Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Графен и углеродная нанотрубка – новые перспективные материалы для нанотехнологий
1.1. Атомная и электронная структура графена и углеродной нанотрубки
1.2. Перспективы практического использования графена и углеродных нанотрубок
1.3. Заключение 25
Глава 2. Электронный спектр -электронов в деформированном графене и углеродной нанотрубке
2.1 Изменение -электронного спектра графена при упругой плоской деформации
2.2 Изменение электронного спектра углеродных нанотрубок при деформации
2.3 Заключение 48
Глава 3. Динамика электронных волновых пакетов в графене и углеродной нанотрубке
3.1 Особенности временной эволюции локализованных квантовых состояний в однослойном графене
3.2 Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках
3.3 Заключение 78
Заключение 81
Список литературы 83
- Перспективы практического использования графена и углеродных нанотрубок
- Изменение -электронного спектра графена при упругой плоской деформации
- Изменение электронного спектра углеродных нанотрубок при деформации
- Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках
Введение к работе
Актуальность работы. В последнее десятилетие внимание многих исследователей привлекают двумерные молекулярные углеродные наноструктуры - графен [1] и углеродные нанотрубки [2], обладающие необычными физико-химическими свойствами, позволяющими прогнозировать использование данных структур в наноустройствах различного назначения. Особое внимание уделяется электрическим свойствам графена и углеродных нанотрубок. В графене электронный спектр не имеет щели между валентной зоной и зоной проводимости, тогда как углеродные нанотрубки — полупроводники с величиной запрещенной щели, зависящей от индексов хиральности. Равная нулю ширина запрещенной щели в графене является препятствием для создания электронных приборов. Последнее обстоятельство заставляет искать условия формирования в электронном спектре графена энергетической щели, если мы хотим оставаться в рамках традиционного подхода к созданию электронных приборов. Одним из способов устранения данного препятствия является использование графеновой полосы, для которой поперечное квантование импульса приводит к энергетической щели в электронном спектре. Другой способ состоит в изменении атомной симметрии графена путем деформации [3] либо атомной реконструкции.
Понимание электронных свойств углеродной нанотрубки следует из геометрических соображений: нанотрубку можно представить как результат сворачивания графеновой полосы с последующим "склеиванием" противоположных сторон этой полосы. Условие периодичности волновой функции электрона в поперечном направлении графеновой полосы приводит к квантованию поперечной компоненты волнового вектора, в результате в зонной структуре полосы образуются дискретные уровни, которые наследуются углеродной нанотрубкой. Управление зонной структурой углеродной нанотрубки возможно путем деформации либо наложения квантующего магнитного поля [4] .
Наличие проводящей и валентной зон в графене и углеродной нанотрубке позволяет изучать явления интерференции локализованных квантовых состояний [5,6], в которых смешаны состояния валентной и проводящих зон электронного спектра. Данное обстоятельство приводит к осциллирующим зависимостям средних значений координат и скоростей электрона, известное в литературе как явление Zitterbewegung (ZB), теоретически изученное для одночастичных решений уравнения Дирака и двумерных полупроводниковых структур [7]. Явление ZB для уравнения Дирака проявляются на относительно малых пространственных масштабах порядка комптоновской длины волны и
малых временных масштабах с характерной частотой порядке 10 Гц. Для
графена и углеродной нанотрубки явления ZB могут наблюдаться на частотах порядка 10 Гц.
Цель работы. Изучение особенностей электронного спектра графена и углеродной нанотрубки в условиях упругой деформации. Исследование интерференции состояний валентной и проводящих зон графена и углеродной нанотрубки.
Для реализации этой цели рассмотрены следующие задачи:
-
Проведение расчетов параметров зонной структуры графена в условиях упругой деформации.
-
Исследование трансформации электронного спектра углеродной нанотрубки при одноосном «растяжении-сжатии» и «кручении».
-
Изучение интерференции состояний валентной и проводящих зон графена в локализованных псевдоспиновых волновых пакетах.
-
Исследование особенностей эволюции и временных осцилляции средних значений координат для квантовых состояний в углеродной нанотрубке.
Методы исследования. При решении задач использовались методы современной математической и теоретической физики, численные методы. Теоретические расчеты проведены в рамках приближения сильной связи с использованием модельных гамильтонианов.
Научная новизна. Научная новизна работы в следующем:
Исследован энергетический спектр %- электронов графена в зависимости от величины двухмерной упругой деформации. Впервые сделан теоретический расчет величины энергетической щели в электронном спектре графена при произвольных направлениях деформации относительно элементов симметрии.
С использованием параметрических функций для матричных элементов оператора Гамильтона л;-электронов графена проведен расчет зонной структуры углеродной нанотрубки в зависимости от типа упругой деформации для нанотрубок с произольными индексами хиральности.
Исследована динамика локализованных квантовых состояний в графене, приводящая к явлениям ZB, которые могут проявиться на частотах ~10 Гц, что представляет интерес для современной электроники.
Впервые показана возможность существования явлений ZB для квантового состояния электрона, локализованного по осевой и угловой координатам на поверхности проводящей углеродной нанотрубки.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы для исследования транспортных свойств электронов графена и углеродных нанотрубок в условиях упругой деформации; данные по зависимости параметров зонной структуры от величины деформации могут быть использованы для создания нанодатчиков деформации. Теоретические данные по динамике локализованных квантовых электронных состояний могут быть полезны при анализе свойств контактов в электронных схемах, элементами которых являются графен или углеродная нанотрубка.
На защиту выносится:
-
Данные теоретических расчетов параметров энергетического спектра %-электронов графена в зависимости от величины упругой деформации, представляющие собой двумерное «растяжение-сжатие» либо «сдвиг» при произвольных направлениях деформации относительно элементов симметрии.
-
Данные по энергетическому спектру л;-электронов однослойной углеродной нанотрубки в зависимости от величины упругой деформации в случае одноосного «растяжения-сжатия» либо «кручения» трубки.
-
Анализ явлений интерференции квантовых состояний проводящей и валентной зон графена, возникающих для локализованных псевдоспиновых электронных волновых пакетов.
-
Анализ интерференции квантовых состояний в углеродных нанотрубках, приводящей к временным осцилляциям средних значений физических величин.
Личный вклад автора. Постановка задачи, обсуждение и интерпретация результатов проводилась совместно с научным руководителем. Автором разработаны математические модели, проведены аналитические и численные вычисления. Все математические выводы, доказательства, численные расчеты, сравнения с экспериментальными данными и анализ полученных результатов проведены автором лично.
Апробация работы. Основные результаты исследований были представлены (докладывались и обсуждались) на Всероссийских и Международных конференциях и семинарах: 10-ой Российской университетско-академической научно-практической конференции (Ижевск, 2010); Четырнадцатая Национальная конференция по росту кристаллов и IV Международная конференция «Кристаллофизика XXI века», посвященная памяти М.П.Шаскольской (Москва, 2010); 8 Национальной Конференции «Рентгеновское, Синхротронное излучение для исследования наносистем и материалов. Нано-Био-Инфо-Когнитивные технологии» (РСНЭ-НБИК, Москва, 2011); Международной научной конференции студентов, аспирантов и
молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2011); XVI Международного
симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника» (Н.Новгород, 2012); XLVII Школа ФГБУ «ПИЯФ» по физике конденсированного состояния (ФКС, С.Петербург, 2013); XX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва,2013).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 12 научных работах, из них 3 статьи в журналах из списка ВАК, 1 статья в зарубежном журнале, 8 работ в сборниках трудов и тезисов Всероссийских и Международных конференций.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы: 97 страниц, включая 30 рисунков. В списке литературы приведено 110 наименований.
Перспективы практического использования графена и углеродных нанотрубок
Считается, что на основе графена можно сконструировать баллистический транзистор. В 2006г. было сообщение о создании полевого транзистора на графене, также создан квантово-интерференционный прибор [36]. Ожидается появление нового класса приборов на основе графена с размерами «10 нм., создан новый тип светодиодов на основе графена (LEC) [37].
Заметим, прямое использование графена для создания транзистора без токов утечки не представляется возможным из-за отсутствия запрещённой зоны, т.к. нельзя добиться разности в сопротивлениях при приложенных напряжениях к затвору, то есть имеет место проблема создания состояний пригодных для двоичной логики: проводящего и непроводящего. В работе [38] использовались узкие полоски графена, благодаря квантово-размерному эффекту ширина запрещённой зоны была достаточной для перехода в диэлектрическое состояние (закрытое состояние) графеновой полосы при комнатной температуре. Благодаря высокой подвижности (имеется в виду, что подвижность электронов в графене выше чем в кремнии, используемом в микроэлектронике) быстродействие такого транзистора должно быть заметно выше, чем кремниевого.
Другая область применения [36] состоит в использовании графена в качестве сенсора для обнаружения отдельных молекул химических веществ таких как NH3, CO, H2O, NO2, адсорбированных на поверхности плёнки.
Ещё одна перспективная область применения графена — изготовление электродов в ионисторах (суперконденсаторах) для перезаряжаемых источников тока. Опытные образцы ионисторов на графене имеют удельную энергоёмкость 32Втч/кг, сравнимую со свинцово-кислотными аккумуляторами (30-40 Втч/кг) [39].
Для получения углеродных нанотрубок в настоящее время используется метод термического распыления графитового электрода в плазме дугового разряда, горящего в атмосфере инертного газа. В этих условиях испаряющийся углерод конденсируется на катоде в виде растущих углеродных нанотрубок [40,41].
В 1995 г. в работах [42, 43] было сообщено о синтезе углеродных нанотрубок путем лазерного испарения графитовой мишени в разогретой печи, которая была заполнена инертным газом под высоким давлением. Углеродные наноструктуры формировались в присутствии металлических катализаторов и имели более избирательное распределение по размерам, по сравнению с полученными путем дугового разряда. Дальнейшие работы [44] привели к созданию методики каталитического производства углеродных нанотрубок в потоке CO с использованием соединения Fe(CO)5 в качестве катализатора. В других методиках используется подложка со слоем катализатора (никель, кобальт, железо). Для роста нанотрубок в реактор вводится газ (аммиак, азот, водород) и углеродосодержащий газ (ацетилен, этилен, этанол, метан и т.д.), нанотрубки начинают расти на металлических частицах катализатора.
Углеродные нанотрубки получают также методом электролиза при пропускании электрического тока между графитовыми электродами в расплаве. Далее расплав электролита охлаждается до комнатной температуры затем из него выделяется осадок содержащий углеродные наночастицы, осадок растворяется в толуоле и диспергируется в ультразвуковой ванне до получения наночастиц [45].
Перспективным способом массового производства углеродных нанотрубок является пламенный метод, топливом служит пропан, окислителем кислород [46]. Смесь горит во встречных потоках окруженная азотом, катализатор распыляется ультразвуковым распылителем и подается в пламя. В качестве катализатора используется Fe(CO)5 или спиртовой раствор нитрата никеля [47].
Нанотрубки сочетают малые поперечные размеры с большим модулем упругости, что позволяет создавать на их основе зонды и щупы высокой разрешающей способности для исследования микрообъектов [48]. В частности, использование нанотрубок в качестве наконечников для сканирующей микроскопии привело к существенному улучшению разрешающей способности таких устройств [49,50]. Используемые пирамидальные микрозонды из кремния накладывают ограничения на величину горизонтального разрешения, кроме того, размеры пирамидальной формы зонда затрудняют их применение при исследовании узких микротрещин на поверхности [51]. Применение нанотрубок в качестве наконечника зонда частично сняло эти ограничения. Зонды на основе нанотрубок имеют преимущества при сканировании глубоких микротрещин и выпуклых структур с относительно высокими микроперепадами [52,53].
Изменение -электронного спектра графена при упругой плоской деформации
Углеродные нанотрубки, благодаря своим уникальным физико-химическим свойствам, привлекают внимание многих исследователей. Среди обсуждаемых свойств - высокий модуль упругости углеродных нанотрубок при относительно низкой массовой плотности, зависимость между электрическими свойствами и механической деформацией [81,82,83,84,85]. Последнее обстоятельство может иметь много потенциальных применений для нано-электромеханических систем. Так в работе [85] исследовалось изменение электрической проводимости однослойных углеродных нанотрубок обусловленное изгибом инициируемым наконечником атомно-силового, было показано, проводимость может измениться на два порядка при данной механической деформации.
Наше рассмотрение деформации углеродной нанотрубки будет касаться упругих деформаций, в которых не возникает потери устойчивости продольной деформации, приводящие к изгибу нанотрубки (неустойчивость Эйлера) [86], также будет предполагаться величина деформации малой и не приводящей к необратимой деформации нанотрубки. Оценки величины деформации не выводящей за пределы упругой деформации приведены в работе [87], где показано: при деформации 12% у нанотрубки с индексами хиральности (8,0) возникает пластическая деформация приводящая к разрушению нанотрубки.
Как упоминалось в главе 1, геометрически углеродную нанотрубку можно представить как результат сворачивания атомной полосы на графеновой плоскости с последующим ”склеиванием“ противоположных сторон полосы. Графеновая полоса определяется через вектор хиральности С, определяемый через базисные векторы а1 и а2 решетки, С = і1а1 + і2а2, целые числа (/;,/2) определяют индексы хиральности углеродной нанотрубки. В результате сворачивания полосы образуется цилиндрическая поверхность, на которой базисные векторы трансляции аг и а2 графена переходят в винтовые повороты S(Acp Azj) и S2(A p2,Az2) (показанные на рис. 2.9) на цилиндрической поверхности радиуса R = c/2 ,(A i,Azi) и (A(p2,Az2) — параметры операторов винтовых поворотов.
В элементарной ячейке углеродной нанотрубки имеется два атома, действие операторов винтовых поворотов приводит к формированию атомной структуры углеродной нанотрубки, которая представляет две сдвинутые друг относительно друга атомные цилиндрические подрешетки A и B (см. рис.2.9)
Обсудим вопрос трансформации энергетического спектра к -электронов при сворачивании графеновой полосы при образовании углеродной нанотрубки. В энергетическом спектре л--электронов графена отсутствует запрещенная зона, причем в -пространстве в точках соприкосновения валентной зоны и зоны проводимости электронный спектр линеен. При сворачивании графеновой полосы условие периодичности волновой функции электрона в поперечном направлении полосы приводит к квантованию поперечной компоненты волнового вектора, в результате в зонной структуре может образоваться энергетическая щель, которая наследуется углеродной нанотрубкой. В используемом нами приближении сильной связи для углеродных нанотрубок необходимо знать матричные элементы оператора Гамильтона, определяющие амплитуды перехода электрона между ближайшими атомами и рассчитываемые через волновые функции л электронов атомных соседей. В главе 1 с использованием метода сильной связи было показано: энергия п -электронов углеродной нанотрубки определяется через два квантовых числа: магнитное квантовое число т=0,±1,±2,±3,… и волновой вектор к : энергии связи л--электрона с одиночным атомом углерода положено равной нулю. Формула (2.6) справедлива для нанотрубки большого радиуса и является обобщением формулы для энергии л--электрона в графене, впервые полученной в приближении сильной связи еще в работе [13]. В отличие от графена, энергетическая щель в котором равна нулю , в спектре л-электронов нанотрубки образуется энергетическая щель, размер которой обратно пропорционален диаметру нанотрубки.
Геометрически на плоскости (т,к) разрешенные значения квантовых чисел в (2.6) расположены на эквидестантных линиях, неэквивалентные значения которых могут быть определены из условия периодичности энергии как функции квантовых чисел. Из (2.6) легко определить область плоскости (т,к), являющуюся аналогом зоны Бриллюена графена, в которой расположены неэквивалентные значения квантовых чисел:
Геометрически неравенства (2.7) определяют на плоскости (m,k) параллелограмм. Деформированную нанотрубку геометрически можно представить как результат предварительной деформации полосы и последующую ”склейку“ полосы в углеродную нанотрубку. В данной постановке решалась задача о трансформации электронного спектра нанотрубки при упругой деформации [88,89] с использованием приближения сильной связи. Обсуждение возникающих проблем в общем случае приведено в [11]. В данном разделе, в дополнении к [88] рассматривается упругая деформация и атомная реконструкция углеродной нанотрубки с позиций геометрического преобразования координат атомов составляющих элементарную ячейку и изменения параметров операторов винтовых поворотов, определяющих симметрию нанотрубки. Это позволяет решать задачу преобразования энергетического спектра ж -электронов при упругой деформации нанотрубки с учетом изменения атомной симметрии.
Однородную деформацию углеродной нанотрубки геометрически можно представить как результат непрерывного преобразования координат точек расположенных на поверхности нанотрубки ((p,z,R) ( p ,z ,R ), где ( p,z,R)- цилиндрические координаты точки на поверхности нанотрубки до деформации, (q ,z ,R ) - координаты рассматриваемой точки на поверхности нанотрубки после деформации. Рассмотрим линейную деформацию нанотрубки задаваемую правилами преобразования координат точек на цилиндрической поверхности, которой является нанотрубка [90,91] р = р + zxyj/R , z = zx(l + у2) , R = Rx(l + y3), (2.8) где уj, у2, Уз - безразмерные параметры определяющие деформацию. Упругой одноосной деформации нанотрубки соответствует выбор параметров в (2.8) y1 =0,y3=-vxy2, где v - коэффициент Пуассона, мы будем
считать его не зависящим от угла хиральности в и равным значению коэффициента Пуассона, который нами использовался в данной главе для расчета деформации графена.
Деформацию кручения нанотрубки по (2.8) можно представить как относительный поворот поперечных сечений нанотрубки вдоль оси; значения параметров в формуле (2.8) нужно выбрать у2 = 0,у3 =0, параметр у і определяет угол кручения. На рис.2.10 схематически показана деформация приводящая к кручению нанотрубки.
Изменение электронного спектра углеродных нанотрубок при деформации
В качестве второго примера рассмотрим локализованное состояние, в котором компоненты псев до спиновой волновой функции (3.21) равны между собой ос = /З = 1. Данное квантовое состояние, в отличии от предыдущего случая выбора параметров ос = 1,J3 =0, локализовано на атомных подрешетках A и B. Из формулы (3.23) коэффициенты разложения состояния (3.21) по функциям (3.2) имеют вид: (3.28) зависимость коэффициентов аф от волнового вектора в рассматриваемом случае является различной для состояний из валентной и проводящих зон. Для средних значений координат данного квантового состояния, вычисляемым по формулам (3.18), в произвольный момент времени имеем:
На рис. 3.4 представлены данные численного расчета средней координаты x(t) по формуле (3.29) для различных значений параметров dqo . Как следует из рисунка, зависимость x(t) на больших временах линейна, на ранних стадиях эволюции она имеет апериодический колебательный характер. начальное состояние формирует уединенный волновой пакет, в котором ZB возникает на ранней стадии эволюции.
Был проведен анализ локализованных состояний (3.21), в которых параметры oc,j3 являются комплексными числами с равными модулями# = \Р\, но не равными фазами. На рис. 3.3а), рис.3.3d) и рис. 3.3e) показана плотность вероятности для локализованных квантовых состояний в нулевой и фиксированный момент времени для случая выбора параметров a = 1,P = i и a = 1,f} = exp(/ к /4) . Как следует из рисунков, из начального состояния формируются два волновых пакета различной амплитуды из валентной и проводящей зон.
Таким образом, в данном разделе приведены матричные элементы операторов координаты, позволяющие для локализованного квантового состояния электрона в графене вычислить средние значения координат в произвольный момент времени. Для локализованных состояний показан осциллирующий характер временной зависимости средних значений координат носящий затухающий либо апериодический характер. Данные свидетельствуют о возможности наблюдения квантовых осцилляций для средних координат, причиной осцилляций является пространственное перекрытие локализованных состояний проводящей и валентной зон. Рассмотренные локализованные электронные состояния представляют собой волновые пакеты, для которого можно оценить временной масштаб ZB, используя соотношение At &1/(VFq0), в разумных пределах величина At может быть порядка 10 14s. 3.2 Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках
Сходность явлений ZB в графене и углеродной нанотрубке связана с особенностями электронного спектра рассматриваемых структур и «наследованием» углеродной нанотрубкой электронных свойств графена. Факт наследования электронных свойств имеет геометрическую интерпретацию: углеродную нанотрубку можно представить как результат сворачивания графенового листа. Отличие явлений ZB в углеродной нанотрубке и графене обусловлено квантованием поперечной компоненты импульса электрона при сворачивании графенового листа, также различной размерностью: графен двухмерный объект, углеродная нанотрубка -квазиодномерный объект.
В длинноволновом приближении aq«1, где а - межатомное расстояние, q- волновой вектор рассмотрим способ построения волновой функции в углеродной нанотрубке предложенный в работе Ando [103]. Как было указано в главе 1, геометрическая процедура получения углеродной нанотрубки может быть представлена как сворачивание полосы на графеновой плоскости, определяемой вектором хиральности С = i1a1+i2a2, (/1,/2) - индексы хиральности. Тип проводимости углеродной нанотрубки определяется из следующих соображений [11] - для произвольной нанотрубки разность индексов хиральности удовлетворяет соотношению к-й = 3ы+у, где N - целое число, v принимает три значения v = 0,±1, значение v = 0 соответствует проводящей нанотрубке, v = ±1 - полупроводниковой. Трансформацию электронного спектра при сворачивании графеновой полосы можно понять из следующих соображений: для гамильтониана (3.1) рассмотрим собственные функции, представляющие собой плоские волны, которые соответствуют условию периодичности на противоположных краях полосы; направление вектора хиральности примем за направление координатной оси Ox. Условие периодичности приводит к следующим волновым функциям [104]: здесь gx(n) = 2nn - дискретная компонента проекции волнового вектора на L ось Ox, 0 x L, п- целое число нумерующее дискретные квантовые состояния на полосе; L - ширина графеновой полосы в направлении оси Ох, В -длина полосы в направлении оси Oy. Волновая функция (3.31) представляет собой двухкомпонентный псевдоспинор, каждая из компонент псевдоспинора определяет координатную волновую функцию электрона локализованного на одной из двух атомных подрешеток графеновой полосы. Рассматриваемая волновая функция (3.31) построена для проводящей углеродной нанотрубки для v = 0. В формуле (3.30) параметр S=±1 нумерует положительную и отрицательную ветви энергии Е nS =SVFhJqx(n) + q , hqy импульс электрона вдоль оси Oy.
Формула (3.31) позволяет идентифицировать волновые функции и энергии электронных состояний в длинноволновом приближении на поверхности углеродной нанотрубки, для этого сделаем замену переменных и введем новые обозначения: л:—»Rep,у —»z, L = 2nR, R - радиус нанотрубки, 0 ср 2л - полярная координата. В результате волновые функции (3.31) определенные на графеновой полосе могут быть заданы в цилиндрических координатах (р, z) на поверхности углеродной нанотрубки и записаны в следующем виде [104]: используемого в формуле (3.31) квантового числа п, волновой вектор q соответствует компоненте волнового вектора q ; напомним, формула (3.32) справедлива для проводящих углеродных нанотрубок. Заметим, волновая функция (3.32), построенная из (3.31), представляет собой двухкомпонентный псевдоспинор, компоненты которого определяют волновые функции электрона локализованного на двух подрешетках углеродной нанотрубки. Условие нормировки для функций (3.32) имеет вид
Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках
Квантовое состояние (3.32) представляет волну на цилиндрической поверхности. Величина hq в квантовом состоянии определяет импульс электрона вдоль образующей цилиндра, значение магнитного квантового числа т определяет момент импульса электрона Tim
Для вычисления волновой функции и распределения электронной плотности на цилиндрической поверхности нанотрубки в произвольный момент времени для квантового состояния необходимо воспользоваться шредингеровским представлением для волновой функции квантового состояния (3.26) :
Рассмотрим локализованное квантовое состояние, представляющее собой в нулевой момент времени волновой пакет, центрированный на поверхности углеродной нанотрубки для значения угла (0) = п и координаты размер области локализации пакета по осевой координате, параметр а -область локализации пакета по угловой переменной, q0- несущий волновой вектор, т0 -магнитное квантовое число. Параметры а и /3 определяют соотношения между компонентами псевдоспиновой функции. Коэффициенты разложения волновой функции (3.40) по собственным функциям (3.32) а mS=(w mS \у/(0)\ приводят к следующей формуле:
Рассмотрим локализованное квантовое состояние представляющее собой гауссов волновой пакет, построенный из состояний (3.32) для положительных энергий (=+1) или отрицательных энергий (=-1), обозначим средние значения волнового вектора и магнитного квантового числа в пакете через q0 ,т0. Скорость перемещения волнового пакета вдоль оси цилиндра определяются через групповую скорость дЕ s где Q - угловая скорость вращения. Таким образом движение волнового пакета по цилиндрической поверхности нанотрубки представляет собой смещение вдоль оси трубки и вращение, траекторию такого движения можно представить как движение по винтовой линии расположенной на цилиндрической поверхности.
Заметим, для волнового пакета может быть вычислена средняя координата z(t) по формулам (3.36) и (3.37) с учетом только диагонального матричного элемента для z координаты, получаемая при этом линейная зависимость от времени z(t) = Vzt содержит среднюю по состояниям
скорость Vz, совпадающую с групповой скоростью движения волнового пакета вдоль оси цилиндра (3.42). К аналогичным выводам для волнового пакета можно прийти рассматривая диагональный матричный элемент оператора координаты р при вычислении среднего p(t), получаемая при этом линейная зависимость cp(t) = 0.t содержит среднюю по состояниям Q угловую скорость вращения, которая приближенно может быть вычислена по формуле (3.43).
На рис. 3.5 схематически показано локализованное квантовое состояние (3.40) в исходный (нулевой) момент времени и трансформация этого состояния в последующие моменты времени для различных значений параметров а,р. Как следует из рисунка - с течением времени волновой пакет расщепляется на два волновых пакета, амплитуды которых зависят от соотношения параметров а,р. Образующиеся пакеты двигаются по винтовым линиям. (a) t=0 (b) t0 (c) t0
Рис.3.5. Временная эволюция плотности вероятности локализованного кван тового состояния на углеродной нанотрубке: исходное состояние (a); пр омежуточное состояние в момент времени Vpt/R = 20 для пакетов с парметрами а = 1,р = 0(b); а=1,р = exp(/я/4) (c) [106] Для локализованного квантового состояния (3.40) на углеродной нанотрубке рассмотрим частные случаи выбора параметров сс,(3, в качестве первого примера рассмотрим случай ос = 1; J3 = 0. В начальный момент времени электронная плотность вероятности отлична от нуля на атомах подрешетки А. На рис. 3.6 показаны зависимости средних значений осевой и угловой координат данного состояния от времени. При численных расчетах средних значений z(f) и cp(t) по формулам (3.37), с учетом (3.38), использовались безразмерные переменные: волновой вектор Q = qR, несущий волновой вектор Q0 = q0R, —– безразмерный параметр локализации R квантового состояния вдоль оси цилиндра. Как следует из рис. 3.6 имеет место осциллирующая затухающая зависимость от времени средних значений координат z(t) и cp(t) квантового состояния (3.40). Р ис.3.6. Временная зависимость средних значений угловой и осевой коо рдинат локализованного квантового состояния (3.40) с параметрами а = 1, р = 0 [107] На рис. 3.7 показаны зависимости средних значений осевой и угловой координат состояния (3.40) от времени для параметров а = l,fi = і. Как следует из рисунков, временная зависимость средних значений координат является осциллирующей и затухающей. Модуляция затухающих колебаний связана с вращение пакетов по поверхности углеродной нанотрубки (см. рис.3.5) .
Для численной оценки приведенных в работе данных по ZB необходимо определить следующие величины: скорость носителей в графене, радиус нанотрубки, параметры локализованных состояний в формулах (3.40) и (3.47). Значение скорости носителей в графене (см., например [3]) VF&106m/s, для радиуса нанотрубки R = 108m временной масштаб на рис.3.6 и рис.3.7 равен 10 14s; пространственный масштаб осевых осцилляций на рисунках определяется через значение параметра d, для і? = 10 т на рис. 3.5 й? = 0.5х108да, на рис.3.6 d = 108m. Несущий волновой вектор q0 на рисунках для R = 10" т равен q0=5x108m 1.
Таким образом, в данном разделе аналитически показана возможность существования явлений ZB для локализованных квантовых состояний электрона на поверхности проводящей углеродной нанотрубки. В качестве локализованных квантовых состояний рассмотрены волновые пакеты, построенные из состояний валентной и проводящих зон электронного спектра, явление ZB возможны только в данной ситуации.
В главе 3 изучена динамика и особенности временной эволюции ZB локализованных гауссовых волновых пакетов в графене и углеродных нанотрубках. Впервые эта задача для локализованных электронных квантовых состояний обладающих цилиндрической симметрией в углеродной нанотрубке анализировалась в работе [6]. Особенностью явления ZB в углеродной нанотрубке, в отличие от графена, является вращение и расплывание образующихся волновых пакетов, приводящее по мере смещения пакетов воль оси нанотрубки к периодическому перекрыванию локализованных состояний валентной и проводящих зон. Данный факт связан с размерностью объектов: графен имеет размерность равную двум, углеродная нанотрубка — квазиодномерный объект.
Впервые показана возможность существования явлений ZВ для квантового состояния электрона локализованного по осевой и угловой координатам на поверхности проводящей углеродной нанотрубки
Приведенные в главе оценки для частот и амплитуд ZB в графене и проводящей углеродной нанотрубке могут быть использованы для их экспериментальной идентификации [108]. Наблюдение осциллятор но го движения ZB требуют фемтосекундной техники [6, 109].
