Содержание к диссертации
Введение
1. Тюретйческие методі исследования макроскопически неоднородных и анизотропных сред 13
1.1. Эффективные кинетические коэффициенты . 15
1.2. Плоско-слоистые среда и их модификации . 21
1.3. Среды, допускающие точные решения 22
1.4. Метод теории протекания 24
2. Эффективная проводимость неоднородных сред 33
2.1. Эффективные свойства елоисто-неоднородных сред и критерия применимости эффективного описания 33
2.2. Проводимость слоисто-неоднородных сред с мелкомасштабными искажениями 39
2.3. Эффективная проводимость дву- и трехмерных сред специальной структуры 47
2.4. Критические индексы проводимости двумерных анизотропных систем. Доказательство гипотезы Шкловского 64
2.5. Модель слабого эвена сильно неоднородной среды вблизи порога протекания 67
2.5.1. Модель "слабого звена" ниже порога протекания 67
2.5.2. Модель "слабого звена" выше порога протекания 71
2.5.3. Модель "слабого эвена" и масштабные преобразования 76
2.5.4. Иерархическая модель "слабого звена" 77
2.6. Модель "слабого звена" и эффективные упругие свойства сильно неоднородных композитов вблизи порога протекания 79
2.7. Критическое поведение I// шума в перколяциоиных системах 83
3. Кинетические явлшия в кошозйтшх сверхшюводоках 92
3.1. Структура и физические характеристики композитных сверхпроводников 92
3.2. Эффективная проводимость вблизи порога протекания при конечное диссипации энергии. Нелинейность ВАХ 96
3.3. Гистерезисные явления в композитных сверхпроводниках вблизи порога протекания 101
3.4. Наведенная анизотропия электрических свойств композитных сверхпроводников вблизи порога протекания 106
3.5. Самонодобная модель макроскопически неоднородной смеси сверхпроводник - нормальный проводник вблизи порога протекания 107
4. Термоэлектрические свойства неоднородных сред 119
4.1. Эффективные свойства плоско-слоистых сред при непрерывной зависимости локальных кинетических коэффициентов от координат 119
4.2. Критерий применимости эффективного описания термоэлектрических свойств плоско-слоистых сред 124
4.3. Термоэлектрические свойства плоско-слоистых сред с мелкомасштабными искажениями 131
4.4. Эффективные коэффициенты поликристаллических пленок 140
4.5. Термоэлектрические свойства полупроводниковых пленок с макроскопическими неровностями поверхности 145
4.6. Двусторонние ограничения эффективных термоэлектрических коэффициентов 148
5. Гальвано- и термогальваномагнитные свойства неоднородных сред 158
5.1. Гальваномагнитные свойства плоско-слоистых сред с малкомасштабными искажениями 158
5.2. Об одном свойстве сред Д*хне 161
5.3. Гальваномагнитные свойства среды вблизи порога протекания при конечной диссипации энергии. Нелинейность ВАХ 165
5.4. Гальваномагнитные свойства неоднородных пленок вблизи порога протекания в наклонном магнитном поле. Размерный эффект 174
5.4.1. Случай конечных металлических кластеров 175
5.4.2. Случай бесконечных металлических кластеров 180
5.4.3. Поведение ЭКК на пороге протекания 186
5.5. Термогальваномагнитные свойства неоднородных пленок вблизи порога протекания 188
5.6. Термогальваномагнитные свойства трехмерных композитов вблизи порога протекания 197
Заключение 204
- Плоско-слоистые среда и их модификации
- Эффективная проводимость дву- и трехмерных сред специальной структуры
- Модель "слабого эвена" и масштабные преобразования
- Гистерезисные явления в композитных сверхпроводниках вблизи порога протекания
Введение к работе
Одним из определяющих факторов научно-технического прогресса и важнейшей задачей физіки твердого тела является создание новых материалов с заданными свойствами. Возможности чистых (однофазных, однородных, гомогенных) материалов в значительной мере исчерпаны. Создавая композиты во многих случаях удается достичь комбинации свойств, не присущей каждому из исходных материалов по отдельности /I-Il/. Использование неоднородных сред - это необходимый и, по-видимому, единственный реальный дуть удовлетворения запросов техники в новых материалах. Большое место в решении этой задачи принадлежит разработке макроскопически неоднородных сред, свойствами которых можно управлять в весьма широких пределах. Материалы, созданные на основе макроскопически неоднородных и анизотропных сред, используются при создании термоэлектрических устройств /12-18/, конденсаторов /9,19/, мощных резисторов /20/, других элементов электронной техники /9/, сверхпроводящих устройств /21/.
Особое место при изучении и использовании макроскопически неоднородных сред занимают случайно-неоднородные среды - среды со случайным расположением компонент, однородные, хотя возможно и анизотропные в среднем. Основной характеристикой таких сред являются эффективные кинетические коэффициенты (ЭКК), связывающие, по определению, средние по объему термодинамические ПОТОКИ и силы. Теоретическое исследование неоднородных сред представляет собой сложную задачу. До последнего времени вычисление ЭКК было возможно только при определенных приближениях - малой концентрации одной из фаз, слабой неоднородности, простой геометри-
ческой структуре. В последнее время появились новые теоретические методы изучения случайно-неоднородных сред /2-31/. Значительный прогресс на пути изучения кинетических свойств неоднородных сред был достигнут благодаря созданию теории протекания /22-29/, в рамках которой появляется возможность изучить интегральные характеристики и определить ЭКК в наиболее интересном как теоретически,, так и экспериментальном случае сильной неоднородности - вблизи и на самом пороге протекания, когда ЭКК сильно зависят от концентрации, имеют необычные (аномальные)зависимости от магнитного поля, появляется аномально высокая тензочувстви-тельность электропроводности и т.п. Большую роль сыграл метод точного вычисления эффективной электропроводности для двумерных случайно-неоднородных сред на пороге протекания /30/, обобщенный в дальнейшем на ряд более сложных кинетических явлений /3I-4Q/. Среды вблизи порога протекания могут быть и, уже частично применяются, как материалы для различного рода чувствительных элементов измерительных приборов.
Несмотря на интенсивные исследования, проводящиеся в области теоретического и экспериментального изучения кинетических явлений в макроскопически неоднородных и анизотропных (кинетические явления в макроскопически однородных анизотропных средах подробно изучены в /41,42/) средах и большое число публикаций, к моменту начала исследований практически отсутствовали регулярные методы вычисления ЭКК в ситуациях, приближенных к реальным, с учетом джоулевого тепловыделения, нелинейности, конечности размера образцов и т.п. Так, например, численные расчеты указывают, что локализация джоулевого тепловыдения резко возрастает при приближении к порогу протекания и существенно зависит от степени неоднородности среды. При этом, при незначительном суммарном ра-
зогреве возможен сильный локальный разогрев, который может изменить концентрационное и полевое поведение ЭКК, т.е. свойства среды в целом. Кроме того, не были достаточно разработаны способы конструирования композитных материалов с заданными свойствами.
Целью работы является развитие теории кинетических явлений в макроскопически неоднородных и анизотропных средах, определение ЭКК неоднородных сред, установление критического поведения и определение критических индексов ЭКК вблизи порога протекания, разработка методов и построение моделей, позволяющих вычислять ЭКК в экспериментально осуществляемых условиях, разработка методов конструирования композитов с заданными свойствами.
Научная новизна
I. Предложена иерархическая модель "слабого звена" сильно неоднородной среды выше и ниже порога протекания, на основании которой:
исследовано критическое и полевое поведение эффективных термогальваномагнитных коэффициентов в дву- и трехмерном случаях, определены критические индексы, найдено их выражение через критические индексы проводимости;
исследовано джоулево тепловыделение в композитах в критической области и найдено аналитическое выражение для локального перегрева; сформулированы условия появления нелинейности вольтам-перной характеристики выше и ниже порога протекания, связанной
с тепловым перегревом слабых звеньев;
- предсказан размерный эффект - зависимость интегральных
гальваномагнитных свойств сильно неоднородных пленок в наклонном
магнитном поле вблизи порога протекания от толщины пленки; полу
чены аналитические выражения эффективных компонент тензора про
водимости ниже, выше и на самом пороге протекания;
установлена возможность теплового гистерезиса и наведенной анизотропии в сверхпроводящих керамиках вблизи порога протекания;
исследовано критическое шведение Vs шума в перколяцион-ных системах, определены критические индексы относительной спектральной плотности выше, ниже и на пороге протекания;
установлена возможность теплового гистерезиса и наведенной анизотропии в сверхпроводящих керамиках вблизи порога протекания;
определена структура макроскопически неоднородной смеси идеальный проводник (сверхпроводник) - проводник с конечной проводимостью на размерах меньших корреляционной длины и методом ренормализационной группы вычислен критический индекс проводимости.
Установлены пределы применимости традиционного описания плоско-слоистых макроскопически неоднородных сред, путем перехода от локально неоднородных к однородным и анизотропным в среднем, связанные с конечными размерами образца, нелинейностью локальных кинетических коэффициентов, мелкомасштабных искажений структуры; найдены аналитические выражения эффективных кинетических коэффициентов с учетом нелинейности, мелкомасштабных искажений, внешнего магнитного поля, наличия в среде одновременно двух обобщенных потоков и сил.
Развит метод, позволивший найти класс изотропных в среднем сред, установить структуру и найти асимптотически точные выражения эффективной проводимости при любых концентрациях компонент, размерности задачи в случае как угодно большой неоднородности; показана ренормгрупповая природа таких сред.
Для двухпотоковых кинетических явлений с учетом перекрестных эффектов (термоэлектрических, термодиффузионных и т.п.) в двухфазных макроскопически неоднородных средах установлены но-
- 9 -вые двухсторонние ограничения эффективных кинетических коэффициентов; для поликристаллических пленок точные аналитические выражения, годные для как угодно большой анизотропии локальных кинетических коэффициентов.
5. Доказана гипотеза Б.И.Шкловского о равенстве критических индексов изотропизации эффективной электропроводности поликристаллических пленок.
Научная и практическая ценность работы определяется возможностью использования ее результатов для описания кинетических явлений в макроскопически неоднородных средах, в частности,вблизи порога протекания, определения интегральных характеристик макронеоднородных и анизотропных сред. Проведенный теоретический анализ поведения слоисто-неоднородных сред в магнитном поле может служить основой экспериментального метода определения гша-нарности плоско-слоистых сред; явления теплового гистерезиса и наведенной анизотропии в композитных сверхпроводниках могут быть использованы для создания элементов памяти. Исследования вихревых токов в неоднородных средах, примененные к расчету вихревых термоэлектрических токов в экранных трубах парогенераторов могут послужить основой метода контроля их состояния. Теоретические результаты, полученные в работе, стимулируют постановку новых экспериментов в области физики твердого тела - физики гальваномагнитных явлений, фликкер шума и т.п. В целом результаты работы могут быть использованы в области твердотельной электроники и материаловедения.
Достоверность основных результатов и выводов защищаемой работы подтверждается строгой постановкой задач, выбором адекватных теоретических моделей и методов решения, ясной физической трактовкой основных положений и выводов, согласием вытекающих из
- TO -
теории частных результатов с полученными ранее другими авторами, с результатами численных экспериментов, согласием с результатами экспериментальных работ.
Диссертация подразделена на пять глав, заключение, дополнения и список цитируемой литературы. В конце каждой главы, кроме вступительной первой, приведены основные результаты.
В первой главе дано краткое описание основных понятий и различных типов макроскопически неоднородных сред и теоретических методов их исследования. Определена связь усреднения в теории гетерогенных сред для получения ЭКК и усреднения в статистической физике. Во второй главе рассмотрена эффективная проводимость неоднородных и анизотропных сред. Изучены одно-,двух- и трехмерные случаи, определены границы применимости эффективного описания, проанализирован класс сред, для которого существуют точные аналитические выражения эффективной проводимости, введена и обоснована иерархическая модель слабого звена, рассмотрены эффективные модули упругости, критическое поведение относительной спектральной плотности у$ шума и некоторые другие задачи. В третьей главе рассмотрены кинетические явления в композитных сверхпроводниках вблизи порога протекания, введена модель структуры смеси сверхпроводник - проводник с конечной проводимостью на размерах меньших корреляционной длины; в рамках модели слабого звена рассмотрены различные возможные последствия локальных перегревов композитов вблизи порога протекания. В четвертой главе рассмотрены термоэлектрические свойства неоднородных сред,дан критерий введения эффективного коэффициента термоэдс для пространственно ограниченной среды, получено точное решение для ЭКК поликристаллических пленок, рассмотрено влияние шероховатости пленок на эффективные свойства и другие вопросы. В пятой главе
- ТІ -рассмотрены гальвано- и термогальваномагнитные свойства неоднородных сред, влияние мелкомасштабных искажений структуры на эффективные свойства, изучены гальваномагнитные свойства неоднородных пленок вблизи порога протекания и установлена возможность существования размерного эффекта, определено критическое поведение термогальваномагнитных коэффициентов вблизи порога протекания.
В заключении к диссертации сформулированы выводы, суть которых составляют основные положения и результаты, выносимые на защиту:
I. Иерархическая модель "слабого звена", позволяющая единым образом описывать, кинетические процессы в случайно-неодно родных средах вблизи порога протекания для широкого класса явлений и полученные на основании этой модели результаты: I) критические индексы термогалъваномагнитных эффективных коэффициентов и упругих модулей, 2) наличие нового гальваномагнитного размерного эффекта, 3) механизм наведенной анизотропии и теплового гистерезиса в композитных сверхпроводниках и механизм нелинейности вольт-амперной характеристики в композитах вблизи порога протекания, 4) критические индексы относительной спектральной плотности У$ шума и ее значение на пороге протекания, 5) фрактальная структура сильно неоднородной среды на размерах меньших корреляционной и критический индекс проводимости, полученный методом ренормали-зационной группы,.
Я. Результаты вычислений эффективной электропроводности D -мерных m -фазных композитов и коэффициентов поликристаллических пленок для двухпотоковых кинетических явлений с учетом перекрестных эффектов.
3. Новые двухсторонние ограничения эффективных кинетических
коэффициентов термоэлектрических композитов произвольной структуры с произвольными значениями локальных кинетических коэффициентов.
4. Равенство критических индексов изотропизации эффективной электропроводности пэликристаллических пленок.
- ІЗ -
Плоско-слоистые среда и их модификации
В плоскослоистых средах можно найти ЭКК при как угодно большой неоднородности. В простейшем случае эти среды представляют собой чередующиеся изотропные слои размеров и 4 с проводи-мостями &4 и 6 соответственно. Такая среда анизотропна в среднем; компоненты тензора эффективной проводимости ее хорошо известны. Их выражения не что иное как выражения для последовательно и параллельно соединенных сопротивлений. Можно найти ЭКК и в более сложных случаях, например, когда в среде из двух чередующихся изотропных слоев протекает не только электрический ток, но и поток тепла, зацепляющиеся друг с другом через термоэлектрические эффекты /147« Такие среды имеют большое значение для термоэлектрического приборостроения. На их основе были созданы анизотропные термоэлементы /9Z7- Если не существует резкой границы между слоями, но ЛКК по-прежнему зависят от одной координаты (одномерный случай), возникает задача вычисления ЭКК при непрерывной зависимости ЛКК от координат. Расчет ЭКК в такой задаче с учетом термоэлектрических явлений приведен в /3/ (глава 4, разд.4.1). В конкретных экспериментальных ситуациях неоднородные среды имеют конечный объем и, следовательно, при переходе от локального описания к усредненному (объем усреднения предполагается бесконечным) допускается погрешность. В одномерном случае удается оценить влияние ограниченных размеров образца и тем самым указать критерий применимости эффективного описания /93/ (глава 2, разд.2.1). При изготовлении слоисто-неоднородных сред возможны различные нарушения структуры, в том числе такие, когда слои не строго параллельны друг другу - задача определения ЭКК при этом уже не одномерна. В /94-97/ было рассмотрено влияние мелкомасштабных искажений (слабое отклонение от плоскослоистого случая) на эффективные упругие свойства. В ,/8,997 рассмотрено влияние мелкомасштабных искажений на электропроводность (глава 2, разд.2.1), гальваномагнитные (глава 5, разд.5,1) и термоэлектрические эффективные свойства. Линейный закон, например, закон Ома, при повышении поля /Ї00-Ю37 или градиента температуры /Ї04/ перестает быть линейным.
Как правило, учет нелинейных членов в материальном уравнении существенен в больших полях (см..впрочем, /Ї07). В плоскослоистых средах, однако, возможна такая ситуация, когда среднее поле мало - (в однородной среде оно не вызовет сколько-нибудь заметной нелинейности),но сильная неоднородность слоев (по ЛКК и размерам слоев) приводит к сильной неоднородности поля (или градиента температур). В тех слоях, где локальное поле большое -может оказаться существенной нелинейность, что приведет к нелинейности среды в целом /Ї0&7 (Приложение I). В работе /30/ был предложен класс сред, допускающих точное (справедливое для как угодно сильной неоднородности ЛКК) решение задачи о вычислении ЭКК. Метод работы /3Q/ не опирается, в отли- чиє от многих других, известных до него, на какой-либо малый параметр и связан с преобразованиями симметрии. Среды, допускающие точное решение, являются двумерными, двухфазными с геометрически эквивалентным расположением фаз. Последнее означает, что при взаимной замене проводимостей фаз эффективная проводимость среды не меняется. В дальнейшем такие среды будем называть средами Дыхне. Одной из возможных реализаций сред Дыхне является шахматная доска, черным и бельм клеткам которой соответствуют проводимости 91 . Эффективная проводимость /3Q7 равна причем выражение (I.I) справедливо при любых отношениях / , в том числе и при Существенно то, что другими возможными реализациями сред Дыхне являются случайно-неоднородные среды. Обнаруженная в /ЗОУ симметрия, в этой же работе применена и к поликристаллическим средам, однородным в среднем. Эффективная проводимость такой среды где 6 , 6 - главные значения локального тензора проводимости. В дальнейшем метод работы /30/ обобщался и применялся в различных задачах (см.,например, /3I-4Q/ и обзор /4/), в том числе, как оказалось, этот метод можно применить в задаче о вычислении ЭКК поликристаллических сред с учетом термоэлектрических явлений /107,108/ (глава 3, разд.3.4). Дальнейшее подробное изучение сред с геометрически эквивалентным расположением фаз позволило обнаружить соотношение, из которого следуют многие результаты, полученные для сред Дыхне /10/ (глава 5, разд.5.2). Существует более узкий класс сред, для которых можно получить точные решения не только в двух, но и в трехмерном случаях. Впервые такие среды были предложены в работе /XlQj. Оказалось, что метод, при помощи которого происходит построение таких сред (так называемый метод перемешивания /108/) можно развить для многофазного случая и любой мерности пространства /108,III/. Выход за рамки двумерности и двухфазности приходится "оплачивать" - среды, полученные методом перемешивания, обладают рядом аномальных свойств, так, например, как правило, порог протекания для таких сред /" о . Необходимо отметить, что в природе встречаются среды, обладающие таким поведением - это трещиннова-тые горные породы. Среды с /&-+ ? изучаются с использованием такого мощного подхода, как теория протекания /ІІ2-П4Л В настоящее время большой популярностью в различных областях физики пользуется метод ренормализационной группы (РГ).
Созданный для нужд квантовой электродинамики /1I5-IV7J он впоследствии был перенесен на теорию фазовых переходов второго рода. В главе 2, разд.2.3 показано, что среды, получаемые методом перемешивания (в том числе и некоторые из реализаций сред Дыхне) могут обладать РГ природой. Одним из самых мощных методов исследования неоднородных сред является теория протекания. Метод теории протекания основан на аналогии между поведением величин, описывающих усредненные свойства случайно неоднородных сред и параметра порядна в теории фазовых переходов второго рода. С точки зрения такой аналогии (она подтверждается численны- ми и натурными экспериментами) теория протекания описывает геометрический фазовый переход - переход от топологически несвязной структуры к топологически связной. Согласно указанной аналогии геометрические характеристики случайно-неоднородной среды вблизи порога протекания (аналог критической температуры) ведут себя критическим образом - имеют особенности степенного характера. Такими геометрическими характеристиками являются, например, плотность и средний размер кластера, периметр кластера и т.п. Критический индекс (степень особенности) является универсальной характеристикой, не зависит от выбора модели (задача узлов, связей) и определяется лишь размерностью пространства. Если на размерах больших корреляционной длины случайно-неоднородная среда является однородной в среднем, то на размерах меньших корреляционной длины, но много больших минимального размера U. , существует т.н. область промежуточной асимптотики, в которой все характеристики кластеров подобны их характеристикам в самой критической области. Их свойства в этой области характеризуются самоподобием (масштабной инвариантностью). Характеристикой самоподобия геометрических объектов является их фрактальная размерность. Выше речь шла о геометрических характеристиках случайно-неоднородных сред и способах их описания. Это первый круг задач, методов, касающихся только геометрии безотносительно к каким-либо физическим свойствам и процессам. Второй круг задач связан с возможными физическими процессами, разыгрывающимися на перколя-ционных структурах. Такими процессами могут быть протекание тока и потоков тепла, упругие нагрузки, выделение джоулева тепла и т.п. Поведение величин, характеризующих кинетические явления и другие физические процессы в случайно-неоднородных средах вблизи порога протекания так же, как и геометрических характеристик,является критическим.
Эффективная проводимость дву- и трехмерных сред специальной структуры
Точные, годные для как угодно большой степени неоднородности решения задачи о вычислении ЭКК возможны в исключительных случаях, например, в одномерном случае или двумерном, при равной концентрации фаз двухфазной среды /30./. Поэтому, при изучении кинетических явлений в макроскопически неоднородных средах существуют два различных подхода. Первый из них состоит в том, что разрабатываются приближенные методы для большого класса сред. Другой состоит в том, что рассматривается (конструируется) специальный класс сред, для которого существует такое аналитическое выражение ЭКК. Первому подходу посвящено много работ (см., например, обзор /27/), в рамках этого метода разработано много методов, в том числе такой мощный теоретический метод, как теория протекания /ИЗ,25/. Второй подход привлек меньше внимания /43,108,110/, В этом разделе будет использован второй подход в исследовании макроскопически неоднородных сред. При этом по возможности будет выбран как можно более общий класс сред. Ниже будем рассматривать только изотропные в среднем среды. Неоднородная среда "строится", создается поэтапно. На каждом масштабе среда имеет определенную структуру, причем на каждом масштабе одну и ту же. Описываемый ниже способ построения сред является вариантом метода ренормализационной группы (РГ). Введем вначале основные понятия метода РГ /"П5,П6/.РГ-пре-образования являются частными случаями преобразований функциональной автомодельности. Простейшим примером преобразования функциональной автомодельности является следующая совокупность одно параметрических преобразований двух величин эс и j где / - положительный параметр , a f(t,$) - однозначная функция своих аргументов, удовлетворяющая условию Преобразования величины jf(% f ) образуют группу, если а удовлетворяет условию Уравнение (2.37) представляет собой функциональное уравнение относительно г} , Преобразования % принято называть преобразованиями функциональной автомодельности. Рассмотрим теперь один из возможных вариантов построения среды Дыхне и покажем, что это построение имеет РГ природу.
Первый этап состоит в том, что из двух локально изотропных сред с проводимостями б и б1 (рис.2.6 а) образуется плоскослоистая среда. Эффективная проводимость такой среды (будем называть ее первичной) представляет собой тензор с главными осями, направленными вдоль и поперек слоев, и имеющий компоненты 6%(f) и е-±а) . Будем теперь считать, что 6 0 ) и - локальные проводимости первичной анизотропной среды и из полосок этой среды пост- роим новую (вторичную) (рис.2.6 б). Эффективная проводимость вторичной среды вычисляется аналогично тому, как это было проделано для первичной Продолжая процедуру, для п -ричной среды получим Процедуры построения ("смешивания") при увеличении п приводят к сближению $ #(п)уі 6 ( п) (на каждом этапе процедура смешивает ВДОЛЬ И ПОПереК СЛОеВ КОМПОНеНТЫ б"(і приводит к изотропной среде с проводимостью & . Эту проводимость легко найти обратив внимание на то, что произведение компонент тензора проводимости не зависит от п с учетом (2.40) сразу же следует /ЇІ0_/ Так как в любой из п -ричных сред фазы со значениями проводимости &, и ( занимают геометрически эквивалентное положение (взаимная замена 6 6 не меняет &С") ), то указанная процедура перемешивания привела к построению одной из реализаций сред Дыхне. Покажем теперь /166/, что метод перемешивания соответствует схеме РГ преобразования. Действительно, в рассмотренном случае a- Ci) , и если положить і- = «у п и то условие (2.37) выполняется тождественно. Приведенное доказательство легко обобщить и на остальные случаи применения процедуры перемешивания. В работе /III/ методом перемешивания получено выражение для трехмерной поликристаллической среды где б , , - главные значения локального тензора проводимости начального кристаллита {о -ричной среды). Построение среды со значением (Г (2.44) аналогично-предыдущей процедуре, при этом можно использовать известный из /30/ точный результат для двумерной поликристаллической среды /108/. Из монокристаллов с главными значениями тензора проводимости 6"т , 6% и (рис. 2.7 а - "первичная" среда б Ф &г , ЩУ) = 7 » $k J =Р Ъ t У :я» ъ« я ) составляется "вторичная" среда (рис. 2.7 б - = -,, у «у, «. , xi « ± , % « t ), Главные оси тензора проводимости "первичной среды" при этом направлены следующим образом: оси со значением 6 т - вдоль оси ее, со значениями б и ( расположены в плоскости У 5 - - хаотичес-ки (таким образом, что при взаимной замене 6% и 6 ,]j , б" не меняется).
Эффективный тензор такой ("вторичной") среды вычислен в работе /30/, где принято, что одна из главных осей всех составляющих среду монокристаллов направлена вдоль оси эе s что делает задачу о вычислении по существу двумерной Считая, что характерные размеры монокристаллов "первичной" среды малы по сравнению с размерами "вторичной" ( %о %1 , 0«3:L ), полагаем, что 6 .-( ) локальные значения тензора проводимости "вторичной среды". Следующая, "третичная" среда (рис. 2.7 в: Ля , 3:, ,« ) составляется аналогично предыдущему из монокристаллов "вторичной" среды. Главные оси тензора проводимости со значениями &- (2) расположены при этом параллельно (вдоль) OS. , а оси со значениями б т(2) и 6 - (2) - хаотично в плоскости хОу . Эффективный тензор такой "третичной среды" имеет вид Продолжая "перемешивание", для п получаем При бесконечном количестве шагов "перемешивания" ( ) приходим к равенству проводимостей трех сред друг другу Последнее выражение можно получить и сразу. При использовании рассмотренной выше процедуры сохраняется следующая величина При указанном способе "перемешивания" главные значения тензора проводимости сближаются с возрастанием /? , а когда среда ста нет изотропной ( /7-»в), то б С) Gj?() - 6щ( ) = 6 Є і можно записать соотношение Выражение для б е трехмерной поликристаллической, изотропной в среднем среды (2.47), легко обобщается на J -мерный случай {d= 2, 3 отвечает реальной ситуации) Рассмотрим теперь поликристалл, состоящий из монокристаллов двух сортов, составленный таким образом, что главные оси тензора проводимости монокристаллов направлены вдоль осей х-1 и и имеют значения проводимостей 6"r , 6V и соответственно, причем для монокристаллов первого сорта %- 6 ш Эффективный тензор проводимости такой среды вычисляется элементарно Легко заметить, что при повторении описанной процедуры тензор проводимости монокристалла пп -го рода" при г»-» » будет выгля деть . i Таким образом, эффективное значение проводимости изотропной в среднем поликристаллической среды, составленной из монокристаллов двух сортов, равно Полученное выражение легко обобщить на случай нескольких сортов монокристаллов. Прежде чем применять полученные выражения & поликристаллических сред, напомним, что рассматриваемые среды - среды перемешивания, построенные специальным образом. Их свойства отличаются от свойств случайных поликристаллических сред.
Модель "слабого эвена" и масштабные преобразования
Покажем, что предложенная модель слабого звена не противоречит гипотезе подобия. Согласно /23,172/ крупномасштабная структура при Р Рс остается подобной самой себе - топология не изменяется, а все линейные размеры (за исключением минимального размера - для сеточных задач постоянной решетки to ) рас- тут пропорционально радиусу корреляции L 0 Itl Рассмотрим сначала модель "слабого звена" слева от порога протекания ( р рс ). Тогда расстоянием между МК &С\0 Середа находится вблизи порога протекания, а остальные линейные разме- ры растут как ItI ). Таким образом Подставляя (2Д05) в (2.93) в трехмерном случае получаем В двумерном случае аналогичные соображения приводят к такому же соотношению Оба равенства - (2.107) и (2Л08) хорошо согласуются с известными численными значениями Рассмотрим теперь модель "слабого звена" справа от порога протекания С / / с ). В этом случае і » #«, , 1о аФ , « jti , В двумерном случае аналогичные соображения дают Соотношения (2.ПО) и (2.III) хорошо согласуются с (1.9),(1.10). В некоторых случаях модель слабого звена, описывающая только первые слагаемые в 6" (t)(l.3t 1.5) является недостаточной. Для описания критического поведения, например, термоэлектрических свойств при t o необходимо задавать структуру среды более подробно. Частично это явно сделано при описании протекания тока справа от порога протекания в 2.5.2 (рис.2.13). Аналогично можно задать более подробную структуру и при t o . При этом уточнения можно продолжать как угодно "глубоко", учитывая все более и более малые слагаемые в (1.3, 1.5). Каждое следующее из этих слагаемых включает в себя малый сомножитель d = &Z/Q в соответствующей степени. В связи с этим можно говорить об иерархии моделей слабого звена по параметру U . На рис. 2.14 приведены схематические изображения иерархической модели слабого звена - левый ряд для t 0 и правый для tr о . Переход вниз по рангам (от I к 2 и т.д.) означает учет следующих по малости Н слагаемых в С"е. Легко заметить, что каждый переход на один номер вверх соответствует игнорированию одного из слабых звеньев. Каждому слабому звену в иерархии соответствует, аналогично тому, как это было сделано в простейшем варианте, определенное соотношение, задающее зависимость геометрических параметров звена от концентрации. Так, например, для ранга 2 (рис. 2.14 второй от верха ряд) эти соотношения имеют вид: в трехмерном случае, и в двумерном. Здесь индекс М - означает мостик, который уже существует не только при Г о , но при Т 0 , а индекс П - прослойка.
Заметим, что мостик в модели 2а (рис.2.14) описывается тем же соотношением, что и мостик в 16, и, аналогично, прослойка в 26 та же, что и прослойка в 1а. Это означает, что уже в иерархической модели второго ранга при изменении t возможно описание перехода среды от случая Х о к случаю Т о и наоборот. Например, при уменьшении концентрации хорошо проводящей фазы мостик в структуре 26 в конце концов разорвется и мы получим структуру 1а. Такой переход в моделях первого ранга невозможен. 2.6. Модель слабого звена и эффективные упругие свойства сильно неоднородных композитов вблизи порога протекания /160/ Критическому поведению модулей упругости уделено в последнее время много внимания (см. /173-190/ и указанную библиографию). Основной задачей, которая до сих пор исследовалась,по-видимому, только численными методами, является определение числен- ного значения критических показателей. Наиболее интересным при этом является вопрос о том, появляются при описании упругих свойств случайно неоднородных сред новые критические показатели или достаточно тех, которые описывают проводимость. Как известно, при/ /?с в первом приближении по & /&л 0е описывается одним критическим индексом CL. В ряде работ (см,,например,/37,154/) показано, что для описания критического поведения различных кинематических коэффициентов - Холла, термоэдс, Эттингсгаузена и т.п. достаточно, по крайней мере слева, одного критического показателя - а. , входящего в выражение (2.123) для б"е . Ниже, на основе простейшей геометрической модели среды -модели "слабого звена", вблизи порога протекания (t 0 ) flbZ/ вычислены критические показатели модулей упругости дву- и трехмерных сред и показано, что и в этом случае достаточно критического индекса проводимости. Для вычисления эффективных упругих модулей сильно неоднородной среды будем предполагать фрагменты кластера настолько жесткими, что их деформацией (сжатием и сдвигом) по сравнению с деформацией "мягкой" фазы, в том числе и прослойки можно пренебречь.
Тогда при сжатии среды (силы на рис.2.15) среднее давление КРУ x/l? передается на прослойку, где оно будет равно Р- х/$ и сжимает ее на лі где - локальный модуль Юнга "мягкой" фазы. Поскольку деформацией жесткой фазы можно пренебречь, 4L - является деформацией всего объема лі-йі , из (2.115) следует Коэффициент, связывающий средние по объему напряжения и деформации, является эффективным модулем, т.о. из (2.116) получаем с учетом основного положения модели /148/ 2.93) выражение для эффективного модуля Юнга Расчет Е для D= 2. совершенно аналогичен и приводит к тому же выражению 2.115), естественно с Q, , соответствующим 0=2. . При сдвиге среды (силы Гу на рис.2.15) среднее касательное напряжение T s Fy /L передается на прослойку, где оно будет равно t F / и вызовет сдвиг на угол "-f где U - локальный модуль сдвига мягкой фазы. Из рис. 2Л5 видно, что при 1 (ЫфхУ) локальный угол f простым образом выражается через средний f # f /L , откуда с учетом 2.114) и 2.118) и определения эффективного упругого модуля /i t = = уЦ f получаем Из С2.ЇІ7) и (2.119) следует, что критические показатели модуля Юнга и модуля сдвига совпадают с показателями проводимости. Численные расчеты /Ї89/ двумерной случайно неоднородной ере-ды дают для критических показателей Е и / значение 1,30+0,01, численно совпадающее с { Р = 2 ). Кроме установления критических показателей модулей упругости слева от порога протекания в двух- и трехмерном случаях модель /1527 позволяет предположить наличие ряда связей между механическим действием на сильно неоднородную среду и различными кинетическими свойствами среды. Так, например, сжатие среды должно приводить к анизотропии электропроводности, локальный джоулев разогрев прослойки /1527 при протекании в среде конечного тока может вызвать большие напряжения С термоупругость и т.п.). Плотность шума у$ (ПШ) /191,192/ является одной из важных характеристик среды. Ее исследованию посвящено большое число работ, касающихся поведения ПШ как в однородных, так и в неоднородных (макро- и микроскопически) средах. Значительное внимание в последнее время уделено исследованию ПШ в макроскопически неоднородных средах вблизи порога протекания, в частности, ее концентрационному поведению. Относительную плотность шума можно определить как (см.например, /193,194/) где " "# сГ# - среднеквадратичная флуктуация сопротивления, Че - действительное значение величины /& шума, измеренного при постоянном внешнем токе, - сопротивление всего образца. В макроскопически неоднородных двухфазных системах основной является следующая задача: зная ПШ чистых фаз (хорошо проводящих - У/ с проводимостью и плохо - Ь с % ) определить концентрационное поведение ПШ всего образца. Такой задаче посвящено большое число работ. В /І95/ найдена ПШ для двухфазных материалов, рассмотренных в /Ї96/. В /193,194,197-202/ рассматривается поведение ПШ в перколяционных системах, т.е. в случае большого различия проводимостей фаз вблизи порога протекания.
Гистерезисные явления в композитных сверхпроводниках вблизи порога протекания
Рассмотрим композит, состоящий из двух металлических фаз, для которых справедливы соотношения ci сг и J2 где Та и \QZ - критические температуры, а 6 и 6 2 соответственно нормальные проводимости первой и второй фаз. В отсутствие внешнего магнитного поля основное, что отличает такие ком- позиты (СП) при ( 1 сі от композитов, у которых сопротивлением одной из фаз по сравнению с другой можно пренебречь, -это эффект близости. Рассмотрим поведение такого композита слева от порога протекания /% вне области размазки (т.е. при Л $Г pz р : і , где / - концентрация первой фазы, 4; ( M2/Q- ) t - о,Ъ$ ) и средних расстояниях между СП включениями d , почти равными длине когерентности Jfn , и температурах ТС2 1 lei . При токах 1 , больших, чем критический J со -ехр (_ - cy5fn) , бесконечный СП-кластер отсутствует и среда в целом имеет конечное сопротивление. Пусть ток, текущий по композиту, будет меньше критического. Тогда при Т- Хср) с мы обнаружим объединение первой фазы за счет эффекта близости в бесконечный кластер, т.е. снижение сопротивления до нуля. Будем считать также, что при понижении температуры поперечный размер хорошо проводящей фазы остается больше длины когерентности и в ней не проходит подавление СП за счет эффекта близости с нормальным металлом. Как правило, при изучении макроскопических свойств композитов пренебрегают джоулевым теплом и предполагают, что при малых токах, текущих через образец, выделяемое тепло слабо искажает температуру образца. Рассмотрим, к каким экспериментальным следствиям может привести локальный перегрев, создаваемый джоулевым теплом в СП композитах, ниже порога протекания. Задаваясь моделью прослойки, согласно модели слабого звена, находим перегрев Выражая дТ через ток Уа и разность потенциалов &Y Для разца в целом (именно и л о измеряются на эксперименте) Из (3.12) и (3.14), в частности, следует, что при малых значениях Г перегрев может быть весьма большим (дТ : «СТ ), ПрИ снижении средней температуры ниже ТСІ хорошо проводящие фрагменты перейдут в СП-состояние всюду, кроме областей, непосредственно контактирующих с сильно разогретой прослойкой, так как температура этих участков при достаточно большом значении дТ будет больше ТС1 . При определенных значениях J Jc±(& ) размеры участков первой фазы, не перешедших в СП-состояние, будут такими, что эффект близости не сможет соединить фрагменты в бесконечный кластер. Отличная от рассмотренной ситуация возникнет, если первоначально композит находился в СП-состоянии.В этом случае СП-кластер не разрушается при больших по сравнению с Усі токах (или больших средних температурах).
Величина критического ока такого композита будет больше -Ja , так как расстояние между СП-областями резко уменьшится. Если ток будет лежать в пределах Jet J , У Jcz » то при Т fCx состояние композита и порог протекания (концентрация первой фазы, при которой наступает протекание) зависит1 от предыстории образца. Качественно предполагаемый вид гистерезиса изображен на рисунке. Оценим экспериментально измеряемую величину Т - (Т) ± , где "Г и "Г - средние температуры, при которых измеряемое сопротивление композита становится равным нулю при охлаждении и нагреве соответственно. Заметим, что в режиме постоянной мощности критические токи образца при нагреве Т . и охлаждении 1 равны. Так как основное сопротивление набирается на прослойке, то и при наличии перегрева fa&e j где g& _ сопротивление прослойки, a &j - сопротивление прослойки с прилегающими участками хорошо проводящей фазы» находящимися в нормальном состоянии. Поэтому в режиме постоянной мощности Tf я Т2 . Величина «СТ дТ может быть только больше К \ . Действительно, если при одном и том же токе сопротивление R композита равно нулю, тогда температура в сверхпроводнике постоянна по объему и равна Т) г , то R тем более равно нулю, если некоторые части композита находятся при более низкой температуре. Поэтому СТ\ +дТхТ/ . Следовательно, Т\ - СТ/ лТ и,учитывая (3.14), получаем Аналогичные эффекты будут наблюдаться и в режиме постоянного тока. Учет влияния спектра прослоек (их распределения по форме и размерам) приведет к изменению индекса Г , но не повлияет на основные вывода, так как перегрев и зависимость состояния композита от предыстории образца будут наблюдаться и в этом случае. Со спектром прослоек связно также выяснение формы кривых перехода от СП-состояния к нормальному и обратно, что выходит, однако, за рамки изложенного подхода. Возможно описанный выше механизм температурного гистерезиса был обнаружен в работе /&І8/, в которой исследованы кинетические свойства СП керамики Во Р& -х &1ж. 03 а g эТ0% работе на рис. 3.2 приведена экспериментальная ВАХ образца, обладающего высокой резистивностью и обладающего значительным гистерезисом (аналогичным свойством обладают и другие образцы с высокой резистивностью). На рис. 3.2 а приведена схематично начальная часть ВАХ. Используя качественную зависимость рис. 3.2 а, можно найти зависимость сопротивления образца = / от выделяемого в единицу времени в образце тепла J . Рис. 3.2 б показывает, что имеет место гистерезис зависимости & от / , а так как перегрев слабых звеньев пропорционален -/ , то из рис. 3.2 следует наличие температурного гистерезиса. композитных сверхпроводников вблизи порога протекания В композитных СП возможно существование еще одного явления - макроскопическая анизотропия образца, находящегося в СП-состоянии.
Создать такую анизотропию в принципе можно следующими, по крайней мере, двумя способами: I. Рассмотрим сначала композит слева от порога протекания {р р ) при Т ТС± , т.е. при такой температуре, когда фрагменты кластера, образованные первой фазой, находятся в СП состоянии, а прослойки, образованные второй фазой в нормальном состоянии. Предположим так же, что длина влияния An существенно меньше характерного расстояния между СП кластерами из первой фазы. В этом случае электрические свойства композита хорошо описываются моделью "слабого эвена" при / Рс в первом ее приближении (без учета мостика в первой фазе). Цусть теперь в одном направлении, например, вдоль ОХ, пропускается ток, достаточно сильно разогревающий прослойки, лежащие на его пути. В этом случае, при понижении температуры до Т Тсг , та часть прослоек, через которые ток не течет, перейдет в СП-состояния. Те же прослойки, которые разогреты и примыкающие к ним фрагменты СП кластера из первой фазы, будут по-прежнему обладать конечным сопротивлением. При этом, если измерить сопротивление в направлении ОУ, то т.к. вдоль этого направления существует СП-цепь, оно окажется равным нулю. 2. Совершенно аналогичная ситуация образования наведенной анизотропии может возникнуть и в том случае, когда первоначально композит в целом находится в СП-состоянии - первая фаза (при / Рс ) замыкается в СП цепь, проходящую через всю систему за счет эффекта близости. Если теперь вдоль одного из направлений пропускается ток, превосходящий значение критического тока для прослойки второй фазы, то вдоль этого направления прослойки перейдут в нормальное состояние. Аналогичные эффекты могут наблюдаться и при концентрации первой ("хорошо") проводящей фазы, больше порога протекания. Возможно, что указанная выше наведенная анизотропия наблюдалась в работе /&I9/ при исследовании ВТСП керамики YBaaCu2Q,. В этой работе на исследуемый образец с размерами 1x2x5 мм крепилось (методом втирания индия) шесть электрических контактов (см. рис. 3.3). При измерении было обнаружено, что взаимное расположение токовых и потенциальных контактов настолько существенно влияет на зависимость сопротивления от температуры - М(Т) , что при одном расположении контактов переход системы в СП наблюдается, а при другом нет. В частности, когда токовые Уа-ё и потенциальные Ці контакты I ) 2-s л &s-e и П) - » з с переходе нет и при Ш) -4.л , к-б СП переход есть.
