Содержание к диссертации
Введение
1 Гидрологическая изученность Западной Африки и постановка задачи исследования 10
1.1 Физико-географическая характеристика - 11
1.1.1 Климатическое описание 11
1.1.2 Факторы подстилающей поверхности 15
1.2 Многолетний годовой сток (современное состояние) 22
1.3 Постановка задачи исследований 23
2 Неустойчивость вероятностных характеристик многолетнего речного стока 26
2.1 Стохастическая модель формирования стока в виде уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и критерий устойчивости начальных моментов распределения плотности вероятности речного стока 26
2.2 Оценка и картирование параметров, входящих в критерий устойчивости :! 28
2.3 Устойчивость формирования годового стока Западной Африки 45
2.4 Исследование чувствительности критерия устойчивости к погрешностям используемой гидрометеорологической информации 49
3 Оценка фрактальной размерности рядов годового стока Западной Африки - 54
3.1 Понятие фрактальной размерности и методы ее практического вычисления 54
3.1.1 Понятие фрактальной размерности 54
3.1.2 Методы определения фрактальной размерности 5 7
3.1.3 Определение фрактальных размерностей в гидрометеорологии 70
3.2. Вычисление размерностей пространств вложения для рядов годового стока Западной Африки 76
3.3. Картирование фрактальных размерностей и анализ их распределения по территории Западной Африки 77
3.4 Влияние продолжительности ряда наблюдений за среднегодовыми расходами на величину фрактальной размерности 81
3.5 Методика прогнозирования изменения фрактальной размерности при изменении климата 84
Заключение 88
Список использованных источников
- Факторы подстилающей поверхности
- Оценка и картирование параметров, входящих в критерий устойчивости
- Методы определения фрактальной размерности
- Картирование фрактальных размерностей и анализ их распределения по территории Западной Африки
Введение к работе
Водные объекты суши играют важную роль вжизни человека.. Они широко используются для промышленного и бытового водоснабжения, судоходства, лесосплава, получения;-энергии; орошения и в других целях. Их, нерациональное и незакономерное использование приводит к недостаточности запасов воды, осушению территории, распространению загрязнений и другим отрицательным последствиям. С 1964 года 9 стран Западной Африки; находящиеся в бассейне: реки Нигер, проводят комплекс мероприятий для ^решения острого вопроса о рациональном использовании и распределении водных ресурсов. В" экономическом и общественном развитии Западной Африки играют жизненную роль две реки - река Нигер третья в Африке по длине (4150 км) и самая крупная на Западе Африки, а также река Сенегал (1790 км), С точки зрения современной.гидрологической науки, исходным:этапом к решению- водных проблем в условиях изменения климата и хозяйственного влияния* является исследование рассматриваемой' области на устойчивость» процесса:формирования; стока, представляющую собой результат:взаимодействия; стокообразующих факторов.. Рассматривается также новая- научная» возможность изучения выявленных зон неустойчивости методом фрактального диагностирования.
В\ результате изменения (потепления)- климата и увеличения? антропогенных нагрузок в области водопользования* на водосборах рек: Западной* Африки возникают проблемы, связанные с дефицитом воды, гидроэнергетикой, земледелием, скотоводством, рыболовствоми другими водозависимымш отраслями хозяйства. Вследствие этих, потенциальных факторов* ставится* задача научно обоснованного прогнозированияшстощения водных ресурсов,, нас территории Западной Африки в частности. Количественной характеристикой водных ресурсов является расход воды^. который представляет собой результат взаимодействия гидрометеорологических элементов. Следовательно, про- . гноз расхода воды неизбежно связан с прогнозированием метеорологических характеристик. Данная работа посвящена исследованию процесса формиро-
вания речного стока новым научным методом для территории западной Африки, при учете многокомпонентных факторов, оказывающих влияние на бассейн, с целью выявления путей решения общественно-экономических вопросов региона.
Актуальность темы
В настоящее время статистическое описание многолетнего годового стока производится в рамках распределений Пирсона или их модификаций. Для целей долгосрочных прогнозов вариаций этих распределений в результате климатических и антропогенных изменений используются стохастические модели формирования стока, идеализирующие последний как простой марковский процесс. Однако выполненные в РГТМУ исследования устойчивости начальных моментов распределения для России показали, что почти половина ее территории (южные регионы) неустойчивы в отношении коэффициентов вариации и асимметрии. Это приводит к статистической неопределенности как в математическом описании, так и в прогнозировании стока в рамках общепринятых и одномерных распределений. Еще более ощутим эффект неустойчивости для Африки с ее жарким климатом и огромной долей испаре-ния в многолетнем водном балансе речных бассейнов.
Переход к устойчивому описанию возможен методами частично инфи-нитного моделирования и прогнозирования, в основе которых лежит идея расширения фазового пространства рассматриваемых объектов. Фрактальная диагностика является важным этапом частично инфинитного прогнозирования, так как позволяет определить какое число фазовых переменных необходимо использовать для статистически устойчивого математического описания процесса формирования речного стока.
Цели и задачи исследования
Целью работы является разработка методики диагностирования и прогнозирования фрактальной размерности многолетнего годового стока Западной Африки и ее фактического применения для указанной территории для оценки размерности пространств вложения, используемых в частично инфи-нитном прогнозировании.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
на основе статистической обработки данных многолетних наблюдений на 96 станциях 17-ти государств Западной Африки с использованием ГИС-технологий построены карты основных гидрологических характеристик (нормы стока, коэффициентов вариации и асимметрии, коэффициентов стока и автокорреляции), необходимых для определения критерия устойчивости статистических моментов годового стока;
с использованием стандартной гидрометеорологической информации, публикуемой в открытой печати, а также ГИС-технологий рассчитан и закар-тирован в разных вариантах (изолинии, районирование) параметр, определяющий степень устойчивости вероятностных характеристик годового стока Западной Африки;
оценена погрешность вычисления критерия устойчивости и исследована его чувствительность к погрешностям статистических величин, входящих в формулу критерия;
на основе корреляционного интеграла выполнена фрактальная диагностика выявленных зон неустойчивости; определены и закартированы дробные размерности многолетних рядов стока, а также размерности соответствующих пространств вложения, которые также закартированы по ГИС-технологиям;
- исследована зависимость фрактальной размерности от продолжи
тельности рядов наблюдений за среднегодовым расходом воды и разработан
способ прогнозирования, изменений фрактальной размерности при темпера
турных вариациях, связанных с колебаниями климата.
Методика исследований и исходный материал
Решение поставленных задач основывались на методологии частично инфинитного моделирования, разработанной в РГГМУ. В основе определения критерия устойчивости лежала одномерная модель линейного формирующего фильтра, прошедшая широкую апробацию на речных бассейнах России, Колумбии, Боливии, Камеруна, КНР, Никарагуа.
Фрактальные размерности оценивались на основе теоремы Такенса с помощью корреляционного интеграла (информационной размерности).
Реализация методик осуществлялась на персональном компьютере на базе разработки Visual Basic 6.
Исходным материалом для проведения расчетов служили ряды гидрометеорологических элементов, опубликованные в изданиях Всемирной метеорологической организации.
Научная обоснованность и достоверность результатов работы основывается на использовании в качестве модели формирования годового стока широко апробированного в гидрологии за последние 15-20 лет уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК), приводящего в стационарном режиме к семейству кривых Пирсона,-повсеместно применяемых в инженерных расчетах. Кроме того, использованы общепризнанные методы нелинейной динамики (в частности теорема Такенса) для оценки размерностей пространств вложения и статистические оценки надежности промежуточных результатов.
Научная новизна и практическая значимость
В ходе проведенного в диссертации исследования были получены следующие основные результаты:
а) путем статистической обработки рядов гидрологических наблюде
ний для; Западной Африки были построены карты расчетных гидрологиче
ских характеристик, включая норму стока, коэффициентов вариации годово
го стока, а также коэффициентов асимметрии и автокорреляции (две послед
ние - впервые).
б) впервые, для Африки были рассчитаны и закартированы численные
значения критерия, определяющего степень устойчивости расчетных гидро
логических характеристик годового стока и выделены регионы с неустойчи
вым режимом формирования стока.
в) впервые для Африки была оценена фрактальная размерность рядов
годового стока и диагностированы размерности пространств вложения для
регионов, в которых имеет место неустойчивость формирования стока в рам
ках одномодальных и одномерных вероятностных распределений.
г) впервые в методологии частично инфинитного моделирования (на
примере Западной Африки) была оценена чувствительность критерия устой
чивости, фрактальной размерности и размерности пространства вложения к
погрешностям используемой сетевой гидрометеорологической информации и установлено, что последняя обеспечивает техническую грубость, достаточную для целей частично инфинитного прогнозирования долгосрочных изменений годового стока.
д) впервые (на примере Западной Африки) предложен способ прогнозирования изменения фрактальной размерности годового стока при изменении климатической нормы приземной температуры воздуха.
Практическая значимость исследований заключается в возможности использования полученных методик и карт проектными и научно-исследовательскими организациями либо для повышения надежности проектируемых сооружений, либо для разработки многомерных распределений кривых плотности вероятности с целью устойчивой оценки расчетных гидрологических характеристик.
Работа выполнялась в рамках темы «Фрактальная диагностика речного стока для целей частично инфинитного прогнозирования гидроэкологических катастроф», разрабатываемой по заданию1 федерального агентства по образованию на проведение научных исследований (№ гос. регистрации 01.2006.03264). Ее результаты внедрены в учебный процесс по специальности
«Гидрология»- 07.32.00 в РГТМУ и переданы для использования в национальный университет Кот-Д'Ивуара.
Апробация работы
Основные положения диссертации докладывались на итоговых сессиях Ученого совета РГГМУ (2005, 2006, 2007 гг.), на Международной конференции студентов и аспирантов 2006, на научных семинарах кафедры гидрофизики и гидропрогнозов РГТМУ.
По теме диссертации опубликовано 6 работ.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из ведения; трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 31 источник, 10 приложений. Работа изложена на 142 страницах текста, включая 35 рисунков, 5 таблиц и 10 приложений.
Факторы подстилающей поверхности
В: настоящее время для оценки многолетнего режима годового стока Западной Африки используются карты Мирового водного баланса, построенные в 1974 году на основе доступного в то время достаточно скудного материала. Представленные в Атласе карты;нормы и коэффициентов вариации, а также коэффициента годового стока дают общее представление о режиме годового стока, но в настоящее время они не надежны, а главное не полны с точки зрения современного состояния гидрологической науки.
В последнее десятилетие в гидрологии были широко внедрены стохастические модели формирования стока, которые позволили выявить критерий устойчивости начальных моментов. Оказалось, например, что в соответствии с этим критерием почти половина территории СНГ неустойчива по второму и третьему центральным моментам. Это ставит в ряде случаев под сомнение использование одномерных кривых плотности вероятности для оценки обеспеченных значений расходов воды.
Подобных оценок устойчивости Африки не делалось, хотя из вида критерия устойчивости можно ожидать, что для Западной Африки процент неустойчивых территорий будет не меньше, чем для России.
В связи с этим логически возникает задача: разработать методику, позволяющую находить устойчивые оценки моментов распределений плотности вероятности. Подобная методика разработана в РГГМУ. Она основана на идеях частично инфинитного моделирования и предусматривает введение дополнительных фазовых переменных (помимо расходов), т. е. переход к многомерным распределениям. Для того чтобы ответить на вопрос, сколько новых фазовых переменных учитывать и необходимо выполнение фрактальной диагностики.
Цели и задачи исследования
Целью работы является разработка методики диагностирования и прогнозирования фрактальной размерности многолетнего годового стока Западной Африки и ее фактического применения для указанной территории для оценки размерности пространств вложения, используемых в частично инфи-нитном прогнозировании.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: - на основе статистической обработки данных многолетних наблюдений на 96 станциях 17-ти государств Западной Африки с использованием ГИС-технологий построить карты основных гидрологических характеристик (нормы стока, коэффициентов вариации и асимметрии, коэффициентов стока и автокорреляции), необходимых для определения критерия устойчивости статистических моментов годового стока; - с использованием стандартной гидрометеорологической информации, публикуемой в открытой печати, а также ГИС-технологий рассчитать и за-картировать в разных вариантах (изолинии, районирование) параметр, определяющий степень устойчивости вероятностных характеристик годового стока Западной Африки; - оценить погрешность критерия устойчивости и исследовать его чувствительность к погрешностям статистических величин, входящих в формулу для его вычисления; - на основе корреляционного интеграла выполнить фрактальную диагностику выявленных зон неустойчивости; определить и закартировать дробные размерности многолетних рядов стока, а также размерности соответствующих пространств вложения, которые также закартировать по ГИС-технологиям; . ,, - исследовать зависимость фрактальной размерности от продолжительности рядов наблюдений за среднегодовым расходом воды; - разработать методику (способ) прогноза фрактальных размерностей при колебаниях климата.
Оценка и картирование параметров, входящих в критерий устойчивости
В литературе [15] методы, определяющие число переменных для моделирования процессов носят название фрактальная диагностика. В связи с широким применением подобных методов необходимо дать определения таким понятиям как фракталы, фрактальные размерности, фрактальные поверхности.
Фракталы и фрактальные размерности
В настоящее время нет однозначного определения «фрактал». Следуя Лавуарье, фрактал - это геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба. Фракталы, обладающие этим свойством и получающиеся в результате рекурсивной процедуры (комбинации линейных преобразований), называются конструктивными фракталами. Таким образом, конструктивный фрактал - это множество, получающееся в результате линейных сжимающих отображений подобия.
Наряду с конструктивными фракталами были обнаружены множества, которые похожи на фракталы. Как правило, подобные множества возникают в нелинейных динамических системах и, в первую очередь, в дискретных динамических системах. Такие множества принято называть динамическими фракталами. В связи с этим Мандельброт ввел другое определение фрактала. Фрактал - это такое множество, которое имеет хаусдорфову (или фрактальную) размерность, большую топологической. На рисунке 23 приведен динамический фрактал Мандельброта - граница черной области.
В первом определении слово «фрактал» - это от латинского «fractus», означающий изломанный. Во втором определении оно связано с английским «fractional» - дробный.
Понятие фрактала уже доказало свою пользу в ряде прикладных областей. Например, если вводить случайное возмущение в регулярный математический древовидный фрактал, можно добиться сходства с настоящим деревом. Фракталы используются при анализе и классификации сигналов сложной формы, возникающих в разных областях, например, при анализе колебания курса в экономике. Они применяются в физике твердого тела, в динамике активных сред, широко используются в компьютерных технологиях (например, для сжатия изображения) и т. д.
Структуры, похожие на фракталы, можно обнаружить в природе: границы облаков и морских побережий, турбулентные потоки в жидкостях, в трещинах некоторых пород, в зимних узорах на стекле, в кровеносной системе сердечной мышце и т. д.
Для пояснений определений конструктивных и динамических фракталов, приведены основные свойства фрактальных множеств F: a) F имеет тонкую структуру, то есть содержит произвольно малые масштабы; б) F слишком нерегулярное, чтобы быть описанным на традиционном геометрическом языке; в) F имеет некоторую форму самоподобия, допуская приближенную или статистическую; г) обычно «фрактальная размерность» множества F больше, чем его топологическая размерность; д) в большинстве случаев F определяется очень просто, например, ре курсивно.
Следует пояснить термин «мультифракталы» - это так называемые, неоднородные фракталы, определяемые не одним параметром - фрактальной размерностью, а спектром таких размерностей. Фрактальные поверхности
Красивые цветные иллюстрации из последней книги Мандельброта [20], изображающие долины и вид с «Луны» на восходящую «Землю», породили интерес к фракталам с точки зрения построения компьютерных пейзажей. Еще более впечатляющие картины с дымкой в долинах, созданные Р. Ф. Фоссом, были опубликованы в известном журнале по микрокомпьютерам [21]. Нерегулярность топографии земной поверхности в широком интервале пространственных масштабов служит указанием на то, что с помощью фракталов можно строить полезные модели пейзажей.
Простой способ построения явно фрактальной поверхности состоит в параллельном переносе триадной кривой Кох на расстояние в вдоль направления, перпендикулярного ее плоскости (рисунок 24). Чтобы измерить площадь такой поверхности, покрывают ее полосками длины / и ширины 8. При эталоне малой площади а = 8х 8 потребуется:
Методы определения фрактальной размерности
Показатель D в соотношении 17 может служить как еще одна фрактальная размерность, более доступная измерению. Новая размерность применима ко многим фракталам от рукотворной канторовой пыли до натурального мягкого пуха, которым набивают подушки. Во всех случаях увеличение «массы» внутри радиуса R определяется не показателем, равным евклидовой размерности, а несколько меньшим показателем; например, для пуха этот показатель составляет около 1.6.
Для строго самоподобных математических фракталов (таких, как ковер Серпинского и Канторова пыль) массовая размерность совпадает с размерностью Хаусдорфа [21]. Все эти размерности определяются размерностью подобия скейлингового закона, которая задается порождающими фрактал инициатором и генератором. Однако в случае реальных («природных») фракталов между фрактальными размерностями существуют значительные различия, в чем можно убедиться, представляя размерность Минковского для учета числа мод колебаний барабана с фрактальным параметром.
Массовая размерность особенно хорошо подходит для параметризации, например, упаковки порошков. Первичные частицы порошка обладают способностью образовывать кластеры с плотностью упаковки, скажем, р. Предполагается, что радиусы этих кластеров в г раз больше радиусов первичных частиц. Кластеры, в свою очередь, очень часто образуют новые, более крупные кластеры с теми же или близкими значениями р и г, и т. д.
Через п поколений плотность порошка Р становится равной р", а ради-ус кластера R — гп. Разумеется, полная масса М пропорциональна PRd, где d — евклидова размерность пространства, в которое вложен порошок (для большинства порошков в трехмерном мире d = 3). Таким образом [21], 1 M PRd=RD, (18) где массовая размерность D = d + lnp/lnr меньше d, так как р 1 и г 1.
Массовая размерность, применима и к случаю более высоких евклидовых размерностей, особенно к губчатым веществам, таким, как губка Менге-ра с D « 2.4. В случае когда некоторый источник, расположенный на большом расстоянии от растущего агрегата, испускает за цикл один «атом», который диффундирует до тех пор, пока не попадает в сферу действия короткодействующих сил притяжения ранее захваченных атомов и не присоединяется к растущему агрегату. Простые вероятностные соображения показывают, что но вые атомы осаждаются на агрегате вблизи концов ветвей «дендритов», а не в глубине кристаллических «фьордов».
Измерение массовой размерности дает значение D « 1.7. Однако точные значения D зависят от физических и химических параметров процесса и содержат важные указания относительно производства новых материалов, а также относительно других практических приложений с преобладанием фрактальных процессов.
Определение фрактальной размерности по временному ряду (расходов воды)
Обычно понятие «фрактальность» связывают с пространствами так называемой дробной размерности. Можно привести наглядные примеры, поясняющие суть дела [15]. Пусть лист бумаги не имеет толщины, т. е. двумерен (кусок евклидовой плоскости). Если вырвать этот лист и смять его в комок, то получится объект с размерностью больше двух, но меньше трех (чем больше спрессовывать бумагу, тем ближе размерность будет приближаться к трем). Таким образом, фрактальная размерность описывает степень заполненности объектом своего пространства вложения.
Этим объектом может быть и временной ряд (например, расходов воды). Фрактальность ряда связывается с порождающими его факторами. Если этих факторов много и они равновероятны, то приходим к белому шуму, который заполняет пространство вложения наподобие ничем не связанных молекул газа, заполняющего объем. Если же во временном ряде существуют корреляции, то они образуют группировки членов ряда. Это приводит к тому, что у ряда появляется своя собственная размерность (фрактальная, дробная).
Рассмотрим смысл фрактальности с точки зрения основных положений частично инфинитного моделирования, используя при этом работу [23].
Развитие предметных областей (рациональных структур) может идти только за счет выжигания инфинитного окружения. Для поддержания развития фрактала должна существовать фрактальная среда (носитель), поставляющая ресурсы для развития (итерации). Для того чтобы получить фрактал, надо совершить N итераций за время Г= lim At-N, где At - время, затрачи лг- о ваемое на одну итерацию [24].
Если At Ф О, то Т — оо, т. е. фрактальные процессы - лишь математическая абстракция. Если At = 0, то получается, что переход из одного состояния в другое не требует никаких ресурсов (энергии). Чтобы выйти из парадоксальной ситуации логико-негеоцентрического характера необходимо перестроить онтологию времени [24].
Появление фрактальности связано со степенью фиксации предметной области. При ее слабой фиксации появляется неустойчивость (например, по моментам распределения) и, как следствие, - возникновение дробной размерности, т. е. индикатора начала переходных процессов появления новой фазовой переменной. Таким образом, ресурс поступает через частично инфинит-ную границу из инфинитной реальности. В свою очередь рассматриваемая предметная область является инфинитной по отношению к смежной .предметной области, т. е. выступает в роли фрактальной среды, обеспечивающей ее ресурсами для развития.
Картирование фрактальных размерностей и анализ их распределения по территории Западной Африки
Значимость исследований заключается в возможности использования полученных результатов проектными и научно-исследовательскими организациями для большего понимания процессов колебания случайных гидроэкологических и антропогенных факторов с целью повышения надежности проектируемых сооружений, что приведет непосредственно к улучшению экономики. На сегодняшний день, сложность процесса формирования стока в Западной Африке привлекла внимание гидрологов из-за недостатка классических методов исследования водных объектов. В данной работе описан новый методологический подход и приведены исследования, которые помогут эффективно, рационально извлекать максимальную пользу при использовании водных ресурсов. Этот метод открывает пути к решению неизбежного будущего конфликта, связанного с водой, между народами стран Западной Африки. Сформулируем основные результаты исследований: а) для многолетнего годового стока рек Западной Африки собраны и статистически обработаны ряды наблюдений, на основе которых построены карты гидрологических характеристик: нормы стока, коэффициентов стока, вариации, асимметрии и автокорреляции (две последние - впервые). б) построены карты распределения критерия устойчивости и выявлены регионы, в которых наблюдается неустойчивость начальных статистических моментов, приводящая к неопределенности задания расходов требуемой обеспеченности, в частности, за счет «толстых хвостов» кривых плотности вероятности, возникающих при неустойчивости по дисперсии; оценена чув ствительность критерия устойчивости к погрешности исходной информации и сделан вывод о том, что интервалы неопределенности не перекрывают гра дации по степени устойчивости начальных моментов. в) выполнена фрактальная диагностика 63 рядов наблюдений за годо вым стоком, позволившая впервые для Африки оценить размерности про странств вложения аттракторов годового стока и закартировать ее, что обес печивает знание числа фазовых переменных, которые нужно привлекать для устойчивого описания режима формирования многолетнего стока; установ лено, что используемая методика слабо чувствительна как к погрешностям используемой гидрометеорологической информации, так и к продолжитель ности наблюдений за речным стоком, что является положительным фактором для частично инфинитного прогнозирования долгосрочных изменений годо вого стока. г) предложен и реализован способ прогнозирования фрактальной раз мерности при изменении климата. Установлено, что фрактальная размер ность для территории Западной Африки уменьшается при увеличении темпе ратуры. Изменение размерности пространства вложения может наблюдаться только для определенных физико-географических условий. На официальную защиту выносятся следующие научные положения: а) методика фрактальной диагностики годового стока, обеспечивающая получение надежных результатов для целей частично инфинитного прогно зирования на основе только сетевой гидрометеорологической информации. б) способ прогнозирования изменения фрактальной размерности годово го стока на основе климатической нормы приземной температуры воздуха. в) гидрологические карты распределений критерия устойчивости, фрактальной размерности и размерности пространства вложения, а также прогнозные карты фрактальной размерности для Западной Африки. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах [26-31]. Выражаю глубокую благодарность сотрудникам кафедры гидрофизики и гидропрогнозов РГГМУ, доктору техн. наук, профессору В.В. Коваленко, канд. техн. наук Е. В. Гайдуковой за поддержку, научное руководство и консультирование. Спасибо Господу Иисусу Христу за все.
