Содержание к диссертации
Введение
1 Свойства двумерных систем 20
1.1 Спектр двумерных состояний 20
1.2 Классическая проводимость 29
1.3 Интерференционная квантовая поправка , 30
1.3.1 Слабая локализация в отсутствие магнитного поля 30
1.3.2 Время неупругой релаксации фазы 34
1.3.3 Отрицательное магиитосопротипление 38
1.3.4 Влияние спиновой релаксации на интерференционную квантовую поправку: слабая антилокализация 42
1.3.5 Спиновая релаксация и магнитосопротивление 46
1.3.6 Интерференционная поправка и эффект Холла 51
1.4 Влияние электрон-электронного взаимодействия на проводимость 52
1.5 Квантовые поправки при уменьшении проводимости 60
2 Методика эксперимента 67
2.1 Образцы 67
2.2 Установка для исследования гальваномагнитпых явлений 71
3 Квантовые поправки: согласие теории с экспериментом 75
3.1 Температурная зависимость проводимости в сильных магнитных полях. Вклад е-с взаимодействия 78
3.2 Слабополевое магнитосопротивление. Интерференционная квантовая поправка 81
3.3 Температурная зависимость проводимости в нулевом магнитном поле. Абсолютная величина квантовых поправок 83
3.4 Влияние слоев легирования на определение параметров е-е взаимодействия 88
3.5 Роль слоев легирования в процессах релаксации фазы 91
Выводы 100
4 Слабая локализация: численное моделирование 102
4.1 Интерференционная поправка и статистика замкнутых траекторий 103
4.2 Детали компьютерного моделирования 105
4.3 Статистика замкнутых траекторий: результаты моделирования 109
4.4 Анализ статистики в рамках диффузионного приближения 111
4.5 Отрицательное магнитосопротивление и статистика траекторий 116
4.6 Роль анизотропии рассеяния и корреляции распределения рассеипателей124
4.7 Слабая локализация в макроскопически неоднородных системах и диффузионных каналах 130
4.8 Зависимость времени релаксации фазы от магнитного поля 139
Выводы 146
5 Интерференционная поправка и статистика замкнутых траекторий: эксперимент 148
5.1 Суть метода 148
5.2 Статистика замкнутых траекторий в системах с одиночной квантовой ямой 149
5.3 Магнитосопротивление в структурах с двойной квантовой ямой 156
Выводы 167
6 Магнитосопротивление и дефазинг при промежуточной проводимости 169
6.1 Локализация в двумерных системах: фундаментальные аспекты. Концепция слабого изолятора 171
6.2 Отрицательное магнитосопротивление. Обзор экспериментальных результатов 174
6.2.1 Высокая проводимость, а > 20 Со 178
6.2.2 Промежуточная и низкая проводимость, <т < 20 G0 180
6.3 Возможные причины низкого значения ирефактора 183
6.4 Поправки в Куперовском канале 187
6.5 Поправки высших порядков к магпитосопротивлению 192
6.6 Физический смыл величины Тф, определяемой экспериментально 196 Магиитопровод-имостпъ. Резюме к 6.5 и 6.6 202
6.7 Поправки второго порядка: анализ экспериментальных результатов 204
6.8 Температурная зависимость скорости релаксации фазы 208
Выводы 213
7 Поправка Альтпіулера — Аронова при увеличении беспорядка в системе 216
7.1 Оценка баллистического вклада в поправку 217
7.2 Эволюция поправки при уменьшении kpl 223
Выводы 232
8 Слабая локализация, как инструмент исследования шероховатости гетерограниц 233
8.1 Роль мелкомасштабных шероховатостей 234
8.2 Влияние нанокластеров на слабую локализацию 242
8.3 Результаты атомно-силовой микроскопии 247
Выводы 250
9 Слабая антилокализация в двумерных системах 252
9,1 Антилокализация в квантовых ямах с градиентом состава 253
9.2 Антилокализация в наклонном магнитном поле. Роль эффекта Зеемана и шероховатости 261
9.3 Интерференционная квантовая поправка и сшш-орбиталыюс взаимодействие в дырочных квантовых ямах 270
Выноды 284
Заключение 286
Приложение 292
Литература 298
- Влияние спиновой релаксации на интерференционную квантовую поправку: слабая антилокализация
- Установка для исследования гальваномагнитпых явлений
- Температурная зависимость проводимости в нулевом магнитном поле. Абсолютная величина квантовых поправок
- Слабая локализация в макроскопически неоднородных системах и диффузионных каналах
Введение к работе
Бурный интерес к электронным системам с пониженной размерностью связан с последними достижениями микроэлектроники на пути миниатюризации микроэлек-тронных приборов. Развитие технологических методов, таких как метод молекулярно-лучевой эпитаксии и электронно-лучевой литографии, реализации различных микро-электронньгх систем делает возможным изготовление с высокой степенью точности структур типа металл/диэлектрик/полупроводник, различного рода гетеропереходов, сверхрешеток, а также систем квантовых проволок и точек. Возможное применение таких структур для создания новых электронных приборов поддерживает постоянный интерес исследователей к ним. Так, например, на основе квантового эффекта Холла создан эталон электрического сопротивления; на основе квантовых гетероструктур создан полупроводниковый лазер, работающий в голубой области видимого спектра излучений.
Проявление квантовых эффектов в системах с пониженной размерностью делает их привлекательными объектами для фундаментальных исследований. Наиболее исследованными к настоящему времени являются системы двумерных носителей в гетероструктуpax, изготовленных па основе широкозонных полупроводников, таких как GaAs, AlGaAs, а также электронный газ в приповерхностных квантовых ямах Si [1]. Связано это, в первую очередь, со значительными успехами в технологии получения высококачественных структур, а также с возможностью применения традиционных экспериментальных методов, таких как гальваномагнитные и оптические исследования, для изучения свойств двумерных систем.
Хотя успехи в понимании физики электронных явлений в двумерных системах велики, до сих пор остается нерешенные проблемы и возникают новые, которые требу-
ют решения. Казалось-бы еще более чем два десятка лет назад было предсказано, что двумерная система является диэлектриком в том смысле, что ее электропроводность стремится к нулю при стремлении к нулю температуры [2). В пользу этого говорило огромное количество экспериментальных данных (смотри ссылки в [3, 4|). Одной из причин, приводящих к возникновению такой температурной зависимости, является квантовая природа носителей заряда, приводящая к возникновению так называемых квантовых поправок к Друдевской проводимости. Два механизма приводят к появлению этих поправок: интерференция электронных волн, распространяющихся в противоположных направлениях по замкнутым траекториям, и электрон-электронное (с-е) взаимодействие. Оба этих механизма приводят к тому, что электропроводность сильно вырожденного электронного газа становится зависящей от температуры и в достаточно грязных системах уменьшается с падением температуры.
В работе [5] была обнаружена неуниверсальность такого поведения. Проводимость исследованных в этой работе инверсионных слоев кремния при минимально достигнутых в этой работе температурах (Т ~ 1 К) росла с понижением температуры, то есть носила металлический характер. Однако дальнейшие исследования аналогичных образцов, проведенные авторами [б], показали, что при Т < 1 К этот рост сменяется падением. Интерес к металлической фазе двумерных систем значительно усилился, начиная с середины 90-х годов, когда благодаря успехам в технологии, удалось изготавливать структуры со сверхвысокой подвижностью. Было обнаружено, что металлическое поведение электропроводности электронного [7, 8, 9] и дырочного [10, 11, 12, 13] двумерного газа в таких системах наблюдается вплоть до Т ~ 20 тК. Интенсивные исследования систем такого типа продолжаются и в настоящее время, и до сих пор нет единого понимания физики такого явления.
Обнаружение новой металлической фазы заставило по-новому посмотреть и казалось бы уже изученные механизмы ответственные за низкотемпературную зависимость проводимости относительно грязных двумерных систем. Оказывается, что даже в этом случае не все экспериментальные явления могут быть объяснены в рамках существующих теорий квантовых поправок. В рамках классических теорий [3],
например, не удается объяснить наблюдающееся экспериментально низкотемпературное насыщение времени нсупругой релаксации фазы [14, 15]. Совершенно непонятным оказывается разброс параметров, характеризующих квантовые поправки, получаемый при исследовании одинаковыми методами одинаковых систем. Так, константа электрон-электронного взаимодействии, полученная авторами [16] и [15] для одинаковых гетероструктур GaAs-Al^Gai-^As отличается более чем в десять раз. Тоже самое можно сказать о величине времени релаксации фазы. Согласно теории, его величина определяется в основном значением проводимости. В этом смысле время сбоя фазы является универсальной величиной, не зависящей от материала, конкретного вида гетероструктуры и т.д. Однако, как показывает анализ литературы, разброс экспериментальных значений составляет более чем порядок при одном значении проводимости (смотри, например, разные образцы в [17]), и как правило эти значения оказывается очень далекими от теоретических. Этот список можно продолжать довольно долго. Отсюда ясно, что к моменту начала пашей работы в этой области можно было говорить лишь о имевшемся качественном согласии экспериментальных данных и теоретических предсказаний и то лишь по основным, главным моментам.
Как показал исследования, результаты которых представлены в данной работе, основная причина состояла в том, что исследователи обычно относятся к изучаемым экспериментально (квази)двумерным системам, как к идеальным. Реальные образцы устроены значительно сложнее, чем те которые исследуются теоретически, что принципиально необходимо принимать во внимание при интерпретации экспериментальных результатов. Как правило, двумерная система - это тонкий слой находящийся в трехмерном окружении (буферный и покровный слои, подложка), с которым она может взаимодействовать. В реальных гетероструктурах всегда присутствуют поставляющие носители слои легирующей примеси, которые также могут принимать участие в явлениях переноса и в процессах сбоя фазы. Интерфейсы, формирующие квантовую яму, в действительности являются размытыми в направлении роста структуры из-за диффузии компонент и шероховатыми. Наконец, в квантовой яме электроны (дырки) могут заселять не одну, а несколько подзоп размерного квапто-
ваиия.
Детальное исследование квантовых поправок и процессов, приводящих к сбою фазы, является чрезвычайно актуальным также потому, что позволяет приблизиться к пониманию такой важной проблемы как смена механизма проводимости в двумерных системах при понижении температуры, увеличении степени беспорядка, роста магнитного поля и при наличии других внешних воздействий. Дело в том, что в двумерном случае относительная величина квантовых поправок заметно больше, чем, скажем, в трехмерном случае. При этом их абсолютная величина слабо зависит от проводимости, но увеличивается с понижением температуры. Таким образом, при уменьшении проводимости или понижении температуры величина квантовых поправок может стать сравнима с классической проводимостью и будучи отрицательной может ее сильно подавить. Как результат, квантовые поправки могут привести к сильной температурной зависимости проводимости, которую можно принять за признак прыжкового механизма. Общепринято считать, что если проводимость двумерной системы становится меньше кванта проводимости c2/h, где є - заряд электрона, h - постоянная Планка, и при этом она сильно зависит от температуры, механизм проводимости является прыжковым [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28]. При этом авторы, как правило, не обращают внимания на то, что в этих условиях наблюдаются эффекты характерные для диффузионного механизма, например, отрицательное магнитосопротивление, близкое по форме к магнитосонротивлению, связанному с подавлением слабой локализации, и эффект Холла, который дает концентрацию носителей.
Чрезвычайно интересными, актуальными и важными являются исследования спин зависимых эффектов. С одной стороны, это связано с перспективами развития но-вой области микроэлектроники - спинтроники. Сочетание когерентности электронных волн и спиновых свойств приводит к необычным транспортным свойствам двумерных систем. Эти свойства могут лежать а основе различных спиновых приборов [29], в том числе спиновых полевых транзисторов [30], спиновых фильтров [31] и модуляторов [32], интерференционных приборов [33, 34] и устройств ввода-вывода
квантовых битов (кубитов) [35]. С другой стороны, необходимо стремиться к количественному пониманию роли различных механизмов спин-орбитального взаимодействия (механизмы Дрессельхауза [36] и Бычкова-Рашбы [37, 38]), механизмов, ограничивающих скорость спиновой релаксации, их зависимости от параметров структур и внешних условий. В большинстве экспериментальных работ по исследованию спин-орбиталыюго взаимодействия в двумерных системах анализ результатов ограничивается определением среднего значения константы Бычкова-Рашбы, которая определяет линейный по квазиимпульсу член в гамильтониане. Ясно, что спин-орбиталыюс расщепление складывается из вкладов как от плавной части потенциала внутри квантовой ямы, так и от резкой части вблизи границы. Эти вклады могут иметь противоположные знаки и, насколько нам известно, экспериментально разделены не были. Такое разделение очень существенно, поскольку даст возможность понять физические причины зависимости скорости спиновой релаксации от напряжения на полевом электроде: связано оно с изменением асимметрии потенциала, или со смещением волновой функции в направлении, перпендикулярном квантовой яме.
Таким образом, к началу выполнения данной работы ситуацию с исследованием квантовых поправок к проводимости двумерных систем можно оценить следующим образом (подробный обзор таких и более поздних работ сделан в [39]). Было достигнуто качественное понимание физики квантовых поправок в диффузионной области, когда характерные времена (время сбоя фазы, например, или обратная циклотронная частота) оказывались много больше времени релаксации импульса. Вместе с тем, имелось большое количество экспериментального материала, который не находил количественного описания в рамках существующих теорий. Одними из возможных тому причин были либо отсутствие теории применимых в условиях эксперимента, либо существование в реальных образцах дополнительных эффектов, маскирующих основной эффект. Конкретным примером последнего является влияние легирующих 5-слоев на процессы релаксации фазы в двумерном электронном газе (см. 3.5).
Поэтому общую цель настоящей работы можно сформулировать следующим образом: проведение комплексного исследования квантовых поправок к проводимости
її двумерных полупроводниковых структурах при изменении степени беспорядка в системе.
В достижении поставленной цели огромную роль сыграла возможность иметь полупроводниковые структуры с наперед заданными свойствами. Это позволило, в первую очередь, получить падежную информацию о квантовых поправках в области высоких значений проводимости, когда поправки действительно малы и должна работать классическая теория [3]. Лишь после этого стало возможным проследить генезис этих поправок с падением проводимости и ростом беспорядка в системе. В качестве объектов исследования использованы гетероетруктуры GaAs/InxGat-s As/GaAs с одиночными и двойными квантовыми ямами и 5-легированные слои GaAs, технология выращивания которых хорошо отработана. Структуры выращивались группой Б. Н. Звонкова в НИФТИ Нижегородского государственного университета им, Н. И. Лобачевского и группой В. И. Шашкина в ИФМ РАН (г. Нижний Новгород}. Для управления концентрацией и проводимостью двумерного газа на основе этих структур изготавливались полевые транзисторы.
В качестве метода исследования использованы исследования зависимости проводимости и эффекта Холла от температуры и магнитного поля в его различной ориентации. Интерпретация результатов проведена с использованием как разработанных ранее теоретических моделей, так и оригинальных. Применение компьютерного моделирования позволило получить падежную информацию о свойствах систем в тех условиях, когда условия эксперимента оказывались вне рамок применимости классических аналитических выражений. Огромное значение здесь сыграло тесное сотрудничество с теоретиками ФТИ им. А.Ф.Иоффе (г. Санкт-Петербург) и университета города Карлсрус (ФРГ).
Основу настоящей диссертации составили результаты экспериментальных и теоретических исследований, проведенных в НИИ физики и прикладной математики при Уральском государственном университете им. А. М. Горького в период с 1997 г. по 2005 г. в соответствии с тематическим планом (регистрационный номер НИР 2.67.01). Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных
Исследований (гранты 97-02-16168, 98-02-16024, 98-02-17286, 99-02-17110, 00-02-16215, 01-02-16441, 01-02-17003, 03-02-16150 и 04-02-16626), программ Физика твердотельных наноструктур (грант 97-1091) и Университеты России (гранты 420, 990409, 990425 и УР-06.01.002), INTAS (гранты 97-1342 и 1В290), CRDF (REC-001, REC-005, гранты ЕК-005-Х1 и Y1-P-05-11).
Помимо введения, заключения и списка литературы диссертация содержит девять глав и три приложения.
В Главе 1 изложены основные представления о спектре носителей заряда в полупроводниковых двумерных системах, природе квантовых поправок к проводимости двумерных систем, приведены основные формулы, дан краткий обзор экспериментальных результатов, полученных другими авторами, сформулирована цель диссертационной работы и поставлены конкретные задачи.
В Главе 2 приведено описание образцов, даны их основные параметры, описана экспериментальная установка и приведены сведения об ошибках измерения.
Влияние спиновой релаксации на интерференционную квантовую поправку: слабая антилокализация
До сих пор при рассмотрении слабой локализации мы считали, что электронные состояния с противоположной ориентацией спина не взаимодействуют друг с другом. Это означает, что носитель заряда при движении по кристаллу не меняет ориентацию спина, то есть живет в данном спиновом состоянии вечно. В реальной жизни есть факторы, которые делают ненулевой вероятность изменить при движении проекцию спина на противоположную или сформировать некое промежуточное со- стояние, являющееся суперпозицией двух спиновых состояний. Если такое случится при обходе замкнутой траектории, то это приведет к изменению интерференционной картины в стартовой точке, и, таким образом, повлияет на интерференционную квантовую поправку. Вид квантовой поправки с учетом спиновых эффектов зависит от механизмов спиновой релаксации. Следующие механизмы являются эффективными в полупроводниках: механизм Яфста-Эллиота [141, 142, механизм Вира-Аронова-Пнкуса [143, механизм Дьяконова-Персля или прецессионный механизм [144, 107 и, наконец, переворот спина па парамагнитных центрах (для обзора смотри [145]). Первый механизм - это перепорот спина, который происходит в момент взаимодействия носителя с примесью. Второй механизм связан с обменным взаимодействием электрона и дырки. Третий механизм, который в двумерных системах является самым эффективным при низких температурах, связан со спин-орбитальным расщеплением энергетического спектра, вызванным отсутствием центра инверсии в двумерной системе. Как было показано выше, последнее может быть обусловлено отсутствием центра инверсии в родительских материалах (эффект Дрессельхауза [36]), асимметрией квантовой ямы в направлении роста (эффект Бычкова-Рашбы [37, 38]), а также совместным действием этих механизмов.
В том случае, когда расщепление энергетического спектра электронов вызвано только кубическими но к членами, учет спиновой релаксации для механизма Дьяконова-Переля изменит величину интерференционной квантовой поправки в пулевом магнитном следующим образом , когда тя » тф, зависимость 5aWLfa) совпадает с зависимостью (1.36), полученной без учета спиновых эффектов, то есть является логарифмической, а величина 8oWL{r$) при этом оказывается отрицательной и уменьшается с ростом Тф. В случае быстрой спиновой релаксации, когда тэ gC тф, квантовая поправка становится положительной и логарифмически растет с ростом Тф\
Таким образом, быстрая спиновая релаксация приводит к тому, что проводимость сг = а0 + SaWL должна расти с уменьшением температуры. Более наглядно сказанное иллюстрирует Рис. 1.9а, на котором показаны зависимости 8aWIj от т/тф (или что тоже самое от температуры, поскольку ті1 ее Т), рассчитанные из (1.56) при различных значениях т/тй. Видно, что спиновая релаксация действительно радикальным образом влияет на температурную зависимость проводимости, меняя при низких температурах ее характер с диэлектрического (da/dT 0) на металлический (da/dT 0). Нетрудно показать, что это происходит, когда т3/тф 0.62. Поскольку спиновая релаксация приводит к противоположной по сравнению со слабой локализацией температурной зависимости проводимости, то это явилось одной из причин почему в литературе этот эффект называют слабой антилокализацией. Если расщепление спектра обусловлено линейным по к членом, то, как показано Голубом в работе [56[, выражение для интерференционной квантовой поправки будет отличаться от (1.56) наличием дополнительного слагаемого
Установка для исследования гальваномагнитпых явлений
Исследования гальваномагнитных явлений проводились в интервале температур 0.4— 15 К в стационарных магнитных полях напряженностью до 6 Т. Магнитное поле создавалось сверхпроводящим соленоидом с критическим полем 7 Т при токе 32 А и температуре 4.2 К. Соленоид размещался в стандартном гелиевом криостате. Для проведения измерений в наклонных магнитных полях был сконструирована магнитная система, состоящая из основного соленоида, идентичного описанному, и второго, разрезного, с осью перпендикулярной оси основного соленоида (Рис. 2.2). Разрезной соленоид создавал магнитное иоле в центре напряженностью до 0.2 Т. Питание соленоидов осуществлялось от двух независимых источников тока. Для измерения напряженности магнитного поля использовались два датчика Холла, установленных взаимно перпендикулярно вблизи образца. Точность измерений в диапазоне полей 0.5 мТ - 5 Т была не хуже 1%.
Для проведения измерений в диапазоне температур 1.4 — 50 К в соленоид помещался дополнительный внутренний криостат, имеющий в дне игольчатый клапан для запускания жидкого гелия. Температура ниже 4.2 К получалась откачкой паров гелия из внутреннего криостата при закрытом клапане. Для получения температуры выше 4.2 К жидкий гелий выдавливался из внутреннего криостата. В этом режиме через клапан проходил газообразный гелий. Температура поддерживалась при помощи печки, расположенной на держателе и электронного термостабилизатора. Для измерения температуры использовался германиевый термометр сопротивления ТПК-17.1. Блок измерения температуры состоит из источника тока и усилителя и позволяет измерять сопротивление термометра в диапазоне от нескольких Ом до нескольких МОм с точностью достаточной для определения температуры не хуже 1% во всем диапазоне температур. Для получения температуры ниже 1.4 К использовалась вставка с Не3, которая помещалась в соленоид вместо описанного выше. В этой вставке Не3 используется в замкнутом цикле. Низкая температура получается за счет откачки паров Не3 с помощью угольного насоса, охлаждаемого в транспортном дюаре жидким Не4. Температура регулируется изменением скорости откачки. Количества Не3 достаточно для поддержания температуры от 0.4 К до 1.5 К в течение нескольких часов.
Измерения магнитосопротивления и эффекга Холла проводились на постоянном токе на автоматизированной экспериментальной установке с применением Х86 - совместимого персонального компьютера, блок-схема которой показана на Рис. 2.3. При измерениях использовался источник тока с батарейным питанием. Он пред ставлял собой источник регулируемого напряжения и включенное последовательно с ним сопротивление, величина которого была во много раз больше сонротиплення образца. Источник тока позволял задавать ток через образец в диапазоне 2 нА -5 мА. Точность его измерения была не хуже 0.5%.
Блок усилителей состоит из трех однотипных усилителей. Каждый из усилителен построен на основе инструментального усилителя AD620 фирмы Analog Devices, имеющего входное сопротивление не менее 10 ГОм и входной ток порядка 0.5 нА. Эти усилители хорошо подходят для измерений, пока сопротивление образца не превышает величины равной примерно 1 МОм. Для работы с более высокоомпыми образцами использовался дополнительный предварительный усилитель, построенный на операционных усилителях AD795, которые имеют входное сопротивление порядка 100 ТОм и входной ток не более 1 пА при комнатной температуре. Для увеличения относительной точности измерений гальвапомагнитпых эффектов применялась схема компенсации.
Погрешность в определении абсолютных угачений удельного сопротивления и коэффициента Холла, определялась в основном неточностью определения размеров образца, и не превосходила 5%, в то время как относительные изменения могли регистрироваться с точностью не хуже 0.05% при сопротивлении образца меньше 100 кОм.
Для повышения эффективности измерений и удобства в использовании данная установка была автоматизирована. В качестве вычислительной машины применялся персональный компьютер па базе процессора Pentium III. Дли оцифровки аналогового сигнала применялась 12-разрядная многоканальная плата сбора данных L-154. Программное обеспечение, написанное на языках Pascal и Delphi позволяло проводить калибровку смещений всех каналов и записывать одновременно до трчх любых аналоговых сигналов как функцию четвертого. В качестве аналоговых сигналов могли использоваться любые из перечисленных: напряжение на любых парах контактов на образце, ток через образец, показания датчиков Холла, показания термометра, напряжение на полевом электроде, время. Результат сохранялся на жесткий диск в формате, удобном для автоматизированной обработки в пакетах Origin и MathCAD. Регистрирующая часть экспериментальной установки и программное обеспечение были изготовлены аспирантом Шерстобитовым А.А.
Температурная зависимость проводимости в нулевом магнитном поле. Абсолютная величина квантовых поправок
Рассмотрим температурные зависимости проводимости в пулевом магнитном поле (Рис. 3.6). Она определяется температурной зависимостью обеих квантовых поправок - интерференционной поправки и поправки, связанной с влиянием е-е взаимодействия. Поскольку при низких температурах, как следует из (1.41) и (1-71), обе поправки меняются логарифмически с изменением Т, то для изменения проводимости с температурой До" = ст(Т)—о-(Т0), где Т0 - некоторая произвольная температура, можно записать следующее выражение:
Таким образом, наклон температурной зависимости Дст, построенной в осях (1пТ, Aa/Go), должен быть равен (р + К ее)- Линиями на Рис. 3.6а показаны зависимости Аа(Т), рассчитанные из (3.1) с найденным выше значением Кее = 0.52 (см. Таблицу 3.1 ) и с двумя значениями показателя степени р: с теоретическим значением р = 1 и значением р = 0.85, которое наилучшим образом описывает экспериментальную температурную зависимость Тф (Рис. 3.6). Видло, что с учетом экспериментальной ошибки обе зависимости хорошо описывают экспериментальные данные.
Перейдем к анализу абсолютного значения суммарной квантовой поправки 5а = SaWL+6aee. Она может быть найдена двумя путями. С одной стороны она может быть вычислена по простой формуле, справедливой при низких температурах {квТ С А/г): где в качестве Тф и Кее используются соответствующие экспериментальные значения, найденные выше, а г = цпг/е, где m ОІ 0.06 mo - эффективная масса электронов в квантовой яме Ino.15Gao.s5As. Результаты такого вычисления показаны на Рис. 3.6b пустыми символами. Ошибка, указанная на рисунке, в основном определяется разницей в величине Тф, имеющейся при обработке кривых магнитопроводимости в разных интервалах магнитных полей.
С другой стороны, абсолютное значение суммарной квантовой поправки при данной температуре равно разнице между экспериментально измеренной величиной проводимости и(Т) и значением Друдевской проводимости сг0: ба(Т) = а(Т)—сго. Возни кает вопрос: как найти величину сг0? Поскольку и исследованных образцах к pi ;» 1, то основные изменения 8 JWL и Saee происходлт в существеппо разных диапазонах магнитных нолей. Поскольку ноле В& является большим с точки зрения интерференционной поправки, то казалось бы совершенно естественно в качестве величины т0 взять экспериментально измеренное значение l/pxx(Bcr)) как это с очевидностью следует из (1.73). Результат представлен па Рис. 3.6b сплошными символами. Как видно, экспериментальные зависимости 5а(Т), полученные описанными способами, будучи смещенными на величину (1.3 ± 0.3)С?о идут практически параллельно друг другу. В чем же причина появления разницы в определении абсолютного значения квантовых поправок разными способами? Когда мы находили Друдевскую проводимость из величины поперечного сопротивления в поле Еф., мы полагали, что интерференционная квантовая поправка полностью подавлена магнитным полем. В действительности же эта поправка не равна нулю даже при Bcr 3 Btr, потому что при В Btr она подавляется магнитным полем очень медленно. Сказанное наглядно иллюстрируется рисунком 4.16, на котором приведены магнитополевые зависимости абсолютного значения интерференционной квантовой поправки в широком интервале магнитных полей, полученные в результате численного моделирования. И хотя поведение 5aWL в сильных полях зависит от деталей рассеяния, видно, что остаточная величина 5aWL составляет величину порядка —(1... 2) G0 даже в полях равных нескольким десяткам Btr. По этой причине совершенно естественно связать разницу па Рис. 3.6b с остаточным, не подавленным магнитным полем вкладом интерференционной поправки при В
Таким образом, правильная температурная зависимость суммарной квантовой поправки показана на Рис. 3.6b пустыми символами, а корректная величина Друдев-ской проводимости может быть оценена, как а0 (.) + (1.3 ± 0.3) G0. Именно это значение (То приведено в Таблице 3.1. Следует отметить, что поскольку SaWL очень слабо зависит от температуры в больших магнитных полях, В BtT, неполное подавление интерференционной поправки "практически не влияет на точность определения величины Кєе, характеризующей вклад е-е взаимодействия {см. 3.1). Наконец, определив величину Друдевской проводимости и вклад в низкотемпературную проводимость е-е взаимодействия, мы можем найти зависимость абсолютного значения интерференционной квантовой поправки 6aWL во всем диапазоне магнитных полей: где правая часть содержит только экспериментальные величины. Результат показан па Рис. 3.7. Там же показаны теоретические зависимости где первое слагаемое - это формула ХЛН (1.55), а второе - величина интерференционной поправки в нулевом поле. Можно видеть, что теоретическая зависимость хорошо описывает эксперимент в малых магнитных полях (что также хорошо видно из Рис. 3.4), но заметно отклоняется от него при В 0.1 Т. Это не является удивительным, поскольку формула ХЛН (1.55), а значит и (3.4), получена в диффузионном приближении, которое справедливо при В Btr (в данном случае Bir = 0.21 Т ). На том же рисунке показаны теоретические результаты, полученные за рамками диффузионного приближения [114]. Причем показаны как результаты, учитывающие только изменение рассеяния назад (пунктирная линия), так и результаты, учитывающие изменение рассеяния на все углы (штрих-пунктирная линия). Легко видеть, что теория [114] значительно лучше описывает экспериментальные результаты. Вместе с тем, учитывая возможную погрешность экспериментального получения зависимости 5aWL(B), связанную с неточным определением значения сто і паши данные в данном случае не позволяют судить о роли интерференционных процессов, изменяющих рассеяние на все углы.
Слабая локализация в макроскопически неоднородных системах и диффузионных каналах
До сих пор рассмотрение квантовой интерференционной поправки относилось к макроскопически однородным двумерным системам. Однако огромное количество работ посвящено исследованию неоднородных систем таких, например, как гранулированные пленки СиО [203] и перколяционные пленки золота [204, 205]. При этом для интерпретации экспериментальных результатов широко используется концепция аномальной диффузии. Следует отметить, что в изначально однородных системах переход от режима слабой локализации к сильной при изменении параметров системы или внешних условий также может проходить через макроскопически неоднородное состояние. В этом параграфе мы рассмотрим явление слабой локализации в макроскопически неоднородных системах, используя рассмотренный выше подход. Цель нашего рассмотрения будет состоять в том, чтобы проанализировать, как параметры, полученные из анализа отрицательного магнитосопротивления соответствуют реальным значениям в системах с различной неоднородностью. Более того, мы предложим рецепт, как, используя этот подход, экспериментально различить неоднородности какой геометрии превалируют в системе. Предположим, что макроскопически неоднородная двумерная система представляет собой совокупность озер, соединенных между собой каналами, как это показано па Рис. 4.17а. Транспорт внутри озер и каналов является диффузионным, то есть их линейные размеры много больше, чем средняя длина свободного пробега, которая определяется столкновениями с рассеивающими центрами (показаны точками).
В этом случае может быть применен квазиклассический подход и, следовательно, метод численного моделирования, рассмотренный нами в предыдущих параграфах. Мы ограничим наше рассмотрение случаем, когда система с точки зрения локализации находится в неоднородном режиме, то есть когда Ьф р, где р - некоторая корреляционная длина, характеризующая неоднородность системы. В противоположном случае систему можно рассматривать макроскопически однородной с некоторым эффективным коэффициентом диффузии и длиной сбоя фазы. Более того мы идеализируем ситуацию, предположив, что все каналы и озера яшшются одинаковыми, и наша система, таким образом, представляет собой последовательно-параллельное соединение элементов. Каждый элемент - это канал, соединяющий собой две половинки соседних озер (Рис. 4.17Ь и с). Мы, таким образом, свели задачу о слабой локализации в бесконечной макроскопически неоднородной двумерной системе к задаче одного элемента, который представляет собой диффузионное сужение, соединяющее два диффузионных озера. Поскольку канал и озера соединены друг с другом последовательно, то локализационная поправка к проводимости элемента может быть записана как где Rc, Rp - сопротивления, а ac, ap и 5alVL, 5а ь - проводимость и поправки к проводимости, соответственно. Индексы сир обозначают каналы и озера.
Величины 5о1 и 8o L определяются статистикой замкнутых траекторий и в соответствии с выражением (4.1) могут быть найдены как где / - средняя длина свободного пробега внутри озера (1р) или канала (/с), W - классичсская плотность квазивероятности возврата в стартовую точку, лежащую внутри озера (1%) или канала (Wc). Учитывая, что здесь a = -KkflGo, имеем следуюнгую рабочую формулу для нахождения 8aWL: где Кс (Кр) - отношение длины канала (озера) к его ширине, kcF и kF - энергии Ферми в канале и озере, соответственно. Используя формализм 4.1, можно записать следующее выражение для квазивероятностей Wp и Wc при наличии магнитного поля и неупругих процессов, приводящих к сбою фазы: где Wi(S) - функция распределения по площадям замкнутых траекторий, начинающихся внутри капала (г — с) или озера (г = р), 1гф = VFT , Li - вычисленная соответствующим образом средняя длина замкнутых траекторий с данным значением S (смотри выражение (4.5) и относящийся к нему текст). Выражения (4.34) и (4.35) позволяют найти зависимость от магнитного поля и температуры (через А) величины квантовой поправки для нашей неоднородной модельной системы, аналогично тому, как это было сделано в 4.1 (см. (4.7)). Таким образом, относительный вклад каналов и озер в интерференционную поправку определяется не только статистикой замкнутых траекторий, но и геометрией озер и каналов и величиной энергии Ферми в них. Рассмотрим частный случай, когда проводимость двумерной системы в актуальном диапазоне параметров в основном определяется каналами, и первое слагаемое в (4.34) много больше второго. Предположим при этом, что озера имеют квадратную форму (Кр — 1). Для того, что бы выяснить каким образом форма канала влияет на интерференционную поправку системы, рассмотрим два противоположных случая: (i) kF — kF, Кс ; 1 (длинные каналы, см. Рис. 4.17b); (ii) kF -С kF, Кс = 1 (квадратные каналы, см. Рис. 4.17с). Во втором случае меньшее значение энергии Ферми в канале ведет к возникновению зависящего от квазиимпульса отражения электрона от открытых концов канала. Те электроны, которые пытаются войти в канал под острым углом к границе канал/озеро (в в ), отражаются от границы и возвращаются обратно в озеро. Величина критического угла в определяется отношением величин kF и к р. Это отражение может быть как зеркальным, если граница относительно ровная, или диффузным в случае, когда граница шероховатая. Для простоты мы полагали, что граница является отрезком прямой линии, и, следовательно, отражение от нее предполагалось зеркальным. Рассмотрим делали численного моделирования. Основной алгоритм аналогичен тому, который был описан в 4.2. Особенность состоит в учете наличия границ озер и каналов. При моделировании считалось, что в случае, если частица при движении сталкивается со стенками элемента, она отражается от них зеркально, как это показано на Рис. 4.17Ь и 4.17с. Максимальное количество столкновений жестко не фиксировалось - блуждание частицы отслеживалось до тех пор, пока она не входила в канал, принадлежащий соседнему элементу. Только после этого выбиралась новая стартовая точка и весь процесс повторялся по новой. Перечислим параметры, используемые при моделировании (смысл параметров пояснен в 4.2). Диаметр области в которую частица возвращается d = 5; количество стартов Is = 105..106; размеры канала - 4000 х 400 для случая (і) и 400 х 400 для случая (и). Размеры озер - 6000 х 6000 в обоих случаях. Рассеяние предполагалось изотропным, сечение рассеяния каждого центра равно 7. Плотность центров была такова, что средняя длина свободного пробега оказывалась равной примерно 40. Для случая (іі) мы использовали (kF/kF)2 = 10, что дает величину критического угла в si 70. Если мы положим постоянную решетки равной 5 А, то паша система будет являться моделью двумерной системы с плотностью рассеивателей 1.5 Ю12 cm""2, средней длиной свободного пробега I — 200 А и транспортным магнитным полем Btr 0.8 Т.
