Содержание к диссертации
Введение
1 Литературный обзор 17
1.1 Баллистический электронный транспорт в наноструктурах 17
1.2 Термоэлектрические свойства наноструктур 30
2 Моделирование контактов между двумерной нано структурой и одномерными проводниками 36
2.1 Гамильтониан системы 36
2.1.1 Граничные операторы на полупрямых 39
2.1.2 Граничные операторы на двумерной поверхности 39
2.1.3 Граничные условия 41
2.2 Решение задачи рассеяния 44
2.3 Случай двух проводников 46
2.3.1 Резонансы в коэффициенте прохождения 50
2.3.2 Влияние параметров контактов 53
2.4 Основные результаты главы 56
3 Электронный транспорт в ограниченных искривлен ных наноструктурах с присоединенными проводниками 58
3.1 Квантовая сфера с двумя проводниками 59
3.2 Квантовая сфера с тремя проводниками 65
3.3 Двухтерминальное устройство с затвором в виде одномерного проводника 72
3.4 Электронный транспорт на поверхности квантового тора 74
3.5 Основные результаты главы 77
4 Электронный транспорт в квантовом цилиндре с присоединенными проводниками 80
4.1 Электронный гамильтониан и Q-функция 81
4.2 Квантовый цилиндр с одним присоединенным проводником 83
4.3 Квантовый цилиндр с двумя присоединенными проводниками 87
4.4 Влияние спина на электронный транспорт 94
4.5 Основные результаты главы 96
5 Резонансы Брейта-Вигнера и Фано в термоэдс 98
5.1 Предел низких температур 100
5.2 Случай малой ширины резонансов 102
5.3 Случай промежуточных температур 107
5.4 Основные результаты главы 110
Заключение 112
- Термоэлектрические свойства наноструктур
- Резонансы в коэффициенте прохождения
- Электронный транспорт на поверхности квантового тора
- Влияние спина на электронный транспорт
Введение к работе
В последние годы физические свойства квантовых наноструктур привлекают к себе все большее внимание, что обусловлено следующими двумя основными причинами. Во-первых, в данной области физики конденсированного состояния был открыт целый ряд необычных физических эффектов, таких, например, как квантование кондактанса [1-5] в баллистических проводниках, кулоновская блокада туннелирования, резонансы Брейта-Вигнера и Фано в электронном транспорте [6, 7], целый [8] и дробный [9,10] квантовые эффекты Холла, универсальные флуктуации кондактанса, эффект Ааронова-Бома [11]. Это дает надежду обнаружить в наноструктурах и другие важные с точки зрения фундаментальной физики эффекты. Во-вторых, исследование наноструктур способствовали не только открытиям фундаментального характера, но и стимулировали прогресс электронной инженерии. Успехи в области нанотехнологий позволяют надеяться применить различные типы наноструктур для создания новых типов электронных устройств. Некоторые наноструктуры, такие как сверхрешетки, квантовые ямы и проволоки уже применяются в современных полупроводниковых технологиях. Другие пока используются для создания прототипов устройств, изготовление которых планируется в будущем.
Одной из наиболее интересных областей возможного применения наноструктур являются квантовые вычисления и квантовые компьютеры. Сейчас интенсивно ведутся разработки альтернативных концепций проектирования вычислительных устройств. Быстрые логические устройства, работающие на основе квантования потока магнитного поля, могут ис-
5 пользоваться в технологии цифровых сверхпроводящих электронных схем. Одноэлектронный транзистор может применяться как запоминающий элемент в устройствах нано-флэш памяти. Диоды, основанные на резонансном туннелировании, находят различные применения, такие как аналого-цифровые преобразователи с частотой 10-100 ГГц, генераторы квантовых импульсов (для часовых устройств), сдвиговые регистры и элементы памяти со сверхнизким потреблением энергии. Таким образом, наноустрой-ства могут найти свое применение в области вычислительной электроники, где обычные кремниевые элементы (из-за ограниченности литографической технологии) не дают сравнимых частот, и где применение криогенной техники, возможно, будет оправдано. Ожидается, что основу компьютера будущего будут составлять массивы наноструктур, обладающих квантовыми когерентными свойствами. Это должно существенно ускорить работу вычислительных устройств, а также сильно их миниатюризировать, что вызовет переворот в компьютерной индустрии. Очевидно, что электронные свойства наноструктур должны быть исследованы до появления технологии их массового изготовления. В связи с этим исследование электронного транспорта в различных наноструктурах является весьма актуальной задачей.
Современная технология производства позволяет создать структуры субмикронных размеров, содержащих 102 — 109 электронов и проявляющие металлические, полупроводниковые или диэлектрические свойства. Такие системы нельзя описывать обычными средствами квантовой механики нескольких частиц: хотя уравнение Шредингера для полной многочастичной волновой функции и может быть написано, из него сложно получить информацию, поскольку его трудно решить даже численно. С другой стороны, мощные методы статистической механики также мало полезны для таких систем, поскольку флуктуации макроскопических величин могут быть сравнимы с их средними значениями.
Наноструктуры представляют собой как бы мост между микрообъектами, такими как атомы и молекулы, и макроскопическими твердыми телами - традиционным объектом изучения физики конденсированного состояния. Эти системы очень интересны для теоретического изучения, так как с одной стороны к ним уже не всегда можно применить методы исследования, характерные для макроскопических твердых тел, а с другой стороны, наноструктуры все еще слишком сложны, чтобы начинать их исследование с микроскопической модели. Другими словами, для изучения таких систем нужно комбинировать статистические методы с методами квантовой механики.
В последнее время возрос интерес исследователей к искривленным проводящим двумерным наноструктурам. Это связано с несколькими причинами. Во-первых, наличие дискретного энергетического спектра электронов на этих поверхностях позволяет осуществлять резонансный транспортный режим в содержащих их устройствах. Во-вторых, характер электронного транспорта на искривленных поверхностях сильно зависит от положения контактов, что делает возможным получение систем с заданными свойствами путем выбора точек присоединения проводников. В-третьих, прогресс в области наноэлектронной инженерии сделал возможным создание искривленных наноструктур в форме сферы [12,13], тора [14,15], цилиндра [16-18] и других поверхностей. Сферические проводящие нанообо-лочки из золота [12] и серебра [13] с диэлектрическим ядром диаметрами от 10 до 250 nm получают методом осаждения металла из раствора в результате химической реакции, цилиндрические и спиральные структуры диаметрами от 4 nm до 4 /ші и длиной до нескольких миллиметров изготавливают с помощью оригинальной методики сворачивания напряженных слоев GaAs/InAs [17] или GeSi/Si [18]. Необходимо также упомянуть и о другом важном типе наноструктур с необычными физическими свойствами - однослойных и многослойных фуллеренах [22], обладающих сферической
7 симметрией, и углеродных нанотрубках, имеющих форму цилиндра, в которых также может осуществляться двумерная проводимость. В зависимости от диаметра и хиральности гексагональной решетки нанотрубки могут проявлять как полупроводниковые, так и металлические свойства [23]. Однослойные углеродные нанотрубки диаметром порядка нанометра являются в настоящий момент одними из самых тонких электрических проводников.
Теоретическое исследование электронного транспорта в этих структурах является практически важной задачей и на сегодняшний день многие аспекты этой проблемы остаются не изученными. Использование искривленных поверхностей в качестве элементов наноэлектронных устройств предполагает присоединение к ним подводящих проводников, без которых невозможна реализация электронного транспорта. При этом возникает проблема теоретического описания контактов между наноструктурой и проводниками. В различных теоретических и экспериментальных работах существует множество походов к решению данной задачи. Так во многих теоретических исследованиях электронного транспорта на поверхности цилиндра токовые контакты считаются подсоединенными к основаниям цилиндра [24-26]. Однако, в работах посвященных кондактансу нанотрубок, рассматривается и другая геометрия эксперимента, когда проводники присоединяются к боковой поверхности [27]. Эта ситуация может быть реализована и в эксперименте [28,29]. В случае квантовой сферы в литературе рассматривается устройство [30], в котором контакты представляют собой сферические сегменты, расположенные на полюсах сферы.
Среди разнообразных модельных устройств, используемых для описания электронного транспорта в искривленных двумерных наноструктурах, следует отметить устройства с точечными контактами. Во-первых, этот случай может быть реализован на практике, например, когда один из проводников представляет собой зонд атомного силового микроскопа [28,29]. Кроме того, контакт между и сферой и плоской поверхностью, а
8 также между двумя скрещенными нанотрубками тоже представляет собой точку. Во-вторых, устройство с точечными контактами интересно с теоре-тическои точки зрения, поскольку в этом случае удается получить явные формулы для матрицы рассеяния устройства, которые могут служить основой для понимания и описания результатов, полученных в других, более сложных и реалистичных моделях.
Необходимо отметить, что теоретическое исследование транспорт
ных свойств электронов в искривленных наноструктурах является доволь
но сложной проблемой. Поэтому многие теоретические исследования, как
щ правило, ограничиваются лишь слегка модифицированными стартовыми
выражениями для известных формул, а далее применяется численное моделирование. Численное исследование, как правило, требует априорного задания достаточно большого числа параметров, которые могут существенно влиять на картину электронного транспорта. Оценить чувствительность результата к вариации всех параметров при численном исследовании практически невозможно. Кроме того, такой подход не всегда позволяет выявить физическую природу различных явлений, а также проанализировать их особенности. Отметим, что аналитическое исследование электронного транспорта в двумерных неплоских наноструктурах в присоединенными проводниками не проводилось до настоящего времени, что связано, по всей видимости, с трудностями, возникающими при моделировании контактов между поверхностью и проводником. В связи с этим возникает проблема диссертационного исследования:
разработать математический аппарат, позволяющий описать контакт между двумерной поверхностью и одномерным проводником;
построить модель для описания электронного транспорта в двумерных искривленных наноструктурах с присоединенными проводниками; исследовать электронный транспорт на поверхности сферы, цилиндра и тора с присоединенными проводниками;
получить удобные для дальнейшего анализа формулы для коэффициентов прохождения и отражения электрона во всех рассматриваемых системах;
провести аналитическое и численное исследование зависимости кондак-танса и термоэдс рассматриваемых наноструктур от химического потенциала электронов;
исследовать влияние расположения контактов на полученные зависимости;
изучить влияние температуры и параметров контактов на электронный транспорт.
Преимуществом рассматриваемой в работе модели является возможность явного учета геометрии наноструктуры, а также влияния положения контактов на электронный транспорт. Как показано ниже, асимметрия в положении контактов оказывает существенное влияние на электронный транспорт, и может приводить к возникновению новых эффектов, таких, как резонансы Фано.
Перечислим основные используемые в диссертации методы и подходы. Для исследования транспортных свойств наноструктур используется формализм Ландауэра-Бьюттикера [1-5], позволяющий связать кондак-танс проводника с одноэлектронными коэффициентами прохождения. Для построения электронного гамильтониана наноструктуры и определения коэффициентов прохождения электрона в работе используется метод, основанный на теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Эта теория позволяет определить вид граничных условий, которые должны быть наложены на волновую функцию в точках контактов. Аналогичный метод использовался в работах [31-33]. Общий подход к моделированию таких контактов разработан в [34]. В диссертации данный метод применен для исследования электронного транспорта на сфере, торе
10 и цилиндре. Для исследования термоэдс рассматриваемых наноструктур используется метод, основанный на формуле Катлера-Мотта [35-37] для коэффициента термоэдс. Также разработан новый подход, основанный на разложении интегралов в ряд Тейлора, для анализа термоэдс в окрестности узких резонансов.
Научная новизна и значимость работы определяется следующими основными результатами теоретического исследования.
Разработан общий подход, позволяющий исследовать электронный транспорт в наноустройстве, состоящем из произвольной двумерной наноструктуры с присоединенными к ней в произвольных точках одномерными проводниками.
Исследован электронный транспорт через квантовую сферу и тор с двумя присоединенными проводниками. Получены аналитические формулы для коэффициентов прохождения и отражения электронов в наноустройстве.
Показано, что зависимость коэффициента прохождения электрона от энергии носит резонансный характер, причем наряду с симметричными резонансами Брейта-Вигнера имеются и асимметричные резонансы Фано. Найдены положения резонансов, а также выражения, связывающие ширины резонансов с параметрами контактов. Показано, что при определенных положениях контактов наблюдается коллапс резонансов Фано. Найдено легко проверяемое условие коллапса.
Проведено исследование электронного транспорта в наноустройстве, состоящем из квантовой сферы с тремя присоединенными одномерными проводниками, в том числе и при наличии разрыва в одном из проводников. Установлено условие коллапса резонансов Фано в этой системе.
Изучен электронный транспорт в квантовом цилиндре с присоединенными проводниками. Получены аналитические выражения для коэф-фициентов отражения и прохождения электрона. Исследовано поведение этих коэффициентов в окрестности особенностей Ван Хова в плотности состояний.
Исследована зависимость термоэдс наноструктур от химического потенциала в окрестности резонансов Фано и Брейта-Вигнера. Получены явные формулы для коэффициента термоэдс в случаях низких температур и узких резонансов.
Характеризуя практическую значимость работы нужно отметить следующие моменты.
1. Результаты работы могут быть использованы при исследовании особенностей электронного транспорта в таких наноструктурах как фул-лерены, металлические сферические нанооболочки, углеродные нано-трубки различной геометрии, а также цилиндры и другие поверхности, получаемые сворачиванием напряженных слоев GaAs/InGaAs.
4# 2. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными мо-
жет дать ценную информацию о геометрических характеристиках наноструктур, параметрах электронного энергетического спектра в данных системах, эффективной электронной массе и параметрах контактов между поверхностью и проводниками.
3. Анализ резонансной структуры коэффициента прохождения может быть использован при разработке новых резонансных наноэлектрон-ных приборов на базе рассматриваемых систем.
^ 4. Исследования формы резонансных кривых в термоэдс могут служить
основой для описания и адекватной интерпретации экспериментальных данных по термоэлектрическому транспорту в наноструктурах.
12 Разработанные методы могут быть применены также для исследования электронного транспорта в других наноструктурах.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [А1-А20], а так же докладывались на международных конференциях "Nanostructures: Physics and Technology" (Санкт-Петербург, 2001 г.), "FuUerenes and Atomic Clusters" (Санкт-Петербург, 2003 г. и 2005 г.), на IV, V и VI всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2002 г., 2003 г., 2004 г.), на I, II и III межрегиональной научной школе для студентов и аспирантов "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические свойства и применение" (Саранск, 2002 г., 2003 г., 2004 г.), на IV республиканской научно-практической конференции "Наука и инновации в республике Мордовия" (Саранск, 2004 г.), на VII Российской конференции по физике полупроводников (Москва, 2005), а так же на семинаре кафедры теоретической физики Нижегородского государственного университета (2005 г.). Основные положения, выносимые на защиту:
Зависимость коэффициента прохождения электрона от химического потенциала содержит нули двух различных типов. Нули первого типа возникают при совпадении энергии электрона с собственными значениями гамильтониана двумерной наноструктуры. Их положение не зависит от взаимного расположения точек контактов в отличие от нулей второго типа.
В окрестности нулей первого типа коэффициент прохождения имеет вид резонанса Фано. Ширина и асимметричность резонансов зависят от взаимного расположения проводников и от параметров контактов.
При определенных положениях контактов возможен коллапс резонансов Фано. Геометрические особенности поверхности приводят к различию в поведении резонансов и нулей коэффициента прохождения.
13 Симметрия сферы приводит к коллапсу всех резонансов Фано и исчезновению всех нулей при диаметрально противоположном расположении проводников, причем в остальных случаях коллапс не наблюдается. На торе коллапс происходит при многих положениях контактов, но при этом часть нулей коэффициента прохождения сохраняется.
В случае квантовой сферы с тремя проводниками коллапс резонансов в коэффициенте прохождения электрона из первого проводника во второй происходит при диаметрально противоположном расположении этих двух проводников, независимо от положения третьего контакта.
Коэффициент прохождения электрона через квантовый цилиндр с двумя присоединенными одномерными проводниками обращается в нуль при совпадении энергии электрона с дискретной составляющей энергетического спектра на цилиндре. Зависимость коэффициента прохождения от энергии электрона имеет излом в этих точках. В окрестности каждого нуля прозрачности присутствует асимметричный пик. При определенных положениях контактов нуль и пик на графике исчезают. В магнитном поле пики коэффициента прохождения расщепляются в дублеты. Зависимость коэффициентов прохождения от спина приводит к дополнительному расщеплению пиков кондактанса, а также к частичной спиновой поляризации прошедших электронов.
В окрестности резонансов Брейта-Вигнера термоэдс меняет знак. В окрестности резонансов Фано смена знака происходит дважды, причем порядок чередования знаков зависит от параметра асимметрии для резонансов Фано. В пределе узких резонансов эффективная ширина осцилляции определяется температурой, а амплитуда пропорциональна собственной ширине резонанса. Амплитуда осцилляции зависит от температуры немонотонно, возрастая линейно при низких тем-
*
14 пературах и убывая пропорционально 1/Т при высоких по сравнению с шириной резонанса температурах.
Личный вклад автора в работу заключается в участии в разработке методов исследования и решении поставленных задач, а так же в интерпретации полученных результатов. Численный анализ проведен автором самостоятельно.
Изложение диссертационных исследований построено следующим образом.
В Главе 1 приводится литературный обзор наиболее важных работ, сделанных в области диссертационного исследования.
Термоэлектрические свойства наноструктур
Изучение термоэдс наноструктур привлекает внимание теоретиков и экспериментаторов уже на протяжении ряда лет. Это связано с тем, что измерения термоэдс значительно более чувствительны, чем измерения кондактан-са. Так, например, зависимость термоэдс от химического потенциала имеет пик на границах ступеней квантования кондактанса. Очевидно, что детектировать положение пика на кривой значительно легче, чем положение размытой температурой ступеньки. В случае, когда кондактанс немонотонно зависит от химического потенциала, термоэдс может изменять знак, что также может быть легко зафиксировано. В связи с этим понятно, что измерения термоэдс предоставляют исследователям удобный инструмент для изучения электронного энергетического спектра и других важных свойств наноструктур. Кроме того, термоэдс может служить для измерения эффективной электронной температуры, которая, как показано в [123], может отличаться от температуры решетки. Общая теория термоэлектрического транспорта в наноструктурах была развита в работах [35-37]. В работе Катлера и Мотта [35] было получено выражение, позволяющее выразить коэффициент термоэдс S через кондактанс при нулевой температуре где е - модуль заряда электрона. В работе [36] формула для термоэдс обобщается на случай квазибаллистического транспорта в системах с произвольным числом распространяющихся электронных мод. Раскладывая интегралы в числителе и знаменателе формулы (1.4) в ряд Зоммерфельда, можно получить следующую формулу [36] Большинство теоретических работ по изучению термоэдс основано на формулах (1.4) или (1.5). Экспериментальные результаты показывают хорошее согласие с этими формулами. Общий формализм термоэлектрического транспорта в случае микроструктур с любым числом контактов развит в [124]. Показано, что матрицы кондактанса и термоэдс многотерминальной системы могут быть выражены через матрицу электронного рассеяния. В последнее время появился целый ряд экспериментальных работ по данной тематике. Значительное число исследований по термоэдс наноструктур посвящено изучению квантовых проволок, каналов, и сужений.
В этих работах обнаружено наличие пиков термоэдс при значениях химического потенциала, соответствующих порогам квантования кондактанса. Еще одним интересным направлением в данной области является изучение термоэдс квантовых точек, различным образом присоединенных к электронным резервуарам. Зависимость кондактанса квантовых точек от химического потенциала носит резонансный, а не ступенчатый характер. В связи с этим изменяется и поведение термоэдс. В частности, показано, что термоэдс может изменять свой знак с изменением химического потенциала или магнитного поля. Большинство измерений термоэдс проводится с помощью специальной техники, основанный на локальном нагреве одного из концов наноструктуры с помощью электрического тока. В виду того, что время электрон-электронного взаимодействия значительно меньше, чем время электрон-фононного, теплота не успевает передаваться фононам [125]. Поэтому данный метод позволяет определять электронный вклад в термоэдс наноструктуры, так как при протекании тока возрастает только электронная температура, в то время как фононная практически не повышается. Отметим некоторые наиболее интересные исследования последних лет в области изучения термоэдс наноструктур. Термоэдс квантового точечного контакта была теоретически изучена в [126,127]. В частности, в [126] показано, что термоэдс осциллирует с изменением химического потенциала, причем каждый максимум термоэдс соответствует порогу ступени квантования кондактанса. Исследована зависимость амплитуды осцилляции от температуры. В работе [128] теоретически исследуется термоэдс нанопроволок и сужений в магнитном поле. Показано что ступеням квантовая кондактанса соответствуют пики термоэдс. Обнаружено расщепление пиков термоэдс в дублеты, связанное с зеемановским расщеплением энергетических уровней в проволоке. В [129] теоретически изучается кондак-танс, термоэдс и термокондактанс квантовой проволоки, имеющей малые флуктуации поперечного сечения. В работах [130] и [131] теоретически исследовался коэффициент термоэдс двумерных и трехмерных квантового каналов и сужений в магнитном поле в случае баллистического транспортного режима. Впоследствии был проведен ряд экспериментов, обнаруживших хорошее согласие с проведенными теоретическими расчетами. Измерения термоэдс в квантовых контактах на основе GaAs были проведены в [132,133]. В работе [123] измерена эффективная электронная температура двумерного электронного газа в гетероструктуре на основе GaAs, которая, как показано в [123], может отличаться от температуры решетки. Для измерения использовалось явление термоэдс в квазиодномерном квантовом сужении. Обнаружено хорошее согласие экспериментальных данных с теорией, основанной на формуле Катлера-Мотта. Изучена зависимость мощности диссипации тепла в электронном газе от температуры. Результаты работы [133] демонстрируют хорошее согласие с теоретическими расчетами, выполненными по формуле Катлера-Мотта для квантового сужения. Поставлены эксперименты по измерению термоэдс и в металлических точечных контактах. Так в работе [134] для этих целей использовался контакт из золота очень высокой чистоты. Обнаружено, что термоэдс испытывает резкие скачки на границах ступеней квантования кондактанса. При этом может изменяться как величина, так и знак термоэдс. Работа [135] посвящена экспериментальному исследованию свойств цинковых нанопрово-лок, погруженных в пористые диэлектрические матрицы из различных материалов.
Обнаружено возрастание термоэдс с температурой. Установлено, что рост термоэдс насыщается при значениях порядка 130fiV/K. Исследование термоэлектрического транспорта в мезоскопических проволоках AuFe было проведено в [136]. Эксперимент показал сильную чувствительность термоэдс к изменению размеров системы, которую авторы объясняют магнитной анизотропией вблизи поверхности проволоки. В [137] развита теория термоэдс квантовой точки малой электроемкости, соединенной с электронными резервуарами посредством двух туннельных контактов. Показано, что термоэдс как функция энергии Ферми испытывает пилообразные осцилляции, связанные с кулоновской блокадой туннелирования. Получено, что термоэдс изменяется скачком при изменении числа электронов в квантовой точке на единицу. Между двумя скачками термоэдс изменяется линейно. В ряде работ [138-140] экспериментально исследовалась термоэдс квантовых точек. Так в работе [138] показано, что термоэдс квантовой точки в режиме кулоновской блокады туннелирования испытывает осцилляции с периодом, равным периоду осцилляции кондактанса. В работах [139,140] изучались квантовые точки, сформированные в двумерном электронном газе в гетероструктуре на основе GaAs-AlGaAs. Получено хорошее согласие экспериментальных данных с теорией, разработанной в [137]. В [140] обнаружено отклонение флуктуации термоэдс от распределения Гаусса, что согласуется с теорией случайных матриц. В работе [141] экспериментально исследуется термоэдс многотерминального квантового устройства, содержащего две параллельных цепочки квантовых антиточек, сформированных из GaAs/AlGaAs гетероструктуры с помощью электронной литографии, (бильярд Синая). В работе наблюда- лись осцилляции термоэдс и кондактанса с магнитным полем, причем экстремумам кондактанса соответствовали нули термоэдс. Экспериментально наблюдаемая величина термоэдс по порядку величины соответствовала кв/е. В работе [142] изучается термоэдс в двойной квантовой яме, сформированной из арсенида галлия. Показано, что сопротивление системы в направлении, параллельном ямам, испытывает резонанс, когда плотность носителей тока в ямах имеет примерно одинаковое значение. В последнее время появились теоретические исследования термоэдс и в искривленных наноструктурах.
Резонансы в коэффициенте прохождения
Рассмотрим теперь, как спектральные свойства оператора Н сказываются на электронном транспорте в исследуемой системе. Наличие нулей коэффициента прохождения в некоторых точках, а также присутствие в системе дискретных энергетических уровней, погруженных в непрерывный спектр, говорит о резонансном характере рассеяния. Как хорошо известно, резонансные пики коэффициента прохождения связаны с наличием полюсов у матрицы рассеяния в комплексной плоскости энергии. Поскольку матрица рассеяния унитарна при действительных значениях энергии, амплитуда рассеяния t2i(E) не имеет полюсов на действительной оси. Однако имеются полюса на нефизическом листе римановой поверхности, положение которых определяется уравнением А(Е) — 0. В окрестностях этих полюсов коэффициент прохождения (2.33) может быть представлен в виде где ER - энергия, определяющая положение резонанса, Г - полуширина резонансной кривой, а 77 - нормировочная константа. Оба параметра резонан- Как показывает дальнейший анализ, наряду с обычными резонансами Брейта-Вигнера, описываемыми формулой (2.45), в системе также наблюдаются асимметричные резонансы Фано, которые состоят из близко расположенных нуля и пика коэффициента прохождения. Характерная форма резонансов Брейта-Вигнера и Фано показана на Рис. 2.1. В изучаемой системе нули коэффициента прохождения, связанные с резонансами Фано, располагаются с точках спектра невозмущенного гамильтониана Нп. Введем обозначение кп = \J2m En/Ti2. Воспользовавшись асимптотикой (2.40) функции Qij(E) в окрестности Еп и сохраняя в числителе и в знаменателе формулы (2.33) линейные по Е—Еп члены, запишем коэффициент прохождения t2i{E) вблизи Еп в виде получим для t2i(E) формулу Из (2.47) видно, что в окрестности спектральных значений Еп оператора На энергетическая зависимость коэффициента прохождения имеет структуру резонанса Фано. Как следует из соотношения (2.46), параметры резонанса Фано ER И Г связаны с длинами рассеяния Хл, Хв и Xе формулами: Как видно из (2.48) и (2.49), ширина резонанса Фано и расстояние между нулем и пиком коэффициента прохождения пропорциональны deta и, если при каком-либо расположении проводников deta обращается в нуль в спектральной точке Еп, то происходит коллапс резонанса Фано в окрестности этой точки. При этом полюс Ец + гГ и нуль Еп коэффициента прохождения совпадают и сокращаются. Уравнение det а = 0 имеет важное значение для дальнейшего анализа, не только в случае двух проводников, но и при любом их числе N. Для исследования поведения определителя det а составим N комплексных v-мерных вектора V , определяемых с помощью собственных функций (fnl оператора HQ, Здесь индекс n обозначает номер zz-кратно вырожденного уровня, индекс / пробегает значения от 1 до v, а индекс j нумерует точки контакта.
Определим скалярное произведение формулой Тогда a\j = (\Qn Vj- ), и следовательно, матрица а является матрицей Грама для этих векторов. Таким образом, условие det а = 0 выполняется тогда и только тогда, когда векторы Vj- линейно зависимы. В случае двух проводников это условием можно переписать в виде Очевидно, что число линейно независимых векторов в v мерном пространстве не может превышать г/, поэтому det а = 0 для всех уровней, имеющих кратность вырождения меньше, чем N. В случае двух проводников это означает, что для возникновения резонансов Фано необходимо, по крайней мере двукратное вырождение уровней оператора HQ,. Теперь рассмотрим влияние на коэффициент прохождения параметров контактов. Воспользовавшись соотношением rn2 + t2i2 = 1, запишем коэффициент прохождения Т2\{Е) в виде Такая форма записи удобна, поскольку позволяет вместо функции T2i(E) исследовать вспомогательную функцию f{E) = Гц()/21(), для которой выражение через Q(E) оказывается несколько проще. Используя формулы (2.33) и (2.35), получим где fi(E) и /2(E) действительные функции: Рассмотрим подробнее практически важный частный случай одинаковых контактов, которому соответствуют скалярные матрицы А, В, и С. В этом случае будем обозначать просто Xf = Хл, X? = Хв, Х = Xе. Если при этом Qn(E) = Q22(E), что имеет место, например, в рассматриваемых ниже примерах, то величина f2(E) обращается в нуль тождественно, а выражение для f(E) принимает наиболее простой вид: Как видно из формулы (2.56), если какое-либо из равенств Xf = Х2, Af = Хв или Af = Х2 не выполняется, то тождество f2{E) = О уже не имеет места. В таком случае для того, чтобы коэффициент прохождения был строго равен единице, необходимо одновременное обращение в нуль двух различных функций: fi{E) и f2(E), что требует специального подбора параметров. Поэтому в общем случае неодинаковых контактов максимумы на кривой Т2\{Е) не доходят до единицы. Таким образом, асимметрия контактов приводит к уменьшению высоты пиков коэффициента прохождения. Этот результат хорошо согласуется с общим выводом для квазиодномерных систем [71], согласно которому высота пиков коэффициента прохождения не достигает единицы, если в системе отсутствует симметрия по отношению к инверсии направления движения. Теперь рассмотрим влияние на коэффициент прохождения длин рассеяния XА и Xе. Для краткости ограничимся случаем одинаковых контактов.
Как видно из формулы (2.57), при к\Хс\ — со, прозрачность системы стремится к нулю всюду за исключением малой окрестности точек, в которых det Q{E) = 0. В этом случае доминирующим членом в числителе формулы (2.57) является (кXе )2 det Q(E), поэтому в окрестности точки det Q(E) = 0 всегда найдется такое значение энергии, при котором f(E) = 0, а коэффициент прохождения равен единице. Таким образом, в пределе больших AC зависимость Т2\{Ё) представляет собой серию очень узких и высоких (доходящих до единицы) резонансов, ширина которых уменьшается с ростом \ХС\. Отметим, что предел ІЛ І — со, как показывает формула (2.16), соответствует разрыву связи между наноструктурой и проводниками; естественно, что прозрачность системы в этом случае стремится к нулю. Аналогичные явления имеют место и при XА — 0, что, как видно из граничных условий (2.16), также соответствует отсутствию связи между проводниками и наноструктурой. В случаях Хв — 0 и Хв — со, которые соответствуют отсутствию точечных возмущений в двумерной наноструктуре, прозрачность системы также представляет собой серию узких резонансов, вне которых коэффициент прохождения стремится к нулю, поскольку в этом случае диагональные элементы матрицы Q(E) будут велики всюду, за исключением малой области вблизи точек Еп, и знаменатель коэффициента прохождения будет велик по сравнению с числителем. В настоящей главе построена модель, позволяющая описывать движение электронов в наноустройстве, состоящем из проводящей поверхности Г2 с присоединенными к ней в произвольных точках одномерными проводниками. Получен общий вид граничных условий, которые должны быть наложены на волновую функцию в точках контактов. Показано, что каждый контакт может быть описан тремя действительными параметрами, которые могут быть выражены через длины рассеяния на соответствующих точечных потенциалах. С помощью граничных условий построен одноэлектрон-ный гамильтониан рассматриваемой системы. Из решения уравнения Шре-дингера найдены коэффициенты отражения и прохождения электрона в каждом из проводников и волновая электрона на поверхности О. При этом коэффициенты прохождения и отражения выражаются через Q-функцию Крейна, представляющую собой перенормированную функцию Грина од-ноэлектронного гамильтониана HQ. Изучены общие особенности поведения коэффициента прохождения в случае двух проводников. Показано, что зависимость коэффициента прохождения из первого проводника во второй от энергии содержит нули двух различных типов. Нули первого типа возникают при совпадении энергии электрона с собственными значениями гамильтониана поверхности Q. Их положение не зависит от взаимного расположения точек контактов в отличие от нулей второго типа, совпадающих с нулями функции Q21 (Е). Установлено, что положение всех нулей коэффициента прохождения не зависит от параметров контактов. Обнаружено, что в окрестности нулей первого типа коэффициент прохождения имеет вид резонанса Фано.
Электронный транспорт на поверхности квантового тора
В этом разделе исследуется электронный транспорт на поверхности тора. Движение электрона на торе в работе моделируется гамильтонианом двумерного свободного движения с периодическими граничными условиями по двум направлениям. Для описания этих условий удобно ввести прямоугольную решетку Л в R2 с базисными векторами аі, а2: Для однозначности, будем считать аі аг. Потребуем, чтобы все функции фа из области определения гамильтониана тора удовлетворяли соотношению Тогда гамильтониан тора представляет собой оператор действующий на функциях, удовлетворяющих условию (3.32). Определим явный вид функции Qij(E) для квантового тора. Обозначим S площадь элементарной ячейки Л и введем Ad дуальную решетку для Л, то есть решетку с базисными векторами bi и Ьг, удовлетворяющими условиям a.jhk = 2KSjk- В этом случае спектральные значения оператора HQ могут быть записаны в виде Соответствующие собственные функции задаются формулой Ясно, что все состояния невозмущенного гамильтониана тора, кроме основного, вырождены, поскольку волновые функции определяемые векторами b и —b соответствуют одной и той же энергии, более того, в общем случае все состояния, определяемые векторами b = nibi + пгЬг с ненулевыми щ и П2, вырождены четырехкратно. Если же отношение образующих тора аі/а2І рационально, то гамильтониан І7п может иметь и более чем четырехкратно вырожденные уровни. На основании формулы (2.21) матрица Qij(E) для тора может быть записана в виде Используя формулу суммирования Пуассона, можно получить для Qij(E) представление в виде абсолютно сходящегося ряда [162] Здесь Ко(х) - функция Макдональда. Зависимость коэффициента прохождения электрона через квантовый тор от волнового числа к для случая общего положения контактов показана на Рис. 3.9. Видно, что кривая содержит резонансы Фано и Брейта-Вигнера, а также нули, не связанные с резонансами (их положение отмечено на рисунке пунктирными линиями). В случае тора состояние однозначно определяется вектором обратной решетки Ь, и условие (2.52) коллапса резонансов Фано может быть записано в виде: где bj - векторы, соответствующие состояниям -кратно вырожденного уровня Еп: \Ъг\2 = 2m En/h2. Для двухкратно вырожденных уровней это условие принимает наиболее простой вид: b(q2 — qi) = 7m, п Є Z.
Нетрудно проверить, что при q2 — qi = О.баї условие (3.36) выполняется для всех двукратно и четырехкратно вырожденных уровней. Поэтому при несоизмеримых образующих тора в случае q2 — Q2 = 0.5ai происходит коллапс всех резонансов Фано, однако нули второго типа, связанные с Q12(E), сохраняются. Отметим, что как в случае сферы, так и в случае тора равенство Qn(E) = Q22(E) выполняется при любом расположении точек qi и q2, поэтому в случае одинаковых контактов резонансные максимумы могут достигать единицы. Рассмотрим подробнее случай, когда одна из образующих тора значительно больше другой ai аг, что близко к геометрии нанотрубки, свернутой в тор. В этом случае при энергиях меньших Т Ъ /Ът основной вклад в Qij(E) вносят состояния с малыми энергиями, определяемые векторами b = nbi с п ai/a2. Поэтому при Е К2Ъ2/2т функция Qij(E) для тора с точностью до размерного множителя аппроксимирует аналогичную функцию для кольца. Такая ситуация соответствует тому, что электронные моды, отвечающие движению вдоль меньшей из образующих тора, не возбуждаются при малых энергиях. Полученные в этом пределе результаты находятся в хорошем согласии с результатами для одномерного кольца [80]. Изучен электронный транспорт через квантовую сферу с двумя и с тремя присоединенными проводниками, а также через квантовый тор с двумя проводниками. Исследовано поведение нулей двух типов, существование которых обнаружено в Главе 2. Показано, что нули второго типа в случае сферы совпадают с нулями функции Лежандра, которая определяет амплитуду волновой функции в точке второго контакта. Это приводит к тому, что высота пиков коэффициента прохождения существенно зависит от модуля функции Лежандра, в результате чего пики объединяются в группы типа волновых пакетов. Число пиков в пакете зависит от расстояниями между точками контактов на поверхности сферы. Исследовано поведение резонансов Фано. Обнаружено, что при диаметрально противоположном расположении контактов происходит коллапс всех резонансов Фано. При этом нули второго типа также исчезают. Установлено, что коллапс резонансов Фано в случае сферы наблюдается только при диаметрально противоположном присоединении проводников. Найдена форма огибающей минимумов коэффициента прохождения в случае коллапса. В случае квантовой сферы с тремя проводниками показано, что коллапс резонансов в коэффициенте прохождения электрона из первого проводника во второй происходит при диаметрально противоположном расположении этих двух проводников не зависимо от положения третьего контакта.
При этом нули второго типа сохраняются на графике. Также исследованы коэффициенты прохождения устройства при наличии разрыва в одном из проводников. Показано, что наличие третьего проводника приводит к появлению дополнительных резонансов и нулей в коэффициенте прохождения, связанных с интерференцией электронных волн в третьем проводнике. В случае квантового тора условие коллапса резонансов может быть записано с помощью векторов обратной решетки, характеризующих энергетический спектр гамильтониана тора. В случае, когда контакты лежат на одной образующей тора и находятся в ее диаметрально противоположных точках, происходит коллапс всех резонансов Фано в окрестности двукратно и четырехкратно вырожденных уровней. Геометрические особенности поверхности приводят к различию в поведении резонансов и нулей Т\2{Е). В частности, симметрия сферы приводит к коллапсу всех резонансов Фано и исчезновению всех нулей при диаметрально противоположном расположении проводников, причем в осталь- ных случаях коллапс не наблюдается. В отличие от сферы, на торе коллапс происходит при соблюдении условия (3.36), которое удовлетворяется при многих положениях контактов, но при этом часть нулей на графике Ti2(E) всегда сохраняется. Электронный транспорт в квантовом цилиндре с присоединенными проводниками Настоящая глава посвящена исследованию электронного транспорта в квантовом цилиндре с присоединенными проводниками, помещенного в продольное магнитное поле В. Схематическое изображение рассматриваемого устройства показано на Рис. 4.1. Подробно рассмотрены случаи одного и двух проводников. Если спин-орбитальное взаимодействие в системе отсутствует то спин электрона сохраняется и коэффициенты прохождения Т (Е) и Т (Е) для электронов поляризованных "по полю "и "против поля "могут быть выражены через коэффициент прохождения Т(Е) для бесспиновой задачи Здесь д - эффективный электронный g-фактор, а дв - магнетон Бора. Аналогичные соотношения справедливы и коэффициентов прохождения. В дальнейшем в работе везде будет рассматриваться бесспиновая задача, а спиновые индексы у коэффициентов будут использоваться только там, где это необходимо.
Влияние спина на электронный транспорт
При отсутствии спин-орбитального взаимодействия спин электрона в системе сохраняется, и в соответствии с формулой Ландауэра-Бьюттикера (1.1) кондактанс устройства G при нулевой температуре определяется ко- Т I где коэффициенты Т21 и Т21 задаются формулой (4.1). График зависимости кондактанса от энергии электрона, построенный по формуле (4.25), показан на Рис. 4.9. Зависимость коэффициентов прохождения от спиновой ориентации электронов в магнитном поле приводит к дополнительному расщеплению пиков кондактанса (Рис. 4.9) и частичной спиновой поляризации прошедших электронов. Следует отметить, что спиновое расщепление дцвВ не зависит от величины магнитного квантового числа т в то время, как расщепление собственных значений Ет пропорционально т, поэтому пики на графике не эквидистантны. Заметим, что спиновой поляризацией прошедших электронов можно управлять как путем изменения магнитного поля, так и путем изменения энергии токонесущих электронов. Степень поляризации Р = (Т21 —Т21 )/(Т21 +Т2\) как функция энергии электрона показана на Рис. 4.11. Если поток магнитного поля через поперечное сечение цилиндра Ф/Фо имеет целое или полуцелое значение, то можно добиться полной поляризации (сплошная линия на Рис. 4.11). Исследован электронный транспорт на поверхности проводящего цилиндра, помещенного в продольное магнитное поле, с одномерными проводниками, присоединенными к его боковой поверхности. Подробно рассмотрены случаи присоединения одного и двух проводников. Найдены коэффициенты прохождения и отражения электрона в каждом из проводников, а также парциальные коэффициенты прохождения в каждое из состояний рассеяния на цилиндре. В случае одного проводника показано, что коэффициент отражения имеет пики, доходящие до единицы, при совпадении энергии электрона с дискретной составляющей Ет электронного энергетического спектра на цилиндре. Показано, что в точках Ет коэффициент прохождения имеет излом, обусловленный особенностью Ван Хова в плотности состояний на цилиндре. При наличии магнитного поля с нецелым и неполуцелым значением магнитного потока через сечение цилиндра пики коэффициента отражения расщепляются. В случае двух проводников, показано, что коэффициент прохождения обращается в нуль в точках Ет при целых и полуцелых значениях магнитного потока через поперечное сечение цилиндра. В окрестности каждого нуля присутствует асимметричный пик. Наличие нулей зависит от расположения проводников. Найдены положения контактов, при которых нули на графике исчезают; при этом пик и провал на графике сближаются, но их амплитуда не уменьшается. Поведение коэффициента прохождения в этом случае напоминает коллапс резонансов Фано, наблюдавшийся в случае ограниченных наноструктур. Магнитное поле приводит к расщеплению пиков и к исчезновению нулей коэффициента прохождения. Рассмотрено влияние спина на электронный транспорт в системе.
Показано, что зависимость коэффициентов прохождения от спина приводит к дополнительному расщеплению пиков кондактанса, а также к частичной спиновой поляризации прошедших электронов. При целых и полуцелых значениях магнитного потока возможна полная спиновая поляризация. В связи с тем, что в кондактансе различных систем, рассматриваемых в данной диссертационной работе, наблюдаются резонансы Брейта-Вигнера и Фано, возникает интерес к исследованию поведения термоэдс в окрестности резонансов этих типов. Форма кривых зависимости кондактанса от химического потенциала в окрестности резонансов каждого типа универсальна для любых наноструктур, а поскольку коэффициент термоэдс однозначно связан с кондактансом, поведение термоэдс в окрестности резонансов каждого вида также должно описываться универсальной функцией химического потенциала. Если наноструктура, соединяет два электронных резервуара с различными температурами, то разность температур AT приводит к возникновению разности потенциалов V между резервуарами. Требование отсутствия электрического тока приводит к появлению однозначного соотношения между V и AT. В режиме линейного отклика V и AT пропорциональны друг другу (V = —5/AT), а коэффициент пропорциональности S и называется термоэдс или коэффициентом Зеебека. До сих пор в работе рассматривался одноканальный транспортный режим, когда кондактанс оказывался пропорциональным единственному коэффициенту прохождения электрона.
Однако резонансы Брейта-Вигнера и Фано наблюдались в различных системах в том числе и при многоканальном режиме. Поэтому представляет интерес случай, когда в кондактансе присутствует и резонансная, и нерезонансная составляющие. Согласно формализму Ладауэра-Бьюттикера кондактанс G наноструктуры может быть представлен в виде суммы коэффициентов прохождения Tj электрона для различных каналов транспорта (1.1). Если в кондактансе присутствуют резонансы, то в общем случае, энергии Е \ при которых они наблюдаются, различны для разных коэффициентов Tj. В окрестности точки Еъ коэффициент прохождения Тп имеет резонанс, в то время как остальные коэффициенты Tj, j ф п изменяются достаточно медленно и формируют нерезонасный фон. Поэтому в окрестности резонанса Брейта-Вигнера зависимость кондактанса G системы от химического потенциала [І, электронов может быть представлена в виде Здесь Г - полуширина резонансной кривой, ER определяет положение резонанса, д - амплитуда резонанса, а до нерезонансная составляющая кондактанса. Следует отметить, что наличие резонансной и нерезонансной компонент кондактанса наблюдалось и на эксперименте [6,7]. В окрестности резонанса Фано поведение кондактанса описывается формулой [63,70] где EQ - энергия, определяющая положение нуля проводимости. Характерная форма резонансов каждого вида представлена на Рис. 2.1. Отметим, что максимальная амплитуда кондактанса в окрестности резонанса Фано равна gm = д{\ + q2), где q — (ER — EQ)/T - параметр асимметрии для резонансов Фано. Предел q —» со при постоянной величине дт соответствуют симметричному резонансу, а предел q — 0 описывает симметричный антирезонанс. В случае = 1 амплитуда пика и провала в окрестности резонанса Фано одинаковы. Для анализа термоэдс воспользуемся хорошо известной [35-37] формулой Катлера-Мотта (1.4), позволяющей выразить коэффициент термоэдс через кондактанс при нулевой температуре. Как следует из формулы (1.4), для определения коэффициента термоэдс необходимо знать значения функции G(E) на всей положительной полуоси энергий Е Є (0, со), в то время как уравнения (5.1) и (5.2) справедливы только в малой окрестности резонансов. Однако, если расстояние между резонансами оказывается много больше, чем ширина каждого из них, то при низких температурах вклад в термоэдс от соседних пиков оказывается экспоненциально мал из-за быстрого убывания фермиевской функции. В таком случае допустимо изучение уединенного резонанса в термоэдс. Точная формула (1.4) достаточно сложна для анализа, но есть ряд случаев, когда она может быть упрощена. В частности, если тепловая энергия квТ значительно меньше полуширины резонанса Г, то раскладывая интегралы из формулы (1.4) в ряд Зоммерфельда, можно выразить коэффициент термоэдс через логарифмическую производную от кондактанса [36,128]. В результате получается уравнение (1.5), которое используется в большинстве теоретических работ, посвященных термоэдс.
