Введение к работе
Объект исследования. В диссертационной работе изучаются квазигеодезические потоки и их морфизмы. Квазигеодезический поток (КП) D = (M,D) на многообразии М - это поток, порождаемый обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) 2-го порядка - векторным полем специального вида на пространстве ТМ касательного расслоения к :ТМ -> М. Базовое многообразие М потока D в механике принято называть пространством обобщенных координат, или конфигурационным пространством; в теории дифференциальных .уравнений оно называется пространстзом_зависимых переменных1нёизвестных функций). Произведение М = М х R (или его открытое подмногообразие) именуют пространством событий, или пространством зависимых и независимых переменных.
Исследуются морфизмы двух видов: траекторные и точечные. Траекторный (гомо)морфизм - это отображение базовых многообразий, переводящее траектории одного КП в траектории другого, вообще говоря, без сохранения параметра. Термин гомоморфизм употребляется в теории динамических систем (ДС) и в геометрии обычно по отношению к отображениям, сохраняющим вместе с траекториями и каноническую параметризацию на них; такие (гомо)морфизмы в работе называются тривиальными.
Точечный морфизм КП - это отображение пространств событий, переводящее интегральные кривые (графики решений) одного КП в интегральные кривые другого.
Теория траекторных морфизмов КП восходит к работам Мопертюи, Эйлера, Лагранжа, Якоби, Бельтрами, Аппеля, Пенлеве, Т. Леви-Чивиты; Дарбу, Дини и др. Для лагранжевых динамических систем проблема таких отображений была сформулирована Т. Леви-Чивитой в 1896 г. как проблема эквивалентности (траекторной юоморфности).
Систематическое изучение точечных изоморфизмов осуществлено С. Ли в ряде его классических работ. Из других авторов здесь следует отметить Альфана и Трессе.
Актуальность работы, естественность объекта и цели исследования обусловлены многочисленными связями с целым рядом
проблем, теорий, идей и принципов. К таковым относятся, например: проблема Т. Леви-Чивиты эквивалентности динамических систем, теория геодезических отображений римановых и аффинносвязных пространств, теория С. Ли точечных симметрии ОДУ, теория обобщенных пространств и их морфизмов (Финслер, Картан, Бервальд, Кнебелъман, Б.Л. Лаптев, В.В. Вагнер, И.П. Егоров и др.), проблема квазигеодезических отображений и моделирования физических полей A3. Петрова, принцип наименьшего действия Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби, идея Г. Герца бессиловой механики и др. Остановимся на этом несколько подробнее.
1. Леви-Чивита рассмотрел (с локальной точки зрения) диффеоморфизм Ф^М -*_М, являющийся эквивалентностью динамических систем D = (M,T,Q) nD = (M,T,Q) (Т и Т - кинетические энергии, Q и Q - обобщенные силы). Согласно нашей терминологии, Леви-Чивита изучал траекторные изоморфизмы потоков, соответствующих, указанным динамическим системам. Отметим, что работы Леви-Чивиты относятся - в основном - к случаю нулевых сил.
Изучение таких отображений представляет интерес с различных точек зрения: дифференциальных уравнений и классической механики, дифференциальной геометрии и современной математической физики. С точки зрения дифференциальных уравнений и механики открывается возможность исследования одной динамической системы D с помощью изоморфной ей (более "простой" ) системы D. Так, например, Леви-Чивита показал, что задачу интегрирования системы D можно считать решенной, если проинтегрирована изоморфная ей система D: интегралы первой находятся с помощью интегралов второй квадратурой. Кроме того, очевидно, посредством изоморфной системы можно решать задачи о существовании (или отсутствии) периодических движений, двухконцевые задачи и т. п.
Следует отметить, что отображения, сохраняющие траектории, с успехом использовались (и используются до сих пор) в классической механике в форме принципа наименьшего действия Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби.
В дифференциальной геометрии указанная проблема известна как проблема геодезического соответствия (и проективного 4
преобразования) пространств аффинной связности и, в частности, римановых (что соответствует случаю Q = Q = 0). Ей посвящены многочисленные исследования, связанные с именами Бельтрами, Дини, Дарбу, Фубини, Луивилля, Леви-Чивиты, Томаса, Вейля, Эйзенхарта, П.А. Широкова, A3. Петрова, А.С. Солодовникова, Н.С. Синюкова, Я.Л Шапиро, И.П. Егорова, В.Р. Кайгородова, А.В. Аминовой, И.А. Ундаловой и других.
2. Конец прошлого и начало уходящего столетия ознамено
ваны интенсивным изучением различных обобщений прост
ранств римановой и аффинной связности. Это объясняется
внутренней логикой развития геометрии, . определяющим
началом которого является активный процесс взаимного влия
ния дифференциально-геометрических и физических идей. К
следствиям такого взаимодействия геометрии и физики относят
ся, например: а) тензорное исчисление (Риччи, Леви-Чивита),
возникшее для удовлетворения потребностей механики и физики;
б) общая теория относительности А. Эйнштейна, явившаяся
триумфом римановой геометрии; в) геометрия пространств
Вейля, объединяющая гравитационное и электромагнитное
взаимодействия, и единая 5-мерная теория гравитации и электро
магнетизма Калуцы-О.Клейна-Веблена; г) геометрия прост
ранств Финслера, которые возникают уже при применении
принципа наименьшего действия Мопертюи к лагранжевым
системам квадратичным относительно скоростей.
Вслед за открытием обобщенных пространств начинается изучение их траекторных морфизмов - отображений, сохраняющих пути -геодезические обобщенных связностей, коэффициенты которых уже могут зависеть не только от точки, но и от направления.
3. Г. Герц в 1894 г. сформулировал идею бессиловой механи
ки, согласно которой природа фундаментальных физических
взаимодействий объясняется движением "скрытых" масс, наличи
ем "скрытых", "внутренних" симметрии "скрытых", "внутрен
них" степеней свободы. Другими словами, движение пробных
частиц в том или ином силовом поле представляется в рамках
концепции Г. Герца движением по инерции з некотором
пространстве большего числа измерений. Эта идея Г. Герца
перекликается с методом Рауса исключения циклических коорди-
нат, едиными теориями поля (калибровочными теориями) типа теории Калуцы-О.Клейна-Веблена, а также с квазиоптикой Ф. Клейна, В.А. Фока и Ю.Б. Румера.
В перечисленных гтостроениях (явно или неявно) присутствует расслоение Ф:М->М, на базе которого реализуется движение под действием сил, а в тотальном пространстве -движение по инерции (по геодезическим некоторой связности). При этом первое движение моделируется (совпадает с) проекцией второго.
4. Э. Картан в 1924 г. ввел понятие пространства проектив
ной связности и показал, что его геодезические линии локально
можно рассматривать как интегральные кривые специального
КЛ - ОДУ 2-го порядка, полиномиального 3-ей степени относи
тельно первых производных. Картан ставит задачу так обоб
щить теорию, чтобы интегральные кривые любого КП можно
было рассматривать как геодезические. Эта задача решена им
для наиболее - по его же мнению - простого 2-мерного случая,
т.е. для КП одного скалярного ОДУ 2-го порядка. Отметим, что
картановское моделирование интегральных кривых ОДУ
геодезическими линиями в качестве своего атрибута содержит
локальную сублчерсию (проекцию) Ф: М —> М с одномерными
слоями. Э. Картаном была также отмечена возможность модели
рования траекторий (и путей) ОДУ посредством геодезических
линий аффинной связности.
Позднее Я.Л. Шапиро упомянутые результаты Э. Картана по геодезическому моделированию распространил на случай субмерсий с многомерными слоями. В результате им была создана теория проективных, или включаемых (иначе говоря, моделируемых геодезическими линиями аффинной связности) систем траекторий и путей, а также тесно с ней связанная теория римановых и аффинносвязных пространств с геодезическим (и торсообразующим) полем многомерных направлений. В дальнейшем эта теория траекторных (гомо)морфизмов Картана-Шапиро в ряде работ Я.Л. Шапиро и его учеников (В.А. Игошина и Е.И. Яковлева) была расширена до теории конечных траекторных (гомо)морфизмов полиномиальных по "скорости" КП.
5. Идея проектирования (и лифтирования) присутствует не
только в теориях, упомянутых выше, она плодотворно использу-
ется также в исследованиях А.Д. Александрова, A.M. Переломо-ва, Б.Н. Шапукова, К.М. Егиазаряна, М.А. Малахальцева и других.
6. До сих пор возникают все новые и новые обобщения как
понятия геодезической (геодезические Г. Буземана, квазигеодези
ческие линии А.Д. Александрова и Ю.Д. Бураго, почти геодези
ческие и р-геодезические Н.С. Синюкова, С.Г. Лейко и Й. Мике-
ша, L-геодезические линии МЛ. Малахальцева и др.), так и
понятия траєкторного морфизма обобщенных пространств - ото
бражения, как правило, диффеоморфизма, переводящего кривые
того или иного класса в кривые, вообще говоря', другого класса.
К обобщениям такого сорта, например, относятся: квазигео
дезические отображения и моделирование физических полей
А.З. Петрова, почти геодезические, р-геодезические и квазипла-
нарные отображения Н.С. Синюкова, С.Г. Лейко, Й. Микеша.
В последнее время к изучению пространств с геодезическими и траекториями стали активно привлекаться алгебраические методы. Здесь следует отметить работы В.В. Вишневского, А.П. Широкова, В.В. Шурыгина, Л.В. Сабинина, О.А. Матвеева, А.В. Паншиной.
В.Е. Фоминым теория геодезических отображений распространяется на бесконечномерные пространства.
-
Большое количество исследований связано с проблемой геометризации физики и механики. К ним относятся работы В.В. Вагнера, А.В. Гохмана, Ю.Е. Гликлиха и других авторов. Это вполне согласуется с попытками физиков построить единую теорию фундаментальных взаимодействий с помощью калибровочных полей - полей Янга-Миллса, что оказалось (совершенно неожиданно для самих физиков) эквивалентным применению геометрической теории расслоенных пространств со связнос-тями.
-
Начиная с Э. Картана (см. также выше пункт 4), не прекращаются попытки геометризации (и алгебраизации) теории дифференциальных уравнений. К этому направлению относятся работы Л.Е. Евтушика и В.Б. Третьякова, В.И. Близникаса и З.Ю. Лупейкиса, A.M. Виноградова, И.С. Красильщика, В.В. Лы-чагина, Н.В. Степанова и многих других авторов.
9. Одним из великих открытий конца прошлого века являет-
ся создание С. Ли теории групп Ли, которая возникла как теория непрерывных групп точечных преобразований пространства зависимых и независимых переменных - пространства событий R х М ОДУ (или КП) на М. С. Ли ввел также понятие продолжения порядка Г точечного преобразования (как конечного, так и инфинитезимального), которое - выражаясь современным языком - действует в тотальном пространстве расслоения Г-струй. С помощью этого понятия им были получены так называемые определяющие уравнения (уравнения Ли), которые позволяют для фиксированного ОДУ находить допускаемую им локальную группу (алгебру Ли) точечных симметрии. Изложение этих и обобщающих их результатов Ли и Беклунда по касательным (контактным) преобразованиям можно найти в ряде более поздних работ.
Изучению точечных симметрии посвящены работы многих авторов: Альфана, Трессе, Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, И.С. Емельяновой, В.Ф. Зайцева и других.
После этого краткого и - в то же время - достаточно солидного списка исследований остается, наконец, сделать еще два замечания. 1) Диссертационная работа контактирует со многими перечисленными выше исследованиями. 2) Научные публикации последних лет свидетельствуют о том, что круг вопросов, изучаемых в диссертации, вплотную - на взгляд автора - примыкает к области научных интересов таких математиков, как СП. Новиков, А.Т. Фоменко, А.С. Солодовников, Л.Е. Евтушик. Л.В. Овсянников, Н.Х. Ибрагимов, А.В. Аминова, Б.Н. Шапуков, М.А. Улановский, А.В. Гохман.
Цель работы. Изучение дифференциально-геометрическими методами свойств КП, их траекторных и точечных морфизмов.
Методы исследования являются типичными методами дифференциальной геометрии и топологии. К ним относятся общеизвестные методы теории расслоенных пространств, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории пространств со связностью, теории групп и алгебр Ли и т.д. Большое влияние на автора оказали также результаты и методы других исследователей (С. Ли, Трессе, Э. Картана, Вейля, Томаса, Бервальда, Яно. А.Д. Александрова и Ю.Д. Бураго, СП. Новикова, А.Т. Фоменко и А.В. Болсинова, Б.Л. Лаптева, А.З. Петро-8
ва, И.П. Егорова, А.В. Аминовой, Л.Е. Евтушика, А.С. Солодов-никова, Б.Н. Шапукоза). Особую роль играют методы ЯЛ. Шапиро, получившие в работе непосредственное развитие. Центральное же место занимает принадлежащий автору метод пульверизационного моделирования КП. Это моделирование приводит, в частности, к полному решению актуальной проблемы Э. Картана построения теории обобщенной проективной связности, геодезические которой совпадают с интегральными кривыми наперед заданного КП.
Научная новизна. Все представляемые к защите результаты (список которых приведен ниже в заключении) являются новыми. Их новизна, в частности, характеризуется:
1) изучением траекторных (гомо)морфизмов динамических
систем различной размерности, что означает отказ от (обычно
предполагающейся) равноправности paccWrpHBaeMbix систем в
большей мере, чем это сделано, например, А.З. Петровым (глава
О;
-
теоремой о включении "электромагнитного поля" в рима-нову калибровочную структуру (глава 2);
-
изучением инфинитезимальных траекторных симметрии КП 2-ой степени по "скорости", вычислением их инвариантов и классификацией специальных КП 2-ой степени по их траекторией подвижности (глава 3);
-
построением новой геометрической теории КП, базирующейся на пульверизационном моделировании (главы 4-7).
Первый результат контактирует с гомоморфизмами М.А. Улановского пространств аффинной связности и с проектируемыми связностями Б.Н. Шапукова и имеет важное значение в общей теории траекторных морфизмов КП. Второй - интересен связями с редукцией к меньшей размерности неабелевой калибровочной структуры и едиными теориями поля типа теории Калуцы-О.Клейна-Веблена. Третий - один из немногих ( после работы Т. Леви-Чйвиты 1896 г.) результатов, относящихся к траекторным симметриям динамических систем с ненулевыми силами и к проблеме их эквивалентности. Четвертый - можно оценить как новое перспективное направление в геометрической теории КП, возможности которого в достаточной степени продемонстрированы уже в диссертации.
Практическая значимость работы определяется, с одной стороны, ее актуальностью и новизной, с другой - связями полученных в ней результатов с различными вопросами механики, дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии. Поскольку основные результаты диссертации перечислены ниже (в заключении), то, избегая повторений, ограничимся здесь некоторыми замечаниями.
-
Теорема о включении "электромагнитного поля" в рима-нову калибровочную структуру является глобализацией и распространением широко известного в механике классического метода Рауса исключения циклических координат на случай неабелевой группы симметрии.
-
Найденные в работе инварианты траекторных изоморфизмов КП 2-ой степени могут быть использованы для получения новых классификационных теорем.
-
Осуществленное в главе 4 пульверизационное моделирование. КП приводит к полному решению актуальной проблемы Э. Картана о геодезическом моделировании КП.
-
В рамках этого моделирования полностью решена сложная проблема локальной точечной тривиальности КП произвольной размерности.
5) Результаты диссертации могут быть применены для
изучения точечно-траекторных морфизмов КП.
Апробация диссертационной работы в целом состоялась (в 1995 г.): на геометрическом семинаре ПОМИ РАН под руководством Ю.Д. Бураго (с участием В.А.Зачгаллера и А.Л. Вернера; в продолжившемся после семинара обсуждении принял участие А.Д. Александров); на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ под руководством А.Т. Фоменко; на геометрическом семинаре МГУ под руководством Л.Е. Евту-шика и И.Х. Сабитова; на семинаре кафедры геометрии Казанского университета под руководством Б.Н. Шапукова (с участием В.В. Вишневского и А.П. Широкова); на расширенном семинаре кафедры геометрии (с участием преподавателей кафедры алгебры и кафедры математического анализа) Нижегородского педагогического университета под руководством Н.А. Степанова.
Основные результаты диссертации, их частные случаи и не-10
которые приложения также апробированы: на 7-ой всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии (Минск, 1979); на 9-ой всесоюзной геометрической конференции (Кишинев, 1988); на всесоюзной геометрической школе (Черновцы, 1987); на международной, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского, конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992); на международной, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, конференции "Алгебра и анализ" (Казань, 1994); на международном, посвященном 100-летию со дня рождения ПА. Широкова, геометрическом семинаре (Казань, 1995); на геометрическом семинаре МГУ под руководством П.К. Ра-шевского (1979 г., 1980 г.); на семинаре МГУ по векторному и тензорному анализу под руководством СП. Новикова, А.Т. Фоменко, О.В. Мантурова, В.В. Трофимова (1988 г. - дважды, 1990 г.); на семинаре МГУ по классической дифференциальной геометрии под руководством Л.Е. Евтушика, В.Т. Базылева, Н.М. Остиану (1988 г. - дважды); на геометрическом семинаре Казанского ун-та под руководством А.П. Нордена, А.П. Широкова, Б.Н. Шапукова (1979, 81, 84, 87, 88, 90, 94, 95 гг.); на региональном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством Н.Ф. Отрокова (Горький, 1979 г.); на итоговых научных конференциях Горьковского ун-та (1981, 82, 83, 84, 85, 87 гг.); на научных конференциях молодых ученых механико-математического факультета Горьковского ун-та (1980,.81, 83, 84, 85 гг.); на геометрическом семинаре кафедры геометрии и высшей алгебры Горьковского ун-та (свыше 20 докладов в период с 1981 г. по 1988 г.); на семинаре кафедры геометрии Нижегородского педагогического ун-та под руководством Н.А. Степанова (1989 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации, их частные случаи и приложения опубликованы в 34 статьях, список которых приведен в конце автореферата. Общее число публикаций по теме диссертации - 47.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, семи глав (45 параграфов), заключения и списка литературы в алфавитном порядке (324 наименования). Кроме того, имеется состоящее из трех сравнительно небольших глав приложение:
"Геодезическое поле одномерных направлений с особенностями и клеточное псевдориманово многообразие". Общий объем диссертации - 360 страниц. Нумерация формул, теорем и т.п. - сквозная (и начинается с 1) внутри каждой главы. При ссылках возможно употребление двойного номера; например, теорема 3.10 является десятой в главе 3.
