Содержание к диссертации
Введение
I. Упруго-механические характеристики Неоднородных материалов (литературный обзор) 17
1.1. Эффективные и локальные характеристики неоднородных материалов 17
1.2. Статистические методы описания структуры и прогнозирования свойств композиционных материалов 33
1.3. Математические методы описания текстуры, эффективных и локальных упругих характеристик поликристаллов 37
1.4. Трещинообразование, трещиностойкость, монолитность и прочность неоднородных материалов 46
1.5. Постановка задачи статистических методов описания структуры и прогнозирования свойств неоднородных материалов 62
П. Характеристики локального напряженно-деформированного состояния в статистически однородных матричных композитах 64
П. 1. Влияние микроструктуры на локальные значения напряжений и деформаций в двухкомпонентных нетекстурированных композитах 65
П.2. Локальная плотность энергии упругого поля в двухкомпонентных нетекстурированных композитах 79
П.з. Влияние микроструктуры на локальные значения напряжений и деформаций в волокнистых композитах 85
П.4. Напряженное состояние композитных материалов в условиях воздействия термодинамических факторов 93
Эффективные упругие характеристики неоднородных материалов со сложной пространственной структурой 102
Iii. 1. Эффективные упругие свойства двухкомпонентных матричных композитов с неизометричными включениями 103
Iii. 1.1. Влияние текстуры формы и концентрации включений на эффективные упругие характеристики матричных композитов с неизометричными включениями 106
Iii. 1.2. Зависимость параметров анизотропии от отношения упругих модулей включений к упругим модулям матрицы 121
Ш.2. Эффективные упругие характеристики трехкомпонентных композитов с ориентированными неизометричными включениями 126
Ш.з. Эффективные упругие свойства пространственно неоднородных материалов 131
Комплексный теоретико-экспериментальный подход к изучению структуры и свойств реальных поликристаллических сред 140
Iv. 1. Обработка данных нейтронографических экспериментов для определения эффективных и локальных упругих характеристик оливинитов 141
Iv.2. Внутреннее напряженно-деформированное состояние и локальная плотность энергии упругого поля оливинитов при высоких давлениях 151
Iv.3. Структура поперечного сечения и неоднородность упругих свойств поликристаллических лент алюминия 160
Вероятностно-статистические модели разрушения волокнистых композитов 173
V. 1. Экспериментальное исследование процессов разрушения волокнистых композитов 177
V.2. Вероятностно-статистический подход к определению напряженно-деформированного состояния однонаправленных композитов при разрушении 184
V.3. Стохастическая модель накопления разрывов волокон в однонаправленных композитах 190
V.4. Стохастическая модель докритического роста трещины в однонаправленном композите 195
V.5. Нелокальная стохастическая модель разрушения волокнистых композитов при статическом нагружении 199
Vi. Трещиностойкость стеклопластиков, армированных ткаными материалами 209
Vi. 1. Объекты исследований и экспериментальные методики оценки трещиностойкости
Материалов 210
Vi.2. Монолитность связующих и стеклопластиков, армированных ткаными материалами 221
Выводы 227
Список литературы 230
- Статистические методы описания структуры и прогнозирования свойств композиционных материалов
- Локальная плотность энергии упругого поля в двухкомпонентных нетекстурированных композитах
- Эффективные упругие характеристики трехкомпонентных композитов с ориентированными неизометричными включениями
- Вероятностно-статистический подход к определению напряженно-деформированного состояния однонаправленных композитов при разрушении
Статистические методы описания структуры и прогнозирования свойств композиционных материалов
Структура реальных неоднородных материалов представляет собой стохастическую, или случайно-неоднородную, сплошную среду. При этом тензоры напряжений а, деформаций є, модулей упругости с и податливости s являются случайными функциями координат г. Они могут быть представлены в виде суммы средних значений и флуктуации (для удобства в дальнейшем, если это возможно, индексы в записи компонент тензоров и элементов матриц будут опускаться) [269] о(г) = о(г) + о (г), Е(Г) = є(г) + є (г), (1.2.1) с(г) = с(г) + c (r), s{r) = S(T) + s (r). (1.2.2) В рамках линейной теории флуктуации линейно зависят от средних значений о (г) = Р(г) о(г) , Е (Г) = б(г) s(r) . (1.2.3) Здесь тензорные операторы Р(г) и Q(r) являются в общем случае интегральными операторами, описывающими взаимодействие между включениями. Угловые скобки в выражениях определяют усреднение по ансамблю, которое при выполнении гипотезы эргодичности, совпадает с усреднением по объему. Следует отметить, в частности, что для двухфазного матричного композита, содержащего изотропные включения и матрицу, усреднение сводится (для некоторой случайной величины а(г) ) к суммированию а(т) = vBoB + vMaM, (1.2.4) где vB + vM = 1. Тогда связь между локальными и средними напряжениями в материале может быть представлена в виде а(г) = (/ + Р(Г)) С7(Г) , s(r) = (/ + б(г)) s(r) , (1.2.5) где /- единичный тензор четвертого ранга. Это приводит к тому, что локальные напряжения и деформации можно охарактеризовать безразмерными операторами концентраций напряжений и деформаций (тензоры четвертого ранга), представляющими собой отношения локальных к средним значениям Ка(г) = 1 + Р(г), Кг(г) = 1 + б(г). (1.2.6) Удобство такого представления заключается в том, что при данных предположениях операторы концентрации напряжений и деформаций должны зависеть только от материальных параметров среды и микроструктуры материала, а не от прикладываемых нагрузок. В индексном обозначении выражения (1.2.5) примут вид ,у(г) = Щы(г) Мг) %(r) = Kfjklir) гк1{г) . Если предположить однородность полей деформаций в композите, т.е. s (r) = 0, то получится приближение Фойгта. Тогда выражения для операторов концентраций напряжений и деформаций примут следующий вид К (г) = с(г) с(г) , Ке(г) = I. (1.2.7) Если предположить однородность полей напряжений в композите, т.е. а (г) = 0, то получится приближение Ройсса, а выражения для операторов концентраций напряжений и деформаций примут вид K(r) = I, K (r) = s(r) s(r) \ (1.2.8) Однако приближения Фойгта и Ройсса не позволяют учесть взаимодействие армирующих элементов и провести корректный анализ локальной концентрации напряжений и деформаций. Для приближений, учитывающих взаимодействие включений, вычисления усложняются. Для корректного анализа операторов концентраций напряжений и деформаций в этом случае необходимо решать систему стохастических дифференциальных уравнений 2-го порядка (уравнений равновесия) с соответствующими граничными условиями. Граничные условия могут быть условиями 1-го, 2-го и 3-го родов, что соответствует заданию на границе постоянных смещений, деформаций или напряжений.
Стандартный подход к построению моделей сред, учитывающий взаимодействие зерен неоднородности, состоит в следующем [269]. Анализируются два тела одинаковых размеров и формы. Одно тело, эффективные модули упругости с которого необходимо вычислить, неоднородное, а другое, тело сравнения, однородное. Введем обозначения:
В общем случае, т.к. тензор Q(r) является интегральным оператором, точные вычисления по соотношениям (1.2.23) - (1.2.25) провести не удается. Поэтому будем использовать только сингулярную часть тензора Грина уравнения равновесия, зависящую лишь от дельта-функции Дирака 5(г). В этом случае интегральный оператор Q(r) можно заменить постоянным тензором gijkl, который будет иметь вид 8vu = №it,M(r)dr. (1.2.26) Физический смысл такого приближения заключается в предположении однородности полей напряжений и деформаций только в пределах неоднородности. Тогда получается основная расчетная формула обобщенного сингулярного приближения теории случайных полей с = с(г)(/ - gc"(r)Tl (/ - gc"(r)T] l, (1.2.27) а также соотношения для операторов концентраций полей напряжений и деформаций K(jr) = c(r)(/ - gc-(r))-1 c(r)(/ - gc\r))-1 l, (1.2.28) Kz(r) =(/ - "(г)Г1 (/ - gc"(r)r - . (1.2.29) Выражения (1.2.27) - (1.2.29) являются основополагающими в рамках обобщенного сингулярного приближения теории случайных полей и уже учитывают взаимодействия между зернами неоднородности. Выбор того или иного значения модулей упругости тела сравнения приводит к известным методам Фойгта, Ройсса, Хашина-Штрикмана и т.д. Так, например, для матричной структуры обычно параметры тела сравнения принимают равными параметрам матрицы [258].
Локальная плотность энергии упругого поля в двухкомпонентных нетекстурированных композитах
Важнейшими характеристиками, определяющими локальное напряженно-деформированное состояние неоднородных материалов, являются средние и локальные значения плотности энергии деформации. Знание этих характеристик может дать исключительно полезную информацию о поведении композитного материала в предельном состоянии (например, при разрушении). Раздел посвящен выводу соотношений для расчета плотности энергии деформации в двухкомпонентных нетекстурированных композитах. При этом основное влияние на их локальное напряженно-деформированное состояние оказывают упругие свойства компонентов, составляющих материал, и концентрация включений, тесно связанная со средним расстоянием между элементами неоднородности. Для анализа локального напряженно-деформированного состояния двухкомпонентных нетекстурированных композитов будем использовать подход, основанный на теории случайных полей.
Будем считать, что в рассматриваемых нетекстурированных матричных композитах материалы матрицы и включений изотропны. В большинстве случаев положение включений в объеме матрицы случайно, однако в целом композитные материалы являются статистически однородными. Таким образом, выполняется гипотеза эргодичности, а значит, можно выделить некоторый усредненный объем, который можно назвать элементарным, где находится одно сферическое включение. Кроме того, статистическая однородность двухкомпонентных нетекстурированных композитов приводит, как указывалось выше, к наличию среднего расстояния между включениями, которое можно связать с их концентрацией. Рассматривая в качестве элементарного объема куб с отдельным включением, расположенным в его центре (рис. И. 1.1), можно найти среднее расстояние между включениями из рассмотрения двух соседних элементарных объемов (П. 1.1).
Согласно теории механики неоднородных сред тензоры напряжений СУ, деформаций s, модулей упругости с и податливости s являются случайными функциями координат и могут быть представлены в виде суммы средних значений и флуктуации (1.2.1), (1.2.2). Локальные напряжения и деформации, в предположении линейной зависимости флуктуации от средних значений напряжений и деформаций на границе макрообъема материала, можно охарактеризовать безразмерными операторами концентраций напряжений и деформаций (1.2.6). Эти операторы являются тензорами четвертого ранга и представляют собой отношение локального напряжения (деформации) к его среднему значению на границе макрообъема. Далее в настоящем разделе будет использоваться только оператор концентраций напряжений: (г) = ау(г) аи(г) -1. (П.2.1)
Угловые скобки в этом выражении обозначают, в силу выполнения гипотезы эргодичности, усреднение по объему материала (1.1.1). При данных предположениях оператор концентраций напряжений зависит только от материальных параметров среды и микроструктуры материала, а не от прикладываемых нагрузок.
Для приближений, учитывающих взаимодействие включений, оператор концентраций напряжений можно получить, решая систему стохастических дифференциальных уравнений второго порядка (уравнений равновесия) (1.2.10). Используя метод функций Грина, с помощью обобщенного сингулярного приближения теории случайных полей и специально вводимого однородного тела сравнения получается выражение (1.2.28) для оператора концентраций напряжений: К(г) = с(г)(/ - "(r))"1 c(r)(/ - gc\r)y 1. Физический смысл обобщенного сингулярного приближения заключается, как уже указывалось, в предположении однородности полей напряжений и деформаций только в пределах неоднородности. Соотношение (1.2.28) учитывает взаимодействие включений и матрицы. Для нетекстурированных композитов с изотропными компонентами тензор модулей упругости компонент можно представить в виде (И. 1.2): ст=ЗК(г)Гт+2\і(гЩи. (П.2.2) Здесь К(г) = Кы, (і(г) = [ІМ при расчетах в матрице, К(г) = Кв, ц(г) = ц,в - во включении; К и ц, - объемный и сдвиговый модули соответственно. Тензоры V и D представляют соответственно объемную и девиаторную составляющие разложения единичного тензора / (И. 1.3). При этом выполняются соотношения (II. 1.4). Для изотропных компонентов композита и включений шаровой формы оператор концентраций напряжений и тензор g в (1.2.28) также будут изотропными. Поэтому, согласно (П. 1.7) и (П. 1.12), их можно представить в виде суммы объемной и девиаторной составляющих. При этом для объемной и девиаторной компонент К(г) справедливы соотношения (П. 1.13) и (П. 1.14). При выборе параметров тела сравнения, как и в разделе ИЛ, использовался метод самосогласования. Очевидно, что выражения (II.2.11) имеют по два значения - для матрицы и включения. С целью изучения зависимости относительных энергий Ev и ED от h параметра — (а значит, от концентрации включений (П. 1.1)) и изменения R отношения упругих модулей включений и матрицы, по формулам (П.2.11) были проведены расчеты для модельных композитов, состоящих из изотропных материалов, со значениями объемных и сдвиговых модулей упругости, приведенными в табл. П.2.1.
Эффективные упругие характеристики трехкомпонентных композитов с ориентированными неизометричными включениями
Все большее применение в технике получают трехкомпонентные матричные композиционные материалы. Например, в узлах трибосопряжения применяются композиты, армирование которых производится тканями, у которых по основе и по утку используются различные материалы. Так, широкое применение в узлах подвижного и неподвижного сопряжений получили композиции на основе связующего ЭХД (или ФФС) и арматуры - волокон ПТФЭ, ортогональных стекло-или углеволокнам (приложение 4). Текстура формы и ориентации включений приводит к анизотропии физико-механических свойств, что необходимо учитывать при создании изделий, использующих подобные материалы. При анализе работоспособности этих изделий встает проблема их механического поведения. В основе данного анализа лежит вычисление эффективных упругих характеристик неоднородных материалов. Поэтому актуальной является задача моделирования эффективных упругих характеристик подобных композитов.
В этом разделе описан оригинальный метод прогнозирования эффективных упругих свойств трехфазных матричных композитов с включениями эллипсоидальной формы (/j, /2 и /3 - главные полуоси этих эллипсоидов).
Предполагается, что армирование производится только в направлениях х к у (рис.Ш.2.1). Рассматривается модельный материал, представляющий собой композит, v3 (Vj + v2 + v3 =1), где индексы «1» и «2» относятся к включениям, а «3» - к матрице. Причем упрочняющая фаза в направлении х имеет упругие модули, отличные от упругих модулей материала упрочняющей фазы в направлении у 127 (табл. Ш.2.1). Параметры модельного материала соответствуют композиту на основе полимерного связующего ЭХД (фаза 3 - матрица) и волокон ПТФЭ (фаза 1, ориентированная по оси Ох) и стекловолокон БЩ (фаза 2, ориентированная по оси Оу) [Ю]. В основе метода прогнозирования лежит метод обобщенного сингулярного приближения теории случайных полей [269,274]. В приближении однородности полей напряжений и деформаций в пределах каждого включения для вычисления тензора эффективных модулей упругости композиционного материала, опираясь на (III. 1.9), получается следующее соотношение где с - тензор модулей упругости (индекс « » указывает на то, что вычисляются эффективные характеристики), / - единичный тензор четвертого ранга; угловые 128 скобки определяют усреднение по объему; двойным штрихом обозначена разность между величинами неоднородной среды и тела сравнения (параметры тела сравнения выбраны равными упругим модулям матрицы); gx и g2 - интегралы от сингулярной составляющей второй производной тензора Грина уравнений равновесия (отвечающие включениям в направлениях осей х и у соответственно) [269].
Результаты расчетов для различных модельных композитов при объемной концентрации матрицы v3 = 0,5 приведены в табл. Ш.2.2. Также были проведены исследования коэффициентов анизотропии (III. 1.11): в направлении х - параметр Ах = -11 12 ; в направлении у - параметр Ау, 2с44 рассчитываемый по формуле для Ах, но при переориентации между собой упрочняющих фаз 1 и 2; в направлении z - параметр Аг = 33 t 23. Исследования 2сбб учитывали изменения длин главных полуосей /3 эллипсоидальных включений и концентраций упрочняющих фаз. Результаты расчетов представлены на рис. Ш.2.2 (номер кривой соответствует номеру модельного композита). На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы. Первое, при /3 = 1 параметры анизотропии равны единице, т.е. материал изотропен. Второе, с увеличением длины волокон упрочняющих фаз материал становится анизотропным, причем симметрия его упругих свойств становится близкой к кубической. Третье, при увеличении длины /3 главной полуоси эллипсоидальных включений от 1 до 10 наблюдается наиболее существенное изменение эффективных упругих модулей и коэффициентов анизотропии; дальнейшее увеличение /3 не приводит к значительным изменениям этих характеристик. Четвертое, вариация параметров анизотропии в главных направлениях для модельных композитов не превышает 3 %, причем при уменьшении концентрации включений фазы 2 (стекловолокно БЩ) происходит уменьшение анизотропии в этих направлениях. Пятое, в направлении у вариация анизотропии значительно меньше, чем в направлениях х и z.
Пространственно неоднородные композиты, т.е. неоднородные среды, включения которых расположены в пространстве материала в различных направлениях неодинаково, достаточно широко используются в различных областях науки и техники. Одним из важных направлений их применения в электронной технике являются структуры на пористом кремнии и углероде. При этом сформированные поры заполняются рабочим материалом, т.е. получается классический композит «матрица-включение». Как правило, в произвольной горизонтальной плоскости их структура хорошо подчиняется условию пространственной однородности, однако в вертикальном направлении (от подложки к поверхности) сформированные полости имеют слабую пространственную неоднородность. Это необходимо учитывать при создании устройств, использующих рассматриваемые материалы. При анализе работоспособности этих устройств возникает проблема их механического поведения и становится актуальной задача разработки методов прогнозирования физико-механических свойств подобных композитов. В основе такого анализа лежит вычисление их эффективных упругих характеристик. Центральным моментом при использовании статистических методов прогнозирования эффективных характеристик пространственно неоднородных материалов является возможность выделения представительного объема, т.е. некоторой области бесконечно большого материала, свойства которой аналогичны свойствам материала в целом, а также свойствам подобной области, расположенной пространственно в другом месте. Удовлетворение этого условия приводит к выполнению условия эргодичности, т.е. дает возможность проводить усреднение по объему материала, а не по ансамблю реализаций. Для пространственно однородных материалов это условие выполняется. Это же условие может выполняться и для пространственно неоднородных материалов. Основная задача данного раздела состоит в том, чтобы разработать метод анализа эффективных свойств таких материалов, учитывающих их структурные особенности.
Вероятностно-статистический подход к определению напряженно-деформированного состояния однонаправленных композитов при разрушении
Одним из важных вопросов теории описания характеристик однонаправленных композиционных материалов, состоящих из армирующих элементов (волокон), более жестких и прочных, чем окружающая их пластичная матрица, является исследование внутренних, или локальных, напряжений и деформаций при воздействии внешних нагрузок. В случаях, когда концентрация включений небольшая («5%), процесс разрушения композита при растяжении в направлении армирования происходит, как указывалось выше, путем накопления повреждений волокон по всему объему материала. Основные напряжения при этом испытывают неразорванные волокна. Эти напряжения «смягчаются» пластичной матрицей, перераспределяющей нагрузку в материале между всеми (в том числе и между разорванными) армирующими элементами. Поэтому задача расчета локальных напряжений и деформаций в результате нагружения в направлении армирования, возникающих как в неразорванных волокнах, так и во включениях, полученных дроблением волокон, является актуальной.
Будем использовать вероятностно-статистический подход к определению окального напряженно-деформированного состояния неоднородной среды [269,2 / 4]. Актуальной частью подобного анализа является установление зависимости локальных o-y(r), s(y(r) напряжений и деформаций в материале от внешних, или средних, akl(r) , гы(г) значений, приложенных на границе его макрообъема. В этом случае наиболее удобной для анализа характеристикой являются операторы К?ы(г) и Щш(г) концентраций напряжений и деформаций (тензоры четвертого ранга), зависящие только от материальных параметров среды и микроструктуры материала, а не от прикладываемых нагрузок (глава I). Поэтому получение расчетных соотношений для этих операторов является основной целью данного раздела.
Выражения для операторов концентраций напряжений и деформаций, учитывающие взаимодействие элементов неоднородности, с помощью которых можно провести анализ внутреннего напряженно-деформированного состояния композита, получаются в результате решения системы стохастических дифференциальных уравнений второго порядка (уравнений равновесия) (1.2.10). Основываясь на (1.2.28,1.2.29), можно получить расчетные соотношения для операторов КуМ(г) и K kl(r). С этой целью рассмотрим процесс разрушения однонаправленного композиционного материала в виде одного слоя жестких волокон в пластичной матрице, растягивающее усилие к которому прикладывается в направлении армирования. Пусть указанный процесс описывается моделью накопления разрывов. Тогда vB = Vj + v2, где Vj - концентрация неразорванных волокон, v2 - концентрация разорванных волокон (эллипсоидов): v, =—-LvB, v2 =—-vR, (V.2.1) NN где N - количество волокон в композите, JVj - количество неразорванных волокон в материале, N2 - количество разорванных волокон (эллипсоидов). Очевидно, что Л =Nl(t), N2 = N2(t), т.е. являются функциями времени (в режиме нагружения однонаправленного композита), а N - величина постоянная для исследуемого образца. Поскольку разрушение материала происходит в результате потери несущей способности арматуры, представляет интерес исследование внутренних полей напряжений и деформаций во включениях (волокнах и эллипсоидах). Тогда, с учетом (1.2.4), выражения для операторов концентраций напряжений и деформаций во включениях примут вид:
K(r) = cB(I-g(r)c"yl(vuCM +v1cB(/-g1cT1 +v2cB(/-g2cyir (V22) KeB(r) = (/ - gWrivJ + v,(/ - gxcTX + v2(/ - g2c"rl)\ где gt и g2 - интегралы от сингулярной составляющей второй производной тензора Грина уравнений равновесия для неразорванных волокон и эллипсоидов соответственно. Сингулярная составляющая второй производной тензора Грина для произвольной симметрии вычисляется в явной форме [269]:
Таким образом, построена вероятностно-статистическая модель и получены расчетные соотношения для операторов концентраций напряжений и деформаций, позволяющие определить внутреннее напряженно-деформированное состояние в однонаправленном композите при его нагружении в направлении армирования. На основании проведенных расчетов локальных упругих характеристик при разрушении образца можно заключить, что операторы концентраций во включениях практически не изменяются до момента его разрушения, это обусловлено малой концентрацией арматуры и перераспределяющей функцией пластичной матрицы. Локальные напряжения ап(г) в неразорванных волокнах и эллипсоидах образца более чем в два раза превышают внешнее напряжение аи , а локальные деформации sH(r) незначительно меньше средних Єц вплоть до момента разрушения материала. Концентрация напряжений и деформаций в волокнах немного выше, чем в эллипсоидах, причем в неразорванных волокнах наблюдается незначительная тенденция к увеличению значений компонент (1111) операторов Ка и Кг.
