Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ методов измерений следовых количеств техногенных загрязнителей 10
1 Постановка задачи определения следовых количеств техногенных загрязнителей 10
2 Методы хроматографических измерений 16
3 Методы спектральных измерений 20
4 Методы электрохимических измерений 27
Выводы 29
2 Анализ информационных характеристик сигналов при измерениях следовых количеств техногенных Загрязнителей 30
1 Информационные характеристики аналитических сигналов 30
2 Математические модели аналитических сигналов 40
3 Частотные свойства аналитических сигналов 48
Выводы 54
3 Анализ существующих алгоритмов, используемых при обработке результатов измерений следовых количеств веществ 56
1 Алгоритмы фильтрации аналитических сигналов при наличии случайного шума 57
2 Алгоритмы фильтрации аналитических сигналов при действии импульсных помех 69
3 Алгоритмы обнаружения аналитических пиков по значениям аналитического сигнала 77
4 Алгоритмы обнаружения аналитических пиков по производным аналитического сигнала 87
Выводы 101
4 Разработка и исследование алгоритмов обработки информации при определении следовых количеств веществ 102
1 Алгоритмы сглаживающего преобразования аналитических сигналов 102
2 Алгоритмы аппроксимации аналитических сигналов 109
3 Алгоритмы разделения совмещенных аналитических пиков на основе сплайн-апроксимации сигнала 130
Выводы 145
5 Разработка аналитической информационно- измерительной системы для определения следовых количеств веществ 146
1 Разработка структуры АИИС определения следовых количеств веществ 146
2 Разработка средств преобразования измерительных сигналов 148
3 Разработка конфигурации микропроцессорных средств для обработки аналитической информации при определении следовых количеств веществ 165
4 Анализ погрешностей разработанной ИИС 177
Выводы 181
Заключение 183
Перечень принятых терминов 187
Список литературы
- Методы хроматографических измерений
- Математические модели аналитических сигналов
- Алгоритмы фильтрации аналитических сигналов при действии импульсных помех
- Алгоритмы аппроксимации аналитических сигналов
Введение к работе
В последнее десятилетие в электронной, нефтехимической, химической, фармацевтической и ряда других отраслей промышленности, а также при экологическом мониторинге и научных исследованиях возникла необходимость определять наличие и измерять количество сверхмалых концентраций - "следов" различных веществ в составе конечного или исходного продукта.
Это объясняется тем, что даже сверхмалые примеси в общем составе синтезируемого или используемого материала приводят к значительному снижению его качества (например, в электронике при выращивании монокристаллов полупроводниковых материалов, в фармакологии при создании современных лекарственных препаратов и т.д). Существующие методы и средства измерения, а также алгоритмы обработки аналитической информации, как правило, ориентированы на определение состава смесей с малым содержанием компонентов, характеризуемое высоким уровнем соотношения сигнал/шум в аналитическом сигнале.
В случае определения "следовых" количеств веществ возникает проблема, связанная с низким уровнем соотношения сигнал/шум, трудностью различения аналитических сигналов, соответствующих разным анализируемым компонентам и увеличением количества контролируемых компонентов.
Все это требует создания аналитических информационно - измерительных систем (АИИС) определения микропримесей веществ в различных материалах, обладающих в первую очередь низким порогом чувствительности, способных выделить на уровне шума полезные аналитические сигналы, повышать степень их разделения, а также анализировать многокомпонентные смеси.
Повышение метрологических характеристик существующих АИИС с целью их использования при определении следовых количеств веществ, а также создание новых систем, реализующих более совершенные аналитические методы, связано с увеличением объемов и скорости обработки аналитической измерительной информации.
Однако используемые в АИИС для этой цели средства измерительной и микропроцессорной техники в настоящее время уже не удовлетворяют современным требованиям к скорости обработки измерительной информации, ее объемов, а также к достоверности результатов обработки.
В связи с этим актуальной является задача разработки средств обработки аналитической информации, реализующих базовый набор алгоритмов, характерных для большинства задач аналитических исследований при определении следовых количеств веществ.
Такой набор должен включать в себя алгоритмы фильтрации аналитических сигналов, обнаружения аналитических пиков, повышения их степени разделения, определения их интенсивности.
Это позволит достаточно быстро комплектовать аппаратные и программные средства АИИС с учетом современных требований к объемам и скоростям обработки измерительной информации, а также необходимости оперативной перенастройки при реализации разнородных методов определения следовых количеств веществ.
Разработка АИИС определения следовых количеств веществ предусматривает исследование характеристик "следовых" измерительных аналитических сигналов, формируемых аналитическими приборами, синтезу расположенных на их нижнем уровне устройств обработки аналитической информации, разработку используемых в них простых и эффективных алгоритмов, учитывающих специфику аналитических методов, выбор современной элементной базы для построения таких устройств.
Таким образом, разработка аналитических ИИС, предусматривающих обработку измерительной информации при определении следовых количеств веществ, является актуальной научной и практической задачей.
Цель работы: разработка алгоритмов и аналитических измерительных систем определения следовых количеств веществ, обладающих высокой раз решающей способностью, точностью и возможностью в реальном времени обрабатывать большой объем аналитической информации. При этом решались следующие задачи:
- классификация и анализ методов определения свойств следовых количеств веществ с целью определения методов, наиболее широко применяемых в практике аналитических измерений;
- анализ характеристик измерительных сигналов, формируемых аналитическими измерительными приборами при определении следовых количеств веществ с целью определения оптимальных параметров функций преобразования АИИС;
- разработка и исследование алгоритмов обработки измерительной информации в АИИС определения следовых количеств веществ, позволяющих повысить чувствительность стандартных аналитических приборов;
- синтез структур средств обработки измерительной информации в АИИС определения следовых количеств веществ;
- исследование методических и аппаратурных погрешностей разработанных средств;
- разработка оригинальной схемотехники средств предварительной обработки информации в АИИС, схематическая реализация разработанных схем на базе современных комплектующих электронной и микропроцессорной техники.
Научная новизна
Сформулирована и решена научная задача, связанная с разработкой методов и алгоритмов, используемых в аналитической ИИС определения следовых количеств веществ.
В частности:
- на основании проведенной классификации и анализа существующих методов аналитических измерений при определении следовых коли честв веществ определены наиболее широко применяемые алгоритмы обработки аналитической информации, а также требования к обработке измерительных сигналов в АИИС с целью повышения чувствительности аналитических измерительных приборов;
- получено экспериментальное подтверждение используемому априорному закону распределения уровней аналитических измерительных сигналов по диапазону, что позволило разработать квазиоптимальный закон квантования в устройствах преобразования сигналов с целью сжатия их по уровню;
- разработан эффективный алгоритм фильтрации и сжатия во временной области измерительных аналитических сигналов на основе их сплайн -аппроксимаций, позволяющий понизить порог обнаружения в аналитическом сигнале аналитических пиков;
- разработан алгоритм повышения степени разделения совмещенных аналитических пиков, формируемых аналитическими приборами при определении следовых количеств веществ, позволяющий снизить длительность аналитических измерений при использовании инерционных аналитических приборов.
Практическая ценность
Проведенные теоретические и экспериментальные исследования позволили создать базу для проектирования и разработки АИИС, предназначенных для определения следовых количеств веществ в различных технических отраслях и использующих такие аналитические методы, как хроматография, спектроскопия, электрохимия.
Использование полученных в работе информационных характеристик измерительных сигналов и предложенных методов их аппроксимаций позволило создать базу для проектирования АИИС, обеспечивающих сжатие измерительной информации по уровню и во временной области и тем самым удовлетворить современным требованиям по объемам и скорости обработки этой информации в этих системах, а также повысить чувствительность АИИС, построенных на базе стандартных аналитических приборов.
Реализация результатов
Представленные в работе исследования реализованы в информационно -измерительной системе, разработанной и внедренной на ООО "Авсотех", а также в Самарском Госуниверситете.
Основные результаты диссертационной работы внедрены при создании:
- информационно - измерительной системы спектрометрического анализа следовых количеств веществ, внедренной в 000 "Авсотех";
- автоматизированной системы хроматографического анализа следовых количеств веществ, внедренной в Самарском Госуниверситете.
Апробация работы
Основные положения и результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на:
- международной научно-технической конференции "Информационные, измерительные и управляющие системы" (ИИУС - 2005, Самара);
- всероссийской межвузовской научно - практической конференции "Компьютерные технологии в науке, практике и образовании" (Самара, 2005);
- на заседании Научного Совета Поволжского регионального научно - технического центра Метрологической академии РФ;
- на научно - технических семинарах кафедры "Аналитическая химия и хроматография" Самарского государственного университета.
Диссертационная работа выполнялась в соответствии с:
- экологической программой Самарской области "Организация мониторинга природной среды" в 1997...2000 г.г.;
- научно - исследовательской программой СамГТУ по проблемам высшего профессионального образования на 2000 - 2005 гг. Министерства образования России. Публикации. Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 8 публикациях.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 разделов, заключения, приложения, перечня используемой литературы. Работа содержит 186 с. машинописного текста, 13 таблиц, 74 иллюстраций, 2 с. приложений и 10 с. библиографического списка из 121 наименований.
Методы хроматографических измерений
Физико-химический метод разделения и анализа смесей, основанный на распределении их компонентов между двумя фазами - неподвижной и подвижной (элюент), протекающей через неподвижную, получил название хроматографии.
Различают следующие основные виды хроматографии - адсорбционную, распределительную, ионообменную и молекулярно-ситовую, это зависит от природы взаимодействия, обусловливающего распределение компонентов между элюентом и неподвижной фазой,
В зависимости от агрегатного состояния элюента различают газовую и жидкостную хроматографию. В колоночной хроматографии сорбентом заполняют специальные трубки - колонки, а подвижная фаза, благодаря соз-даемому перепаду давления, движется внутри колонки. Капиллярная хроматография является разновидностью колоночной хроматографии, в которой тонкий слой сорбента наносится на внутренние стенки капиллярной трубки. При хроматографировании возможно изменение по заданной программе со става элюента, скорости его протекания, его температуры и других параметров.
Хроматографический анализ осуществляется с помощью приборов, называемых хроматографами, в большинстве из которых реализуется прояви-тельный вариант хроматографии. Хроматографы используют как для анализа, так и для препаративного (промышленного) разделения смесей веществ. При анализе разделённые в колонке хроматографа вещества вместе с элюен-том попадают через различные промежутки времени в установленное на выходе из хроматографической колонки детектирующее устройство, регистрирующее их концентрации во времени. Полученную в результате этого запись сигнала называют хроматограммой. Для качественного хроматографического анализа определяют время от момента ввода пробы до выхода каждого компонента из колонки при данной температуре и при использовании определённого элюента. Для количественного анализа определяют высоты или площади хроматографических пиков с учётом коэффициентов чувствительности используемого детектирующего устройства к анализируемым веществам.
Без хроматографии невозможно представить контроль качества продукции в пищевой и фармацевтической промышленности, а так же санитарно-химический анализ, проверяющий пищевые продукты на присутствие вредных примесей, например, остаточных количеств токсичных пестицидов.
Газовая хроматография применяется для разделения газовых смесей, определения примесей вредных веществ в воздухе, воде, почве, промышленных продуктах; определения состава продуктов основного органического и нефтехимического синтеза, выхлопных газов, лекарственных препаратов, а также в криминалистике и т.д.
Газовая хроматография за несколько минут позволяет обнаружить наркотики в биосубтрактах из организма человека (допинговый контроль), обнаружение наркотиков в багаже, помогает при постановке клинического диагноза при различных заболеваниях (сахарный диабет). Разработаны аппаратуpa и методики анализа газов в кабине космического корабля, анализа атмосферы других планет, обнаружения в воздухе паров взрывчатых веществ, идентификации органических веществ в лунных породах, и т.п.
Газовая хроматография применяется также для определения физико-химических характеристик индивидуальных соединений: теплоты адсорбции и растворения, энтальпии, энтропии, констант равновесия и комплексообра-зования; для твёрдых веществ этот метод позволяет измерить удельную поверхность, пористость, каталитическую активность.
Жидкостная хроматография во многом сходна с газовой, но вместо газа-носителя разделение компонентов анализируемой смеси веществ происходит в потоке жидкого элюента, например органического растворителя. Она используется для анализа, разделения и очистки синтетических полимеров, лекарственных препаратов, детергентов, белков, гормонов и других биологически важных соединений. В биологических исследованиях использование хроматографов с высокочувствительными детекторами позволяет работать с очень малыми количествами веществ (10"и ... Ю 9 г). Оснащенные компьютерами и высокочувствительными детекторами, современные жидкостные хроматографы позволяют решать большинство задач практической аналитики, связанных с определением различной природы.
С помощью жидкостной хроматографии было идентифицировано несколько десятков ПАУ, постоянно присутствующих в атмосфере городов, в автомобильных выхлопных газах, в воздухе рабочей зоны и вблизи предприятий химической и перерабатывающей промышленности, в табачном дыме, в нефтяном топливе и саже, каменно-угольной смоле и др.
Часто для идентификации веществ используется хроматография в сочетании с другими физико-химическими и физическими методами, например с масс-спектрометрией, ИК-, УФ-спектроскопией и др.
Математические модели аналитических сигналов
Как следует из таблицы 2.3, только Гауссова кривая требует для описания пика оценки минимального количества параметров (трех); все остальные модели описываются большим числом параметров, что уменьшает потенциальную точность их определения (особенно в случае наложения пиков). Поэтому, даже если данная модель и более качественно описывает пик, необходимо тщательно рассмотреть целесообразность ее применения: погрешность результата анализа может оказаться меньше при применении более грубой модели, но характеризующейся значительно меньшим числом параметров. Часто более удобно характеризовать пик не параметрами модели, а ее моментами. При этом нет необходимости в знании формы пиков (если они разделены), так как моменты рассчитываются непосредственно по значениям хрома-тографического сигнала y{t).
В практике аналитических измерений часто оказывается важным не точная передача моделью формы пика, а возможность быстрого получения основных параметров формы, таких, как площадь пика и его положения на спектрограмме. Этим обусловлено широкое распространение не только наиболее простой из описанных моделей - Гауссовой, но и еще более упрощенных моделей, например, модели в виде треугольника [34].
Что касается параметров сигнала, то, например, в газовой хроматографии (ГХ) они находятся в следующих диапазонах [5,7,35]: - амплитуда пика Ах= 10"6... 10 В; - среднеквадратическая ширина пика a = 0,2...100 с; - площадь пика S = 10 ... 10 мкВ С; - интенсивность шума n(t) = 2...100 мкВ; - дрейф базового сигнала dy(t)/dt - до 20 мВ/час; - время выхода пика (положение его вершины на временной оси) - Юс... 10 час.
Вышеприведенные значения параметры являются экстремальными, однако количество анализов со значениями параметров сигнала, близкими к экстремальным, составляет незначительную часть общего числа сигналов.
Так, например, в лабораториях предприятий по производству синтетического каучука количество анализов продолжительностью свыше 30 минут составляет 0,6% общего числа анализов [35]. На снижение времени анализа направлены усилия и разработчиков методик анализов (подбор режимов, выбор подвижной и неподвижной фаз, помещаемых в хроматографические колонки и т.п.) и конструкторов аппаратной части анализаторов (повышение чувствительности детекторов, устранение дестабилизирующих факторов и т.д.).
Точность обработки результатов анализа с помощью микропроцесссор-ных устройств во многом зависит от адекватности формы аналитического пика (АП) его математической модели.
Сложность физико - химических процессов, происходящих в анализаторе, не позволяет разработать идеальную модель АП [35], так как теоретическое обоснование формы профиля АП в виде симметричной кривой Гаусса в большинстве случаев не обеспечивает адекватности модели и реального пика. В связи с этим к настоящему времени разработано большое количество аналитических выражений, описывающих формы реально полученных АП.
При разработке некоторых моделей использовалась теория процессов в анализаторе [80,81], в других модели получали эмпирическим путем подбором кривых по экспериментальным данным. Обычно модели проверялись на АП одного вещества или небольшой группы анализируемых веществ. Универсальная модель АП должна удовлетворять следующим требованиям: - высокая точность при описании АП любой формы; - линейность относительно подбираемых параметров с целью упрощения расчета модели; - возможность управления режимом анализатора по оценке параметров модели, для чего параметры должны нести смысловую нагрузку с точки зрения процессов, происходящих в анализаторе; - представление интеграла от моделируемой функции АП в пределах от -со до + со, который определяет площадь АП, в табличном виде.
Анализ известных аналитических моделей АП показывает, что ни одно из них не удовлетворяет всем перечисленным требованиям. Наиболее полно поставленным условиям соответствует би - Гауссиан, однако точность описания с его помощью задних фронтов АП, имеющих затянутые хвосты, невысока [32,33,38].
Так например, аппроксимация хроматографических пиков воды, ацетона, хлороформа и нитрометана би - Гауссианом, изображенным на рисунке 2.6, имеет погрешность аппроксимации 25%.[ 36,37].
Создание математической модели АП, удовлетворяющей перечисленным выше требованиям, возможно на основе аналитико - статистического подхода, сущность которого заключается в том, что недостаток теоретиче ских сведений о процессе в анализаторе компенсируется статистической информацией об его реализациях на спектрограмме [71,72,73].
Некоторые реальные и "синтетические" АП, рассчитанные по выражению (2.9), коэффициенты которых Q - С3 подбирались методом наименьших квадратов, для анализируемых веществ, принадлежащих к разным классам, показаны на рисунке 2.7, а хроматограммы микропримесей веществ - на рисунке 2.8, рисунке 2.9.
Алгоритмы фильтрации аналитических сигналов при действии импульсных помех
Снизить ошибки от кратковременных выбросов можно, используя мажоритарные преобразования [58,59]. Простейшим алгоритмом, обеспечивающим устойчивую фильтрацию при наличии выбросов, является алгоритм скользящей медианы - аналог алгоритма скользящего среднего.
Под медианой med [у. At] = med [у{, у2,..., у1 ], где і = 1, 2, ...,/, понимается значение среднего члена у(т+1) (/=2/77+1) или значение полусуммы средних членов вариационного ряда Y, т. е. упорядоченной выборки, расположенной в порядке возрастания членову\ Алгоритм может быть представлен в двух модификациях. Для реализации в реальном времени он имеет вид: y iM=med(yi_k); к = 0,1,...,2т . (3.13) Значение медианы выборки Y объема (2т+1) приписывается последнему отсчету выборки [при поступлении (2т+1) - го отсчета первый отбрасывается]. В случае фильтрации во вторичном времени или по задержанному сигналу алгоритм (3.13) несколько видоизменяется: y M=med(y._k); k = -m,-(m-l),...,0,..., , (3.14) и значение медианы приписывается среднему отсчету выборки. Пример работы алгоритма (3.14) при т \ представлен на рисунке 3.8. 12 3 4 5 6 7 8 Рисунок 3.8 - Иллюстрация работы алгоритма скользящей медианы (2т+1=3).
При монотонном изменении сигнала медиана передает сигнал без искажения, однако алгоритм (3.14) вызывает запаздывание на интервал дискретизации сигнала. При одиночном выбросе ошибка фильтрации имеет порядок приращения сигнала за шаг и не зависит от величины выброса.
При наличии протяженных выбросов (сосредоточенных помех), длящихся более чем один шаг (их можно рассматривать как групповые импульсные выбросы, далее - просто выбросы), необходимо увеличивать т: отказ фильтра не наступает, если число выбросов не превышает т. Увеличение т повышает надежность фильтра при той же вероятности а появления выбросов, но в случае фильтра, реализующего алгоритм (3.14), увеличивается число интервалов дискретизации, определяющего запаздывание выходного сигнала фильтра.
Устраняя влияние выбросов, фильтр тем не менее искажает сигнал, срезая его вершину. Максимальная ошибка при этом для гауссова пика будет равна
Сравнивая рисунок 3.3 и рисунок 3.9, можно видеть, что искажения, вносимые алгоритмом (3.13) [а если не учитывать запаздывание, то и алгоритмом (3.34)], меньше, чем в случае фильтрации скользящим средним. Эти искажения примерно такие же, как у полиномиального фильтра с п - 2. Кроме того, следует учесть, что ошибка ЗАМ бывает только при попадании максимума пика в узел квантования. Усредняя ЗА, получим для среднеквадратичной ожидаемой погрешности искажения гауссова пика: m + l Ent где p= M Пример изменения IJA f yP) показан на рисунке 3.9.
Оценим подавление шума на выходе фильтра. При фильтрации скользящей медианой нормального шума (при отсутствии полезного сигнала) среднеквадратичное значение шума на выходе приближенно равно [58]:
Из (3.16) следует, что у 1 для всех т 1, т. е. при нормальном шуме фильтр скользящей медианы уступает фильтру скользящего среднего и тем больше, чем больше т (таблица 3.1):
Увеличение отношения сигнал/шум на выходе фильтра также невелико: Я. аш При наличии выбросов с вероятностью появления а ситуация с обнаружением пика изменяется. В этом случае значение выходного сигнала фильтра будет равно [33]: rrr uiM xh——(г2ш+ат+1ка2в , 4т + 7г где к- некоторый коэффициент порядка (2т+1)" ; 2 / 2 2 \ в - дисперсия выбросов у7в ш ) . Для т=\ имеем а шм « 0,45 +0,550 . Сравнивая со значением сигнала на выходе фильтра скользящего средне го SJUC (l- a)- s2m + а у\ 2m + l 2 2 можно видеть, что при &ш С OLO в значение у 1. Если на вход фильтра поступит сигнал с острым (узким) аналитическим пиком, так что имеет место то значения шума практически не будут изменять взаимного расположения членов вариационного ряда Y, т.е. независимо от т величина при малых шумах увеличивать длину выборки (число дискретных значений сигнала) не имеет смысла.
Таким образом, использование фильтра скользящей медианы для фильтрации выбросов оказывается достаточно эффективным. Более качественную фильтрацию можно осуществить, применяя другие алгоритмы мажоритарного преобразования [57].
Эмпирические методы подавления импульсных помех, как и методы фильтрации, разделяются на две группы: реализуемые во вторичном и реальном времени. Все они включают две операции: обнаружение выброса и его коррекцию. Обнаружение выброса производится по его величине или длительности, которая меньше ожидаемой (например, из регрессионного анализа) ширины пика.
Алгоритмы аппроксимации аналитических сигналов
Во многих случаях предварительная ее обработка измерительной информации (приближение, сглаживание) позволяет выделить наиболее существенное, например, информативные параметры. Важную роль в этом играют методы аппроксимации [89,90].
При преобразовании и предварительной обработке измерительных сигналов, а также в системах автоматизации проектирования методы аппроксимации применяются, прежде всего, в целях конструирования кривых и поверхностей. При построении кривой в этих случаях утрачивает смысл такой математический критерий, как точность аппроксимации, и главную роль начинают играть такие критерии, как внешний вид и гладкость кривой, отсутствие осцилляции и т.д. Однако методы аппроксимации также широко используются и при выделении сигнала на фоне шума, поскольку аппроксимирующая функция позволяет осуществить эффективную фильтрацию сигнала, причем без существенного искажения его формы.
Кроме того, аппроксимация дискретных значений сигнала позволяет путем простых вычислений восстановить его значения внутри интервалов дискретизации.
В задачу аппроксимации входит найти такую функцию в виде (линейной) комбинации из сравнительно простых функций определенного типа, которая удовлетворяла бы некоторым требованиям или условиям в предполо по жении, что исходная аппроксимируемая функция заведомо обладает свойствами, соответствующими этим требованиям или условиям. Как правило, для аппроксимирующей функции ограничения выбираются такими, чтобы она была "хорошим" приближением. Обычными для аппроксимации требованиями к алгоритмам являются достижение необходимой точности и обеспечение непрерывности [89].
В основе требования точности лежит предположение, что аппроксимируемая функция непрерывна и имеет непрерывные производные.
Критерий, по которому отклонения могут считаться допустимо малыми, определяется многими обстоятельствами: погрешностью измерения и представления данных, их полнотой, различиями в колебаниях данных и т. д. Часто, целью аппроксимации является не только хорошее приближение, но и их "улучшение" данных (например, сглаживание).
Сохранение непрерывности обеспечивает постепенность изменений (т.е. отсутствие разрывных скачков) аппроксимирующей (приближенной) функции не только при переходе от одной точки внутри промежутка, образованного соседними узлами, к близлежащей другой, но и в самих узлах.
Одним из наиболее часто применяемых и сравнительно простых эвристических методов является метод наименьших квадратов [42,43]. Согласно ему, сначала, учитывая характер данных, эвристически подбирают сравнительно простую "хорошую" функцию (ее называют эмпирической, опытной) с небольшим числом параметров или коэффициентов. Затем отыскиваются такие значения указанных параметров, которые доставляют минимум квадрату суммы отклонений значений эмпирической функции в узлах исходной сетки от исходных данных. Полученная таким образом эмпирическая функция позволяет однозначно определить недостающие промежуточные значения. Достоинства метода наименьших квадратов - сравнительная простота и возможность экстраполяции, т. е. определения не только промежуточных значений, но и значений, лежащих за пределами охваченного сеткой интервала. Но у метода наименьших квадратов есть и недостатки, обусловленные интуитивным выбором типа кривой и малым числом параметров. При большом (относительно параметров) числе задаваемых значений исходных данных представляется весьма затруднительным "натянуть" значения эмпирической функции одинаково хорошо на все исходные данные и тем самым обеспечить наиболее желательную точность [86].
В связи с этим в практике восполнения данных применяется преимущественно методы, более приспособленные к исходным данным. Это достигается большим, чем число задаваемых значений данных, набором параметров или функций, с помощью которых строится аппроксимация.
Одним из подобных наиболее эффективных методов приближения функций является сплайн-аппроксимация. В качестве аппроксимирующей функции, называемой сплайном, строится цепочка полиномов (или других сравнительно простых типов функций). Соседние по цепочке полиномы "склеиваются" так, что их значения и значения их производных на стыках совпадают. При этом все исходные значения попадают на некоторые стыки. В частности, параболические сплайны "сшиты" на границах участков по 0-й и 1-й производным, а кубические - по 0-й, 1-й и 2-й производным. Вторая производная у параболического сплайна и третья - у кубического на границах участков претерпевает разрыв с конечным скачком.
