Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 11
1.1 Борелевские меры и их отбражения 11
1.2 Равномерные пространства 26
1.3 Знакопеременные меры 29
2 О некоторых категорных свойствах функторов UT и UR 34
2.1 Функтор UT 34
2.2 Функтор UR 39
3 Поднятие функторов UT и UR на категорию ограниченных метрических пространств и категорию равномерных пространств 46
3.1 Метрические пространства 46
3.2 Равномерные пространства 56
4 О полноте функторов UT И UR 61
4.1 Аксиома Мартина 61
4.2 О полноте функторов UT и UR 63
5 О мягкости отображений единичного шара борелевскихмер 67
5.1 Абсолютные экстензоры в категории Tych и обратные спектры 67
5.2 Мягкие отображения 72
6 О некоторых топологических и категорных свойствах знакопеременных мер 76
6.1 Борелевские меры и отображения 76
6.2 Функторы единичного шара 84
6.3 О норме Канторовича для знакопеременных мер 90
Литература 93
- Равномерные пространства
- Равномерные пространства
- Мягкие отображения
- О норме Канторовича для знакопеременных мер
Введение к работе
Знаменитая теорема Рисса об интегральном представлении линейных функционалов позволила перевести многие вопросы теории меры на язык функционального анализа и топологии. Эта теорема последовательно была доказана самим Ф. Риссом (1909 г) для отрезка, И. Радоном (1913 г) для компактов из Rn, С. Банахом (1937 г) и С. Саксом (1938 г) для метризуемых компактов и С. Какутани (1941 г) для произвольных компактов. Теорема Рисса была перенесена и на некомпактные пространства. Для нормальных пространств это сделал А.Д. Александров [7], для тихоновских — B.C. Варадарайн [7].
Эта теорема и теоремы А.Н. Тихонова о произведениях топологических пространств позволили начать интенсивные исследования слабой сходимости мер или -слабой топологии на множествах мер, которую мы будем называть просто слабой топологией.
Широкий прорыв в исследованиях по топологической теории меры произошел в 50-е годы XX столетия. В 1957 году Л. Ле Кам [13] ввел понятие т-аддитивной меры (под названием т-гладкой) и слабо радоновой меры. Годом ранее Ю.В. Прохоров [14] получил ряд глубоких результатов, из которых отметим два, придав им современные формулировки:
1) Пусть А С Мц(Х) — плотное семейство радоновых мер на тихоновском пространстве X. Тогда оно относительно компактно в Мц(Х). Если X гомеоморфно полному метрическому пространству, то верно и обратное: из относительной компактности семейства А С MR(X) вытекает его плотность (знаменитая теорема Прохорова). Напомним, что семейство А С М(Х) называется плотным, если для каждого є 0 существует такое компактное множество КЕ С X, что ц(Х \ КЕ) є для всех /І Є А.
2) Функторы Pji и Рт (радоновых и т-аддитивных вероятностных мер соответственно) переводят полные метризуемые пространства в полные метризуемые (метрика Прохорова индуцирует слабую топологию и сохраняет полноту метрических пространств). Я. Маржик [41] доказал, что всякая конечная бэровская мера на нор мальном счетно паракомпактном пространстве однозначно продолжается до регулярной борелевскои меры. Эта теорема позволила перенести хорошо разработанный аппарат исследования бэровских мер на борелев-ские меры.
В 1961 году появилась обстоятельная статья B.C. Варадарайна [7]. В ней, в частности, теорема Прохорова о сохранении полных метризуе-мых пространств функторами вероятностных мер была обобщена следующим образом: положительный конус М+ т-аддитивных бэровских мер сохраняет класс полных метризуемых пространств.
Большую роль сыграла теорема С. Дитора и Л. Эйфлера [33] о сохранении открытых отображений компактов различными функторами неотрицательных, в частности вероятностных, мер. Эта теорема была использована Р. Хэйдоном [39] для доказательства адекватности класса пространств Дугунджи и класса нуль мягких отображений, совпадения классов пространств Дугунджи и Л (0)-компактов и того, что всякое пространство Дугунджи является пространством Милютина. С. Дитор и Р. Хэйдон [34] доказали, что компакт Р{Х) является абсолютным ре-трактом тогда и только тогда, когда X является пространством Дугунджи веса и)\.
В дальнейшем значительная часть исследований по топологической теории меры все более принимала категорно-функториальную форму. Этому во многом способствовало введение Е.В. Щепиным [29], [30] класса нормальных функторов в категории компактов. Систематическое описание полученных в 70-е и 80-е годы результатов в этом направлении содержится в обзорах [24] и [25]. Эти обзоры хорошо дополняются статьями [38] и [6].
Детальное исследование функторов PR И РТ вероятностных радоновых и т-аддитивных мер в категории Tych тихоновских пространств было проведено Т.О. Банахом [3], [4]. Этому предшествовали работы автора [15], [16], [17], в которых аналогичные результаты получены для функтора Рр вероятностных мер с компактными носителями. В.В. Фе-дорчук [23], [37] в основном завершил программу Т.О. Банаха исследования функторов Рт и PR, связанную с их поднятиями на категории метрических и равномерных пространств.
В настоящей работе основными являются более общие объекты: единичный шар UT(X) и UR(X) неотрицательных т-аддитивных и радоновых мер соответственно на тихоновском пространстве X и функторы UT и UR. Исследуются категорные и топологические свойства функторов UT и UR. Эти функторы поднимаются на категории равномерных и метрических пространств. Исследуются вопросы сохранения топологической и равномерной полноты функтором UT. Показано также, что выход за пределы неотрицательных мер в область знакопеременных мер существенно ухудшает свойства функторов 11т и UR.
Диссертация состоит из введения и пяти глав. В первой главе даются предварительные сведения о функторах единичного шара борелевских мер и пространствах знакопеременных мер. Вторая глава посвящена категорным свойствам функторов UT и UR. Доказывается, в частности, что функторы U-r и UR обладают основными свойствами нормальности, кроме свойства сохранения точки, которая под воздействием этих функторов переходит в единичный отрезок [0, 1]. Основными результатами второй главы являются:
Теорема 2.1.2. Функтор Ur сохраняет прообразы, т.е. для любого отображения / : X — Y тихоновских пространств и любого подмножества А С К имеем /т(/)-1(/т(Л)) = UT(f l(A)).
Теорема 2.1.3. Функтор UT сохраняет класс совершенных отображений.
Теорема 2.1.4. Функтор UT сохраняет класс вложений.
Следствие 2.1.5. Функтор UT сохраняет класс замкнутых вложений.
Теорема 2.1.7. Функтор 11 Т сохраняет пересечения замкнутых подмножеств, т.е. для любого тихоновского пространства X и его замкнутых подмножеств Ха, а А, верно, что UT(f] АХа) =
Рассмотрим теперь вопрос о непрерывности функтора 11Т. Пусть А— направленное частично упорядоченное множество, {Ха,р1} — обратный спектр, индексированный множеством А и состоящий из тихоновских пространств. Через ]лтХа мы обозначаем предел этого спектра, а через ра : ]лтХа —)• Ха, а Є А — предельные проекции. Спектр {Ха,р2,} порождает обратный спектр {UT(Xa),UT(p1)}, предел которого мы обозначаем через Цт[1Т(Ха), а предельные проекции через pra : mUT(Xa) - UT(Xa). Отображение UT(pa) : UT( mXa) -» UT(Xa) порождает отображение R : UT(\jmXa) -» timUT(Xa). Известно, что если все Ха компактны, то отображение R — гомеоморфизм. Это следует из непрерывности функтора U в категории компактов. Теорема 2.1.8. Отображение R : UT(hmXa) — ]imUT(Xa) является вложением. Если предельные проекции ра : ]in\Xa — Ха — плотны (т.е. ра(]\тХа) всюду плотно в Ха), тогда множество R(UT(11mXa)) всюду плотно в ]imUT(Xa).
Теорема 2.1.10. Функтор Ur сохраняет плотность тихоновских пространств, т.е. d(UT(X)) $С d(X) для любого бесконечного тихоновского пространства X.
Теорема 2.1.11. Функтор UT сохраняет вес тихоновских пространств, т.е. w(UT(X)) = w(X) для любого бесконечного тихоновского пространства X.
Теорема 2.1.12. Функтор UT сохраняет класс метризуемых пространств.
Теорема 2.1.14. Функтор UT сохраняет класс р-паракомпактов. Теорема 2.1.16. Функтор UT сохраняет полные по Чеху пространства.
Предложение 2.2.4. Функтор UR сохраняет прообразы, т.е. для любого отображения f : X — Y тихоновских пространств и для любого А С Y выполнено соотношение Vк(/)-1(UR(A)) — UR(f 1(A)). Предложение 2.2.12. Пусть / : X — Y — отображение сепара-белъиых метрических пространств, допускающее борелевскую селекцию. Тогда отображение UR(J) : UR(X) —У UR(Y) сюръективно. Теорема 2.2.14. Пусть f : X — Y — открытое отображение сепа-рабельных метрических пространств, допускающее локальную борелевскую селекцию. Тогда отображение UR(/) : UR(X) — UR(Y) открыто.
В третьей главе исследуются метрические и равномерные свойства функторов UT и UR. Доказывается, что эти функторы поднимаются на категории BA4etr ограниченных метрических пространств, BAietru ограниченных метрических пространств и равномерно непрерывных отображений, Unif равномерных пространств. Из других результатов этой главы отметим, что функтор UT сохраняет полноту метрических пространств.
В основе приведенных выше результатов о поднятии функторов лежит одна старая (1942 г.) конструкция Л.В. Канторовича [10], примененная им для решения задачи оптимизации перемещения масс. Эта конструкция была применена В.В. Федорчуком [23] для построения тройки бесконечных итераций функтора вероятностных мер. Конструкция Канторовича сопоставляет метрике р на компакте К норму - на векторном пространстве MS(K) всех знакопеременных регулярных мер на / ", которая порождает слабую топологию на ограниченных (относительно нормы полной вариации) подмножествах MS(K). Эта конструкция обобщается и на произвольные ограниченные метрические и псевдометрические пространства, что и было сделано в данной главе, но только для неотрицательных мер.
Пусть \x,v Є Рт{Х). Положим h(n,v) = {А Є РГ(Х х X) : prt(A) = fj., pr2(A) = і/}, где ргг : РТ(Х х X) — • РТ(Х) — отображение, порожденное проектированием на г-ый сомножитель. Множество A(fi,v) не пусто. В самом деле, /л (& v РТ(Х х X) и, очевидно, что //(g) v Є Л(/І, и).
Пусть р — ограниченная непрерывная псевдометрика на X. Определим функцию Рт(р) : Рт(Х) X РТ(Х) —У R+ следующим образом:
Рт(р)(р,, и) — inf JxxxP • Є A(/i,f) . Поскольку определение множества A(p,v) не зависит от псевдометрики р, из определения непосредственно вытекает, что для пропорциональной псевдометрики tp, где t О, имеем PT(tp) = tPT(p).
Лемма 3.1.2. Существует такая мера А Є А([г,і/), что PT(p)(p,v) = Х(р).
Предложение 3.1.3. Если р — ограниченная непрерывная (псевдо) метрика на X, то РТ(р) — ограниченная (псевдо) метрика на РТ(Х), причем diamPT(/9) = diamp.
Пусть снова р — ограниченная непрерывная псевдометрика на X и d = diamp. Для мер /л, v Є UT(X) положим
UT(p)(f.i,u) = min{M,H} • Рт{р)(щ,щ) +d- ИІ - IMl; I-1 1 0 UT(p)( ) = d-\\p:\\.
Из этого определения вытекает, что для пропорциональной псевдометрики tp имеем UT(tp) — WT(p).
Предложение 3.1.5. Для любой ограниченной непрерывной (псевдо) метрики р на X функция UT(p) является (псевдо) метрикой на Ur(X), причем diam(/T(/o) = diamp и UT(p)\X = p.
Предложение 3.1.7. Для любой ограниченной непрерывной псевдометрики р на X псевдометрика РТ(р) непрерывна на РТ(Х).
Предложение 3.1.9. Для любой ограниченной непрерывной псевдометрики р на X псевдометрика UT(p) непрерывна на UT(X).
Предложение 3.1.10. Если р — совместимая ограниченная метрика на X, то UT(p) — совместимая метрика на UT(X).
Теорема 3.1.13. Функторы UT и UR поднимаются на категорию BMetr.
Теорема 3.1.14. Функтор UT сохраняет полноту метрических пространств.
Следствие 3.1.18. Функторы UT и UR сохраняют равномерно непрерывные отображения ограниченных метрических пространств.
Теорема 3.1.19. Функторы UT и UR поднимаются на категорию BMetru.
Теорема 3.2.2. Пусть (Х,1А) — равномерное пространство и Ru — семейство всех ограниченных равномерно непрерывных псевдометрик.
Тогда семейство UT(Ru) — {UT(p) : р Є Ru} порождает равномерность naUr(X).
Предложение 3.2.4. Если (Х,р) — ограниченное метрическое пространство, то равномерности UT(U{p)) и U{UT{p)) на UT(X) совпадают.
Теорема 3.2.5. Если f : (X,U) -4- (Y, V) — равномерно непрерывное отображение, то отображение UT(f) : (UT(X),UT(U)) — (UT(Y),UT(V)) также равномерно непрерывно.
Теорема 3.2.6. Функторы UT и UR поднимаются на категорию Unif равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений.
В четвертой главе исследуются вопросы о равномерной и топологической полноте функторов UT и UR. ДЛЯ вероятностных мер практически исчерпывающие результаты в этом направлении получены В.В. Федорчуком. Их удалось обобщить на функторы UT и UR. Основным результатом этой главы является теорема, утверждающая, что в предположении аксиомы Мартина равномерное пространство UT(X) полно для всякого пространства X равномерного веса с. Эта теорема имеет много следствий. Вместе с результатами о несохранении функторами UT и UR равномерной и топологической полноты это позволяет сделать вывод о том, что вопросы о равномерной и топологической полноте пространства ІІТ(Ш.Ш1) не могут быть разрешены в рамках аксиоматики ZFC. Основными результатами четвертой главы являются:
Теорема 4.2.1 (МА) Если X — полное равномерное пространство равномерного веса к с, то равномерное пространство UT{X) также полно.
Следствие 4.2.2 (МА) Равномерное пространство UT(Y[{Ma а Е к с}), где Ма — полные метрические пространства, полно.
Следствие 4.2.3 (МА) Топологическое пространство UT(Y\{Ma : а Є к с}), где Ма — полные метрические пространства, полно по Дъе,-донне.
Следствие 4.2.4 (МА) Равномерное пространство ит(Шк), к с, полно.
Следствие 4.2.5 (МА) Топологическое пространство UT(Rh), к с, полно по Дъедонне.
Следствие 4.2.6 (МА(ых)) Равномерное пространство f/T(RW1) полно.
Следствие 4.2.7 (MA(cux)) Топологическое пространство ит{Ш.Ш1) полно по Дъедонне.
Следствие 4.2.8 (МА) Топологическое пространство UT(Kk), к с, вещественно полно.
Следствие 4.2.9 (МА(ц)) Топологическое пространство 1/Т(Ш.Ш1) вещественно полно.
Напомним, что Q-весом вещественно полного пространства X называется такое наименьшее кардинальное число fc, что существует замкнутое вложение X в Rfc.
Теорема 4.2.10 (МА) Если X — вещественно полное пространство Q-веса к с, то пространство UT(X) вещественно полно. Следствие 4.2.11 (МАЦ)) Если X замкнуто в Ш.Ш1, то UT(X) вещественно полно.
Предложение 4.2.13 Пространство /УТ(КС) не является ни вещественно полным, ни полным по Дъедонне.
Следствие 4.2.14 Равномерное пространство (/Т(Е.С) не полно. Следствие 4.2.15 (СН) Пространство UT(M.W1) не является ни вещественно полным, ни полным по Дъедонне, ни полным как равномерное пространство.
Предложение 4.2.16 Вопросы о равномерной и топологической полноте пространства ит(ЖШі) не могут быть разрешены в рамках аксиоматики ZFC.
Основными результатами пятой главы являются Теоремы 5.2.2 и 5.2.3. Первая из них утверждает, что функтор UT переводит 0-мягкие отображения пространств веса и \ на польские пространства в мягкие отображения. Теорема 5.2.3, являющаяся следствием Теоремы 5.2.2, утверждает, что функтор 11 Т переводит Л.Е(0)-пространства веса ьо\ в Л-пространства. Эти теоремы доказываются в предположении аксиомы Мартина MA(wi). Для функтора Рт соответствующие утверждения доказаны в [26].
Распространить эти результаты на пространства веса и 2 нельзя (Замечание 5.2.4). Для пространств веса a i эти утверждения нельзя получить без дополнительных теоретико-множественных предположений. Так из Предложения 5.2.5 вытекает, что вопрос о том, является ли пространство УТ(КШ1) абсолютным экстензором, нельзя разрешить в аксиоматике ZFC.
Теоремы 5.2.2 и 5.2.3 нельзя перенести на функтор UR единичного шара радоновых мер. В самом деле, в [21] показано, что UR(R.MI) не является вещественно полным пространством и, следовательно, (/д(К.Ш1) АЕ(0).
В шестой главе проводится систематическое изучение пространств знакопеременных мер и их непрерывных отображений. Показано, что функторы UT и UR единичного шара знакопеременных борелевских мер удовлетворяют только трем из семи свойств нормальности, присущих функторам неотрицательных мер. А именно, эти функторы почти непрерывны, сохраняют отображения с плотными образами и пересечения замкнутых подмножеств нормальных пространств. Ключевым утверждением главы является предложение, гласящее, что для бесконечного дискретного пространства X пространства UT(X) и 1/ц(Х) не удовлетворяют первой аксиоме счетности и даже не являются пространствами Фреше-Урысона. Отсюда вытекает, что функторы UT и UR не сохраняют топологические вложения, вес топологических пространств и их метризуемость. Кроме того, эти функторы не сохраняют совершенные отображения (даже пространств со счетной базой).
Из других результатов шестой главы можно отметить что уже на единичном шаре знакопеременных мер с компактными носителями норма Канторовича порождает слабую топологию только, если X— компакт.
Равномерные пространства
Равномерное пространство есть пара (X,Ы\ где X — множество, a,U семейство окружений Е диагонали Ах С X х X, удовлетворяющее аксиомам равномерности. С основами теории равномерных пространств читатель может познакомиться в [35], гл. 8. Мы рассматриваем только отделимые равномерности. Следовательно, топологически мы по прежнему остаемся в пределах тихоновских пространств. Теперь напомним лишь простейшие понятия и факты, с которыми мы постоянно будем работать. Говорят, что U есть равномерность на топологическом пространстве X (или равномерность Ы совместима с топологией пространства X), если топология равномерного пространства (Х,Ы) совпадает с топологией пространства X. Псевдометрика р : X х X — R называется равномерно непрерывной (по отношению к равномерности U), если для каждого є О существует такое окружение диагонали Е Є U, что р(Е) С [0,є). Если (Х,Ы) — равномерное пространство, то семейство Ки всех ограниченных псевдометрик на X, которые равномерно непрерывны по отношению к равномерности U, обладает следующими свойствами: (UP 1) Ru направлено вверх; (UP 2) Ru разделяет точки пространства X. Наоборот, для всякого семейства R (ограниченных) псевдометрик на множестве X, которое обладает свойствами (UP 1) и (UP 2), семейство BR всех окружений диагонали вида есть база некоторой равномерности на X, по отношению к которой всякая псевдометрика из R равномерно непрерывна. Примером семейства R псевдометрик на X, обладающего свойствами (UP1) и (UP 2), является семейство, состоящее из одной метрики р на X. Равномерность, базу окружений которой образуют множества (1.22), R = {р}, называется метрической равномерностью метрического пространства (Х,р) и обозначается U(p). Разные метрики на X могут иметь одинаковые метрические равномерности. Так, например, для произвольной метрики р и метрики р\ — min{ », 1} имеем и(р) = 1А(р\). Этот пример показывает, что при исследовании равномерных пространств достаточно использовать только ограниченные метрики (и псевдометрики). В будущем, не оговаривая особо, мы всегда будем это предполагать. Пусть (Хп,ра), а 6 Л, — конечное множество метрических пространств. Положим ХА = П{Ха : а Є Л}, Ыл = П{ (/«) : а } и рл = тах{/эа : а Є А]. Непосредственно из определений извлекается следующее утверждение. 1.2.1. Предложение.
Справедливо равенство ЫА =U(pА)- Напомним, что направленностью в множестве X называется всякое его подмножество, индексированное частично упорядоченным направленным вверх множеством. Итак, направленность — это множество вида N = {хр Є X : /З Є В}. Направленность N точек равномерного пространства (X, U) называется направленностью Коши этого пространства, если для всякого окружения диагонали Е Ы существует такое (3 = /3(E), что (ж7,жу) Є Е для любых 7,7 Є В, (3 7?7 - Направленность N точек метрического пространства (Х} р) называется направленностью Коши этого метрического пространства, если для всякого 0 существует такое [3 — (3(є), что (ж7,жу) є для любых 7,7 Є В (З 7і7 - Выделим следующее утверждение, хотя и являющееся практически тавталогией, но необходимое в дальнейшем. 1.2.2. Предложение. Направленность N точек метрического про странства (Х,р) является его направленностью Коши т,огда и только тогда, когда N является направленностью Коши равномерного пространства (X,U(p)). Легко видеть, что всякая направленность Коши ./V метрического пространства (X, р) содержит конфинальную поднаправленность NQ = {ж/?„ : /3\ ($2 }-, являющуюся фундаментальной последовательностью в (X, р). Поэтому имеет место 1.2.3. Предложение. Метрическое пространство (Х,р) полно тогда и только тогда, когда всякая его направленность Коши сходится. Из Предложений 1.2.2 и 1.2.3 вытекает 1.2.4. Предложение. Метрическое пространство (Х,р) полно тогда и только тогда, когда полно равномерное пространство (X,U(p)). Окончательным обобщением Предложения 1.2.4 является 1.2.5. Теорема. Равномерное пространство полно тогда и только тогда, когда оно равномерно изоморфно замкнутому подмножеству произведете полных метрических пространств (Ха,ра) или, более точно, полных равномерных метрических пространств (Ха,Ы(ра)). Напомним, что пространство называется полным по Дьедонне, если оно полно в некоторой совместимой равномерности. Частным случаем полных по Дьедонне пространств является вещественно полные пространства, т.е. замкнутые подмножества КА Очевидно, что полнота по Дьедонне и вещественная полнота сохраняются при переходе к замкнутым подпространствам. 1.2.6. Теорема ([44] или [35], 8.5.13(h)). Всякое удовлетворяющее условию Суслина, в частности сепарабелъное, полное по Дьедонне пространство вещественно полно. 1.2.7. Теорема ([40] или [35], Теорема 3.11.12). Каждое линделёфово пространство вещественно полно. 1.2.8. Предложение ([35], Следствие 3.11.8). Каждое функционально открытое подмножество вещественно полного пространства вещественно полно. 1.2.9. Предложение ([32] или [35], 8.5.13(f)). Полнота по Дьедонне наследуется F -множ ествами, в частности, функционально открытыми множествами. 1.2.10. Предложение ([42] или [35], 8.5.13(b)). Каждое параком- пактное пространство полно по Дьедонне. Из Предложений 1.1.38 и 1.2.8 вытекает 1.2.11. Предложение. Пространство UT(X) (соответственно UR(X)) вещественно полно тогда и только тогда, когда простран ство МТ(Х) (соответственно Мц(Х)) вещественно полно. Из Предложений 1.1.38 и 1.2.9 вытекает 1.2.12. Предложение. Пространство UT(X) (соответственно UR(X)) полно по Дъедонне тогда и только тогда, когда простран ство МТ(Х) (соответственно Мц(Х)) полно по Дъедонне. 1.3 Знакопеременные меры Пусть X — тихоновское пространство, В(Х) — сг-алгебра всех бо-релевских подмножеств пространства X. Ворелевской (знакопеременной) мерой на X называется произвольная счетно-аддитивная функция [і : В(Х) -» Ж. Множество всех борелевских мер на X обозначается через М(Х).
В дальнейшем мерами на X называются элементы множества М(Х). Мера Є М(Х) называется неотрицательной, если ц(В) 0 для всякого В Є В(Х). Множество неотрицательных мер на X обозначается через М+(Х). Полной вариацией меры п. М(Х) называется неотрицательная функция \ц\ : В(Х) -4- [0,+оо), определенная равенством где 7г пробегает все конечные разбиения множества В на борелевские множества. Ясно, что Следующее утверждение общеизвестно и достаточно очевидно. Множество М(Х) является векторным пространством относительно обычных операций сложения и умножения на вещественные числа. Очевидно, что функция \\/J,\\v = \/л\(Х) есть норма на М(Х), называемая нормой полной вариации, а пара (М(Х), \\-\\v) является банаховым пространством. Множество М+(Х) является конусом в М(Х), т.е. множеством, замкнутым относительно линейных комбинаций с неотрицательными коэффициентами. Следующее утверждение очевидно. 1.3.2. Предложение. Если ц, Є М(Х), то функции LL+ — 2 м и ц — й являются неотрицательными мерами. При этом 1.3.3. Теорема Жордана ([9], глава III). Если ц Є М(Х) и В Є Из Теоремы 1.3.3 легко выводится 1.3.4. Предложение. Если fj, — Ці — /х2, где ІІІ Є М+(Х), т,о /х+ $С Мера \і называется радоновой (т-аддитивной, регулярной), если \ц\— радонова, r-аддитивная, регулярная мера соответственно. Множество радоновых (соответственно т-аддитивных, регулярных) мер на X будем обозначать через MR(X), МТ(Х), МГ(Х) соответственно. Неотрицательные конусы этих мер будем обозначать через М+(Х), М+{Х) и МГ+(Х). Для меры /j, Є М+(Х) определен ее носитель: supp// = f]{F : F Є Т(Х), fJ.{F) — ц(Х)}. Из т-аддитивности [І вытекает Для /л 6 МТ(Х) полагаем Через М@(Х) обозначается множество всех мер /л Є М (Х), носители которых компактны. Для тихоновского пространства X очевидны включения М0(Х) С MR{X) С МТ(Х) С МГ(Х). Легко видеть также, что МТ(Х) — МГ(Х) для линделефова (в частности, для компактного) X. Следующее утверждение достаточно очевидно. 1.3.5. Предложение. Пусть Ц\:Ц2 М+(Х). Тогда \i\ + Ц2 Є М(Х) в том и только в том случае, когда \Х\,[12 Є МЄ(Х), где є = /3,R,T,r. 1.3.6. Следствие. Пусть і,/л2 Є М+(Х), ц\ /і2 и fi2 Є МЄ(Х). Тогда ІД Є М(Х). Очевидно также, что для любых /і Є М(Х) и а Є R. Из (1.32) вытекает 1.3.7. Предложение. Множества МЄ(Х), є — (3,R,r,r являются линейными подпространствами банахова пространства М(Х).
Равномерные пространства
Для дальнейшего нам потребуется еще одно утверждение о топологии пространства X. Говорят, что семейство R псевдометрик на X порождает топологию пространства X, если семейство -шаров образует открытую предбазу пространства X. В этом случае все псевдометрики из Я необходимо непрерывны. Если же R направлено, то семейство (3.36), будучи предбазой, является базой пространства X. 3.2.1. Предложение. Пусть R — направленное семейство ограничен ных непрерывных псев до метрик на X, которое разделяет точки и за мкнутые множества пространства X. Тогда семейство псевдоме трик U(Я) = {UT(p) : р Є R] порождает топологию пространства ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно Предложению 1.1.39 семейство (1.21), со стоящее из множеств О(ро, р-, 1), образует предбазу окрестностей меры р,о. По Предложению 3.1.9 псевдометрики UT(p), р Є R, непрерывны. Следовательно, -шары 0ST (/) открыты. Поэтому нам достаточно показать, что в предбазисной окрестности 0(/Uo, , 1), где р равномерно нерпрерывна относительно р Є Я, содержится -шар 0ЕТ (р0). Но в точности это и было сделано при доказательстве Предложения 3.1.10. При этом, никак не было использовано то, что р — метрика. 3.2.2. Теорема. Пусть (Х,Ы) равномерное пространство и Ru — семейство всех ограниченных равномерно непрерывных псевдометрик. Тогда семейство UT(Ru) = {UT(p) : р Ru} порождает равномерность на UT(X). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Семейство UT(Ru) обладает свойством {UPI) в силу Предложения 3.1.6. Далее, семейство Ry разделяет точки и замкнутые множества пространства X. В самом деле, пусть х Є X \ F. Существует такая равномерно непрерывная функция кр : X — [0,1], что (р(х) = 0 и p(F) — 1- Положим p(xi,x2) = \ip(xi) — ip{x2)\- Ясно, что р есть равномерно непрерывная ограниченная псевдометрика и p{x,F) = l. Итак, семейство Ru удовлетворяет условиям Предложения 3.2.1. Следовательно, семейство UT(Ru) порождает топологию пространства UT(X).
В частности, UT{Ru) разделяет точки пространства UT(X), т.е. удовлетворяет условию (UP 2). Обозначим равномерность, порожденную семейством псевдометрик UT(Ru), через UT(U). Будем называть семейство R ограниченных равномерно непрерывных псевдометрик на равномерном пространстве (Х,Ы) базисным, если для всякого окружения диагонали Е Є U существует такая псевдометрика р Є R1 что Е Э /э_1[0,е) для некоторого е 0. 3.2.3. Предложение. Если R — базисное семейство псевдометрик равномерного пространства (X,U), то UT(R) является базисным се мейством псевдометрик равномерного пространства (UT(X)1UT(U)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Е — произвольное окружение диагонали из равномерности UT(U). По определению этой равномерности (Тео рема 3.2.2) существуют такая псевдометрика р Є Ru и є 0, что МР)-1 6) С Е. Поскольку R — базисное семейство равномерности U, существуют такие р\ Є R и 8 0, что /9 (0,5) С р-1[0,). Это включение влечет (, 5)-равномерную непрерывность тождественного отображения (X,pi) — (X, р). Пусть d = max{diampi, diamp}. Тогда согласно Лемме 3.1.17 тождественное отображение (UT(X),UT(pi)) -+ (UT(X),UT{p)) является (є, )-равномерно непрерывным. Следова тельно, Uripi)-1 , ) С Ur{p)-l[ ) СЕ. Для метрического пространства (X, р) через Ы{р) обозначим равномерность на X, порожденную метрикой р. Из Предложения 3.2.3 непосредственно вытекает 3.2.4. Предложение. Если (Х,р) — ограниченное метрическое про странство, то равномерности UT(U(p)) и U{Ur{p)) на Ur{X) совпа дают. Следующее утверждение также вытекает из Леммы 3.1.17. 3.2.5. Теорема. Если f : (X,7_Y) -4 (У, V) — равномерно непрерывное отображение, то отображение. UT{f) : (UT{X),UT{U)) -+ (Ur(Y),UT(V)) также, равномерно непрерывно. Из Теорем 3.2.2, 3.2.5 и Предложения 3.2.4 вытекает 3.2.6. Теорема. Функт.ор UT Tych -+ Tych и, следовательно, его подфункторы UR и Up поднимаются на категорию Unif равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Напомним, что через 8(Х) обозначается множество всех мер Дирака на X. Это множество замкнуто в UT(X) и гомеоморфно X. Из Предложения 3.1.5 вытекает 3.2.7. Предложение. Для всякого равномерного пространства (Х,К) отображение 8 : (X,U) — (UT(X),Ur(U)) является равномерным вложением. 3.2.8. Предложение. Если f : (Х,Ы) — (Y, V) — равномерное вложение, то отображение UT(f) : (UT(X),UT(U)) -+ (UT(Y), UT(V)) также является равномерным вложением. Это утверждение вытекает из того, что всякая ограниченная равномерно непрерывная псевдометрика на подпространстве X равномерного пространства (У, V) продолжается до ограниченной псевдометрики на У, которая равномерно непрерывна относительно V (см. [35], 8.5.6). 3.2.9. Теорема. Равномерное пространство (X,U) прекомпактно тогда и только тогда, когда прекомпактмо пространство {UT(X),UT(U)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость вытекает из Предложения 3.2.7 и того, что подпространство прекомпактного пространства прекомпактно. Пусть теперь (X,U) — прекомпактное пространство. Тогда его пополнение (Х,Ы) является компактом. Согласно Предложению 3.2.8 пространство (UT(X),UT(U)) равномерно вкладывается в компактное пространство UT(X) — U(X) и, следовательно, прекомпактно. 3.2.10. Следствие. Метрическое пространство (Х,р) вполне ограни чено тогда и только тогда, когда вполне ограничено пространство (Ur(X),UT(p)).
Для равномерного пространства (Х,Ы) через Su(X) обозначим его сэмюэлевскую компактификацию, т.е. пополнение пространства (X, Up), где Ыр — максимальная прекомпактная равномерность, содержащаяся в Ы. Сэмюэлевская компактификация Su продолжается до ковариант-ного функтора S : Unij — Сотр. Существует естественное преобразование Т : S о UT —) U о S, компоненты Ти которого определяются следующим образом. Тождественное отображение (Х Ы) — (Х,ЫР) равномерно непрерывно. Следовательно, равномерно непрерывно вложение ІЦ : (X,U) —» Su(X). Значит, равномерно непрерывно отображение UT(iu) : (UT(X),UT(U)) -4- U(Su{X)). Но операция преком-пактификации Ы — Ыр является ковариантным функтором. Следовательно, отображение UT{iu)v : {Ur{X),UT{U)v) - U{Su(X)) также равномерно непрерывно. Это отображение продолжается до отображения Ты SUT(U)(UT(X)) - U(Su(X)) пополнений. 3.2.11. Предложение. Если равномерность Ы прекомпактна, то отображение Ту является гомеоморфизмом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ равномерность Ы прекомпактна, то отобра жение іц является равномерным вложением. Поэтому согласно Пред ложению 3.2.8 отображение UT(iu), которое совпадает с UT(iu)p в силу Теоремы 3.2.9, является равномерным вложением. Следовательно, Тц является гомеоморфизмом, будучи пополнением равномерного вложения всюду плотного подпространства. 3.2.12. Замечание. Предложение 3.2.11 является частичным аналогом Следствия 3.1.15 для равномерных пространств. Но это следствие не может быть обобщено на произвольные (не прекомпактные) равномерности, поскольку В.В. Федорчук доказал [37], что равномерное пространство РТ(Ш.С) не полно. А поскольку Pr(Rc) замкнуто в f/T(]Rc), пространство [/Т(ЕС) также не полно. О полноте функторов UT и UR Напомним некоторые определения и факты, относящиеся к аксиоме Мартина. Элементы р, q Є Р частично упорядоченного множества (Р, ) называются сравнимыми, если существует такой элемент г Є Р, что р ( г и f г. Множество Q С Р, элементы которого попарно несравнимы, называется цепью множества Р. Говорят, что множество Р удовлетворяет условию спешности цепей (ссс), если каждая цепь в Р счетпа. Множество Q С Р называеся плотмым в Р, если для всякого р Є Р существует такое q Q, что р q. Пусть Ф — семейство множеств из Р, каждое из которых плотно в Р. Множество G С Р называется Ф-генерическим, если 1) G пересекается с каждым F Ф; 2) любые два элемента из G сравнимы. Аксиома Мартина формулируется следующим образом. МА. Пусть Р — частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условию счетности цепей. Пусть Ф — семейство множеств, каждое из которых плотно в Р. Пусть \Ф\ с. Тогда Р содержит Ф-генерическое множество. Очевидно, что МА следует из СН. Соловей и Тэнненбаум [45] доказали, что непротеворечивость ZFC влечет непротеворечивость ZFC+MA+1CH, т.е. существуют ZFC-модели теории множеств, в которых одновременно имеют место и аксиома Мартина и отрицание континуум-гипотезы.
Мягкие отображения
Обратный спектр S назовем т-непрерывным, если отображение Rs : UT(]imS) — hjnUT(S) является гомеоморфизмом. Обратный спектр S — {Х а,р р , А} называется (замкнутым) подспектром спектра S = {Ха,рр, Л}, если существует такой морфизм Ф = {іра : а Є A} : S —У S, что всякое отображение іра : Х а — Ха является (замкнутым) вложением. В этом случае отображение автоматически является замкнутым вложением. 5.2.1. Лемма. Пусть S — подспектр спектра S. Тогда (1) Rs является ограничением отображения Rs на UT(\rmS ). Если, кроме того S замкнут в S, (2) Rs есть замкнутое вложение. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим отображение / : Um(/T(S") -» Iim(/T(5) как предел морфизма /т(Ф) : UT(S ) — Ur(S). Поскольку UT сохраняет (замкнутые) вложения (Теорема 2.1.4 и Следствие 2.1.5), РТ(Ф) является (замкнутым) вложением. Тогда согласно (5.16) отображение / является (замкнутым) вложением. В наших обозначениях условие (1) эквивалентно Пусть па и п а — предельные проекции спектров UT(S) и UT(S ). По определению отображений Rs и Rs имеем где pa и p a — предельные проекции спектров S и S . По определению отображения р = ЦтФ мы имеем ра о р а — ра о ip и, значит, Наконец, поскольку / = Цт(/т(Ф). Используя равенства (5.18)-(5.21), мы получаем, что Поскольку отображения ла,а Є А разделяют точки пространства UT(S), равенство (5.22) влечет выполнение условия (1). Пусть теперь Ф — замкнутое вложение, a R$ — гомеоморфизм. То гда UT(ip) является замкнутым вложением. Отсюда, в силу (5.17), еле-. дует, что foRgi есть замкнутое вложение. Но тогда вложение R$i также замкнуто. 5.2.2. Теорема (MA(cui)). Если / — ft-мягкое отображение пространства X веса и)\ на польское пространство Y, то UT(f) мягко. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Начнем с того, что в силу Предложений 5.1.4 и 5.1.8. Если wX = Шо, то X есть польское пространство ввиду Предложения 5.1.4. Поэтому UT(f) мягко по Теореме 5.1.10. Пусть теперь wX = ш\. Тогда R-w(X) = и)\ согласно (5.23) и Предложению 5.1.7. Значит, мы можем применить Теорему 5.1.14 и представить / как предельную проекцию 7Го факторизующего непрерывного спектра Sj = {Xa,7r"+1,wi}, который состоит из Л (0)-пространств Ха и 0-мягких проекций 7Г +1 с польским ядром.
Но тогда все элементы Ха спектра Sj имеют счетную базу и, следовательно, являются польскими пространствами по Предложению 5.1.4. Из Предложения 1.1.11 и Теоремы 2.1.8 вытекает непрерывность спектра UT(Sj). Пространства этого спектра — абсолютные экстензоры по теореме 5.1.11, короткие проекции мягки по Теореме 5.1.10. Мы докажем, что UT(Sj) удовлетворяет достаточным условиям Теоремы 5.1.14 для п = оо, если мы сможем доказать следующие два утверждения: (1) ит(тт0) гомеоморфно предельной проекции гро iim/-7-(5/) — UT(Y). (2) UT(Sj) — факторизующий спектр. Применяя Теорему 5.1.14 к отображению /, мы получаем, что существует замкнутое вложение Ф = {(ра : а Є tt i} : S/ — Т, где Т = {JAa х У,qAag х idy,W!}. Положим S = {IAa х bY,p х iaV,u?i}, где 6У — компактное расширение. Очевидно, что пара (S, Т) удовлетворяет условиям Леммы 4.1.2, значит, RT — гомеоморфизм. Из Леммы 5.2.1 вытекает, что Rgf — замкнутое вложение. Предельные проекции тта спектра Sj сюръективны, поскольку они 0-мягки в силу Теорем 5.1.14 и 5.1.15. По Теореме 2.1.8 имеем, что R$f — всюду плотное вложение. Значит, Rsf — гомеоморфизм. Обозначим предельные проекции спектра UT(Sj) через фа. Тогда (5.19) можно записать в виде {/т(тга) = фа о Rsf, откуда вытекает утверждение (1). 5.2.2.1. Утверждение. Проекции фа сюръективны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ц = /ха є UT(Xa). Нам надо найти такую нить т = {fig : (З Є CJX } спектра UT(Sj), что фа(т) — цп. Для /3 а положим fj,p = иТ(тгр)([іа). Меры fj,p для /3 а определяются трансфинитной рекурсией. Предположим, что они определенны для всех (3 а. Если 7 = (7 — 1) + І, то отображение СД-(7Г _х) сюръективно, поскольку оно мягко по Теореме 5.1.10. Значит, существует такая мера ц Є UT{X ), Если 7 — предельное число, то из Теоремы 2.1.8 вытекает, что для нити {lip : (3 7} спектра UT(S/)\ y существует мера у, 6 UT(X ), удовлетворяющая условию UT(iv2)(fi-y) = fip для всех (3 7- Таким образом, нужная нам нить m найдена. Утверждение доказано. Из Предложения 5.1.16 и Утверждения 5.2.2.1 вытекает 5.2.2.2. Утверждение. Проекции фа открыты. 5.2.2.3. Утверждение. Пространство UT(X) имеет свойство Су- слина. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно (5.23) все конечные степени Хп являются Л (0)-пространствами и, следовательно, имеют свойство Суслина по Предложению 5.1.13. Применение Предложения 1.1.34 завершает доказательство. Итак, предельные проекции фа спектра UT(Sj) сюръективны, от крыты, а его предел, гомеоморфный Ur(X) согласно (1), имеет свойство Суслина. Поэтому, из Теоремы 5.1.14 вытекает, что UT(S/) — фактори- зующий спектр. Утверждение (2) проверено. Теорема доказана. Из Теоремы 5.2.2, примененной к постоянному отображению, вытекает 5.2.3. Теорема (MA(wx)). Если X Є АЕ(0) и ш! и,, то Ur(X) Є АЕ. 5.2.4. Замечание. Распространить Теорему 5.2.3 на пространства X веса и2 нельзя ни при каких теоретико-множественных предположениях. В самом деле, в силу теоремы Дитора и Хэйдона [34], в качестве контрпримера можно взять тихоновский куб 1Ш2. Напомним, что вещественно компактными называются пространства, гомеоморфные замкнутым подмножествам тихоновских степеней Rfc вещественной прямой. 5.2.5. Предложение. Пространство f/T(Rc) не является абсолютным экстензором.
В самам деле, в [21] доказано, что (/Т(ЕС) не является вещественно компактным пространством. В то же время всякий абсолютный экстензор вещественно компактен [28]. 5.2.6. Предложение. Если f : X — У — такое отображение, что прообраз /_1(уо) некоторой точки у0 . У гомеоморфен Шс, то UT(f) не является, мягким отображением. В самам деле, если бы UT(f) было мягким, то UT(f) 1(S(y0)) Є АЕ, где 6{у0) - мера Дирака. Но /т(Я-1(%о)) = 4/-1 Ы) = Ur(W), что противоречит Предложению 5.2.5 О некоторых топологических и категорных свойствах знакопеременных мер 6.1 Борелевские меры и отображения Для пространства X через Ш.х обозначается алгебра всех отображений из X в Ж. Через С(Х) и Сь(Х) обозначаются подалгебры алгебры Ш, , состоящие соответственно из всех непрерывных и всех ограниченных непрерывных отображений. Алгебра Сь(Х), наделенная sup-нормой, является банаховым пространством. Одной из наиболее употребляемых топологий на С(Х) является топология поточечной сходимости, порожденная тождественным вложением С(Х) С Шх в тихоновскую степень прямой. Пространство С(Х), наделенное топологией поточечной сходимости, обозначается СР(Х). Всякое отображение / : X — У порождает сопряженное линейное отображение / : Ry — Жх, определяемое формулой / (у?) = f о f. Если отображение / непрерывно, то f {C(Y)) С С{Х) и Пусть X — подпространство пространства У и ix X — Y — тождественное вложение. Ясно, что для функции р : У — R ее ограничение р\Х на пространство X совпадает с г (ір). Вложение ix X — Y называется С-вложением (соответственно Сь-вложением), если ix(C(Y)) = С(Х) (соответсвенно ix(Cb{Y)) — Сь(Х)) или, что то же самое, если всякую (ограниченную) непрерывную функцию на X можно продолжить до (ограниченной) непрерывной функции на У. Ясно, что всякое С-вложенное подпространство будет являться Сь-вложенным. Из теоремы Брауэра-Титце-Урысона вытекает, что вся- кое замкнутое подмножество нормального пространства С-вложено в него. Через /ЗХ обозначается стоун-чеховская компактификация пространства X, т.е. наибольшее компактное расширение пространства X. Стоун-чеховская компактификация может быть охарактеризована следующим образом. 6.1.1. Предложение. Компактификация сХ пространства X явля ется стоун-чеховской тогда и только тогда, когда X Сь-вложено в Поскольку всякое непрерывное отображение в хаусдорфово пространство однозначно определяется своими значениями на всюду плотном подпространстве, из Предложения 6.1.1 вытекает 6.1.2. Предложение. Для тождественного вложения гх X — [ЗХ двойственное отображение гх : С(/ЗХ) —У Сь{Х) является изоморфиз мом банаховых пространств. Пространство X вкладываестя в Ср{Сь{Х)) посредством отображения вычисления evx- А именно, для х Є X, отображение evx(x) : Сь(Х) — Ж определяется следующим образом: Если / : X —У Y — непрерывное отображение, то второе сопряженное отображение / : Ср(Сь(Х)) — Ср(Сь(У)) также непрерывно.
О норме Канторовича для знакопеременных мер
Пусть X — метрический компакт. Банахову пространству С(Х) всех вещественных непрерывных функций на X по теореме Рисса алгебраически сопряжено пространство М(Х) всех борелевских знакопеременных регулярных мер на X. Если М(Х) снабдить нормой полной вариации -v, то банахово пространство М(Х) оказывается и топологически сопряженным пространству С(Х). Основным недостатком нормы полной вариации является то, что она никак не связана не только с метрикой компакта X, но и с его топологией. Так, например, при вложении Дирака S : X — М(Х) норма -v индуцирует на X метрику, в которой X оказывается дискретным пространством с попарными расстояниями между точками, равными 2. В 1942 г. Л.В.Канторович [10], решая задачу о перемещении масс, определил еще одну норму - на М(Х), которая впоследствии оказалась полезной и при решении других задач оптимизации (см. [11] и [12]). Приведем здесь вкратце его конструкцию. Через Мо(Х) обозначается множество всех мер р Є М(Х), для которых р(Х) = 0, т.е. р+(Х) = /л (Х). Для р, Є М0(Х) положим где отображение рп : М(Х х X) — М(Х) порождается проектированием pi; : X х X — X на г-ый сомножитель. Множество Лм не пусто. Так, если р ф 0, то м ,. Є Л„. Пусть теперь р — метрика на X и р Є MQ{X). Полагаем Оказывается, что -0 является нормой, индуцирующей на ограниченных по норме -„ подмножествах MQ(X) слабую топологию (см. [12], Теорема 2). Напомним, что слабая топология на множестве М(Х) и его подмножествах порождается вложением М(Х) = (С(Х)) С Ш х\ Поскольку MQ(X) является гиперплоскостью в М(Х), норму -о с Мо(Х) легко продолжить на М(Х). Л.В.Канторович предложил следующее продолжение. Пусть с diairbY — некоторая константа. Полагаем где \i/\ = v+Jrv . Оказывается (см. [12]), что -—есть норма на М(Х), продолжающая норму -о и порождающая слабую топологию на ограниченных по норме полной вариации подмножествах М(Х). Доказательство последнего утверждения существенно использует компактность X. Ниже мы увидим, что это не случайно. Конструкция Канторовича, описанная формулами (6.22), (6.23) и (6.24), допускает обобщение на пространство МТ(Х), где X — пространство с ограниченной метрикой р. Все определения можно повторить почти дословно. Осложнение возникает только с непустотой множества Лм, вернее с определением меры й + MfT Дело в том, что для определения интеграла в формуле (6.23) нам необходима какая-то форма регулярности меры Л Є Лд. В то же время, в отличие от компактного случая, произведение р\ х ц2 регулярных мер рг Є М+(ХІ) не всегда продолжается до регулярной борелевской меры на Х\ х Х2- Если же Рі Є ЛГЦХ), ТО Существует еДИНСТВеННОе Продолжение Меры Ll\ X р2 до r-аддитивной борелевской меры /л\ 8 LL2 на Х\ х Х2 (см. [31]).
Этим и объясняется, что при обобщении конструкции Канторовича мы вынуждены ограничиться т-аддитивными мерами. Итак, формулы (6.23) и (6.24) определяют нормы на пространствах MQ(X) и МТ(Х), которые мы будем обозначать символами - и -р соответственно. При этом, норма -р продолжает норму -Q и индуцирует на множестве X — S(X) С МТ(Х) исходную метрику р. Что же касается непрерывности этих норм в слабой топологии или даже сравнимости индуцированной топологии со слабой, вопрос оказывается сложнее, чем в компактном случае. 6.3.1. Теорема. Пусть (Х,р) — ограниченное метрическое пространство. Тогда норма \\-\\р непрерывна в слабой топологии на U (X) в том и только в том случае, когда метрика р вполне ограничена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Предположим, что для некоторого положительного є существует такое бесконечное множество Y С X, что для любых х,у Є Y. Поскольку -р непрерывна, существуют такие функции (i,..., ifk Є Сь(Х) и для всякой меры р из базисной окрестности О = О 0,(,01,... , , нулевой меры 0. Поскольку функции (fi ограничены, существует такое бесконечное множество Уо С Y, что ДЛЯ ВСЯКОГО І к, ГДЄ Ul(f) Колебание фуНКЦИИ /. ПуСТЬ Х\,Х2 — различные точки множества Уо- Положим /л — S(xi) — 8[х2)- Тогда ( -) = ( г(хі) — рі{х2)\ (согласно (6.27)) \8, т.е. р Є О. В то же время, из р Є MQ{X) вытекает, что /wp определяется равенством (6.23). Несложно показать, что \\р\\р = /pd\, где А = 8(х\,Х2)- Следовательно, )р согласно (6.25), что противоречит (6.26). Достаточность. Пусть р вполне ограничена и (Х, р) — пополнение (Х,р). Обозначим через і : X —У X тождественное вложение. Легко видеть, что отображение U0(i) : U {X) —У UI3{X) = U(X) непре рывно и \\р\\р = / (г)(//) . Применение упомянутой выше теоремы Канторовича-Рубинштейна завершает доказательство теоремы. D 6.3.2. Теорема. Пусть (Х,р) — ограниченное метрическое простран ство. Тогда если топология нормы \\-\\р мажорирует слабую тополо гию на и (Х), то всякая непрерывная ограниченная функция на X рав номерно непрерывна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что существует такая функция ір Є Сь(Х), которая не равномерно непрерывна. Тогда существует такое є О, что для любого п найдутся точки ж", , Для которых p{x x2l) , но (/?(#") — ( г)1 - Положим рп = \й{х\) — \НХ21)- Тогда ІІ/ пІҐ =(см. доказательство Теоремы 6.3.1)= (х х ) . Зна чит, в окрестности О 0,(у5, должны лежать почти все рп, но /in(t/?) = І9?(ж") — у?(жз) f. Противоречие. Теорема доказана. Из Теорем 6.3.1 и 6.3.2 вытекает 6.3.3. Теорема. Пусть (Х,р) — ограниченное метрическое простран ство. Тогда если норма -р индуцирует слабую топологию на U (X), то X — компакт. Таким образом, компактность пространства X оказывается необходимым и достаточным условием того, что норма Канторовича индуцирует слабую топологию на ограниченных подмножествах МТ(Х) и даже М0{Х). Другим следствием Теорем 6.3.1 и 6.3.2 является то, что на числовой прямой R не существует никакой ограниченной метрики /9, которая была бы равномерно эквивалентна эвклидовой метрике, и для которой топология нормы Канторовича была бы сравнима со слабой топологией на UT(R).
