Содержание к диссертации
Введение
1. Классификация алгебр голономии и тензоров кривизны ло ренцевых многообразий 37
1.1. Группы и алгебры голономии: определения и факты 37
1.1.1. Группы голономии связностей в векторных расслоениях 37
1.1.2. Группы голономии псевдоримановых многообразий 39
1.1.3. Связные неприводимые группы голономии римановых и псевдоримановых многообразий 43
1.2. Слабо неприводимые подалгебры в so(l,n + l) 48
1.3. Тензоры кривизны и классификация алгебр Берже 53
1.3.1. Алгебраические тензоры кривизны и классификация алгебр Берже 54
1.3.2. Тензор кривизны многообразий Волкера 58
1.4. Пространства слабых тензоров кривизны 60
1.4.1. Результаты 61
1.4.2. Явный вид некоторых P Є V(fy) 62
1.4.3. Вычисление пространств V(fy) 65
1.5. О классификации слабых алгебр Берже 77
1.5.1. Продолжения Танака 80
1.5.2. Полупростые, не являющиеся простыми, слабые алгебры Берже
1.5.3. Дальнейшие замечания 86
1.6. Конструкции метрик и классификационная теорема 88
2. Применения 95
2.1. Уравнение Эйнштейна 95
2.1.1. Алгебры голономии лоренцевых многообразий Эйнштейна 95
2.1.2. Примеры метрик Эйнштейна 97
2.1.3. Лоренцевы многообразия с тотально изотропным оператором Риччи 99
2.1.4. Упрощение уравнения Эйнштейна 101
2.1.5. Примеры в размерности 4 103
2.2. Псевдоримановы многообразия с рекуррентными спинорными полями 108
2.2.1. Спинорные представления 111
2.2.2. Римановы многообразия 113
2.2.3. Лоренцевы многообразия 114
2.2.4. Псевдоримановы многообразия с неприводимыми алгебрами голономии 118
2.2.5. Псевдоримановы многообразия нейтральной сигнатуры 123
2.2.6. Связь с параллельными спинорными полями spin -расслоений 124
2.3. Конформно плоские лоренцевы многообразия со специальными группами голономии 125
2.3.1. Результаты 125
2.3.2. Разложимость конформно плоских псевдоримановых многообразий 130
2.3.3. Тензор конформной кривизны Вейля метрик Волкера 134
2.3.4. Доказательство теоремы 2.3.1 134
2.3.5. Доказательство теоремы 2.3.2 142
2.3.6. Доказательство теоремы 2.3.3 144
2.3.7. Оператор Риччи полученных метрик 146
2.3.8. Случай размерности 4 147
2.4. 2-симметрические лоренцевы многообразия 148
2.4.1. Алгебра голономии 2-симметрического лоренцева многообразия 150
2.4.2. Доказательство теоремы 2.4.3 150
2.4.3. Доказательство теоремы 2.4.1 155
3. Теория групп голономии супермногообразий 156
3.1. Общая теория 156
3.1.1. Супералгебры Ли 156
3.1.2. Супермногообразия 159
3.1.3. Определение группы голономии связности на локально свободном пучке над супермногообразием 163
3.1.4. Параллельные сечения 168
3.1.5. Случай линейных связностей над супермногообразиями 176
3.1.6. Супералгебры Берже 179
3.1.7. Группы голономии локально симметрических суперпространств 181
3.2. Случай нечетных супермногообразий 182
3.2.1. Косые продолжения алгебр Ли 182
3.2.2. Нечетные симметрические суперпространства и простые супералгебры Ли 185
3.2.3. Неприводимые комплексные косые алгебры Берже .187
3.2.4. Неприводимые алгебры голономии несимметрических нечетных римановых супермногообразий 193
3.3. Группы голономии римановых супермногообразий 197
3.3.1. Обобщение теоремы By 197
3.3.2. Классификация неприводимых групп голономии рима-новых супермногообразий 200
3.3.3. Подготовка к доказательству теоремы 3.3.2 203
3.3.4. Структура пространств 1Z(Q) 206
3.3.5. Присоединенные представления простых супералгебр Ли 211
3.3.6. Доказательство теоремы 3.3.2 215
Литература
- Группы голономии псевдоримановых многообразий
- О классификации слабых алгебр Берже
- Примеры метрик Эйнштейна
- Определение группы голономии связности на локально свободном пучке над супермногообразием
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению групп голономии лоренцевых многообразий и супермногообразий, а также связанных с ними геометрических структур.
Понятие группы голономии впервые было введено в работе Э.Картана1, он использовал группы голономии для классификации римановых симметрических пространств2. Группа голономии псевдориманова многообразия является подгруппой Ли группы Ли псевдоортогональных преобразований касательного пространства в некоторой точке многообразия, состоящей из параллельных переносов вдоль кусочно-гладких петель в этой точке. Чаще всего рассматривают связную группу голономии, т.е. компоненту единицы группы голономии, для ее определения нужно рассмотреть параллельные переносы вдоль стягиваемых петель. Алгебра Ли, соответствующая группе голономии, называется алгеброй голономии. Группа голономии псевдориманова многообразия представляет собой инвариант соответствующей связности Леви-Чивита; она дает информацию о тензоре кривизны и о параллельных сечениях векторных расслоений, ассоциированных с многообразием таких, как тензорное расслоение или спинорное расслоение.
Важным результатом является классификация Берже связных неприводимых групп голономии римановых многообразий3. Оказывается, что связная группа голономии n-мерного неразложимого, не являющегося локально симметрическим, риманова многообразия содержится в следующем списке: SO(n), U(m), SU(m) (n = 2m), Sp(m), Sp(m) Sp(l) (n = 4m), Spin(7), (n = 8), ( (n = 7). Берже получил лишь список возможных групп голономии, и возникла задача показать, что существуют многообразия с каждой из этих групп голономии. В частности, это привело к знаменитой теореме Калаби-Яу. Только в 1987 году Брайнт4 построил примеры римановых многообразий с группами голономии Spin(7) и (. Таким образом, на решение этой задачи потребовалось более тридцати лет. Теорема разложения де Рама сводит проблему классификации связных групп голономии римановых многообразий к случаю неприводимых групп голономии5.
1Е. Cartan, Les groupes reels simples finis et continus, Ann. Scient. Ecol. Norm. Sup. 31 (1914) 263-355.
2E. Cartan, Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, Bull. Soc. math. France 54 (1926) 214-264.
3M. Berger, Sur les groupers d'holonomie des varietes aconnexion affine et des varietes riemanniennes, Bull. Soc. Math. France. 83 (1955) 279-330.
4R. Bryant, Metrics with exceptional holonomy, Ann. of Math. 126 (2) (1987) 525-576.
5G. de Rham, Sur la reductibilited'um espace de Riemann, Comm. Math. Helv. 26 (1952) 328-344.
Неразложимые римановы многообразия со специальными (т.е. отличными от SO(n)) группами голономии имеют важные геометрические свойства. Многообразия с большинством из этих групп голономии являются многообразиями Эйнштейна или Риччи-плоскими и допускают параллельные спи-норные поля. Благодаря этим свойствам, римановы многообразия со специальными группами голономии получили применения в дифференциальной геометрии и теоретической физике (в теории струн, теории суперсимметрии и М-теории)6'7'8'9'10'11. В связи с этим, за последние 20 лет появилось множество конструкций полных и компактных римановых многообразий со
специальными группами голономии, например ''.
Естественно рассмотреть задачу классификации связных групп голономии псевдоримановых многообразий, а в первую очередь, лоренцевых многообразий. Имеется классификация Берже связных неприводимых групп голономии псевдоримановых многообразий . Однако, в случае псевдоримановых многообразий недостаточно рассматривать только неприводимые группы голономии. Теорема разложения By15 позволяет ограничиться рассмотрением связных слабо неприводимых групп голономии. Слабо неприводимая группа голономии не сохраняет никакое невырожденное собственное векторное подпространство касательного пространства. Такая группа голономии может сохранять вырожденное подпространство касательного пространства. В этом случае группа голономии не является редуктивной, в чем и заключается основная сложность.
Долгое время имелись лишь результаты о группах голономии четырех-
6Д. В. Алексеевский, Римановы пространства с необычными группами голономии, Функ. ан. прил. 2 (2) (1968) 1-Ю.
7А. Бессе, Многообразия Энштейна. Пер. с англ. Т. 2. М.: Мир, 1990. 8S. Cecotti, A Geometric Introduction to F-Theory, Lectures Notes, SISSA, 2010. 9S. S. Gubser, Special holonomy in string theory and M-theory, Strings, branes and extra dimensions. TASI 2001, 197-233, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2004.
10D.Joyce, Riemannian holonomy groups and calibrated geometry. Oxford Uni. Press, 2007. nB. Mclnnes, Methods of holonomy theory for Ricci-flat Riemannian manifolds, J. Math. Phys. 32 (4) (1991) 888-896.
12Я. В. Базайкин, E. Г. Мальковий, Метрики с группой голономии G2, связанные с 3-сасакиевым многообразием, Сиб. матем. журн. 49 (1) (2008) 3-7.
13Д. В. Егоров, QR-подмногообразия и римановы метрики с группой голономии G2, Матем. заметки 90 (5) (2011) 781-784. 14см. сноску 3 на с. 1. 15Н. Wu, On the de Rham decomposition theorem, Illinois J. Math. 8 (1964) 291-311.
мерных лоренцевых многообразий16'17'18'19'20. Только в 1993 году Берард-Бержери и Икемакхеи сделали первый шаг к классификации связных групп голономии лоренцевых многообразий произвольной размерности21. Они получили классификацию слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр лоренцевой алгебры Ли so(l,n). Другой важный шаг к классификации связных групп голономии лоренцевых многообразий сделал Лайстнер22, а завершает эту классификацию настоящая работа.
Лоренцевы многообразия со слабо неприводимыми, не являющимися неприводимыми, группами голономии допускают параллельные распределения изотропных прямых, такие многообразия называют также многообразиями Волкера23. Эти многообразия изучаются в геометрических работах, например23'24'25, а также в физических работах26'27'28. В частности, в работах29'30'31 выражается надежда, что лоренцевы многообразия со специальными группами голономии найдут применения в теоретической физике, например, в М-теории и теории струн. Это показывает необходимость
16В. В. Астраханцев, О группах голономии четырехмерных псевдоримановых пространств, Матем. заметки 9 (1) (1971) 59-66.
17R. Ghanam, G. Thompson, Two special metrics with i?i4-type holonomy, Class. Quantum Grav. 18 (2001) 2007-2014.
18T. Jacobson, J. D. Romano, The spin holonomy group in general relativity, Comm. Math. Phys. 155 (2) (1993) 261-276.
19G. S. Hall, D. P. Lonie, Holonomy groups and spacetimes, Class. Quantum Grav. 17 (6) (2000) 1369-1382.
20R. P. Kerr, J. N. Goldberg, Some applications of the infinitesimal-holonomy group to the Petrov classification of Einstein spaces, J. Math. Phys. 2 (1961) 327-332.
21L. Berard-Bergery, A. Ikemakhen, On the Holonomy of Lorentzian Manifolds, Proceeding of symposia in pure math. 54 (1993) 27-40.
22T. Leistner, On the classification of Lorentzian holonomy groups, J. Differential Geom. 76 (3) (2007) 423-484.
23M. Brozos-Vazquez et al, The geometry of Walker manifolds, Synthesis Lectures on Mathematics and Statistics 5. Williston: Morgan & Claypool Publishers, 2009.
24R. Bryant, Pseudo-Riemannian metrics with parallel spinor fields and vanishing Ricci tensor, Semin. Congr., 4, Soc. Math. France, 2000, 53-94.
25R. Schimming, Riemannsche Raume mit ebenfrontiger und mit ebener Symmetric, Math. Nachr. 59 (1974) 129-162.
26J. M. Figueroa-О'Fan-ill, Breaking the M-waves, Class. Quantum Grav. 17 (15) (2000) 2925-2947.
27J. Grover at. al., Gauduchon-Tod structures, Sim holonomy and de Sitter supergravity, J. High Energy Phys. 7 (2009) 069.
28K. Sfetsos, D. Zoakos, Supersymmetry and Lorentzian holonomy in various dimensions, J. of High Energy Physics 9 (2004) 10-27.
29J. Brannlund, A. Coley, S. Hervik, Supersymmetry, holonomy and Kundt spacetimes, Class. Quantum Grav. 25 (2008) 195007, 10 pp.
30G. W. Gibbons, C. N. Pope, Time-Dependent Multi-Centre Solutions from New Metrics with Holonomy Sim(n- 2), Class. Quantum Grav. 25 (2008) 125015, 21pp.
31См. ссылку 8 на с. 2.
изучения групп голономии лоренцевых многообразий и связанных с ними геометрических структур. Кроме настоящей работы этому посвящены ра-
gOTbI32,33,34,35,36,37,38
Теория супермногообразий возникла после открытия теоретическими физиками суперсимметрии39'40. В последнее время появился интерес к ри-мановым супермногообразиям41'42'43'44. В частности к супермногообразиям Калаби-Яу , которые, как мы увидим, представляют собой римановы супермногообразия с алгебрами голономии, содержащимися в супералгебре
Ли5и(>о,доЬі,ді)-
Возникает задача изучения групп голономии связностей на супермного-бразиях, а в первую очередь — групп голономии римановых супермногообразий. До настоящей работы отсутствовало определение группы голономии, которое бы было прямым обобщением понятия обычной группы голономии и сохраняло бы ее свойства. Теоретические физики использовали понятие групп голономии супермногообразий ', однако они рассматривали группу голономии как группу параллельных переносов. Категорные соображе-
32Н. Baum, Holonomy groups of Lorentzian manifolds — a status report, In: Global Differential Geometry, eds. C.Bar, J. Lohkamp and M. Schwarz, 163-200, Springer Proceedings in Mathematics 17, Springer-Verlag, 2012.
33H. Baum, O. Mtiller, Codazzi spinors and globally hyperbolic manifolds with special holonomy, Math. Z. 258 (1) (2008) 185-211.
34H. Baum, K. Larz, T. Leistner, On the full holonomy group of special Lorentzian manifolds, .
35Я. В. Базайкин, Глобально гиперболические лоренцевы пространства со специальными группами голономии, Сиб. матем. журн. 50 (4) (2009) 721-736.
36Ch. Boubel, On the holonomy of Lorentzian metrics, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 16 (3) (2007) 427-475.
37T. Krantz, Kaluza-Klein-type metrics with special Lorentzian holonomy, J. Geom. Phys. 60 (1) (2010) 74-80.
38T. Leistner, Lorentzian manifolds with special holonomy and parallel spinors, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl. 69 (2002) 131-159.
39Д. А. Лейтес, Введение в теорию супермногообразий, УМЫ 35 (1) (1980) 3-57.
40Ю. И. Манин, Калибровочные поля и комплексная геометрия. М.: Наука, 1984.
41М. Asorey, Р. М. Lavrov, Fedosov and Riemannian supermanifolds, J. Math. Phys. 50 (1) (2009) 013530, 16 pp.
42D. V. Alekseevsky, V. Cortes, C. Devchand and U. Semmelmann, Killing spinors are Killing vector fields in Riemannian supergeometry, J. Geom. Phys. 26 (1-2) (1998) 37-50.
430. Goertsches, Riemannian Supergeometry, Math. Z. 260 (3) (2008) 557-593.
44D. A. Leites, E. Poletaeva, V. Serganova, On Einstein equations on manifolds and supermanifolds, J. Nonlin. Math.Phys. 9(4) (2002) 394-425.
45M. Rocek, N. Wadhwa, On Calabi-Yau supermanifolds, Adv. Theor. Math. Phys. 9 (2) (2005) 315-320.
46B. П. Акулов, Д. В. Волков, В. А. Сорока, О калибровочных полях на суперпространствах с различными группами голономии, Письма в ЖЭТФ 22 (7) (1975) 396-399.
47В. П. Акулов, Д. В. Волков, В. А. Сорока, Об общековариантных теориях калибровочных полей на суперпространствах, Письма в ЖЭТФ 31 (1) (1977) 12-22.
ния подсказывают, что группа голономии связности на супермногообразии должна быть супергруппой Ли, а супергруппа Ли не описывается своими точками. Можно рассмотреть чисто нечетное супермногообразие со связностью. Такое супермногообразие представляет собой одну точку с дополнительной структурой, поэтому имеется только одна (тривиальная) петля, тем не менее, связность может быть неплоской, а значит группа голономии должна быть нетривиальной.
Далее, естественно рассмотреть проблему классификации групп голономии римановых супермногообразий.
В работе авторы пишут: „Вопрос выбора группы голономии пространства является основным моментом для определения физического содержания теории, использующей идею общековариантного рассмотрения." Однако выбирать можно только из списка возможных групп голономии, а для этого нужна классификация.
Цель работы. Целью работы является получение классификации связных групп голономии лоренцевых многообразий и ее применений, а также создание теории групп голономии супермногообразий и получение классификации неприводимых связных групп голономии римановых супермногообразий.
Основные результаты диссертации.
1) Получена геометрическая интерпретация классификации Берарда-
Бержери и Икемакхена слабо неприводимых подалгебр лоренцевой алгеб
ры Ли.
-
Получено полное описание тензора кривизны многообразия Волкера.
-
Построены метрики, реализующие всех кандидатов в алгебры голономии лоренцевых многообразий.
-
Получена классификация алгебр голономии лоренцевых многообразий Эйнштейна, найден способ упрощения уравнения Эйнштейна, построены примеры метрик Эйнштейна специального вида.
-
Классифицированы римановы и лоренцевы многообразия, допускающие локальные рекуррентные спинорные поля в терминах их алгебр голономии.
6) Получена локальная классификация конформно плоских лоренцевых
многообразий со специальными группами голономии.
-
Получена локальная классификация 2-симметрических лоренцевых многообразий.
-
Определены группы голономии связностей на локально свободных пучках над супермногообразиями; показано, что эти группы обладают большем, ссылку 47 на с. 4.
шинством свойств групп голономии обычных многообразий.
9) Получена классификация одного класса неприводимых групп голономии
римановых супермногообразий.
Научная новизна, теоретическое и практическое значение работы. Все основные результаты диссертации являются новыми, снабжены доказательствами и своевременно опубликованы.
Диссертация имеет теоретический характер, ее результаты могут быть применены для дальнейшего исследования геометрии лоренцевых многообразий и супермногообразий с каждой из возможных групп голономии. Результаты работы могут быть применены также в теоретической физике, например, в теории относительности, теории струн, теории супергравитации и М-теории.
Методика исследования. Используются теории представлений простых групп Ли и супергрупп Ли, стандартные методы теории групп голономии, дифференциальной геометрии и супергеометрии, а также метод исследования структуры тензора кривизны, развитый диссертантом.
Апробация работы. Основные результаты докладывались:
На конференциях:
На молодежной школе-конференции „Лобачевские чтения" (Казань, 2002, 2005, 2007 гг.).
На ежегодной научной апрельской конференции механико-математического факультета Саратовского государственного университета (апрель 2003, 2004, 2005 гг.).
На международной конференции „Shimura varieties, lattices and symmetric spaces" (Аскона, Швейцария, май 2004 г.).
На летней школе-конференции „Arithmetic and Geometry" (Корин, Германия, май 2005 г.).
На международной школе-конференции „Geometry and Physics" (Срни, Чехия, январь 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 гг.).
На международной научной конференции „Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры", посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Вагнера (Саратов, ноябрь 2008 г.).
На семинаре „Современные проблемы дифференциальной геометрии", посвященном 80-летию со дня рождения профессора В.В. Вишневского (Казань, ноябрь 2009 г.).
На международной научной конференции „Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation" посвященной 100-летию со дня рождения профессора А.З. Петрова (Казань, ноябрь 2010 г.).
На международной научной конференции „XIII International Conference Geometry, Integrability and Quantization" (Св. Константина и Елены, Болгария, июнь 2011 г.).
На международной научной конференции „IV Congress of the Turkic World Mathematical Society" (Баку, Азербайджан, июль 2011 г.).
На международной научной конференции „Differential geometry and its applications" (Брно, Чехия, август 2010, август 2013 гг.).
На конференциях в качестве приглашенного докладчика:
На международном симпозиуме „Holonomy Groups and Applications in String Theory" (Гамбург, Германия, июль 2008 г.).
На международной научной конференции „Contributions in Differential Geometry: a round table in occasion of the 65th birthday of Lionel Berard Bergery" (Люксембург, Сентябрь 2010 г.).
На международной научной конференции „Symmetries in Differential Geometry and Mathematical Physics" in honor of D.V. Alekseevsky (Люксембург, сентябрь 2012 г.).
На летней школе „Summer school on Differential Geometry and Supersymmetry" (2 лекции, 2 семинара, Гамбург, Германия, сентябрь 2012 г.).
На семинарах:
На семинаре по дифференциальной геометрии в университете им. Гумбольдта под руководством проф. Хельги Баум (Берлин, июнь 2003, декабрь 2003, апрель 2005, июнь 2007, декабрь 2009, июнь 2010 гг.).
В институте Ервина Шредингера (Вена, Австрия, ноябрь 2005 г.).
На заседании кафедры геометрии Казанского государственного университета под руководством проф. Б.Н. Шапукова (декабрь 2005 г.).
На семинаре по дифференциальной геометрии в университете Масарика под руководством проф. Ивана Коларжа (Брно, Чехия, май 2007, май 2008, апрель 2009, декабрь 2010, апрель 2011, октябрь 2012, апрель 2013 гг.).
На „Центрально-Европейском Семинаре" по геометрии (Брно, Тельч, Ми-кулов, Чехия, апрель 2007, ноябрь 2007, февраль 2008, ноябрь 2008, ноябрь 2009, апрель 2010, ноябрь 2010, май 2011, ноябрь 2011, ноябрь 2012 гг.).
На математическом семинаре гамбургского университета (Гамбург, Германия, ноябрь 2007 г.).
На семинаре по геометрии в стокгольмском университете под руководством проф. С.А. Меркулова (Стокгольм, Швеция, ноябрь 2008 г.).
На семинаре по дифференциальной геометрии гамбургского университета под руководством проф. Висентэ Кортеса (Гамбург, Германия, июнь 2010 г.).
На заседании Кафедры теории относительности и гравитации Казанского (Приволжского) Федерального университета под руководством проф. А.В. Аминовой (1 февраля 2012 г.).
На семинаре „Дифференциальная геометрия и приложения" под руководством академика РАН, проф. А.Т. Фоменко, Московский Государственный университет (19 ноября 2012 г., 16 сентября 2013 г.).
На семинаре „Геометрия, топология и их приложения" под руководством академика РАН, проф. И.А. Тайманова, Институт математики Сибирского отделения РАН (18, 21 февраля 2013 г.).
В международном математическом центре им. Штефана Банаха Польской академии наук (Варшава, Польша, 4 октября 2013 г.).
На заседании кафедры дифференциальной геометрии и приложений под руководством академика РАН, проф. А.Т. Фоменко, Московский Государственный университет (9 октября 2013 г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-32]. Работы [1-8] опубликованы в российских журналах из списка ВАК. Работы [9-20] опубликованы в иностранных журналах, цитируемые в базе Scopus, т.е. из списка ВАК. Работы [21,22] представляют собой главы в книгах. Работы [11,13,18,21,22] являются совместными; работы [11,18] получены в процессе неразделимой творческой деятельности авторов; в работе [13] соискателю принадлежат результаты для случая пространств Эйнштейна с ненулевой космологической константой; работы [21,22] носят обзорный характер.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 13 параграфов, и списка литературы. Параграфы разделены на пункты. Диссертация изложена на 245 страницах текста, библиография содержит 186 наименований.
Группы голономии псевдоримановых многообразий
Далее мы строим явные примеры метрик с алгебрами голономии 02 G2 С so(l,8) и д2 7) с so(l,9). В главе 2 мы получаем применения результатов главы 1. В параграфе 2.1 мы рассматриваем связь алгебр голономии и уравнения Эйнштейна. Сначала мы находим слабо неприводимые алгебры голономии лоренцевых многообразий Эйнштейна.
Теорема 2.1.2. Пусть (М,д) — локально неразложимое п + 2-мерное лоренцево многообразие, допускающее параллельное распределение изотропных прямых. Если (М, д) — Риччи-плоское многообразие, то имеет место одно из утверждений:
1) Алгебра голономии Q многообразия (М, д) — типа 1 и в разложении (1.6) для \) С 50(п) по крайней мере одна подалгебра С 50{щ) совпадает с одной из следующих алгебр Ли: 5о{щ), и(у); 5р( ) 5р(1) или с симметрической алгеброй Берже.
2) Алгебра голономии Q многообразия (М, д) — типа 2 и в разложении (1.6) для \) С 50(п) каждая подалгебра \){ С 50{щ) совпадает с одной из следующих алгебр Ли: $о(гц), suCf), 5р( ); G2 С 5о(7); 5pin(7) С 50(8).
Теорема 2.1.3. Если (М,д) — многообразие Эйнштейна, не являющееся Риччи-плоским, то алгебра голономии Q многообразия (М, д) — типа 1 и в разложении (1.6) для I) С 50(п) каждая подалгебра С 50{щ) совпадает с одной из следующих алгебр Ли:5о{щ), и{Ц ), 5р( ) 5р(1) или с симметрической алгеброй Берже. Более того, па+\ = 0.
В пункте 2.1.2 мы покажем существование метрик Эйнштейна (соответственно, Риччи-плоских метрик) с каждой из алгебр голономии, полученных в приведенных теоремах.
В отличии от случая римановых многообразий, лоренцевы многообразия ни с какими из алгебр голономии не являются автоматически Риччи-плоскими или многообразиями Эйнштейна. В пункте 2.1.3 мы показываем, что лоренцевы многообразия с некоторыми алгебрами голономии автоматически удовлетворяют некоторому более слабому условию на тензор Риччи. Лоренцево многообразие (М,д) называется тотально Риччи-изотропным, если образ оператора Риччи этого многообразия — изотропный. Если (М,д) — спинорное многообразие, допускающие параллельное спинорное поле, то это многообразие является тотально Риччи-изотропным [45, 66].
Теорема 2.1.5. Пусть (М,д) — локально неразложимое п + 2-мерное лоренцево многообразие, допускающее параллельное распределение изотропных прямых. Если (М,д) — тотально Риччи-изотропное, то его алгебра голономии — та же, что в теореме 2.1.2.
Теорема 2.1.6. Если алгебра голономии многообразия (М,д) — типа 2 и в разложении (1.6) алгебры I) С so(n) каждая подалгебра \){ С 5о{щ) совпадает а одной из алгебр Ли$и( ) 5р( ); G i С so(7); spin(7) С so(8), то многообразие (М,д) — тотально Риччи-изотропное.
В пункте 2.1.4 мы занимаемся упрощением уравнения Эйнштейна для метрик Волкера. Уравнение Эйнштейна для метрик Волкера рассмотрели недавно теоретические физики Гиббоне и Поп в [72]. Главная теорема пункта 2.1.4 дает возможность существенно упростить уравнение Эйнштейна для случая ненулевой космологической константы Л.
Теорема 2.1.7. Пусть (М,д) — локально неразложимое п + 2-мерное лоренцево многообразие, допускающее параллельное распределение изотропных прямых. Если (М,д) — многообразие Эйнштейна с ненулевой космологической константой К, то в окрестности каждой точки существуют координаты v, ж1,... , хп, и такие, что метрика g имеет вид g = 2dvdu + h + (Av2 + H0)(du)2, где dvHo = 0, h — и-семейство римановых метрик Эйнштейна с космологической константой К, удовлетворяющее АЯ0 + \tt3d2uhl3 = 0, Vjduhi:i = 0, №ди}щ = 0, Ricy = Ahi:i. Обратно, каждая такая метрика является метрикой Эйнштейна.
Таким образом, мы свели уравнение Эйнштейна для лоренцевых метрик с Л Ок проблеме нахождения семейств римановых метрик Эйнштейна, удовлетворяющих некоторым уравнениям. В пункте 2.1.5 мы приводим примеры метрик Эйнштейна в размерности 4.
В параграфе 2.2 мы изучаем псевдоримановы многообразия с рекуррентными спинорными полями в терминах их алгебр голономии. Результаты этого параграфа опубликованы в [154].
Пусть (М, д) — спинорное псевдориманово многообразие сигнатуры (г, s), a S — соответствующее комплексное спинорное расслоение с индуцированной связностью \7S. Спинорное поле s Є T(S ) называется рекуррентным, если V s = 0{X)s для всех векторных полей X Є Г(ТМ), здесь в — комплекс-нозначная 1-форма. Если в = 0, то s — параллельное спинорное поле. Ванг охарактеризовал односвязные спинорные римановы многообразия, допускающие параллельные спинорные поля, в терминах групп голономии этих многообразий [148]. Аналогичные результаты получили Лайстнер для лоренцевых многообразий [115, 114], Баум и Кае для псевдоримановых многообразий с неприводимыми группами голономии [19].
Спинорное расслоение S псевдориманова многообразия (М, д) допускает параллельное комплексное подрасслоение размерности 1 тогда и только тогда, когда в окрестности каждой точки многообразия (М, д) существует не обращающееся в ноль рекуррентное спинорное поле; эти поля должны быть пропорциональны в пересечениях областей их определения. Мы изучаем некоторые классы спинорных псевдоримановых многообразий (М, д), чьи спинорные расслоения допускают одномерные комплексные подрасслоения. В пункте 2.2.1 приводятся необходимые сведения о спинорных представлениях. В пункте 2.2.2 мы рассматриваем Римановы многообразия. Приведем основные результаты.
О классификации слабых алгебр Берже
Пусть М — гладкое многообразие, &Е — векторное расслоение над М со связностью V. Связность определяет параллельный перенос: для произвольной кусочно-гладкой кривой 7 : [й, Ь] С Ж. — М определен изоморфизм векторных пространств
Зафиксируем точку х Є М. Группой голономии Gx связности V в точке х называется группа, состоящая из параллельных переносов вдоль всех кусочно-гладких петель в точке х. Рассматривая только петли, гомотопные постоянной петле, получим ограниченную группу голономии Gx. Если многообразие М односвязно, то Gx = Gx. Известно, что группа Gx является подгруппой Ли группы Ли Gh(Ex); группа Gx является связной компонентой единицы группы Ли Gx. Пусть дх С $1(ЕХ) — соответствующая алгебра Ли; эта алгебра называется алгеброй голономии связности V в точке х. Группы голономии в различных точках связного многообразия изоморфны и можно говорить о группе голономии G С GL(m,K) или об алгебре голономии д С д1(т,Ж) связности V (здесь т — ранг расслоения Е). В случае односвязного многообразия алгебра голономии однозначно определяет группу голономии.
Напомним, что сечение X Є Т(Е) называется параллельным, если VX = 0. Это равносильно тому, что для любой кусочно-гладкой кривой 7 : [а,Ь] — М имеем т7Х7(а) = Х у Аналогично, подрасслоение F С Е называется параллельным, если для любого сечения X подрасслоения F, и любого векторного поля Y на М, сечение VyX снова принадлежит F. Это равносильно тому, что для любой кусочно-гладкой кривой 7 : [аіЩ —М выполнено r7F7(a) = F b).
Важность групп голономии показывает следующий фундаментальный принцип. Теорема 1.1.1. Существует взаимно однозначное соответствие между параллельными сечениями X расслоения Е и векторами Хх Є Ех, инвариантными относительно Gx.
Опишем это соответствие. Для параллельного сечения X нужно взять значение Хх в точке х Є М. Так как X инвариантно относительно параллельных переносов, то вектор Хх инвариантен относительно группы голономии. Обратно, имея Хх, определим поле X. Для всякой точки у Є М положим Ху = т Хх, где 7 — любая кривая с началом в точке х и концом в точке у. Значение Ху не зависит от выбора кривой 7 Схожий результат имеет место для подрасслоений.
Существует взаимно однозначное соответствие между параллельными подрасслоениями F С Е и векторными подпространствами Fx С Ех, инвариантными относительно Gx. Следующая теорема, доказанная Амброзом и Зингером [11], показывает связь алгебры голономии и тензора кривизны R связности V.
Обратимся к псевдоримановым многообразиям. Напомним, что псевдорима-новым многообразием сигнатуры (г, s) называется гладкое многообразие М, на котором задано гладкое поле g симметрических невырожденных билинейных форм сигнатуры (г, s) (г — число минусов) в каждой точке. Если г = О, то такое псевдориманово многообразие называется римановым. Если г = 1, то (М, д) называется лоренцевым. В этом случае будем для удобства полагать s = п + 1, п 0.
На касательном расслоении ТМ псевдориманова многообразия М канонически задается связность Леви-Чивита V, определяемая двумя условиями: поле форм д параллельно (Vg = 0) и кручение равно нулю (Тог = 0). Обозначим через 0(ТхМ, дх) группу линейных преобразований пространства ТЖМ, сохраняющих форму дх. Так как метрика д параллельна, то Gx С 0(ТХ, Мдх). Касательное пространство (ТхМ,дх) можно отождествить с псевдоевклидовым пространством IRr s, метрику этого пространства будем обозначать символом д. Тогда можем отождествить группу голономии Gx с подгруппой Ли в 0(т, s), а алгебру голономии QX С подалгеброй в so (г, s).
Связность V естественным образом продолжается до связности в тензорном расслоении (gTM, группа голономии этой связности совпадает с естественным представлениями группы Gx в пространстве тензоров &ТХМ. Из теоремы 1.1.1 вытекает
Теорема 1.1.4. Существует взаимно однозначное соответствие между тензорными полями А типа (р, q) и тензорами Ах Є pqTxM, инвариантными относительно Gx.
Итак, если мы знаем группу голономии многообразия, то геометрическую задачу нахождения параллельных тензорных полей на многообразии можно свести к более простой алгебраической задаче нахождения инвариантных элементов группы голономии. Приведем несколько примеров применения этого принципа.
Напомним, что псевдориманово многообразие (М, д) называется плоским, если (М,д) допускает локальные параллельные поля реперов. Получаем, что (М, д) является плоским тогда и только тогда, когда G = {id} (или д = {0}). Более того, из теоремы Амброза-Зингера следует, что последнее условие равносильно равенству нулю тензора кривизны.
Далее, псевдориманово многообразие (М, д) называется псевдокэлеровым, если на М существует параллельное поле эндоморфизмов J со свойствами J2 = — id и g(JX,Y) + g(X, JY) = 0 для всех векторных полей X и Y на М. Очевидно, что псевдориманово многообразие (М, д) сигнатуры (2r, 2s) является псевдокэлеровым тогда и только тогда, когда G С U(r, s).
Примеры метрик Эйнштейна
Одним из ключевых моментов классификации алгебр голономии лоренцевых многообразий является резулвтат Лайстнера о классификации неприводимых слабвіх алгебр Берже і) С зо(п). Лайстнер классифицировал все такие подалгебры, и оказалосв, что полученный список совпадает со списком неприводимых алгебр голономии римановых многообразий. Возникает естественная проблема получитв простое прямое доказателвство этого факта. В [155] мы даем такое доказателвство для случая полупростых, не являющихся проствіми, алгебр Ли \) С 5о{п).
В работе [172], первый вариант которой был опубликован на сайте www.arxiv.org 25 апреля 2003 года, была доказана теорема Лайстнера 1.3.3 для п 9. Для этого были перечислены неприводимые подалгебры \) С 50 (п) для п 9, таблица 1.5.1. Второй столбец таблицы содержит алгебры голоно-мии неприводимых римановых многообразий. В третьем столбце содержатся алгебры, не являющиеся алгебрами голономии римановых многообразий.
Для полупростой компактной алгебры Ли I) через 7Гд л (f)) обозначаем образ представления 50(п), которое однозначно определяется комплексным представлением рль...Л; : задаваемым числовыми отметками Лі,...Л/ на схеме Дынкина (здесь f)(C) — комплексификация алгебры \),U — некоторое комплексное линейное пространство), К = Ш, Ш или С, если для рл1;...Л; является соответственно вещественным, кватернионным или комплексным. Символ і обозначаем одномерный центр.
Для алгебр, на являющихся алгебрами голономии римановых многообразий, с компьютерной программы были найдены пространства"P(fy) как решения соответствующих систем линейных уравнений. Оказалось, что Р(7г13о(5р(2))) = Р«о(5р(2))0і), т.е. L(V{irffi(sp{2)) 0t)) = 7г о(-5р(2)) и 5р(2) 01 не является слабой алгеброй Берже. Для остальных алгебр третьего столбца таблицы имеем V{\}) = 0. Значит алгебры Ли из третьего столбца таблицы 1.5.1 не являются слабыми алгебрами Берже.
Оказалось, что к этому времени Лайстнер уже доказал теорему 1.3.3 в [111] в случае если п — четно, и представление \) С 50 (п) — комплексного типа, т.е. \) С и(). В этом случае V{\}) (f) g) C)W, где (f) (g) C)W — первое продолжение подалгебры f)C С 0[(,С). Используя этот факт и классификацию неприводимых представлений с нетривиальными продолжениями, Лайстнер доказал, что каждая слабая алгебра Берже \) С и() является алгеброй голономии некоторого риманова многообразия.
Случай подалгебр \) С 50 (п) вещественного типа (т.е. некомплексного типа) является куда более сложным. В этом случае Лайстнер рассмотрел ком-плексифицированное представление f)(g)C с 50 (п, С), являющееся неприводимым. Используя классификацию неприводимых представлений комплексных полупростых алгебр Ли, он нашел критерий в терминах весов этих представлений того, что представление \) (g) С С 5о(п,С) является слабой алгеброй Берже. Далее Лайстнер рассмотрел, случай за случаем, простые алгебры Ли \) (g) С [112], а затем и полупростые алгебры (проблема сводится к случаю полупростых алгебр Ли вида 5[(2, С) Ї где Ї — простая, и снова различные возможности для Ї были рассмотрены) [113]. Полное доказательство опубликовано в [116].
Мы рассматриваем случай полупростых, не являющихся простыми, неприводимых подалгебр \) С 50 (п) с неприводимой комплексификацией fyfg C С 5о(п, С). Простым способом мы показываем, что достаточно рассматривать случай \) С = 5І(2, С) I, где Ї С 5р(2т, С) — простая неприводимая подалгебра, а пространством представления является тензорное произведение С2 (g) С2т. В этом случае пространство V(f)) совпадает с С2 (g) 0ь где Q\ — первое продолжение Танака неположительно градуированной алгебры Ли 0_20-1 00, где 0_2 = С, 0_i = С2т, 0о = Cidc2m, а градуировка определяется элементом — idc2m. Мы показываем, что если "P(fy) — нетривиально, то 01 изоморфно С2т, второе продолжение Танака 02 изоморфно С, и 0з = 0. Тогда полное продолжение Танака определяет простую 2-градуированную комплексную алгебру Ли 0_20-1 00 01 02 Хорошо известно, что имеет место взаимно однозначное соответствие между односвязными неразложимыми симметрическими римановыми многообразиями (М, д) и простыми Жг-градуированными алгебрами Ли 0 = fy Кп такими, что \) С 50 (п). Если симметрическое пространство является ква-тернионнокэлеровым, то \) = 5р(1) f С 5о(4&), где п = Ак и f С sp(k). Комплексификация алгебры \) ЖАк совпадает с (si(2, С) I) (С2 (g) С2/г), где t = f 0 С С 5р(2&, С). Пусть Єї, Є2 — стандартный базис пространства С2, и пусть хо о\ /і о\ /о 1 і oj "" 0 -lj В_\оОу — базис алгебры Ли 5І(2,С). Получаем следующую Z-градуировку алгебры Ли 0 0 С: 0 0 С = 0_2 0-1 0о 01 02 = CF е2 0 С2к (t СЯ) еі 0 С2к СЯ. Обратно, каждая такая простая Z-градуированная алгебра Ли определяет, с точностью до двойственности, односвязное кватернионнокэлерово симметрическое пространство. В этом и заключается доказательство.
Определение группы голономии связности на локально свободном пучке над супермногообразием
Теперь мы определим группы голономии. Напомним, что супергруппа Ли Q = (G, Од) — это групповой объект категории супермногообразий. Низлежа-щее гладкое многообразие G является группой Ли. Супералгебра Ли д для Q отождествляется с касательным пространством к Q в точке є Є G. Алгеброй Ли группы Ли G является четная часть 0д супералгебры Ли д. где G — группа Ли, д = 0д 01 супералгебра Ли, при этом 0g алгебра Ли группы Ли G, более того, должно существовать представление Ad группы Ли G в пространстве 0, которое является продолжением присоединенного представления G на 0д? причем дифференциал Ad совпадает с суперскобкой Ли алгебры Ли 0, ограниченной на 0g х 01 [61, 74]. порожденная группами Ли Hol(V) и Hol(V)x. Алгебра Ли группы Ли Hol(V)x совпадает с (1)OI(V)X)Q. Пусть Ad - представление связной группы Ли Hol(V) на f)0l(V)x такое, что дифференциал Ad совпадает с суперскобкой Ли t)ol(V)x, ограниченной на (fyo[(V)x)o х ( ol(V)x)j. Определим представление Ad группы Ли Hol(V)x на f)0[(V)x правилом d ІНо1(У)2пНо1(У)ж = Ad 1но1(У)2пНо1(У)ж Таким образом, мы определили представление Ad группы Ли Hol(V)x на \)0l{V)x. Имеем Hol(V) П Hol(V)x = Hol(V). Если М - односвязно, то Hol(V)x С Hol(V) и Hol(V)x = Hol(V). Определение 3.1.2. Супергруппа Ли 7iol(V)x, определяемая парой Хариша-Чандра (Hol(V)x, f)0[(V)x), называется группой голономии связности V в точке х. Супергруппа Ли 7iol{S7)x) определяемая парой Хариша-Чандра (Hol(V) , f)o[(V)x), называется ограниченной группой голономии связности V в точке х.
Пусть (А4,Ом) супермногообразие, — локально свободный пучок Ом супермодулей на .М, а V — связность на . Сечение X Є {М) называется параллельным, если VX = 0. Пусть Е — векторное расслоение на М, а V — связность на Е, как выше. Для сечения X Є Т(Е) получаем VX = 0.
Поэтому, для произвольной кривой 7 : [d,b] С Ж. —М имеем т7Х7(а) = Х у Следовательно, т7Х7(а) = Х у где т7 : 7(а) у0) Т-Є- параллельно вдоль кривых в М.
Доказательство. Пусть VX = 0, х Є М и Хж — значение сечения X в точке ж. Так как X — параллельно вдоль кривых в М, то, используя Хж, можно найти значения сечения X во всех точках многообразия М. Рассмотрим локальные координаты, как выше. Так как мы знаем значениях во всех точках, нам известны функции X . Используя (3.14) для г = 0, можно найти функции XА а именно лгА _ vB-глА А7 — Л 1 уВ Используя (3.14) для г = 1, имеем лгА _ уВтлА , уВ-глА А77і — х 7В71 71 7-В Таким же образом можно найти все функции XА , т.е. функции X — известны, а значит мы восстановили сечение X.
Теорема 3.1.1. Пусть Л4 = (М,Ом) супермногообразие, х Є М, Е — локально свободный пучок Ом-супермодулей на Л4, а V — связность на . Тогда существует взаимно однозначное соответствие между параллельными сечениями X Є (М) и векторами Хх Є х, аннулируемыми алгеброй голономии f)Ol(V)x и сохраняемыми группой Hol(V)x.
Доказательство теоремы 3.1.1. Предположим, что сечение— параллельно, т.е. VX = 0. Пусть U С М — открытое подмножество, а V — связность на Тм\и- Из (3.5) следует, что VrYr_YlR(Y,Z)X = 0 (3.15) 169 для всех векторных полей Y,Z,Yi,...,Yr Є TM(U). Так как X - параллельно, то для всех кривых 7 в М с началом в точке х Є М и концом в точке у Є М, имеем Ху = т Хх. Поэтому, чтобы убедится в том, что Хх аннулируется алгеброй fyo[(V)a;, достаточно рассмотреть (3.15) в произвольной точке у.
Обратно, предположим, что существует ненулевой вектор Хх Є х, аннулируемый алгеброй голономии fyo[(V)x и сохраняемый группой Но1(У)ж. Из теоремы 1.1.1 следует, что существует сечение Хо Є Т(Е) такое, что VXo = 0 и (Хо)х = Хх. Зафиксируем координаты (U,xa) на Л4 и локальный базис ЄА модуля S{U). Тогда ЄА — локальный базис модуля T(U,E), и мы получаем функции XQ Є OM(U) такие, что Хо = XQ ЄА на U. Используя (3.14) и XQ, определим, как в доказательстве предложения 3.1.2, функции Х ъ_ъ Є Ом(U) для всех 7 7і " г m - 1. Получим функции X Є Opi(U) такие, что X = XQ. Рассмотрим сечение X = Мы утверждаем, что VX = 0. Чтобы это доказать, достаточно показать, что функции X удовлетворяют (3.11) и (3.12) для всех 7г;0 г ти произвольных 7, тогда X будут удовлетворять (3.11) и (3.12) для всех 7b"-,7r и 7- Заметим, что по построению, функции XА удовлетворяют (3.12) для 7 7і 7г Воспользуемся индукцией по г. Параллельно с этим будем доказывать равенство где г 1, 1 s г. Для г = 0, равенство (3.11) следует из того, что VXo = 0; (3.12) следует из определения функций XА Зафиксируем Го 0. Предположим, что (3.11) и (3.12) имеют место для всех г Го и проверим это равенство для г = г о.
