Введение к работе
Актуальность темы
Объектом исследования данной диссертации являются вполне интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы (ИГС). При изучении их свойств возникают несколько отношений эквивалентности: лиувиллева эквивалентность (с точностью до существования диффеоморфизма многообразий, переводящего слои лиувиллева слоения в слои лиувиллева слоения), симплектическая эквивалентность (с точностью до существования лиувиллева симплектоморфизма многообразий), непрерывная, или топологическая траєкторная эквивалентность (с точностью до существования гомеоморфизма многообразий, переводящего траектории в траектории, с сохранением их ориентации), и, наконец, топологическая сопряженность (существование траєкторного гомеоморфизма, сохраняющего время вдоль траекторий). Под „траекторной" мы будем понимать топологическую траєкторную эквивалентность. Ясно, что два последних отношения эквивалентности действуют для более широкого класса динамических систем. Указанные отношения эквивалентности различны по силе: лиувиллева эквивалентность является необходимым условием для эквивалентностей остальных типов, а траєкторная — для топологической сопряженности.
В диссертации исследуются ИГС с точки зрения траекторной эквивалентности.
Классическая теорема Лиувилля описывает поведение траекторий ИГС в окрестности регулярного компактного слоя лиувиллева слоения. Поэтому интерес представляет исследование ИГС вблизи особых слоев.
Для ИГС с двумя степенями свободы их траєкторная классификация в непрерывном1, а затем и в гладком2 (вместо траєкторного гомеоморфизма необходимо существование С1-гладкого диффеоморфизма, переводящего траектории в траектории) случае были проведены на трехмерных изоэнергетических уровнях; полученные результаты легко обобщаются на некоторый класс трехмерных инвариантных поверхностей. В диссертации проведено несколько большее расширение этого класса (точнее см. ниже).
'Балашов А.В., Фоменко А.Т. Траєкторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I. //Матем. сб., 1994, т.185, JM, с. 27-80. П. //Матем. сб., 1994, т.185, №5, с. 27-78.
'Болсинов А.В. Гладкая траєкторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.//Матем. сб., 1995, т. 186, Л*1, с. 3-28.
С.-Петербург
ОЭ tw*Kt(Q{
Следующим естественным шагом является построение траєкторних инвариантов для четырехмерных окрестностей особенностей (отметим, что в предыдущем случае исследованы трехмерные окрестности особых слоев, при выборе конкретных трехмерных инвариантных поверхностей).
В первую очередь интересны слои, содержащие невырожденные особые точки (точное определение см. ниже). Условие невырожденности ограничивает большой класс особенностей, например, такие особенности часто встречаются в известных реальных примерах ИГС.
Теорема Элиассона3 описывает все возможные типы невырожденных особых точек для систем с двумя степенями свободы: эллиптический, седло-центр, седло-седло и фокус-фокус (теорема носит на самом деле многомерный характер). На одном слое слоения Лиувилля могут быть только особые точки одного типа, если все они невырожденные4, поэтому можно говорить о типе (невырожденного) особого слоя.
Первым результатом на этом пути явилась работа5, где были построены критерий траекторной эквивалентности ИГС с произвольным числом степеней свободы в окрестности невырожденного эллиптического особого слоя, а также полный гладкий траєкторний инвариант для некоторого класса неспециальных нерезонансных ИГС с двумя степенями свободы.
Следующим шагом в этом направлении является исследование четырехмерных окрестностей особых невырожденных слоев типа седло-центр. В настоящей диссертации мы ограничиваемся рассмотрением нерезонансных нерасщепляемых систем, для которых строятся траекторные инварианты; в случае неспециальных систем сформулирован и доказан полный критерий траекторной эквивалентности и построен полный траєкторний инвариант (определения нерасщепляемости и неспециальности см. ниже). Кроме того, исследуется вопрос реализации ИГС с заданным траекторным инвариантом. Полностью описан класс допустимых траєкторних инвариантов.
Здесь необходимо отметить, что при обсуждении особых точек и слоев ИГС с двумя степенями свободы, а также их окрестностей, кроме размерностей этих объектов (3 или 4) возникают две качественно различные ситуации: локальная (рассматриваются малые окрестности
3Eliasson L.H. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals — elliptic case. II Coram.. Math. Helv., 65 (1990), pp. 4-35.
*A.V.Bolsinov. Methods of calculations of the Fbmenko-Zieschang invariant. // Adv. Soviet Math., в (1991), pp. 147-183.
6Орёл O.E. Критерий траекторной эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем в окрестности эллиптических орбит. Траєкторний инвариант задачи Лагранжа. // Матем. сборник, 1997, т.188, вып.7, с.139-160.
особых точек) и полулокальная (рассматриваются малые окрестности протяженных объектов — слоев лиувиллева слоения). Исследование системы во второй ситуации требует дополнительных средств.
В данной диссертации впервые проведен полный траекторный анализ полулокальной проблемы в четырехмерной окрестности особого слоя. Результат5 хотя и является формально первым в этом направлении, однако, строго говоря, является чисто локальным, поскольку эллиптические орбиты всегда нульмерны.
Отметим также работы6'7'8, касающиеся симплектической эквивалентности ИГС в полулокальном случае. Результаты этих работ и методы, которыми они получены, позволяют рассматривать эти задачи в одном контексте с траекторной эквивалентностью. Кроме того, оказывается, что симплектические инварианты имеют природу, близкую к траєкторним.
Часть диссертации посвящена изучению двух интегрируемых случаев динамики твердого тела: случая Эйлера (с двумя совпадающими главными моментами инерции) и случая Лагранжа с произвольным потенциалом. Эти случаи рассматриваются на изоэнергетических уровнях больших энергий, что эквивалентно рассмотрению окрестности специальной особой точки — бесконечности. Это помещает проблему в круг задач, описанный выше. Настоящее исследование располагается также в ряду исследований, связанных с нахождением пар траєкторно эквивалентных геодезических потоков или задач динамики твердого тела на определенных уровнях энергии, см. например910,1112'13'14.
"Dufour J.-P., Molino P., and Toulet A. Classification dee systemes integrables en diroe-sion 2 et invariants des modeles de Fomenko. // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 318:942-952, 1994.
7Toulet A. Classification des systemes integrables en dimesion 2. // PhD thesis, Universite de Montpellier П, 1996.
*San Vu Ngoc. On semi-global invariants for focus-focus singularities. // Preprint: Institut Fourier, 2001.
'Козлов B.B. Две интегрируемые задачи классической динамики. // Вестник МГУ, 1981, ЛЧ с.80-83.
10Kn5rer Н. Geodesies on quadrics and a mechanical problem of C.Neumann. // J. Reine Angew. Math. 1982, v.334, pp.69-78.
11Вобенко А.И. Уравнения Эйлера на яо(4) и е(4). Изоморфизм интегрируемых случаев. // Функц. нализ и его приложения, 1986, т.20, вып.1, с.64-66.
12Болсинов А.В., Многомерные случаи Эйлера и Клебша и лиевы пучки. // В кн.: Труды семинара по векторному и тензорному анализу, М-: МГУ, 1991, вып.24, с.8-12.
l3Veselov А.Р. Two remarks about the connection of Jacobi and Neumann integrable systems. И Math. Zeitschrift, 1994, v.216 pp.337-345.
14Волсинов A.B., Дуллин X. О случае Эйлера в динамике твердого тела и задаче
Цель работы
Настоящая диссертация посвящена исследованию классов траекторной топологической эквивалентности ИГС с двумя степенями свободы в окрестностях особенностей. Основной целью является построение полного набора инвариантов топологической траекторной эквивалентности в четырехмерных окрестностях особых невырожденных слоев типа седло-центр, изучение вопроса реализации ИГС с заданным траекторным инвариантом, а также исследование с точки зрения классов траекторной топологической эквивалентности интегрируемых случаев Эйлера (с двумя совпадающими главными моментами) и Лагранжа динамики твердого тела на больших уровнях энергии, т.е. "в окрестности бесконечности".
Методы исследования
В работе использованы методы дифференциальной геометрии, топологии, теории интегрируемых гамильтоновых систем, дифференциальных уравнений и анализа.
Научная новизна
Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:
-
Построены инварианты топологической траекторной эквивалентности нерезонансных нерасщепляемых ИГС в четырехмерных окрестностях особых невырожденных слоев типа седло-центр.
-
Получен полный критерий траекторной эквивалентности таких систем в неспециальном случае.
-
Описан класс допустимых траєкторних инвариантов и доказана теорема реализации ИГС с заданным допустимым траекторным инвариантом.
-
Установлена связь классов топологической траекторной эквивалентости интегрируемых случаев Эйлера (с двумя совпадающими главными моментами) и Лагранжа динамики твердого тела на уровнях больших энергий в случае, когда постоянная площадей д = 0. Для этого исследованы свойства функций вращения геодезических потоков на двумерных сфере и торе.
Якоби. // Регулярная и хаотическая динамика. 1997, т.2, JM, с.13-25.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применение в теории интегрируемых гамильтоновых систем.
Апробация работы
Результаты диссертации рассказаны и обсуждены на следующих семинарах и конференциях:
— на семинаре "Современные геометрические методы" (мех-мат МГУ)
под руководством акад. А. Т. Фоменко, проф. А. С. Мищенко, проф.
А. В. Болсинова, доц. А. А. Ошемкова и доц. Е. А. Кудрявцевой в 2000-
2003 гг.;
» — на XXII Конференции молодых ученых (мех-мат МГУ) в апреле 2000
г.;
— на международном симпозиуме "Теория уравнений с частными
производными и специальные вопросы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений," посвященной 150-летию со дня рождения
С. В. Ковалевской (г. Санкт-Петербург) в мае 2000 г.;
на конференции "Александровские чтения" (г. Москва) в мае 2000 г.;
на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И. Г. Петровского (г. Москва) в мае 2001 г.;
— на Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2002)
памяти С. Г. КреЙна в январе 2002 г.;
— на международной конференции по функциональному анализу и
1 его приложениям, посвященной 110-летию со дня рождения С. Банаха (г.
Львов, Украина) в мае 2002 г.;
на семинаре под руководством проф. В. Бангерта (математический институт Альберт-Людвиг университета, г. Фрайбург, Германия) в декабре 2002 г.;
на семинаре под руководством проф. У. Абреша и проф. Г. Книпера (Рурский университет, г. Бохум, Германия) в июле 2002 г. и в 2003 г.;
— на совместном семинаре "Дифференциальная геометрия"
Дортмундского и Бохумского университетов под руководством
проф. У. Абреша, проф. Г. Книпера, проф. К.-Ф. Зибурга и проф.
Л. Шваххофера (Дортмундский университет, г. Дортмунд, Германия) в
июне 2005 г.;
— на кафедральном семинаре "Дифференциальная геометрия и
приложения" (мех-мат МГУ) под руководством акад. А. Т. Фоменко в
ноябре 2005 г.
Публикации
Основное содержание диссертации опубликовано в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4].
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 130 страницах. Список литературы содержит 36 наименований.
