Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблема механизма сверхпроводимости купратов 6
1.1. Введение 6
1.2. Фазовая диаграмма. Особенности электронных состояний 7
1.3. Псевдощель 9
1.4. Сильная и слабая псевдощели 11
1.5. Симметрия сверхпроводящей щели 13
1.6. Проблема микроскопического механизма сверхпроводимости купратов 16
1.7. Проблема спаривающего взаимодействия
1.8. Спаривание с большим импульсом 23
1.9. Постановка задач исследования 25
Глава 2. Элементарные возбуждения электронной подсистемы купратов 26
2.1. Одночастичные элементарные возбуждения 26
2.2. Кинематика пар 28
2.3. Двухчастичные элементарные возбуждения 33
2.4. Относительное движение пары 35
Глава 3. Связанные и квазистационарные состояния относительного движения пары и сильная псевдощель в купратах 39
3.1. Связанное стационарное состояние пары отталкивающихся частиц с большим суммарным импульсом 39
3.2. Квазистационарное состояние пары отталкивающихся частиц с большим суммарным импульсом 44
3.3. Сильная псевдощель и квазистационарные состояния пар 49
Глава 4. Приближение потенциала нулевого радиуса в задаче о сверхпроводящем спаривании при отталкивании 53
4.1. Аппроксимация спаривающего взаимодействия потенциалом нулевого радиуса 53
4.2. Решение уравнения самосогласования методом потенциала нулевого радиуса 55
4.3. Конкуренция кулоновского отталкивания и электрон-фононного притяжения вметоде потенциала нулевого радиуса 58
4.4. Изотопический эффект в приближении потенциала нулевого радиуса. 62
Выводы 65
Список литературы 66
- Проблема микроскопического механизма сверхпроводимости купратов
- Двухчастичные элементарные возбуждения
- Квазистационарное состояние пары отталкивающихся частиц с большим суммарным импульсом
- Конкуренция кулоновского отталкивания и электрон-фононного притяжения вметоде потенциала нулевого радиуса
Введение к работе
Актуальность темы. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости стала особенно актуальной после открытия в 1986 году сверхпроводимости купратных соединений. К настоящему времени, несмотря на беспрецедентные усилия научного сообщества, общепринятая точка зрения на сверхпроводимость купратов и их необычные свойства в нормальном состоянии отсутствует. Одной из фундаментальных проблем физики купратов является проблема псевдощели, проявляющейся В нормальном состоянии слабо допированных соединений с дырочным типом проводимости. Считается, что решение этой проблемы может стать ключом к пониманию микроскопического механизма сверхпроводимости купратов. В частности, экранированное кулоновскос отталкивание может оказаться доминирующим каналом спаривания. Сверхпроводимость при отталкивании известна давно, но исследована недостаточно, а выводы, вытекающие из приближенных или численных решений в рамках моделей, приспособленных к описанию предельно сильных впутрицентровых электронных корреляций, являются спорными и противоречивыми. Особенности электронного строения купратов, в частности, сильная анизотропия зоны проводимости и достаточно ярко выраженный нестинг поверхности Ферми, едва ли могут быть адекватным образом вписаны в рамки таких моделей, поэтому зонный подход к описанию свойств купратов представляется той альтернативой, которая соответствует приближенному подходу к описанию реальных купратов со стороны слабых корреляций. Концепция сверхпроводящего спаривания с большим суммарным импульсом пары при экранированном кулоновском отталкивании отражает основные черты поведения купратов как в сверхпроводящем, так и в нормальном состояниях. Однако псевдощелевое поведение купратов не вписывается в схему среднего поля, успешно описывающую обычные сверхпроводники. Кроме того, спаривающее кулоновское взаимодействие отталкивания очевидным образом приводит к отсутствию изотопического эффекта, весьма своеобразные проявления которого, вплоть до изменения знака показателя эффекта, присущи купратным соединениям.
Цель работы. Развитие концепции сверхпроводящего спаривания с большим импульсом пары при отталкивании в квазидвумерной электронной системе, включающее
1) решение соответствующей задачи Купера для пары частиц, позволяющей исследовать состояния дискретного и сплошного спектра относительного движения пары; развитие методики решения уравнения самосогласовапия при отталкивательном взаимодействии; исследование совместного действия экранированного кулоиовского отталкивания и наведенного фононами притяжения и определение характера зависимости сверхпроводящего параметра порядка от атомной массы.
Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми. Впервые установлено, что при отталкивательном спаривающем взаимодействии помимо связанного состояния относительного движения пары могут возникать дол-гоживущие к вази стационарные состояния, принадлежащие сплошному спектру. Показано, что с такими состояниями пар может быть связана сильная псевдощель, наблюдаемая в купратах. Впервые выполнен анализ зависимости сверхпроводящего параметра порядка от интенсивностей спаривающего отталкивания и обусловленного электрон-фононным взаимодействием притяжения. Представлена интерпретация аномального поведения изотопического эффекта в купратах.
Научная и практическая ценность. Научная ценность результатов, представленных в диссертации, определяется тем, что эти результаты являются вкладом в теорию сверхпроводимости, который позволяет с единой точки зрения непротиворечиво интерпретировать свойства высокотемпературных купратных сверхпроводников как в сверхпроводящем, так и в нормальном состояниях. Практическая ценность работы связана с развитой в ней эффективной методикой решения уравнения самосогласования, дающей возможность совместно рассматривать различные микроскопические механизмы спаривания. Научные положения, выносимые на защиту.
Следствием сверхпроводящего спаривания с большим импульсом пары при отталкивании является возникновение связанного состояния и квазистационарных состояний относительного движения пары при условии, что спаривающий потенциал имеет хотя бы одно отрицательное собственное значение.
Квазистационарные состояния, возникающие выше температуры сверхпроводящего перехода, приводят к подавлению плотности состояний квазичастиц и могут проявляться как сильная псевдощель, наблюдаемая в высокотемпературных купратных сверхпроводниках.
Конкуренция экранированного кулоиовского отталкивания и притяжения, обусловленного электрон-фононным взаимодействием, является причиной аномального проявления изотопического эффекта в купратных сверхпроводниках. Личный вклад автора в диссертационную работу. Все научные результаты, представленные в диссертации, получены автором лично. Постановка задач исследования выполнена совместно с научным руководителем профессором В.И.Белявским. В обсуждении полученных результатов принимали участие член-корреспондент РАН Ю.В.Копаев, доктор физико-математических наук В.И.Белявский и кандидат физико-математических наук СВ.Шевцов. В исследовании изотопического эффекта участвовал Нгуен Нгок Туан.
Апробация работы. Основные результаты, представленные и обобщенные в диссертации, докладывались на научных семинарах Отделения физики твердого тела Физического института им. П,Н. Лебедева РАН и на Первой международной конференции "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверх проводи мо-сти"ФПС04, 18-22 октября 2004 года, Москва, Звенигород.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и выводов, изложенных па 75 страницах машинописного текста, включая 13 рисунков и список литературы из 116 наименований.
Проблема микроскопического механизма сверхпроводимости купратов
Схема эволюции контура Ферми недодопировашюго купратного соединения при изменении температуры: а) Т — Тс + 0, контур Ферми "стянут" в четыре точки, соответствующие нулям SC параметра порядка; Ь) Тс Т Т , контур Ферми имеет вид дуг, центрированных относительно нодальпых направлений типа \к, тг]; с) Т Т , замкнутый контур Ферми с центром в точке (л-, я-). Геометрическое место точек, соответствующих псевдощели Тс Т Т", показано светлой линией. мы (рис.1) принято называть псевдощелевым состоянием. Псевдощель в различных точках импульсного пространства закрывается при различных температурах из интервала Тс Т Т и исчезает в антинодалъных точках типа (ЇГ,0) при Т = Т , когда и возникает замкнутый FC, то есть замкнутая линия бсещелевых возбуждений. Таким образом, возникновение псевдощели и приводит к разделению FC при температурах Тс Т Т на несвязанные дуги, которые с уменьшением температуры сжимаются до тех пор, пока не превратятся в нодальные точки сверхпроводящей щели при Т ТС [17, 19), как показано на рис.3.
Первое экспериментальное обнаружение псевдощели было сделано в ЯМР-измерениях, которые показали, что скорость спин-решеточной релаксации иедодо-пированных купратов начинает уменьшаться при температуре, намного большей Тс [20]. Подобное уменьшение замечено и в экспериментах по определению найтовского сдвига [21], измеряющих объемную магнитную восприимчивость. И все же основную роль в изучении псевдощелевого состояния играют ARPES-спектры [17, 18, 22]. В сверхпроводящем состоянии они содержат узкий квазичастичный пик, ведущий фронт которого смещен относительно уровня Ферми, что указывает на присутствие энергетической щели.
При переходе в псевдощелевое состояние щель, как видно из положения ведущего фронта, сохраняется, несмотря на то, что узкий пик пропадает. Нормальное состояниє характеризуется отсутствием как щели, так и острого пика. Экспериментальное исследование температурной зависимости спектров и их зависимости от допирования позволило установить, что интенсивность сверхпроводящего пика определяется концентрацией электронных пар, выпавших в сверхпроводящий конденсат. Поэтому можно предположить [23], что сверхпроводящий переход происходит не при открытии SC энергетической щели, как это следует из теории Бардина, Купера и Шриф-фера (BCS), а, скорее, в результате возникновения когерентного состояния в системе уже существующих пар. Сверхпроводящий переход в недодопированном режиме, таким образом, связан с установлением фазовой когерентности в системе пар, которые, следовательно, могут существовать при более высокой {по сравнению с Тс) температуре, а полное отсутствие острого пика выше Тс, вероятно, является следствием флуктуации фазы параметра порядка [24].
Тот факт, что исчезновение острого пика выше Тс происходит не вследствие тривиального теплового уширения, подтвержден изучением соединения ВІ23т2Са2СщО\о+5, имеющего температуру сверхпроводящего перехода Тс = 110 К , ниже которой сразу же и появляется пик. Напротив, тепловое уширепис имеет место примерно при 85К. Этот эксперимент также показал, что значительная температура Тс в этой системе связана с достаточно большими величинами и интенсивности квазичастичного пика, и сверхпроводящей щели, что указывает па увеличение как доли конденсата, так и эффективной константы спаривающего взаимодействия.
Детальные измерения показывают, что псевдощель и по величине, и по угловой зависимости подобна сверхпроводящей щели, возникающей ниже Тс [17,18]. Обе они отсутствуют (каждая в своем температурном интервале) в нодальпых точках и увеличиваются при удалении от них, достигая своих максимальных значений вблизи точек типа (тг, 0), что согласуется с dx2_y2 - волновой анизотропией обоих энергетических параметров.
То, что псевдощель и SC щель возникают на одной и той же линии 2D импульсного пространства, которая совпадает с замкнутым контуром Ферми в нормальной фазе, то есть при Т Г , позволяет высказать достаточно естественное предположение о том, что некогерентные пары существуют и выше Тс, выживая вплоть до некоторой характерной температуры T tr, определяемой энергией связи между частицами в паре [23]. Существование таких некогерентпых пар, очевидно, приводит к подавлению плотности одночастичных состояний, что может интерпретироваться как возникновение псевдощели. Область Тс Т T tr принято называть областью сильной псевдощели.
Есть и другой аспект псевдощели, который нельзя объяснить только образованием пар выше Тс. Это так называемая слабая псевдощель, которая также подавляет плотность одночастичных состояний и имеет энергетический масштаб, сопоставимый с характерной энергией J магнитного взаимодействия AF упорядоченных спинов, локализованных на ионах меди [9]. Слабая псевдощель проявляется при температурах, заведомо превышающих температуру разрыва связи в паре, s=s T tr, то есть в температурном интервале T tT Т Т . Такой аспект псевдощелевого состояния наиболее ярко выражен в сильно нододопированпых купратных соединениях, и очевидным образом связан с тем фактом, что между сверхпроводящим и антиферромагнитным диэлектрическим состояниями имеется связь, ослабевающая с ростом допирования. В этом смысле почти для всего недодопировапного режима экспериментальные данные являются комбинацией этих двух эффектов - сдвига переднего фронта квазичастичного пика, наблюдаемого в ARPES экспериментах, в те области /г-пространства, где d-волновая щель максимальна, и подавления спектрального веса сигнала ARPES вне первой магнитной зоны Бриллюэпа [26].
Наличие сильных флуктуационпых эффектов в недодопированных куиратах р-типа [27, 28] позволило Эмери и Кивельсону сделать заключение о том [23], что в этих соединениях важную роль, помимо BCS щели Д, соответствующей величине энергии связи электронов в куперовской паре, играет фазовая жесткость ра (пропорциональная плотности сверхтекучей компоненты), которая характеризует способность переносить сверхпроводящий ток. В обычных сверхпроводниках Д гораздо меньше, чем ps, поэтому разрушение сверхпроводимости начинается с распада электронных пар. Однако фазовая жесткость недодопированных купратов имеет значительно меньшее значение [29], сопоставимое с Д, так что при достижении температурой величины порядка р3 тепловые возбуждения нарушают способность сверхпроводника переносить сверхпроводящий ток, тогда как пары продолжают существовать. Таким образом, температура Тс сверхпроводящего фазового перехода ограничена сверху величиной порядка ps(0), то есть фазовой жесткостью при нулевой температуре. Характерное для недодопированных материалов соотношение Тс ps{0) между температурой сверхпроводящего перехода и фазовой жесткостью было экспериментально обнаружено Уемурой [30] и может быть естественно объяснено близостью к переходу Мотта [31]. Ли и Вен [32] указали, что Тс зависит не только от ps(0), но и от параметра a = dps/dT [33], поскольку термическое возбуждение подальпых квазичастиц уменьшает ps, так как эти квазичастицы не принимают участие в сверхпроводящем токе. Таким образом, квазичастицы играют решающую роль в ослаблении (разовой жесткости, приводя к развитым флуктуациям фазы параметра порядка, нарушающим фазовую когерентность и уничтожающим сверхпроводимость. Однако в недодопированных купратах следует ожидать частичную фазовую когерентность пар выше Тс, когда фаза остается когерентной в конечных пространственных и временных интервалах. При этом ps становится частотно зависимой выше Тс [34]. Доказательством такого режима может являться наблюдаемый в рассеянии нейтронов тринлетный резонанс, который продолжает существовать выше Тс В недодопированных образцах [35].
Двухчастичные элементарные возбуждения
Несмотря на большое количество теоретических работ, появившихся после открытия высокотемпературной сверхпроводимости и позволяющих объяснять разнообразные экспериментальные данные, полученные для псевдощелевого состояния, общепринятой точки зрения относительно природы этого состояния в настоящее время не существует. Однако можно заключить, что большинство теоретических построений, относящихся к сверхпроводимости купратов, основано на предположении о том, что псевдощель предшествует сверхпроводимости [55-58] и в той или иной мере связана с некогерептными парами, существующими выше TQ.
В основе одного класса теорий лежит предположение о том, что в псевдощелевом состоянии существуют предварительно сформированные пары [59], подобные парам в теории BCS. Купраты характеризуются малой (порядка межатомного расстояния) длиной когерентности, низкой плотностью носителей и квазидвумерностью. Все эти условия способствуют подавлению температуры SC перехода относительно ее значения TQ\ определяемого в теории среднего поля, вследствие флуктуации фазы параметра порядка, В промежуточной области между этими двумя температурами, Тс Т TQ \ оказывается возможным существование предварительно сформированных нскогерентных пар.
Ранняя схема резонирующих валентных связей (RVB) [60-62] несколько отличается от предыдущей картины. Волновая функция в этой схеме предполагается в виде суперпозиции синглетных пар электронов, локализованных на соседних атомах меди. В родительском соединении, то есть в отсутствие допирования, такие эквивалентные (находящиеся в резонансных состояниях) пары оказываются неподвижными, поскольку в системе сильно коррелированных электронов двукратное заполнение одного узла электронами с противоположными спинами фактически запрещено из-за достаточно большой энергии внутрицентрового отталкивания. Однако в слабо дотированных соединениях наличие дырок на некоторых узлах приводит к возможности резонансного перескока электрона на вакантный узел, что оказывается эквивалентным перемещению пары без затраты энергии. Такие подвижные пары являются локализованными аналогами сильно делокализованных пар в теории BCS, но, в отличие от последних, существуют и в несверхпроводящем некогерентном состоянии.
Для объяснения псевдощелевого поведения в теориях, основанных на схеме RVB, предполагается, что дырки, обеспечивающие подвижность пар, являются композитными квазичастицами, составленными из двух частиц, с одной из которых (электрически нейтральным фермионом, называемым спинетом) связывается перенос спина, а с другой, положительно заряженным бозоном, называемым холопом, - перенос электрического заряда. Оператор уничтожения электрона со спином а на некотором узле і обычно представляется в виде простого произведения оператора уничтожения спипона со спином а на узле г (fia) и оператора рождения холона на узле г (h\): cia = fiah\- Такой способ разделения спиновой и зарядовой степеней свободы [63] означает инвариантность SC параметра порядка относительно калибровочного преобразования cilT —» сі(7ехр(га), то есть относительно однопараметрической унитарной группы U(l). Следствием такого разделения спиновой и зарядовой степеней свободы (спин-зарядовое разделение) является то, что низкоэнергетические возбуждения в электронной системе купратной плоскости скорее состоят из спинонов и холопов, чем из квазичастиц в виде электронов или дырок. При более высоких энергиях спип-зарядовое разделение не проявляется, то есть спинопы и холоны не обнаруживают себя как свободные квазичастицы (имеет место своеобразный конфайнмепт спинонов и холопов).
В псевдощелевой фазе спины электронов па соседних атомах меди остаются связанными в синглеты, и энергия связи таких пар может интерпретироваться как энергетическая щель в спинонной ветви спектра элементарных возбуждений [10]. С этой щелью и ассоциируется псевдощель, а температура Т может быть связана с энергией, необходимой для разрыва RVB пар. Энергетическая щель в электронном спектре, таким образом, имеет смысл спиновой щели. При понижении температуры холоны, входящие в состав дырок, введенных при допировании, становятся когерентными по фазе (происходит их бозе-конденсация), что приводит к повторному связыванию спина и заряда и формированию истинного сверхпроводящего основного состояния ниже некоторой температуры SC перехода Тс.
Схема разделения заряда и спина предполагает, что возникновение псевдощели {спиновой энергетической щели) связано с формированием спинонов, спаривающихся при температуре псевдощели Т 3 Тс, и что сверхпроводимость возникает при Тс вследствие конденсации холопов и характеризуется SC зарядовой энергетической щелью.
Более сложное разделение зарядовой и спиновой степеней свободы, основанное на SU(2) симметрии гамильтониана электронной системы купратного соединения [64-66], позволяет включить в рассмотрение ряд тонких эффектов, выпадающих из 17(1) схемы, в частности, возможность возникновения и AF корреляций циркулярных орбитальных токов в SC состоянии [67]. SU(2) симметрия предполагает двухкомпо-нептное представление как спипошюго, так и холонного операторов, при этом закону дисперсии одного из холопов соответствует минимум при импульсе (0,0), тогда как для другого холопа минимум располагается в точке (тг,7г) [67], Таким образом, SC переходу может соответствовать бозе-копденсация обоих типов холонов. Возникновение большого импульса (тг,тг) для одного из бозонов в схеме 5(7(2) естественным образом может быть связано с орбитальным антиферромагнитным (OAF) упорядочением, которое рассматривается как причина возникновения псевдощелевого состояния. Действительно, AF вектор, соответствующий двумерной OAF фазе с потоком (staggered flux state) [68], в точности равен импульсу (тг,тг).
В страйповой картине [4, 6] псевдощель объясняется как спиновая щель, связанная с AF доменом страйпа. Спаривающие корреляции, приводящие к возникновению дырочных пар, обусловлены виртуальными перескоками дырок в магнитные домены. Следует отметить, что статические страйпы наблюдаются в экспериментах по дифракции нейтронов в купратных соединениях на основе Nd, не обнаруживающих сверхпроводимость. Поэтому имеются основания считать [4, 6], что статические страйпы подавляют сверхпроводимость, в то время как динамические страйпы, как особые элементарные возбуждения электронной подсистемы купратной плоскости, могут приводить к эффективному притяжению между дырками.
Квазистационарное состояние пары отталкивающихся частиц с большим суммарным импульсом
При энергии, равной є„, плотность состояний обращается в нуль(рис.7.3), если граница между Е и Ек вырождается в точки. Возникновение PFC приводит к конечной величине плотности состояний в точке єр, как показано на рис.7.4.
Энергия возбуждения пары частиц вне области, ограниченной FC, соответству-ет кинетической энергии относительного движения пары ек}(к) е , так что в этом диапазоне энергий плотность состояний таких возбуждений совпадает с плотностью состояний относительного движения пары дг(є%), как показано на рис.8.1. При возбуждении пары дырок внутри области, ограниченной FC, энергия возбуждения (положительная по определению) соответствует кинетической энергии относительного движения пары частиц, такой что 0 єк (к) є„ в случае эллиптической метрики или — єт єК (к) єр при гиперболической метрике. Плотность состояний таких возбуждений, соответствующая этим интервалам кинетической энергии относительного движения пары, повторяет плотность состояний относительного движения дг, показанную на рис.8, с точностью до изменения начала отсчета энергии и зеркального отражения относительно точки єр, как показано для случая гиперболической метрики на рис.8.2.
При нулевой энергии возбуждения (С = 0) значения плотности состояний возбуждений пары частиц и пары дырок совпадают. В случае гиперболической метрики импульсного пространства поведение плотности состояний при 0 существенно различно для пар частиц (#() является регулярной функцией, не имеющей особенностей во всем интервале 0 С Со) и паР дырок (#(Є) обнаруживает логарифмическую сингулярность в точке Cs = 2/f — 2є(К/2), которая может оказаться достаточно близкой к левому краю полосы сплошного спектра). Таким образом, при достаточно малой величине я, что имеет место как раз в случае сильной анизотропии эффективных масс в протяженной окрестности седловой точки, электрон-дырочная асимметрия плотности состояний относительного движения проявляется достаточно отчетливо. Подобная асимметрия не имеет места в случае эллиптической метрики, когда функции, представляющие плотность состояний отпоситслыюго движения пар электронов и дырок качественно подобны друг другу, то есть плотность состояний возбуждений пары частиц и пары дырок имеет вид, показанный на рис.8.1.
Возникновение PFC, приводящее к отличной от нуля плотности состояний относительного движения при = 0, есть очевидное необходимое условие того, чтобы спаривение при К ф 0 оказалось возможным уже при сколь угодно малой величине эффективной константы связи. По определению PFC есть геометрическое место точек 2D импульсного пространства, где имеет место совпадение участков FC и изолинии кинетической энергии относительного движения пары, соответствующей нулевой энергии возбуждения: Е%\к) = ер. Поскольку принадлежащие PFC одпочастичные состояния с импульсами К/2 ± к, соответствующие паре с суммарным импульсом К и импульсом относительного движения к, имеют энергии, равные энергии Ферми /І, то уравнения, определяющие PFC, могут быть записаны как є(К/2 ± k) = /і. Эти уравнения задают две линии в 2D импульсном пространстве относительного движения пары с суммарным импульсом К. Совпадающие участки этих двух линий и образуют PFC. Заключенная между этими линиями область пространства импульсов относительного движения, для которой PFC является частью внешней границы, есть определенная выше область Е . Внешняя по отношению к Н " область, частью границы которой также является PFC (граница этой области влючает участки границы 2D зоны Бриллюэна), представляет собой область К Характер решения системы уравнений є(К/2 ± fe) = д в случаях, когда PFC вырождается в две точки и когда PFC имеет конечную протяженность, показан на рис.9.1 и 9.2, соответственно. На рис.9.1, соответствующем изотропному закону дисперсии, kF -импульс Ферми, a k„ = Jk% К2/4; в области Щ показана структура изолиний энергии относительного движения. На рис.9.2, на котором FC представляет собой квадрат со скругленными углами, область Е выделена.
Конкуренция кулоновского отталкивания и электрон-фононного притяжения вметоде потенциала нулевого радиуса
Первые два слагаемых в (54) определяют характер сингулярности гриновских функций в точке Е = —0. Если плотность состояний на PFC отлична от нуля (PFC имеет конечную длину), то есть д(0) ф 0, то гриновские функции обнаруживают логарифмическую сингулярность: G3S (Е) In \Е\ при Е —0. Если же PFC вырождается в точки, и #(0) обращается в нуль, характер сингулярности гриновских функций при Е - — 0 существенно смягчается: G\S/{E) ЕЫ/#.
В случае, когда PFC имеет конечную длину, левая часть (45) расходится при Е —0 как [In (1/)]2, тогда как правая часть расходится только как [In (1/[)]. Поэтому, с учетом рассмотренной выше асимптотики гриновских функций при Е —» —со, графики функций, представляющих левую и правую части уравнений (45), имеют вид, схематически представленный на рис.10 сплошными линиями. Из этого рисунка меньше значения правой части (гh), и уравнение (45) решения не имеет. видно, что (45) имеет единственное решение при любом значении эффективной константы связи UQ. Характер этого решения в пределе слабой связи легко установить, используя явные выражения для гриповских функций (54). При этом, рассматривая случай #(0) т 0, второе слагаемое, обращающееся в нуль при \Е\ = 0, следует опустить. Уравнение (45) превращается в квадратное уравнение относительно величины х = ?(0)ln(o/i?), положительное решение которого можно представить как х0 = l/(clIQ), где с - положительная константа, в пределе слабой связи определяемая выражением то есть связанное состояние относительного движения пары возникает уже при сколь угодно малой величине эффективной константы связи.
Если PFC вырождается в точки (случай, рассмотренный ранее в [84]), первое слагаемое в (54) исчезает, и доминирующим при \Е\ 0 оказывается регулярный вклад в гриновские функции. В таком случае решение уравнения (45) имеет место только при достаточно большой величине эффективной константы связи U0, превышающей некоторое значение Щс\ как это можно видеть из рис.10. Действительно, при U0 UQ значение левой части (45) при \Е\ = О, обозначенное па рис.10 как lh, становится меньше значения правой части (rh), что приводит к тому, что графики левой (ths) и правой (rhs) частей уравнения (45), показанные на рис.10 (для случая, когда UQ UQ) штриховыми линиями, не имеют точки пересечения, и, таким образом, решение уравнения (45) отсутствует.
Решение (57), найденное для отталкивателыюго взаимодействия вида (6) в случае, когда PFC имеет конечную длину и д{0) Ф 0, формально совпадает с решением задачи Купера при взаимодействии притяжения вида U(k — к ) — — U0 (U0 - положительная константа, взаимодействие отлично от нуля в энергетическом слое шириной (0) пары частиц с нулевым суммарным импульсом [69]. Такое решение имеет место для пар частиц, возбужденных внутри области 3 +\ и для пар дырок, возбужденных внутри области Е \ Известно [93], что энергия связи куперовской пары имеет экспоненциальную малость (фактор 2 в экспоненте) по сравнению с величиной сверхпроводящей щели. Разумеется, то же самое имеет место и в случае спаривания с большим суммарным импульсом (фактор 2 в экспоненте в (57) по сравнению с параметром порядка, вычисленным в [88]). Причина такой малости заключается в том, что решение (57) по самой постановке задачи получено на фоне неперестроенного основного состояния нормальной ферми-жидкости и без учета процессов рассеяния между областями импульсного пространства S и S . Сам факт существования связанного состояния (57) является свидетельством нестабильности основного состояния электронной системы, рассматриваемой как состояние, соответствующее заполнению всех состояний внутри области импульсного пространства, ограниченной FC [94].
Как известно [95], связанному состоянию в модели BCS с притяжением соответствует чисто мнимый полюс вершинной функции, расположенный в верхней полуплоскости комплексной энергии. Абсолютная величина этого полюса дает энергетическую щель в спектре возбуждений системы, возникающую в результате перестройки ее основного состояния. К аналогичному результату, очевидно, приводит исследование вершинной функции и в случае класса отталкивательных потенциалов (6), имеющих (одно или несколько) отрицательные собственные значения. Доказательство этого утверждения может быть получено подобно тому, как это сделано для отталкивательного потенциала, у которого отрицательна длина рассеяния для одного из значений углового момента / ф 0 (см. [75], 54), и который, таким образом, принадлежит к рассматриваемому классу потенциалов. При условии, что равные друг другу суммы входящих и выходящих импульсов в вершинной функции есть импульс пары К, ее чисто мнимый полюс дает величину энергетической щели в спектре возбуждений относительного движения пары. Как и в модели BCS, в пределе слабой связи зависимость щели, найденная в [88], представляется экспоненциальной функцией вида (57) без множителя 2 в экспоненте и с вдвое большим предэкспоиенциальным множителем.
При энергиях возбуждения 0 Е Со интегральное уравнение (25) определяет состояния сплошного спектра относительного движения пары. Распределение энергетических уровней в полосе сплошного спектра 0 С Со может быть найдено из системы уравнений (43).
