Введение к работе
Актуальность темы. Хорошо известно, что многие системы дифференциальных уравнений, возникающие в физике, геометрии и механике и описывающие совершенно различные явления, тем не менее тесно связаны между собой (в некотором смысле похожи).
Изучению таких связей (другими словами, изоморфизмов разного характера) между различными системами было посвящено очень много работ, начиная с Мопертюи, Эйлера, Якоби, Минковского. В последние годы этот вопрос (в связи с проблемами интегрируемости) обсуждался в работах Фоменко А.Т.1, Новикова СП.2, Козлова В.В.3, Мозера4, Кноррера5, Веселова А.П.6 и других.
О каких типах изоморфизмов идет здесь речь? В зависимости от постановки задачи они могут быть весьма разнообразны. В настоящей работе речь идет главным образом о следующих двух хорошо известных отношениях эквивалентности среди динамических систем: сопряженность и траєкторная эквивалентность (непрерывная и гладкая).
Вопрос о классифиции динамических систем в смысле этих отношений эквивалентности является классическим (см. работы7,8,9).
В диссертации полностью решена проблема траекторной классификации для одного из важнейших классов динамических систем, а именно для невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
1 Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. - М.: МГУ, 1988.
Новиков СП. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. - УМН, 1982, Т. 37, 5, с. 3-49.
3Козлов В.В. Две интегрируемые задачи классической динамики. - Вестник МГУ, 1981, 4, с.80-83.
4Moser J. Various aspects ofintegrablc Hamiltonian systems. - Prog. Math., Vol. 8, Boston: Birkhauser.- 1980, p. 233-289.
5Knorrer II. Geodesies on quadrics and a mechanical problem of C.Neumann. - J. Reine Angew. Math., 1982, 334, p. 69-78.
eVeselov A.P. Two remarks about the connection of Jacob! and Neumann integrable systems. - Math. Zeitschrift, 1994, 216, p. 337-345.
7 Андронов A.A., Леонтович Б.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Паука, 1966.
8Аносов Д.В., Арансон С.Х., Бронштейн И.У., Грипес В.З. Гладкие динамические системы. II. — Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 1. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 151-242.
9Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.
Т. 1. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 7-149.
С другой стороны, построенная в диссертации теория траекторной классификации является естественным развитием теории грубой и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых систем, построенной в работах Л.Т.Фоменко10.
Цель работы. Целью работы является построение теории траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, исследование траекторных инвариантов таких систем, в том числе разработка методов их вычисления для конкретных интегрируемых задач геометрии и механики.
Методы исследования. В основе теории траекторной классификации, построенной в диссертации, лежит новый подход в качественной теории интегрируемых гамильтоновых систем, предложенный А.Т.Фоменко, и построенная им теория топологической классификации интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Мы используем также методы общей теории динамических систем, гамильтоновой механики, симплектической геометрии и трехмерной топологии.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации решены следующие задачи.
-
Построена теория непрерывной траекторной классификации гамильтоновых систем с двумя степенями свободы и описан полный набор соответствующих траекторных инвариантов.
-
Построена теория гладкой траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы и построен полный "гладкий" траекторный инвариант.
-
Получена классификация гамильтоновых систем с одной степенью свободы на двумерных поверхностях с точностью до непрерывных и гладких сопряжений.
-
Разработаны общие методы вычисления траекторных инвариантов для конкретных примеров интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
-
Вычислены траекторные инварианты двух классических интегрируемых систем: задачи Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и случая Эйлера в динамике твердого тела.
-
Обнаружен новый траекторный топологический изоморфизм между этими знаменитыми системами. С другой стороны показано, что в гладком смысле они траєкторно не эквивалентны.
10Fomenko А.Т. Topological classification of all integrable Hamiltonian differential equations of general type with two degrees of freedom. - In : The Geometry of Hamiltonain Systems. Springer-Verlag, 1991, p. 131-339.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в теории динамических систем, гамильтоновой механике, симплектической геометрии.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались
на семинаре "Современные геометрические методы" под руководством акад. А.Т.Фоменко,
на семинаре под руководством акад. Д.В.Аносова и проф. А.М.Степина,
на семинаре под руководством проф. А.С.Мищенко,
на семинаре под руководством проф. В.В.Козлова,
на семинаре под руководством д.ф.-м.и. Ю.С.Ильяшенко,
на семинаре проф. Поста в Бохумском университете (Германия, 1993),
на Ломоносовских чтениях (МГУ, 1994),
на заседании Московского Математического общества,
на семинаре проф. П.Рихтера в Бременском университете (Германия, 1994) (курс лекций),
на конференции "Топологическое моделирование и визуализация" (Токио, 1993),
на международном научном семинаре, посвященном 140-летию со дня рождения Анри Пуанкаре (Протвино, 1994).
Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 23 параграфа, и списка литературы. Объем диссертации — 298 страниц. Список литературы содержит 58 названий.
