Введение к работе
Актуальность темы. Римановы многообразия с теми или иными ограничениями на риманову метрику представляют собой важный объект современной дифференциальной геометрии. В частности, представляется важным исследование эйнштейновых многообразий, т. е. таких римаиовых многообразий (М,р), тензор Риччи Ric(p) которых пропорционален метрическому тензору р, т.( . Ric(p)=CP (C(R).
Интерес к многообразиям Эйнштейна определен двумя основными причинами:
Во первых, уравнение Ric(p)=C.p было предложено Эйнштейном как уравнение гравитационного поля в вакууме.
Во вторых, развитие теории многообразий Эйнштейна обус
ловлено и потребностями развития самой геометрии. Дело в
том, что р.шановы многообразия постоянной секционной кривиз
ны в значительной степени уже изучены [81. Следующей, по
простоте постановки, является задача отыскания всех римаио
вых многообразий постоянной кривизны Риччи (эйнштейновых
многообразий). ,i
Наибольшие успехи в решении этой задачи 'или достигнуты в компактном однородном римаповом.случае, хотя в последнее время полуены примеры и не однородных компактных эйнштейновых многообразий ((271,117],[291,1281,) Основные результаты, полученные і рамках пзданиг теории Эйнштейн вих многообразий, содержатся в работах Э.Картана І16), Дж.Вольфа [391,(40], Э.Калаби (19], Т.Обина [13], С.Т.Яу [41-43], М.Берже [15], Л.Берар-Бесжери [16], Г.Йенсена [22-25],
И.Громова 1201. М.Вана и В.Циллера 133-381, Н.Хитчина (2x1, Д.В.Алексеевского и Б.Н.Кимельфельда 11-4),15,6), О.В.Ыанту-рова 110-12) и многих других математиков. Наиболее полный обзор результатов относящихся к многообразиям Эйнштейна содержится в книге А.Бессе (7), где также приводится обширная библиография по этой тематике до 1990 года.
Заметив однако, что в общем случае задача классификации многообразий Эйнштейна является очень сложной, она представляется также сложной в случае однородных пространств. Так, например, до сих пор не решена такая проблема, поставленная А.Бессе (7|:
Классифицировать компактные односвязные однородные многообразия M"=G/H (с компактными G и И), которые допускают 0-инаарнантную метрику Эйнштейна.
Поэтому многие авторы предполагают наличие дополнительных ограничений: либо на алгебраическое строение G/11, либо на размерность пространства, либо на класс G- инвариантных римаковых метрик рассматриваемых на данном пространстве G/H и т.д. Иногда эти ограничения встречаются в той или иной комбинации. Так, например, И.-П. Бургиньон и Г. Kauiep |l8j, Г. Йеисен (24,251, В.Циллер |44|, И.Ван {32|, О.Ковальский и З.Влашек 1261 решали задачу классификации однородных эйнштейновых метрик на пространствах Берже-Уоллача. 114,311, а Г.йеисен решил І22) проблему А.Бессе в размерности л*4. В качестве другого примера можно привести классификацию стандартных однородных эйнштейновых многообразий с простой транзитивной группой движений, полученную Н.Ваном и В.Циллером І34І.
'"осле работ этих и других авторов естественным образом возник вопрос об исследовании однородных эйнштейновых многообразий с теми илч иными ограничениями алгебраического, метрического или иного характера.
Цель работы - изучение метрического строения однородных римановых многообразий, однородная риманова метрика которых является эйнштейновой.
I. Завершить классификацию однородных эйнштейновых мет
рик на пространствах Берже-Уоллача.
II. Дать ответ на проблему А.Бессе в размерности 5.
III. Получить классификацию стандартных однородных эйн
штейновых многообразий с простой группой изотропии, регуляр
ной алгеброй изотропии, симметриями конечного порядка.
IV. Дать классификацию всех редуктивных однородных ри
мановых пространств (а не только стандартных), соответствую
щих специаіьньїм простым тройным алгебрам Ли, впервые рассмо
тренным А.Сейглом.
V. Построить новые примеры однородных эйнштейновых про
странств.
' Методы исследования. Все результаты работы доказываются методами современной дифференциальной геометр"и с привлечением аппарата теории групп и алгебр Ли.
Задачи I и II реш .ются путем редукции к алгебрам Ли, с последующим использованием формул для вычисления секционной кривизны и кривизни Риччи однородного риманова пгостранства. Для решения классификационных задач III и IV удается привлечь дополнительные алгебраические структуры: либо элементы теории представлений (операторы Казимира, отмеченные схемы
Дынкина и т.д.), либо тройные алгебры Ли. тесно связанные с редуктивными однородными пространствами.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми и дают ответ на часть проблем, поставленных ранее Л.Бессе, И.-П. Бургиньоном, Г. Кашер, Г. Йенсенон, В.Циялером, М.Ваном, Д.В. Ллексеевским,
Завершг іа классификация однородных эйнштейновых метрик на компактных однородных пространствах допускающих однородную риманову метрику положительной секционной кривизны (пространствах Берже-Уоллача).
Дана классификация односвязных компактных однородных пятимерных многообразий Эйнштейна.
С помощью формулы, позволяющей вычислять кривизну Риччи с использованием "отмеченных" схем Дынкина, получена классификация стандартных однородных периодических эйнштейновых многообразий, а также стандартных однородных эйнштейновых многообразий с простой группой изотропии.
Доказаны структурные теоремы, типа теорем Костанта-де Рама, о метрическом строении стандартных однородных эйнштейновых многообразий. . /ановлена связь между стандартными однородными эйнштейновыми многообразиями и тройными алгебрами Эйнштейна.Получена классификация стандартных однородных эйнштейновых многообразий в регулярном случае.
Впервые дана классификация всех редуктивных однородных римановых пространств (а не только стандартных), соответствующих специальным простым тройным S-алгебрам Сейгла.
При помощи систем диофанговых уравнений построены новые примеры однородных пространств Эйнштейна.
"езультаты работы имеют теоретическое значение и могут найти применение в теории однородных эйнштейновых многообразий, а также п общей теории эйнштейновых многообразий.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики СО РАН, на заседаниях кафедры геометрии и топологии Новосибирского госуннверситета, на заседаниях кафедры геометрии Белорусского госуниверситета, на Всесоюзных конференциях по геометрии и анализу (Кяиинев-1988г., Кемерово-1988,1990г.г., Новосибирск-1989г.). на Международных конференциях: по геометрии и физике (ЧСФР-199ІГ.), по алгебре и анализу (Барна-ул-1991г.), по геометрии (Казань-1992г.), на чтениях посвященных памяти Н.И.Лобачевского (Москва-1992г.), на 3 и 7 Сибирских школах по алгебре и анализу (0мск-1990г., Иркутск-1993г.)
Публикации. По томе диссертации опубликовано 23 работы и 13 тезисов конференций.
Структура и объем. Диссертация изложена на 174 страницах и состоит из введения и четырех глав. Список литературы .-одержит 115 наименований.
