая или параболическая). Из предл. 1.4, 1.5 и 1.6 следует, что ланнеровские и квазиланнеровские схемы — это в точности схемы Кокстера гиперболических симплексов Кокстера, соответственно, ограниченных и конечного объема. Полный список лан-неровских и квазиланнеровских схем приведен в [10].
Используя язык схем Кокстера и диаграмм Гейла, мы можем переформулировать результаты, приведенные в разделе 1.3.1. Лемма 1.1. Для того, чтобы схема Кокстера S с вершинами {щ\і = 1,..., } являлась схемой Кокстера многогранника конечного объема в Шп, необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий: 1) сигнатура схемы S равна (п, 1, d — п — 1); 2) найдется d — п — 1-мерная диаграмма Гейла (5 с вершинами {v{\i = 1,...,d} и взаимно-однозначное отображение ф : {щ\г — 1,..., d} — {щ\1 = 1,..., d} такое, что для J С {1,..., с(} О Є intconv{Ф(УІ)\І Є J} Ф=г схема Sj эллиптическая или связная параболическая ранга п — 1; в этом случае J является минимальным набором гиперграней, определяющим, соответственно, обычную грань многогранника либо бесконечно удаленную вершину, которая содержится ровно в п гипергранях; О Є relintconvl i) Є J} \ intconv{i;,i Є J} = схема Sj несвязная параболическая ранга n — 1; в этом случае J является полным набором гиперграней, определяющим бесконечно удаленную вершину, которая содержится более чем в п гипергранях; О Є conv{ (t7i)z Є /} \ relintconv{viz Є J} = схема Sj неотрицательна, но не эллиптическая и не параболическая ранга п — 1; в этом случае J является неполным набором гиперграней, определяющим бесконечно удаленную вершину, которая содержится более чем в п гипергранях. Многогранник конечного объема ограничен тогда и только-тогда, когда его схема Кокстера не содержит параболических подсхем. Многогранник сп + 2 гипергранями комбинаторно эквивалентен r-кратной пирамиде над произведением двух симплексов (см. раздел 1.2.1). В лемме 2.1 доказано, что если многогранник является многогранником Кокстера, то г 1. Оставшиеся два комбинаторных типа разобраны в разделах 2.1 и 2.2. Лемма 2.1. Пусть Р — многогранник Кокстера конечного объема в Шп с п+2 гипергранями. Тогда комбинаторный тип многогранника Р — либо произведение двух симплексов, либо пирамида над произведением двух симплексов. Доказательство. Достаточно доказать, что кратная пирамида не может быть многогранником Кокстера. Предположим, что многогранник Кокстера Р является пирамидой над пирамидой Р . Пусть А — вершина пирамиды Р (противолежащая грани Р ).
Поскольку Р — пирамида, многогранник Р не может быть простым. Следовательно, вершина А пирамиды Р бесконечно удалена. Рассмотрим достаточно малую орисферу h с центром в точке А. Комбинаторный тип пересечения h П Р совпадает с комбинаторным типом многогранника Р . С другой стороны, hC\P — ограниченный евклидов (п — 1)-мерный многогранник Кокстера. Однако любой ограниченный евклидов многогранник Кокстера является произведением некоторого числа симплексов, а следовательно простым. Раздел посвящен классификации неограниченных n-мерных многогранников конечного объема с п + 2 гипергранями, комбинаторно эквивалентных произведению двух симплексов размерности большей, чем один. Классификация компактных многогранников такого комбинаторного типа получена в [24]. Симплициальные призмы перечислены в [13] (см. также [8]). Результатом данного раздела является Теорема 1. Существует единственный неограниченный гиперболический многогранник Кокстера конечного объема, комбинаторно эквивалентный произведению двух симплексов размерности большей, чем один. Схема Кокстера этого многогранника представлена на рис. 2.1. Пусть Р — гиперболический многогранник Кокстера, комбинаторно эквивалентный произведению двух симплексов, и S(P) — его схема Кокстера. Схема S(P) состоит из двух непересекающихся схем, 5-і и S\, соответствующих вершинам диаграммы Гейла -1 и 1 (раздел 1.2.1 и лемма 1.1). Лемма 2.2. 1) Схемы 5-і и Si ланнеровские; 2) для любых и Є Si uv Є 5-і схема S(P)\{v, и} либо эллиптическая, либо параболическая; 3) Det(S{P)) = 0.
Отсутствие искомых многогранников в больших размерностях
В разделах 3.1.1 и 3.1.2 мы считаем, что все многогранники не являются пирамидами. Случай, когда многогранник является пирамидой, разобран в разделе 3.1.3. Нам понадобится список квазиланнеровских схем порядков 9 и 10. Они перечислены в табл. 3.1. Пусть Р — гиперболический многогранник Кокстера конечного объема с п + 3 гипергранями, и 0 — соответствующая ему стандартная двумерная диаграмма Гейла (см. разделы 1.2.1 и 1.3.2). Через Smj мы будем обозначать подсхему схемы Кокстера S(P), соответствующую последовательным I — т +1 (mod 2к) вершинам ат,...,щ диаграммы G5. Если / = т, то соответствующая подсхема будет обозначаться 5т. Вес вершины а,- обозначим через /і (а,-). Лемма 3.1. Пусть 0 — диаграмма Гейла многогранника Р. Предположим, что веса вершин а,-, а +і отличны от нуля. Тогда 1) веса вершин а,- и ak+i равны 1, а схемы Кокстера 5,-+1, +,--1 и Sk+i+\,i-i являются связными параболическими; 2) если веса вершин а,-+і и а +і+і отличны от нуля, то схема Si+i,k+i является квазиланнеровской; 3) если вес вершины аі+іравен нулю, то схема Кокстера Si+2,k+i является квазиланнеровской. Доказательство. Пусть А — бесконечно удаленная вершина многогранника Р. По лемме 1.1 подсхема схемы S(P), соответствующая вершине А, является параболической ранга п—1. Поскольку Р — не пирамида, а число гиперграней Р равно n + З, А содержится не более чем в п + 1 гиперграни. Следовательно, соответствующая подсхема имеет не более двух связных компонент. 1) Пусть теперь Sj = 5,-+1 +,--1. Из леммы 1.1 и сказанного выше вытекает, что любая собственная подсхема схемы Sj эллиптическая или параболическая ранга п — 1. Поскольку веса вершин a,-, ak+i и a&+,+i больше нуля, порядок схемы Sj не превышает (п + 3) — 3 = п, т.е. никакая ее собственная подсхема не может быть параболической ранга п — 1. Следовательно, любая собственная подсхема схемы Sj эллиптическая. Далее, начало координат лежит на границе выпуклой оболочки множества J, и значит, схема Sj неотрицательна, но не эллиптическая. Таким образом, схема Sj параболическая. Аналогично, схема 5 +,-+1,,--1, является параболической. Рассмотрим какие-нибудь две вершины схемы 5(Р) щ Є ф 1{щ) и Uk+i Є ф 1(ак+і), где ф — отображение, определенное в лемме 1.1. По лемме 1.1 подсхема Т = S(P) \ {щ, и +,-} схемы S(P) является несвязным объединением двух связных параболических схем. В то же время, она содержит две непересекающиеся параболические подсхемы Sk+i+i,i-i и 5,-+1 +,-1. Следовательно, Т есть несвязное объединение схем Sk+i+i,i-i и Si+itk+i-i, и веса вершин а и ak+i равны 1. 2) Из предыдущего доказательства следует, что у схемы 5,-+ +,-есть ровно две параболические подсхемы, а все остальные подсхемы эллиптические. В то же время, схема 5,+1, связна. Следовательно, она квазиланнеровская. 3) Рассмотрим схему 5,-+2,jt+i- Ее подсхема Si+2,k+i-i параболическая, а все остальные ее подсхемы эллиптические. Следовательно, если S{+2,k+i не квазиланнеровская, то она является несвязным объединением параболической подсхемы и вершины, соответствующей ak+i
В последнем случае схема 5,-+2, +, неотрицательна. Тогда грани, входящие в Si+2,k+i, в пересечении дают некоторую бесконечно удаленную вершину многогранника Р (лемма 1.1). В то же время, выпуклая оболочка вершин диаграммы Гейла ajt+,-+i, ..., a,-+i не содержит начала координат. Полученное противоречие показывает, что схема Si+2,k+i связна, и, следовательно, квазиланнеровская. Лемма 3.2. Пусть G5 — диаграмма Гейла многогранника Р. Предположим, что веса вершин а,- и ajt+i-i равны нулю. Тогда схема Si+ifi+j-2 является ланнеровской. Доказательство. Действительно, любая собственная подсхема схемы 5,-+1 +,--2 эллиптическая или параболическая ранга п — 1. Из свойств диаграмм Гейла вытекает, что вес вершины ak+i больше нуля, а порядок схемы 5 +,-+1,,--1 не меньше двух. Следовательно, порядок схемы 5г-+і +г-_2 не превосходит (п + 3) — 1 — 2 = п, и любая ее собственная подсхема эллиптическая. Сама она при этом не является неотрицательной. Следовательно, ,-+ -+,--2 ланнеров-ская. 2, и для любой вершины aj диаграммы 0 с ненулевым весом схема Sj включается в некоторую ланнеровскую или ква-зиланнеровскую схему ,-,/. Доказательство. Если к = 1, то условие 4) на веса вершин диаграммы Гейла (раздел 1.2.1), очевидно, не выполняется. Если к 2, то по лемме 3.1 веса всех вершин равны единице. В этом случае условие на веса вершин также не выполнено. Рассмотрим три случая. Пусть вес ни одной из вершин диаграммы 0 не равен нулю. Тогда схема Sj}k+j-i квазиланнеровская. Пусть вес вершины а,-, г ф к + j равен нулю. Тогда схемы ,-+1 +,-_1 и -+,-+1,,--1 являются ланнеровскими или квазиланнеров-скими, и схема Sj является подсхемой одной из них. Пусть вес вершины ak+j равен нулю, а веса всех остальных вершин отличны от нуля. Тогда схема Sj-i +j-2 квазиланнеровская. Поскольку число вершин в ланнеровской диаграмме не превосходит 5 [32], а в квазиланнеровской — 10 [4], из леммы 3.2 и утверждений 2) и 3) леммы 3.1 следует Лемма 3.4. Пусть 0 — диаграмма Гейла многогранника Р, и веса вершин a,-_i и a,-+i равны нулю. Тогда сумма весов всех вершин не превышает 20. Доказательство. Пусть вес вершины ak+i равен нулю. Тогда, по лемме 3.2, схемы Кокстера ,-+2,jt+i-i и +,-+1,,- ланнеровские, и их порядок не превышает 5. Из леммы 3.3 следует, что любая подсхема Sj схемы S(P) включается в ланнеровскую или квазиланне-ровскую схему, а следовательно, вес любой вершины диаграммы 0 не превышает 10. В частности, вес вершины аг+і не больше 10. Таким образом, в S(P) не больше чем 5+5+10=20 вершин. Пусть вес вершины ajt+i+i отличен от нуля. Тогда, по утверждению 1) леммы 3.1, веса вершин аг+і и ajt+i+i равны 1.
По утверждению 3) леммы 3.1 схемы 5і+з,А:+г+і и Sk+i+i,i-i квазиланнеровские, и их порядок не превышает 10. Следовательно, число вершин в S(P) не превосходит 1+(10+10-1)=20. Лемма 3.5. Пусть размерность многогранника Р превосходит 17. Тогда его диаграмма Гейла должна удовлетворять следующим условиям: 1) Если вес вершины йі равен нулю, то веса вершин at_2, Щ-і, а;+і, а;+2 отличны от нуля. 2) Если веса вершин аг- и аг і не равны нулю, то либо вес аь+і, либо вес ak+i+i равен нулю. 3)к 16. 4) Если к 9, то между любыми двумя вершинами с нулевыми весами (на каждой из дуг окружности) есть как минимум три вершины с положительными весами. Доказательство. Условие 1) немедленно следует из леммы 3.4, a условие 2) — из утверждения 2) леммы 3.1. Не ограничивая общности, можно считать, что вес вершины а\ равен нулю. По условию 1) среди вершин а\,..., а& может быть не более вершин с нулевым весом. В то же время, по утверждению 3) леммы 3.1 и по лемме 3.2, среди вершин аг,..., а может быть не более 10 вершин с ненулевым весом. Таким образом, мы получаем оценку (к — 1) — ( р — 1) 10, откуда следует условие 3). Предположим теперь, что веса вершин а; и аг-+з равны нулю. Тогда, вес одной из вершин ajt+г+ъ ak+i+2 равен нулю. Следовательно, мы получаем ланнеровскую подсхему Sk+i+3,i-i или Si+4,k+i (лемма 3.2). Аналогично предыдущему рассуждению, мы получаем оценку (к —2) — ( р —2) 5 (т.к. число вершин в ланнеровской схеме не превосходит 5). Отсюда вытекает, что к 9. Все диаграммы Гейла, удовлетворяющие условиям 1)-4) леммы 3.5, перечислены в табл. 3.2. Лемма 3.6. Пусть диаграмма Гейла из табл. 3.2 соответствует гиперболическому многограннику Кокстера конечного объема. Тогда
Максимальные подгруппы
Мы продолжаем пользоваться обозначениями, введенными в начале раздела 4.2. Лемма 4.3. Пусть (Р, Pi) — минимальное разбиение. Тогда следующие условия эквивалентны: (i) LI — собственная подрешетка в L. (п) Ai = ADLi. (ні) ДІ является подсистемой корней в А. Доказательство. (і)— (п) Для A\m утверждение очевидно. Пусть найдется а Є Дге такой, что а Є L\, но а Ai. Рассмотрим подгруппу Г группы Wp, порожденную отражениями относительно всех корней системы Дге, лежащих в L\. Очевидно, Wpl С Г. Поскольку Wpl максимальна в Wp и Г ф Wp1} мы получаем, что Г = Wp. В частности, решетка L\ инвариантна относительно действия Wp. Группа Wp порождается отражениями. Известно, что если группа отражений G может быть порождена некоторым набором отражений {гі,..., п}, то среди порождающих должны быть представители всех классов сопряженности отражений, входящих в группу (для доказательства достаточно рассмотреть фактор группы G по коммутанту). Отсюда следует, что для любого отражения г из группы Wp в решетке L\ есть корень, определяющий отражение, сопряженное г. Поскольку L\ ІУр-инвариантна, мы получаем, что для любого зеркала отражения из группы Wp в решетке L\ есть корень, ортогональный этому зеркалу. В частности, в L\ есть корни , обращающиеся в нуль на гранях симплекса Р, т.е. пропорциональные простым корням системы А. В то же время, система корней А не содержит не примитивных векторов решетки L с положительным скалярным квадратом. Следовательно, все простые корни системы А лежат в L\, и L\ совпадает с L. (н)-»(ш) Пусть а, /З Є Ai. Тогда а, р,а+р Є L\. Если а+/? Є А, то а + Р Є А П Lit то есть а + Р Є Ді« (ill)— (l) Пусть L совпадает с L\. Предположим, что у Pi есть разрезанный двугранный угол. Пусть а и Р Є Aje — корни, обращающиеся в нуль на гранях этого угла (мы считаем, что корни — внешние нормали к граням угла). Тогда а — Р Є L\ обращается в нуль на одном из зеркал, разрезающих угол (см. рассуждение, предшествующее лемме 4.2). Следовательно, с(а — /3) Є Аге при некотором с 0. По предположению решетка L совпадает с L\, поэтому с{а — /3) Є L\. Мы можем считать, что а и /? — простые корни в А\. Решетка L\ натянута на простые корни системы А\, а следовательно, с Є Ъ. Поскольку Аі С А — подсистема корней, а — /3 А" (предл. 4.1), и мы получаем, что с 1. Учитывая, что (а, /3) 0, при с 2 корень с(а — /3) оказывается как минимум вдвое длиннее, чем а, что невозможно, так как они не ортогональны друг другу.
Пусть теперь у Р\ нет разрезанного угла. Тогда пара (Р, Pi) — это одна из шести пар, приведенных в таблице 4.1 (см. [19]). Поскольку ни один из этих симплексов не имеет двугранных углов, отличных от и , каждому из них соответствует ровно одна система корней. Непосредственная проверка показывает, что в каждом из этих случаев корни подсистемы порождают подрешетку индекса два в решетке корней. Замечание. При доказательстве второй импликации не используется ни минимальность разбиения, ни равенство рангов систем корней. Это понадобится нам при исследовании неминимальных разбиений и подсистем неполного ранга. Одному и тому же симплексу Р может соответствовать несколько систем корней. Действительно, если у Р есть хотя бы один угол, отличный от - и , то мы можем разными способами задать длины корней (см. раздел 4.2.3). Далее будет доказано, что для любого минимального разбиения (Р, Pi) можно выбрать такую систему корней А (с фундаментальным симплексом Р), что корни, определяющие симплекс Pi, порождают собственную подрешетку в L. По лемме 4.3 для системы, соответствующей симплексу Pi, будет.выполняться условие ( ). экземпляров симплекса Р. Лемма 4.4. Пусть [Wp : Wpx] = 2. Рассмотрим любую систему корней А с фундаментальным симплексом Р. Тогда корни либо из А, либо из Av, обращающиеся в нуль на гранях Pi, пороэюдают собственную подрешетку Li либо в L, либо в Ly соответственно. Индекс подрешетки равен двум, трем или четырем. Доказательство. Симплекс Pi является объединением симплекса Р и его образа, полученного отражением относительно одной из граней. Можно считать, что ai — корень, определяющий эту грань. Поскольку у Pi и у Р все грани, кроме одной — общие, только один из корней «2 ---,СІП+І не ортогонален а\. Пусть »2 не ортогонален «і. Можно считать, что агі аі2І» иначе вместо матрицы Л рассмотрим матрицу Л1. Тогда многогранник Pi ограничен гранями, соответствующими корням ос2 — аі2аі,а2,аз,...,ап+і. Поскольку А — симметризуемая матрица гиперболического типа, 2i2 = —1, —2, —3 или —4. Если а\2 = —1, то угол между гранями, соответствующими осі и ос2 — audi, равен » и группа Wpl совпадает с Wp. Поэтому а\2 = —2, —3 или —4. Следовательно, решетка L\ = Z(a?2 — ai2 i) + Zc 2 + 2л з + + Zan+i является подрешеткой n+l индекса аі2І в решетке L = Za;. Перейдем теперь к общему случаю. Лемма 4.5. Пусть Wpt — максимальная подгруппа группы Wp. Тогда найдется такая система корней А с фундаментальным симплексом Р, что корни из А, обращающиеся в нуль на гранях симплекса Р\, порождают подсистему корней. Доказательство. Поскольку Wpl является подгруппой группы Wp, симплекс Pi состоит из нескольких копий симплекса Р, причем если две копии имеют общую грань, то они симметричны относительно нее. Рассмотрев все минимальные разбиения (они описаны в работах [31], [27] и [19]), можно заметить, что для любого минимального разбиения (Р, Рі) у симплекса Pi всегда есть хотя бы одна вершина, стабилизатор которой в Wp совпадает с ее стабилизатором в Wpx. Другими словами, можно считать, что у симплекса Р и у симплекса Pi есть п общих граней — в точности те грани, которые в пересечении дают эту вершину. Пусть ai,...,an — корни, обращающиеся в нуль на общих для Р и Pi гранях, а an+i и арх — корни, обращающиеся в нуль на оставшихся гранях симплексов Р и Pi соответственно. Расставим на схеме Кокстера симплекса Р стрелки таким образом, чтобы
