Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Дисконтинуальные модели в механике сплошной среды (учет внутренних степеней свободы 10 .
I. История вопроса 10
2. Классификация дисконтинуальных моделей 19
Глава II. Учет внутренних степеней свободы в моделях анизотропной сплошной среды 28
I. Модель сплошной среды с внутренними смещениями подконтинуумов 28
2. Модель сплошной среды с внутренними поворотами подконтинуумов 43
3. Материальные тензоры взаимодействия подконтину умов и их симметрия
Глава III. Решение некоторых задач феноменолопгческои крис таллофизики в дисконтинуальном приближении 84
1. Колебания материальной среды, составленной из II -дисконтинуумов. Уравнения движения
2. Акустические и оптические колебания. Модель алмаза 98
3. Оптические колебания среды с учетом ионного вза имодействия подконтинуумов. Модель Zn S' 116
4. Колебания в кристалле тригидрат-перхлората лития С и сео. -зн2о ) 130
Выводы 146
Литература 148
Приложение 161
- Классификация дисконтинуальных моделей
- Модель сплошной среды с внутренними поворотами подконтинуумов
- Материальные тензоры взаимодействия подконтину умов и их симметрия
- Акустические и оптические колебания. Модель алмаза
Введение к работе
Представление о том, что кристаллы можно описывать в виде моделей однородных анизотропных сплошных сред стало уже традицией в феноменологической кристаллофизике [l-4] . Такая идеализация позволяет рассматривать понятие, плотности энергии - величину конечную в бесконечно большом кристалле - и описывать движение деформируемых тел с помощью непрерывных функций, что упрощает математический аппарат.
Однако это представление применимо только при воздействии на кристалл физических полей с длиной волны, значительно превышающей размер элементарной ячейки.
Если же длина волны сравнима с ее размерами, то проявляется дискретное строение кристалла. В этом случае физически более обоснована теория решетки [5-7] , хорошо описывающая, в частности, взаимодействие оптических и упругих волн в кристаллах. В теории решетки, однако, силовая матрица даже при учете инвариантности ее относительно Ф- групп симметрии кристалла достаточно сложна. Се-кулярное уравнение, как правило, решается лишь приближенными методами. Кроме того, в теории спектров ионных кристаллов решеточные суммы, входящие в выражение энергии связи подрешеток, сходятся очень медленно из-за дальнодействия кулоновских сил. Физически это означает существование многочастичных нецентральных сил, которые необходимо учитывать в силовой матрице. Это привело к созданию обо-лочечной модели [8-IlJ в теории решетки. В ковалентних кристаллах и металлах решеточные суммы сходятся быстро, за счет экранирования кулоновского взаимодействия, однако, расчет спектра колебаний усложняется из-за присутствия многочастичных сил иной природы Ссопротивление изгибу ковалентних связей, сжатие газа электронов проводимости и т.д.;.
Для адекватного описания кристалла методами теории сплошных сред необходима модель, сочетающая в себе непрерывность сплошной среды и дискретность кристаллической структуры. Для этой цели служат модели континуумов с внутренними степенями свободы - направление механики сплошных сред, быстро развивающееся в последнее время.
Основополагающий метод построения таких моделей, основанный на вариационном принципе, развит в работах Л.И.Седова [і2,із]. Отличительная черта моделей сплошных сред с внутренними степенями свободы состоит в том, что наряду с законами движения классической упругой среды используются также законы изменения дополнительных переменных параметров физико-химической природы. Модели сплошных сред с внутренними электромагнитными и механическими моментами рассмотрены в самом общем виде в работах [14,15]. В настоящее время эти модели используются при построении теории поляризующихся сред [15], описывающей некоторые классы моделей поляризованных сред с учетом теплопроводности, токов проводимости, вязкости. Сравнение с экспериментом разрабатываемой в [l4,I5] теории наталкивается,однако, на технические трудности, связанные с большим числом параметров теории и трудностями их физической оценки.
В рамках механики континуума в качестве параметров достаточно рассмотреть компоненты векторов микросмещений и микроповоротов, а также их градиенты. В этом случае можно говорить о моделях упругих сред с микроструктурой [іб], подробная нелокальная теория которых изложена в монографии И.А.Кунияа [17]. Под термином "нелокальность" в теории подразумевается невозможность локализовать в точку те объемы, которые она рассматривает. В классической же сплошной среде любая окрестность точки может стягиваться в нее.
Одним из важнейших результатов нелокальной теории упругости является создание математической модели квазиконтинуума, позволяющей описывать дискретные и сплошные среды с помощью единого фор- мального аппарата [їв].
Существенно также, что нелокальная теория упругости математически обобщила многочисленные модели континуума Косе ера: модели ориентапионных сред [19], несимметричную [20,21] , моментную [22,23], мультиполярную [24,25] теории. Последние содержатся в ней в качестве приближения слабо нелокальных сред.
Приближение моделей слабо нелокальных сред предпочтительнее нелокальной теории, т.к. интегральные операторы заменяются дифференциальными, и уравнения движения - разрешимы. При этом, однако, от результатов нельзя ожидать высокой точности, и они применимы скорее для описания качественно новых эффектов.
Принято считать [17], что развитие механики сплошных сред с микроструктурой началось с мемуаров Е. и Ф.Коссера [26], появившихся в 1909 году. Однаїш, в кристаллофизике одна из таких моделей была применена еще Фохтом [27] в 1887 году, а в динамической задаче о распространении звуковых волн в неоднородной среде модель с внутренними вращательными степенями свободы использовал в 1898 г. Н.П.Костерин [28,29] .
Возможность рассмотрения сложного кристалла как совокупности нескольких взаимопрояшсающих сплошных сред, каждая из которых соответствует подрешетке, была фактически использована М.Борном в 1915 г. [SO]. Им было показано, что однородные деформированные состояния, допустимые в этой модели, сводятся к макроскопической деформации, общей для всех подрешеток, и микроскопическим деформациям - поступательным перемещениям отдельных подрешеток. Последние, по сути дела, и составляют внутренние степени свободы сплошной среды, рассмотренной М.Борном. Однако, как модель сплошной среды с внутренней структурой, она была исследована значительно позднее [16,31].
В случае молекулярных кристаллов возможна дальнейшая конкре- тизация модели. Ввделеяные совокупности атомов (молекулы, радикалы) можно локализовать в узлах системы решеток. Несколько идеализируя эту ситуацию, рассматривают подрешетки, состоящие из абсолютно жестких совокупностей атомов. Это позволяет вводить в континуальном представлении независимо от поступательных также и макроскопические вращательные степени свободы [7, стр. 200J. Такая модель сплошной среды, соответствующая простой молекулярной структуре, исследовалась рядом авторов [22,32,33]. Отметим, что в теории колебаний нежестких кристаллов [34-37] не использовалось приближение составного континуума.
Нелокальная теория упругих сплошных сред в принципе позволяет учесть условия трансляционной и ротационной инвариантности энергии, в том числе и симметрию модели. Действительно, пространственная группа симметрии кристалла содержится в качестве подгруппы в евклидовой группе (произведении группы непрерывных трансляций на ортогональную группу). В этом и заключена возможность построения моделей сред с микроструктурой, симметрия которых соответствовала бы симметрии кристаллов, описываемых федоровскими группами Ф или их обобщениями Ф [38,39].
Хотя пространственная симметрия моделей сплошных сред с микроструктурой описывается сверхфедоровскими группами Л => Ф = те f для теоретико-группового анализа колебательной задачи можно ограничиться конечными точечными группами Э * Л/т => Ф/т*-» G- , если нет перекалибровки ЭЯ *-+- РЭЯ или 0 '+~л/т* => ф/т*** G , если есть перекалибровка Ф- J Q f Т < Т .
При практическом применении моделей для описания достаточно сложных структур необходимо точно знать симметрию применяющихся в теории объектов (подконтинуумов) и величин (тензоров взаимодействия), входящих в'лагранжиан. Это приведет к дополнительному упрощении лагранжиана и облегчит решение уравнений движения.
Отсутствие такого подхода в теории упругих сред с микроструктурой и послужило поводом для построения предлагаемой модели.
В модели, состоящей из нескольких взаимопроникающих твердых сред, рассматривается, как правило, длинноволновое приближение.Однако некоторое ее усложнение (увеличение числа внутренних степеней свободы; позволяет учитывать собственные колебания с отличным от нуля волновым вектором, т.е. описывать спектры высших порядков.При этом формальный математический аппарат длинноволнового приближения сохраняется.
И.М.Лифшиц [40] впервые указал на целесообразность увеличения ячейки прямой решетки в задаче о колебательном спектре кристалла с изотопической примесью. Там же было отмечено, что расширение ячейки прямой решетки не изменяет спектр идеального кристалла в целом, а лишь приводит к переопределению различных его ветвей.
В применении к электронной задаче модель расширенной элементарной ячейки - суженной зоны Бриллюэна (РЭЯ-СЗБ; была введена в [41], а к колебательной задаче - в [42]. Модель интенсивно разрабатывалась Р.А.Эварестовым с сотрудниками и обобщена в [43]. Теоретико-групповому анализу модели РЭЯ-СЗБ посвящены работы [44-4б].
Симметрия модели связана с пространственной группой кристалла Ф, —* но учитывает колебания с волновым вектором к Ф о .
Слабая нелокальность модели позволяет объединять в подрешет-ку совокупности атомов, колеблющихся в ^азе, а не только кристалло-химически эквивалентные. Таким образом, в модели описываются собст-венные колебания с волновым вектором к* О . Поскольку закон сохранения равновесной симметрии кристалла требует равноправного учета всех колебаний, соответствующих симметрически эквивалентным век-торам к , то необходимо рассматривать звезду [к] волнового вектора.
Решение поставленной задачи удобнее проводить как развитие теории решетки Борна, сравнивая ее с внутренне непротиворечивой 'нелокальной теорией. Такое сравнение необходшло, так как предлагаемая в работе модель в сущности - приближение теории упругих сред с микроструктурой.
В соответствии с изложенным, в 1.2 построена модель континуума, составленного из подконтинуумов, каждый из которых может смещаться как целое и испытывать малые деформации.
В приближении недеформируемых локальных сред эта модель переходит в модель составного континуума с микросмещениями и микроповоротами ( 2.2).
Симметрия названных моделей сплошных сред с микроструктурой исследована в 3.2 для двух случаев: предельные колебания и колебания со звездой {к} .
В 1.3 исследуются решения уравнений движения модели в {к, со} - пространстве для выделенной звезды.
Получено секулярное уравнение, для которого в 2.3 исследуются условия разделения на три системы уравнений. Аналогичное исследование для модели с ионным взаимодействием проведено в 3.3. Там же показало, что микроскопические тензоры взаимодействия связаны с макроскопическими упругими пьезоэлектрическими и диэлектрическими тензорами.
Для иллюстрации практической применимости модели в 3.2 методом РЭЯ-СЗБ исследован спектр 2-го порядка кристалла нафталина. В 2.3 и 3.3 рассчитаны колебательные спектры алмаза и сфалерита ( Z Y) $ ) для трех основных направлений [00l] , [ію] , [ill] вектора IT . В 4.3 рассмотрена модель колебаний структуры три-гидрат-перхлората лития ( Li. СОч 3Hzo ). Получены численные значения тензоров взаимодействия.
Предлагаемая модель может использоваться в спектроскопии кристаллов, где начало исследований, по-видимому, относится к работам династии французских физиков Антуану Сезару Беккерелю принадлежит открытие прозрачности некоторых веществ для ультрафиолетовых лучей; изучением инфракрасных (Ж) спектров ряда веществ занимался его сын Александр Эдмон Беккерель [47]; Антуан Анри Беккерель известен исследованием спектров радиоактивных элементов, в частности, солей урана; Жан Беккерель изучал спектры поглощения кристаллов редкоземельных элементов при низких температурах и под воздействием магнитных полей [48]. Три года спустя Г.С.Ландсбергом и Л.И. Мандельштамом [49] в кварце и одновременно Ч.В.Раманом и К.С.Криш-наном в жидкости [50] было открыто комбинационное рассеяние (КР) света, которое с позиций квантовой механики детально объяснено И.Ё. Таммом [бі]. Следует отметить также работы по спектроскопии молекулярных кристаллов, проведенные группой И.В.Обреимова в Харьковском физикотехническом институте в 1929-1937 гг. [52,53] . Дальнейшее развитие Ж и КР спектроскопии весьма подробно изложено в современных обзорах и монографиях [54-60].
Классификация дисконтинуальных моделей
В определяющих уравнениях теории Коссера [26] наряду с сило-выми напряжениями сґ введены также моментные напряжения /и : - 20 -V- о" + pf = Р v где / и с - плотности объемных сил и моментов сил в среде І - единичный тензор. В связи с развитием континуальной теории дислокаций [l04,I05] на теорию Коссера было обращено особое внимание. Появился целый ряд работ, в которых изучались решения волновых уравнений в изотропных средах [69], внешняя симметрия материальных тензоров взаимодействия для 32 классов симметрии кристаллов [106-108], афинная геометрия среды Коссера [Ю9]. Дальнейшее развитие модели Коссера привело к моментной теории упругости [ПО], где движение среды определяется одним полем перемещений и . В этом случае потенциальная энергия зависит от силовых и моментяых напряжений, которые обобщенным законом Гука связаны с тензором деформаций = с/е/гГ и гра Л о диентом вектора вращения у а с/ р . Поворот элементарного объема тела определен вектором вращения, который обычным образом связан с вектором перемещения jP= tot г/ (так называемый континуум Коссера [ПО] со стесненным вращением). Выяснилось, что к момент-ным теориям приводит учет высших градиентов вектора перемещения в энергии упругой деформации [25,II0,IIl]. Наличие нелинейной зависимости смещения частицы среды от ее координат, т,е. добавление к аргументам упругого потенциала высших производных силовых и моментяых напряжений, вызвал появление мультиполярных теорий [24,112-115]. Деформированное состояние при этом обусловлено производными вектора перемещения, которые считаются независимыми, хотя и определены одним полем смещений.
Попытка учесть нецентральное взаимодействие между частицами среды в рамках модели Коссера [70] не дала ожидаемого результата, так как предполагавшиеся независимыми параметры виг определя-- лись на одном поле смещений и, очевидно, были связаны, что приво -21 дило к континууму Коссера со стесненным вращением.
Таким образом, моментше и мультшюлярные теории сплошной среды содержат лишь три внутренние степени свободы (поле внутренних смещений) и учитывают их высшие градиенты. Следовательно, область их применения в кристаллофизике, как уже упоминалось, ограничена структурами, содержащими только два атома в элементарной ячейке. В рамках же среды Коссера можно рассматривать молекулярные структуры с одной молекулой в элементарной ячейке.
Описание нецентрального взаимодействия частиц среды привело ЭЛ.Аэро и Е.В.Кувшинского [32,Пб] к модели континуума, частицы которого могли поворачиваться около своих центров масс независимо от их смещений. Аналогичное предположение было сделано в моделях, построенных польскими механиками [117,118]. При этом частицы не могли считаться точками, но их моментами инерции пренебрегали, поскольку отношение момента инерции частицы j к ее плотности _р равно по порядку величины f/j = л , где а о 10 см - межатомное расстояние. Это сравнение подтверждается однопорядковостью трансляционных и вращательных частот в спектрах молекулярных кристаллов.
Динамические уравнения совпадают с уравнениями теории Коссера; но величины, характеризующие деформированное состояние, существенно изменяются. Тензор деформаций переходит в несимметричный тензор дисторсий = і + со , состоящий из симметричного тензора классической теории упругости и антисимметричного, определяемого собственным поворотом частицы co=.S ( 9 Ф) , где S.t -тензор Леви-Чивитта, j - относительный поворот частиц. Согласно работам [32,118], переменные и ъ-раЛ f - считаются независимыми, увеличивается число независимых компонент тензоров, определяющих упругий потенциал, рассчитанный для гиротропной и изотропной сред. Однако, пренебрегая моментом инерции частиц, авторы приш - 22 ли к незамкнутым уравнениям движения и лишились возможности исследовать распространение волн смещения и поворота в среде, а также их взаимодействие и дисперсию.
Этого недостатка лишена модель континуума, предложенная В.А. Пальмовым [зз], в которой объемные силы и моменты являются следствием силовых и моментных напряжений в среде. Определяющее уравнение модели можно получить, заменяя в уравнениях Коссера -ff+fv и рс соответственно на о и и j f . Характеристики деформированного и напряженного состояний и внутренние степени свободы определены так же как в работах Аэро и Кувшияского [32,Пб]. Для изотропной среды этой модели получено секулярное уравнение, найдены скорость распространения волн смещения и искажающих волн поворота, исследованы дисперсионные соотношения.
Модель сплошной среды с внутренними поворотами подконтинуумов
У молекулярных кристаллов связи между атомами, входящими в состав молекулы, значительно сильнее межмолекулярных связей. В первом приближении можно рассматривать молекулу как слабо деформирующуюся или даже как абсолютно жесткую систему атомов. Элементарная ячейка структуры может содержать более одной молекулы.
Множество трансляционно-эквивалентяых молекул определяет молекулярную подрешетку кристалла. Структура молекулярного кристалла в целом описывается как совокупность таких подрешеток, Если молекулы двух подрешеток связаны какой-либо не трансляционной операцией из группы симметрии кристалла, то такие подрешетки симметрически эквивалентны.
Очевидно такой способ рассмотрения применим не только к молекулярным кристаллам в строгом смысле слова, но и к любым кристаллам, в структурах которых можно выделить группы атомов или ионов, связанных между собой сильнее, чем с остальными атомами или ионами. Например, в структуре СаС03 можно выделить две симметрически эквивалентные подрешетки атомов С а и две - радикалов С03. Так как линейные размеры молекул - одного порядка с размерами ячейки, то при анализе колебательных спектров необходимо учитывать не только поступательные степени свободы молекул, но и повороты молекул вокруг своих центров масс, описываемые аксиальными векторами р LJ.
Таким образом при однородной деформации молекулярная подрешет-ка кроме поступательных обладает и вращательными степенями свободы, которые сводятся к одновременным поворотам всех молекул, одинаковых по величине и направлению. Очевидно, число внутренних степеней свободы молекулярной модели уменьшится по сравнению с атомарной моделью, построенной для той же структуры. Сплошная среда такого вида, соответствующая простой структуре (оС = I), рассмотрена в работах В,А.Пальмова [ЗЗ], Э.Л.Аэро, Е.Б.Кувшинского [32] и других авторов [22].
Континуальную модель с внутренними поворотами естественно по Аксиальные векторы обозначаются по предложению [4] кружком . над символом Р . лучить как следствие модели атомарной структуры ( 1.2), Для этого выберем РЭЯ (случай k fo ). Пусть в ней находятся Р атомов, не входящих в состав молекул и Q молекул, каждая из которых содержит по KQ атомов. Каждому из P+2KQ атомов в атомарной модели соответствует подрешетка. Малое относительное смещение подреше-ток определяет деформированное состояние с потенциалом упругой энергии (14), где индексы с и js пробегают значения it.,,fP;d,..tJKsf... ...,{,...,К. Как и в предыдущем параграфе, для краткости будем рассматривать только двухчастичный потенциал Vv, поскольку вклад в определяющие уравнения от W3 можно найти аналогичным образом.
Используя соотношения (1-5), сопоставим решетке кристалла составной континуум. По аналогии с уравнениями (II), силовым матрицам и смещениям подрешеток будут соответствовать их аналитические продолжения на пространстве всего континуума. При этом составной упругий континуум образован ]?+ Q взаимопроникающими подконтинуумами, каждый из которых может испытывать малые деформации. Каждый из подконтинуумов Qt есть сплошная среда, составленная из областей локализованных около центров масс молекул KQ.. Молекулы Q. могут смещаться и вращаться как абсолютно твердые тела и испытывать малые однородные деформации, что учитывает внутримолекулярные моды. Причем повороты и деформации локальных сред, принадлежащих одному-подконтинууму, должны происходить одновременно и иметь одинаковую величину и направление.
Таким образом, движение всей сплошной среды описывается в пространствах континуума {?"} и локальных сред {? }. В этом случае по-ле смещений г/$ ( ,? ) Р+ К подконтинуумов атомарной модели составной сплошной среды можно представить в виде суммы полей смещений континуума uLT) , подконтинуумов z7Y?) и локальных сред
Индексами ос, х/, х", \ обозначены атомарные = 1,...,Р- I и молекулярные - = I,,.., Q подконтинуумы; q , =i,..., К , -это те атомарные подконтинуумы, которые образуют молекулярный подконтинуум с номерами ос ; x"=i,..., р, 4, ...,Kd, ...,i,..., К - все подконтинуумы,составляющие сплошную среду атомарной модели.
Смещения, стоящие в правой стороне (23), характеризуют деформированное состояние молекулярной континуальной модели. Ограничиваясь случаем малой однородной деформации, можно считать, что смещения частиц в окрестности точки 7Ы локальной среды равны
Очевидно, первый член разложения определяет одинаковое поступательное перемещение всех точек локальной среды, принадлежащей подконтинууму ос , и его можно отождествить со смещением ее центра масс: , $,% } & ) v?(t «) tV где р г0 - локальная плотность масс, а интегрирование проводится по объему, который локальная среда занимает в {"?} -простраяст-ве. Отметим, что поле смещений и (7) атомарных подконтинуумов и однородная часть поля смещений и (?) молекулярных подконтинуумов описывает их одинаковое деформированное состояние. Имеет смысл объединить эти два поля в одно - уы(?) , которое в дальнейшем не различается по отношению к двум типам подконтинуумов (если считать, что индекс ос пробегает значения отІдоР+Q-l). Второй член разложения представляет собой тензор дисторсий -однородный в пространстве локальной среды и неоднородный в { } -пространстве. Его антисимметричная часть дуальна аксиальному векто-ру р (?) , который характеризует поворот локальной среды как целого вокруг ее центра масс: т г сг ) и { )-"г Ч wn/j3 Операция їоїСі,} производится в системе координат локальной среды. Симметричная часть тензора дисторсий описывает однородную деформацию локальной среды: ?. t?)= иа/\) ( ) » причем деформация локальной среды неоднородна в пространстве составного континуума. Таким образом, поле смещений v$ С , ) в принятом приближении имеет вид: где x = ,...,P+Q-i ; « ,..., Q . Известно, что в спектре молекулярного кристалла частоты внутренних колебаний молекул, как правило, значительно выше частот оптических колебаний, а параметры связи внутри молекул, по крайней мере, на два порядка превышают силы взаимодействия между ними. Однако, в связи с некоторой условностью такого разделения частот [127], в модели наряду с оптическими допускается существование внутренних молекулярных колебаний. Причем число мод внутренних колебаний ограничено тем, что они должны соответствовать лишь однородной деформации локальной среды и симметрии локальной среды. При этом не учитываются те внутренние моды колебаний, описание которых связано с градиентами локального тензора деформаций. Это означает, что взаимодействие высокочастотных мод с низкочастотными колебаниями на порядок слабее и первые могут быть рассмотрены независимым образом.
Материальные тензоры взаимодействия подконтину умов и их симметрия
Для практического применения и контроля правильности построения моделей, рассмотренных выше в 1.2 и 2.2, в достаточно сложных случаях необходимо знать симметрию пршленяющихся объектов (простые и составные подконтинуумы), а также тензоров их взаимодействия К Составной кристалл, элементарная ячейка которого со В современной механике сплошных сред вопросам симметрии уделяется много внимания в работах [93,102,106-108,130,131]. держит более одного атома, может, в частности, состоять из атомов одного элемента, химически и кристаллохимически эквивалентных. Кристаллохимически эквивалентными называются атомы, связанные между собой операциями пространственной группы кристалла ф=тс(о . Совокупность траясляционно-эквивалентяых атомов образует кристаллическую решетку для данного типа структурно-эквивалентных атомов
- орбиту группы Т . Составной кристалл содержит две или более под-решеток. Если атом одной подрешетки связан с атомом другой подре-шетки операцией симметрии из точечной группы кристалла С- Ф/т , то подрешетки называются ортогонально эквивалентными. Аналогично, если операция связи принадлежит евклидовой группе ЕСз) = тСз) 0(ъ) - евклидово-эквивалентяыми.
Минимальная симметрия составного кристалла, а следовательно, и сопоставленного ему составного континуума, характеризуется федоровской группой ф . Группой внешней симметрии подконтинуума целесообразно назвать совокупность пространственных преобразований Ф которые переводят данный подконтинуум в себя1). Если подрешетка состоит из магнитных атомов, ее симметрия Ф р)-- Ф . Заметим, что сами по себе (безотносительно ко всему континууму) все подконтинуумы Ф данного континуума Ф имеют абстрактно одинаковую симметрию в силу их изометрической (по группам G , Ф или Е ) эквивалентности. Приведенное определение допускает, однако, различные группы симметрии у подконтинуумов, не связанных преобразованиями из 0 (з). При учете внутренних симметрии симметрия континуума и подконтинуумов описывается обобщенными группами Рср) и Ф Ср) - в общем случае подгруппами сплетений групп внешних и внутренних симметрии [4б]. Связь между группами симметрии континуума Ф и составляющих их подконтинуумов Ф определяется в общем случае по принципу Шубникова - Кюри = (\Ф Сс [129,132,133] .
Поясним приведенные определения на примерах. В континуальном приближении у структуры алмаза (рис. 9) ( ?-группа - Fd3m , ф/т -группа - w Ъ m ) выделяются два симметрически эквивалентных подконтинуума, соответствующих подрешеткам с симметрией F 3m (точечная группа - ЧЗуп ). Факторизуя группу Ф в виде Fd3m -F4"5M CTC= F43m + F /Зм , находим систему элементов связи подконтинуумов і?єйс, бєф.Б качестве можно взять !(?) или любой другой представитель смежного класса дк = Ч , 3,0/, ...9 g = d , h е. F УЗУИ . При таком подходе [129] группа симметрии континуальной модели алмаза может быть построена наложением двух групп F43m, сдвинутых одна относительно другой на вектор №-/+ с) с добавлением к ним элементов симметрии связи {Z\nlal}, {4,и.я.}, [Нъ\ пЛс} , { d\ п:а.} и сохранением закона умножения группы F 43 m .
Для сравнения рассмотрим симметрию модели структуры А/а С2 ( Ф -группа - F тЗ m ) с изоморфной См=с/зм точечной группой симметрии Or = УУ) 3 m . Подконтинуумы, соответствующие подрешеткам А/а и СІ , имеют симметрию F мЗж ,а множество элементов симметрии их связи равно I. Поэтому при объединении их в составной континуум hi а С? не происходит повышения группы симметрии как в случае модели алмаза [134] .
Для выяснения основных понятий симметрии составного континуума удобно ввести некоторое специальное представление его пространственной Ф и точечной С группы - квазирегуляряое представ - 62 Рис. 9. Ячейка структуры алмаза. Белые кружки - атомы, соответствующие подконтинууму I, черные кружки -атомы, сопоставленные подконтинуумуление группы перестановок подконтинуумов. Перенумеруем подконтинуумы в каком-либо порядке и выпишем их номера в виде вертикального столбца. Удобно (но необязательно) выписывать номера симметрически эквивалентных подконтинуумов подряд. Преобразование одного подконтинуума в другой некоторой операцией симметрии выразится перестановкой их номеров в столбце.
Аналогичные подстановки подрешеток применяются в работе [ЕЗб]. отличающимся друг от друга на трансляцию, соответствует одна -и та же матрица. Последнее, в свой очередь, означает, что полученное представление является представлением точечной группы кристалла. Ядром гомоморфизма этого представления является трансляционная группа Т о Ф , переводящая каждый подконтинуум в себя.
Акустические и оптические колебания. Модель алмаза
В центросимметричном континууме может оказаться несколько симметрически эквивалентных подконтинуумов, не обладающих центральной симметрией. Число таких подконтинуумов четное, т.к. они связаны друг с другом инверсией ( 3.2). По этой же причине тензоры их взаимодействия с континуумами /.., попарно взаимно противоположны. В этом случае суммарный тензор Z ... равен нулю и упругая мода не оС Ч зависит от оптической. Причем остаются взаимосвязанными те оптические колебания, которые вызваны относительным смещением подконтинуумов, принадлежащих к различным симметрически эквивалентным наборам. Заметим, что поскольку первый диагональный член матрицы К!? (38) представляет собой тензор Кристоффеля 1-го рода, то тензор (38) можно считать обобщенным тензором Кристоффеля, описывающим распространение взаимосвязанных упругих и оптических (трансляционных и ориентапионных) волн.
В нецентросимметричных континуальных атомарных моделях разделение колебаний на упругие и оптические определяется конкретной симметрией среды и направлением их распространения. То же самое можно сказать и о молекулярной модели любой симметрии, поскольку псевдотензоры L .L и ... относятся к четному типу. В этом случае необходим более подробный анализ. Например, псевдотензор 3-го ранга .., , симметричный по двум индексам, можно разложить на два псевдовектора, один девиатор и один псевдосептор [164] . Поскольку тензор .. об-ладает центральной симметрией, то необходимо рассмотреть лишь син-гонии низшей категории и подсистемы средней и высшей категорий. Везде, кроме кубической сингояии, существуют либо девиатор, либо
- 100 псевдосептор, в низшей кубической подсистеме существует септор. Следовательно, тензор t k равен нулю, а упругие и ориентационно-оптические моды разделяются только в тех континуумах, точечная симметрия которых определяется группами 45Z , Ч3\т , m3m. Для разделения трансляционных и ориентационных колебаний необходимы еще более специфические условия. Пересечение Н ПН (табл. А) групп симметрии двух подконтинуумов должно образовать группу с точечной симметрией, принадлежащей высшей кубической сингонии. Подобное рассмотрение условий равенства нулю тензоров / , поволя-ет дополнить центросимметрические классы, классом 432.
Разлагая колебательное представление гк , представления TL 2I и rv симметричного тензора и вектора (табл. 7) по неприводимым представлениям группы m 3 m [134] убедимся, что в струїстуре существует трижды вырожденная предельная частота комбинационного рассеяния сокр ; соответствующее ей колебание преобразуется по неприводимому представлению F2.
Подставив найденные частоты в уравнения, из отношения их амплитуд можно заметить, что волны с частотами .= ближе к оптическим ("квазиоптические";, а с частотами сог и н в большей степени акустические С"квазиакустические"). В отсутствии взаимодействия подкон А тинуумов с континуумом в целом Ц-0) мы бы получили классические дважды вырожденные поперечные акустические и оптические частоты волн с поляризацией, соответственно, вдоль р2 и р .
Распространяя модель на случай колебаний с волновым вектором k = 2 з l5 3.2), можно получить решение дисперсионного уравнения, которое в данном случае имеет вид: Дисперсионные кривые "квазиоптической" и "квазиакустической" волн при колебаниях с волновым вектором к =j &3 совпадают (рис.20; при частоте: «J = Щ + X (і /Щр 7 ) Эта частота немного меньше критической оптической частоты оо0 за счет взаимодействия, описываемого тензором f.. .
Вследствие неравенства с2 /2 (действительно из данных табл.8 с2 = 803-Ю38 дин2/см6, fz = 77-1038 дин2/см6) вектор т"} находится ближе к плоскости {p2 Pd} и определяет более выраженное оптическое колебание. Это же справедливо и для вектора 7 , так как а1- а , то он находится ближе к оси pj . Из таблицы 8 коэффициенты жесткости связей для тензоров \ и ах- а. соответственно равны 1,1 10 дин/см и 1,27 10 дин/см. Поскольку справедливо соотношение f &и (в коэффициентах жесткости связей это соотношение имеет вид: 1,1 10 дин/см 3,6.10 дин/см 8,2 10 дин/см), то вектор f расположен ближе к плоскости [р",р2}и определяет более выраженное акустическое колебание, как и вектор f , лежащий ближе к оси р3 из-за неравенства f cz .
Цель физической теории заключается в том, чтобы найти теоретическую модель явления М., , максимально близко аппроксимирующую модель М; , соответствующую точному решению. Цель теоретико-группового подхода заключается в том, чтобы выбрать достаточно широкую фундаментальную группу , гарантирующую принадлежность к пространству моделей Мі (орбитальному пространству группы G ) точной модели М.и Совмещая на общей шкале нормированный коэффициент инфракрасного поглощения для кристаллов алмаза, кремния и германия можно сравнить их двухфононные спектры [ібб] . Спектры Ж-поглощения германия и кремния имеют очевидное сходство (рис. 26), что свидетельствует об одинаковой дисперсии фононов в этих кристаллах, и было использовано для гомологического сопоставления фононов в этих веществах [ібб] . Можно, таким образом, предположить у них близкий тип связи и применять в обоих случаях сходные оболочечные модели [l67,9]. Тогда как в алмазе силы связи имеют в большей степени ковалентний характер [l68], естественно другая дисперсия фононов, откуда следует слабое качественное отличие спектра алмаза от Се и Si (рис. 26).
