Введение к работе
Изучение свойств деформаций, при которых элемент площади поверхности изменяется по заданному закону, занимает важное место в теории деформаций поверхностей. Деформации поверхностей, при которых элемент площади поверхности не изменяется называются ареальними деформациями (А-деформациями). Класс А-деформаций шире, чем класс изометрических деформаций. Первые работы, где определены и изучены А-деформации были опубликованы в 19б1-1962гг.
Реферируемая работа посвящена изучению свойств почти ареально-рекуррентных деформаций гиперповерхностей с сохранением их грас-сманова образа в евклидовых пространствах..
В.Т.Фоменко определил и исследовал свойства бесконечно малых ARG-деформаций, что подтолкнуло к изучению свойств непрерывных и аналитических почти ARG-деформаций.
В теории деформаций поверхностей огромное место занимает теория изгибаний поверхностей. Большое место в этой теории занимает изучение связи между изгибаниями(здесь под изгибанием мы понимаем непрерывное изгибание) и б.м. изгибаниями поверхностей.
Известны примеры жестких поверхностей, допускающих непрерывные изгибания. Так, например, из результатов Й.Н.Векуа следует, что полусфера в трехмерном евклидовом пространстве, склеенная с нерастяжимой, абсолютно гибкой нитью и закрепленная в одной точке -жесткая, но в то же время такая поверхность изгибаема.
Результат с подобными свойствами получен в главе 2, где изучаются непрерывные почти ARG-деформаций замкнутых гиперповерхностей и гиперповерхностей с краем при внешних связях, а именно: показано, что если гиперповерхность является А— жесткой в отношении допустимых б.м. ARG-деформаций, то при некоторых условиях она допускает непрерывные почти ARG-деформаций.
Большой интерес представляет изучение аналитических изгибаний поверхностей.
Известна проблема продолжения б.м. изгибаний в аналитические, поставленная С.Э.Кон-Фоссеном, состоящая в следующем. Известно,
что всякое аналитическое изгибание поверхности порождает поле 2^ б.м. изгибания поверхности. Возникает вопрос, для всякого ли изгибающего поля Цу} поверхности можно указать поля z^,2(3),..., такие, чтобы деформация:
ft = г+ *%).Є [0,1)
*=1
определяла аналитические изгибания поверхности.
В такой постановке эта задача нашла положительное решения для некоторых классов поверхностей, например, в работах Т.Г.Исанова и С.Б.Климентова. Вопрос о продолжении б.м. изгибаний при внешних связях изучался В.Т.Фоменко и Е.М.Колегаевой.
Поэтому естественно возникает вопрос о постановке аналогичных задач для ARG—деформаций: какова связь б.м. ARG—деформаций и непрерывных почти ARG—деформаций, при каких условиях б.м. почти АЙС-деформация допускает продолжение в аналитическую почти ARG-деформацию. Исследованию данных задач и посвящена настоящая диссертация.
В реферируемой работе изучены новые виды деформаций гиперповерхностей в евклидовых пространствах.
-
Изучены некоторые свойства непрерывных почти ARG- деформаций замкнутых гиперповерхностей с положительными главными кривизнами в евклидовых пространствах.
-
Изучены некоторые свойства непрерывных почти ARG- деформаций при внешних связях гиперповерхностей с краем со строго положительными главными кривизнами в евклидовых пространствах.
-
Исследована проблема продолжения бесконечно малой почти ARG— деформации замкнутых гиперповерхностей с положительными главными кривизнами в аналитическую почти ARG- деформацию.
-
Исследована проблема продолжения бесконечно малой почти ARG— деформадии гиперповерхностей с краем со строго положительными главными кривизнами в аналитическую почти ARG— деформацию.
-
Изучены некоторые свойства непрерывных почти AR— деформаций с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей
замкнутых гиперповерхностей с положительными главными кривизнами в евклидовых пространствах.
6. Изучены некоторые свойства непрерывных почти AR— деформаций с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей при внешних связях гиперповерхностей с краем со строго положительными главными кривизнами в евклидовых пространствах.
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации являются новыми и могут быть применены к дальнейшему исследованию почти ареалыю-рекуррентных деформаций поверхностей в ри-мановых пространствах.
В работе используются традиционные методы геометрии. Существенную роль играет применение неравенства Шаудера для операторов эллиптических типов.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях Волгоградского госуниверсмтета (1992-1994), на международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (18-22 августа 1992г.,Казань), на Республиканской научно-методической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (3-8 сентября 1992г., Одесса), на Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам геометрии и анализа.(25.09-2.10 1994г., Абрау-Дюрсо).
Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, список которых находится в конце автореферата.
Диссертация содержит 85 страниц текста, состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы в 23 наименования.
Главы имеют следующие названия:
Гл. 1. Вспомогательные результаты из теории операторов эллиптического типа.
Гл. 2. Некоторые свойства непрерывных почти ARG— деформаций.
Гл, 3. О продолжении б.м. почти ARG— деформаций в аналитические почти ARG— деформации.
Гл. 4. Некоторые свойства непрерывных почти AR— деформаций с сохранением грассманова образа семейства гиперповерхностей.
