Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние проблемы автосинхронизации 11
1.1. Введение 11
1.2. Пример исследования захвата фазы (авторезонанса) в динамической системе 12
1.3. Авторезонанс в системах с одной степенью свободы . 20
1.4. Авторезонанс в многомерных системах 32
1.5. Выводы к главе 1 48
Глава 2. Уравнение для солитона намагниченности в одноосном магнетике 51
Глава 3. Общая теория автосинхронизации солитона нелинейного уравнения Шредингера 61
3.1. Введение 61
3.2. Основные уравнения 64
3.3. Необходимые и достаточные условия захвата фазы 70
3.4. Выводы к главе 3 76
Глава 4. Особенности авторезонансного управления солитоном намагниченности 78
4.1. Введение 78
4.2. Необходимая конфигурация магнитных полей 79
4.3. Условия захвата фазы 82
4.4. Управление солитоном 85
4.5. Диссипация 86
4.6. Выводы к главе 4 88
Глава 5. Управление скоростью и амплитудой солитона . 91
5.1. Введение 91
5.2. Основные уравнения 92
5.3. Приближение двух связанных нелинейных маятников . 96
5.4. Качественный анализ модели связанных нелинейных маятников 101
5.5. Численное моделирование 106
5.6. Выводы к главе 5 109
Заключение 113
Литература 116
- Пример исследования захвата фазы (авторезонанса) в динамической системе
- Необходимые и достаточные условия захвата фазы
- Необходимая конфигурация магнитных полей
- Приближение двух связанных нелинейных маятников
Введение к работе
Актуальность работы. Колебательные процессы занимают в современной физике и технике весьма важное значение. Почти в любой области этих наук колебания играют ту или иную роль, не говоря уже о том, что ряд областей физики и техники всецело базируется на колебательных явлениях. Это относится, например, к теории электромагнитных колебаний, включающей в себя и оптику, микроэлектронике и радиотехнике.
Благодаря такой востребованности, математический аппарат теории колебаний и соответствующие физические представления активно развиваются вот уже несколько столетий. Особенно это относится к так называемым линейным задачам. В результате мы имеем средства для исчерпывающего исследования практически любой линейной задачи.
Примерно с конца девятнадцатого века и, особенно, в середине двадцатого, пристальное внимание ученых обратилось на нелинейные проблемы. Сейчас все больше утверждается мнение о нелинейности окружающего нас мира. Здесь, однако, пришлось столкнуться с трудной проблемой: чрезвычайное разнообразие нелинейных явлений, происходящее из отсутствия такого фундаментального упорядочивающего принципа, как принцип суперпозиции. В попытке упорядочить имеющиеся факты о нелинейных явлениях природы к настоящему моменту удалось создать ряд новых теорий (например, теория солитонов, теория динамического хаоса), а также существенно развить классические разделы физики. Последнее относится и к теории колебаний, из которой мы теперь можем выделить теорию нелинейных колебаний. Несмотря на все эти достижения, нелинейная наука еще далека от завершения.
В центре данной диссертационной работы находится автосинхро- низация (в другой терминологии, авторезонанс, автофазировка) - относительно новое нелинейное явление, имеющее тот же порядок универсальности, что и широко известный нелинейный резонанс. При определенных условиях автофазировка может произойти в большинстве нелинейных колебательных систем. Как будет показано в работе, в состоянии автофазировки нелинейная система становится эффективно управляемой при помощи внешнего воздействия. Для нелинейных систем вопрос управления особенно сложен (ввиду сложности таких систем) и актуален благодаря их особым свойствам и распространенности.
Несмотря на то, что первые работы по автосинхронизации были сделаны в сороковых годах двадцатого века, описание этого явления до сих пор довольно трудно найти в учебниках. Так, в ставшей уже классической книге [1] термин авторезонанс хотя и употребляется, но в другом смысле. Между тем, авторезонанс можно использовать не только для управления нелинейными системами, но и как более эффективный вариант нелинейного резонанса, позволяющий передавать энергию колебательной системе более экономичным способом, что, безусловно, может найти применения в технике.
В данной работе рассматривается вопрос об автосинхронизации в распределенных системах, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных. Мы исследуем авторезонанс в нелинейном уравнении Шредингера (НУШ) - широко распространенной модели, описывающей нелинейные волны в магнетиках, оптических системах, плазме и многих других системах. Уравнение НУШ имеет решения в виде локализованных волн - солитонов. Такая волна называется солитоном огибающей, так как зачастую уравнение НУШ описывает не саму волну, а огибающую волнового пакета, распространяющегося в некоторой среде. Для модели НУШ будет предложен авторезонансный метод управ- ления амплитудой и скоростью солитона огибающей. Данный метод позволяет управлять солитоном огибающей в магнитоупорядоченной среде.
В современной физике магнитных явлений большую роль играют нелинейные эффекты и, в частности, связанные с ними локализованные структуры, такие как солитоны, которые интенсивно исследуются в настоящее время как экспериментально, так и теоретически [2-4]. В связи с этим задача генерации таких структур с заданными амплитудно-фазовыми характеристиками и последующее управление их динамикой представляет особый интерес. Актуальной является также разработка принципиально новых методов управления такими структурами, особенно в связи с активными экспериментальными исследованиями свойств солитонов в магнитных пленках [5, 6].
Цель диссертационной работы состояла в построении теории авторезонансного управления амплитудой и скоростью солитона намагниченности в одноосных ферромагнетиках с анизотропией типа "легкая ось". Были поставлены следующие конкретные задачи:
Построить адиабатическую теорию захвата фазы (автосинхронизации) солитона внешней волновой накачкой с медленно изменяющимися параметрами в рамках модели нелинейного уравнения Шредингера.
Сформулировать условия управления малоамплитудным солитоном намагниченности и возможные сценарии такого управления.
Провести численное моделирование процесса управления солитоном намагниченности.
Научная новизна. Впервые показано, что солитонами в НУШ мож- но эффективно управлять при помощи внешнего возмущения ("накачки") с использованием эффекта автосинхронизации. Процесс управления позволяет изменять как амплитуду солитона, так и его скорость, то есть контролировать все параметры солитона. Предложена новая методика управления солитоном намагниченности в одноосном магнетике, возможные сценарии такого управления и необходимые конфигурации полей накачки.
Практическая значимость. Авторезонансное управление солитоном намагниченности может найти применение в реализации устройств на базе магнитных пленок, например, предназначенных для передачи и хранения информации. Также результаты работы могут найти применение при создании солитонных линий связи на оптических волокнах. В частности, в таких устройствах остро стоит проблема усиления солитонных импульсов без искажения их формы. Существующие методы усиления приводят (в отличие от разработанного нами) к искажению формы импульсов и, в результате, к появлению шумов.
Соответствие диссертации Паспорту научной специальности. Содержание диссертации соответствует формуле и пункту 1 Паспорта специальности 01.04.11 - физика магнитных явлений: "Разработка теоретических моделей, объясняющих взаимосвязь магнитных свойств веществ с их электронной и атомной структурой, природу их магнитного состояния, характер атомной и доменной магнитных структур, изменение магнитного состояния и магнитных свойств под влиянием различных внешних воздействий".
На защиту выносятся следующие результаты и положения:
1. Адиабатическая теория управления солитоном огибающих волн в рамках модели НУШ, основанная на эффекте автосинхронизации (авторезонанса).
Типы накачек, позволяющие осуществить авторезонансное управление солитоном и возможные сценарии такого управления.
Пороговые значения амплитуды и фазы накачки, достаточные для управления солитоном.
Конфигурации внешних магнитных полей накачки и их критические значения, позволяющие управлять амплитудой солитона намагниченности в одноосном магнетике.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались и обсуждались на Международной конференции "Комт плексный анализ и дифференциальные уравнения" (Уфа, 2006); Международной конференции "Frontiers of nonlinear Physics" (Нижний Новгород, 2007); Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (Уфа, 2008); Международной конференции "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems" (Италия, 2009); Международной конференции "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives" (Черноголовка, 2009); Российской конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (Уфа, 2009).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [7-9], входящих в перечень ВАК, 1 статья в сборниках трудов конференций [11] и 1 тезисы докладов [10].
Личный вклад автора. Результаты, приведенные в данной диссертационной работе, были получены при непосредственном участии автора. Все численные расчеты, а также разработка теории двухпара-метрического управления солитоном (изложенная в главе 5) были выполнены автором диссертации самостоятельно. Результаты, изложенные в главе 3, получены совместно с Е. М. Масловым. В частности, в указанной главе в параграфе 3.3 использовался метод, впервые опубликованный в работе [12].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
Во введении рассматривается пример исследования автосинхронизации в простейшей модели колебательной системы с кубической нелинейностью и внешним возбуждением. Здесь вводятся необходимые в дальнейшем понятия и иллюстрируются некоторые свойства захвата фазы. Далее во введении проводится обзор литературы по вопросам автофазировки, где мы рассматриваем свойства и разновидности явлений захвата фазы в одномерных и многомерных системах. Из обзора литературы следует, что исследование авторезонансных явлений в нелинейных волновых системах является актуальным направлением исследований современной теории нелинейных колебаний. Важной моделью таких систем является нелинейное уравнение Шредингера. Мы выясняем, что задача управления солитоном НУШ, решаемая в данной диссертационной работе, в литературе ранее не рассматривалась.
Во второй главе мы рассматриваем квазиодномерный магнетик с анизотропией типа легкая ось как пример физической системы, динамика которой при некоторых условиях описывается возмущенным НУШ. Здесь мы выясняем, каким образом связаны между собой внешнее магнитное поле, действующее на магнетик, и возмущение в НУШ.
В главе 3 рассматривается формальная задача управления амплитудой солитона НУШ при помощи внешней накачки в виде плоской волны с медленно меняющейся частотой. В этой главе получены уравнения, описывающие динамику параметров солитона. В приближении нелинейного маятника исследованы необходимые и достаточные условия захвата фазы солитона внешним возмущением.
В главе 4 развитая в предыдущей главе теория применяется к соли-тону в магнетике. Здесь выясняется вопрос о том, каким должно быть внешнее магнитное поле в рамках модели магнетика, рассмотренной в главе 2, чтобы с его помощью можно было управлять амплитудой солитона намагниченности.
Пример исследования захвата фазы (авторезонанса) в динамической системе
В этом разделе мы рассмотрим простую колебательную систему - осциллятор Дюффинга с внешней накачкой. На этом примере будут проиллюстрированы основные особенности авторезонанса, а также один из возможных методов исследования таких задач. Рассмотрим механическую систему с гамильтонианом Это нелинейный осциллятор с квазипериодической внешней силой, частота которой П() медленно изменяется со временем. Линейная собственная частота этого осциллятора равна единице. В частности, значение Р = —1/6 соответствует модели обычного нелинейного маятника q -f sin q = 0 при малых колебаниях. Будем рассматривать случай первичного (главного) резонанса, когда Г2 РИ 1. Гамильтониану (1.1) соответствует уравнение движения: образом переменные действие-угол [13, 14]: Отметим, что действие связано с амплитудой колебаний маятника соотношением I = а2/2. В этих переменных гамильтониан примет вид При є = 0 движение системы описывается уравнениями где J0, 90 - начальные значения действия и утла соответственно. Таким образом, в отсутствие возмущения действие сохраняется, а угол линейно меняется со временем.
При включении слабого возмущения действие начнет медленно изменяться, а угловая переменная по-прежнему будет быстро меняться со временем. Усредняя гамильтониан (1.3) по быстрой переменной 0, получим Выражение cos(0 — тр) меняется медленно, так как, по предположению, в нулевом порядке частота возмущения совпадает с линейной собственной частотой осциллятора. По этой причине указанное слагаемое оставлено в усредненном гамильтониане. Другое слагаемое вида cos(0 + тр) меняется со временем быстро и поэтому исчезает при усреднении. Из усредненного гамильтониана (1.4) следуют так называемые уравнения главного резонанса: г Ї1 N 3 є (1-5) 0=1- J2(t) + -61 r= COS 0, где введена новая переменная ф = в — тр и учтено, что ip = Q. Из полученных уравнений видно, что нелинейная собственная частота осциллятора в нулевом порядке по є зависит от действия следующим образом ш{1) « 1 + /31. (1.6) Частота, таким образом, увеличивается с ростом энергии колебаний, если /3 0 и уменьшается в противном случае. Так как для нелинейного маятника /3 0, то его частота должна уменьшаться с ростом амплитуды колебаний, что и наблюдается в действительности. Для определенности будем предполагать, что @ отрицательно. Мы рассмотрим два варианта начальных условий для уравнений главного резонанса: прохождение резонанса, старт из резонанса. В обоих случаях будем рассматривать изначально невозбужденный или слабовозбужденный осциллятор: /(0) 0. Будем предполагать, что частота накачки меняется со временем линейно: Q(t) = l-ctt, а 1. (1.7) При прохождении резонанса начальный момент времени to должен быть отрицательным: t0 0. В момент t = 0 частота накачки совпадает с собственной частотой системы. Так как энергия колебаний в начальный момент времени мала (/ С 1), то на некотором промежутке времени tv t t t слагаемым /3/ можно пренебречь по сравнению с т- у cos ф. Для этого должно быть выполнено условие є тЧ2/3, -, или, оценивая по порядку величины 1 0.13Н2/3. (1.8) Уравнения (1.5) в этом случае можно переписать в виде одного комплексного линейного уравнения (аналогичная процедура возможна и для нелинейной системы, но нас интересует лишь линейный случай). Введем для этого комплексную переменную Z = \/2Іеіф. (1.9) Дифференцируя Z по t, используя (1.5) и определения (1.7) и (1.9), получим уравнение ге Z-iatZ = -—. 2 Аналогичное уравнение было исследовано в работе [15], которой мы и будем следовать в дальнейшем изложении. Введем новую независимую переменную г = л/at, тогда последнее уравнение примет вид ZT-irZ = ifj,} (1.10) где р, = -275- Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию Z(TQ) = ZQ = \/2ІоЄгфо, можно записать следующим образом: т Z{T) = Z0e T2 + ifj,eiT2/2 \e-iT 2dr . (1.11) То
Интеграл в (1.11) можно выразить через вспомогательные функции f(z) и g(z), ассоциированные с интегралами френеля C(z) и S(z) [16]: Z(r) = Z0 е - + млЯ (/ + гд)Ы -(/ + )м е 2" (1.12) Для больших аргументов известны асимптотические выражения [16] f(z) rsj i/(7rz), g(z) l/(7T2z3). При этом имеем / g, откуда можно получить оценку (по порядку величины) т 3, так как g(3/-s/ir) pa 0.1/(3/.\/7г). Подставляя асимптотические выражения / и д в (1.12), получим гО-НА + ве - о = 20- . (1.13) Это выражение справедливо если, во-первых, выполнено ограничение \т\ 3, обусловленное применением асимптотических выражений, и, во-вторых, выполнено условие (1.8), позволяющее пренебречь нелинейным сдвигом частоты. Пусть ть достаточно велико и \Z0\ 0, тогда из (1.13) имеем 2 2r2" l } При д 0 из того же уравнения получаем ф mod 27Г & 0, в противном случае ф mod 27г « тт. Подставляя соотношение (1.14) в (1.8), получим \т\ 21//11 1-1 . Следовательно, можно определить т ь = — max(3, 2yLicr_1/3) как момент окончания начальной стадии захвата фазы. Интервал т0 т т можно назвать линейной стадией захвата фазы.
Эволюцию Z{T) на комплексной плоскости можно представить в виде суперпозиции вращения по окружности радиуса \Q\ и поступательного движения вдоль вещественной оси. Отсюда следует, что если Q /Vrl то фаза ф = axgZ монотонно уменьшается с уменьшением \т\. В противном случае фаза ф mod 27г совершает финитные колебания уменьшающейся амплитуды, то есть происходит захват фазы. Момент захвата фазы определяется соотношением \Q\ = ді/т, то есть и Tphaselock і — !п. / і \Z0-IJL/TQ\ При г Tinit условие (1.8) нарушается и нелинейным сдвигом частоты осциллятора пренебрегать нельзя. Мы видели, что линейная динамика системы приводит к захвату фазы. Перейдем теперь к вопросу, сохранится ли захват фазы на нелинейной стадии эволюции. Предположим сначала, что величина 1 — ft в (1.5) имеет некоторое постоянное значение: 1—ft = % Тогда уравнения главного резонанса являются автономными. Периодические траектории в фазовом пространстве (/, ф) существуют только если существует стационарная точка, в которой I = ф = 0. Координаты этой точки определяются уравнениями ф0 = тгп} х + дГо - Є щ- = 0, п = 0,±1,... (1.15) Эта стационарная точка будет устойчивой, если (Зе cos0o O. (1.16) Если адиабатически медленно изменять значение % со временем, то точка, определяемая уравнениями (1.15), начнет перемещаться по фазовому пространству и при выполнении некоторых условий траектория системы по-прежнему будет совершать колебания вокруг этой подвижной точки. Зависимость IQ ОТ расстройки частот х, полученная
Необходимые и достаточные условия захвата фазы
В частности, если в начальный момент Аси равна нулю или достаточно мала, Atu(t — 0) 0(є), то согласно (3.27) Отсюда видно, что знак Л может быть любым в зависимости от начальных условий. Общие свойства решений уравнения (3.29) при Л 0 в контексте задачи о захвате фазы СГ-бризера были проанализированы на фазовой плоскости в работе [85]. Здесь мы рассмотрим поведение решений при произвольных знаках Ли/?. Фазовые траектории уравнения (3.29) определяются первым интегралом (энергией) Легко видеть, что при /3/А 1, на фазовой плоскости неподвижных точек нет, все фазовые траектории неограниченны, а соответствующие решения быстро растут со временем: 8{т) = — /?т2/2+0(т) (г — ±оо). Поэтому, если частота накачки меняется слишком быстро или амплитуда накачки мала, т.е. отношение а/є = (3 достаточно велико, то захват фазы невозможен. Если же /3 достаточно мало, так что то на фазовом портрете возникает последовательность неподвижных точек, устойчивых (центры) и неустойчивых (седла). Из каждого седла выходит сепаратрисная петля, охватывающая соседний центр. Замкнутые траектории внутри петли соответствуют периодическим решениям, то есть режиму автофазировки. Для таких решений амплитуда солито-на будет в среднем расти, если /?/А 0, или убывать, если /?/А 0. В этом можно убедиться, подставив в уравнение (3.24) sin 8 из уравнения (3.29) и усреднив (3.24) по колебаниям 8(t). Неравенство (3.33) является необходимым, но не достаточным условием захвата. Необходимо сепаратрисных петель. Обозначим через (1) и 8$ соответственно минимальное и максимальное значения 8 на ті-ой сепаратрисной петле, и пусть 8 - значение в устойчивой точке (центре) внутри этой петли: 8 8 8$. Тогда для периодичности 8(т) необходимо и достаточно, чтобы для некоторого п выполнялись неравенства где Е и EJ - значения первого интеграла на га-ой сепаратрисной петле и в соответствующем центре: Е& = У(б ) = V(8 ), Е = V(8 ). С учетом того, что А в нашей задаче может иметь любой знак, величины 8$ (г = 0,1,2; п = О, ±1, ±2,...) определяются теперь следующим образом: (а) при (3 О, Л О лежащий в интервале 8n-i 8 8 (здесь и ниже arcsin понимается в смысле главного значения: —7г/2 arcsin(/3/A) = тг/2); (Ь) при/3 О, А 0 {?) есть корень уравнения (3.37), лежащий в интервале 8 8 бп+ъ (с) при /3 О, А О 5ft есть корень уравнения 5ft есть корень уравнения (3.40), лежащий в интервале 5ft 6ft Фи-1- Неравенства (3.33)-(3.35) являются необходимыми и достаточными условиями захвата фазы солитона НУШ внешним возмущением.
Эти неравенства означают, что фазовый портрет уравнения (3.29) имеет сепаратрисные петли, и что начальная точка ((0), 8Т(0)) лежит в одной из этих петель. При \(3/Х\ —» 0 сепаратрисные петли расширяются, их размер вдоль оси 5 стремится к 27г. При /?/А — 1 петли стягиваются к точкам sgn (/З/А) 7г/2 + 2п7г. Предположим, что начальная точка находится внутри п-ой сепаратрисной петли. Будем теперь медленно увеличивать скорость изменения частоты накачки а (либо уменьшать амплитуду накачки є). Критическое значение /3 = а/є, при котором произойдет срыв захвата, получается когда стягивающаяся петля пересечет начальную точку. Таким образом, /3«. находится как корень уравнения Если Au(t = 0) = о(є1І2), то в силу (3.25) 6Т(0) тоже мала, и в левой части уравнения (3.42) можно пренебречь кинетическим членом. В этом случае (3.42) приобретает вид уравнения (3.37), если А 0, или уравнения (3.40), если А 0, где 6 = 5(0). Эти уравнения теперь определяет в неявной форме per /А как функцию начальной разности фаз 5(0). Пусть, например, Acu(t = 0) = 0, а начальная разность фаз 6(0) рас пределена в интервале от 0 до 27г. Чтобы построить в этом интервале зависимость ра-/А от 6(0) для всех четырех рассмотренных выше комбинаций знаков (3 и Л, необходимо в каждом случае соответствующим образом выбирать в уравнениях (3.37) и (3.40) число п (номер сепара-трисной петли, связанной с рассматриваемым интервалом). А именно, в случае (а) в уравнении (3.37) следует брать п = 0 (0 6(0) 7г) и п — 1 (7Г 6(0) 27г), а в случае (Ъ) п = -1 (0 6(0) 7г) и п = 0 (тг 6(0) 27г). В случае (с) в уравнении (3.40) полагаем п — 1 (0 6(0) 27г), а в случае (d) п = 0 (0 6(0) = 27г). При этом из уравнений (3.37), (3.40) видно, что в случаях (а) и (Ь) при 6(0) — тг и в случаях (с) и (d) при 6(0) = 0, 27Г захват фазы никогда не происходит, так как в этих точках (Зсг/Х = 0. Напротив, в случаях (а) и (d) при 6(0) = 7г/2 и в случаях (Ь) и (с) при 6(0) = Ъж/2 захват происходит при любых \(3/\\ 1. Графики зависимости /?сг/А от 8(0), соответствующие случаям (a)-(d), представлены на рис. 3.3. Захвату фазы отвечают значения /3/Л ниже сплошных кривых.
На этом же рисунке символами Л изображены значения /?ст/А, найденные с помощью численного интегрирования НУШ (3.1). Для определения этих значений в численном эксперименте фиксировался параметр а и подбиралось такое є, при котором численное решение нелинейного уравнения Шредингера переходит в режим автосинхронизации (критическое значение є). Из рис. 3.3 видно, что, несмотря на определенную грубость приближения нелинейного маятника, теоретические результаты достаточно хорошо согласзгются с результатами численного интегрирования НУШ для всех случаев (a)-(d).
Необходимая конфигурация магнитных полей
В главе 2 мы получили уравнение НУШ (2.16) для огибающей нелинейной спиновой волны в легкоосном магнетике: где введено обозначение Как мы выяснили в предыдущей главе, управление амплитудой солито-на уравнения (4.1) возможно при возмущении в виде плоской волны с медленно меняющейся частотой. Для того, чтобы возмущеннее/ имело вид простой волны необходимо потребовать Тогда фаза и амплитуда возмущения (4.3) будут иметь вид Мы видим, что эффективная частота возмущения определяется частотой v циркулярно поляризованной компоненты внешнего магнитного поля и амплитудой h его продольной (вдоль оси анизотропии) компоненты: Амплитуда возмущения определяется величиной поперечных компонент магнитного поля, откуда следует, во-первых, что поперечное поле для рассматриваемого способа управления солитоном необходимо (иначе в рамках нашей модели просто нет никакого возмущения) и, во-вторых, что эти компоненты должны быть малы. Последнее условие в главе 2 имело вид /І С X 1, или в размерном виде ц = где H± - амплитуда поперечных компонент магнитного поля, определенная в (2.17), а М]_(0) - начальная амплитуда солитона. При постоянном во времени поперечном поле (у = 0) эффективная частота возмущения определяется лишь продольным полем: (4.6) QT = V2dh /dr 1. Медленное увеличение этого поля в режиме автосинхронизации приведет к увеличению амплитуды солитона. Такая конфигурация полей схематически изображена на рисунке 4.1. Если продольное поле hz постоянно, то управление осуществляется при помощи частоты вращения поперечных компонент магнитного поля.
В этом случае параметры возмущения таковы: Рис. 4.1. Конфигурация магнитных полей в некоторой фиксированной точке , соответствующая (4.6). Двойная стрелка показывает возможное направление изменения поля. Конфигурация полей, соответствующая этому случаю, изображена на рисунке (4.2). В этом случае для увеличения амплитуды солитона необходимо v О, при этом величина частоты \и\ должна медленно увеличиваться. Рис. 4.2. Конфигурация магнитных полей в некоторой фиксированной точке , соответствующая (4.7). Двойная стрелка показывает возможное направление изменения поля. Здесь необходимо напомнить, что, согласно (2.11), "магнитное поле" (3) h\ определено в системе координат, вращающейся с частотой Q.Q0JQ прецессии спинов в линейной спиновой волне. Это, однако, не меняет существенно описанной выше картины. Величина h\J соответствует магнитному полю Hj. = (#x, Ну), вращающемуся с частотой ш0(О,0 + v) в лабораторной системе координат. Для захвата фазы солитона внешней накачкой необходимо, во-первых, настроить возмущение (в начальный момент времени t — 0) в резонанс с нелинейной спиновой волной. В резонансе должны быть равны эффективная частота накачки (4.5) и собственная частота солитона ш — A2+v . Следовательно, параметры накачки h (0) и 1/(0) должны выбираться из условия где мы учли, что .А(О) = 1. В формуле (4.8) безразмерная скорость солитона (в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью) V связана с размерной скоростью V в лабораторной системе отсчета соотношением где к = к/lo - размерное (в см-1) волновое число.
Везде в дальнейшем штрихами помечены размерные значения физических величин. Если известны параметры hf\Qi) и (0), то магнитное поле накачки будет определяться по формуле (2.17). Из (4.8) следует (мы уже говорили об этом в предыдущем параграфе), что есть две возможности настроить возмущение в резонанс с солитоном. В первом случае мы можем "настроить" частоту циркулярно поляризованной компоненты магнитного поля в резонанс, выбирая
Приближение двух связанных нелинейных маятников
Полученная нами система уравнений сложна и определить условия захвата фазы непосредственно из нее затруднительно. Дальнейшее упрощение возможно если предположить, что система уже находится в состоянии захвата фазы. В этом случае мы несколько упростим уравнения при помощи метода многих масштабов, в результате получим систему уравнений для связанных нелинейных маятников. Эта система есть ни что иное как двумерное обобщение уравнения (1.19), к которому обычно сводятся задачи об авторезонансе в одномерных системах. Условия существования периодических решений этих уравнений можно рассматривать как необходимые для существования авторезонанса в исходной системе. Перепишем систему (5.20)-(5.23) в векторной форме где Будем использовать метод многих масштабов (см., например, [47]), введем два масштаба времени: То = t ("быстрое время") и Т\ = Jet ("медленное время"), тогда Вектор х будем искать в виде разложения по степеням Je\ Медленные величины Q и U будем представлять функциями от Ті. Предполагая линейную зависимость (5.5), получим: Здесь fi0 UQ, сні, a2 являются постоянными параметрами, причем величины а.{ считаются малыми порядка е. Вектор АСІ представим в виде следующего ряда: где выражения для коэффициентов ACli можно определить при помощи разложений (5.27), (5.28), (5.29) и определения АСІ: Здесь верхние индексы обозначают компоненты векторов в соответствии с обозначением компонент в векторех (5.27).
Так как компоненты А1А и АОУ по определению равны нулю, то соответствующие члены разложения (5.30) также равны нулю. Подставляя разложения (5.27), (5.30) в (5.25), придем к выражению откуда, собирая коэффициенты при одинаковых степенях є, получим следующую систему векторных уравнений Наша цель состоит в нахождении условий при которых возможен захват фазы солитона внешним возмущением. В рамках системы уравнений (5.34)-(5.36) это означает, что решения должны быть несекуляр-ными, т.е. они должны оставаться ограниченными с ростом быстрого времени Т0. Для нахождения условий, при которых такие решения возможны, будем использовать стандартную процедуру исключения секу-лярных составляющих [47]. Применительно к рассматриваемой задаче процедура будет выглядеть следующим образом. Рассмотрим уравнение следующего общего вида Интегрируя его по То, получим то есть функция В линейно растет со временем Т0. Если потребовать, чтобы величина В была несекулярной, т.е. ограниченной при То — со, то Л должна тождественно обращаться в нуль. Согласно второй паре компонент уравнения (5.34), имеют место соотношения откуда следует Первая пара уравнений (5.34) с учетом (5.31) дает Согласно (5.38), правые части этих выражений зависят только от медленного времени Т\. Таким образом, полученные уравнения имеют форму (5.37). При этом, несекулярные решения возможны только при выполнении условий л2 і т/2 При этом решения уравнений будут медленными функциями времени: $o = uPU фо = Фо(Т1). (5.40)
Отметим, что уравнения (5.39) являются условиями резонанса внешней волны с солитоном. При резонансе частота солитона совпадает с частотой накачки, а его скорость со скоростью одной компоненты волны накачки. Из (5.39) следует, что AQ И V0 являются константами. Таким образом, вектор х0 не зависит от То, то есть в резонансе выполнено D0Xo = 0. (5.41) Применим теперь оператор Di к уравнению (5.35), получим: DJXQ + DiDoXi = ДЛЯї. Величину Dix.i можно выразить из (5.36) следующим образом Axi = (х0) - Д)Х2 + АП2. (5.42) Тогда после подстановки получим
