Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Феноменология теплового пробоя полупроводниковых материалов 18
1.1 Тепловой пробой в твёрдотельных материалах 18
1.2 Полупроводники и их физические свойства 25
1.3 р-п переходы 29
1.4 Тепловой пробой плёнок полупроводниковых материалов 35
Глава 2. Термодинамический подход к описанию теплового пробоя полупроводниковых материалов 41
2.1 Макроскопическое описание теплового пробоя 42
2.2 Термодинамика формирования теплового канала 47
2.3 Неравновесная термодинамика зарождения теплового пробоя 54
2.4 Выводы 72
Глава 3. Динамическая теория возникновения теплового пробоя 74
3.1 Эволюционное уравнение для распределения температуры 74
3.2 Математическое описание условий возникновения теплового пробоя
3.3 Динамика теплового фона 87
3.4 Эволюция теплового фона при постоянном напряжении 90
3.5 Линейная теория тепловой неустойчивости 94
3.6 Выводы 101
Глава 4. Нелинейная динамика теплового пробоя 103
4.1 Эволюционное уравнение для флуктуации температуры 103
4.2 Описание зарождения пробоя. Нелинейное уравнение теплопроводности 110
4.3 Одномерная модель 115
4.4 Анализ динамической системы 125
4.5 Локализация тепла и возникновение теплового пробоя 134
4.6 Выводы 143
Глава 5. Анализ статистики микроплазменных каналов в тонких плёнках полупроводниковых материалов в режиме стабилизации теплового пробоя 147
5.1 Статистическая система микроплазменных каналов 149
5.2 Динамика системы микроплазменных каналов 155
5.3 Исследование динамической системы микроплазменных каналов 160
5.4 Предельное распределение числа микроплазменных каналов 165
5.5 Выводы 175
Заключение 176
Литература 178
- Полупроводники и их физические свойства
- Термодинамика формирования теплового канала
- Математическое описание условий возникновения теплового пробоя
- Описание зарождения пробоя. Нелинейное уравнение теплопроводности
Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию эффекта теплового пробоя в плёнках полупроводниковых материалов. Этот эффект возникает в процессе работы электронных приборов, в состав которых эти плёнки входят как составные элементы. Наше исследование, основано на феноменологическом подходе, т.е. используемая нами модель для описания динамики распределения температуры в плёнке формулируются в терминах макроскопических величин и не связаны с изучением кинетики электронов и дырок на основе микроскопического гамильтониана, учитывающего их взаимодействие с кристаллической решёткой. Основная идея такого подхода, сформулировать динамическое уравнение для распределения температуры в плёнке, учитывающее наличие источника джоулева тепла и влияние внешней, по отношению к плёнке, электрической цепи, а, затем, провести исследование динамического режима, приводящего к возникновению пробоя, на основе этого уравнения. Анализ показывает, что указанное динамическое уравнение должно быть обязательно нелинейным, ввиду того, что на основе его решений, приходится описывать физический эффект, связанный с качественными изменениями в системе. Описанный подход, однако, не является новым. Он был предложен ранее в работах [89] - [91]. Новым в диссертационной работе является такое видоизменение базовой модели указанных работ, которое допускает относительно простой математический анализ. Оно основано на представлениях неравновесной термодинамики. Предложенная в диссертации модель позволяет получить теоретически такие физические следствия, которые остались неисследованными в работах.
Важность теоретического изучения явления теплового пробоя связано с его деструктивным проявлением при функционировании электронных приборов. При разработке таких приборов возникает проблема определения области параметров их безопасной работы. Одной из основных причин отказа приборов, ограничивающей возможные рабочие значения параметров
как раз и является эффект теплового пробоя. Наличие этого эффекта, вот уже в течение нескольких десятилетий, оказывает сильнейшее влияние на развитие полупроводниковой микроэлектроники. Несмотря на накопленный обширный экспериментальный материал относительно явления теплового пробоя в полупроводниковых легированных и полуизолирующих материалах, а также опыт борьбы с этим эффектом [61], к настоящему времени имеются проблемы в его теоретическом описании с целью объяснения не понятых до настоящего времени, связанных с ним экспериментально наблюдаемых явлений.
Тепловой пробой был обнаружен в 1948 г. при отказах в работе и выходе их из строя полупроводниковых диодов, и описан впервые в работе [72]. Спустя десять лет аналогичное явление было обнаружено также при работе транзисторов-[88]. К моменту экспериментального наблюдения явления теплового пробоя, был известен эффект резкого падения переменного напряжения при достаточно большом его обратном смещении (вторичном смещении), превышающем рабочий диапазон. Наблюдавшийся-выход из строя полупроводниковых приборов в результате возникновения теплового пробоя их элементов также сопровождался резким уменьшением падающего на них напряжения' при обратном смещении. В связи с чем, тепловой пробой получил в литературе несколько неудачное официальное название "вторичного пробоя" (secondary breakdown), принятое Международной электротехнической комиссией [81]. Однако, несмотря на внешнюю похожесть этих явлений- резкое уменьшение величины электрического напряжения, падающего на элемент цепи, в состав которого входит плёнка полупроводникового материала, позднее было выяснено, что явление вторичного пробоя характеризуется не пробоем плёнки в буквальном смысле, как это имеет место в слое диэлектрика, к которому приложено напряжение, а интенсивным локальным разогревом и последующим проплавлением в плёнке каналов [84]. Поэтому, в настоящей работе, мы будем в основном пользоваться термином тепловой пробой и не прибегать к термину
вторичный. В связи с появлением проплавленных каналов, естественно предположить, что возникновение теплового пробоя является результатом тепловой неустойчивости, которая проявляется вследствие роста электропроводности при увеличении температуры. Эта неустойчивость сопровождается т.н. файламентацией тока, которая представляет собой перестройку режима его протекания, пространственно однородного вдоль плоскости плёнки, в режим сосредоточения тока в тонких пронизывающих плёнку каналах. Заметим, что в русскоязычной литературе часто употребляется, в отношении этого эффекта, неудачный термин шнурование тока, что приводит к смешению его с другим эффектом - т.н. пинч-эффектом, возникающем в проводящей среде. Неустойчивости, сопровождающиеся файламентацией тока были обнаружены в образцах полупроводниковых материалов - Ge, Si, GaAs, безотносительно к их использованию в виде элементов электронных приборов [79], [69],[80]. Заметим, что при такой неустойчивости в указанных материалах наблюдается S-образная вольт-амперной характеристика [61],[22]. Наряду с концепцией о тепловой неустойчивости появились микроскопические теоретические модели для объяснения явления теплового пробоя. Из наиболее ранних работ, мы упомянем теорию монополярного режима инжекции носителей [46]. Возникла также теория режима с двойной инжекцией носителей [48], [71], где фактором, с которым связывается зарождение шнура тока, являются флуктуации уровня легирования, проявляющиеся при наличии градиента концентрации компенсирующей примеси (см., также [31], в которой анализируется возникновение, в результате двойной инжекции, области сильного электрического поля в тиристорных структурах при сверхбольших плотностях тока). Упомянем также об известной одномерной модели [51], [77], в которой локализация тепла в диодах и транзисторах связывается с наличием границы р — п перехода. Однако, как было указано выше, тепловой пробой имеет место не только в р — п переходах, но и в однородных по составу плёнках полуизолирующих материалах, и, поэтому, такое объяснение локализации тепла
следует признать недостаточным. Не вдаваясь, далее, глубоко в критику имеющихся в настоящее время различных теоретических построений (см., например, [69],[46], [48], [51] - [87], [73]), на основе которых делаются попытки объяснения эффекта вторичного прибоя и обработки имеющихся экспериментальных данных, укажем, что они также, по нашему мнению, являются недостаточными, прежде всего, вследствие качественного несоответствия - невозможности теоретического выявления причин, вызывающих локализацию тепла.
Таким образом, следует признать, что, несмотря на большой экспериментальный материал по измерению вольтамперных характеристик в предпробойной и послепробойной стадиях [46], [48], [70], [71], [78], [74], [75], [68] при возникновении теплового пробоя, до самого последнего времени оставалась неисследованной ни микроскопическая природа тепловых не-однородностей, которые являются затравочным возмущением при возникновении тепловой неустойчивости, ни нелинейный эволюционный режим развития тепловых возмущений. С целью преодоления указанных трудностей построения, теории теплового пробоя, в работах [89] - [91] был предложен подход к изучению этого явления, основанный только на макроскопических понятиях - распределения температуры и плотности суммарного тока электронов и дырок. Это обстоятельство кардинально отличает такой подход от предшествующих теоретических построений. Обычно считалось, что, в связи с микроскопической природой флуктуации, инициирующих тепловой пробой, адекватным подходом для описания зарождения пробоя должен быть именно микроскопический подход на основе кинетического описания ансамбля электронов и дырок. Идея исследования режима развития теплового пробоя в плёнке полупроводникового материала, в рамках макроскопического описания эволюции распределения температуры по плоскости плёнки на основе нелинейного уравнения теплопроводности с распределённым по ней самосогласованным образом источником джоулева тепла была предложена в работах [89] - [91]. В этих работах
было введено понятие о фундаментальной длине — характерной величине размерности длины, которая связывается с размерами проплавленных, в результате пробоя, каналов, были проанализированы физические причины, вызывающие локализацию тепла, а также, была исследована, в рамках одномерной модели, стадия зарождения пробоя, которая оказалась качественно аналогичной т.н. LS-режимам [52], обнаруженным в решениях одномерных нелинейных уравнений теплопроводности с самосогласованно распределённым источником.
Следует отметить, что уравнение теплопроводности с распределённым самосогласованным источником тепла с нелинейно возрастающей зависимостью от температуры электропроводности материала было впервые использовано В.А.Фоком, в связи с построением им теории теплового пробоя диэлектриков [58], [76]. Однако, условия, при которых производился анализ этого уравнения - постоянство теплопроводности материала, не могут приводить к локализации тепла и, поэтому, его теория не может быть автоматически перенесена для описания'теплового пробоя;полупроводниковых плёнок. Это связано с тем физическим положением, что в диэлектриках, электрические токи чрезвычайно малы и не могут приводить к такому достаточно быстрому выделению джоулева тепла, при котором происходит его локализация и зарождение тепловых каналов. Пробой диэлектриков,, который происходит при достаточно больших электрических перенапряжениях, превосходящих электрическую прочность материала, развивается лавинообразно [24] и приводит к образованию структурых повреждений в образце материала без его расплавления Влияние изменения распределения температуры в диэлектрической плёнке на возможность развития пробоя состоит в том, что её повышение уменьшает электрическую прочность материала.
Таким образом, следуя работам [89] - [91], теоретическое исследование эффекта теплового.пробоя.в настоящей работе основано на подходе, который мы называем феноменологическим или макроскопическим. Наряду с
имеющимися в цитируемых работах несомненными достижениями, остались нерешёнными многие вопросы теории. Во-первых, не была развита количественная теория, базирующаяся на реалистической (а не академической модели) и, во-вторых, не были объяснены качественно, а тем более, обоснованные количественными расчётами некоторые эффекты, сопровождающие тепловой пробой. Это касается, прежде всего, явлений переброса напряжения" в результате пробоя и стабилизации режима пробоя, когда, несмотря на возникновение предпробойного состояния, этот эффект не реализуется, а напротив, в результате такой стабилизации, на плёнке материала возникает статистический ансамбль микроплазменных каналов. Не были найдены физически обоснованные критерии на внешние параметры, при которых возникает пробой.такие как пороговая температура пробоя, пороговые значения амплитуды, пространственного размера и плотности тепловых флуктуации, на которых зарождается пробой и т.д. Настоящая работа посвящена решению именно этих вопросов. В то же время, работа не претендует на построение всеобъемлющей теории теплового пробоя полупроводниковых плёнок при всевозможных типах их тепловых и электрических характеристик. Нами существенно используется возрастающий тип температурной зависимости теплопроводности. Это положение характерно для полупроводниковых материалов в аморфном состоянии. В частности, достоверные экспериментальн определённые зависимости такого рода для соединений As2Se3, A.S2S3 в аморфном состоянии.
Цель работы: Построение нелинейной динамической теории теплового пробоя полупроводниковой плёнки, которая изготовлена из аморфного полупроводникового материала, обладающего возрастающей температурной зависимостью теплопроводности и входит в состав электрической цепи с постоянной ЭДС.
Задачи исследования: Исходя из вышеуказанной цели исследования, в диссертации решались следующие задачи теоретического описания явления теплового пробоя.
Построить, в рамках неравновесной термодинамики, адекватную нелинейную динамическую модель, позволяющую теоретически описывать развитие теплового пробоя и создать, на её основе, метод вычисления экспериментально измеряемых характеристик теплового пробоя полупроводниковой пленки, включенной в состав электрической цепи с постоянной ЭДС.
На основе построенной модели, произвести анализ физического механизма зарождения теплового пробоя, в случае, когда плёнка изготовлена из материала с возрастающей температурной зависимостью теплопроводности, с целью определения области значений физических параметров плёнки и электрической цепи, при которых возникает динамический режим пробоя.
На основе проведенного анализа, найти расчётные формулы для экспериментально измеряемых физических величин, характеризующих тепловой пробой - времени развития пробоя, размера проплавленных, в результате пробоя, каналов.
Выявить физические условия, приводящие, в условиях стабилизации неустойчивости динамического режима и предотвращения теплового пробоя, к статистически различному поведению ансамбля микроплаз-менных каналов в плёнке полупроводникового материала, которые вызваны эффектом локализации тепла. Определить распределение вероятностей случайного числа этих микроплазменных каналов.
Научная новизна. В результате исследования теплового пробоя в тонких плёнках, изготовленных из полупроводникового материала, была создана нелинейная динамическая теория этого эффекта на основе представлений неравновесной термодинамики. В рамках развитой теории было установлено следующее.
1. В плёнке полупроводникового материала с возрастающей температурной зависимостью, которая характерна для материалов в аморфном
состоянии, в результате теплового пробоя, происходит образование проплавленных каналов с радиусом, величина которого не зависит от амплитуды и пространственного размера температурных неоднород-ностей, вызывающих пробой.
Универсальность размера проплавленных каналов не может быть объяснена в рамках линейной динамической модели развития теплового пробоя аморфной полупроводниковой плёнки.
Эффект пробоя имеет пороговый характер по температуре, т.е. его развитие на плёнке' начинается только по достижению средней температурой плёнки определённой величины, которая определяется параметрами материала плёнки и параметрами электрической цепи. Установлено уравнение, на основе которого эта пороговая температура может быть вычислена для рассматриваемых в диссертации экспериментальных условий.
При достижении средней температуры плёнки порогового значения, пробой зарождается только на тех температурных неоднородностях, амплитуда #о и пространственный размер го которых удовлетворяют определённому "ограничению. В" диссертации это ограничение получено в виде неравенства, которому должны удовлетворять 6q и tq.
При определённых значениях параметров плёнки и электрической цепи,, возможна стабилизация неустойчивости динамического режима, в результате которой тепловой пробой не реализуется, а на плёнке образуются микроплазменные каналы. Это происходит в том случае, когда температура стабилизации, определяемая в диссертации на основе параметров плёнки и электрической цепи, не превосходит температуры плавления материала.
В условиях стабилизации динамического режима число наблюдаемых микроплазменных каналов случайно. В диссертации показано, что
распределение вероятностей этого числа является пуассоновским с показателем, величина которого выражается через параметры плёнки и электрической цепи и может изменяться в широких пределах.
7. В рамках модели, предложенной в диссертации, найдены формулы для расчета диаметра каналов в плёнке аморфного полупроводникового материала, проплавленных в результате теплового пробоя. Получена формула для расчёта'времени теплового пробоя.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическое и практическое значение полученных результатов обуславливается тем; что разработанные теоретические методы позволяют проводить, в рамках базовых представлений теоретической физики, математическое моделирование явления теплового пробоя в средах с различными физическими свойствами- и давать предсказания о поведении полупроводниковых плёнок,, входящих в состав электронных приборов, при приложении к ним внешнего электрического напряжения, в различных температурных режимах.
Положения, выносимые на защиту.
Метод вычисления, на основе: температурных зависимостей^ коэффициентов электропроводности сг(Т) и теплопроводности х(Т), экспериментально измеряемых характеристик теплового пробоя полупроводниковой пленки, включенной В: состав электрической цепи с постоянной ЭДС: пороговой температуры, ограничения на средний простран-ственный размер и среднюю величину температурных неоднороднос-тей, при которых зарождается тепловой пробой; диаметра проплавленных каналов; времени пробоя;
Распределение вероятностей для случайного числа светящихся микроплазменных., каналов в плёнке полупроводникового материала в аморфном состоянии, включенной в состав электрической цешг с постоянной ЭДС, при стабилизации в ней неустойчивости, которая вызвана эффектом локализации тепла.
Формулу, для расчета диаметра каналов, проплавленных в* результате теплового пробоя в пленке, находящейся в составе электрической цепи при постоянной ЭДС и изготовленной из полупроводникового материала в аморфном состоянии, который обладает возрастающей зависимостью теплопроводности от температуры.
Формулу для вычисления; времени теплового пробоя полупроводниковой пленки, которая является функциональным элементом электрической цепи с постоянной ЭДС и выполнена из полупроводникового материала в аморфном состоянии, обладающего возрастающей; зависимостью теплопроводности от температуры.
Апробация работы. Материалы, включенные в* диссертацию^ опубликованы в в: девяти печатных научных работах автора совместное научным руководителем и в материалах семи международных и всероссийских научно-технических конференций. Они вышли из печати на протяжении 2003-2007гг. и представлены в общему списке литературных источников, на которые имеются ссылки в диссертации. Материалы работы докладывались и обсуждались на: ;
VI международной конференции по математическому моделированию, г.Херсон, 9-14 сентября 2003г.
Воронежской зимней математической школе, г.Воронеж, 23-28 января 2004г.
Десятой международной научной конференции им. акад. М.Кравчука, г.Киев (Украина), 13-15 мая 2004г.
XVI Международная конференция по физике радиационных.явлений и радиационному материаловедению, г. Алушта (Украина),6-11 сентября 2004г.
Киевская Боголюбовская конференция "Современные проблемы математики и теоретической физики", г. Киев (Украина), 13-16 сентября 2004г.
Международная конференция по нелинейной динамике, г. Харьков (Украина), 14-16 сентября 2004г.
VII Международной конференции по математическому моделированию, г.Феодосия, 5-10 сентября 2005г.
III Российская научно-техническая конференция "Физическая свойства металлов и сплавов", г. Екатеринбург, 16-19 ноября 2005г.
IV Российская научно-техническая конференция "Физическая свойства металлов и сплавов", г. Екатеринбург, 21-22 ноября 2007г.
Структура и содержание работы. Диссертация состоит из настоящего введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, который содержит 96 наименований. Каждая глава состоит из разделов.
В каждой главе и в каждом разделе принята своя нумерация формул. Таким образом, нумерация их является тройной: первая цифра указывает на номер главы, вторая на номер раздела, третья на номер формулы в пределах главы и раздела, указанных первыми двумя цифрами. Однако при ссылках на формулы в пределах текущей главы первая цифра опускается, точно также как при ссылках в пределах текущего раздела опускаются две первых цифры.
Ссылки на литературу даны заключенными в квадратные скобки номерами соответствующих литературных источников в приложенном в конце диссертации списке. В этом списке указаны только те источники, на которые даются ссылки в тексте. Нумерация литературных ссылок построена в алфавитном порядке.
Мы придерживаемся в работе единой для всего текста системы обозначений. Принципы ее построения приводится в отдельном списке.
Для удобства чтения работы, формулировки некоторых полученных в диссертации результатов, а также даваемые по ходу изложения точные определения понятий выделены наклонным шрифтом.
Первая глава посвящена введению в проблему теоретического изучения эффекта теплового пробоя полупроводниковых плёнок, постановке возникающих, в рамках этой проблематики, задач. В этой главе, даётся феноменологическое описание эффекта теплового пробоя.
Во второй главе развивается подход к исследованию явления теплового пробоя плёнок полупроводниковых материалов на основе методов неравновесной термодинамики. Bt рамках такого подхода в этой главе получены формулы: для времени пробоя *,, диаметра проплавленных каналов 2г*; даются доказательства:-универсальности величины ?%, существования; пороговой; температуры Т*; для*; возникновения эффекта пробоя; а также, выводится; уравнение для температуры Т* и даётся критерий для амплитуды тепловых:флуктуации в:плёнке и их пространственных размеров, при которых зарождается; пробой:.
В^ третьей; главе исследуется* динамическое уравнение для пространственного, распределения! температуры в плёнке полупроводникового материала, описывающего зарождение;.развитие и; стабилизацию теплового пробоя- Эта уравнение было получено в! более ранних работах [89]-[93]. Новым результатом в этой главе является доказательство того, что в рамках линейной теории, основанной на линейном уравнении теплопроводности с распределённым самосогласованным источником; тепла невозможно построить теорию теплового пробоя, объясняющую экспериментальные факты.
Четвёртая глава также основана на идеях указанных работ. Новым в этой главе является вывод формулы для времени пробоя *,.находящейся в согласии с формулой; получаемой в рамках неравновесной термодинамики.
В пятой главе изучается статистический ансамбль тепловых флуктуации, на которых зарождается тепловой пробой. Доказывается возможность
стабилизации режима пробоя и образования долгоживущих микроплазменных каналов. В рамках простейшей модели, вычислено распределение вероятностей для случайного числа светящихся микроплазменных каналов, которые возникают из температурных неоднородностей на плёнке.
В заключении подведены итоги проведенному в диссертации исследованию.
Полупроводники и их физические свойства
Полупроводниковые материалы, обладают следующими характерными для них свойствами. Значения удельной электрической проводимости лежат в пределах от 10"7 до 102 OM-W1 при 300К, [57]. При больших значениях температуры, проводимость, в отличие от металлов, ведёт себя разнообразно [37] - в кристаллических материалах, она убывает, однако, её зависимость от темпертуры не связана с зависимостью от температуры электропроводности [62], а в аморфных материалах - линейно возрастает, а затем выходит на постоянную [49]. Наличие больших значений термо-э.д.с. относительно фиксированного металла, по сравнению с аналогичными металлическими контактами. При этом термо-э.д.с. может принимать как положительные значения, так и отрицательные. Наличие эффекта выпрямления переменного тока в полупроводниковых контактах или, по крайней мере, нарушение закона Ома - линейной связи между величиной тока и приложенного напряжения. Чувствительность изменения электропроводности к внешним воздействиям - изменению температуры, действию электромагнитного излучения, как проникающего, так и в видимом диапазоне (появление фото-э.д.с. или изменения проводимости), а также действию постоянных электрического и магнитного полей [53]. Например, что касается чувствительности тепловых воздействий, то проводимость может возрастать на 5 — 6% на 1К. Это приводит к тому, что изменение сопротивления полупроводников с температурой в 10 — 20 раз больше, чем у металлов. Чувствительность электропроводности к чистоте образца, т.е. к концентрации различного рода дефектов - примесей, дислокаций и т.д.; даже малые концентрации такие, как несколько примесей на 108 атомов, могут привести к заметному изменению проводимости при некоторых значениях температуры.
Перечисленные свойства качественно отличают полупроводниковые материалы от металлов и диэлектриков. Полупроводниками являются некоторые химические элементы: германий (Ge),.кремний (Si), бор (В), углерод (С), фосфор (Р), сера (S), мышьяк (As), селен (Se), серое олово (Sn), теллур (Те), свинец (РЬ), йод (I) [54].
Кроме химических элементов существует много соединений, в том числе и органических, которые обладают полупроводниковыми свойствами. Особенно важными являются двойные соединения. Основными веществами такого типа являются две группы материалов, которые, с химической точки зрения, имеют структуру АщВу и АцВуї (АіуВуї), (здесь индексы указывают на валентность элемента соединения, которая может совпадать с номером группы в периодической таблице Менделеева) В первом случае, соединения обладают ковалентной связью. Во втором, связь может одновременно иметь и ковалентный, и ионный характер. Эти вещества носят название полярных полупроводников. К ним относятся такие соединения, как PbSe, РЬТе и PbS, где РЬ проявляет валентность 2.
Среди соединений типа АцВуї особенно интересны CdS, PbS, PbSe и РЬТе. Они обладают исключительной оптико-электрической чувствительностью. По этой причине, в плёнках этих соединений, возможно возникновение теплового пробоя при их световом облучении, CdS - в видимом диапазоне, PbS, PbSe и РЬТе - в инфракрасном.
Из соединений типа АщВу интересны, с точки зрения возникновения эффекта теплового пробоя, все девять соединений, включающих комбинации трёхвалентные Al, In, Ga, с одной стороны, и пятивалентные Pb, As, Р - с другой, например, соединения InPb, GaAs и GaP. Очень важный для применений класс составляют полупроводниковые материалы, представляющие собой твердотельные растворы (сплавы) в виде растворённых в основном химическом соединении примесей с доволь 27 но малой концентрацией. Такие сплавы называют легированными соответствующими химическими соединениями, а сам процесс сплавления -легированием. Основная компонента сплава может как обладать, так и не обладать полупроводниковыми свойствами в чистом состоянии. При этом валентность примесей должна отличаться от валентности основных атомов. Материалы, проявляющие полупроводниковые свойства в химически чистом состоянии, т.е. в отсутствие примесей, называются собственными полупроводниками. Наоборот, полупроводниковые материалы, которые обладают полупроводниковыми свойствами только в присутствии примесей, называются примесными. При этом проводимость, вызванная введенными примесями, называется примесной проводимостью [30], [33], [34],. Каждый полупроводник, в определённом температурном интервале (где собственная проводимость не оказывает большого влияния на процесс электропроводности), обладает, за счет ионизации примесей, только примесной проводимостью. Примесные полупроводники подразделяются на электронные и дырочные. Следует отметить, что собственные полупроводники проявляют собственную проводимость только при достаточно высокой чистоте образцов этих материалов.
Твердотельные полупроводники бывают как кристаллическом состоянии, так и в аморфном [30]. При этом кристаллические полупроводники обладают довольно разнообразной решёточной структурой. Среди полупроводниковых химических элементов, наиболее сложные кристаллические решётки (типа алмаза) имеют Si и Ge. Следует отметить, что некоторые вещества, которые могут находиться как в кристаллическом состоянии, так и в аморфном, могут обладать полупроводниковыми свойствами только в первом из них, тогда как во втором они ведут себя как диэлектрики. Таковыми являются Ge, Si, Те и, в особенности, Se.
Термодинамика формирования теплового канала
В этом разделе мы используем построения, известные в теории теплового пробоя диэлектриков (см., например, [20]), для анализа этого эффекта в плёнках полупроводниковых материалов без учёта эффекта стабилизации режима пробоя внешним активным электрическим сопротивлением.
Положим, что в исследуемой полупроводниковой плёнке, к плоскостям которой приложено электрическое напряжение, возникли тепловые каналы. Эти каналы мы будем мысленно нумеровать индексом г = 1,..., N, где N -полное число каналов. Каждый г-й канал, мы будем характеризовать двумя параметрами - температурой Тг и радиусом гг, і = 1,..., JV. Обозначим То температуру теплового фона и введём, для каждого из каналов, отклонение 0г = ТІ — То, і = 1,..., N его температуры от температуры теплового фона. На протяжении всей этой главы мы будем рассматривать каналы невзаимодействующими, т.е. мы не будем принимать во внимание наличие конкуренции между ними в перераспределении мощности, прикладываемой к плёнке, о которой речь шла в предыдущем разделе. Такого рода взаимодействие будет нами рассмотрено в гл. V при исследовании статистики образовавшихся микроплазменных каналов. Если считать, что тепловой пробой возникает вследствие достижения температуры плавления тем j-м каналом, из всей их совокупности, у которого температура Tj наибольшая, то, далее, нам достаточно изучить термодинамику системы, состоящей из одного канала и термостата.
Мы исследуем условие зарождения теплового пробоя посредством одного фиксированного теплового канала на основе первого начала термодинамики, трактуя этот эффект как нарушение теплового равновесия между каналом и термостатом. Положим температуру этого выделенного канала равной Т. Обозначим W\[T) - количество джоулева тепла, выделяющегося при этой температуре в объёме канала в единицу времени. Пусть плотность тока j в канале, согласно закону Ома, определяется величиной j = Еа(Т), где Е - напряжённость однородного электрического поля в плёнке, т(Т) - зависящая от температуры электропроводность материала плёнки. Тогда, количество джоулева тепла, выделяемое в единице объёма канала равно j2/cr(T). Следовательно, величина W\{T) определяется формулой Wi(T) = V,E2a(T), (2.2.1) где V - объём канала в термодинамическом равновесии его с термостатом. Обозначим Р(Т) - поток тепла через единицу площади боковой поверхности канала наружу в термостат при данной температуре Т. Этот поток зависит от разности температур (Т — То) канала и фона и обращается в нуль, при обращении в нуль этой разности. В общем виде, этот поток можно представить в следующей "градиентной" форме т P(T)=8 l f х(т)с1т, (2.2.2) То где х(Т) - зависящий от температуры канала коэффициент теплоповод-ности материала, 5 - ширина условного приграничного слоя канала, разделяющего основную его массу от теплового фона. Полный поток тепла из канала в термостат равен W2(T) = S P(T), (2.2.3) где S - площадь боковой поверхности канала. При протекании электрического тока через плёнку, джоулево тепло производится в каждый момент времени как в канале, так и в термостате, причём величина тепла, производимая в единице объёма термостата, равна Е2а(То). Тогда И (Го) = V E2(T(TQ) - количество тепла, выделяемого в единицу времени в объёме V термостата, равного объёму канала. В теплообмене же между каналом и термостатом принимает участие только та часть тепла, выделившаяся в объёме канала, которая является избыточной, по сравнению с величиной всего производимого в объёме этого канала тепла, в том случае, если бы его не существовало вообще, т.е. температура в этом объёме была бы равна температуре Го теплового фона. Это избыточное количество тепла равно, таким образом, W\(T) — Wi(7o). Тепловое равновесие имеет место тогда, когда это избыточное тепло выносится за ту же единицу времени наружу в термостат. Поэтому, условие теплового равновесия записывается в виде Wi{T) - Wi(To) = W2(T). (2.2.4) Примем, что канал имеет форму цилиндра с равновесной величиной радиуса г . Тогда, имеем V = itr\d, где d - толщина плёнки, и S = 2-Kr d. Если параметры г и Г таковы, что W\{T) W2(T), то внутри канала производится больше тепла, чем выводится из него наружу и, поэтому, с одной стороны, повышается его температура, а с другой, прогреванием приграничных с каналом участков плёнки, он расширяется, т.е. г увеличивается настолько, чтобы установилось равновесие. Наоборот, если Wi(T) И Т), то внутри канала производится тепла меньше, чем выводится наружу и, поэтому, температура канала понижается настолько, чтобы имело место равенство (4).
Заметим, что всегда существует тривиальное решение этого уравнения 0= 0, Г = То-1 Если1 такое решение единственно, то, в случае, когда И Г) W\(T) — WI(TQ) при Г Го, это означает, что выход тепла из канала превышает приход и, поэтому, в точке Го дальнейший нагрев канала невозможен - всякая температурная неоднородность с малым превышением 0 над окружающим фоном, с течением времени исчезает, и она не превращается в тепловой канал, который является объектом нашего изучения. В случае же, когда выполняется обратное неравенство И (Т) W\(T) — W\(TQ) при T То, тривиальное равновесное решение 0 = 0 неустойчиво, и это означает, что равновесие невозможно, по причине того, что приход тепла в канал превышает его выход наружу и, с течением времени, температура в канале возрастает вплоть до температуры плавления, либо до точки эвтектики составного полупроводника.
Рассмотрим случай существования, по крайней мере, двух решений уравнения (6), причём второе решение 0 = Т — То - дополнительное к решению 0 = 0- находится справа от температуры То. Такое положение возможно, так как зависимость электропроводности от температуры имеет участок монотонного возрастания, более быстрого, чем рост теплопроводности. Нас будет интересовать случай, когда пространственно однородное распределение температуры устойчиво, т.е. устойчивым является решение 0 = 0 и W 2(T) Wi(T) — W\(TQ) при малых 0. Тогда ближайшее справа к точке То решение Т уравнения (6) обязательно неустойчиво, т.е. правее этого решения имеет место обратное неравенство, И Т) W\{T) — WI(TQ). Эта неустойчивость как раз и соответствует возникновению теплового пробоя. А именно, если амплитуда затравочного температурного всплеска, который мы моделируем посредством теплового канала, переходит величину 0 , то тепловое равновесие между каналом и термостатом нарушается и этот канал инициирует тепловой пробой. Поэтому, тепловой пробой становится возможным, если средняя амплитуда теплового всплеска 0Q сравнивается с решением 0 , 0 та 9Q.
Пусть теперь решение 0 = 0 неустойчиво, т.е. W2(T) W\(T) — W\(TQ) при малых значениях. 0 , 0. Тогда в рассматриваемой температур-ной точке То пространственно однородное распределение температуры неустойчиво. При этом наименьшее решение Т То уравнения (6) должно быть устойчивым, так как правее него выполняется неравенство И (Т) Wi(T) — Wi(To). В этом случае равновесным состоянием рассматриваемой термодинамической системы является тепловой канал (или система каналов) с температурой Т и радиусом г , находящийся в окружении теплового фона при температуре То- В этом случае, такие каналы естественно интер претировать как наблюдаемые наэксперименте микр on л азменные каналы, возникающие в условиях стабилизации режима теплового пробоя.
Математическое описание условий возникновения теплового пробоя
Для,того чтобы завершить постановку математической задачи, решения которой можно, было бы,, интерпретировать как описывающие возникновение теплового пробоя в полупроводниковой плёнке, необходимо указать принцип их отбора из общей совокупности решений базового эволюционного уравнения (2.8). Для этого нужно задать соответствующие граничные и начальные условия. Что касается граничных условий, то, при описании теплового пробоя (но не лавинного), их можно варьировать в очень широких пределах. Возможность возникновения локализованной тепловой структуры слабо зависит от условий на границах плёнки. Это связано с тем, что времена развития пробоя намного меньше характерного времени переноса тепла от границ в глубину плёнки. Например, характерное время переноса тепла от граней плёнки в середину, при толщине плёнки в lmm имеет порядок (4 (T )/d2) 10-5с, что намного превосходит время развития пробоя. В частности, именно поэтому, мы ограничились в уравнении (1.8) двумя пространственными переменными. В дальнейшем будем считать, что на границе Г поток тепла направлен из плёнки наружу, т.е. (n(x),VT(x,))r 0, где п(х) - вектор внешней нормали в.точке х к поверхности Г, ограничивающей плёнку. Это соответствует экспериментальному условию - наличию теплоотвода от плёнки наружу через её границу.
Более важным для исследования зарождения структуры теплового пробоя является выбор начальных условий. Так как математическое описание теплового пробоя есть описание спонтанного возникновения структуры при произвольных малых возмущениях теплового фона, то соответствующие решения уравнения (1.8) должны выявлять неустойчивость однородного решения T(t) этого уравнения. Произвольность начальных условий в виде возмущений однородного состояния, в конце концов, означает их случайность. Поэтому начально-краевая задача для уравнения (1.8), решение которой моделирует возникновение структуры теплового пробоя, является задачей со случайными начальными условиями Г(х, 0). При этом независимо от случайного выбора этих функций, решения уравнения (1.8), по истечении времени пробоя , должны превращаться в распределение температуры Т(х, і), локализованное в тех областях, внутри которых имелось отклонение Г(х, 0) — Г(0) = 0(х, 0) от однородного состояния в начальный момент времени. При этом характерный размер г областей локализации не должен существенно зависеть от конкретной формы начальных отклонений в каждой из этих областей (см. 2.1, п.2)). Итак, с математической точки зрения, необходимо изучать решения уравнения (1.8) со случайными начальными условиями Г(х, 0), моделирующими флуктуации температуры. Эти флуктуации обычно связывают с наличием дефектов в кристаллической структуре плёнки. Случайные начальные условия определяются посредством распределения вероятностей появления тех или иных случайных реализаций Г(х, 0). Так как основные интересующие нас характеристики теплового пробоя - время пробоя и размер каналов г , по предположению, не должны зависеть (см. 2.1, пп.2),3)), при разумных,ограничениях, от конкретного выбора случайных условий или, иначе, реализовываться с вероятностью единица, то для теоретического предсказанияэтих величин задавать конкретное распределение вероятностей для начальных условий не обязательно. Единственное, что нужно, так это выразить математически, что понимается под "разумными ограничениями". Указание распределения вероятностей нампо-надобится в главе V настоящей работы при вычислении распределения вероятностей для случайного числа проплавленных каналов.
Ввиду малости параметра ATQ - объёмной доли занимаемых всплесками температуры по отношению ко всему объёму плёнки1, в дальнейшем, при исследовании развития теплового пробоя, можно считать, что тепловые флуктуации не перекрываются пространственно в начальный момент времени, так как в указанном случае, вероятность их перекрытия является очень малой. Более того, по этой же причине, можно считать, что за времена развития пробоя, размер каждой из них не успеет возрасти настолько, чтобы между ними появились перекрытия. Это последнее положение, заведомо, не будет иметь место, если режим теплового пробоя стабилизируется, то есть образуются долгоживущие микроплазменные каналы. Таким образом, для того чтобы исследовать зарождение и развитие тепловой неустойчивости для малого временного интервала, когда знаменатель в формуле (1.7) ещё мало отличается от единицы, достаточно исследовать эволюцию во времени единственной обособленной флуктуации в распределении температуры. Для этого начальные условия начально-краевой задачи должны быть выбраны в виде Г(х,0)=Г0 + в(х). (3.2.2) где О(х) 0 - случайная реализация, описывающая отклонение от теплового фона обособленной локализованной тепловой флуктуации. В дальнейшем, при математическом анализе, удобно считать, что эта функция отлична от нуля только в малой окрестности нуля, имеющей случайную форму, но размеры которой не превышают эффективной длины локализации Го.
Описание зарождения пробоя. Нелинейное уравнение теплопроводности
В этом разделе мы произведём редукцию основной модели к уравнению описывающему стадию" зарождения пробойных состояний. Это уравнение уже не содержит коэффициента, которое описывает нелокальное влияние внешней электрической цепи на динамику распределения температуры в полупроводниковой плёнке. Оно уже не может описывать эффект стабилизации пробоя. Однако, оно оказывается более простым, с математической точки зрения, и представляет собой квазилинейное параболическое уравнение второго порядка - нелинейным уравнением теплопроводности с самосогласованным с распределением температуры источником тепла. Предлагаемое эволюционное уравнение учитывает нелинейность зависимостей проводимости J(T) и коэффициента теплопроводности х(Т) от температуры с квадратичной точностью по отклонениям в = Т — То, в окрестности рабочей точки, если эти нелинейности находятся в общем положении (при этом зависимость коэффициента теплопроводности от температуры предполагается возрастающей). В этом смысле это уравнение описывает зарождение пробоя и эволюцию его структуры на ранней стадии. Однако, такое описание даст нам возможность найти впоследствии зависимости для наблюдаемых величин, правильные по порядку величины.
Неприятным обстоятельством, при решении базового уравнения (1.7), является зависимость от времени его коэффициентов, которая связана с эволюцией теплового фона. Как показал проведенный выше анализ линейного приближения, учёт эволюции фона почти никак не отразился на асимптотиках решений С/(х, t) при больших значениях времени, по сравнению с соответствующими решениями линейной теории при постоянных коэффициентах проводимости и теплопроводности. В связи с этим, будем рассматривать, в качестве нулевого приближения, для изучаемых решений уравнения (7) такие функции 7(х, ), которые являются решениями уравнения (7) при постоянных значениях а, а\ а", х, х1.
Математический анализ пространственно локализованных решений уравнения (6) осложняется, как это не покажется странным, наличием в нём линейного диффузионного члена (x/cp)/S.U. Из качественных соображений, ясно, что наличие линейных по 7(х, t) членов в правой части уравнения (б) становится несущественным при изучении уже возникшего режима стремительного локального роста температуры- т.н. режима с обострением, когда типичные значения функции U( x, t) в малых пространственных областях становятся очень большими U 1. В этом случае, можно пренебречь членами, линейными по U по сравнению с квадратичными в правой части уравнения. Именно, наличие квадратичного слагаемого PU2 в уравнении (6) приводит к обострению режима, когда решение достигает бесконечно больших значений за конечное время. Эта качественная особенность решений уравнения (6), по нашему мнению, адекватно описывает тепловой пробой. Слагаемое же /c(V, UVU), в случае возникновения обострения, ответственно за формирование той пространственной области, в которой это обострение происходит. Роль линейных слагаемых является существенной только при описании собственно короткого переходного этапа зарождения режима с обострением. В частности, на этом эволюционном-этапе, являются существенными знак и величина коэффициента а. Это связано с тем, что, при малых значениях функции С/(х, ), при изменении знака коэффициента а, происходит смена отрицательной обратной связи на положительную. С точки зрения теории пробоя, случай а 0 соответствует тому обстоятельству, при!котором проводимость &(Т) имеет минимум в точке Тт. Тогда; смена знака производной ст (Т) в этой точке может привести к новому эффекту, если рабочая точка То находится в? малой? окрестности температуры Тт. Потому, при дальнейшем? анализе,: желательно; сохранить в эволюционном уравнениихлагаемое all. Член (x/cp)AU также может оказывать заметное влияние на процесс зарождения теплового/пробоя, н может быть,ответственен за скорость формирования той области; в» которой возникает обострение режима. Однако, в нашем:дальнейшем исследовании, мы не будем учитывать это слагаемое в уравнении, так как,, в физических условиях протекания; процесса теплового пробоя, влияние его-невелико.. Это обстоятельство? связано с тем, что характерное время;: в .течение: которого слагаемое fe/cp)AU оказывает существенное; влияние? на распределение температуры в областях с размером порядка 10 3см оказывается не менее чем в 10 раз больше чем время развития пробоя. Ш результате, в первом приближении, его влиянием на эволюцию распределения.температуры в области формирования каналах существенно цовышенной температурой можно пренебречь. Это усматривается из следующих рассуждений.
Мы проанализируем одномерный аналог основного эволюционного уравнения (2.10) развиваемой нами теории теплового пробоя в тонкой плёнке полупроводникового материала. Хотя, с физической точки зрения, такая модель является очень утрированной, однако, по нашему мнению, качественные свойства её решений не отличаются от свойств решений двумерного уравнения, которое в рамках теории, изложенной в 4.1, описывает зарождение теплового пробоя. В этом смысле, получаемые результаты, могут служить обоснованием разумности и адекватности подхода к теоретическому описанию теплового пробоя плёнок полупроводниковых материалов на основе нелинейного уравнения теплопроводности с самосогласованно распределённым источником тепла, что является стимулом к развитию теории, в направлении, основанном на последовательном математическом анализе основного уравнения (1.3) теории. Целью этого раздела является построение т.н. эталонных решений одномерной модели и развитие метода оценки на их основе параметров, характеризующих точные решения этой модели. Эталонные решения позволяют дать.верхние и нижние оценки для размеров областей локализации и для времени обострения любого решения уравнения (1) с локализованными начальными условиями, имеющими, с математической точки зрения; достаточно малый носитель (область значений, координаты х, где данное начальное условие отлично от нуля), размер которого много меньше характерного размера L , называемого фундаментальной длиной [51]. При этом очень важно для теории, что форма начальных-условий внутри носителя-может быть довольно произвольной. Оценки строятся на основе принципа максимума для параболических уравнений, посредством вводимого нами семейства эталонных функций U±(x}t). При этом функции U+(x,t) и /_(#,) дают, соответственно верхнюю и нижнюю оценки.локализованных решений указанного типа. Функции U+(x,t) являются точными слаборазрывными решениями уравнения (1), а функции U-(x7t) представляют собой обобщённые решения этого уравнения.
