Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы 11
1.1. Масштабы длины в наноструктурах 11
1.2. Проводимость наноструктур 13
1.3. Спин-поляризованный транспорт 16
1.4. Осцилляции Ларонова-Бома 23
1.5. Double-slit эксперимент 25
1.6. Связанные состояния в континууме 26
Глава 2. Методика численного эксперимента 30
2.1. Основные уравнения 30
2.2. Коэффициент проводимости структуры 32
2.3. Методика математического моделирования 34
2.3.1. Подстановка Пайерлса 34
2.3.2. Основной формализм 37
2.4. Линии тока вероятности 42
2.5. Эффективный гамильтониан 43
Глава 3. Особенности транспортных свойств кольцевых структур 47
3.1. Проблемы и постановка задачи 47
3.2. Одномерное кольцо 48
3.2.1. Осцилляции Ларонова-Бома 48
3.2.2. Связанные состояния в континууме 50
3.3. Двумерное кольцо 53
3.3.1. Осцилляции Ааронова-Бома 53
3.3.2. Связанные состояния в континууме 62
Глава 4. Эффекты квантовой интерференции в double-slit структурах 69
4.1. Проблемы и постановка задачи 69
4.2. Модель 70
4.3. Влияние управляющего электрода 72
4.4. Double-slit эксперимент 75
Глава 5. Эффект Холла, индуцированный спин-орбитальным взаимодей ствием Рашбы 85
5.1. Проблемы и постановка задачи 85
5.2. Модель 85
5.3. Сопротивление Холла 88
5.4. Модифицированная четырёх-терминальная геометрия 94
Заключение 98
Литература
- Проводимость наноструктур
- Методика математического моделирования
- Осцилляции Ларонова-Бома
- Влияние управляющего электрода
Введение к работе
Актуальность работы. Ещё в недалёком прошлом классическая теория процессов электронной проводимости отвечала на все практические вопросы, возникающие при изготовлении электронных устройств. Это теория основывалась на диффузионном дрейфе носителей и выражалось формулой Друде а — IiE-L, где пит- концентрация и масса носителей, т - время релаксации, а а - проводимость. Качественный скачок в изготовлении проводящих структур произошёл в 80-х годах.
Благодаря достижениям наиотехнологии с использованием методов молекулярно-лучевой эпитаксии и литографии [1, 2] появилась возможность создавать различные искусственные структуры с заданными параметрами и мы приблизились к такому технологическому уровню твёрдотельных устройств, когда масштабы энергии и длины позволяют наблюдать определяющее влияние квантовых эффектов на процессы проводимости.
Типичные размеры таких устройств изменяются от нанометра до микрометра. При очень низких температурах (обычно несколько тпК), неупругое рассеяние значительно подавлено и длина фазовой когерентности электронов может стать больше размера системы. В таком режиме электрон сохраняет фазовую когерентность по всему образцу. Идеализированный образец становится электронным волноводом и его транспортные свойства определяются исключительно геометрией системы, конфигурацией примесей и законами квантовой механики. Эти условия открывают возможность разработки новых квантовых электронных устройств [3, 4].
Идея использования квантовой интерференции в электронике сравнительно нова. Было предложено несколько устройств, использующих магнитное или электростатическое иоле для управления проводимостью при помощи влияния на разность фаз интерферирующих путей [5, 3]. В связи с этим, изучение влияния управляющих полей на транспортные свойства структур
представляет определённый интерес. Хорошо известный квантовый эффект осцилляции Ааронова-Бома (ОЛБ) [6] является примером использования постоянного магнитного поля для управления транспортом электронов. В экспериментах Л. Yacoby at al. [7, 8] для управления разностью фаз интерферирующих путей используются как электрическое, так и магнитное поле.
Волновая природа электрона при квантовом рассмотрении имеет непосредственную аналогию с другими волновыми процессами (электромагнитными, акустическими и т.д.). Например, уравнения, описывающие электрон в двумерных наноструктурах в квантовом баллистическом режиме, эквивалентны уравнениям распространения электромагнитного ТМ поля в плоскопараллельных волноводах. Эта эквивалентность открывает возможность тестирования квантовых электронных устройств в макроскопических волно-водных системах [9]. И наоборот, искать известные электромагнитные эффекты в квантовых наносистемах.
Возможность фабрикации устройств, с эффективной размерностью меньше трёх, таких как квантовые плёнки (2D), квантовые проволоки (ID) и квантовые точки (0D), открыла способ проявления эффектов низкоразмерной физики в процессах проводимости. В этих системах уже открыты интереснейшие эффекты, такие как квантование проводимости, резонансное туннелли-рование, квантовый эффект Холла, незатухающий ток (persistent current), универсальные флуктуации проводимости, кулоновская блокада и т.д.
Ещё одно новое направление в баллистическом электронном транспорте, называемое "спин-ноляризованным транспортом", развивается сейчас очень быстро. Хотя это направление происходит еще от квантового описания твердого тела, лишь недавно современные методы изготовления микро- и нано-устройств позволили исследовать баллистический, когерентный транспорт электронов. Главный интерес к спиновой поляризации электронов вызван возможностью использовать спиновые состояния электрона как носителя битов информации с последующей переработкой и передачей этой информации
(спинтроника). Однако само явление спин-поляризованного транспорта также представляет фундаментальный физический интерес, так как приводит к множеству интересных особенностей в проводимости наноустройств.
Цель работы. Целью кандидатской диссертации являлось изучение с помощью методов компьютерного моделирования некоторых эффектов квантовой интерференции в электронном транспорте через двумерные наносистемы с учётом и без учёта спин-орбитального взаимодействия. Управление интерференцией осуществлялось с помощью изменения электрического и магнитного полей. Интерференционные явления исследовались на примере эффекта осцилляции Ааронова-Бома и эффекта связанного состояния в континууме в двумерных кольцах, осцилляции проводимости при прохождении электрона через две щели в экране (double-slit эксперимент), а также на примере поляризационных эффектов в транспорте электронов через двумерную кросс-структуру при учёте спин-орбиталыюго взаимодействия Рашбы.
Основные задачи работы. Для достижения сформулированных выше целей были поставлены следующие задачи:
1. Исследовать транспортные свойства двумерных структур с кольцевой геометрией:
а) исследовать зависимости осцилляции проводимости Ааронова-
Бома (ОАБ) от геометрии образца (отношения ширины рукавов
к радиусу);
б) изучить зависимости поведения ОАБ от энергии Ферми;
в) проанализировать образование вихревых токовых состояний в об
разце и рассмотреть их влияние на ОАБ;
г) на примере одномерного кольца аналитически исследовать связан
ные состояния в континууме в пространстве параметров энергия-
магнитное иоле;
д) изучить свойства связанных состояний в континууме в двумерном
кольце;
2. Численно рассмотреть транспортные свойства двумерной структуры,
моделирующей double-slit интерференционный эксперимент группы А.
Yacoby [8]:
а) исследовать осцилляции проводимости, обусловленные изменени
ем потенциала управляющего электрода, в зависимости от особен
ностей геометрии эксперимента, а именно - от формы квантовых
точечных контактов (прямоугольная и закруглённая), а также изу
чить роль экрана между эмиттером и коллектором;
б) провести анализ зависимости поведения токовых линий от потен
циала управляющего электрода и особенностей геометрии экспе
римента;
3. Исследовать влияние сиин-орбиталыюго взаимодействия Рашбы на
проводимость и поляризационные свойства двумерной крестообразной
структуры:
а) изучить зависимости поляризационных свойств рассеянного элек
трона от энергии Ферми при условии, что падающий электрон был
не поляризован;
б) провести анализ зависимости азимутальной асимметрии в процес
се рассеяния поляризованного электрона; вычислить соответству
ющее сопротивление Холла (отношение возникающей разности по
тенциалов перпендикулярно направлению тока к силе тока).
Структура диссертации. Материал диссертационной работы распределён следующим образом. В главе 1 проведён краткий обзор основных положений и используемых в дальнейшем результатов. Во второй главе выписаны основные уравнения и методы математического моделирования, используемые в работе. Третья глава описывает особенности транспортных свойств двумерных кольцевых структур - осцилляции проводимости Ааронова-Бома и связанные состояния в континууме. В главе 4 численными методами исследуются транспортные свойства структуры, моделирующей эксперимент
A. Yacoby et al [8] по проводимости двумерной double-slit геометрии. Глава 5 посвящена изучению эффекта, аналогичного эффекту Холла, но индуцированного спин-орбитальным взаимодействием Рашбы. В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.
Научная новизна и практическая ценность. Впервые, методами компьютерного моделирования, были исследованы осцилляции Ааронова-Бома в двумерных кольцах. Показано, что в двумерных кольцах даже в простой одночастичной модели без учёта примесей, кулоновских и спин-орбитальных взаимодействий осцилляции проводимости Ааронова-Бома становятся непериодичнымим. Область регулярных осцилляции зависит от соотношения между четырьмя характерными масштабами: шириной рукавов кольца, радиусом кольца, магнитной длиной и длиной волны Ферми.
При рассмотрении связанных состояний в континууме (ССК) в двумерных кольцах впервые применён метод эффективного гамильтониана. Показано, что матрица рассеяния неаналитически зависит от физических параметров в точке ССК, а вид волновой функции зависит от пути в пространстве параметров, по которому система приближается к точке ССК.
Предложено объяснение возникновению неожиданных результатов при наблюдении осцилляции проводимости в интерференционном double-slit эксперименте A. Yacoby et al (A. Yacoby, М. Heiblum, V. Umansky, H. Shtrikman, D. Mahalu. Unexpected periodicity in an electronic double slit interference experiment. II Phys. Rev. Lett. 73, №23, 3149-3152 (1994)). При численном исследовании свойств структуры, моделирующей эксперимент, были обнаружены многократные отражения от стенок структуры и экрана, интерферирующие с прямыми волнами. При этом токовые линии начинают сильно отличаться от прямых линий, что и является причиной того, что простая одномерная формула, используемая при обработке результатов эксперимента, перестаёт адекватно описывать свойства системы.
Теоретически исследована двумерная четырёх-терминальная система с
учётом спин-орбитального взаимодействия Рашбы. Показано, что спин-орбиталыюе взаимодействие Рашбы в двумерных проводниках может приводить к возникновению разности потенциалов перпендикулярно направлению тока. То есть к эффекту, подобному эффекту Холла. Показано, что сопротивление Холла можно значительно увеличить, если модифицировать геометрию системы: использовать квантовые точечные контакты и форму области рассеяния, благоприятствующую возникновению большого орбитального момента. Показано, что в области резонансного прохождения электрона через структуру сопротивление Холла претерпевает сильные изменения.
Основные результаты диссертационных исследований опубликованы в шести работах:
К.Н. Пичугин, Л.Ф. Садреев. Нерегулярные осцилляции Ааронова-Бома в кольцах с конечной шириной. // ЖЭТФ.- 1996.- Т. 109, №2.-С.546-561.
K.N. Pichugiii, A.F. Sadreev. Irregular Aharonov-Bohm oscillations of conductance in two-dimensional rings. // Phys. Rev. В 56, №15, 9662-9673 (1997).
A.-P. Jauho, K.N. Pichugiii, A.F. Sadreev. Simulations of interference effects in gated two-dimensional ballistic electron systems. // Phys. Rev. В 60, №11, 8191-8198 (1999).
E.N. Bulgakov, K.N. Pichugiii, A.F. Sadreev, P. Stfeda, P. Seba. Hall-like effect induced by spin-orbit interaction. // Phys. Rev. Lett 83, №2, 376-379 (1999).
K.N. Pichugiii, P. Stfeda, P. Seba, A.F. Sadreev. Resonance behaviour of the Hall-like effect induced by spin-orbit interaction in a four-terminal junction. II Physica E 6, №1-4, 727-730 (2000).
E.N. Bulgakov, K.N. Pichugiii, A.F. Sadreev, and I. Rotter, Bound states in the continuum in open Aharonov-Bohm rings. // Письма в ЖЭТФ.-2006.- T.84, №8.- С.508-513.
а также докладывались на конференции молодых учёных и семинарах "Отдела теоретической физики" Института физики им. Киренского СО РАН.
Проводимость наноструктур
Ландауер и Бутикер вывели зависимость между одноканальной проводимостью проводника и вероятностями отражения и прохождения электрона на уровне Ферми [12, 13]. Рассмотрим систему, схематично нарисованную на рис. 1.1.
Рассеивающая одномерная система соединена с резервуарами носителей заряда идеальными, бесконечно длинными, проводниками Ли В. Идеальные резервуары электронов удовлетворяют следующим требованиям:
1. Все падающие электроны поглощаются резервуаром, независимо от энергии и фазы электрона.
2. Резервуары поставляют в систему электроны с энергией, ниже химиче ского потенциала /І. Энергия и фаза поставляемых электронов не зависит от характеристик поглощаемых электронов. Пусть /І! и [ІЧ химические потенциалы резервуаров 1 и 2, а Т и 7? - коэффициенты прохождения и отражения рассеивающей структуры соответственно. Условие сохранения числа частиц в системе требует выполнения соотношения Т + R = 1. Пусть, далее, v - скорость электронов в идеальных проводниках и дп±/дЕ - плотность состояний электронов, движущихся в положительном или отрицательном направлении. Тогда электрический ток в отсутствии рассеивающей системы равен
В одномерии (с учётом спинового вырождения) 9п_ /дЕ = 1/TTHV, таким образом полный ток, испущенный первым резервуаром из-за разности химических потенциалов, равен / = е(1/тгЙ.)(ді —Дог). Этот ток имеет вероятность Т прохождения через структуру. Поэтому полный ток через систему равен
Поскольку разность потенциалов между резервуарами 1 и 2 равна проводимость, измеренная между резервуарами, равна
В приведённой выше формуле измерялась проводимость не только рассеивающей структуры, но и идеальных проводников. Изначально, в работе [13] была получена проводимость только рассеивающей структуры. В этом случае формулы (1.1, 1.2) для тока через структуру останутся без изменения, а в формуле (1.3) химические потенциалы //і и fi2 заменяются на \LA И /ijg - химические потенциалы идеальных проводников Л и Б соответственно, [ІА и \ів определим так, чтобы число электронов выше \LA (ЦВ) было равно числу дырок ниже ЦА {ЦВ)- Ниже \іч все состояния заполнены электронами, поэтому мы должны рассматривать только энергии между Ц2- Полное число состояний между ц\ и \і і равно
Проблема спин-поляризованного транспорта разделяется на две. Первая - как поляризовать но спину инжектируемые в наноустройство электроны. Другая задача - как измерять спиновую поляризацию. В диссертационной работе основное внимание уделяется первой проблеме, а также особенностям трансмиссии сиин-поляризованных электронов через различные двумерные наноструктуры. На первый взгляд, простой способ поляризовать инжектируемые электроны по спину - пропускать их через слой ферромагнитного металла. или, более кардинально, использовать ферромагнитный металл как электронный резервуар, поставляющий электроны в наноустройство. Поскольку спиновые подзоны в ферромагнитном металле раздвинуты из-за спонтанной намагниченности, как показано на рис. 1.2, теоретически мы имеем на поверхности Ферми лишь электроны поляризованные по спину вниз. Однако, практически реальная картина d энергетических зон в типичных ферромагнитных металлах как Co,Ni,Fe намного сложнее [15]. Слишком велика разница в мобильности и электросопротивлений полупроводника и металла. Кроме того, мы сталкиваемся с проблемой стыкования ферромагнитного слоя с полупроводниковой гетероструктурой [16]. В результате оказалось, что контакт полупроводник-ферромагнитный металл обеспечивает лишь однопроцентную эффективность спиновой поляризации инжектируемых электронов 17, 18]. Значительно выше эффективность спиновой поляризации достигается при использовании магнитных полупроводников FS (Ferromagnetic Semiconductor). В работе 19) сообщается о 90-процентной эффективности для слоя BexMnyZrii-.x-ySe, контактирующего с GaAs/AlGaAs полупроводниковой гетероструктурой. Эффективность такого интерфейса FS обусловлена тем, что оба материала имеют почти одинаковые решёточные постоянные. Более хитроумные схемы спиновой поляризации с использованием FS интерфейсов приведены, например, в статье [20].
Методика математического моделирования
Таким образом определённая матрица рассеяния является унитарной, что выражает закон сохранения вероятности. Матрицу S можно естественным образом разбить на блоки по принадлежности группы каналов к тому или иному волноводу. Например, для двухтерминального устройства Блок г (г ) описывает отражение из первого волновода в первый (из второго волновода в второй), a I (t ) - прохождение из первого волновода во второй (из второго волновода в первый).
Полная проводимость устройства согласно схеме Ландауера-Буттикера [12, 13], очень просто записывается через 5-матрицу где t - блок матрицы рассеяния (2.10). Формула (2.11) выражает тот факт, что схема Ландауера-Буттикера предполагает, что электроны в систему поставляются резервуаром с равной вероятностью во всех каналах (так как канальные волновые функции имеют одну и ту же энергию). Квадрат модуля отдельных элементов 5-матрицы тоже имеет физический смысл - он равен вероятности рассеяния электрона из одного канала в другой.
Матрица рассеяния несёт в себе большую информацию, чем проводимость (2.7), так как при подсчёте проводимости (2.11) теряется информация об изменении фазы падающей волны. В частности, в литературе исследуется время задержки Вигнера-Смита (Wigner-Smith time delay, [82, 83]), характеризующее время, которое проводит частица в области рассеяния
Здесь М - число открытых каналов (размерность матрицы рассеяния). Можно показать, что время задержки пропорционально сумме собственных (раз З -матрицы и что эту величину невозможно получить только из проводимости устройства.
Для решения уравнения Паули (2.4) использовался метод конечных разностей (tight binding method) на квадратной решётке. В этом методе использовалось 3-х точечное симметричное приближение первой и второй производной. Магнитное поле учитывалось с помощью подстановки Пайерлса.
Подстановка Пайерлса. Способ включения магнитного поля в системе с помощью подстановки Пайерлса впервые был предложен в статье [84]. Этот метод стал впоследствии широко использоваться, так как не является приближением, а точно учитывает магнитное поле при использовании метода конечных разностей. Выведем справедливость подстановки Пайерлса.
Метод вычисления проводимости в решёточной модели разработан в [80, 81, 79]. Для простоты, опишем здесь случай в отсутствии спин-орбиталыюго взаимодействия.
Построим квадратную решётку с постоянной решётки а и, вместо непрерывной волновой функции Ф(х, у), рассмотрим волновую функцию в точках этой квадратной решетки ФПі?п = $(хп,ут), где хп = па,ут = та (п и т -целые числа). Магнитное иоле учтём при помощи фазового множителя Пайерлса. Тогда матричные элементы гамильтониана (2.4) при выбранном векторном потенциале и при использовании симметричной 3-х точечной схемы для аппроксимации второй производной, равны (хп,ут\Н\хп,ут+і} = -exp(ijxna)/a2, \хп,Ут\ІЇ\хп+і,ут) = -1/а2, (2-27) \хп,ут\Н\хп,ут} = 4/а2. Сначала мы должны рассмотреть идеальный волновод бесконечный но оси у и шириной w/a — N -f 1 постоянных решётки по оси х (рисунок 2.1). Граничные условия Дирихле накладывают условия равенства нулю волновой функции в точках с координатами XQ и х +ъ Поэтому, нам нужно получить волновую функцию только в N точках но оси х. Уравнение Шрёдингера в конечных разностях может быть записано следующим образом: 2N собственных векторов и собственных значений разделяются по знаку полного тока через сечение волновода (открытые каналы) или по значению моду ля А (закрытые каналы) на N движущихся в положительном и N в отрицательном направлении. Обозначим ui(±), ...,ujy(±) вектора Со, соответствующие собственным значениям Лі(±), ...,Адг(±). Знак + соответствует движению в положительном , а — в отрицательном направлении. Нормировку us выберем так, чтобы полный ток каждого открытого канала в волноводе был равен единице (см. ниже). Любое решение уравнения (2.28) может быть представлено линейной комбинацией us(±) (полная система функций).
Осцилляции Ларонова-Бома
В последние годы много внимания уделяется как экспериментальному, так и теоретическому изучению физических свойств мезоскопических образцов, т.е. таких структур, в которых фаза электронной волновой функции непосредственно влияет на измеряемые величины. Стандартным способом из ме-нения фазы электрона является воздействие на него внешним магнитным полем: в этом случае электрон приобретает дополнительную фазу S = - J drA, что приводит к интерференционным эффектам, таким как эффект Ларонова-Бома.
До сих пор в области физики наноструктур остаются нерешённые проблемы. Прошло уже около двадцати лет с постановки первых экспериментов по наблюдению осцилляции проводимости Ларонова-Бома в металлических (Ли, Ад, Си) [4, 56] и полупроводниковых кольцах на основе GaAs/AlGaAs [54, 55] и на основе InxGa\ xAs/InP [94], которые обнаружили отклонения от теоретической формулы в виде дополнительных гармоник. Причем как эксперименты в металлических кольцах, так и другие эксперименты в полупроводниковых панокольцах показывают, что с ростом отношения ширины рукавов кольца к его размеру флуктуации осцилляции Ааронова-Бома нарастают. Первоначальное предположение Альтшулера и Спивака [46] о примесном происхождении флуктуации подтвердилось плохо, так как его теория в "грязном" пределе предсказывают полное исчезновение основной гармоники ОАБ. Попытка выяснить на простой модели квантово-механические причины возникновения нерегулярности ОАБ, наблюдаемой в эксперименте, была предпринята в статьях автора [59, 60].
Одночастичную квантовую задачу для одномерного кольца можно ре шить аналитически. Транспортные свойства такого кольца хорошо известны (см., например, [95]). Аналитическое рассмотрение двумерного кольца уже затруднено и, поэтому, его свойства изучают с помощью численных методов. Тем не менее, характеристики одномерного кольца позволяют объяснить некоторые особенности и в двумерии. Поэтому, начнём исследование кольцевых структур с одномерной задачи.
Причину появления осцилляции Ааронова-Бома (ОАБ) легче всего показать на примере одномерного кольца. Для этого рассмотрим задачу рассеяния для геометрии, показанной на рисунке 3.1а. Векторный потенциал, соответствующий магнитному полю В направленному но оси z, выберем в виде А = (—у,х,0). Для удобства положим длину окружности кольца L = 2itR равной единице. В уравнениях (3.1) для областей 2 и 3 координаты х означают локальные координаты, направленные по окружности кольца от области 1 к области 4.
Условия непрерывности волновой функции и законы сохранения потока в точках присоединения волноводов дают линейные уравнения на коэффициенты 01,2,61,2, коэффициенты отражения и прохождения r,t. В матричном виде эти уравнения записываются как
Согласно процедуре построения уравнения (3.2), правая часть If выражает собой граничные условия внешнего возбуждения (падающая на центр рассеяния волна). Решение же }тп удовлетворяет уравнению F(smn)jmn — 0 с нулевой правой частью и является решением уравнения Шредингера, в котором отсутствует внешнее возбуждение и связь с каналами рассеяния. Иными словами, в особых точках пространства параметров smn происходит дополнительное вырождение - уровень дискретного спектра совпадает с уровнями непрерывного спектра, а волновая функция (3.9) есть суперпозиция соответствующих собственных состояний. То, что функции / тп локализованы внутри кольца и то, что особые точки лежат в области непрерывного спектра послужило названию "связанные состояния в континууме" (ССК). Ввиду периодичности решений (3.4) особые точки (7п, кт) имеют эквивалентные свойства. Поэтому, без потери общности, исследуем свойства системы вблизи точки sn — {ъ,к\)
Влияние управляющего электрода
Спин-орбитальное взаимодействие (СОВ) оказывает поляризующее воздействие на процесс рассеяния. Хорошо известно, что иеиоляризованный иу-чёк ядер становится поляризованным при рассеянии на ядре с нулевым спином. С другой стороны, поляризованный падающий нучёк теряет азимутальную симметрию в процессе такого рассеяния (см. [11], гл. 17). Аналогичные процессы можно ожидать и при прохождении электронов через двумерные наноструктуры. Одним из проявлений этого эффекта можно считать появление разности потенциалов поперек основного потока электронов - эффект, подобный эффекту Холла, по индуцированный СОВ.
Простейшим устройством для наблюдения эффекта поляризации изначально неполяризовашюго потока электронов и аналога эффекта Холла является четырёх-термииальпая структура, пример которой изображен на рисунке 5.1. Как было сказано в главе 1, спин-орбиталыюе взаимодействие Рашбы описывается дополнительным слагаемым (1.7) в гамильтониане, который в 2DEG в одноэлектрошюм приближении приобретает вид (1.10). Предполагается, что контакты устройства подсоединяются к резервуарам электронов без СОВ. Для упрощения граничных условий в рассматриваемой модели предполагается существование однородного СОВ не во всем пространстве, а только в зоне рассеяния (серая область на рис. 5.1). То есть, спиновые компоненты вне структуры считаются не связанными, что позволяет в стационарном случае подавать на вход устройства электрон с любой поляризацией.
Гамильтониан инвариантен при обращении времени, которое представляется оператором Т ШуК, где К оператор комплексного сопряжения. При воздействии оператора Т волновая функция меняет проекцию спина Sz на —Sz. Из-за геометрической симметрии крестообразной структуры, гамильтониан также коммутирует с операторами ахР г и (7уРу, где Рх. Ру операторы инверсии оси х и у соответственно. Поэтому преобразованные собственные волновые функции также являются собственными функциями гамильтониана.
Транспортные свойства устройства при условии только упругого рассеяния полностью описываются вероятностями tij(n,Sz — m.Sz). представляющими переход электрона с волновым вектором кп п спином ( приближающегося к зоне рассеяния через г-й волновод в состояние электрона (km, Sz) уда ляющегося от зоны рассеяния в волноводе j. Симметрийные свойства структуры накладывают ограничения на эти вероятности. Некоторые полезные тождества приведены ниже:
Эти уравнения остаются справедливыми и при циклической замене номеров волноводов. После процедуры обезразмеривания уравнение Шрёдингера (2.4) в компонентах приобретает вид Для численных расчетов была выбрана величина az — 1, что соответствует InAs структуре (т « 0.023те) с шириной волновода d 0.2/ІШ И константой СОВ ft/ЗиС- КГ3еУ nm.
Анализ проводимости при нескольких возбужденных подзонах удобно проводить работая с частичными трансмиссионными суммами 7}л,Тгл,Тгл и Тіїл, которые представляют собой вероятности рассеяния полностью поляризованой по оси z волны в волну, выходящую в соответственной поляризации и есть ни что иное, как суммы TiS jS = Uj(n,Sz —» m,Sz). Из-за симметрии области рассеяния не все из этих коэффициентов независимы.
На рисунке 5.2 представлена зависимость рассеяния в левый волновод от безразмерной энергии е. Естественно предположить, что резервуары, к которым подключено устроистіи). поглощают н испускают электроны независимо от их спина. Поэтому входящая волна может рассматриваться неполяризо-ванной. Тем не менее, даже в этом случае волны выходящие направо и налево могут быть частично поляризованными, так как рассеяние в канал спин-вверх 7\т,2Т + А,21 отличается от рассеяния в канал сиин-вниз TIJ J, -f ї\,2, что можно видеть на рисунке 5.2.
Асимметрия процесса рассеяния ведет также к тому, что инжектируемый электрон предпочитает повернуть направо или палево в зависимости от начальной поляризации спина. Для изучения эффекта рассчитывались коэффициенты рассеяния
Зависимость этих величин от энергии представлена на рисунке 5.3. Из этого рисунка очевидна тенденция электрона рассеяться с большей вероятностью в левый или правый волновод в зависимости от начальной поляризации. Исключения составляют только узкие области энергий вблизи порога открытия новых подзон еп — 7г2п2. Узкий пик проводимости также наблюдается при энергиях близких к связанному состоянию (е « 3G.72), сформированному структурой креста [102J. Этот пик обязан своим происхождением перемешиванию транспортных состояний биллиарда и связанного состояния благодаря СОВ. Подобный эффект также может индуцироваться переменным полем [103].
Несмотря на симметрию области рассеяния, при определённых условиях рассмотренное спиново-зависпмое рассеяние может приводить к появлению эффекта, подобного эффекту Холла. Ток, текущий в направлении оси х, т.е. от источника 1 к приёмнику 3, приводит не только к возникновению напряжения между источником и приёмником, U\\ = U\ — U-з, но и к разности потенциалов в перпендикулярном направлении, между приемниками 2 и А, [/_!_ = [/2 — U\. Соотношения между (7ц и U± могут быть выведены через полные коэффициенты отражения 71ц и прохождения
