Содержание к диссертации
Введение
1 Аналоговые и цифровые способы измерния частоты 11
1.1 Аналоговые способы измерения частоты 11
1.2 Цифровые способы измерения частоты 14
1.2.1 Измерение частоты за целое число периодов образцовой частоты 15
1.2.2 Измерение частоты за целое число периодов измеряемой частоты 18
1.3 Методы уменьшения погрешности дискретизации при измерении частоты цифровыми способами 22
1.3.1 Определение частоты на основе мгновенных значений сигнала 22
1.3.2 Уточнение с помощью текущего усреднения результата измерения 23
1.3.3 Умножители частоты 23
1.3.4 Метод синхронизации начала измерительного и образцового интервала 24
1.3.5 Растягивание остаточного интервала времени 24
1.3.6 Метод поразрядной оценки 26
1.3.7 Нониусный метод 27
1.3.8 Метод задержанных совпадений 31
1.3.9 Метод измерения частоты с помощью цепных дробей 35
1.3.10 Метод совпадения 37
1.4 Выводы 42
2 Статистическое моделирование измерния частоты методом совпадения 44
2.1 Описание математической модели измерения частоты методом совпадения 44
2.2 Описание статистического моделирования измерения частоты методом совпадения 47
2.2.1 Влияние объема выборки на результаты моделирования 50
2.2.2 Влияние разрядности случайных чисел на результаты моделирования 51
2.3 Оценка времени измерения частоты методом совпадения на основе результатов статистического моделирования 52
2.3.1 Влияние точности формирования скважности импульсов на погрешность и время измерения частоты 57
2.4 Сравнение по быстродействию методов прямого счета с методом совпадения на основе результатов статистического моделирования 61
2.4.1 Влияние отношения измеряемой и образцовой частот на быстродействие измерения частоты 72
2.4.2 Влияние частоты образцового генератора на время измерения частоты методом совпадения 74
2.5 Выводы 77
3 Вероятностная модель измерения частоты методом совпадения 80
3.1 Описание вероятностной модели измерения частоты методом совпадения 80
3.2 Вероятностная оценка времени измерения частоты методом совпадения 83
3.3 Сравнение по быстродействию методов прямого счета с методом совпадения на основе вероятностных оценок 86
3.3.1 Аналитическое выражение значения оптимальной скважности 94
3.4 Сравнение результатов статистического моделирования и вероятностной оценки 100
3.5 Выводы 102
4 Макетирование частотомеров 105
4.1 Частотомер с автоматическим выбором режима прямого счета 105
4.2 Частотомер, реализующий измерение частоты методом совпадения 112
4.3 Частотомер, осуществляющий измерение частоты методом совпадения и методами прямого счета 116
4.4 Выводы 119
Заключение 121
Список литературы
- Методы уменьшения погрешности дискретизации при измерении частоты цифровыми способами
- Влияние объема выборки на результаты моделирования
- Сравнение по быстродействию методов прямого счета с методом совпадения на основе вероятностных оценок
- Частотомер, осуществляющий измерение частоты методом совпадения и методами прямого счета
Методы уменьшения погрешности дискретизации при измерении частоты цифровыми способами
Электромеханические частотомеры используют измерительный механизм электромагнитной, электродинамической и ферродинамической систем. Для таких приборов характерно, стрелочная индикация с линейной шкалой, размеченной в Гц [32, с. 345]. Чаще всего такие частотомеры имеют диапазон измеряемых частот 20-2500 Гц, также возможно переключение диапазонов измерения, при этом потребляют значительную мощность и подвержены вибрациям [11, с. 144]. В приборах такого типа существенную долю погрешности имеет составляющая, связанная с не точностью изготовления механических частей частотомера и температурной нестабильностью материалов [53].
Резонансные методы измерения частоты основаны на явление механического или электрического резонанса. Одними из распространенных реализаций данного метода являются язычковый (механический) и конденсаторный частотомер. Механический частотомер представляет собой несколько металлических полосок с общим основанием, которое колеблется с измеряемой частотой посредством электромагнита. При этом резонансные частоты металлических полосок различны. Наибольшая амплитуда отклонения будет у того язычка, резонансная частота, которого наиболее близка к измеряемой частоте. Погрешность таких частотомеров составляет порядка 0,2-2,5% [103, с. 137, 104, с. 326]. Конденсаторный частотомер - напряжение с измеряемой частотой подается через катушку связи в колебательный контур, который состоит из прецизионной катушки и настраиваемого конденсатора, а также индикатора резонанса. Изменяют параметры колебательного контура с помощью переменного конденсатора до наступления резонанса, который определяют по максимальному отклонению индикатора. Также для расширения диапазона измеряемых частот меняют катушку в колебательном контуре. Значение измеряемой частоты считывают непосредственно со шкалы нанесенной на настраиваемый конденсатор [39, с. 180, 59, с. 276].
Частотомеры, использующие метод заряда и разряда конденсатора, состоят из конденсатора, источника напряжения, нескольких нагрузочных резисторов, индикатора (миллиамперметра), ключа, который переключает конденсатор с частотой измеряемого сигнала к источнику напряжения и индикатору. Если постоянные времени цепи заряда и разряда меньше половины периоды измеряемого сигнала, то среднее значение тока разряда конденсатора, протекающего через индикатор, прямо пропорционально частоте измеряемого сигнала. Другими словами необходимо, чтобы конденсатор в течение времени заряда успевал зарядиться до определенного постоянного значения напряжения, а в течение времени разряда успевал разрядиться практически до нуля [11, с. 145, 31, с. 374, 60, с. 209].
При использовании способа определения частоты неизвестного сигнала при помощи фигур Лиссажу, должна быть возможность «плавно» менять частоту эталонного генератора. Способ заключается в том, что при изменении частоты неизвестного сигнала частоту эталонного генератора изменяют до тех пор, пока на экране не возникнет одна из не изменяющихся фигур Лиссажу, желательно наиболее простой формы. В этом случае частоты эталонного и неизвестного генератора будут кратными [11, с. 149, 32, с. 344, 29, с. 317]. Как разновидность данного метода существует нулевой метод [63, с. 150]. Если частоты равны, то на экране осциллографа появится эллипс, однако наибольшая точность достигается в случае, если амплитуды напряжения образцового и измеряемого генераторов равны и находятся в фазе или противофазе. Тогда на экране осциллографа появиться прямая линия, наклоненная к оси под углом 45 или 135, соответственно.
Определение интервалов времени с использованием калиброванной развертки осциллографа. На экране осциллографа получают форму сигнала, определяют интервал времени (период, длительность импульса) в долях калиброванной сетки, затем вычисляют в соответствии с частотой эталонного генератора. Недостатком данного метода является не высокая точность измерения частоты [17, с. 141, 59, с. 275].
Метод круговой развертки, возможно, использовать при условии, что измеряемая частота Fx больше образцовой F0 . Для измерения методом круговой развертки необходимо к входам Х и У осциллографа подключить гармонический сигнал образцовой частоты F0 сдвинутых по фазе друг относительно друга на 90.
На вход Z модуляции яркости осциллографа подается гармонический сигнал с неизвестной частотой Fx . Необходимо регулировать образцовую частоту F0 до тех пор, пока на экране не возникнет неподвижная картина ярких дуг. Измерение осциллографическими методами дает довольно грубую оценку значение измеряемой частоты (относительная погрешность измерений порядка 10-1...10-2) [11, с. 150].
Для сличения двух частот применяются компараторы частоты [10, с. 149, 22, с. 221]. Существует несколько общеизвестных схем построения компараторов. Например, на входе устройства устанавливают умножитель частоты (обычно с умножением на 10 в целой степени), затем фазовый детектор и смеситель, после которого устанавливают смеситель и индикатор. В случае если неизвестная частота намного отличается от образцовой частоты, то используют измерительные генераторы частоты. Изменяют частоту генератора до тех пор, пока не возникнут биения, которые определяют с помощью индикатора [17, с. 78].
Также известен способ измерения частоты с помощью мостов переменного тока. Наибольшее распространение получили четырехплечие мосты, однако в некоторых случаях также используются трех- и шестиплечие мосты. В плечи четырехплечевого моста включают: в первое плечо – сопротивление, второе – сопротивление, третье – конденсатор параллельно с сопротивлением и четвертое – конденсатор последовательно с сопротивлением. Сопротивления, включенные в плечи с конденсаторами, изготавливают в одном корпусе регулируемыми, так что они равны между собой. Соответственно шкалу регулируемых сопротивлений градуируют в Герцах. Также выбирают равные емкости конденсаторов. Между точками соединения первого-второго и третьего-четвертого плечей подают напряжение с неизвестной частотой, а между точками соединения первого-четвертого и второго-третьего плечей включают индикатор. Затем регулируемым сопротивлением устанавливают индикатор в нулевое значение и считывают значение неизвестной частоты со шкалы регулируемого сопротивления [57, с. 159, 104, с. 284]. В качестве индикаторов в зависимости от измеряемых частот используют гальванометры, наушники, измерительные усилители, лампы и др. [97, с. 247].
Влияние объема выборки на результаты моделирования
Статистическое моделирование применяется для исследования процессов, на которые влияют несколько случайных факторов [18].
В данной главе рассмотрена модель статистических испытаний измерения частоты методом совпадения на основе, которой, путем моделирования, выполнено исследование возможности использования метода совпадения в широком диапазоне частот, определение влияния конструктивных параметров (скважность импульсов, уровень заданной относительной максимальной методической погрешности дискретизации) на время измерения частоты методом совпадения и сравнение его с измерением частоты методами прямого счета по быстродействию.
Суть измерения частоты методом совпадения состоит в том, что формируют импульсы измеряемой и образцовой частоты с заданной длительностью, подсчитывают периоды измеряемой и образцовой частоты за интервал времени между моментами совпадения импульсов измеряемой и образцовой частот [51].
Для более детального рассмотрения механизма образования методической погрешности дискретизации на рисунке 2.1 приведены временные диаграммы, характеризующие измерение частоты методом совпадения. На оси времени 1 располагаются импульсы с нулевой длительностью, которые формируются с периодом измеряемой частоты. На оси времени 2 располагаются импульсы с заданной длительностью, которые формируются с периодом образцовой частоты. Строго говоря, в действительности невозможно сформировать импульсы нулевой длительности. Данное допущение используется только для простоты понимания, на самом деле суммарная длительность импульсов образцовой и измеряемой частоты задается равной т0.
На рисунке 2.1 показаны абсолютные погрешности дискретизации t1c и t2c, которые возникают при измерении частоты методом совпадения вследствие того, что начало и конец интервала времени, который формируется из целого числа периодов Тх, совпадает с начальным и конечным импульсом интервала tc, при этом импульсы образцовой частоты имеют заданную длительность (т0). Максимальное абсолютное значение погрешности дискретизации по модулю не превышает длительности образцовых импульсов [25]
Теоретическое время измерения достижимо только при следующих условиях: первое - измерение частоты началось с совпадения импульсов образцовой и измеряемой частот, второе - при достижении необходимого количества импульсов произошло очередное совпадение. Это возможно, если производиться серия непрерывных измерений частоты, тогда совпадение импульсов, на котором закончилось первое измерение, может служить для начала следующего цикла измерения.
Для сравнения метода совпадения и метода прямого счета используется понятие выигрыш [46]. В случае, когда измеряемые частоты меньше частоты образцового генератора выигрыш по быстродействию (WtT) определяется как отношение времени измерения частоты по методу прямого счета за целое число периодов измеряемой частоты к времени измерения частоты по методу совпадения при одинаковом заданном уроне ММП. Теоретический выигрыш по быстродействию, учитывая (1.12) и (2.6), принимает вид
Аналогично в случае, когда измеряемые частоты выше частоты образцового генератора. Выигрыш по быстродействию (WtF) определяется как отношение времени измерения частоты по методу прямого счета за целое число периодов образцовой частоты к времени измерения частоты по методу совпадения при одинаковом заданном уроне ММП. Теоретический выигрыш
При статистическом моделировании рассматривались частоты, нормированные путем деления на образцовую частоту F0. Это позволяет переносить результаты моделирования на реальную частоту, путем умножением нормированных частот на значение F0. В модели принимается, что импульсы измеряемой частоты имеют нулевую скважность, а импульсы образцовой частоты имеют скважность ц. Случайная величина - величина, которая может принимать то или иное значение, причем заранее неизвестно какое именно [16]. Осуществлена серия выборок случайных чисел с равномерным распределением по интервалам группировки, которые формируются по логарифмической шкале (10-7-10-6, 10-6-10-5,…, 10-1-100, 100-101, Под случайными числами понимается значения измеряемых частот, которые являются непрерывными случайными величинами. Параметры выборок случайных чисел используемых при статистическом моделировании приведены в таблице 2.1.
Вычисления проходили при двух различных подходах, а именно, первый – измерение начинается с нулевой начальной фазой между импульсами образцовой и измеряемой частот и второй – измерение начинается со случайной фазой между импульсами образцовой и измеряемой частот. Во втором случае выполнялось 30 измерений со случайными фазами, распределенными равномерно, затем было выполнено усреднение полученных результатов. Под начальной фазой в данном случае понимается интервал времени от переднего фронта первого импульса образцовой частоты до переднего фронта первого импульса измеряемой частоты.
Измерение частоты моделируется следующим образом. Задается пара конструктивных параметров (скважность, ММП) и значение измеряемой нормированной частоты. Подсчитывается число периодов образцовой и измеряемой частоты от момента первого совпадения до каждого последующего момента совпадения импульсов образцовой и измеряемой частот. В моменты совпадения вычисляется ММП в соответствие с (2.4), если вычисленное значение ММП меньше заданного уровня ММП, то измерение заканчивается и вычисляется время измерения частоты, иначе подсчет импульсов продолжается до очередного совпадения. Далее таким же образом, производятся измерения на всей выборке частот. Затем один из конструктивных параметров изменяется, производится следующая серия измерения частоты методом совпадения на всей выборке частот. Таким образом, перебираются все заданные комбинации конструктивных параметров.
Сравнение по быстродействию методов прямого счета с методом совпадения на основе вероятностных оценок
Проведен сравнительный анализ времени измерения частоты методом совпадения и методами прямого счета. Для измерения частоты методами прямого счета и методом совпадения нормированная образцовая частота равна единице. Результаты моделирования разделены на четыре случая. Первый – частота образцового генератора больше частот измеряемых сигналов и измерение начинается с нулевой начальной фазой между импульсами образцовой и измеряемой частот; второй – частота образцового генератора больше частот измеряемых сигналов и измерение начинается со случайной фазой между импульсами образцовой и измеряемой частот; третий – частота образцового генератора меньше частот измеряемых сигналов и измерение начинается с нулевой начальной фазой между импульсами образцовой и измеряемой частот; четвертый – частота образцового генератора меньше частот измеряемых сигналов и измерение начинается со случайной фазой между импульсами образцовой и измеряемой частот.
Рассмотрим первый случай, частота образцового генератора больше частот измеряемых сигналов и измерение начинается с нулевой начальной фазой между импульсами образцовой и измеряемой частот. Время измерения частоты методом прямого счета за целое число измеряемых периодов вычисляется в соответствие с (1.14) для каждого заданного уровня ММП, т.к. время зависит только от заданного уровня ММП и длительности периодов образцовой частоты. Время измерения частоты методом совпадения принимается исходя из результатов статистического моделирования для каждой измеряемой частоты. Затем вычисляется выигрыш по быстродействию метода совпадения по сравнению с методом прямого счета за целое число измеряемых периодов в соответствии со следующим выражением кТ WmT=—, (29) mc где WmT - выигрыш по быстродействию метода совпадения по сравнению с методом прямого счета за целое число измеряемых периодов, полученный по результатам моделирования, tmc - время измерения частоты методом совпадения полученное при моделировании. Это время будет больше чем вычисленное по (2.5), вследствие того, что после достижения необходимого количества образцовых периодов для завершения измерения частоты необходимо, чтобы произошло очередное совпадение импульсов образцовой и измеряемой частоты, при котором вычисленное значение ММП будет меньше заданного уровня ММП.
Результаты моделирования представлены на рисунке 2.10 и в приложении А в виде поверхностей при нулевой начальной фазе и измеряемых частотах меньше чем образцовая частота. Для построения поверхностей было выполнено усреднение результатов моделирования, т.к. выше было показано, что время измерения сильно зависит от конкретных отношений измеряемой и образцовой частоты. Часть поверхности, покрытая серым цветом, показывает сочетания параметров, при которых измерение частоты по методу совпадения будет происходить дольше, чем по методу прямого счета, в этом случае выигрыш по быстродействию будет меньше единицы.
Из результатов моделирования представленных на рисунке 2.10 и в приложении А следует, что измерение частоты методом совпадения имеет преимущество по сравнению с методом прямого счета, за целое число периодов измеряемой частоты, в широком диапазоне частот [48]. Например, при заданном уровне относительной максимальной методической погрешности дискретизации 0,01% выигрыш по быстродействию, превышающий единицу, находиться в диапазоне нормированных измеряемых частот от 310-4 до 100; при ММП 0,001% 63
Стоит отметить, что большую роль играет скважность импульсов. Как показали результаты моделирования выигрыш по быстродействию метода совпадения при измерении частоты по сравнению с методом прямого счета зависит от скважности импульсов [46]. Например, при заданном уровне ММП 0,01% на нормированных частотах близких к единице выигрыш по быстродействию при скважности 2,5% - более 35 раз; при скважности 0,5% -более 90 раз; при скважности 0,1% более 49 раз; при скважности 0,05% более 29 раз. Таким образом, существуют оптимальные значения скважности, при котором наблюдается наибольший выигрыш по быстродействию. Кроме того, оптимальные значения скважности зависят от отношения образцовой и измеряемой частот, при заданном уровне ММП 0,001% и нулевой начальной фазе на нормированных частотах близких к 310-2 оптимальные значения скважности составляет 0,75%, а выигрыш по быстродействию более 50 раз; на нормированных частотах близких к 910-2 - 0,5% - более 90 раз; на нормированных частотах близких к 310-1 - 0,25% - более 170 раз. А также оптимальные значения скважности зависят от заданного уровня ММП, например, на нормированных частотах близких к 510-2 при заданном уровне ММП 0,01% оптимальные значения скважности составляет 2,5%; ММП 0,001% - 0,5%; ММП 0,0001% -0,25%. Из этого можно сделать вывод, что оптимальные значения скважности уменьшаются с уменьшением заданного уровня ММП.
Анализ результатов статистического моделирования показал, что с уменьшением заданного уровня ММП выигрыш по быстродействию растет. На нормированных частотах близких к единице наблюдается наибольший выигрыш по быстродействию. Например, при заданном уровне ММП 0,01% и скважности 0,5% выигрыш по быстродействию более 90 раз; при ММП 0,001% и скважности 0,1% - более 270 раз; при ММП 0,0001% и скважности 0,05% - более 900 раз. Таким образом, оптимальные значения скважности также зависят от заданного уровня ММП. С уменьшением заданного уровня ММП уменьшаются оптимальные значения скважности.
Также результаты моделирования представлены в таблице 2.4 для заданных уровней ММП 0,01%, 0,001%, 0,0001% для измерений с нулевой и случайной начальной фазой для измеряемых частот меньше чем образцовая частота. В таблице по столбцам приведено следующее: отношение измеряемой и образцовой частоты; оптимальная скважность при нулевой начальной фазе и заданном уровне ММП 0,1%; выигрыш по быстродействию при оптимальной скважности; оптимальная скважность при нулевой начальной фазе и заданном уровне ММП 0,01%; выигрыш по быстродействию при оптимальной скважности и т.д. Таблицу 2.4 можно использовать для выбора оптимальных значений скважности при заданном уровне ММП, режиме измерения (с нулевой или случайной начальной фазой) и диапазоне измеряемых частот. Например, при заданном уровне ММП 0,001%, нулевой начальной фазе, диапазоне измеряемых частот от 10-3 до 610-3. Оптимальное значение скважности составляет 2,5%, а время измерения будет от 11 до 23 раз меньше чем при использовании метода прямого счета.
Рассмотрим второй случай, частота образцового генератора больше частот измеряемых сигналов и измерение начинается со случайной фазой между импульсами образцовой и измеряемой частот. В данном случае время измерения частоты методом совпадения состоит из трех частей. Первая часть - интервал времени, отсчитываемый от начала измерения до первого совпадения импульсов образцовой и измеряемой частоты. Вторая часть - интервал времени, который определяется исходя из заданной скважности и уровня заданной погрешности дискретизации. Третья часть – интервал времени от конца второго интервала времени до момента очередного совпадения импульсов образцовой и измеряемой частоты [49]. Поверхности при этом сохраняют такую же форму как в первом случае.
Частотомер, осуществляющий измерение частоты методом совпадения и методами прямого счета
Проведен обзор литературы по методам измерения частоты, и способам уменьшения относительной максимальной методической погрешности дискретизации при измерении частоты методами прямого счета. Выполнен анализ литературы по исследованию метода совпадения, который показал, что раннее было проведено исследование измерения частоты методом совпадения только в качестве способа сличения частот.
Рассмотрена математическая и вероятностная модель измерения частоты методом совпадения, на основе которой проведено статистическое моделирование измерения частоты методом совпадения в широком диапазоне частот с заданными уровнями относительной максимальной методической погрешности дискретизации, скважности (длительности) импульсов.
Выполнено сравнение времени измерения частоты методом совпадении с методом прямого счета за целое число периодов измеряемой частоты и с методом прямого счета за целое число периодов образцовой частоты. Используется понятие выигрыш по быстродействию, который определяется как отношение времени измерения методами прямого счета к времени измерения методом совпадения. При этом если измеряемая частота меньше образцовой частоты используется время измерения частоты методом прямого счета за целое число периодов измеряемой частоты, иначе используется время измерения частоты методом прямого счета за целое число периодов образцовой частоты. Введено понятие эффективности как отношение количества измерений частоты методом совпадения за время меньшее, чем методами прямого счета к общему количеству измеряемых частот.
Получены аналитические зависимости теоретического (максимально возможного) выигрыша по быстродействию метода совпадения по сравнению с методами прямого счета, времени измерения. А также на основе вероятностных оценок времени измерения, выигрыша по быстродействию по сравнению с методами прямого счета, оптимальных значений скважности.
По результатам, полученным на основе математической и вероятностной модели, сделаны следующие выводы. Метод совпадения при измерении частоты может быть использован в широком диапазоне частот. Время измерения частоты уменьшается при увеличении измеряемых частот, увеличении заданного уровня относительной максимальной методической погрешности дискретизации.
Диапазон частот, в котором наблюдается выигрыш по быстродействию метода совпадения при измерении частоты по сравнению с методами прямого счета, увеличивается с уменьшением заданного уровня относительной максимальной методической погрешности дискретизации.
Выигрыш по быстродействию метода совпадения по сравнению с методами прямого счета: растет с уменьшением заданного уровня относительной максимальной методической погрешности дискретизации. имеет максимум при близких значениях образцовой и измеряемой частот. зависит от заданной скважности импульсов. Выявлено, что существуют оптимальные значения скважности, при которых достигается наибольший выигрыш.
Оптимальные значения скважности зависят от уровня заданной относительной максимальной методической погрешности дискретизации и отношения измеряемой и образцовой частот. При уменьшении заданного уровня относительной максимальной методической погрешности дискретизации и увеличении измеряемых частот, уменьшаются значения оптимальной скважности. Для достижения наибольшего быстродействия предложено изменять скважность импульсов в зависимости от заданного уровня относительной максимальной методической погрешности дискретизации и отношения измеряемой и образцовой частот.
Диапазон частот, в котором эффективность метода совпадения по сравнению с методами прямого счета более 50%, растет с уменьшением заданного уровня относительной максимальной методической погрешности дискретизации, зависит от значений скважности. В диапазоне частот, где средний выигрыш по быстродействию метода совпадения меньше единицы, наблюдается не нулевая эффективность метода совпадения, другими словами некоторое количество измерений частоты выполнены методом совпадения быстрей, чем методами прямого счета.
Показано, что не следует допускать положительной погрешности формирования скважности импульсов, т.к. в этом случае возникают измерения частоты с недостоверными результатами. При этом не большая отрицательная погрешность формирования скважности импульсов приводит к незначительному увеличению времени измерения частоты методом совпадения.
Разработаны функциональные и принципиальные схемы цифрового частотомера с автоматическим выбором режима измерения частоты за целое число периодов измеряемой или образцовой частоты, либо методом совпадения.
Предложено использование алгоритма работы частотомера, осуществляющего измерение частоты методом совпадения и методами прямого счета. В котором измерение частоты завершается, если заданный уровень относительной максимальной методической погрешности дискретизации достигается по одному из методов (метод совпадения, методы прямого счета), таким образом, исключаются случаи со временем измерения больше чем, время измерения частоты методами прямого счета. Изготовлен макет цифрового частотомера. Проведены экспериментальные исследования измерения частоты макетом цифрового частотомера.
