Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор современного состояния процессов электромагнитной штамповки 10
1.1 Преимущества методов электромагнитной штамповки 11
1.2 Варианты технологических схем и методы анализа формоизменяющих операций цилиндрических заготовок 13
1.3 Влияние импульсного магнитного поля на свойства материалов и * предельные возможности их формоизменения 23
1.4 Особенности применения метода конечных элементов при моделировании операций электромагнитной штамповки 28
1.5 Цель и задачи исследования 33
- 2 Разработка математических моделей процессов электромагнитной штамповки 35
2Л Вариационные подходы при решении задач механики методом конечных элементов , 35
2.2 Вариационная формулировка задачи динамики в процессах обработки металлов давлением 37
* 2.3 Решение уравнений движения.,. 44
2.4 Оптимизация алгоритма расчета 45
2.5 Определение напряженно-деформированного состояния заготовки при упруго-пластическом деформировании 47
2.6 Учет скоростного упрочнения в операциях электромагнитной штамповки 50
2.7 Характеристики трехмерного напряженно-деформированного состояния заготовки 54
2.8 Учет процесса контакта матрицы и заготовки 56
2.9 Варианты конечно-элементного расчета деформаций и скоростей деформаций в задачах электромагнитной штамповки 58
2.10 Обоснование адекватности разработанных моделей 61
2.10.1 Расчет собственных частот заготовки 61
2.10.2 Решение для схемы раздачи «кольцо в кольцо» 63
2.10.3 Сопоставление результатов с двухмерной моделью на основе метода конечных элементов , 65
2.10.4 Сравнение экспериментальных и расчетных данных 66
2.10.5 Сходимость решения при изменении числа конечных элементов и частоты дискретизации по времени в динамической постановке 69
2.11 Результаты и выводы по разделу 71
3 Исследование и анализ операций электромагнитной штамповки 73
3.1 Расчетная схема операции получения поперечных пазов 73
3.2 Исследование операции получения поперечного паза 75
3.3 Анализ напряженно-деформированного состояния поперечного паза 83
3.4 Анализ влияния радиуса заготовки на её напряженно - деформированное состояние в процессе формоизменения.. 85
3.5 Теоретическое исследование операций отбортовки бокового отверстия в цилиндрической заготовке 87
3.5.1 Операция отбортовки отверстия 87
* 3.5.2 Расчетная схема операции 88
3.6 Анализ напряженно-деформированного состояния заготовки для операции отбортовки бокового отверстия в цилиндрической заготовке 90
3.7 Исследование влияния формы импульса на напряженно-деформированное состояние заготовки 98
3.8 Результаты и выводы по разделу 102
4 Анализ влияния технологических параметров в операциях получения поперечного паза и отбортовки бокового отверстия 104
4.1 Обоснование выбора плана машинного эксперимента для получения вторичных математических моделей операций электромагнитной штамповки 104
4.2 Применение факторного планирования эксперимента для исследования технологических параметров операции получения поперечных пазов 107
4.3 Анализ технологических параметров операции получения поперечных пазов 110
4.4 Применение планирования эксперимента для исследования технологических параметров операции отбортовки отверстия 125
4.5 Анализ энергосиловых и деформационных параметров операции отбортовки отверстия 127
4.6 Результаты и выводы по разделу 141
5 Разработка методики проектирования операций электромагнитной штамповки 143
5.1 Повышение эффективности оборудования для операций электромагнитной штамповки 143
5.2 Деформирование заготовки неравномерным магнитным полем 146
5.3 Особенности операции отбортовки бокового отверстия в полой цилиндрической заготовке 150
5.4 Программный комплекс 152
5.5 Рекомендации по проектированию технологических операций 155
Основные результаты и выводы по работе 158
Заключение 161
Литература
- Варианты технологических схем и методы анализа формоизменяющих операций цилиндрических заготовок
- Определение напряженно-деформированного состояния заготовки при упруго-пластическом деформировании
- Теоретическое исследование операций отбортовки бокового отверстия в цилиндрической заготовке
- Применение факторного планирования эксперимента для исследования технологических параметров операции получения поперечных пазов
Введение к работе
Актуальность работы. Обработка металлов давлением (ОМД) широко распространена в настоящее время и служит основой многих передовых технологий, В листовой штамповке на протяжении последних лет широкое развитие получила технология электромагнитной штамповки (ЭМШ) заготовок, позволяющая получать изделия высокого качества, отличающиеся сложной геометрией, при относительно низкой себестоимости изготовления.
Необходимыми условиями повышения конкурентоспособности продукции отечественного машиностроения являются сокращение сроков освоения новых изделий, снижение себестоимости их изготовления и металлоемкости применяемой оснастки.
Все это осложняется недостатком инвестиций, высокой стоимостью кредитов, жесткими требованиями к качеству продукции и высокой динамикой товарного рынка. Вследствие этого особенно актуальной становится разработка научно-обоснованных методов расчета и компьютерных методик проектирования, создание и реализация новых технологических режимов и оснастки, позволяющих снизить энергоемкость операций ЭМШ и сократить сроки технологической подготовки производства, что предполагает решение широкого круга экспериментальных, теоретических и технологических задач.
К ним, в первую очередь, относится разработка более полных и точных математических моделей процессов пластического формоизменения, что позволяет экономить энергоресурсы при получении заданной геометрии изделия и увеличить срок службы технологического оборудования и инструмента.
Имеющиеся в настоящий момент в литературе методики позволяют определять энергоемкость и технологические параметры операций, но в силу принимаемых значительных допущений не позволяют достаточно корректно проводить расчеты и проектирование операций, характеризующихся объемным или неосесимметричным напряженно-деформированным состоянием.
Можно констатировать, что существует научная задача технологии ОМД, заключающаяся в недостаточности уровня знаний в области расчета технологических режимов, энергосиловых и деформационных параметров процесса высокоскоростного объемного деформирования в операциях ЭМШ, таких как получение поперечных пазов и отбортовка боковых отверстий в полых цилиндрических заготовках.
Таким образом, актуальной научной задачей в области развития технологии ЭМЩ является раскрытие закономерностей влияния технологических параметров на процесс динамического деформирования полых цилиндрических заготовок, установление особенностей их формоизменения, дальнейшее развитие и совершенствование методов проектирования операций ЭМШ.
Работа выполнена в соответствии с научно-технической программой «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» Минобразования и науки Российской Федерации и грантом Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований «Механика формоизменения ортотропных и изотропных упрочняющихся материалов при различных температурах и скоростях деформации» (грант № НШ-1456.2003.8).
Цель работы. Повышение эффективности операций ЭМШ на основе разработки научно-обоснованных методов проектирования и создания новых технологических режимов и оснастки, обеспечивающих снижение энергоемкости операций электромагнитной штамповки и сокращение сроков технологической подготовки производства.
Автор защищает: вариант конечноэлементного анализа объемного НДС в процессах упругопластического формоизменения осесимметричных и неосесимметричных заготовок в операциях ЭМШ; - математические модели операций получения поперечных пазов, отбортовки бокового отверстия в полых цилиндрических заготовках; научно-обоснованные рекомендации и результаты исследований НДС материала заготовок во взаимосвязи с технологическими параметрами нагружения; методику и программный комплекс расчета и проектирования технологических операций ЭМШ. Научная новизна: - разработана новая конечноэлементная модель технологических операций ЭМШ получения поперечных пазов и отбортовки боковых отверстий в полых цилиндрических заготовках, отличающаяся возможностью учета трехмерного НДС заготовок, не обладающих осевой симметрией; - создана система вторичных математических моделей, описывающих НДС заготовки и технологические режимы операций ЭМШ, позволяющая установить рациональные интервалы варьирования параметров штамповки; - выявлены закономерности влияния технологических параметров магнитно-импульсного формоизменения на объемное НДС заготовок в исследованных операциях ЭМШ, обеспечивающие ресурсосбережение.
Методы исследования, использовавшиеся в работе: Щ, - теоретический анализ процессов операций электромагнитной штамповки с использованием основных положений механики сплошных сред и теорий упругости и пластичности металлов; - методы математической статистики и теории планирования эксперимента; - конечно-элементный анализ и методы численного интегрирования систем дифференциальных уравнений.
Практическая ценность работы заключается в: - в разработке методики и пакета алгоритмов, доведенных до уровня программ, прошедших официальную регистрацию, которые позволяют сократить сроки технологической подготовки производства и обеспечить ресурсосбережение на этапах опытного и серийного производства изделий; в установлении рациональных интервалов изменения технологических параметров процесса штамповки и форм рабочего инструмента, обеспечивающих необходимую геометрию детали.
Достоверность результатов обеспечена обоснованным использованием теоретических зависимостей, допущений и ограничений, корректностью постановки задач, применением известных математических методов и подтверждается качественным и количественным согласованием результатов теоретических исследований с экспериментальными данными, а также практическим использованием результатов работы в промышленности.
Реализация работы: созданы более полные математические модели операций ЭМШ, позволяющие исследовать объемное НДС заготовки в процессе ее формоизменения, которые могут быть использованы на стадиях проектирования и освоения новых технологических операций в промышленном производстве; результаты работы приняты к внедрению для проектирования и выбора параметров технологических операций, инструмента и узлов оборудования для получения полых цилиндрических деталей в ОАО ТНИТИ (г. Тула); внедрены в учебный процесс на кафедре «Механика пластического формоизменения» ТулГУ при написании конспектов лекций и постановке лабораторных работ по курсу «Компьютерное моделирование технологических процессов и оборудования»; подготовке магистерских диссертаций, выпускных работ бакалавров, выполнении исследовательских курсовых и дипломных проектов.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались на международной научно-практической конференции «Проблемы и опыт обеспечения качества в производстве и образовании» (Тула, 2001); международных научно-технических конференциях «Теория и практика производства проката» (Липецк, 2001, 2005); международных научно-технических конференциях «Совершенствование процессов и применение обработки давлением в металлургии и машиностроении» (Украина, Краматорск, 2001-2003); региональной научно-технической конференции «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» (Тула, 2002-2004); XXXIII Уральском семинаре «Технологии и машины обработки давлением. Механика и процессы управления. Серия технологии и машины обработки давлением» (Екатеринбург, 2003); международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штамповочного производства» МГТУ МАМИ (Москва, 2003); пятой международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ-2004» (Воронеж, 2004); II международной научно-технической конференции «Механика пластического формоизменения. Технологии и оборудование обработки материалов давлением» (Тула, 2004); федеральной итоговой научно-технической конференции «Всероссийский конкурс на лучшие научные работы студентов и молодых ученых по естественным, техническим наукам (в области высоких технологий) и инновационным научно-образовательным проектам» (Москва, 2004).
Публикации, Основные научные положения и материалы проведенных исследований достаточно широко освещались в печати. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа объемом 5,5 печатных листа и авторский вклад 3,7 печатных листов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, общих выводов по работе, списка литературы из 104 наименований, приложения и включает 136 страниц машинописного текста, 61 рисунок, 9 таблиц. Общий объем работы 177 страниц.
Варианты технологических схем и методы анализа формоизменяющих операций цилиндрических заготовок
При определении напряженно-деформированного состояния в случае упруго-пластических и малых пластических деформаций идеально пластических и упрочняющихся тел для ряда задач существует точное аналитическое решение, благодаря работам в этой области российских и зарубежных ученых. Но в случае с неоднородным распределением механических свойств по объему тела значительно усложняются уравнения, что в итоге влияет и на математический аспект решаемых задач.
Задачи пластического формоизменения неосесимметричных заготовок в трехмерной постановке еще мало изучены. Аналитическое решение в случае конечных деформаций пластически неоднородных тел практически невозможно из-за возрастающих математических трудностей. В работе [90] отмечается, что решение задач обработки металлов давлением, связанных с рассмотрением конечных пластических деформаций, нередко осуществляется инженерными приближенными аналитическими методами. Был получен ряд аналитических зависимостей сил деформирования при ковке, прокатке, горячей штамповке путем совместного решения и последующего интегрирования приближенных уравнений равновесия и пластичности. Но учет при помощи данного метода неоднородности свойств, неравномерности деформаций, упрочнения по объему заготовки практически невозможен.
Как указано в работе [63] метод характеристик в теории пластичности позволяет получить точные замкнутые решения для отдельных задач. Варианты метода, реализуемые в прикладной теории пластичности, заключаются в численном интегрировании уравнений характеристик, графическом построении линий скольжения на основе теорем Генки -Прандтля, а также в виде построения линий скольжения в виде ломаных.
Но область применения данного метода ограничивается в основном плоскими задачами, т.к. для задач с осевой симметрией метод имеет лишь ограниченную применимость, а для трехмерного случая пластически неоднородных тел решения практически неизвестны.
Одним из возможных методов исследования является метод сопротивления материалов пластическим деформациям. Он позволяет определить формоизменение при конечных пластических деформациях, когда процесс деформирования носит монотонный характер. Но в общем случае процессы ОМД и в частности процессы ЭМШ не монотонны и применение данного метода ограничено [67].
Сложность в исследовании процессов ОМД привела к созданию экспериментально-расчетных методов их изучения. Метод делительных сеток является одним из наиболее эффективных при изучении плоских и осесимметричных задач. Метод позволяет определить напряжения и деформации в любом сечении заготовки после холодной пластической деформации. Широта области применения экспериментальных методов ограничивается их трудоемкостью [34].
Одним из наиболее часто применяемых методов для решения задач ОМД являются вариационные методы [63].
Для исследования пластической деформации используется принцип возможных изменений деформированного состояния (принцип Лагранжа). где П - потенциал деформации; V - объём деформируемого тела; А„ -работа внешних сил. Дифференциальные уравнения равновесия и соответствующие граничные условия объединены в уравнении (1.01).
При расчете напряженно-деформированного состояния применяется принцип возможных изменений напряжённого состояния, являющийся обобщением принципа Кастильяно при пластическом деформировании. Принцип возможных изменений напряженного и деформированного состояний, сформулированный В. Л. Колмогоровым, нашел свое применение в технологических задачах ОМД.
Использование вариационного метода на основе этого принципа позволяет определить поле напряжений и скоростей в требуемый момент времени по объёму деформируемого тела с учётом массовых сил, неоднородности, сжимаемости и других особенностей обрабатываемого материала. Метод допустимо использовать для исследования процессов, когда пластическая деформация охватывает не весь объём тела и границы очага деформации неизвестны. Вариационное уравнение принципа эквивалентно системе дифференциальных уравнений теории пластичности при соответствующих граничных условиях.
Сам факт применения вариационных уравнений не уменьшает сложности решения конкретных задач. Решение вариационных уравнений классическим способом при помощи уравнений Эйлера невозможно из-за больших математических трудностей. Поэтому для решения прикладных задач ОМД используют приближённые, так называемые прямые методы: Ритца, Канторовича, вариационно-разностный, конечных элементов и др.
Широкое распространение получил метод Ритца, в котором при отыскании экстремума функционала рассматривается не всё пространство допустимых функций, а лишь всевозможные линейные комбинации допустимых функций вида где а,- - постоянные параметры; [фДх)] - в рассматриваемом пространстве полная система линейно независимых координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям.
Определение напряженно-деформированного состояния заготовки при упруго-пластическом деформировании
Для сокращения требований к ресурсам ЭВМ в разработанном программном комплексе ELMAFORM v.4.2 [47] была использована оптимизированная схема хранения матриц. Симметричная ленточная матрица представлялась в виде системы многомерных массивов, с измененной ориентацией строк и столбцов, а также трансформированной схемой индексации элементов по определенному алгоритму. Проведенные преобразования обеспечили значительную экономию памяти, а также процессорного времени за счет устранения ненужных операций (таблица 2.1). Реализованный алгоритм преобразования исходной матрицы является синтетической авторской разработкой, основанной на ряде более известных методов, но имеет принципиальное преимущество - отсутствует привязка к свойству ленточности и не требуется работа с подматрицами. Исходная матрица может иметь любую внутреннюю структуру с точки зрения порядка заполнения. Алгоритм применим для работы с разреженными матрицами. Т.о. одним из свойств алгоритма является отсутствие привязки к конкретному типу внутренней структуры матрицы (например, к свойству ленточности матрицы), что расширяет его возможности, в том числе при решений задач по расчету заготовок, не обладающих осевой симметрией, в контактных задачах, а также при генерации нерегулярной сетки. Алгоритм имеет ресурс по дальнейшей оптимизации. После более тщательной доработки он может быть использован для работы с более масштабными задачами, чем приводимые здесь.
При разработке алгоритма ставилась принципиальная задача свести требования к ЭВМ к минимуму, при этом постараться устранить факторы нехватки оперативной памяти процессорного ресурса и свести систему из двух факторов лишь к фактору процессорной мощности.
Данную задачу принято считать решенной с указанным выше результатом, что позволило в дальнейшем при моделировании операций ЭМШ с помощью МКЭ добиться необходимой степени дискретизации по объему, приведшей к наиболее адекватным результатам в задачах динамического упруго-пластического формоизменения заготовки.
Пластическая деформация твердого тела рассматривается на основе деформационной теории пластичности. Наряду с перечисленными гипотезами об изотропности тела и упругости объемной деформации в пластической зоне со справедливым объемным законом Гука принимаются также следующие положения: 1. Полные приращения составляющих деформации Лє,у складываются из соответствующих приращений упругой АЄеу и пластической деформации Дє,у = Аєе/у + АЄр,у; 2. При активном нагружении девиатор деформаций подобен и коаксиален девиатору напряжений: De=4!-Da; \/ = y(x,y,z). (2.12) При описании упругопластических переходов использовались соотношения, предложенные в работах [63, 67]. НДС рассматриваемого элемента на і+l шаге характеризуется интенсивностью деформации єг-+і: є/+1 = "Г"-J(eT Zzz ) + Vzrr - GG ) + (ezz - ЄЄЄ Г + T\Є« + ЕгЄ + z9 / где Єу - компоненты тензора деформации.
Теоретическое исследование операций отбортовки бокового отверстия в цилиндрической заготовке
На рисунке 3.8 показано распределение интенсивности напряжений по образующей паза для заготовок с радиусом R = 20 - 60 мм.
Перемещение вершины паза во всех опытах постоянно и равно 6 мм. Из рисунка 3.8 видно, что наибольшие величины напряжений достигаются в основании паза для заготовки радиусом 60 мм и составляют 300 МПа. С уменьшением радиуса заготовки снижается и величина напряжений в основании паза до 260 и 220 МПа у заготовок радиусом 40 и 20 мм соответственно (рисунок 3.8), что объясняется перераспределением материала по высоте паза и различным поворотом материальных волокон у его основания, что показано на рисунке 3.9. Больший угол поворота в основании паза приводит к более значительным сдвиговым деформациям и деформациям кручения.
Наиболее равномерное распределение напряжений по сечению паза наблюдается для радиуса 60 мм (при уменьшении относительной высоты паза до h / R = 0.1). Изменение геометрических размеров заготовки вызывает изменение ее собственной частоты, что при увеличении радиуса заготовки приводит к изменению максимумов напряжений. Так напряжения в вершине (сечение N - 15, точка С) с уменьшением отношения hlR в 3 раза уменьшаются в 1.74 раза, а в основании (сечение А) увеличиваются в 1.43 раза (рисунок 3.8).
В вершине паза (сечение С) значения напряжений возрастают с уменьшением радиуса, что обусловлено значительными деформациями растяжения, как следствие увеличения относительной высоты паза. Так для заготовки радиусом 20 мм а,- = 295 МПа, для заготовок радиусом 40 и 60 мм напряжения составляют 190 и 170 МПа соответственно. С изменением радиуса заготовки меняется соотношение между интенсивностями напряжений в вершине и основании паза. Уменьшение относительной высоты паза с 0,3 до ОД приводит к выравниванию напряжений в вершине и по высоте паза, но вблизи основания перепад напряжений остается и при hJR Q,\ (сечение А, рисунки 3.8, 3.9).
На рисунке 3.9 показано как с уменьшением относительной высоты паза происходит изменение формы паза — образующая паза в конечной стадии процесса может быть представлена дугой окружности, при этом возрастают углы поворота материальных волокон и касательные напряжения вблизи основания паза.
Операция отбортовки бокового отверстия широко применяется для изготовления элементов оболочек деталей авиационной и космической техники. Получение деталей данного типа традиционными способами ОМД требует достаточно сложной технологической оснастки, что затрудняет автоматизацию и механизацию процесса.
Отдельный интерес в данной операции представляет кинематика течения материала заготовки и характер распределения напряжений и деформаций по объему заготовки, что обусловлено взаимосвязью параметров, характеризующих объемное НДС материала заготовки. Характер течения материала зависит от геометрических и силовых параметров, а также условий трения в контактной зоне оправки и заготовки. Сложность анализа подобных операций заключается в необходимости использования объемной (3D) модели, т.к. осевая симметрия в данном случае отсутствует, а рассмотрение отдельных сечений заготовки не дает полной картины распределения параметров НДС по объему заготовки и во времени с учетом истории нагружения. При рассмотрении данной операции нельзя пренебречь ни одной из составляющих тензора деформаций.
Применение факторного планирования эксперимента для исследования технологических параметров операции получения поперечных пазов
Результаты расчетов по МКЭ не позволяют получить в явном виде зависимость энергетических и деформационных параметров операций ЭМШ от свойств заготовки, технических характеристик оснастки и оборудования (входных факторов), выявить закономерности и тенденции их изменения, что является важным для разработки технологии, выбора и настройки параметров оборудования, а также проектирования инструмента и оснастки. Поэтому построение вторичных математических моделей операций ЭМШ на основе методов математической статистики и теории планирования эксперимента является важной и актуальной задачей.
Теория планирования эксперимента позволяет получить полиномиальные зависимости энергосиловых параметров операций ЭМШ на основе обработки результатов машинного эксперимента, проведенного в отдельных точках факторного пространства, используя разработанное программное обеспечение (ПО).
Таким образом, актуальной является следующая задача: используя результаты машинного эксперимента и разработанное ПО, построить и проанализировать аналитические модели зависимости энергосиловых параметров операций ЭМШ для выдачи научно обоснованных рекомендаций по рациональному выбору технологических режимов штамповки, параметров оборудования и инструмента.
Для построения математической модели зависимости энергосиловых параметров операций ЭМШ нами были отобраны следующие факторы: декремент колебаний р, рабочая частота разряда f, относительный радиус заготовки R / S, относительная высота паза h / S, где R — радиус заготовки, h — высота паза, S - толщина стенки полой цилиндрической заготовки. В качестве выходных факторов (функций отклика) выбраны интенсивность деформаций в вершине и основании паза, интенсивность напряжений в вершине и основании паза, работа деформации.
Так как предварительные расчеты и их анализ [см. раздел 3] показали значительную нелинейность в характере зависимости выходных параметров операций ЭМШ от рассматриваемых входных факторов, был выбран композиционный план В$ с варьированием исследуемых выходных факторов на 3 уровнях, содержащий 25 опытов в матрице планирования факторного эксперимента. Если варьирование исследуемых факторов производить на 3 уровнях, то число опытов, в обычном эксперименте составит N = 3 =81 опыт. Таким образом, применение плана В4 позволяет сократить число опытов почти в четыре раза, а учитывая, что каждый машинный эксперимент требует значительных временных затрат (при однослойной сетке - примерно 25 часов счета на ЭВМ типа Pentium IV), получена существенная экономия временных и людских ресурсов.
При статистической обработке данных эксперимента имеется возможность получить математическую модель процесса в виде полинома второй степени по всем факторам с учетом их взаимодействий. Для четырех факторов математическая модель будет содержать не более 15 членов, что при 25 опытах в матрице планирования позволит оценить ее адекватность.
Выбор звездного плеча и число центральных опытов в ряде планов определяются условиями их ротатабельности или ортогональности. Эти критерии не являются единственно возможными. В современной математической теории эксперимента рассматривается значительно большее количество критериев оптимальности.
Можно, например, потребовать, чтобы план обеспечивал получение наименьшего объема эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов (D — оптимальность); их минимальной средней дисперсии (А-оптимальность); минимума максимальной дисперсии оценок коэффициентов; минимума максимальной (G-оптимальность) или средней (Q-оптимальность) дисперсии предсказания значений отклика в заданной области факторного пространства; максимальной точности оценки координат экстремума и др. Все эти критерии определяются главным образом строением и свойствами информационной матрицы (матрицы Фишера) М = 1/N (X X) или, что то же самое, матрицы М" .
Одним из наиболее сильных был признан критерий / -оптимальности планов [14,102]. / -оптимальными являются планы, имеющие максимальное значение определителя матрицы М или минимальное — матрицы М . Для выбора планов, отвечающих этому критерию, в работах [99] было введено понятие непрерывного плана. В дальнейшем было показано, что при некоторых ограничениях почти всегда можно составить непрерывные D оптимальные планы с конечным числом точек. Были решены задачи аппроксимации непрерывных / -оптимальных планов точными планами, содержащими разумное число опытов и в то же время возможно меньше отличающимися от непрерывных планов по -оптимальности.
