Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Определение вероятностных характеристик случайных процессов для статистического прогнозирования 15
1.1 Постановка задачи вероятностно-статистического прогнозирования 15
1.2 Определение вероятностных характеристик для статистического прогнозирования случайных процессов 20
1.2.1 Аналитическое определение вероятностных характеристик непрерывных случайных процессов 21
1.2.2 Аналитическое определение вероятностных характеристик решетчатых случайных процессов 31
1.2.3 Аналитическое определение вероятностных характеристик системы непрерывных случайных
процессов 35
1.2.4 Аналитическое определение вероятностных характеристик системы решетчатых случайных процессов 42
1.3 Цифровое моделирование случайных процессов с заданными вероятностными характеристиками 46
1.4 Выводы по главе 60
ГЛАВА 2. Экстраполяция детерминированной составляющей случайного процесса 62
2.1 Предварительный анализ случайных процессов по экспериментальным данным 63
2.2 Экстраполяция тренда 79
2.3 Прогнозирование периодического математического ожидания 90
2.4 Выводы по главе 106
ГЛАВА 3. Методы прогнозирования реализаций стационарных случайных процессов с известными корреляционными функциями 107
3.1 Прогнозирование реализаций случайных процессов по корреляционному уравнению 108
3.2 Прогнозирование реализаций случайных процессов по оптимальной передаточной функции 116
3.3 Прогнозирование реализаций случайных процессов по оптимальному полиному 132
3.4 Прогнозирование реализаций случайных процессов по модифицированному фильтру Калмана 145
3.5 Выводы по главе 159
ГЛАВА 4. Прогнозирование реализаций случайных процессов с использованием законов распределения 161
4.1 Прогнозирование с помощью законов распределения крайних членов выборки 161
4.2 Прогнозирование с помощью нормализованного одномерного закона распределения 170
4.3 Выводы по главе 184
ГЛАВА 5. Прогнозирование случайных процессов в условиях недостаточной исходной информации 185
5.1 Элементы теории нечетких множеств 185
5.2 Методы прогнозирования случайных процессов в условиях нечеткой исходной информации 207
5.3 Выводы по главе 215
ГЛАВА 6. Метрологический анализ методов вероятностностно-статистического прогнозирования случайных процессов и применение их при цифровом моделировании ИВС 217
6.1 Классификация и анализ погрешностей прогнозирования случайных процессов 217
6.2 Вопросы цифрового моделирования ИВС среди комплекса задач которой предусматривается прогнозирование случайных процессов 227
6.3 Выводы по главе 242
Заключение 243
Список использованных источников
- Аналитическое определение вероятностных характеристик непрерывных случайных процессов
- Прогнозирование периодического математического ожидания
- Прогнозирование реализаций случайных процессов по оптимальной передаточной функции
- Прогнозирование с помощью нормализованного одномерного закона распределения
Введение к работе
Прогнозирование — это процесс формирования прогноза. Прогноз — это научно предсказанное состояние, поведение, развитие, функционирование некоторого объекта, основанное на знании его предыстории (т. е. знания состояния, поведения, развития, функционирования объекта в настоящем и прошлом) и соответствующих объективных закономерностях [1].
В настоящее время в отечественной и зарубежной литературе имеется большое количество работ, посвященных различным частным аспектам проблемы прогнозирования. Так теория прогнозирования характеристик случайных процессов достаточно широко представлена работами А.Н. Колмогорова [2], Н. Винера [3], B.C. Пугачева [4], Ю.В. Чуева [5], Е.М. Четыркина [6] и других авторов. Имеются работы, посвященные некоторым вопросам прогнозирования нестационарных случайных процессов (B.C. Пугачев [4], Р. Калман, Р. Бьюси [7] и др. [8]). В книге А.Т. Ивахненко и В.Т. Лапы [9] основное внимание уделяется использованию кибернетических систем распознавания образов для решения задач прогнозирования. Имеются работы, посвященные усовершенствованию существующих методов прогнозирования. Сюда прежде всего можно отнести монографию Р. Брауна [10], посвященную вопросам экспоненциального сглаживания, и последующие за ней работы по этому вопросу [11,12]. В последнее время вышло в свет большое количество работ, посвященных вопросам прогнозирования научно-технического прогресса (СМ. Ямпольский, Ф.М. Хилюк [13], В.А. Лисичкин [14, 15], М.Л. Башин [16], Э. Янч [17]и др. [18-26]). Однако они имеют скорее философскую, а не математическую направленность.
В ряде областей имеются отработанные частные методики прогнозирования. По оценкам [27] в настоящее время имеется порядка 20 апробированных методик. В большинстве своем они относятся к отдельным прогнозным задачам или основаны на частных подходах, например, используют определенную группу методов, количественную или качественную информацию, охватывают отдельные этапы процесса прогнозирования.
В целом большинство методик прогнозирования основано на применении математических методов, экспертных оценок и процедур принятия решений при сравнении прогнозных вариантов и рассчитаны на использование ЭВМ. Из сравнительно общих, надежно апробированных методик следует выделить: PATTERN (США) — помощь в планировании посредством количественной оценки техники [28, 29]; PROFILE (США) — программированные функциональные показатели для оценки лабораторий [30,31]; QUEST (США) — количественная оценка полезности для науки и техники [19, 32]; методика FORECAST (США) [33]; методика ЦПО (Франция) — центр перспектив и оценок [34]; методика Hindsight (США) [18, 31].
К методикам более частного характера относятся методики типа SRDR (выбор программ исследования и разработок) [32, 35], методика SEER (обзор и анализ событий) [36], методика SIA (оценка взаимовлияния и вероятности наступления событий) [35, 37, 38].
Из отечественных общих методик следует отметить методику программного прогнозирования развития науки и техники (Россия). Методика позволяет строить структуру прогноза и оценивать вероятности и время достижения целей. Также следует отметить методику параметрического прогнозирования [38]. Сравнительно недавно разработана методика прогнозирования предельных значений параметров [39].
Прогнозирование в технике чаще всего сводится к предсказанию значений случайных процессов — режимов работы технических устройств, либо воздействий на них со стороны среды.
В настоящее время существует огромное количество методов и способов прогнозирования [5,40,41], однако все они основаны на двух
крайних подходах: эвристическом и математическом. Эвристические методы основаны на использовании мнения специалистов в данной области знания и, как правило, используются для прогнозирования процессов, формализацию которых нельзя провести к моменту прогнозирования.
Математические методы прогнозирования в зависимости от вида математического описания объектов прогнозирования и способов определения неизвестных параметров модели часто в литературе разделяют на методы моделирования процессов движения (развития) и экстраполяции (статистические методы). К первой группе относятся методы, использующие в качестве модели прогнозируемого объекта его дифференциальные уравнения с заданными начальными условиями. Ко второй группе относятся методы, определяющие на основании статистических данных о прогнозируемом объекте (процессе) его детерминированную основу и вычисляющие ее значения для заданного момента времени.
Большой интерес представляет и большое значение имеет при прогнозировании случайных процессов определение их вероятностных характеристик. Задача определения вероятностных характеристик возникает в случаях преобразования одних случайных процессов в другие. При этом вероятностные характеристики (математические ожидания, дисперсии, корреляционные функции и спектральные плотности), преобразованных случайных процессов приходится определять по характеристикам преобразуемых случайных процессов. Особенно сложным решение этой задачи оказывается для переходного режима функционирования соответствующих преобразователей.
Что касается методов прогнозирования случайных процессов, то они все относятся к математическим методам и могут быть временными или невременными [5], но в большинстве случаев используются временные методы. Практически все математические методы прогнозирования можно классифицировать на методы прогнозирования случайных процессов с детерминированным математическим ожиданием или постоянным во-первых, и, во-вторых, содержащих чисто случайную составляющую. Последнюю группу методов можно разделить на
прогнозирование реализаций с заданными вероятностными характеристиками и с использованием законов распределения. Перечисленные методы могут быть использованы при прогнозировании случайных процессов в условиях недостаточной априорной информации. Все указанные согласно классификации методы рассматриваются в диссертационной работе. В известных методах предлагаются разработанные рациональные методики. К новым методам можно отнести методы прогнозирования по оптимальному полиному (новый вид полинома), по модифицированному фильтру Калмана, по нормированному одномерному закону распределения и применение всех методов в условиях недостаточной исходной информации.
Задача экстраполяции, реализующая случайные процессы за пределы временного интервала, их наблюдение и фиксацию встречается во всех областях знаний, науки, техники, народного хозяйства и т. д.
В их числе прогнозирование погодных условий (в области метеорологии [42-48]), прогнозирование речных стоков и уровней подводных вод (в области гидрологии [49-53]), прогнозирование реакций динамических систем с целью компенсации запаздывания (в области автоматического управления [54-64]), прогнозирование урожайности (в области сельского хозяйства [65-69]), прогнозирование спроса на медикаменты (в области здравоохранения [70]), прогнозирование состояния окружающей среды (в области экологии [71-74]), прогнозирование в экономике [75-79], прогнозирование развития науки и техники [80-83].
Актуальность. Прогнозирование случайных процессов может быть высоко эффективно использовано, во-первых, при создании информационно-измерительных систем (ИИС) и измерительно-вычислительных средств (ИВС), способных экстраполировать изменения условий функционирования соответствующих объектов и, обеспечивающих адаптацию к этим изменениям [84, 85], во-вторых, для качественного проектирования измерительных приборов при прогнозировании их метрологических свойств [86, 87].
Состояние проблемы. К настоящему времени в области определения вероятностных характеристик случайных процессов известны только методы прогнозирования математических ожиданий (в переходных и установившихся режимах). В области прогнозирования реализаций случайных процессов известны некоторые способы получения прогноза, требующие знания математических ожиданий и корреляционных функций, а также способы приближения функций, пригодные для определения периодических и непериодических математических ожиданий и их прогнозирования. Совершенно отсутствуют работы по прогнозированию реализаций случайных процессов в условиях неопределенности, при недостаточной информации, исходной для осуществления прогнозирования.
Цель работы. Критическое исследование известных статистических методов и на их базе разработка новых машинно-ориентированных методов прогнозирования случайных процессов с заданными корреляционными функциями, с использованием законов распределения, прогнозирование в условиях недостаточной исходной информации, а также метрологический анализ вероятностно-статистического прогнозирования.
Основные задачи диссертационной работы:
разработка методов определения корреляционных функций и дисперсий выходных случайных процессов дискретных систем в переходном режиме функционирования системы при воздействии входных систем случайных процессов;
разработка методики предварительного анализа случайных процессов на стационарность и экстраполяция прогнозирования полиномиальных и периодических математических ожиданий;
разработка методики прогнозирования центрированных реализаций систем случайных процессов по корреляционным уравнениям, по оптимальным и разностным уравнениям, по оптимальному полиному;
разработка новых методов экстраполяции реализаций систем случайных процессов;
экстраполяция случайных процессов методами теории нечетких множеств в условиях недостаточной исходной информации;
метрологический анализ методов вероятностно-статистического прогнозирования случайных процессов.
Методы и методика исследования. Включаемые в диссертацию результаты основаны на системном подходе, к рассматриваемой проблеме, и получены методами научной эвристики, путем аналитических выкладок, теоретических и машинных расчетов, цифрового моделирования с привлечением теории вероятностей и математической статистики, теории непрерывных и цифровых систем автоматического управления, теории идентификации, теории цифровой фильтрации, методов и средств измерительной и вычислительной техники, теории нечетких множеств.
Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что автором дано обобщение и получены новые теоретические и практические результаты в области прогнозирования случайных процессов, используя данные динамических и статистических измерений. Разработаны аналитический и машинный методы определения вероятностных характеристик случайных процессов на выходе линейных систем в переходном режиме.
Разработаны методики прогнозирования случайных процессов по корреляционным уравнениям, по оптимальному полиному и прогнозирование с использованием законов распределения крайних членов выборки. Предложен и разработан метод прогнозирования по одномерному закону распределения для оценивания достоверности прогноза. Предлагается разработанный модифицированный фильтр Калмана и его применение для прогнозирования систем случайных процессов. Разработан новый метод прогнозирования систем случайных процессов, основанный на теории нечетких множеств. Проведен метрологический анализ вероятностно-статистических методов прогнозирования.
Совокупность полученных результатов, представляющих научно обоснованные теоретические решения в задачах вероятностно-
статистического прогнозирования случайных процессов, вносит значительный вклад в развитие и ускорение научно-технического прогресса.
Научные результаты:
исходя из системного подхода, предложен и разработан метод аналитического определения вероятностных характеристик дискретных случайных процессов и их систем, основанный на двухстороннем z-преобразовании;
проведено теоретическое обобщение и разработаны новые методы цифрового моделирования случайных процессов и систем на основе моделей случайных величин;
на основе предварительного анализа усовершенствованы методы экстраполяции полиномиальных и периодических случайных процессов;
на основе обобщения методов, основанных на измерении корреляционной функции, предлагается метод прогнозирования реализаций случайных процессов по модифицированному фильтру Калмана;
на основе разработки фундаментальных вопросов теории нечетких множеств предлагается метод экстраполяции случайных процессов в условиях недостаточной априорной информации;
на основе метрологического анализа методов предлагается процедура определения полной группы составляющих погрешностей прогнозирования.
Практическая ценность результатов работы заключается в том, что:
результаты теоретических исследований могут быть положены в основу конкретных программных разработок;
предложенные методы прогноза позволяют осуществить создание, разработку, проектирование более совершенных ИВК и ИИС с адаптацией к изменяющимся условиям;
в целях повышения достоверности результатов моделирования поведения ИВК и ИИС, под действием случайных воздействий, предлагается разработанный метод цифрового моделирования,
основанный на аппроксимации случайных процессов системами случайных величин, обеспечивающий высокую точность машинных исследований;
результаты исследования в области теории нечетких множеств позволяют прогнозировать случайные процессы, когда реализация процесса зафиксирована в равноотстоящих точках, число которых менее пяти;
разработанный метрологический анализ методов позволяет повысить качество проектирования измерительных приборов;
разработанные методы прогнозирования случайных процессов нашли практическое применение в исследовательских и проектных работах различных предприятий страны.
Реализация результатов заключается во внедрении их при непосредственном участии автора:
при создании информационной структуры поддержки системы экологического мониторинга и решении проблем экологического прогнозирования в рамках программы «Экологическая безопасность России»;
при испытаниях тренажера самолета ТУ-204, при прогнозирования вертикальной перегрузки, действующей на конструкцию системы;
при создании блоков импульсной разгрузки турбин энергетических газотурбинных установок;
при создании аппаратно-программных средств для синтеза и применения измерительных информационных систем..
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на международных симпозиумах и конференциях:
Европейском конгрессе по моделированию (IMCO), г. Прага (ЧССР, 1987 г.);
III международном симпозиуме по системному анализу и моделированию, г. Берлин (ГДР, 1988 г.);
IX Международном координационном совещании «Автоматизация процессов управления техническими средствами исследования и использования Мирового океана», Санкт-Петербург (Россия, 1994 г.);
XVII — XXIII Международной конференции и школы молодых ученых и специалистов «САПР — новейшие информационные технологии в науке, образовании, медицине и бизнесе», г. Гурзуф (Крым. Украина, 1991-96 г.);
IV Международном форуме «Стратегия здоровья: информационные технологии и интеллектуальное обеспечение медицины — 97», г. Анталья. (Турция, 1997 г.);
Международной научно-технической конференции «Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность — 97», г. Санкт-Петербург (Россия);
а также на 28 всесоюзных, всероссийских и краевых конференциях, совещаниях и семинарах в университетах и институтах Кибернетики и электродинамики АН Украины, КНИГА, КПИ, ПГТУ, ВГТУ, ТГТУ, СПбГЭТУ и ряде других научных и учебных заведений.
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях: 2 монографиях; 10 депонированных монографиях общим объемом 418 с, 5 статьях в центральных журналах, 42 статьях в межвузовских сборниках, материалах и тезисах докладов международных, всероссийских, республиканских и краевых конференциях, симпозиумов, совещаний и семинаров.
Личный вклад автора. Во всех работах, опубликованных в соавторстве, автором дана постановка задачи, предложены основные идеи методов, получены аналитические выкладки и теоретические результаты.
Соавторство, в основном, относится к конкретизации и детализации теоретических результатов и идей для частных случаев.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка использованных источников (259 наименований) и
приложения, содержит 224 страницы основного машинописного текста, 19 рисунков, 27 таблиц, 4 страницы приложения.
На защиту выносятся:
1. Методы определения корреляционных функций и дисперсий
выходных случайных процессов линейных непрерывных и дискретных систем
в переходном режиме функционирования при воздействии входных
стационарных случайных процессов.
аналитические методы определения непрерывных и дискретных отдельных случайных процессов и систем случайных процессов, основных на двухмерных преобразовании Лапласа и z-преобразовании.
методы цифрового моделирования преобразований отдельных случайных процессов и систем случайных процессов, основанные на аппроксимации случайных процессов и систем случайных процессов системами случайных величин.
2. Инженерные методики
предварительного анализа случайных процессов на стационарность и эргодичность;
экстраполяция полиномиальных и периодических математических ожиданий;
3. Инженерные методики прогнозирования реализаций случайных
процессов
по корреляционным уравнениям;
по оптимальным дифференциальным и разностным уравнениям (в форме соответствующих передаточных функций);
по оптимальному полиному.
Метод прогнозирования случайных процессов по одномерному закону распределения.
Модифицированный фильтр Калмана (не требующий для конструирования знания корреляционной функции фильтрующего сигнала) и его применение для прогнозирования случайных процессов.
Прогнозирование случайных процессов методами теории нечетких множеств в условиях недостаточной исходной информации:
а) Оригинальный простой метод определения функций
принадлежности нечетких множеств, основанный на малой выборке;
б) Оригинальный простой метод идентификации нечетких систем
по одной паре нечетких множеств на входе и на выходе;
в) Обоснование методов обработки нечеткой числовой
информации;
г) Методы получения доверительных интервалов и доверительных
вероятностей для оценивания точности и надежности результатов,
полученных на основании теории нечетких множеств;
д) Применение теории нечетких множеств в прогнозирование
реализаций систем случайных процессов.
7. Процедура получения полной группы составляющих погрешности прогнозирования случайных процессов.
В результате проведенного исследования были разработаны новые теоретические положения и решена научно-техническая проблема вероятностно-статистического прогнозирования случайных процессов, использующая результаты динамических и статистических измерений, имеющая большое народнохозяйственное значение. Работа выполнена в рамках программы «Российский фонд фундаментальных исследований». Существенным фактором, обеспечивающим завершение работы, явилось постоянное внимание к ней и советы профессоров А.Н. Лебедева, Д.Д. Недосекина, Е.А. Чернявского.
Аналитическое определение вероятностных характеристик непрерывных случайных процессов
Методы статистического прогнозирования дают возможность оценить будущие значения процесса по результатам наблюдений прошлых и текущих значений, используя знание его вероятностных характеристик.
Техника прогнозирования во многом определяется способом наблюдения над процессом. Тут можно выделить два случая: во-первых, когда под наблюдением понимают измерения мгновенных значений процесса. При этом числа — результаты измерений служат исходными данными для вычисления по определенному правилу предсказанного значения.
Возможно также, что случайный процесс, реализованный как сигнал, поступает на вход некоторой динамической системы и преобразуется ею. При этом вероятностные характеристики преобразованных случайных процессов оцениваются по характеристикам преобразуемых и на их основании строятся прогнозирующие алгоритмы.
В работе в качестве основной вероятностной характеристики, участвующей в прогнозе, рассматривается корреляционная функция. Это происходит потому, что располагая прошлыми и текущими значениями процесса (называемыми также его предысторией) необходимо иметь характеристику процесса, которая показывает статистическую связь между его значениями, разделенными временным промежутком. Такой характеристикой и является корреляционная функция.
В современной отечественной [4,88-98] и зарубежной [99-103] литературе обычно ограничиваются рассмотрением установившегося режима работы системы и определением корреляционных функций выходных случайных процессов по корреляционным функциям входных случайных процессов. В связи с этим рассматриваются четыре задачи, решаемые при задании корреляционных функций входных случайных процессов: Задача J - определение корреляционных функций выходных случайных процессов в переходном режиме работы системы; Задача 2 - определение дисперсий выходных случайных процессов в переходном режиме работы системы; Задача 3 - определение корреляционных функций выходных случайных процессов в установившемся режиме работы системы; Задача 4 - определение дисперсий выходных случайных процессов в установившемся режиме работы системы. Решение задачи 1 просто преобразуется в решение задач 2 и 3. Решение задач 2 и 3 просто преобразуется в решение задачи 4.
Большой практический интерес составляет непосредственное решение задачи 4, минуя решение задач 2 и 3.
Если на вход линейной непрерывной системы поступает случайное непрерывное воздействие X{t), то реакция системы на ее выходе является случайной функцией [4] Y(t) = L{x(t)} , где L — оператор линейного преобразования X{t) в Y(t). Реализация функции Y{t) является результатом L-преобразования реализации функции х(,) y(t) = L{x(t)}. При этом математическое ожидание Y(t) равно My{t)=M[L{x{t)}] = L{Mx(t)}, а корреляционная функция Ry(tltt2)= M[Lh {x(tx)}Lh {X{t2)}\ = L,Lh {M[x(tx)X(t2)]} = = LtLh{Rx{tx,t2)} Для получения Ry(tx,t2) в переходном режиме работы системы (Задача 1) необходимо: 1) подвергнуть Rx(ti,t2) двукратному -преобразованию и получить двухмерное ее изображение со Rx(Pl,p2)=lRx(Pl,t2)e-p dt2, о 2) получить двухмерное /7-изображение корреляционной функции Ry(Px, p2) = W(Px)w(p2)-Rx(Px, р2), 3) двукратным обратным преобразованием Ry(px, р2) получить соответствующий оригинал где = — символ соответствия.
На практике обычно приходится иметь дело со случайными функциями, которые можно считать стационарными по корреляционной функции и которую можно аппроксимировать выражениями вида R(\T\) = R(\t2 - tx\\. Выведем общую формулу для двухмерного / -изображения корреляционной функции R(px, р2) вида R(jlt2 x\j. Для этого рассмотрим функцию
Прогнозирование периодического математического ожидания
Экспериментальному исследованию подвергается случайный о процесс X(t) = f(t) + X{t), причем f{t) — это периодическое о математическое ожидание, a X(i) — центрированная чисто случайная составляющая. о В результате эксперимента реализация x[t) = f(t) + x[t) зафиксирована в N+1 равноотстоящих точках с координатами (2.1). U, f(, t2, ..., tK, ..., tN XQ , X, Xj, ..., XK, ..., Xpj -91 Причем 1к-кк, где h — шаг дискретизации времени t и /с = 0,1,2,..., N. Требуется определить и выделить периодическое математическое ожидание /(/) с неизвестным периодом Tf и формой.
Если от непрерывной переменной t перейти к дискретной целочисленной к, то вместо (2.1) имеем (2.2) и решетчатые функции ХИ = /И+ Н %] = /H + H вместо X(t) = f(t) + X(t), x(t) = f(t)+x(t). Неизвестный период непрерывного математического ожидания /(/), выраженный не в единицах времени, а в шагах, т. е. период решетчатого математического ожидания /[ "] равен Kf = Tflh. Значение Kf может быть получено методом проб и ошибок [149, 157-162]. В рационализированном виде этот метод сводится к следующему [163]. Для каждого пробного периода К вычисляется величина и = л v2 + w2 к2 (2.75) причем v= s5 [ №] W-- N к=0 (2.76) и Я 0 — любое положительное число. При этом и[к] = sign sin2л" к \ u)[/f] = sign\ cos2л к (2.77) Конкретное значение Я выбирается по соображениям удобства расчетов. -92 Графики решетчатых функций и [/г], со [к] при К = 8 приведены на рис. 2.5.
При K=Kf функция (2.75) имеет резко выраженный максимум, обнаружение которого и позволяет установить значение Kf. Максимум, выраженный не резко позволяет высказать гипотезу о полиномиальном характере функции /(/) и прибегнуть к чебышевской аппроксимации функции f(t). Для выбора первоначально приближенного пробного значения К предлагается простейший грубый прием [163]. о В вырожденном случае чисто случайная составляющая X{t) процесса X(t) отсутствует, а детерминированная является синусоидой .ft Л (или косинусоидой) f(t)=As m 2я— + ср \-y{t). Если при этом рассматривать зависимость модуля л(/) функции л(г) от t, то она имеет равноотстоящие на полупериод 7/2 = в максимумы л(ґ) = А и о о минимумы \x(t)\ = 0. При наличии составляющей X{t) и x(t) Ф 0 у зависимости модуля Ы{)\ = f(t) + 4?) от / максимумы и минимумы будут «размыты». Отстояние в ближайших максимумов и минимумов л( ) и х(/) друг от друга будет случайной величиной. Ее удвоенное среднее значение можно принять за приближенное выражение начального пробного периода.
1) Разработаны принципы выполнения статистического анализа результатов экспериментального исследования случайного процесса, когда он задан в виде табулированной решетчатой реализации, который позволяет определить модель прогнозируемого процесса. Рекомендуется выполнять статистический анализ в два этапа. На первом этапе выполняется предварительный анализ с целью обнаружения наличия постоянной составляющей, детерминированной функции с нулевым средним значением и ее формы, а также стационарности или нестационарности центрированной случайной функции по графику экспериментальных результатов. Во втором, завершающем этапе выполняется подтверждающий анализ, заключающийся в получении численных значений вышеперечисленных составляющих, а также вероятностных характеристик случайной составляющей.
2) Разработана методика определения и экстраполяции тренда, основанная на применении усовершенствованной чебышевской аппроксимации, которая отличается простотой изложения и позволяет расширить практическое использование данного способа с применением ЦВМ.
3) Предлагается методика определения периодической детерминированной составляющей случайного процесса для дальнейшего прогнозирования. При представлении детерминированной основы в виде тригонометрической суммы усовершенствована таблица разностей и сумм по определению коэффициентов а( и Ь{, что позволяет упростить процедуру получения тригонометрической функции.
4) Обобщенная методика определения детерминированной основы случайного процесса излагается на примере 2.3. Предлагаемая методика дает возможность сделать правильный выбор модели прогнозируемого процесса.
Прогнозирование реализаций случайных процессов по оптимальной передаточной функции
Прогноз значения .x(/2) реализации Z(/) системы ( (/) Y[t)) возможен по значению л(/,) на основании Rx(tl,/2) и по y(t2) на основании i x(/,/2). Аналогично прогноз y{t2) реализации Y(t) возможен по (/,) на основании Ry(ti,t2) и по л(/,) на основании ,(/,, /2). Из двух возможных значений следует выбрать более точное.
Изложенное для системы двух случайных функций легко распространяется на более сложные системы случайных функций. Например, для характеристики системы трех случайных функций (X{(t) X2{t) X {tfj задаются математические ожидания М,(/), М2(/), М3(/) и корреляционная матрица Hh,t2)\ ,(/,,t2) #,2(/,,/3) Діз(?і 0 # ,(/,,/2) i?22(/,,/2) Ra(ti,t2) / ,(/,,/2) #23 1 о я3з( 1 Прогноз значения л:,(/2) возможен по х,(/,),по л /,) и по (/,).
Каждой непрерывной случайной функции X(t) характеризуемой математическим ожиданием и корреляционными функциями непрерывных аргументов /, /,, /2 можно поставить в соответствие решетчатую случайную функцию Х\к\, характеризуемую математическим ожиданием и корреляционными функциями, представляющими решетчатые функции целочисленных аргументов к = //А /, кх = /, /А /, K2=t2/At, где шаг дискретизации времени /. Наоборот каждой решетчатой функции Х[к] соответствует непрерывная Х{{) = Х\к = //А/1. Символически это можно записать в виде соответствия - 115 m Х[К] 40 х[к] м (і) = Мх[к] Д (М2) RX[K{,K2] гА1\ 1г) гх[кх,к2] При переходе от непрерывных функций к решетчатым («слева направо») надо положить t = Atc, при обратном переходе («справа налево») надо принять к = t/A t. Сечения X{t ) = Х[к{] при условии tiJKi = At представляют одну и ту же случайную величину Xi = X{t ) = Х\к , причем реализация xt = л(г,.) является одновременно и реализацией xt = X[KV].
Сечения X(tx), X(t2) и Х[кх], Х[к2] при tx /кх = t2 /к 2 = A t представляют одну и ту же систему двух случайных величин (А", Х2) с одинаковыми корреляционными моментами и коэффициентами корреляции Rx(t[,t2) = Rx[ic{,K2], А Х(/,,/2) = тЦк-,,/ ]. В случаях стационарности X{t) и Х[к] при условии что (ц-12)1(кх-к2)=т1к = Ат имеют место равенства ЛДг) = R\k\, гх(т) = rx[k]. Благодаря этому все формулы и положения, выражающие корреляционную теорию непрерывных случайных функций весьма просто преобразуются в соответствующие формулы и положения, выражающие корреляционную теорию решетчатых случайных функций. Так, например формула (3.5), выражающая ожидаемое в будущем значение хт = x(tQ + т) непрерывной реализации по ее предшествующему значению XQ = x[t0) и значению коэффициента корреляции гх(т) преобразуется в формулу = + 1( - ). -116 выражающую ожидаемое в будущем значение хк = x[/cQ + &] решетчатой реализации х[к] по предшествующему значению х$ = х[к0] и значению корреляционной функции гх[к]. Пример 3.2 В условиях примера 3.1 для Х\к\ X(f) при шаге дискретизации по времени 2 с имеем Мх[к] = 0,98 , ах[к] = 0,323, гх[к] = 0,6Л. Если требуется определить ожидаемое значение xk = х[к0 + к] по Т" XQ = х\к0] = 1,0 при к = — = 2/2 = 1, то согласно (3.14) L J AT хк = 0,98 + 0,6(1 - 0,98) = 0,992.
В примере 3.1 тот же результат получен для непрерывной реализации x(t) при т = 2, х0 = 1,0 (см. первую строку табл. 3.1). 3.2 Прогнозирование реализаций случайных процессов по оптимальной передаточной функции Непрерывная линейная прогнозирующая система с идеальной передаточной функцией W p) преобразует x(t) в x{t + r). Так как в случае преобразования Лапласа [171, 172] L{x(t + T)} = eprL{x(t)} то уЫ-Ф( +г)}.с,г_ 1 - 1 (315) L\x\t)\ е 1_1 + (щ__Сщ_ + 1! 2! 3! Характеристическое уравнение идеальной системы согласно (3.15) имеет вид -117 1 р + — р р +... = 0. 1! 2! 3! Наличие отрицательных коэффициентов означает, что передаточная функция (3.15) соответствует неустойчивой системе, физически нереализуемой! Физически осуществима система с оптимальной передаточной функцией ЩР)- У (3..6) реакция которой на входной сигнал x(t) приблизительно равна x{t + т), так что у(р) = y(t) = x(t + г). Если входным сигналом системы с передаточной функцией (3.16) является стационарная случайная функция X(t), то реакцией в установившемся режиме работы является стационарная случайная функция Y(t), приблизительно равная упреждению X(t + т), так что Y{i)= X(t+r) X(t + r), y(t) = x(t + т) Ж x(t + T) . При этом оптимальность передаточной функции (3.16) понимается в том смысле, что дисперсия погрешности A(t)=Y(t)-X(t + T) D,= M[tf(tj\= М{{Щ- X(t + z)} (3.17) оказывается наименьшей возможной. При определении такой оптимальной передаточной функции (3.16) будем исходить не из спектральной плотности Sx(co) функции X(t), как это обычно делается [42, 172, 173], а из двустороннего изображения по Лапласу (/7-изображения) корреляционной функции [90]
Прогнозирование с помощью нормализованного одномерного закона распределения
Фильтры Калмана [184-190] предназначаются для оптимальной фильтрации случайных сигналов, искаженных случайными помехами. Они могут быть использованы и для прогнозирования реализаций случайных процессов.
Алгоритмы Калмановской фильтрации строятся на основе пространства состояний и представления полезных сигналов как выходных сигналов формирователя, возбужденного независимыми белыми шумами. Формирователь является при этом линейной системой (непрерывной или дискретной) с т входами и п выходами, описываемой я уравнениями состояний (обыкновенными дифференциальными или разностными) первого порядка [186]. Это обуславливает большую сложность алгоритмов и затрудняет практическое применение фильтров Калмана [185].
Если в системе п уравнений состояний исключить п - 1 переменных, получить единственное обыкновенное дифференциальное или разностное уравнение, описывающее единственный полезный сигнал, непрерывный X(t) или дискретный Х\к\, то «-мерный случай сводится к одномерному и задача фильтрации упрощается. В таком одномерном случае и в дискретном варианте формирователь решетчатого полезного случайного сигнала Х\к\ представляет дискретную систему с одним входом U[k] = Uk и одним выходом Х[к] = %к описываемую дискретной передаточной функцией
Здесь x(z) и u(z) — это z-изображения решетчатых реализаций х[к] = хк и и[к] = ик случайных функций Х\к\ и U[k].
Пусть (рис. 3.1 а) при измерении полезного сигнала Х[к] на выходе некоторого дискретного устройства (ДУ) этот сигнал смешивается с шумом V[k] дискретного измерителя (ДИ). В результате на выходе последнего фактически функционирует не Х[к], а сумма Y[fc]= [fc] + K[fc]. (3.89) Дискретный фильтр Калмана (ДФК), подключаемый к выходу ДИ, предназначается для выделения Х\к\ из суммы (3.89). Фильтр является дискретной системой с передаточной функцией A(Z) = 7ZX (3-9) преобразующей сигнал (3.89) в случайную решетчатую функцию Х[к], как оценку Х\к\. Реализация х [к]«х[к] функции Х[к] должна быть наилучшей оценкой реализации х[к] функции Х[к]« Х[к]. При этом дисперсия D, = M {Х[к]-Х[к]\ случайной погрешности Ек = Х[к] - Х[к] приближенного равенства Хк = Х[к]« Х[к] = Хк должна быть наименьшей. Случайные функции Х\к\ и V[k] будем считать центрированными, независимыми и стационарными по корреляционным функциям R k] и 1 [к\.
Случайную функцию Х[к] всегда можно рассматривать [90] как реакцию в установившемся режиме работы соответствующей дискретной системы на дискретный белый шум U[к] с корреляционной функцией Таким образом, Dnun = D3 = 1,5. Такой же результат получен в [190] на основании другого алгоритма. Соответствующие значения В и А равны В=ВЪ= 0,75, А = ±(В-1)0,8 = ±0,2 . Согласно (3.102) о = Уо =0,2 +0,75 ,, =0,2х,+у2, ..., причем xA. - хк\ 3,6. Синтез алгоритма фильтра Калмана становится тем сложнее, чем сложнее выражение корреляционной функции Я,[А:]. Небольшое усложнение КЩ Д Rx[k]= ха cosbk значительно усложняет выражение погрешности Ек = Хк- Хк до
Ек = АЕк-\А+(вк-\)т]хк.х +( -iX72 -2 + + -i) +ДЛ В результате весьма усложняется анализ условий, минимизирующих дисперсию Dk погрешности Ек.
Во избежание этих сложностей, для фильтрации полезного сигнала предлагается использовать модифицированный универсальный фильтр Калмана [191], универсальный в том смысле, что его параметры не зависят от вида корреляционной функции Rx[k] этого сигнала. Последнее означает отсутствие необходимости в знании этой функции при конструировании фильтра.
