Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии Ефимов Дмитрий Иванович

Содержание к диссертации

Введение

1 Магнитный геодезический поток в однородном поле на комплексном проективном пространстве 11

1.1 Основные определения 11

1.2 Метрики Фубини-Штуди 13

1.3 Свойства формы Фубини-Штуди 15

1.4 Отображение момента 18

1.5 Метод Тимма 25

1.6 Пример: магнитный геодезический поток на СР1 . 28

2 Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии 32

2.1 Основные определения и факты 32

2.2 Форма Кириллова 35

2.3 Отображение момента 37

2.4 Доказательство теоремы 3 45

2.5 Пример: магнитный геодезический поток на СР2 . 52

Список литературы 57

• Метрики Фубини-Штуди
• Пример: магнитный геодезический поток на СР1
• Отображение момента
• Пример: магнитный геодезический поток на СР2

Введение к работе

*

Пусть (М, ш) — симплектическое многообразие. Обозначим через {, } скобки Пуассона на М, соответствующие симплектической форме ш. Гамильтоновой системой с функцией Гамильтона Н на симплекти-ческом многообразии (М, ш) называется поток задаваемый системой уравнений

х = sgradH(x),

*

где sgradiJ — гамильтоново векторное поле функции Н, определяемое по правилу

dH(x)Y = cj(Y, sgrad#(z)), Y Є ТЫ.

Пространство гладких функций С(М) образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона

{/, 9} = u(sgmdg, sgrad/).

Функция / называется интегралом гамильтоновой системы, если она коммутирует с функцией Гамильтона относительно скобки Пуассона

{/, Н} = 0.

Гамильтонова система на (М,ш) называется интегрируемой по
^<фі Лиувиллю, если она обладает попарно коммутирующими интеграла-

ми /i, ...,/n (2n = dimM), которые почти всюду функционально независимы, то есть их дифференциалы линейно независимы почти всюду на М. Про функции /i,...,/_n говорят, что они находятся в инволюции и называют полным инволютивным (или коммутативным) набором интегралов на М.

Вопрос нахождения интегрируемых гамильтоновых систем всегда
представлял большой интерес как для математиков, так и для фи
зиков. Задачи классической механики описываемые интегрируемыми
гамильтоновыми системами достаточно долго оставались единствен
ными проблемами, которые можно было успешно решать. Основани
ем для этого была классическая теорема Лиувилля по которой, ес-
ли гамильтонова система обладает полным коммутативным набором

*

%

независимых интегралов, то уравнения Гамильтона могут быть решены (локально) в явном виде (или еще говорят , что система "интегрируема в квадратурах"). При этом неособые компактные совместные поверхности уровня интегралов системы диффеоморфны торам (торам Лиувилля), а движение на этих торах, задаваемое фазовым потоком, является условно-периодическим. Сформулируем теорему Лиувилля (см. [1])

Теорема. Пусть Mf = {/і = a,..., f_n = с„} — совместная поверхность уровня первых интегралов гамильтоновой системы. Предположим, что эта поверхность компактная, связная и неособая (то есть дифференциалы функций /і, - -., /_п линейно независимы всюду на ней). Тогда

1. М/ диффеоморфна n-мерному тору

Tⁿ = {(^_b...,^)modd27r};

2. фазовый поток определяет на Mf условно-периодическое дви-
otcenue, то есть в угловых координатах <р = (y?i, . -, <р_п) урав
нения движения становятся линейными

(pi(t) = wi(c)t,..., (p_n(t) = w_n(c)t,

гдес= (с_и...,Сп).

Мищенко А.С. и Фоменко А.Т. предложили метод некоммутативной интегрируемости гамильтоновых систем в работе [2] (см. также [3],[4]). Этот метод удобен в случае, когда система обладает избыточным набором первых интегралов, которые не коммутируют между собой. Тогда при определенных дополнительных условиях компактные совместные поверхности уровня первых интегралов являются торами размерности меньше чем половина размерности фазового пространства, при этом движение задаваемое потоком является условно-периодическим.

Пусть Т пространство первых интегралов гамильтоновой системы, которое образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона. Для

каждой точки х Є М определим два подпространства в Т*М: F_x С
щк Т*М - пространство, порожденное дифференциалами функций / Є

Т, и К_х С F_x - ядро ограничения пуассоновой структуры на F_x:

F_x = {df(x), f JF},

K_x = kei{;-}\_Fx.

Если имеется открытое всюду плотное подмножество U С М такое,
что для всех х Є U величины dimF_x и dimK_x постоянны и равны
v _ч соответственно I и г, и кроме того выполняется соотношение

dimF_x + dimi^x = I + г = dimM,

то гамильтонова система называется интегрируемой в некоммутативном смысле. В этом случае число dim.F_x = / называется дифференциальной размерностью алгебры интегралов Т и обозначается ddiiruF, а &\тК_х = г - дифференциальным индексом и обозначается dind^⁷.

Поясним смысл этого определения. Фактически, ddinxF = / явля
ется размерностью алгебры интегралов, a dindJF = 1— размерностью
максимальной коммутативной подалгебры. Если I + г равно размер
ности фазового пространства dimM, то инвариантные торы алгебры
^> интегралов имеют размерность г = dimM — I. Тогда максимальная

коммутативная подалгебра (в силу своей коммутативности) задает на инвариантных торах транзитивное действие коммутативной группы Е^г. Поэтому если тор компактен, то он диффеоморфен r-мерному то-

%.

ру. В случае некоммутативной интегрируемости имеет место аналог теоремы Лиувилля (см. [2],[3],[4]).

Среди всех гамильтоновых систем особый интерес представляют геодезические потоки римановых метрик. Напомним, определение геодезического потока.

Пусть М — кокасательное расслоение некоторого риманова мно
гообразия (N,g), g — риманова метрика, с естественной симплекти-
^, ческой структурой ш — dpi A dx^%. Геодезическим поток называется

гамильтонова система на (М, и) с функцией Гамильтона

где р = (pi,... ,р_п) Є T*N.

Известны некоторые топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков, из-за которых невозможно их существование на многообразиях с достаточно сложной топологией (см. [5]-[10]). Например, в работах И.А. Тайманова [7, 8] указаны топологические препятствия к интегрируемости в терминах фундаментальной группы многообразия: фундаментальная группа многообразия допускающего интегрируемый геодезический поток (в аналитическом случае) должна быть почти коммутативной.

С другой стороны, есть несколько серий многообразий, на которых известны примеры римановых метрик с интегрируемыми геодезическими потоками (см. [4],[11]-[23]). Почти все эти многообразия топологически являются однородными пространствами. А.В. Болси-нов и Б. Иованович показали интегрируемость геодезических потоков биинвариантных метрик на двойных частных компактных групп Ли [24]. Классическими примерами римановых многообразий с интегрируемыми геодезическими потоками являются

%

2-мерные поверхности с метриками Лиувилля,

поверхности вращения (интегралы Клеро),

n-мерные эллипсоиды (Якоби),

плоские торы,

группа Ли 50(3) с левоинвариантной метрикой (Эйлер).

Мищенко А.С. и Фоменко А.Т. показали интегрируемость некоторых левоинвариантных метрик на компактных группах Ли [17],[2]. Метрики с интегрируемыми геодезическими потоками на симметрических

^ пространствах в своих работах описали Тимм А. [16], Мищенко А.С.

¹ [18J,[19], Микитюк И.В. [21] и Браилова А.В. [20],[4]. В работе [13]

Болсинов А.В., Йованович Б. доказали некоммутативную интегри-
щ^ руемость геодезического потока биинвариантной метрики на любых

однородных пространствах вида G/H, где G — компактная связная группа Ли. Также известны примеры двойных частных групп Ли (естественные обобщения однородных пространств) с интегрируемыми геодезическими потоками, найденные в работах Базайкина Я.В. [15] и Г. Патернайна, Р. Спатцера [23].

Пусть на римановом многообразии (N,g) есть некоторая замкну
тая 2-форма
У| F = F_l3dx^l Adx³.

Дифференциальная форма

ш = uj + F,

где и = dp_t A dx^l — естественная симплектическая форма на кокаса-
тельном расслоении, является замкнутой невырожденной 2-формой,
и таким образом задает симплектическую структуру на кокасатель-
ном расслоении риманова многообразия. Если теперь рассматривать
на М — T*N симплектическую структуру задаваемую формой й, то
это влечет деформацию скобок Пуассона, а деформация скобок Пуас
сона в свою очередь влечет изменение гамильтоновых векторных по-
^^ лей и соответственно уравнений движения.

Определение. Гамильтонова система на (T*N,lj) с функцией Гамильтона (1) называется магнитным геодезическим потоком задаваемым формой F.

Согласно уравнениям Максвелла, включение магнитного поля задается замкнутой 2-формой. Таким образом включение магнитного поля не меняет гамильтониан геодезического потока, а состоит в деформации скобок Пуассона (см. [25]).

Основными объектами изучения в данной диссертации являются
магнитные геодезические потоки, задаваемые замкнутой невырож-
л денной формой, на однородных симплектических многообразиях.

В первой главе доказана теорема

Метрики Фубини-Штуди

То есть компонента импульса вдоль векторного поля ассоциированного с однопараметрической группой постоянна на траекториях потока. В случае комплексного проективного пространства унитарные преобразования являются изометриями, поэтому однопараметри-ческим группам унитарных преобразований соответствуют линейные интегралы геодезического потока.

Сначала доказывается, что все линейные интегралы геодезического потока, соответствующие однопараметрическим группам унитарных преобразований, можно превратить в интегралы магнитного потока с помощью небольшой поправки. В разделе 1.3 приведен вид этой поправки. Полученные линейные интегралы магнитного потока используются в разделе 1.4 для коррекции отображения момента

Подкорректированное отображение момента постоянно на траектори ях магнитного потока, и следовательно любые функции вида /оР, где / — произвольные функции на алгебре u(n + 1), являются интегра лами магнитного потока. Причем, если рассматривать инвариантные функции / на алгебре и(п -+-1), то можно получить достаточно боль шое семейство интегралов в инволюции. Далее используется метод .тш, вложенных цепочек подалгебр для построения полного инволютивно го набора независимых интегралов. Основная трудность заключается в доказательстве независимости полученного набора интегралов. Для доказательства независимости полученного семейства интегралов используется приведенный в разделе 1.4 явный вид гамильтоновых векторных полей интегралов и специальный вид вложенных подалгебр (раздел 1.5). В последнем разделе главы подробно разобран пример магнитного геодезического потока на комплексной проективной прямой. Во второй главе доказана теорема Теорема. Пусть М = G/H — односвязное однородное симплекти } ческое многообразие, где G — компактная полупростая группа Ли. Тогда существует риманова метрика на М такая, что магнитный геодезический поток, задаваемый симплектической формой, интегрируем в некоммутативном смысле. Согласно результатам Костанта [26], любое односвязное однород ное симплектическое многообразие из теоремы симплектоморфно ор бите присоединенного представления группы G в алгебре д, где сим плектическая структура на орбите задается формой Кириллова [27]. Таким образом достаточно доказать существование римановой мет рики на орбите, для которой магнитный геодезический поток зада ваемый формой Кириллова интегрируем в некоммутативном смысле. Mb Все сводится к доказательству следующей теоремы. Теорема. Рассмотрим орбиту присоединенного представления компактной полупростой группы Ли G и риманову метрику g индуцированную формой Киллинга на алгебре Ли группы G. На орбите существует стандартная симплектическая структура Q (форма Кириллова). Тогда магнитный геодезический поток, задаваелтй формой Q, интегрируем в некоммутативном смысле. Как и в первой главе сначала рассматриваются линейные интегралы порожденные однопараметрическими группами изометрий (одно-параметрические подгруппы группы G) римановой метрики на орбите. Такие линейные интегралы будут интегралами любого потока с G-инвариантной функцией Гамильтона. Для этих интегралов строится поправка, необходимая для того, чтобы они были интегралами магнитного потока. Далее, в разделе 2.3 с помощью линейных интегралов строится отображение момента Р : ТМ — д, где М — орбита, которое постоянно на траекториях любого потока задаваемого G-инвариантным гамильтонианом. G-инвариантные функции и функции вида / о Р, где / — функция на алгебре, являются "интегралами геодезического потока римановой метрики, полученной ограничением формы Киллинга с алгебры на орбиту. В разделе 2.3 приведен явный вид гамильтоновых полей таких функций. Обозначим через Т\ семейство функций на орбите вида /оР, через 2 семейство G-инвариантных функций. Функции из \ являются интегралами любого потока с гамильтонианом из второго семейства в силу инвариантности отображения момента, поэтому любые две функции из разных семейств коммутируют. В этом же разделе доказано, что эти семейства функций замкнуты относительно скобок Пуассона. В разделе 2.4 доказано, что алгебра интегралов TxKlFi удовлетворяет всем условиям некоммутативной интегрируемости. При доказательстве использовалась схема предложенная в работе [13]. Автор благодарит научного руководителя И.А. Тайманова за постановку задач и полезные обсуждения, и Я.В. Базайкиназа полезные обсуждения.

Пример: магнитный геодезический поток на СР1

В первой главе при доказательстве интегрируемости гамильтоновой системы использовалась интегрируемость в коммутативном смысле. В этом случае известны п независимых первых интегралов системы в инволюции (если размерность фазового пространства равна 2п), при этом неособые компактные совместные поверхности уровня первых интегралов являются га-мерными торами (торами Лиувилля). Фазовый поток определяет на торах Лиувилля условно-периодическое движение.

Если же система обладает избыточным набором первых интегралов, которые не коммутируют между собой, то при определенных дополнительных условиях компактные совместные поверхности уровня первых интегралов являются торами размерности к га, а движение на них будет опять же условно-периодическим. В этом случае говорят, что имеет место некоммутативная интегрируемость или интегрируемость в некоммутативном смысле. В этой главе мы будем пользоваться интегрируемостью в некоммутативном смысле.

В этой главе доказана следующая теорема. Теорема 2. Пусть М = G/H — односвязное однородное симплек-тическое многообразие, где G — компактная полупростая группа Ли. Тогда существует риманова метрика на М такая, что магнитный геодезический поток, задаваемый симплектической формой, интегрируем в некоммутативном смысле. Пусть G — группа Ли. Будем говорить, что группа G действует на многообразии М (диффеоморфизмами), если каждому ее элементу g соответствует преобразование (диффеоморфизм) многообразия М такое, что выполняются условия 2. отображение G x M —ї M} (g, X) І-Ї g X непрерывно (гладкое) по обоим аргументам. Из первого свойства следует, что где е — единица группы G. Если единица группы е является единственным элементом группы G, который оставляет на месте каждую точку X Є М, то говорят, что группа G действует на М эффективно, а группа G тогда называется эффективной. Говорят, что группа Ли G действует на многообразии М транзитивно, если для любой пары точек X и Y из М найдется такой элемент д группы G, что g-X = Y. Определение. Если на многообразии М задано транзитивное действие группы Ли G, то оно называется однородным пространством этой группы. Пусть X — точка однородного пространства группы G. Группой о1 изотропии точки X называется подгруппа группы G, которая состоит из всех элементов g группы G, оставляющих точку X неподвижной: Справедливо следующее утверждение(см., например, [28]). Лемма 2.1. Группы изотропии разных точек однородного пространства изоморфны, друг другу. Доказательство. Если X — g-Y и X ф Y, то изоморфизм Их — Ну задается соотношением Следующее предложение дает очень удобное представление однородных пространств. Предложение 3. Имеется взаимно однозначное соответствие между точками однородного пространства М группы G и левыми смежными классами G/H, где Н — группа изотропии. Доказательство. Пусть X — точка многообразия М, Н — группа изотропии точки X. Соответствие устанавливается по следующему правилу: смежному классу дЛ ставится в соответствие точка д-Х. Это соответствие не зависит от выбора представителя д в классе смежно сти и является взаимно однозначным. D Будем говорить, что однородное пространство М = G/H является однородным симплектическим многообразием, если симплектическая форма, задающая симплектическую структуру на М, инвариантна относительно действия группы G. В [26] Костантом была доказана теорема, которая будет очень полезна в нашей работе. Теорема (Костант). Предположим, что # ,1 = H2(g,R) = О (например, алгебра g полупроста). Тогда самое общее G -однородное симплектическое пространство накрывает одну из орбит в д. Кроме того, накрывающее отображение и, следовательно, орбита определены однозначно. Напомним определение некоммутативной интегрируемости [2] (см. также [3]). Пусть Т пространство первых интегралов гамильтоновой системы, которое образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона. Для каждой точки х Є М определим два подпространства в Т М: Fx С Т М - пространство, порожденное дифференциалами функций f Є J7, я Кх С Fx - ядро ограничения пуассоновой структуры на Fx. Определение. Если имеется открытое всюду плотное подмножество U С М (точек общего положения) такое, что для всех х Є U выполняется соотношение то гамильтонова система называется интегрируемой в некоммутативном смысле. В этом случае число dimFx называется дифференциальной размерностью алгебры интегралов F, a dimKa; - дифференциальным индексом. Они обозначаются соответственно через ddimJF и dind 7. Тогда условие некоммутативной интегрируемости можно записать в виде ddimJ7 + dind 7 = dimM. Согласно результатам Костанта [26], односвязное однородное сим-плектическое многообразие из Теоремы 2 симплектоморфно орбите присоединенного представления группы G в алгебре д. Поэтому Теорема 2 немедленно вытекает из следующей теоремы. Теорема 3. Рассмотрим орбиту присоединенного представления компактной полупростой группы Ли G и риманову метрику g индуцированную формой Киллинга на алгебре Ли. На орбите существует стандартная симплектическая структура Q (форма Кириллова). Тогда магнитный геодезический поток, задаваемый формой Q, интегрируем в некоммутативном смысле.

Отображение момента

Простейшим примером, на котором можно наглядно продемонстрировать результат данной главы, является магнитный геодезический поток, задаваемый формой Фубини-Штуди, на комплексной проективной плоскости. В этом разделе будет доказана интегрируемость этого потока, и как в первой главе, будет приведен явный вид всех интегралов. Эти интегралы образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона.

Для доказательства интегрируемости магнитного геодезического потока выпишем в явном виде набор интегралов, дающий интегрируемость обычного геодезического потока на СР2, и затем покажем, что его можно непрерывно деформировать в набор интегралов магнитного геодезического потока. В частности, это означает, что алгебры первых интегралов геодезического и деформированного потока изоморфны.

Пусть z = {ZQ,Z\,Z2) Є С3. Рассмотрим на СР2 аффинную карту z = (l,u,v), где и = g- = щ + ш2, v = U = vi + iv2. Стандартное эрмитово скалярное произведение на С3 (4) индуцирует эрмитово скалярное произведение на СР2, задаваемое формулой (5). Как и в примере к первой главе, по этой формуле получаем явный вид ри-мановой метрики и формы Фубини-Штуди в координатах аффинной карты Далее, переходим к переменным (г, р, (р, #), определенным формулами

Эти координаты в некотором смысле соответствуют полярным координатам для СР1 и хорошо отражают симметрии системы. Например, выражение для гамильтониана в этих координатах не содержит ip и 0, а это означает, что р и рд являются первыми интегралами. Риманова метрика и форма Фубини-Штуди в этих координатах примут вид: Выпишем поля Киллинга этих групп диффеоморфизмов откуда сразу получаем дополнительные интегралы Таким образом у нас есть набор из пяти почти всюду функционально независимых интегралов: Н, р ,, рв, I, J, которых достаточно для интегрируемости геодезического потока. Действительно, интегралы Hi Р Р Рв находятся в инволюции, то есть их попарные скобки Пуассона тождественно равны нулю, /, J коммутируют с Н и рд, а оставшиеся скобки Пуассона имеют вид Таким образом мы получили некоммутативную алгебру Ли относительно скобок Пуассона с максимальной коммутативной подалгеброй, состоящей из Н, р р, рд, и из общих конструкций некоммутативного интегрирования (см. [3, 2]) следует, что это полная система интегралов геодезического потока. Используем эти интегралы для нахождения интегралов магнитного геодезического потока, отвечающего полю єО,. Мы специально ввели параметр деформации є, чтобы лучше проследить алгебраический эффект включения магнитного поля. После деформации потока уравнения движения будут следующие — первые интегралы магнитного геодезического потока, отвечающего полю є1. Вместе с функцией Гамильтона они образуют алгебру Ли, в которой скобки Пуассона интегралов Н, її, І2, h, 1± остаются теми же, что были между соответствующими интегралами геодезического потока. Таким образом верна Теорема 4. Магнитный геодезический поток, отвечающий метрике Фубини-Штуди и полю efl, где Q — форма Фубипи-Штуди, на двумерной комплексной проективной плоскости СР2 имеет пять почти всюду функционально независимых первых интегралов движения, которые образуют некоммутативную алгебру Ли L относительно скобок Пуассона, заданных формой и + єО,. Размерность максимальной коммутативной подалгебры U С L равна трем. Эти интегралы гладко зависят от є и при различных значениях этого параметра алгебры первых интегралов изоморфны. Общая поверхность уровня пяти первых интегралов, на которой они функционально независимы, диффеоморфна трехмерному тору, на котором движение является условно-периодическим.

Пример: магнитный геодезический поток на СР2

Как уже отмечалось, по теореме Нётер функции Д являются первыми интегралами любого потока с гамильтонианом из Т2, поэтому { 1, 2} = 0. (34) Из этих трех соотношений вытекает замкнутость .FiLLT относительно скобки Пуассона. Остается показать выполнение условий некоммутативной интегрируемости ddim( i U Т2) + dind( i U Т2) = dimTM. (35) Подпространства, порожденные дифференциалами функций из множеств 1 И 2) ИМЄЮТ ВИД Fi = {dIh{X\ Ih Є Л}, F2 = ШХ), f9 Є Ъ}-Пусть аннуляторы элемента X обозначаются Ann0(X) = {Y Є 0, [Y,X] = 0}: Ann (X) = {V Є Ь, [V,X] = 0} = Аппд(Х) П Ь Лемма 2.6. Для X Є пг = Т М такого, что X — eW находится в общем положении имеют место следующие соотношения ddim(Ji U Т2) = dim(Fi + F2) = 2dimm - dim(Ann0(X - eW))m, ddim(J i П F2) = dim(Fi П F2) = dim(Anng(X - eW))m. Доказательство. Так как симплектическая структура устанавливает изоморфизм / : ТхТМ - ТхТМ, df(X) н sgrad/(X), можно вместо -Pi и F2 рассматривать IFX = {sgrad/A(X), Ih Є і}, IF2 = {sgrad/e(X), fe Є T2}. Напомним, что явный вид гамильтоновых векторных полей функций Ih и fe в точке X Є m имеет вид (предложение 4, лемма 2.5) где f = X — EW. Множество m - eW = { = X — eW : X m} инвариантно относительно присоединенного действия группы Н Ad(H)(m - eW) с (m - eW), так как m ортогонально \) и Н стабилизирует W. Ad(H)- инвариантные функции в из Тг являются инвариантами этого действия. Известно, что при линейном действии компактной алгебры Ли всегда существует набор инвариантов, разделяющий орбиты общего положения. Таким образом число функционально независимых Ad(H)-инвариантных функций равно коразмерности орбиты группы Н при действии на m — є\, I = dimm — (dimf) — dimAnn ( )) для элемента общего положения Є (m — eW). Пусть #i,..., ві — функционально независимые Ad(H)- инвариантные функции на m — eW. Рассмотрим орбиту представления Ad(G), проходящую через , тогда ее размерность равна s = dimg — dim Anng(). Пусть функции h\,...,hs : g —» R функционально независимы на орбите в точке , то есть {[Vht(),]} образуют базис касательного пространства орбиты, и значит в частности, V/ij() Anng(). Тогда в качестве независимых функций на ТМ в точке X можно взять следующие функции Для X такого, что в общем положении функции / ,..., /#, функционально независимы в точке X. Предположим, что Из (38) и того, что для Ad(H)- инвариантных функций в3 выполня сь ется [Wj()m, fjj, — 0 (см. (28)) получается, что первая сумма в (41) равна нулю. Вторая сумма равна нулю, так как [і), m] С m и f) - анну лятор W. Следовательно ]Cat[ » () ] = 0, что возможно только, когда аг = 0, Vf, так как hi независимы на орбите в точке . Тогда в силу независимости функций fg следует, что Ь3 = 0, У? . Таким обра зом, функции (37) независимы в X.