Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор исследовательских работ в области оптимизации стратегии и параметров объектов технического сервиса 11
1.1 Обзор современного состояния теории и практики организации технического сервиса территориально распределенных лесозаготовительных машин 11
1.2 Состояние исследований по оценке надежности лесозаготовительных машин с учетом параметрических отказов 25
1.3 Состояние теории и практики по обоснованию типоразмеров и местоположения пунктов технического сервиса (ПТС) лесозаготовительных машин 30
1.4 Результаты анализа исследовательских работ, выводы и задачи исследования 38
2 Обоснование положений и стратегиий комплексной системы технической эксплуатации лесозаготовительных машин по их состоянию 41
2.1 Общие положения 41
2.2 Обоснование стратегии технической эксплуатации
2.3 Стратегия прогнозирования объема работ по капитальному ремонту лесозаготовительных машин и параметров пунктов по его проведению 55
2.4 Выводы 70
3 Разработка методики обоснования типоразмера птс и места ремонта лесозаготовительных машин, их узлов и агрегатов 72
3.1 Обоснование числа стендов (постов) по теории массового обслуживания систем замкнутого (закрытого) типа 72
3.2 Разработка методики оптимизации места ремонта объекта и числа стендов, постов для технического воздействия на объекты по минимуму суммарных затрат 77
3.3 Разработка математической модели оптимизации места ремонта объекта и числа стендов, постов для технических воздействий на объекты по минимуму суммарных затрат 87
3.4 Выводы 92
4 Разработка методик, математических моделей по обоснованию наступления и устранения параметрических отказов 93
4.1 Общие положения лесозаготовительных машин по их состоянию 45
4 4.2. Разработка методических положений по определению годового объема технических воздействий при наступлении предельного состояния эксплуатируемых объектов по техническому критерию 95
4.3 Разработка методических положений по определению годового объема технических воздействий по экономическому критерию предельного состояния 103
4.4 Методические положения по обоснованию допустимых износов
и момента предупредительных замен деталей машин 112
4.5 Выводы 116
5 Проведение экспериментальных исследований и реализация математических моделей на ПЭВМ 118
5.1 Общие положения 118
5.2 Характеристика объекта исследования 118
5.3 Методика сбора информации по фактическому количеству отказов. 120
5.4 Определение показателей долговечности деталей ЛЗМ 122
5.5 Обработка экспериментальных данных 132
5.6 Программное обеспечение реализации математических моделей наПВЭМ 135
5.7 Выводы 143
Выводы и рекомендации в целом по работе 144
Список использованных источников 146
- Состояние исследований по оценке надежности лесозаготовительных машин с учетом параметрических отказов
- Стратегия прогнозирования объема работ по капитальному ремонту лесозаготовительных машин и параметров пунктов по его проведению
- Разработка методики оптимизации места ремонта объекта и числа стендов, постов для технического воздействия на объекты по минимуму суммарных затрат
- Разработка методических положений по определению годового объема технических воздействий при наступлении предельного состояния эксплуатируемых объектов по техническому критерию
Введение к работе
Актуальность темы.
Эффективность лесозаготовительного производства зависит от технической готовности используемых машин и оборудования, а также от количественного значения параметров, определяющих технологическую производительность и экономичность их использования. Наиболее тесную связь между техническим состоянием машин, эксплуатационными затратами и затратами на поддержание их работоспособности обеспечивают системы технологической и технической эксплуатации, основанные на стратегиях технических воздействий по состоянию сопряжений эксплуатируемого объекта.
В этой связи оценка технического состояния элементов машин и определение вида и места проведения технического воздействия в соответствие с фактическим состоянием объекта является весьма актуальной задачей. Решение этой задачи неразрывно связано с совершенствованием и оптимизацией системы технического сервиса лесозаготовительных машин (ЛЗМ).
Уровень технической эксплуатации ЛЗМ определяет экономическую эффективность лесозаготовительного производства в целом. В себестоимости одного заготовленного кубометра древесины до 30% затрат приходится на техническую эксплуатацию машин и оборудования. Таким образом, одной из основных проблем повышения эффективности лесозаготовительного производства является снижение затрат, связанных с выявлением и устранением отказов ЛЗМ за счет повышения уровня их технической эксплуатации.
Для организации эффективной системы технического сервиса необходимы комплексные исследования по достоверной оперативной оценке фактического состояния сопряжений ЛЗМ, по обоснованию места и типоразмера ремонтного производства, а также решения комплекса задач по разработке методических подходов, стратегий, математических моделей технико-экономического обоснования постепенных параметрических отказов, профи-
7 лактических замен деталей, по обоснованию способа и места восстановления работоспособного состояния узлов и агрегатов ЛЗМ.
Цель работы: Повышение эффективности технической эксплуатации лесозаготовительных машин путем минимизации затрат, связанных с обеспечением их работоспособности, за счет совершенствования и внедрения системы технических воздействий с учетом технического состояния сопряжений и места ремонта машин.
Научная новизна работы
Разработана комплексная логическая схема определения и устранения параметрических отказов ЛЗМ, позволяющая повысить экономическую эффективность их использования.
Разработаны методика и математическая модель обоснования состояния параметрического отказа на примере двигателя лесотранспортнои машины, позволяющие исключить эксплуатацию ЛЗМ за пределами экономических критериев постепенных отказов.
Предложены методические положения по обоснованию допустимых износов и момента предупредительных (профилактических) замен деталей ЛЗМ, исключающих аварийные отказы машин и одновременно учитывающие экономическое обоснование параметрических отказов сопряжений ЛЗМ.
Обоснованы стратегии определения объемов ремонта по устранению функциональных (внезапных) и параметрических отказов, позволяющие повысить точность величины рассчитываемых объемов ремонтных работ за счет учета экономически обоснованных параметрических отказов.
Разработаны методические положения, математические модели по оптимизации места расположения и объемов ремонтного производства по устранению ресурсных отказов, позволяющие минимизировать транспортные расходы по доставке объектов ремонта и стоимости ремонтных работ.
Объекты исследований. Объектами исследований являются лесозаготовительные машины отечественного и зарубежного производства.
Предмет исследований. Система организации технического обслуживания и ремонта лесозаготовительной техники.
Методы исследований. В работе использованы методы теории надежности, методы теории восстановления, методы теории распределения ресурсов и оптимизации, вероятностно-статистические методы.
Значимость для теории и практики. Разработанная совокупность теоретических положений, математических моделей, методик позволяет решать вопросы повышения эффективности эксплуатации лесозаготовительных машин путем минимизации затрат, материальных потерь и возможных убытков при технической эксплуатации ЛЗМ за счет организации технических воздействий по фактическому техническому состоянию сопряжений и деталей машин, а также за счет оптимизации месторасположения и типоразмера ремонтного производства по восстановлению работоспособности машин и их агрегатов.
Разработанные теоретические и методические положения, математические модели развивают теорию организации эффективного технического сервиса лесозаготовительной техники в рыночных условиях, позволяют использовать результаты работы как эксплуатирующим и ремонтирующим технику предприятиям, так и заводам-изготовителям машин, а также научным организациям, занимающимся поиском путем повышения эффективности лесозаготовительного производства.
Результаты исследований, в первую очередь теоретических, могут быть использованы учебными заведениями при подготовке специалистов по менеджменту технического сервиса лесозаготовительной техники.
Основные положения, выносимые на защиту;
Комплексная логическая схема системы стратегий по определению и устранению ресурсных, в том числе параметрических, отказов ЛЗМ.
Совокупность методик, математических моделей, позволяющих: обосновывать состояние параметрического отказа сопряжения, узла или аг-
9 регата машины; определять момент профилактических замен и допустимых износов деталей с учетом фактических скоростей изнашивания в различных условиях эксплуатации ЛЗМ; уточнять объемы ремонтных работ по устранению функциональных и параметрических отказов, в том числе с использованием номограмм, актуальных для условий рядовой эксплуатации.
Математическая модель оптимизации месторасположения ремонтного производства, позволяющая минимизировать транспортные расходы по доставке объектов ремонта и стоимости ремонтных работ.
Стратегия обоснования оптимального объема ремонтного производства, с использованием теории массового обслуживания, а также с учетом момента наступления предельного состояния объектов и стоимости выполнения ремонтных работ и конкретизацией номенклатуры показателей оценки ремонтного производства разного типоразмера.
Выводы и рекомендации по практическому применению результатов диссертационной работы.
Обоснованность и достоверность результатов исследований. Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждается используемыми научными методами исследования, применяемыми в теории надежности и восстановления, в теории распределения ресурсов и оптимизации, вероятностно-статистическими методами; подтверждается практическим опытом.
Апробация работы. Основные положения работы обсуждались на конференциях студентов и аспирантов ПетрГУ в 2004 и 2005 гг., были представлены на вторую Всероссийскую научно-техническую конференцию аспирантов в Уральский государственный лесотехнический университет (2006г. г. Екатеринбург); на восьмую научно-техническую международную Интернет-конференцию «Лес-2007» (2007г. г. Брянск), рассматривались и обсуждались на заседаниях кафедры технологии металлов и ремонта и расширенных семинарах лесоинженерного факультета ПетрГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 трудов, в том числе 4 публикации без соавторов, одна работа опубликована в издании, предусмотренном ВАКом, 4 публикации в виде материалов и одна в виде тезисов докладов научных конференций. Личное участие в большинстве работ, опубликованных в соавторстве, не менее 50%.
Реализация работы. Основные результаты диссертационной работы в виде рекомендаций, методик переданы для внедрения в отдельные лесозаготовительные предприятия АХК «Кареллеспром», внедрены в учебный процесс кафедры технологии металлов и ремонта Петрозаводского государственного университета.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, основных выводов и рекомендаций, списка использованных источников, приложений. Общий объем работы 160 страниц, в том числе 27 рисунков,^ таблиц. Список использованных источников составляет 92 наименования.
Состояние исследований по оценке надежности лесозаготовительных машин с учетом параметрических отказов
Технический сервис следует рассматривать как элемент комплекса мер по обеспечению высокого уровня эксплуатационной надёжности машин. Этот вопрос рассмотрен в работах Николаева С.Н. [11], [12].
В число важнейших потребностей конечных пользователей (владельцев) машин входят: - обеспечение высокой производительности техники за счет максимально возможного сокращения числа остановок машины по техническим причинам и простоев, обусловленных этими остановками; - обеспечение высокой прибыли за счет максимально возможного сокращения денежных затрат, обусловленных мерами по сокращению числа остановок машины по техническим причинам и простоев, вызывающих эти остановки; - возможность не нарушать жестких сроков договоров (контрактов) с заказчиками вследствие отказов машин; - возможность длительной эксплуатации техники при минимальной степени ухудшения эксплуатационных параметров машины (в том числе производительности) по мере увеличения их срока эксплуатации; - возможность работы без стрессов вследствие отказа техники; - возможность продажи машин после определенной наработки по существенной цене.
Степень удовлетворения перечисленных требований в значительной степени зависит от показателей надежности изготавливаемых машин, проявляемых в эксплуатации. При этом под надежностью машины понимается ее способность сохранять работоспособность в течение определенного промежутка времени; под нарушением работоспособности машины - остановка работы вследствие поломки детали (агрегата) или невозможности ее дальнейшей эксплуатации вследствие достижения предельного состояния агрегата (машины) по признакам ухудшения технического состояния, безопасности, качества, экономичности. Уровень работоспособности может быть измерен.
Обеспечение надежности требует ресурсов на стадии проектирования, производства и эксплуатации машин. Величина этих ресурсов сказывается на цене машины и затратах на ее эксплуатацию. Величина затрат на эксплуатацию машины (в том числе технический сервис) регламентируется сметными ценами на выполняемые пользователями машин работы. В составе этих затрат различают потери из-за простоев вследствие нарушения работоспособно сти техники, которые могут быть соизмеримы с прямыми и накладными расходами. Некоторые вопросы определения цен на эксплуатацию машин рассмотрены в статье [12].
Важной задачей является достижение требуемого уровня эксплуатационной надежности при минимальных затратах ресурсов при разработке, производстве и эксплуатации. Соответственно первые два вида затрат сказываются на себестоимости изготовления машин. Таким образом, чем меньше нарушений работоспособности машины и затрат на обеспечение таких результатов, тем выше удовлетворенность клиента приобретаемой машиной, выше ценность машины как товара и ее конкурентоспособность.
В передовой мировой практике используют ряд показателей эксплуатационной надежности с привязкой к определенной наработке машин. Обобщенные показатели: - коэффициент технической готовности Т а KTT=J—f —, (1.5) 1 раб "" рем где Траб - время работы машины, ч. Трем - время работы машины, приходящееся на плановое время её использования, ч. - коэффициент технического использования Т Ктг=т ,тРаб,т (I-6) 1 раб + рем "+" 1 ТО Тто - суммарное время технических обслуживании, приходящееся на плановое время работы машины, ч; - удельные годовые трудозатраты Уп на техническое обслуживание, диагностирование и текущие ремонты, отнесенные к часу наработки; экономи чески целесообразный срок службы машины, соответствующий минимуму среднегодовых накопленных затрат на эксплуатацию машины, отнесенных к часу ее наработки, машино-ч (год); - средние удельные денежные затраты Уда на техническое обслуживание, диагностирование и текущий ремонт за определенный период времени, отне сенные к часу наработки; - годовая наработка машины Нг, машино-ч. Показатели группы свойств А: - среднее время между остановками машины из-за ремонтов Тор, ч; - средняя наработка на отказ машины Тот, машино-ч; - средний ресурс отдельных агрегатов T , машино-ч; - гамма-процентный ресурс отдельных агрегатов TYp.a, машино-ч; - назначенный ресурс отдельных агрегатов Т„р а, машино-ч; - средний ресурс отдельных быстроизнашивающихся частей Тсрл, ма шино-ч.
Показатели группы свойств Б: среднее время одного ремонта Трі, ч; - средняя трудоемкость снятия и установки отдельных агрегатов при текущем ремонте машин Тсу.а, ч; средняя трудоемкость снятия и установки отдельных быстроизнашивающихся частей Тсу.ч, ч.
Лучшие значения показателей эксплуатационной надежности по сложным машинам, достигнутые в передовой практике: Ктг = 0,85...0,9; Top = 60...120 ч; Тр! = 3...6 ч; Ута = 0,25...0,5 чел.-ч/машино-ч. Российские предприятия большинство из перечисленных показателей эксплуатационной надежности машин не планируют и не оценивают.
Изменение качества сервиса от "низкого" до "высокого" уровня может улучшить значения показателей свойств группы А до 70...80%, а значения показателей свойств группы Б в 10 раз и более.
Стратегия прогнозирования объема работ по капитальному ремонту лесозаготовительных машин и параметров пунктов по его проведению
Применительно ко всему парку лесозаготовительных машин можно выделить следующие стратегии ТО и ремонта.
Стратегия 1. Восстановление объектов системы проводятся в заранее назначенные календарные моменты времени по результатам диагностики и в моменты самостоятельного внезапного отказа. Стратегия 2. Восстановление системы проводится либо в момент внезапного (аварийного) возникновения (проявления) отказа, либо в заранее определённые календарные моменты времени.
Планирование предварительных проверок (диагностики), определяющих очерёдность и объёмы ТО и Р, на основе баланса стоимости проверок и потерь от необнаружения неисправности системы может быть выражено следующей целевой функцией [84]: оо к + 1 М[Пэ]= 2 J{C1(k + l) + C2(tk + 1-x)}dF(x), (2.11) к = 0 t, к где М[ПЭ] - полное ожидание потерь, руб; F(x) - распределение времени до первой неисправности системы; Cj - стоимость проверки (диагностики), руб; С2 - стоимость пребывания системы в неисправном состоянии в течении часа, руб/час; к, к + 1 - номер проверки; (tk+i - х) - время между «к+1»-й проверкой и возникшим аварийным отказом, час; tk - время «к»-й проверки, час.
Схема алгоритма управления эксплуатационной эффективностью системы ЛЗМ определяется фактической информацией о переходах по состояниям процесса, результатами расчёта показателей, характеристиками состояний системы ЛЗМ и эффективностью лесозаготовительного процесса.
Стратегия прогнозирования объема работ по капитальному ремонту лесозаготовительных машин и параметров пунктов по его проведению
Ремонтное производство в нашей стране, в лесозаготовительной отрасли непрерывно изменяется. В этих условиях большое значение имеют вопросы по оценке эффективности ремонтного предприятия. Основной задачей при оценке деятельности мастерской или завода является определение степени технического совершенства. Последняя зависит от многих факторов, к числу которых можно отнести: техническую оснащенность, уровень профессиональной подготовки производственного коллектива, условия труда, соблюдение пропорцио-нальностей между производительностью труда и уровнем заработной платы, между мощностью предприятия и его программой и т. д. Поэтому систему учета для оценки ремонтных предприятий (производств, фирм) следует рассматривать, охватывая совокупность технико-экономических вопросов по ремонту машин, агрегатов и деталей.
Основными элементами, влияющими на техническое совершенство ремонтного производства, являются: исполнитель работы (рабочий-ремонтник), объект ремонта (полнокомплектная машина, агрегат, узел, деталь) и ремонтное предприятие (рис.2.2).
Основные элементы совершенствования ремонтного производства В настоящее время ремонтная база может включать в себя различные ремонтные производства как по мощности, степени специализации, техническому совершенству.
Показатели учета и оценки могут быть общими для всех типов ремонтного производства и частными, которые характеризуют специфику каждого из них.
Необходимо различать виды ремонтного производства и соответственно применять систему показателей их оценки.
Разработка методики оптимизации места ремонта объекта и числа стендов, постов для технического воздействия на объекты по минимуму суммарных затрат
Наиболее часто количество постов или стендов для выполнения соответствующего вида ремонтных работ определяется по годовой трудоемкости ремонта и годовому фонду рабочего времени поста. Такой расчет применим при равномерной загрузке стендов и постов. На практике моменты поступления заявок на выполнение ремонтных работ носят случайный характер, случайна и продолжительность ремонта. В связи с этим процесс работы объектов участков ремонта ПТС протекает неритмично: в потоке заявок образуются местные сгущения и разряжения. Сгущения могут привести к отказу в обслуживании, разряжения - к непроизводственным простоям постов или стендов.
Таким образом, существует задача определения оптимального количества постов ремонта с учетом случайного характера возникновения отказов определенного парка ЛЗМ, эксплуатируемых на конкретной территории, обслуживаемой ПТС.
Для решения данной задачи необходимо использование положений теории оптимизации, теории вероятностей, теории надежности и формул теории замкнутых систем массового обслуживания [30].
Методика расчета оптимального количества постов или стендов
Необоснованно большое количество средств ремонта увеличивает веро ятность их простоя в ожидании заявок при одновременном уменьшении времени ожидания в очереди на ремонт объектов технических воздействий. Заниженное число стендов, постов наоборот создает условия увеличения экономических потерь от простоя ЛЗМ при уменьшении потерь от простоя самих технических средств ремонта.
Оптимальное число постов, стендов зоны текущего ремонта (ТР) и участков по ремонту узлов, агрегатов всех систем ЛЗМ, например, в масштабе предприятия или района определяется минимальными потерями убытками от простоя ЛЗМ и средств ремонта.
Функция минимизации экономических потерь имеет вид: W = Z (Ni+ А Ц) -+ min, (3.1) где W - суммарные экономические потери (убытки) от простоя ЛЗМ и средств ремонта, руб.; Z - экономические потери от простоя поста, стенда і-го вида, руб.; Nj - количество простаивающих стендов, постов і-го вида; Mj - количество простаивающих ЛЗМ j-го вида; А - отношение величин экономических потерь от простоя одной ЛЗМ к потерям от простоя одного средства ремонта: A = , (3.2) где Zj - экономические потери от простоя одной ЛЗМ j-го вида, руб.
Количество простаивающих ЛЗМ и средств их ремонта определяется в соответствии с выражениями: Ni=NfpK-(N-K); (3.3) м I K=N+1 1V1 Mj= EPK (K-N), (3.4) где M - максимально возможное количество ЛЗМ (объектов ремонта), одновременно требующих ремонтных воздействий; N - количество постов, стендов (средств ремонта); Рк - вероятность нахождения в ремонте одновременно К объектов ремонта (ЛЗМ, агрегатов, узлов). При этом условием отсутствия очереди является равенство К = 1,2,3...,N-1, N и наличие очереди имеет место при k = N+1, N+2,... ,М. Для замкнутой системы массового обслуживания (СМО), работающей без отказов имеем [26]: М Рк= — UK-P0. (3.5) к К!(М-К)! Для замкнутой СМО, работающей без ограничения длины очереди имеем: Рк= KN М! Uk-P0, (3.6) к NK-N-N!(M-K)! V где: Р0 - вероятность полного простоя средств ремонта (все стенды, посты свободны): 0 N Ml М \Д\ V ) У 1Vli TJK у М! к ЙК!(М-К)! K +INK"N -N!(M-K)! где U - приведенная плотность потока заявок: U = -, (3.8) где X - среднее количество заявок на ремонт в единицу времени (смену): ц - среднее количество отремонтированных объектов в ту же единицу времени (смену) с использованием одного средства ремонта (стенда, поста) определенного вида.
Вероятность того, что ремонта требует одновременно К объектов (при K=N +1...М) определяется по формуле (3.5).
Пример расчета числа средств ремонта по материалам исследования фактической эксплуатационной надежности элементов ЛЗМ фирмы «John Deer», эксплуатируемых в ОАО «Поросозеро»
Исходные данные: - параметр потока заявок X = 1,2 - параметр потока обслуживания ц = 1 - максимально возможное число машин в ремонте М = 7 - Z = 8000 руб. - Zj = 23000 руб. При заданном режиме работы зоны ТР U =1,2. Расчет выполнен для количества постов N = 4. Сначала по формуле (3.7) определяется вероятность полного простоя зоны PQ. При этом вводятся промежуточные расчетные величины:
Разработка методических положений по определению годового объема технических воздействий при наступлении предельного состояния эксплуатируемых объектов по техническому критерию
При работе лесозаготовительных машин возникают как постепенные, так и внезапные отказы. Объемы технических воздействий необходимо определять с учетом обоих видов отказов. Рассмотрим случай внезапных отказов для нере-монтируемых деталей, когда внезапно отказавшая деталь заменяется новой. Процесс восстановления работоспособного состояния лесозаготовительных машин в этом случае заключается в последовательной замене отказавших деталей і-го наименования [20],
При этом на пробеге машины L может иметь место одно из следующих состояний: Зо - не заменена ни одна деталь і-го наименования (средний ресурс детали больше или равен пробегу машины за рассматриваемый период эксплуатации); Зі - заменена одна деталь; Зт - заменено m деталей і-го наименования.
Определим вероятности каждого из этих состояний. Для упрощения примем допущение, что поток отказов простейший [20], то есть поток восстановления является одинарным, без последствия, с интенсивностью: W = #L, (4.7) Jfib)dL о где f(L) - плотность функции восстановления (наработка деталей до отказа, которая подчиняется экспоненциальному закону при простейшем потоке отказов).
С учетом принятого допущения рассмотрим события, приводящие процесс восстановления к одному из состояний Зт.
Событие заключается в том, что при пробеге L + AL не заменена ни одна деталь і-го наименования, может произойти двумя совместными событиями: первое L не была заменена ни одна деталь и второе - не было замен и на пробеге AL.
По теореме умножения вероятностей для совместимых событий имеем: P(S0) = P0(L)e-WU\ (4.8) где Po(L) - вероятность того, что при пробеге L не было замен; C-WAL _ вер0ЯТН0СТЬ отсутствия замен при пробеге AL. Разложим функцию e"WAL в ряд следующего вида: rw,=1_W +W4A + +W4ALT. (4 9) 1! 2! n! Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, получим: P(S0) = Po(LXl-WAL) = P0(L + AL). (4.10)
Событие Si может быть представлено в виде следующих несовместимых событий: во-первых, на пробеге L может быть заменена одна деталь, а на пробеге AL замен не было; по второму варианту - на пробеге L замен не было, а на пробеге AL заменена одна деталь.
Каждый из двух возможных случаев осуществляется возможными совместимыми событиями, в то время как сами возможные случаи представляют собой несовместимые события. В связи с этим, применив теорию умножения вероятностей (для совместимых событий) и теорему сложения вероятностей (для несовместимых событий), и используя вышеприведенный способ разложения функций в ряд и отбрасывания бесконечно малых высших порядков, получим вероятность события Si . P(S1) = P1(L + AL) = P0(L)-W-AL + P1(L)(1-W-AL). (4.11)
Предполагая аналогичные действия, определим вероятность того, что на пробеге L + AL проведено m ремонтов по замене такого же числа отказавших деталей і-го наименования: P(Sm) = Pm(L + AL) = Pm,(L).W.AL + Pm(L)(l-m.W.AL). (4.12) Разделив правые и левые части трех последних уравнений на AL и перейдя к пределу при AL — О, получим линейные дифференциальные уравнения, которые можно определить в систему: dP0(L) dL = W-P0(L); Mi = W.P0(L)-W.P1(L); dL (4.13) dL = W.Pm,(L)-m-W.Pm(L).
Решение подобной системы дифференциальных уравнений методом последовательных подстановок приведенное в работе [91] позволяет получить уравнение вероятности выполнения m ремонтов по замене деталей за величину пробега L машины в виде выражения: т! (4.14) Вероятность выхода из строя m числа деталей за пробег L равна, в свою очередь, сумме вероятностей замен, т. е. ш! (4.15)
Последнее уравнение показывает зависимость вероятности замен от количества замен данной детали на пробеге L. Следовательно, чтобы определить требуемое число замен на пробеге L, надо найти или задаться значением доверительной вероятности Рт и, подставив его в последнее уравнение, найти число отказавших деталей.
Решить уравнения (4.15) для задачи определения запчастей в работе [91] предлагается более простым графическим методом. В нашем случае величину m (число замен) представим как функцию, зависящую от интенсивности отказов W, пробега машин L и доверительной вероятности Рт, т. е.:
