Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Распространение волн в неупорядоченных средах . 13
1. Введение и описание модели 13
2. Пространственные флуктуации на малых масштабах. 20
3. Ланжевеновское описание пространственных флуктуации 23
4. Флуктуации плотности на больших масштабах 24
5. Флуктуации прозрачности неупорядоченной среды 26
6. Наблюдение флуктуации коэффициента прохождения 35
ГЛАВА 2. Распространение волн в неупорядоченной нелинейной среде . 43
1. Анализ устойчивости решения нелинейного уравнения Шредингера. 43
2. Предел большой интенсивности . 52
ГЛАВА 3. Статистические свойства усиливающих неупорядоченных сред вблизи порога генерации 62
1. Введение и описание модели неупорядоченной усиливающей среды 66
2. Поведение системы в среднем 67
3. Прохождение и флуктуации вблизи порога генерации 72
4. Жесткость спектра неупорядоченной среды вблизи порога 75
5. Отражение назад от усиливающих сред 80
6. Кооперативный распад в неупорядоченных системах 88
7. Экспериментальное обнаружение сужения пика в отражении назад от неупорядоченной усиливающей среды. 101
ГЛАВА 4 Кинетические явления в мезоскопических системах 106
1. Свойства мезоскопических флуктуации плотности токов 107
2 Спиновые поляризационные явления в мезоскопических проводниках 120
3. Симметрия нелинейной мезоскопической проводимости в магнитном поле. 130
4 Мезоскопические флуктуации термоэлектрических коэффициентов 137
5. Мезоскопические флуктуации сопротивления точечных контактов 143
ГЛАВА 5 Порядок из "беспорядка" мезоскопических флуктуации . 148
1. Осцилляции Рудермана-Киттеля в неупорядоченных проводниках 148
2. Мезоскопический механизм биквадратичного обмена в неупорядоченных магнитных мультислоях 151
3. Прямой вклад в обменное взаимодействие в неупорядоченных магнитных мультислоях. 161
4. Мезоскопические явления в структурах сверхпроводник-ферромагнитный металл-сверхпроводник 167
Заключение 175
Литература
- Ланжевеновское описание пространственных флуктуации
- Предел большой интенсивности
- Жесткость спектра неупорядоченной среды вблизи порога
- Симметрия нелинейной мезоскопической проводимости в магнитном поле.
Введение к работе
Актуальность темы.
Масштабы, существенные при изучении низкотемпературного электронного транспорта, - длина сбоя фазы и длина когерентности увеличиваются при понижении температуры {1,2}. При гелиевых температурах типичные их значения составляют порядка микрона.
В середине восьмидесятых годов обнаружилось, что, когда эти длины сравниваются с размерами исследуемых проводящих структур, начинает проявляться новое явление - оказалось, что кинетические свойства маленьких систем не являются само усредняющимися величинами {3,4}. Кондактансы (полная проводимость) макроскопически одинаковых систем отличаются на
величину порядка е / . Зависимость кондактанса маленькой системы от
магнитного поля и изменения других внешних факторов наряду с монотонной
частью имеет случайные осцилляции величины порядка е / {5,6}. Эти
осцилляции получили название "универсальные флуктуации кондактанса". Самоусреднение наступает только тогда, когда размеры системы превосходят длину когерентности или длину сбоя фазы.
Объяснение этого явления состоит в том, что кондактанс содержит поправку, возникающую из-за случайной интерференции электронных волн, распространяющихся по диффузионным траекториям в образце {5,6}. Универсальность величины случайной поправки связана с тонкими корреляциями в коэффициентах прохождения электронов через образец Большой размер траекторий делает интерференционные поправки очень чувствительными к механизмам, приводящим к сдвигу фаз. Отсутствие пространственной симметрии в маленьких неупорядоченных системах {7}
делает возможным существование эффектов, которые запрещены в макроскопических системах.
Интерес к исследованию кинетических и термодинамических явлений в маленьких проводящих системах с этими и другими необычными свойствами не ослабевает. Сформировалось целое направление - мезоскопика {8}. Начав в середине восьмидесятых годов с мезоскопических систем микронных и субмикронных размеров, в настоящее время экспериментаторы подошли к нанометровому диапазону.
Надо отметить, что понятие мезоскопики непрерывно расширяется. В настоящий момент оно зачастую означает - промежуточный между микро и макро, без определения последних. Мы будем придерживаться первичного представления о мезоскопике.
Ближайшая область, аналогичная когерентному электронному транспорту и доступная экспериментальному изучению, это распространение электромагнитных волн в неупорядоченных средах. Идеи и подходы, позаимствованные из мезоскопики, оказались плодотворными и стимулировали ряд новых экспериментов {9-11} ив такой изучаемой многие десятилетия области, как распространение волн в неупорядоченных средах {12-14}.
Актуальность мезоскопических исследований не исчерпана С развитием технологии появляются (например - углеродные нанотрубки) и будут появляться новые объекты, при изучении которых могут возникнуть новые интересные направления физики мезо-систем.
Диссертация посвящена изучению мезоскопических явлений в распространении волн в неупорядоченных средах, включая нелинейные и когерентно усиливающие среды, в низкотемпературном электронном транспорте, а также проявлению мезоскопических флуктуации в коллективных явлениях в многослойных структурах.
В диссертации рассмотрен ряд актуальных в мезоскопике вопросов. В задаче о распространении волн в неупорядоченных средах рассмотрены флуктуации коэффициента прохождения и распределение интенсивности внутри системы. Оказывается, что в задаче существует разделение масштабов на микроскопические - порядка длины свободного пробега и макроскопические. Последние можно изучать при помощи диффузионных уравнений, источниками в которых служат флуктуации потоков на малых масштабах. В таком ланжевеновском подходе удается описать как дальнодействующие корреляции флуктуации коэффициента прохождения, так и дальнодействующие флуктуации плотности внутри системы.
В работе рассматривается распространение волн в нелинейных средах на примере нелинейного уравнения Шредингера. Решение этого уравнения представляет общий интерес, поскольку оно встречается при изучении широкого класса явлений.
Естественным образом к этому кругу вопросов примыкает вопрос о лазерном действии в неупорядоченной системе. Он поднимался еще в середине шестидесятых годов {15}. Новая волна интереса к случайным лазерам появилась в середине девяностых годов. Заметной оказалась экспериментальная работа {16}, в которой наблюдалось возникновение генерация при добавлении в усиливающую среду рассеивателей. Другой, часто цитируемой экспериментальной работой, было исследование отражения назад от усиливающей неупорядоченной среды {17}. Работа была выполнена с целью экспериментальной проверки теории {18}, включенной в диссертацию.
Ланжевеновский метод удается обобщить и на задачи кинетики. Здесь этот подход важен для анализа измерений кинетических коэффициентов в многозондовых схемах, а также для изучения флуктуации электронных
плотностей возникающих при прохождении тока. В диссертации показано, что эти флуктуации определяют линейный по магнитному полю вклад в нелинейную проводимость.
Наиболее ярко мезоскопические явления обнаруживают себя в термоэлектричестве. Хотя при низких температурах термоэлектрические явления изучать гораздо сложнее, чем проводимость, однако, как показано в диссертации, мезоскопическое термоэлектричество не имеет характерной для металлов малости, и вполне поддается экспериментальному изучению.
В диссертации также рассматривается вопрос о проявлении мезоскопическиех флуктуации нелокальных восприимчивостей. В качестве примера рассмотрены кооперативные явления из категории - порядок из беспорядка в интересных с точки зрения эксперимента системах -магнитных слоях и джозефсоновских контактах.
Основной целью работы является решение следующих конкретных задач
1. Построение теории флуктуации интенсивности и коэффициента
прохождения волн в диффузионных средах.
2. Решение нелинейного уравнения Шредингера в рассеивающей среде.
Изучение влияния рассеяния на генерацию в усиливающих неупорядоченных средах.
Построение теории линейного по магнитному полю вклада в нелинейную проводимость.
5. Построение теории биквадратичного обмена в неупорядоченных
магнитных мультислоях и л/2 состояния в джозефсоновских контактах.
Научная новизна.
Впервые получены дальнодействующие вклады в корреляционные функции флуктуации интенсивности и коэффициента прозрачности диффузионных сред.
Впервые предложено представление, позволяющее проанализировать решения нелинейного уравнения Шредингера в неупорядоченной среде.
Впервые рассчитаны флуктуации коэффициента прохождения в неупорядоченных усиливающих средах.
Впервые рассчитан коэффициент отражения от неупорядоченных усиливающих сред вблизи порога генерации.
Впервые рассмотрен механизм линейного по магнитному полю вклада в нелинейную проводимость мезоскопических систем.
Впервые получены выражения для корреляционных функций термоэлектрических коэффициентов мезоскопических проводников.
Впервые получены выражения для мезоскопических вкладов в обменную энергию магнитных слоев, рассмотрен механизм ответственный за я/2 состояние джозефсоновских контактов.
Научная и практическая ценность.
Подход к кинетике, описываемый в диссертации, основан на рассмотрении локальных распределений токов и электронных плотностей. Он обладает физической наглядностью и дополняет подход, основанный на теории случайных матриц. Подход естественным образом позволяет обобщить теорию измерения на нелокальные и многозондовые схемы изучения кинетических процессов.
В работе развиты теоретические методы, позволяющие эффективно исследовать нелинейные волновые задачи в неупорядоченных средах.
Предложен ряд доступных экспериментальному исследованию эффектов, выясняющих роль электронных взаимодействий в нелинейной проводимости мезоскопических систем, влияние нарушения электрон-дырочной симметрии на термоэлектрические свойства маленьких систем.
Предсказано сужение пика в отражении назад от усиливающих неупорядоченных сред. Экспериментальное изучение его заметно стимулирование развитие физики случайных лазеров.
Отмеченная в работе аналогия между "неколлинеарными" состояниями в магнитных слоях и джозефсоновских контактах может стимулировать их экспериментальное изучение.
Основные положения, выносимые на защиту.
С помощью разработанной теории распространения когерентных волн в неупорядоченных средах ланжевеновского типа показано, что пространственные флуктуации интенсивности в среде имеют дальнодействующий характер, а корреляции флуктуации коэффициента прохождения, возникающих при изменении угла падения спадают обратно пропорционально изменению угла падения.
Для нелинейного уравнения Шредингера найдено представление, которое позволило проанализировать решения и показать, что число решений экспоненциально растет с увеличением интенсивности падающей волны.
3. Ланжевеновская теория обобщена на когерентно усиливающие
неупорядоченные среды. Это позволило рассчитать флуктуации
коэффициентов прохождения и порогового значения коэффициента усиления,
необходимого для генерации случайных лазеров
Предсказано сужение пика в отражении назад от усиливающих сред.
Исследовано влияние рассеяния на условия генерации и коллективные эффекты в излучении неупорядоченных сред. Показано, что в диффузионном
режиме уменьшение длины свободного пробега приводит к уменьшению порогового значения коэффициента усиления и увеличению числа кооперированных атомов. В квазибаллистическом случае для поддержания генерации нужно с увеличением числа примесей увеличивать коэффициент усиления. Число кооперированных атомов падает с ростом числа примесей в квазибаллистическом случае.
6. Разработана теория линейной по магнитному полю нелинейной
проводимости мезоскопических систем. Показано, что эффект связан с
рассеянием электронов на неравновесных мезоскопических флуктуациях
плотности, содержащих нечетные по магнитному поля вклады.
Рассчитаны мезоскопические флуктуации термоэлектрических коэффициентов. Показано, что нарушение электрон-дырочной симметрии приводит к тому, что флуктуационный вклад в термоэлектрические коэффициенты мезоскопических систем много больше средних значений Это означает, что уравнение Больцмана не применимо для рассмотрения термоэлектрических величин в маленьких системах.
Показано, что вольт-амперные характеристики и зависимости от магнитного поля сопротивления точечных туннельных контактов, определяются масштабами много большими, чем размер контакта. Поэтому исследование мезоскопических флуктуации сопротивления контакта дает информацию не только о поверхности, но и об области размером порядка длины когерентности под поверхностью.
9.Показано, что из "беспорядка" мезоскопических флуктуации в слоисты? структурах могут возникать упорядоченные коллективные состояния, такие
как неколлинеарные состояния в магнитных мультислоях и я/2 состояния джозефсоновских контактов сверхпроводник-ферромагнитный металл-сверхпроводник
Достоверность полученных результатов.
Основные результаты предлагаемой теории получены в рамках хорошо разработанных и проверенных математических методов теории неупорядоченных проводников. Ряд результатов подтверждается расчетами других авторов, а некоторые выводы были проверены и экспериментально. Даны простые качественные объяснения.
Аппробация работы.
Материалы диссертации докладывались на конференциях: "Мезоскопические и сильнокоррелированные электронные системы", Черноголовка, июль 2000; XVIII Международная школа-семинар Новые магнитные материалы микроэлектроники Москва 2002; Advances Research Workshop Nano-Питер 05, С.Петербург; Trends in nolinear physics, Los Alamos, USA, Jan. 11-15,2005; Transport in Disordered Electronic Systems, November 13, 2005, Argon USA; Quantum nanoscience, Nosa Blue, Quinsland, Australia, Jan. 22-26,2006.
А также докладывались на семинарах ФТИ им.А.Ф.Иоффе, ПИЯФ РАН, ИТФ им. Л.Д Ландау, физических факультетов Университета г. Цинциннати (США), Вашингтонского Университета г. Сиэттла (США), Лаборатории низких температур Технологического Института г. Хельсинки (Финляндия), Лаборатории сильных магнитных полей г.Гренобль (Франция), Института Макса-Планка г. Дрезден (Германия)
Публикации.
Основное содержание диссертации изложено в 26 статьях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 112 наименований. Объем работы 189 страниц. Диссертация содержит 41 рисунок.
Единицы измерения выбраны так, что постоянная Больцмана и постоянная Планка равна единице к = 1, h = 1
Ланжевеновское описание пространственных флуктуации
Отметим, что если не производить усреднения по масштабам порядка длины волны, флуктуации плотности на малых масштабах содержат множитель sin АкА отя пРеДельные случаи на малых масштабах и не являются особенностью, связанной с многократным рассеянием, они представляют экспериментальный интерес {22}, {23}.
Из уравнений (1.2.1) и (1.2.2) видно, что плотность флуктуирует на величину порядка своего среднего значения 5п («), а поток ]й/»с{п) имеет случайное направление и всегда сильно превышает свое среднее значение. Отметим аналогию между результатами вычисления (1.2.1), (1.2.2) и выражением (1.1.3).
Для иллюстрации соотношений (1.2.1) и (1.2.2) рассмотрим два примера.
1. Для полубесконечной среды весь падающий поток отражается, так, что согласно (1.1.1а) и (1.1.16) (J) = 0; («)« ус . Тогда, как типичная плотность потока в среде порядка плотности падающего потока
2. Для точечного источника когерентной волны, находящегося в бесконечной среде, мы имеем для радиации на расстоянии г от источника выражения {21} Средняя же величина плотности потока равна В выражениях (1.2.4)-(1.2.6) 0 есть мощность источника.
3. Ланжевеновское описание пространственных флуктуации.
Для описания пространственных флуктуации потока и плотности в рассеивающей среде, усредненных по масштабам, больших длины свободного пробега /, удобно пользоваться методом, аналогичным ланжевеновской схеме вычисления термодинамических флуктуации. При этом флуктуации токов на малых масштабах (1.2.2) выступают как источники случайных сторонних потоков J (г) в диффузионных уравнениях {24}
Эти уравнения должны быть дополнены корреляционной функцией для сторонних токов. В нашем случае этот коррелятор получается суммированием графиков на рисунке [1.2.1]. После усреднения по масштабам большим, чем длина свободного пробега, корреляционная функция сторонних токов равна
Уравнения (1.3.1)-(1.3.3) справедливы при любой геометрии образца. В уравнении (1.3.3) правая часть выражена через решение диффузионных уравнений (п(г)) без сторонних токов. Выражение для правой части (1.3.3) потребует уточнения, когда мы будем интересоваться корреляционными функциями величин, соответствующих разным частотам или разным реализациям рассеивателей. Необходимые уточнения сделаны в соответствующих частях диссертациии.
Схема (1.3.1)-(1.3.3) основана на том, что пространственные флуктуации, возникающие вследствие случайной интерференции волн можно разделить на микроскопические и диффузионные. Ланжевеновская схема позволяет вычислять корреляционные функции как плотностей так и плотностей потоков
Предел большой интенсивности
Эти безразмерные величины являются случайными функциями параметров и . Для решения системы нелинейных уравнений (2.2.3) необходимо знать свойства случайных функций F [и., и,, ]. Вопрос об исследовании эти свойств сводится к изучению зависимости линейных спеклов, описываемых флуктуациями 6n(f) = n(f)-{n{f)), от реализации случайных рассеивающих потенциалов и п (г). При малых значениях m потенциал, соответствующий этим гармоникам, является плавным.
Чтобы характеризовать случайные функции F \uv и,, \, вычислим их корреляционные функции. В разложении (2.2.4) нормировочный множитель в определении случайных функций F (и и,, J подобран так, что флуктуационная часть их удовлетворяет соотношению
При этом корреляции между флуктуационными частями при п т отсутствуют К(»г v Kh- « Таким образом, функции / „(«,, ик, ) являются некоррелированными случайными величинами порядка единицы. Эти свойства легко понять, если обратиться к выражению (1.4.5), которое в представлении функций (2.2.2) имеет вид -,2 2/ П (f)n (?) /Я w Домножая это равенство на п (г) и п (?) и интегрируя по координатим, получаем соотношения (2.2.5) и (2.2.6).
Величины F (и., и,, ) испытывает случайные осцилляции как функции своих аргументов. При этом {(Fm{UV Uk+Auk YFm[UY V )) ) К)2 (2-2-8) т.е. период осцилляции F (и и,, J как функций и, порядка единицы. Определение коэффициентов \uj] разложения по собственным функциям оператора Лапласа в (2.2.1) специально подобрано для выполнения соотношения (2.2.8). Схематическое изображение функции F (и и,, ], удовлетворяющей соотношениям (2.2.5) и (2.2.7) показано на рисунке [2.2.1]. Корреляции типа быстро убывают.
Соотношения (2.2.8) и (2.2.9) можно получить следующим образом. В ланжевеновской схеме для вычисления корреляционных функций типа необходимо уточнить вид корреляционной функции для сторонних токов. В графике на рисунке [1.2.1] внешнюю петлю нужно вычислять при параметрах а внутреннюю петлю при [и,]. Для этого в выражении (1.3.3) необходимо сделать замену где для величины
Здесь D(r,r ,0) есть диффузон (1.1.8). Оценивая в (2.2.11) л, /Г3/2 получаем, что при Дм, 1 первый член убывает с ростом номера гармоники, а второй член остается порядка единицы. Для искомой корреляционной функции имеем выражение гИ4Л)2 К? -к+А» })2)= (2.2.12) Здесь G(r,? ) = - есть функция Грина диффузионного уравнения к Ек (1.4.4). Пользуясь выражениями (2.2.11) и (2.2.12) можно получить соотношения (2 2.8) и (2.2.9).
Опираясь на свойства (2.2.5), (2.2.6) и (2.2.8) функций/ (и и,, \, можно провести классификацию решений нелинейного уравнения Шредингера и оценить их число.
При из уравнения (2.2.3) следует, что при всех значениях m коэффициент в левой части уравнения больше единицы, поэтому система имеет единственное решение, проиллюстрированное на рисунке [2.2.2]. Прямая 1 пересекает кривую F \и и , 1 в единственной точке. Этот режим соответствует, случаю, когда нелинейность мала. При п0 п этот режим остается и в уравнениях для гармоник с "о п К cr J Г \2/2 номерами т М0 = »1. Все они имеют единственные решения и при любых заданных значениях гармоник и с номерами т М0.
Уравнения же для гармоник и с номерами 0 т М0 решаются неоднозначно, как это проиллюстрировано на рисунке [2.2.2]. Прямая 2 имеет несколько пересечений с кривой F [и и , 1. Число решений является случайной величиной. Когда оно велико, типичное число решений можно пп -2/3 оценить как ——т , что есть просто длина интервала, в котором п сг происходят пересечения.
Пример того, как определяются решения системы из двух уравнений, приведен на рисунке [2.2.3]. Здесь пунктирные поверхности м,(м2), распределенные в конечном интервале значений, есть множество решений Пунктиром изображены решения для первого уравнения, как функции и2. Сплошными линиями изображены решения второго уравнения, как функции Пересечения поверхностеи.определяют решения системы двух уравнений. уравнения (2.2.3) для первой гармоники, как функций переменной и2, принимающей значения от -да до -к». Соответственно по горизонтальной оси приведены значения и2(щ), определенные в том же смысле, что и щ(и2).
Пересечения сплошных и пунктирных поверхностей являются решениями системы (2.2.3) для первых двух гармоник. Полное число решений является случайным числом, пропорциональным площади, в границах которой находятся пересечения.
Жесткость спектра неупорядоченной среды вблизи порога
Как и в случае упругих сред для рассмотрения флуктуации можно применять ланжевеновскую схему. Однако здесь она может быть применена и для расчета флуктуации пороговых значений усиления.
Объединяя закон сохранения (3.1.1) с (1.3.1) мы получаем уравнение для Для корреляционной функции ланжевеновских токов на различных частотах о и а+Av имеем {42} Граничные условия к уравнению (3.3.6) такие же, как и для средней интенсивности: 8n(f) = 0 на свободных поверхностях x = 0,L , а ток через изолирующие границы равен нулю.
Условие достижения порога соответствует ситуации, когда отличная от нуля плотность радиации существует в отсутствии внешнего потока. Для средней плотности это условие наступает при Д = 0. В общем случае необходимо выполнение этого условие для уравнения (1.1.4).
Обратимся к рассмотрению условия генерации на примере величины (n{f))+5n{r), т.е. рассмотрим при каком г0 эта величина имеет ненулевое решение уравнения (3.3.6) при отсутствии падающей волны. В уравнении (3.3.6) член VJ (г) будем считать малой поправкой и найдем случайный сдвиг порогового значения усиления как
Эта поправка зависит от реализации примесного потенциала и для того, чтобы оценить ее величину необходимо вычислить ш). Используя выражение (3.3.7) для корреляционной функции сторонних токов, получаем {40}
Вторая часть соотношения переписана через кондактанс.
Пороговое значение является случайной функцией и частоты. Важно оценить корреляционный масштаб этой случайной зависимости. Для этого рассмотрим корреляционную функцию Пользуясь определением й и выражением для корреляционной функции ланжевеновских токов (3.3.7), в пределе Д- 0 мы получаем Разумно предположить, что минимальное значение Q = 24/ здесь должно быть порядка флуктуации самого порога Это условие определяет корреляционный масштаб как ос г0 /—
Ясно, что в нашем случае мы имеем дело с многомодовой системой. Некоторые свойства мод будут рассмотрены в следующем разделе. Из физического смысла величины (г\ ясно, что выражение (3.3.9) дает интервал усиления, которое необходимо для генерации всех мод Также можно заключить, что корреляция в появлении мод с разностью частот, превышающих ос г0 —, подавлена. Жесткость спектра неупорядоченной среды вблизи порога.
Когда система близка к порогу генерации, появляется дискретная структура уровней. В рассматриваемой системе можно ожидать, что "резонансы" уширены на порядок п Wп из-за диффузионного ухода 1 радиации, а среднее расстояние между модами есть —, где v0 есть плотность состояний. Отношение среднего расстояния к величине уширения составляет. Вблизи порога, когда накачка компенсирует уход моды становятся хорошо определенными.
Число мод в некотором спектральном интервале A v является хорошо определенным только в среднем (N)=VV0AV . В общем случае из-за статистических флуктуации число мод отличается от среднего. Для флуктуации числа собственных мод получается выражение Здесь мы ввели обозначение
Выражение (3.4.1) совпадает с выражением для флуктуации числа уровней для ортогонального ансамбля Вигнера-Дайсона.
Это не является тривиальным выводом, поскольку усиливающая система не является эрмитовой и применение к ней классификации Вигнера-Дайсона не является очевидным. Рассмотрим, как получается выражение (3.4.1). Обычно число уровней в некотором спектральном интервале выражается как Выражение для плотности состояний можно переписать в терминах опережающей и запаздывающей функции Грина
В этом месте необходимо сделать некоторые уточнения. Мы хотим делать вычисления с помощью функции Грина уравнения (1.1.4). Определение (3.4.3) справедливо для спектральных представлений функции Грина гамильтониана конечной системы. В нашем же случае собственные функции не являются локализованными в конечном объеме и их асимптотики соответствуют расходящимся волнам. Поэтому, строго говоря, мы не можем доказать (3.4.2) и (3.4.3) Однако на примере точно решаемого случая (одномерная система с двумя зеркалами) мы проверили, что (3.4.2) и (3.4.3) справедливы с точностью до возможных поправок порядка XIL
Усредняя произведение двух функций Грина, как это показано на рисунке [3.4.1], мы получаем выражение есть диффузон, удовлетворяющий уравнению, аналогичному (1.1.8), но с учетом усиления Вычисляя интегралы от (3.4.5) по частотам, приходим к равенству (3.4.1). Схематическая картина расположения лазерных мод показана на рисунке [3.4.2]. Моды, у которых мнимая часть больше нуля находятся выше порога. Среднее расстояние по вещественной оси между модами есть —.
Ширина распределения мнимых частей дается выражением (3.3.9). Для того, чтобы выяснить какие и сколько мод будут генерироваться выше порога необходимо еще решить задачу о конкуренции между модами в нелинейном режиме выше порога.
Симметрия нелинейной мезоскопической проводимости в магнитном поле.
Теория транспортных явлений в металлах, основанная на классическом уравнении Больцмана, предполагает, что между рассеивателями электрон движется по классической траектории. Однако, это справедливо лишь, если можно пренебречь интерференцией волн, рассеянных на различных примесях. Критерий справедливости такого подхода состоит в условии малости длины волны электрона по сравнению с длиной свободного пробега (критерий Регеля-Мотта).
Импульсная релаксация электронов в неупорядоченных проводниках при достаточно низких температурах определяется упругим рассеянием электронов на примесях, структурных дефектах и т.д. В этом случае существуют квантово-интерференционные поправки к классическим выражениям для транспортных коэффициентов (слабо локализационные поправки), которые определяют магнетосопротивление, эффект Ааронова-Бома, температурные зависимости проводимости неупорядоченных металлов. Эти явления описаны в обзорных работах
Теория явлений, упомянутых выше, строится путем усреднения кинетических коэффициентов по случайным реализациям рассеивающего потенциала. Однако в проводнике при протекании тока из-за случайного распределения примесей плотность тока флуктуирует от точки к точке. Локально токи могут существенно превышать по величине среднее значение плотности тока. Это является причиной того, что кондактансы макроскопически идентичных образцов, отличаются друг от друга на величину порядка е /. Эти флуктуации называются мезоскопическими.
Альтшулер {5} и Ли со Стоуном {6} теоретически показали, что измеряемый двухзондовым методом кондактанс металлического образца при нулевой температуре испытывает флуктуации от образца к образцу на универсальную величину порядка е /, независимо от размеров образца и степени беспорядка при условии, что Я«1. Эта величина получается и в рамках подхода Ландауэра, если рассматривать флуктуацию числа эффективных проводящих каналов с коэффициентом прохождения порядка единицы {57}.
Экспериментальное изучение мезоскопических флуктуации в металлах началось с пионерских работ {3, 4}. В этих работах было обнаружено, что сопротивление маленьких металлических пленок испытывает независящие от времени флуктуации как функция магнитного поля, которые меняются от образца к образцу, но воспроизводимы для данного образца. Обзор экспериментов сделан в работе {30}.
Стоун {58} первый дал качественное объяснение этому явлению, основываясь на случайной интерференции электронов, проходящих различные диффузионные пути в образце. Магнитное поле изменяет относительные фазы амплитуд прохождения по разным путям так, что полная вероятность продиффундировать через образец случайно осциллирует как функция магнитного поля.
Ли и Стоун {6} выдвинули эргодическую гипотезу, согласно которой усреднение кондактанса по ансамблю реализаций случайного потенциала при заданном магнитном поле эквивалентно усреднению кондактанса по многим значениям магнитного поля в данном образце. Прогенерировать реализацию случайных кондактансов на одном образце можно изменяя напряжение на затворе. В этой глава будут рассмотрены мезоскопические явления, возникающие в низкотемпературной кинетике.
Свойства мезоскопических флуктуации плотности токов. Наряду с флуктуациями кондактанса можно интересоваться и более детальной картиной электронного транспорта. Исследования локальных флуктуации тока и плотности носителей позволяет по-новому взглянуть на то, как реально протекает электрический ток, предложить новые явления для исследования.
Величину флуктуации плотности тока в неупорядоченных металлических образцах, возникающих под действием внешнего электрического поля можно получить из уравнений
