Содержание к диссертации
Введение
1 Квадратичные гамильтонианы с дополнительным интегралом степени 4 24
1.1 Гамильтонова структура задач динамики твердого тела 24
1.2 Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы на е(3) 27
1.2.1 Задача Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости 27
1.2.2 Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки 29
1.2.3 Обобщения 30
1.3 Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы на 5о(4) 31
1.3.1 Однородные случаи 31
1.3.2 Обобщения 33
1.4 Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы на 5о(3,1) 35
1.5 Основные результаты 37
1.5.1 Классический случай 37
1.5.2 Классический случай на нулевом уровне интеграла площадей 40
1.5.3 Квантовый случай 42
2 Уравнения на свободных ассоциативных алгебр ах 44
2.1 Основные определения 44
2.2 Уравнения, обладающие симметриями четвертой степени 45
2.2.1 Постановка задачи 45
2.2.2 Основной результат 46
2.2,3 Комментарии 55
2.3 Уравнения, обладающие максимальным набором первых интегралов 59
2.4 Точное интегрирование уравнений с максимальным набором первых интегралов в матричном случае 63
3 Факторизации алгебры петель над so(4) 64
3.1 Определения и известные факты 64
3.2 Факторизующие подалгебры для Q — so(3) 66
3.3 Коммутационные соотношения для факторизующей подалгебры в случае Q — so(4) 72
3.4 Диагональные подалгебры 79
3.5 Коммутационные соотношения для ортогонального дополнения к U 89
4 Дифференциальные уравнения, обладающие представ лением Лакса в $о(4) 97
4.1 Представления Лакса для систем типа волчков 97
4.2 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа волчков на so(4) 100
4.3 Уравнения Ландау-Лифшица на so(4) 103
4.4 Системы типа уравнения киралы-юго поля на so(4) 106
Выводы
- Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы на е(3)
- Комментарии
- Диагональные подалгебры
- Уравнения Ландау-Лифшица на so(4)
Введение к работе
Работа посвящена некоторым алгебраическим аспектам теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений. Поскольку не существует единого общепринятого определения интегрируемости, уточним что имеется в виду.
Когда речь идет о гамильтоновых обыкновенных дифференциальных уравнениях с полиномиальной правой частью, под интегрируемостью часто подразумевают интегрируемость по Лиувиллю. С алгебраической точки зрения это означает наличие достаточного числа функционально независимых полиномиальных первых интегралов. Более точно, пусть п - число неизвестных функций, am- число функций Казимира соответствующей гамильтоновой структуры. Тогда для интегрируемости по Лиувиллю необходимо существование Щр- интегралов движения (см., например, [2, 9]).
Для классических задач теории твердого тела (см. [8]) гамильтонова структура задается скобкой Пуассона
{Ми Mj} = sijk Мк, {Mi,7j} = Єізкік, {ihlj} = 0. (0.1)
Здесь Mi,M2, Ms и 7і)72)7з - компоненты двух трехмерных векторов МиГ, е^-полностью кососимметрический тензор. Скобка Пуассона (0.1) обладает двумя функциями Казимира
«Л = 7? + 72 + 7з, Ji = Мпі + М2Ъ + М37з- (0.2)
Поэтому для интегрируемости по Лиувиллю достаточно найти еще один интеграл /, функционально независимый с Ji, J^ и гамильтонианом Н. Имеется ряд классических задач, в которых гамильтониан является многочленом второй степени:
Н = (М, AM) + (М, ВТ) + (Г, С Г) 4- (Р, М) + (Q, Г). (0.3)
Здесь А, С - симметрические постоянные матрицы, а В - произвольная постоянная матрица размера 3x3, P,Q - постоянные трехмерные векторы, (-, ) - скалярное произведение в R3.
Два гамильтониана (0.3) эквивалентны, если они связаны линейным преобразованием, сохраняющим скобку Пуассона. Для скобки (0.1) группа таких преобразований порождена преобразованиями вида
М = ГМ, Г = ТГ, (0.4)
где Т - произвольная ортогональная матрица и, кроме того, преобразованиями
М = М + Т, (0.5)
где S - произвольная кососимметрическая матрица.
С помощью преобразований (0.4) приведем матрицу А к диагональному виду
A = diag{a\, а2, а3). (0.6)
Работы В.А. Стеклова [52], В.В. Козлова [31, 32], С.Л. Зиглина [28, 29], и других были посвящены условиям интегрируемости разных классов гамильтонианов (0.3) в случае, когда все собственные значения матрицы А различны.
Случай, когда два собственных значения совпадают и не равны третьему, изучен гораздо менее подробно. В первой главе диссертации исследован вопрос о существовании в этом случае дополнительного полиномиального по всем переменным интеграла четвертой степени. К таким гамильтонианам относится, например, знаменитый гамильтониан СВ. Ковалевской и разные его обобщения [70, 33, 94, 95].
Для нахождения дополнительного интеграла в диссертации используется метод неопределенных коэффициентов. В случае, когда гамильтониан фиксирован, условие коммутирования гамильтониана и интеграла приводит к системе линейных уравнений для неизвестных коэффициентов интеграла. Даже если дополнительный интеграл имеет четвертую степень (в этом случае неизвестных коэффициентов около двухсот),
эта система легко может быть решена с помощью любой из стандартных систем аналитических вычислений Maple, Reduce или Mathematica.
Ситуация резко изменяется, если решается классификационная задача. В этом случае неизвестными являются как коэффициенты интеграла, так и коэффициенты гамильтониана. Условие коммутирования приводит к переопределенной системе билинейных алгебраических уравнений относительно всего набора неизвестных коэффициентов.
До последнего времени попытка решить с помощью компьютера систему, например, из 400 нелинейных алгебраических уравнений относительно 200 неизвестных казалась безнадежной. В частности, все реализации так называемого алгоритма Бухбергера для нахождения базиса Гребнера и основанных на нем алгоритмов решения систем алгебраических уравнений становятся неэффективными уже в случае нескольких десятков уравнений. В 1999 г. появилось одновременно несколько компьютерных программ, предназначенных для решения переопределенных систем алгебраических уравнений. Одной из лучших является программа "Сгаск"доктора Томаса Вольфа (Канада) [93], с помощью которой и проводились классификационные вычисления.
Для гамильтониана (0.3) и скобки Пуассона (0.1) рассмотрим случай: матрица А имеет вид (0.6), причем
ах^а2ф a3i <^ ^ 0, г^ 1,2,3. (0.7)
Сформулируем основной результат первой главы.
Теорема0.1. Гамильтониан вида (0.3) при условии (0.7) коммутирует с некоторым полиномиальным интегралом четвертой степени относительно скобки Пуассона (0.1) если и только если он эквивалентен одному из следующих:
Я = М? + Ml + SlMl + 82М3ъ + «з7з + з4М3 + ^57з, где Si - произвольные параметры;
H = Ml + Ml + Mi + 2siM373 - 5?7з + s27i + *з72 + з47з+ +Л {2sxMl + s2Mi + szM2 + S4M3 + 5i(s27i + 5372)) > где Sf, Л -произвольные параметры;
Комплексный гамильтониан:
H = Mf + Ml + 2М| + 5l(i7i + 72)М3+
(0.8)
+S2(-iMi + Af2) + S3M3 + S4(«7l + 72) - S!S273,
где Si -произвольные параметры;
H = Mf + Ml + 2М| + 2(si7i + s272) М3 - {si + s|)7?+
+S3M3 + S471 + S572, где Si - параметры, связанные (только) одним соотношением:
S4Si + s5s2 - 53(5? + Sj) = 0.
Гамильтониан (0.8) по-видимому является новым.
В разделе 1.5.2 найдены все интегрируемые гамильтонианы (0.3) (для которых выполнено условие (0.7)), обладающие дополнительным кубическим или интегралом четвертой степени на нулевом уровне интеграла площадей J2. Приведем соответствующие теоремы.
Теорема 0.2. Гамильтониан вида (0.3) при условии (0.7) коммутирует с некоторым полиномиальным интегралом четвертой степени относительно скобки Пуассона (0.1) при дополнительном условии (М, Г) = 0, если и только если он эквивалентен одному из гамильтонианов из Теоремы 0.1 или эквивалентен следующему:
II = Ml + Ml + 2М| + S!(7l2 - 72) + s27i72 + ssMs + s47i + 5572, где Si - произвольные параметры.
Теорема 0.3. Гамильтониан вида (0.3) при условии (0.7) коммутирует с некоторым полиномиальным интегралом третьей степени относительно скобки Пуассона (ОЛ) при дополнительном условии (М, Г) = О, если и только если он эквивалентен одному из следующих:
Н = М1 + М\ + SlMi + 52Мз7з + 5з7І + 54М3 + s573, (0.9) где Si - произвольные параметры;
Я = М\ + Ml + 4М| + 4(si7i + 527г)Л4з-
(0.10) ~(si + sl)ll + S3M3 + 547i + S572, где Si - произвольные параметры.
В разделе 1.5.3 решена соответствующая квантовая классификационная задача [33, 83]. Это означает, что вместо скобок Пуассона (0.1) рассматриваются коммутационные соотношения [МиМ5] = eijkMk, [Mi,7j] = Eijklk, [7ii7j] = 0 в некоммутативной ассоциативной алгебре, образующими которой являются Мі, М2, Мз, 7i) 72> 7з- Найдены квантовые аналоги для всех перечисленных в Теореме 0.1 интегрируемых гамильтонианов.
Кроме того, в первой главе перечисляются известные интегрируемые гамильтонианы (0.3) на е(3), so(4) и so(3,1).
Во второй главе рассматриваются системы интегрируемых полиномиальных уравнений на свободной ассоциативной алгебре. Определения основных понятий таких, как инфинитезимальная симметрия, первый интеграл, рекурсионный и гамильтонов операторы и др. (см. [42]) для уравнений на ассоциативных алгебрах были даны в [75]. Аналогичная задача для уравнений в частных производных на свободных ассоциативных алгебрах, существенно более близкая к стандартной теории,
рассматривалась в работах [76, 77]. В работе [61] была сделана попытка обобщения теста Пенлеве на случай уравнений на ассоциативных алгебрах.
Задача нахождения интегрируемых случаев для уравнений на свободных ассоциативных алгебрах важна потому, что каждое интегрируемое уравнение допускает множество различных интегрируемых конечномерных редукций. Например, можно считать неизвестные матрицами произвольной размерности. В соответствующем интегрируемом матричном уравнении возможны дальнейшие редукции, связанные со спецификацией вида этих матриц. Интересной нерешенной задачей является изучение редукций уравнений на ассоциативных алгебрах, приводящих к классическим волчкам.
Одним из основных вопросов в теории интегрируемых уравнений на ассоциативных алгебрах является изучение возможной структуры множества всех первых интегралов. В главе 2 настоящей диссертации рассматриваются уравнения вида
щ = Р(и, v)
У J (0.11)
vt = Q(u, v),
где и и v - образующие свободной ассоциативной алгебры Д, Р и Q -некоторые (некоммутативные) однородные многочлены третьей степени.
Хорошо известной точно интегрируемой системой такого сорта является симметрия обобщенного уравнения Эйлера [75]
щ = и2 v — v и2
(0.12) vt -0.
Известно, что когда и и v являются матрицами размера N х N, эта система обладает достаточным количеством симметрии и первых интегралов и может быть проинтегрирована в квадратурах.
Тривиальными первыми интегралами для матричной системы (0.12) являются lift = Тг{иг), где Тг означает след матрицы. Одна-
ко, кроме тривиальных, имеются и другие интегралы /^, определяемые некоторыми однородными многочленами от и и v, как например, Tr(2v2u2 + vuvu) и Tr(vsu2 + v2uvu).
В случае уравнений на свободной ассоциативной алгебре, вообще говоря, у нас нет функционала Тг. В разделе 2.1 приводятся определения из работы [75] для алгебраического аналога функционала Тг, первых интегралов и симметрии для уравнений на ассоциативных алгебрах.
В диссертации изучаются "дивергентные"системы вида (0.11), т.е. системы, для которых и Тт{и) и Тг(у) являются первыми интегралами. Найдены все кубические дивергентные системы, для которых существует симметрия четвертой степени.
Теорема0.4. Всякая нетреугольная кубическая дивергентная система (0.11), обладающая ненулевой симметрией четвертой степени, эквивалентна одной из следующих:
щ = —u2v + uvu vt = uv2 — vuv,
Щ = ~U2V + uvu
vt = uv2 — 2vuv + v2u,
ut — — u2v + uvu
Vt = —vuv + V2U,
щ — —u2v + 2uvu — vv? Vt = uv2 — 2vuv + v2u}
- „2
u2v — 2uvu + uv2 + vu2 — v2u
vt = —uv2 + 2vuv — v2u, щ — uvu — uv2 — vu2 + v2u vt — u2v — vu2 — vuv + v2u,
щ — u2v — 2uvu + u. uv2 + vu2 + 2vuv — (2 + fj,)v2u vt — —uv2 + 2vuv — v2u, где ji - произвольный параметр.
Кроме того, в главе 2 описаны системы, обладающие максимально возможным набором первых интегралов. А именно, требуется чтобы след любого многочлена являлся бы первым интегралом.
Предложение 0.1. Система (0.11) обладает максимальным набором первых интегралов тогда и только тогда, когда она имеет вид
щ = [S(u,v), u] vt = [S(u,v), v]
для некоторого многочлена S(u, v).
Если продифференцировать S(u, v) no t в силу системы (0.13), то получим St = О.В матричном случае это означает, что не только след, но и каждый элемент матрицы S(u, v) является первым интегралом. Поэтому для системы (0.13) легко решить задачу Коши и(0) — щ, v(0) — v0. Ответ задается формулой
u = exp(S(uQ,Vo)t) щ exp(—S(uo,Vo)t)7
v = exp(S(uo,v0)t} v0 exp(-S(u0,v0)t).
Основные результаты диссертации содержатся в главах 3 и 4. Наиболее универсальным современным способом интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений является метод обратной задачи рассеяния [1, 26, 41, 53]. Этот метод применим, если для исследуемого уравнения известно представление Лакса [71].
Рассмотрим случай обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлением Лакса для дифференциального уравнения
Ut = F(U) (0.14)
является операторное соотношение
Lt = [A, L], (0.15)
где L = L(U, А), Л — Л(U, А) - некоторые матрицы, такие, что (0.15) эквивалентно (0.14).
Хорошо известно, что коэффициенты характеристического многочлена Det (L — }лЕ) являются интегралами движения.
Пример 0.1. Пусть U() является матрицей размера, N х N,
л U2
L = aA + U, Л = —,
где a = diag(ai,,.. , адг). Тогда (0.15) эквивалентно следующему уравнению
Ut = [U2, а].
Волчок Эйлера. Пусть
/0 «і «2\ U = —«! 0 щ , a — \ -u2 -щ 0 /
Тогда (0.15) эквивалентно волчку Эйлера
{щ)ь = (a3-a2)u2u3,
(u2)t = (ai -аз)«і«з> (u3)t = (a2 -aOnj^. Характеристический многочлен Det (L — /z) задастся формулой
. (^-aiA)(/i-a2A)(//~a3A)+
+ (u\ + ^ + и1)№ + (ai^i + a2«2 + йз"з)А. Соответствующая характеристическая кривая
Det (L - цЕ) = 0
является эллиптической. Собственная функция Ф(А,^г,с), удовлетворяющая уравнению Ф — //Ф, задает векторное расслоение с некоторыми
специальными аналитическими свойствами над этой кривой. Зависимость Ф от переменной t описывается уравнением Ф( = А Ф. Современный подход [21, 22], основанный на представлении Лакса, состоит в том, чтобы сначала восстановить Ф(А, fi,t) в терминах ^-функций и затем, зная Ф найти неизвестную функцию U(i).
Для уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными х и t представление Лакса выглядит следующим образом:
Lt = Ax + [A, Ц. (0.16)
Прямой метод нахождения представления Лакса для заданного уравнения (так называемый метод Уолквиста-Эстабрука [91, 92]) мало эффективен. Все наиболее интересные примеры нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, были найдены иначе. Исходя из некоторой (как правило алгебраической) конструкции (см. [71, 27, 14, 72, 43, 20, 37, 38]), строились классы пары Лакса, а затем находились соответствующие им нелинейные уравнения.
Как правило, предполагают, что А и L в формулах (0.15), (0.16) являются функциями от параметра А, принимающими значения в некоторой конечномерной алгебре Ли Q. Однако в соотношении (0.15) можно считать, что А принадлежит Q, a L - некоторому модулю над Q. Для (0.16) такое предположение невозможно.
Основной вопрос при попытке перечислить все пары Лакса, соответствующие данной алгебре Ли Q состоит в том, каков должен быть характер зависимости А и L от А. Обычно его фиксируют, считая, что А и L являются рациональными (или эллиптическими) функциями от А.
Единственный подход [58, 45, 15], свободный от этого недостатка, состоит в том, что мы считаем А и L рядами Лорана по А вида
^9іХ І 9і Є а, пеЪ.
Однако если эти ряды произвольны, то уравнение Лакса эквивалентно бесконечной системе дифференциальных уравнений относительно бесконечного набора коэффициентов.
Предположим, что у нас имеется разложение (см. [58, 45, 15, 17, 49])
0(М) = а[[А]]ЄИ (0.17)
алгебры Q((X)) всех рядов Лорана в прямую сумму (как векторных пространств) подалгебры Ли Q[[X]] рядов Тейлора и некоторой дополнительной подалгебры Ли Ы. Следуя И. В. Череднику [58], мы будем называть подалгебру U факторизующей.
Глубокие связи между разложениями (0.17) и парами согласованных конечномерных скобок Ли [6, 7] были установлены в недавних работах [17, 67].
Если Л и L принадлежат /, соотношение (0.15) эквивалентно конечному набору уравнений. Действительно, если в элементе Lt — [A, L] алгебры U сократились все члены с отрицательными степенями А, то, в силу (0.17), этот элемент тождественно равен пулю. То же самое верно и для соотношения (0.16).
Для приложений особенно важны маломерные полупростые алгебры Ли Q. Например, как было показано в [18], классическим волчкам соответствуют случаи Q — so(3) и Q — so(4). В работе [49] описаны все факторизующие подалгебры для Q — so(3).
В главе 3 исследуются факторизующие подалгебры в случае Q = so(4). Один из основных результатов состоит в описании коммутационных соотношений, которые должны быть выполнены во всякой такой подалгебре.
Из-за наличия изоморфизма so(4) = so(3)so(3), элементы из so(4) мы будем представлять себе, как блочно-диагональные матрицы с двумя блоками, принадлежащими so(3).
В качестве базиса в so(4) выберем
где через Єі,Є2,Єз обозначен стандартный базис в so(3):
0 0 0 е2 = | 0 0 0 | , е8 = | 0 0 1
Очевидно, что всякая факторизующая подалгебра 14 в $о(4)((А)) содержит ряды вида
+ ( п П+0(А),
+ (о)+(А)'
+ (^)+0(Л),
г, t> = 2_л ЩЄ{, С = 2^/ cieit
(0.18)
(0.19)
-некоторые элементы 5о(3). Элементы Ej,Ei порождают W как алгебру Ли.
Теорема 0.5. Для всякой факторизующей подалгебры U 5о(4)((А)) имеют место коммутационные соотношения вида
Еі, Еі Ei,E2 Ei,E3
Ег,Еі
_E2,E2_
Е2,Ез
(О
E3, Ei Ез,Ег Ез,Ез
где йі, bj, Сі, aj, 6j, q элементы матриц (0.19). Кроме того,
-А
[Е2, Е3] [Ез, EJ
[Ei, Е2]
+ [Е3, pEg.Ej] 4- [Ei, [Ei, Е2]] + [Е2, [Е2, Ез]]
+ В
(О
-С
[Е2, Е3] [Е3, Ei] [Ei, Е2]
+ D
А = \ v 0 -w , В =
D =
(0.22)
для некоторых чисел u, v, w, я, у, z, а, /3,7, , т, таких, что fcrC = rD — 0. При этом существуют числа &ь &2 такие, что
Аналогичные коммутационные соотношения связывают образующие Ei, Е2, Ез-
Постоянные в соотношениях из Теоремы 0.5 не являются произвольными. В диссертации приводится система необходимых алгебраических связей между ними. Положим
Теорема 0.6. Для всякой факторизующей подалгебры Ы для 5о(4)((А)) выполняются следующие алгебраические соотношения: глп! — u>m3 — т2 х йх = 0, vm.± — wih3 — т2 х щ = О, ига2 — fm! — т3 х п2 = 0, шп2 — ^mi — т3 х n2 = О, шт3 — ит2 — ті х п3 — 0, ш3 — шп2 — ті х n3 ~ О,
urn! — г;т2 + ут3 — mi х п± — т2 х п3 — О,
глп3 — шиі2 — гіііі + т3 х па + т2 х п2 — О,
г>т3 — гиїїіі + ,хт2 — ті х n2 — т3 х n3 = О,
шїіі — vm2 Л- yma — ті х пі — т2 х п3 = О,
йт3 — гйт2 — 21ЇІ1 + т3 хпх + т2 х п2 = О,
г?т3 — гиті + хт2 — ті х п2 — т3 х n3 = 0. Кроме того, матрицы (0.19) удовлетворяют коммутационным соотношениям
fcM]] \
-А
[Ь, [с, а]] [*. Pi с]] / / [Б, [а,Б]] + [с,[с,а]]\
[с, [Б,с]] + [а, [а, Б]] V [а, [с, а]] + [Б, [Б, с]] У
Аналогичные соотношения связывают а, Ь, с с А, В, С, D.
Гипотеза. Алгебра Ли, заданная образующими (0.18) и коммутационными соотношениями из Теоремы 0.5, коэффициенты которых удовлетворяют Теореме 0.6, является факторизующей.
Задача классификации факторизующих подалгебр на so(4) полностью не решена. В разделе 3.4 настоящей диссертации описаны все диагональные факторизующие подалгебры на so(4).
Факторизующая подалгебра на so(4) называется диагональной, если образующие (0.18) имеют следующую структуру:
Е,-
ЯіЄі 0 0 ріЩ
Е,; —
Рі&і о 0 щ&1
(0.23)
где Ці , qi - некоторые скалярные ряды Лорана с асимптотикой вида j + 0(1), a Pi,pi - ряды Тейлора.
Теорема 0.7. Существует только три следующих класса диагональных подалгебр на so(4) ; Класс 1:
VI + 92с2Х2 л/1 + 92а2Х2 л/1 4- 92ЩХ2
Яі = А ' Я2 = А ' Яз = А '
Pi = Cl\jl + 92a2X2yJl + 942X2 + 0а2Ь3Х^1 + в2с2Х2,
р2 = a2yfl + 92c2X2yJl + 942X2 + 9c1b3X^fl + 92~^2X\
Рз = h\jl + 92c2X2yJl + 92a2X* + Єсга2Х^І 4- 026Аа,
л/1 + с2 A2 Vl 4- а2А2 л/ІТбІА2"
91 = -х , 42 , дз -х
Pl = e{ciyjl 4- а|Л2д/і + b2X2 4- а263Ал/і 4- с2А2), р2 - 0(а2л/і 4- с2А2л/і + 6А2 4- СіЬ3Ал/і 4- а2А2),
рз - (?(&з\/і 4- с2А2л/і + а2А2 4- с^Ал/і + Ь2А2),
где 9, а,{, hi, Сі - произвольные постоянные; Класс 2;
л/і + ка^Ал/l + кЩ\ л/1 + кс2Ал/1 + кЩХ
41 = А ' ft = А "
л/1 4- кс2Ал/1 4- ка\Х
93 = А :
Pi = CiA^i, p2 = a2Xq2, P3 = h\q3,
ксіа2Ь3 — C1C1 — a2a2 = b3b3 = ксга2Ь3.
Функции Ці , pi задаются аналогичными формулами:
л/l + ка|А\/1 + «ЬЛ _ _ л/1 + кс\Х^/\ + кб^А
?1 = А ' * А
л/1 + кс?Ал/1 + «йоА
?з = д .
Pi = CiAi, P2^a2Xq2) Рз = M3;
Класс 3;
JY+WcJ>? л/4 + к2А2 к L Л
gi = 92 = д , ?з = —2Л + - - 6з<Л
Pl - р2 = ІСі (кА + л/4 + к;2А2)л/і + 2с2А2, рз = 63 + \вс\Х (кХ + л/4 + «2А2).
л/1 + с? А2 _ л/402 + к2 А2 к
ft _ ?2 _ , «з - Ш + h - w
р1=р2 = ici (геЛ + ч/4^ + к2А2)лУі + с2А2,
рз = 63 + ^с2А (асА + л/452+ 2А2).
Известно [16, 17, 24, 7, 67], что с каждой факторизующей подалгеброй для 5о(4) связаны следующие интегрируемые дифференциальные уравнения:
Нелинейная гиперболическая система типа уравнения кирального поля;
Двух-спшювая модель типа уравнения Ландау-Лифшица;
Гамильтонова система обыкновенных дифференциальных уравнений с однородным квадратичным гамильтонианом и линейными so(4)-скобками Пуассона.
В главе 4 все эти системы явно выписаны в терминах постоянных из коммутационных соотношений Теоремы 0.5. Системы, соответствующие диагональным подалгебрам, рассмотрены особо. Поскольку образующие диагональных подалгебр найдены в замкнутой форме, для соответствующих им дифференциальных уравнений предъявлены пары Лакса с зависимостью от А, задаваемой радикалами (ср. с [54, 66]).
Связь между факторизующими подалгебрами и системами типа уравнения кирального поля устанавливается общей конструкцией из работы [17]. Пусть и — ХЖем v ~ Ylviei- Положим
d 3 d 3
' г=1 г—1
Тогда соотношение [L, М] — 0 эквивалентно системе
щ = Gv х u, v^ = Guxv, (0.24)
где матрицы G и G задаются формулами
/сі ai 6Л _ /сі йі ЬЛ
G = с2 а2 b2 , G = с2 а2 b2 ,
\сз «з h) \с3 а3 bz)
u = (ui,ii2,u3) и v — (vi,V2,vs) - векторы из М3, х означает векторное произведение. Для диагональных подалгебр матрицы G и G диагональ-ны.
Для систем вида (0.24) диагональным подалгебрам из классов 1, 2 соответствуют известные интегрируемые модели Чередника и Голубчика-Соколова. По-видимому, интегрируемый случай, соответствующий подалгебре из класса 3, является новым.
Для двух-спиновой модели типа уравнения Ландау-Лифшица оператор L имеет вид
L = uiEi + к2Е2 + u3E3 + «iEi + г>2Ё2 + ^3Ё3,
а оператор А имеет следующую структуру:
A = Pi[Ea,E8] + Р2[Ъ3,Е1] + Рз[Е1;Е2] + д1[Ё2!Ё3] + Яг[%іі%] +Q3[Ei,E2] +ріЕі+р2Е2 + рзЕз + діЕі + <72Е2 + дзЕ3,
где Р = (Pl,P2,P3):Q = (QuQ2,Qs), P = (рьРя,Рз),Я = (?і,92,?з) -некоторые дифференциальные многочлены от компонент векторов U, V.
Известно, что в этом случае уравнение Лакса (0.16) допускает редукцию v — (u. u), fj, — (v,v), где /і и и - произвольные положительные постоянные.
Из уравнения Лакса (0.16) вытекает, что Р = su, Q = sv, где s и s -некоторые постоянные. При этом (0.16) эквивалентно системе уравнений:
u^p. + uxGq-pxGv + sGfvx Gfu) - sG* (v x Gfu) + sux Ru,
v( = qa;-|-vxGp-qxGu + sG(ux G'v) - sG* (u x G*v) + sv x Rv,
( т\ —j3 —a\ I ?i -/3 —a
R = -/9 r2 -7 , R = -0 f2 -7
y-a -7 r3 J \-a -7 f3
где r2 - Г3 = (5, Г3 - П = Є, Гі - г2 = т, г2 - Гз = , fз - п = є, г: - f2 = f. Здесь функции p,q задаются следующими формулами:
S S
р — -ux(uxGv + uxJu — ux) — — (u, Ju)u,
5 — — S —
q = -vx (vxGu + vxJv- vx) — — (v, Jv)v, где
Si ~ S3 = X, S2 - Si = y, S3-S2 = Z, Si - 53 = X, 52 - 5i = , S3 - 52 = Z.
Система, соответствующая диагональной подалгебре из класса 1, хорошо известна [46]: она обладает двух-полюсной эллиптической L—A-парой с коэффициентами из sl{2). Система, соответствующая подалгебре из класса 2, в неявном виде содержится в работе [16]. Система, порожденная подалгеброй из класса 3, возможно является новой.
В главе 4 также найдена явная форма гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с однородным квадратичным гамильтонианом и линейными so (4) -скобками Пуассона, соответствующей произвольной дополнительной подалгебре. Эта система имеет вид
ut — и х (s Ju + sG v + sG'v), vt — v x (s Jv + sGu + sG*u).
Квадратичные интегрируемые so(4)-гамильтонианы, соответствующие трем диагональным подалгебрам, не являются новыми и задают интегрируемые случаи Шоттки-Манакова [87, 35], Стеклова [88] и Пуанкаре [80].
Благодарности. Автор благодарна своему научному руководителю профессору А.В. Михалеву, а также профессору В.В. Соколову за постановку задачи, профессору А.В. Михайлову, любезно разрешившему пользоваться его компьютерной программой и ведущему научному сотруднику Е.В. Панкратьеву за внимание к работе.
Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы на е(3)
Перечислим известные интегрируемые гамильтонианы вида (0.3) на е(3). В этом случае гамильтониан не содержит линейных членов: pi = q = 0. В задаче Кирхгофа известны классические интегрируемые случаи Кирхгофа, Клебша и Ляпунова-Стеклова-Колосова. Во всех этих случаях матрицы A = {dij}, В = {Ьу} и С = (} диагональны, т.е. гамильтониан имеет вид Случай Кирхгофа [30]: элементы матриц А, В, С удовлетворяют следующим условиям: Дополнительный интеграл / линеен: I = М3. Случай Клебша [63]: постоянные а произвольны, а остальные параметры удовлетворяют соотношениям В случае, когда не все щ равны между собой, гамильтониан может быть приведен к виду Я = aiMi + а2М\ + а3Л + а2а37? + аіа372 + "іа27з-Дополнительный интеграл является квадратичным; Случай Ляпунова-Стеклова-Колосова [34, 52]: постоянные а произвольны, а остальные параметры удовлетворяют соотношениям В случае, когда не все a равны между собой, гамильтониан может быть приведен к виду Случай Соколова. В работе [47] был указан гамильтониан с недиагональной матрицей В, обладающий интегралом четвертой степени. Одна из возможных форм этого гамильтониана: Интеграл может быть представлен в виде произведения / — k\ к2, где к\ — М$ и По-видимому этот случай похож по свойствам на случай Ковалевской. 1.2.2 Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки В этом случае гамильтониан имеет вид Известны следующие точно интегрируемые случаи. Случай Лаграно/са: Здесь аз,дз - произвольны. Дополнительный интеграл линеен: I — М%. Случай Эйлера: Дополнительный интеграл квадратичен: Случай Ковалевской [70]: Параметры 7i, 72 - произвольны. Дополнительный интеграл четвертой степени имеет вид / — Отметим, что если q2 ф iqu то преобразованием М — ГМ, Г — ХГ, где Наличие в гамильтониане членов, линейных по моментам МІ может интерпретироваться как действие гиростатических сил (см.[9]).
Например, очевидным гибридом гамильтонианов Лагранжа и Кирхгофа (с дополнительным гиростатным членом) является В работе [85] В.В. Соколовым было найдено семейство интегрируемых гамильтонианов Это семейство содержит в качестве частных случаев как гиростат Ковалевской, так и случай Соколова (1.2.2). Сначала рассмотрим известные квадратичные интегрируемые гамильтонианы, записанные в переменных U, V, и соответствующую скобку Пуассона (1.1.5). Случай Пуанкаре. Гамильтониан имеет вид где A = diag(ai,ai,a3), В — diag(6b &ь&3), С = diag(cb Сі,с3). Заметим что пара собственных значений каждой из матриц совпадают. Этот гамильтониан коммутирует относительно скобки Пуассона (1.1.5) со следующим линейным полиномиальным интегралом Случай Фрама-Шоттки-Манакова [87, 35]. Известно, что гамильтониан где А — diag(ai,a2,a3), В = diag(&j, &2)&з)) коммутирует относительно скобки Пуассона с некоторым квадратичным полиномиальным интегралом, если Понятно, что Н и I можно заменять произвольными линейными комбинациями II) I и функций Казимира. Без ограничения общности, интеграл / может быть записан в виде [68]: а матрицы А и. В, задающие гамильтониан Н, могут быть выбраны следующим образом: Произвольный параметр Л соответствует сдвигу Н на АI. Случай Ст.еклова [88]: гамильтониан может быть записан в виде где а!,а2,о:з - произвольные параметры, В этом и следующем случаях при суммировании по г предполагается, что j к и индексы j я к дополняют индекс і до множества {1, 2,3}. Дополнительный интеграл в этом случае квадратичен: Случай Адлера-ван Мербеке [60, 81]. Гамильтониан задается формулой где аг, а2, ск3 параметры такие, что а і + а2 + a3 = 0. При суммировании по г предполагается, что j к и индексы j и & дополняют индекс г до множества {1,2,3}. Дополнительный интеграл имеет степень 4: В первой сумме интеграла суммирование проводится по всем г = 1,2, 3, j = 1, 2, 3 при этом і 7 і, а в остальных случаях суммирование ведется как описано выше. Теперь перечислим известные интегрируемые однородные квадратичные гамильтонианы, которые удобнее записывать в переменных М,Г со скобкой Пуассона (1,1.1), где параметр к произволен. Случай Борисова-Мамаева-Соколова [11]: гамильтониан обладает дополнительным интегралом I = k\k.2, где k\ = М3, гамильтониан задается форму- лой: где v и z -произвольные постоянные векторы, а г]2 = к. Этот гамильтониан коммутирует со следующим дополнительным интегралом четвертой степени: История открытия этого случая довольно запутана [10], [48], [89].
В этом разделе приведем известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы с линейными членами. Все они записаны в переменных М,Г со скобкой Пуассона (1.1.1), где параметр к произволен. Случай Ковалевской-Комарова [33]: Параметры 1, - произвольны. Дополнительный интеграл четвертой степени имеет вид / — G\ где к - параметр из скобки Пуассона (1.1.1). Обобщение случая Борисова-Мамаева-Соколова. В работах [85], [86] было найдено обобщение гамильтониана (1.3.7): где u и v являются произвольными векторами такими, что (u,v) = О, к - параметр из скобки Пуассона (1.1.1), a pi,p2 - произвольные параметры. Случай (1.3.7) вкладывается в семейство (1.3.12) подходящим каноническим преобразованием [50]. Дополнительный интеграл четвертой степени для гамильтониана (1.3.12) имеет вид: Обобщение случая Соколова-Цыганова. В работе [86] так же было найдено обобщение гамильтониана Соколова-Цыганова. Оказывается к гамильтониану (1.3.9) можно добавить следующую линейную добавку: Т — (к, М) + pi(v х z, Г). В этом случае дополнительный интеграл может быть записан следующим образом I = ф х Ь\2(z, (туМ-Г)М2 + 2М(М, Г)) -Р+ где вектор b - произвольный, а длина вектора а — (аь а2, а3) связана с параметром скобки Пуассона к формулой Дополнительный интеграл имеет четвертую степень: Случай Цыганова [89]: в этом случае гамильтониан задается формулой При условии (1.4.3) этот гамильтониан обладает дополнительным кубическим интегралом Случай Вольфа- Соколова [86]: гамильтониан при условии (1.4.3) имеет дополнительный интеграл шестой степени Несмотря на то, что квадратичные гамильтонианы на so(3,1) не имеют прямых приложений в динамике твердого тела, они, например, задают левоинвариантные метрики на группе 50(3,1) с интегрируемыми геодезическими. В работе [86] также приведены допустимые (т.е. не портящие интегрируемости) линейные "добавки"для гамильтонианов (1.4.2), (1.4.4), (1.4.5) и дополнительные интегралы для этих неоднородных случаев. Оказывается, что к гамильтониану (1.4.2), (1.4.3) можно дописать следующий линейный член: (ріа. + р2а. х b, М) +р3(Ь, Г); к гамильтониану (1.4.4), (1.4.3) может быть добавлен член (k, М) + pi(b, Г); гамильтониан (1.4.5), (1.4.3) допускает слагаемое pi(a х b, М). Здесь pi - произвольные постоянные и к - произвольный постоянный вектор. 1.5 Основные результаты. 1.5.1 Классический случай. Рассматривается случай: матрица А диагональна, причем Как уже отмечалось (см. Лемму 1.1), матрицу В без ограничения общности можно считать нижнетреугольной, т.е. Заметим, что добавление функций Казимира к гамильтониану не влияет на уравнения движения. Вычитая подходящую линейную комбинацию 3\ и J2) можно добиться того, что 6ц = Си — 0. Таким образом.
Комментарии
В работе [76] был получен полный список интегрируемых систем уравнений в частных производных вида где и и v принадлежат некоторой ассоциативной алгебре. Ясно, что любое решение системы (2.2.59), не зависящее от переменной х} удо- Блетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида (2.2.1). Будем называть последнюю систему редукцией соответствующей системы (2.2.59). Нетрудно проверить, что среди систем из списка работы [76] только в следуюнщх случаях кубические члены удовлетворяют условиям (2.2.6): Редукции всех систем (2.2.60) - (2.2.63) эквивалентны некоторым системам из теоремы 2.1. А именно, редукция системы (2.2.60) эквивалентна системе (2.2.10), редукция системы (2.2.61) - системе (2.2.7), редукция системы (2.2.62) - системе (2.2.9), а редукция последней системы (2.2.63) эквивалентна системе (2.2.12). Тот факт, что системы (2.2.7), (2.2.9), (2.2.10) и (2.2.12) являются редукциями интегрируемых систем уравнений в частных производных в некотором смысле подтверждает их точную интегрируемость. В работе [75] рассматривался класс квадратичных систем вида на свободной ассоциативной алгебре, обладающих кубическими симметриями. Естественно ожидать, что сами эти симметрии являются точно интегрируемыми. Сравним их с уравнениями из списка теоремы 2.1. Согласно теореме из работы [75], всякое нстреугольное уравнение (2.2.64), обладающее симметрией вида (2.2.1), эквивалентно одному из следующих: Находя кубические симметрии этих уравнений, видим, что только симметрии уравнений (2.2.67), (2.2.70) удовлетворяют условиям (2.2.6). Первая симметрия эквивалентна уравнению (2.2.7), а вторая - (2.2.10). Вычисления показывают, что кроме и и v, все уравнения списка обладают и другими первыми интегралами, а так же симметриями, степень которых отлична от четырех. В первой из приводимых ниже таблиц указаны размерности векторных пространств симметрии степеней от 1 до 7 для уравнений (2.2.7)-(2.2,13). Во второй таблице содержатся размерности пространств первых интегралов. Скорее всего это уравнение не является интегрируемым, т. к. у него мало первых интегралов и симметрии. Отметим, что для уравнений (2.2.7), (2.2.10), (2.2.11), (2.2.12) совпадают не только размерности пространств первых интегралов, но и сами эти пространства. Легко проверить, что уравнения (2.2.7), (2.2.10),(2.2.11) и (2.2.12) обладают максимально возможным набором первых интегралов. А именно, для этих уравнений любой многочлен является первым интегралом.
Предложение 2.1. Система (2.2.1) обладает максимальным набором первых интегралов тогда и только тогда, когда она имеет вид где di - произвольные (скалярные) постоянные. Доказательство. Тот факт, что моном ulv является первым интегралом для (2.2.1) приводит к некоторой системе линейных однородных уравнений для коэффициентов (2.2.1). Рассмотрим объединение этих систем для і + j 4 и добавим к ним систему, получающуюся из того факта, что uvuv является первым интегралом. Простая выкладка на компьютере показывает, что общее решение всех этих систем дает формулу (2.3.1). Достаточность будет доказана ниже для общего случая. Важно отметить, что система (2,3.1) может быть записана в виде где квадратные скобки означают коммутатор в ассоциативной алгебре. Это позволяет угадать ответ в общем случае. Теорема 2.2. Для того, чтобы система (2.1.1) обладала максимальным набором первых интегралов необходимо и достаточно, чтобы она имела вид для некоторого многочлена S(u, v). Доказательство. Докажем достаточность. Возьмем произвольный многочлен Р(и, v). Продифференцируем его по t в силу системы (2.3.3). Воспользуемся следующим свойством оператора ads X — [S, X}: он удовлетворяет правилу Лейбница. Получим, что Очевидно, что правая часть этого соотношения эквивалентна нулю и, следовательно, P(u,v) является первым интегралом системы (2.3.3). Доказательство необходимости разобьем на несколько этапов. Лемма2.1. Пусть для системы (2.1.1) мономы и1 являются первыми интегралами для любого І. Тогда система имеет вид для некоторых многочленов S И Q. Доказательство. Прибавляя и вычитая к правой части первого уравнения коммутаторы вида [K(u,v), и] получим единственное представление Р в виде: где Т - некоторый многочлен от и и v. Теперь воспользуемся тем, что uN для любого N является первым интегралом. Легко видеть, что Если N больше длины любого монома из Т, то из эквивалентности NuN 1vT 0 следует Т = 0, что доказывает лемму. Аналогично, если система (2.1.1) обладает интегралами уг для любого г, то Q(u,v) = [v, S(u, v)]. Таким образом всякая система с максимальным набором первых интегралов имеет вид Отметим, что уравнения (2.2.7)-(2.2.12) могут быть записаны в виде (2.3.7). Лемма 2.2. Пусть функции unvumv для любых пит являются первыми интегралами для системы (2.3.7). Тогда она имеет вид (2.3.3) для некоторого многочлена S. Доказательство.
Т.к. уже доказано, что любая система вида (2.3.3) имеет максимальный набор первых интегралов, то при вычитании ее из системы (2.3.7) получим систему с тем же свойством. Она имеет вид : Докажем, что S(u,v) — S(u,v) — Ri(u) + #2( ) Для некоторых многочленов Ri. Из этого будет следовать утверждение теоремы, поскольку оба эти многочлена несущественны: многочленом R2{v) можно пренебречь, т.к. [R2(v)) v] = 0. Если же к S{u,v) прибавить Ri(u), то первое уравнение системы не изменится, т.к. [Ri(u], u] = 0. Продифференцируем моном unvumv по і в силу системы (2.3.8). При этом возьмем пит такие, чтобы каждый из них был больше длины любого монома из S(u, v) — S(u, v) и n 2m. Получим слагаемые четырех разных типов: unvS\Umv, unSiVUmv, unvumvSi и —unvumSiV. Их сумма должна быть эквивалентна нулю. Посмотрим, как они сокращаются. Если слагаемое первого типа эквивалентно слагаемому типа 4 (с некоторым, вообще говоря, другим 52) то получаем, что Si — S2 — uk. Действительно, будем представлять себе мономы, как набор символов и и v, расположенных на окружности, а циклическую перестановку - как поворот окружности. Рассмотрим каким образом могут совместиться в этих мономах символы v. В каждом мономе есть выделенный символ v, расположенный между "большими"промежутками из символов и длины пят. Поскольку п на много больше т, а ориентация "больших "промежутков различна, выделенные элементы v совместиться не могут. Если же выделенное v в первом мономе совместится с каким-либо другим элементом v во втором мономе, то все S2 окажется покрыто одним из "больших"промежутков из символов и. Таким образом, S2 (а значит и Si) является степенью и. Аналогичные аргументы показывают, что слагаемое первого типа не может быть эквивалентно слагаемому типа 3, а если оно эквивалентно слагаемому того же типа 1, то они совпадают. Если слагаемое типа 1 эквивалентно слагаемому типа 2, то могут совместиться только выделенные элементы v и мы получаем, что Siv = vS2. Далее, рассуждая аналогично, получим цепочку соотношений.
Диагональные подалгебры
Назовем факторизующую подалгебру на so(4) диагональной, если образующие (3.3.3) имеют следующую структуру: где Qi,qi - некоторые скалярные ряды Лорана с асимптотикой вида Опишем все факторизующие подалгебры с образующими вида (3.4.1). Подставляя (3.4.1) в коммутационные соотношения (3.3.5)-(3,3.10), (3.3.13), получаем переопределенную систему алгебраических уравнений относительно qi,Pi,q i,pi- Очевидным условием ее совместности оказываются соотношения Сама система состоит из уравнений для некоторого к, или с\ — а\ = Ь\. Последняя возможность соответствует случаю единичной (с точностью до упомянутых в 4 главе преобразований) матрице Л. Найдем из системы (3.4.2) неизвестные РьР2,Рз: Знаменатели в этих выражениях не равны нулю в силу (3-4.8). Можно проверить, что оставшиеся три уравнения из системы (3.4.2) по модулю (3.4.3) эквивалентны соотношениям Сосредоточимся теперь на системе (3.4.3). Учитывая, что — у = z — 0, или є = 6 = г = 0, или два из рядов 1,92)( совпадают между собой. В последнем случае без ограничения общности положим 2 = qi- Тогда дополнительно имеем, что либо т = у Случай 1. Рассмотрим случай 1: а; = у = z = 0. Предположим также, что qi ф q при і ф j (иначе мы попадаем в рамки случая 3). Система (3.4.3) превращается в где в - некоторый ненулевой параметр, который в системе (4.4.5) может быть устранен растяжением независимой переменной г). Поскольку параметр А в задаче о факторизующих подалгебрах определен с точностью до замен (3.1.4) без ограничения общности можно считать, что Окончательно имеем Случай За. Рассмотрим случай qi — q2 и т — у — 0. Заметим, что из (3.4.10) сразу видно, что р\ = р\. Из (3.4.8) следует, что с2 — а2,. Из системы (3.4.2) нетрудно получить, что с2 = Щ. Рассмотрим случай Р2 = Pi, ci — а2) С\ = а2. Если С\ 0, то введем обозначения сг — вс\ и к — Ъ3 + з ) ГД киб- произвольные константы, и определим Л формулой Тогда ответ записывается в виде: Соответствующая пара Лакса (4.4.2) является одним из основных результатов диссертации. Случай р2 = —р\ рассматривается аналогично и приводит к той же самой интегрируемой системе (4.4.5). В случае сі = 0 соотношения (3.4.2), (3.4.3), (3.4.4) эквивалентны одному уравнению z д$ — 5 + д% — q% — 0- Ответ можно записать в виде: Формулы для рі, ЦІ аналогичны.
Случай ЗЬ. Пусть q\ = q2 — qs- Из системы (3.4.3) вытекает, что х — у = z — 5 = є = т = 0. Из системы (3.4.2) следует, что (Рьр2,Рз) = t(cua2,b3), (3.4.15) где і является некоторым рядом Тейлора от Л. Так как не все 2)) равны нулю, то свободный член tQ ряда і не равен нулю и (сі,а2,Бз) = о(с1)а2?Ьз)- Из системы (3.4.2), пользуясь (3.4.15), получаем уравнения Отсюда видно, что либо все Pi являются константами, либо а\ = Щ= с{. В первом случае без ограничения общности можно считать, что а2 = сі = а 2 = С\ = pi — р2 = 0. Окончательный ответ: Эти формулы являются частным случаем случая За. Во втором случае будем считать, что С\ — а2 = &з- Тогда из пропорциональности получаем, что с± — а2 — Ъ% и следовательно pi = р2 = р3 Ответ содержится в случае 2 при к, = - и С\ — 63 = &2 Теорема 3.6. Всякая диагональная факторизующая подалгебра эквивалентна одной из подалгебр, описанных в случаях 1, 2 и За. Доказательство. Выше было показано, что всякая факторизующая диагональная подалгебра описывается случаями 1,2 и За. Теперь надо показать, что найдены действительно факторизующие подалгебры. Для доказательства этого факта нам потребуется вспомогательная лемма. Перед тем как ее сформулировать, введем обозначения. Пусть Доказательство. Проводится по индукции одновременно для двух утверждений. Первое утверждение верно для п = 1, а второе для п = 2 по условию. Пусть теперь второе утверждение верно и для m 2, а первое соответственно для m — 1. Сначала докажем, что первое утверждение верно и для т. По предположению индукции: По определению Внесем множитель —г- под коммутатор и воспользуемся предыдущей формулой. Получим следующее: Теперь в силу предположения индукции для коммутаторов, заменяем все коммутаторы, кроме Е , соответствующими линейными комбинациями и получаем, что - Щ линейно выражается через Е- , к = 1, ...т + 2, і — 1,2,3 и следовательно Е Є U. Теперь докажем, что второе утверждение верно для т + 1, т.е. что [Et(m+1), Е ], [Ej+1), Ej-] + [Е +1), EJ линейно выражаются через Е \ где к = 1,..., т+1, г = 1,2,3. Заметим, что по предположению индукции для первого утверждения Подставим это выражение в [E m , Е ]. Получим сумму коммутаторов, где наибольшая "степень"равна т и следовательно, в силу предположения индукции, можно заменим все коммутаторы на их линейные комбинации. Получим, что [Е т+1), EJ линейно выражается через Щ , где к = 1, ...,т, і = 1, 2,3 и Е , где к = 1, ...,т — 1,г — 1,2,3. Теперь от множителя а избавимся опять подставив соответствующие разложения -кЩ1.
Получили, что [Ef+1),E,] линейно выражается через Е{ \ где к = 1,..., т + 1, і - 1, 2,3. Для [E(m+1), EJ + [Е "+1), EJ проводятся аналогичные рассуждения. Продолжим доказательство теоремы. Необходимое условие того, что подалгебра является факторизующей, состоит в том, что ее проекция, как на верхний блок so(3) так и на нижний, должна являться факторизующей подалгеброй для алгебры петель над so(3). Покажем, что найденные в случаях 1, 2, За подалгебры удовлетворяют этому условия. Заметим, что проекцией любой из этих подалгебр на верхний блок является подалгебра, порожденная соответствующими образующими ЕІ,Ї — 1,2,3. Эти образующие удовлетворяют условиям леммы 3.7. Действительно, первое из условий проверяется непосредственно, а второе есть другая запись коммутационных соотношений (3.3.5). Таким образом, проекции на верхний блок удовлетворяют необходимому усло- вию. Проводя аналогичные рассуждения для нижнего блока, используя образующие Ё,г — 1,2,3 и коммутационные соотношения (3.3.8) видим, что необходимое условие выполнено и для проекций на нижний блок. Теперь отметим, что если взять две произвольные факторизую-щие подалгебры алгебры петель над so(3) и поместить одну в верхний блок, а другую в нижний (или другими словами, пусть образующие Ei,i = 1,2,3 задают факторизующую подалгебру алгебры петель над so(3), и ЕІ, і = 1,2,3 порождают произвольную факторизующую подалгебру петель над so(3)), то совокупность образующих Ej,Ei,i — 1,2,3 может и не задать подалгебру алгебры петель над so(4), т.к. существует "взаимодействие"между верхним и нижним блоками, которое описывается коммутационными соотношениями (3.3.13). Для подалгебр из случаев 1, 2, За эти связи учтены. Следовательно теорема доказана, 3.5 Коммутационные соотношения для ортогонального дополнения к Ы Невырожденная билинейная форма (, ) на so(4) в ортогональном базисе (3.3.2) имеет вид (У ХІЄІ + 2 ві, 2 УІЄІ + 2 У&) =k 2 ХіУі + 2 ХіУг где кик произвольные постоянные такие, что кк ф 0. Соответствующая форма , на алгебре петель задается формулой (3,1.6). Обозначим через Gr матрицу Грамма.
Уравнения Ландау-Лифшица на so(4)
В случае уравнений в частных производных и L и А в уравнении Лакса принадлежат U. Рассмотрим оператор L вида Пусть оператор Л имеет следующую структуру: некоторые дифференциальные многочлены от компонент векторов U, V. Известно (см., например, [16]), что в этом случае уравнение Лакса (4.3.1) допускает редукцию где \i и v - произвольные положительные постоянные. Теорема 4.4. Из уравнения Лакса (4.3.1) вытекает, что где s и s -некоторые постоянные. При предположениях (4.3.4),(4.3.5) уравнение Лакса (4,3.1) эквивалентно системе уравнений: Здесь матрицы J, J, G и G задаются формулами (3.5.4), (3.5.5), а функции p, q имеют следующий вид: Доказательство проводится аналогично доказательству Теоремы 4.3 с тем отличием, что здесь используются коммутационные соотношения (3.3.5), (3.3.8) для тройных коммутаторов, а для двойных - (3.3.13). Из равенства нулю коэффициентов при тройных коммутаторах (тройные коммутаторы встречаются только в правой части уравнения Лакса) находим формулу (4.3.5) для Р, Q. Далее, коэффициенты при двойных коммутаторах дают формулу (4.3.6) для р, q. Уравнения Ландау-Лифшица находятся из равенства коэффициентов при ЕІ,Е; в правой и левой частях уравнения Лакса. Для того, чтобы записать уравнения Ландау-Лифшица в том виде, в котором они приведены в теореме, требуется учесть систему (3.3.14). Рассмотрим случай диагональных подалгебр. Матрицы G,G,J,J уже посчитаны для каждой подалгебры в параграфе 4.2. Заметим, что во всех трех примерах матрицы R, R диагональны. Укажем их в каждом конкретном случае. Из результатов работы [17] следует, что всякому разложению алгебры петель so(4)((A)) в прямую сумму (3.3.1) соответствует интегрируемая система вида где щ v Є 5о(3), S п S - некоторые постоянные матрицы, индекс t означает транспонирование. Пусть и = J2uieii v Y2viei- Положим Теорема4.5. (см. (17J) Соотношение [L, M] = 0 эквивалентно си- стеме где матрицы G и G задаются формулами (3.5.5). Доказательство. Коммутатор [L, М] принадлежит Ы и имеет асимптотику вида + 0(1), а система (4.4.3) эквивалентна тому, что вычет Z равен нулю. Поскольку U не содержит ненулевых рядов Тейлора, то Z = 0 эквивалентно условию [L, М] — 0. Нетрудно проверить, что (4.4.3) можно переписать в виде (4.4.1), где а 5 получается из этой формулы добавлением черточек над символами.
Диагональным подалгебрам из главы 3 соответствуют интегрируемые модели вида (4.4.1) с диагональными матрицами S и S. Такие системы могут быть переписаны в виде и — (щ,и2,щ) и v = (vi,V2,v ) - векторы из М3, х означает векторное произведение. Ясно, что система (4.4.5) совместна с условием juj — v — 1, которое обычно накладывается, когда речь идет о приложениях в физике или в геометрии. Преобразования вида эквивалентны замене А — —А , Aj — — А . Поэтому для любого і такая замена не портит интегрируемости системы (4.4.5). Кроме того, допустимы согласованные перестановки диагональных элементов матриц Л и Л. Диагональность матриц S и S означает, что В этом случае матрицы Л и А из формулы (4.4.5) имеют вид: Предполагается, что ни одна из этих матриц не является нулевой, так как в противном случае система (4.4.5) становится тривиальной. В главе 3 показано (см. формулу (3.4.9)), что для всякой диагональной факторизующей подалгебры элементы матриц Л и А связаны соотношениями Когда все элементы А; не равны нулю, из соотношения (4.4.7) следует, что Соотношение (4.4.8) дает Пример 1. Для подалгебры из Случая 1 получаем к2 = 0. Это известная интегрируемая модель И. Чередника [57]. Ограничиваясь в соотношении [L, М] — 0, где L и М заданы формулой (4.4.2), верхним блоком, получаем для модели Чередника операторы Лакса с коэффициентами из so(3). Нижний блок задает другую, но совершенно аналогичную пару Лакса. Пример 2. В Случае 2 имеем К\ — 0. Эта модель была найдена И. Голубчиком и В. Соколовым в [17]. Пара Лакса задается формулой (4.4.10), где qi}pi определены на страницах 83-84, Пример 3, Если К{ ф 0, то без ограничения общности можно положить Ai = А2. Тогда \\ — А2, а А3, Аз - произвольны. Насколько нам известно, этот интегрируемый случай является новым. Он соответствует подалгебре из Случая За. Пара Лакса находится по формуле (4.4.10) для которой qi,Pi заданы на страницах 84-85. По-видимому, соотношения (4.4.7), (4.4.8) являются не только достаточными, но и необходимыми для точной интегрируемости модели (4,4.5). Для доказательства этого факта в принципе можно использовать симметрийный подход или тест Пен леве.
