Алгебры голономии лоренцевых многообразий Галаев Антон Сергеевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Основные сведения . .21

1 1 Группы и алгебры голономии: определения и факты. 21

1.2. Связные неприводимые группы голономии римановых и псевдо-римановых многообразий 31

1.3 Результат Л Берарда-Бержери и А. Икемакхена 35

ГЛАВА II. Группы движений пространств Лобачевского, группы преобразования подобия евклидовых пространств и группы юлономии лоренцевых многообразий . 39

2.1. Транзитивные группы преобразований подобия евклидовых пространств 39

2 2 Движения пространств Лобачевского . 40

2 3 Классификация іранзитивньїх групп преобразований подобия евклидовых пространств и геомеїрическое доказаіельсіво результата Л Берарда-Бержери и А. Икемакхена 43

24 Транзитивные группы движений нространства Лобачевскої о Ln+ 48

ГЛАВА III Просіранства тензоров кривизны и алгебры Берже 51

3 1 Предварительные сведения 51

3 2 Структура пространсїв тензоров кривизны 54

3 3 Слабые алгебры Берже . 63

3 4 Примеры 65

ГЛАВА IV Конструкции метрик и классификационная теорема 71

4 1 Координаты Валкера и примеры метрик Л Берарда-Бержери и А Икемакхена . 71

4 2 Конструкции метрик, реализующих все алгебры Берже . 73

Список литературы

• Связные неприводимые группы голономии римановых и псевдо-римановых многообразий
• Движения пространств Лобачевского
• Транзитивные группы движений нространства Лобачевскої о Ln+
• Структура пространсїв тензоров кривизны

Введение к работе

Актуальность темы. Понятие группы голономии впервые было введено в работах Э Картана [22] и [24], в [23] он использовал группы голономии для классификации римановых симметрических пространсів

Группа голономии может быть определена для произвольного главного или векторного расслоения со связносіью, для этого необходимо только по-няіие параллельного переноса. Рассмотрим произвольное n-мерное многообразие М с линейной связностью V Зафиксируем точку х Є М Группа голономии Hol_x для связности V в точке х Є М есть поді руппа Ли группы Ли GL(T_XM) ~ GL(ri) (все группы и алгебры Ли будем рассматривать над полем М), состоящей из параллельных переносов вдоль всех кусочно-гладких петель в точке х Сооївеїсівующая алгебра Ли fyoLj. С gl(T_xM) ~ gl(n) называется алгеброй голономии в точке х Для связного многообразия группы голономии и алгебры голономии в различных точках изоморфны, и можно і оворить о группе и алгебре голономии многообразия

Важность группы голономии состоит в том, что группа голономии содержит информацию обо всех параллельных обьектах на многообразии А именно, имееіся втимно-однозначное соответствие между параллельными тензорными полями типа (г, s) на многообразии и тензорами типа (г, s), заданными на касательном пространстве в произвольной точке многообразия и сохраняемыми іензорньш продолжением группы голономии А 'іакже существует взаимио-одиозначное соответствие между параллельным распределениями ранга г на многообразии и подпространсівами касаіельного пространства размерности г в некоторой точке многообразия, сохраняемыми іруппой голономии Таким образом, если мы знаем группу голономии многообразия, то геомеїрическую задачу нахождения параллельных тензорных полей или параллельных распределений на многообразии можно свести к

более простой алгебраической задаче нахождения инвариантных элементов или инвариашных подпространств для соответствующих представлений группы голопомии Аналогично, алгебра і олономии содержит информацию обо всех параллельных объектах на многообразии, заданных локально

Поэтому возникает задача классификации групп голопомии Прежде всего отметим, что для неодносвязного просіранства группа голопомии может быть несвязной, и в зі ом случае какие-либо результаты отсуїсівуюі По эюй причине будем рассматривать связную компонешу единицы группы голопомии Это равносильно изучению алгебры і олономии В дальнейшем будем рассмаїривать только связные группы голопомии

В 1965 году Дж Хано и X. Одзеки показали, что всякая связная линейная группа Ли G С GL(n) может быть реализована как группа голопомии пространства линейной связности [37]. Эта связность, как правило, имеет ненулевое кручение. Значит для произвольных пространств линейной связности классификации групп голопомии быть не може г и нужно вводить дополнительные условия. Таким условием является обращение тензора кручения в ноль, Tor = 0. В этом случае первое тождество Бьянки имеем вид

R{X, Y)Z + R{Y, Z)X + R{Z, X)Y = 0, для всех X,Y,Z Є xW,

где R - тензор кривизны многообразия Для произвольной линейной алгебры g с g((n) рассмоірим пространство тензоров кривизны типа д,

7г(д) = {R є Hom(R" Л W\ q)\R{u Л v)w + R(v Л w)u + R{w Au)v = 0

для всех u,v,w Є Rⁿ] и векюрное ііодіїросіранство

ЦЩо)) = &рап{Я(« Av)\Re 7г(д),и, v Є Ж¹} С д.

Согласно теореме Амброза-Зингера (теорема F) алгебра голопомии порождается значениями тензора кривизны в различных точках многообразия Значит для алгебры голопомии f)ol_x С q[(T_xM) многообразия с линейной связностью без кручения мы имеем L(7l(t)ol_x)) = \)0І_Х Подалгебры

0 С gl(rc), удовлетворяющие условию L(1Z(q)) = g, можно считать кандидатами в алгебры голопомии Отметим, что это условие является достаточно жесіким. В 1955 году М. Верже привел (без подробного доказательства) список неприводимых подалгебр g С gl(ft) (для произвольного п > 1), удовлетворяющих условию L(7(g)) = g Поэтому алгебры, удовлетворяющие '-ному условию, принято называть алгебрами Верже. Подробное доказательство (вмесче с исправлениями ошибок в списке) дали недавно С Меркулов и Л.Шваххофер, [51] и [54]. Этот довольно технический результат основан на классификации неприводимых представлений редуктивных аліебр Ли (зная неприводимое представление g <-» Ql{ri), можно проверить равенство Ь(Щд)) = g в терминах старшего веса представления) Заметим, что для пространств линейной связности переход от общего случая к случаю неприводимой алгебры голопомии невозможен, и говорить о классификации в общем случае, видимо, нельзя.

Рассмотрим теперь римановы многообразия Классификация связных групп голопомии римановых многообразий является хорошо известным классическим результатом. На всяком римаиовом многообразии (М, д) имеем связность Леви-Чивита, однозначно определенную условиями Vg = 0 и Тог = О В этом случае Hol_x С 0(Т_хМ,д_х) ~ 0{п) и \)oi_x С so(T_xM,g_x) ~ so(n). В 1952 году А. Борель и А Лихиерович доказали, чго всякое риманово многообразие локально является произведением римановыт многообразий с неприводимыми группами голопомии, более того, ограниченная группа голопомии риманова многообразия представима в виде прямого произведения неприводимых групп Ли, алгебры Ли которых удовлетворяют условию L(7(g)) = g [12] Основная причина заключается в следующем: если подгруппа G С 0{п) сохраняет некоторое векторное подпространство U С Ш^п, то G сохраняет также его ортогональное дополнение U¹, и мы имеем Ш.^п = U ф U¹, те группа G вполне приводима В 1955 году М Верже классифицировал связные неприводимые подгруп-

пы Ли G С SO(n), алгебры Ли g С so(n) которых удовлетворяют условию L(7Z(q)) — g. Результат состоит в следующем- либо G является группой голономии симметрического риманова пространства (эги пространства классифицированы в [23], их группа голономии совпадает с представлением изотропии), либо G является одной из следующих групп: SO(n), /(), 5/(), Sp(f), Sp(*) - Sp(l), Spm{7) (n = 8), G₂ {n = 7). Последние б групп этого списка называются специальными группами голономии Список Верже представлял собой долгое время список кандидатов в группы голономии, лишь в 1987 году Р. Брайпт привел конструкции, показывающие существование римаиовых многообразий с каждой из специальных групп из этого списка ([16]) Эю завершает классификацию Римановы многообразия с группами голономии U(n), SU(n), Sp(n), Sp(n) Sp(l) являются кэлеровыми, специальными кэлеровыми (или многообразиями Калаби-Яу), кватернионно-кэлеровыми и гинеркэлеровыми С001ВЄ1СГВЄНІЮ Многообразия с группами голономии SU(^), Sp(j), Spin{l) и G₂ допускают параллельные спинорные поля ([56]), а потому интересны для физиков Каждое из многообразий с особой группой голономии являє іся многообразием Эйнштейна или Риччи-плоским Все эти римановы многообразия представляли большой интерес геометров последние 50 лет, подробный обзор можно найти в [7] и [46]. Важным результатом являются конструкции полных и компактных римановых многообразий со специальными группами голономии, полученные Р Брайнтом, С.Саламоном и Дж. Джойсом

Как показывает случай римановых многообразий, классификация связных групп голономии дает примеры различных важных классов многообразий. Поэтому важно иметь также классификацию связных групп ю-лономии для псевдоримановых многообразий, и в первую очередь - для ло-ренцевых многообразий, поскольку последние важны в физике Например, в последнее время в связи с теорией 11-мерной супергравитции имеются физические работы, в которых изучаются 11-мерные лоренцевы миогообра-

зия, допускающие параллельные спипорные поля. При этом используются і рунпы голономии ([6, 35, 36, 39, 44]). В настоящее время полная классификация получена только для лорепцевых многообразий (об этом речь пойдет далее) Имеются частичные результаты для многообразий сигнатуры (2,п), [32, 33, 41] и сигнатуры (п,п), [9].

Рассмотрим псевдориманово многообразие (М, д) произвольной сигнатуры {r,s). Как и в римаиовом случае, на (М,д) имеем связное і ь Леви-Чивита, теперь Hol_x С 0(Т_хМ,д_х) ~ 0(r,s) и \)о\_х С so(T_xM,g_x) ~ so(r,s). Уїверждение теоремы Бореля-Лихнеровича неверно для псевдоримановых многообразий. Действительно, предположим, что подгруппа G С 0(r,s) сохраняет собственное вырожденное подпространство U С W'^s, тогда UCiU¹ ф {0}, и мы не получаем ортогонального разложения W^,s в прямую сумму G-инвариантных подпространств. Подгруппа G С 0(r, s) называется слабо неприводимой, если она не сохраняет никакие невырожденные собственные подпространства в W^,s Теорема By утверждает, чю всякое псевдориманово многообразие локально является произведением псевдоримановых многообразий со слабо неприводимыми группами голономии, более того, ограниченная группа голономии псевдориманова многообразия предста-вима в виде прямого произведения слабо неприводимых групп Ли, алгебры Ли которых удовлетворяют условию L(K(q)) = g [57] Если группа голономии неприводима, то она слабо неприводима В [10] М Берже дал классификацию возможных связных неприводимых групп голономии для псевдоримановых многообразий. В частности, единственной связной неприводимой группой голономии лорепцевых многообразий является 50(1,гг+ 1) В [20] и [15] даны прямые доказательсіва эюго факта Итак, в случае псевдоримановых многообразий основная сложиосіь связана с тем, что слабо неприводимые, не являющихся неприводимыми, подгруппы в 0(r, s) не являются редуктивными (или вполне приводимыми), и эти группы неизвестны

Цель работы. Целью работы является получение классификации ал-іебр голономии лоренцевых многообразий. Постановка задачи.

С учетом вышесказанного, проблема классификации алгебр голономии лоренцевых многообразий сводится к проблеме классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, алгебр голономии лоренцевых мноюобразий Последняя проблема может быгь разделена на следующие 3 проблемы

1. Получи і ь список слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр g С so(l, п + 1).

2. Для подалгебр g С so(l,n + 1) пункта (1) проверить равенсіво

L(JI(q)) = g, то есть получить список связных слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр Берже в so(l,n + 1)

(3) Для каждой подалгебры g С so(l,n + 1) пункта (2) найти пример ло-
ренцева многообразия с алгеброй голономии д.

Основные задачи, решенные в диссертации:

1) Получено геометрическое доказаіельеіво результата Л Берарда-

Бержери и А Икемакхена о слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр g С so(l,n + 1). Попу і но получена классификация связных групп преобразований подобия евклидовых пространств и классификация связных транзитивных групп движений пространств Лобачевского.

2) Для слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалі ебр

g С 5o(l,n + 1) описаны пространства тензоров кривизны Проблема классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалі ебр Берже g С so(l,n + 1) сведена к проблеме классификации неприводимых слабых подалгебр Берже f) С зо(тг). Для п < 9 получена классификация слабых подалгебр Берже J) С so(n)

3) Посіроены метрики, реализующие все кандидаты в аліебрьі голономии лоренцевых мної ообразий.

Теоретическое и практическое значение работы. Резульїаіьі данной рабо і ы могут быть применены для дальнейшего исследования геометрии лоренцевых многообразий с каждой из возможных алгебр голономии, для нахождения локальных параллельных геометрических объекюв на лоренцевых многообразиях Результаты работы могут быть применены также в физике, например, в связи с общей теорией относительности и в теории супергравитации.

Содержание работы.

В главе І излаїаются некоторые известные результаты о группах голономии псевдоримановых многообразий. В пункте 1 1 приводятся определения и основные факты, связанные с группами голономии псевдоримановых многообразий. Даны примеры и идеи доказательств некоторых теорем, показывающие технику применения групп голономии В пункте 1.2 приводится классификация М.Берже связных неприводимых групп голономии римановых и псевдоримановых многообразий и ее следствия.

^0 0 Л 0 Е_п 0

_V^і _/

В пункте 1 3 излагается решение проблемы (1), полученное в 1993 і оду Л. Берардом-Бержери и А. Икемакхеным ([8]) Они разделили слабо неприводимые, не являющиеся неприводимыми, подалгебры g С so(l,n + 1) на 4 типа и ассоциировали с каждой такой подалгеброй подалгебру I) С so(n), называемую ортогональной частью алгебры Ли g Более подробно, обозначим через Ш^1,п+1 (п + 2)-мерное пространство Минковского, то есть векторное пространство Ш.^п+2 с меірикой ц сигнатуры (l,n + 1). Зафиксируем базис p,e\,...,e_n,q пространства М¹'""¹"¹, относительно которого метрика г\ имеет

матрицу Грама формы

. Обозначим через Е евклидово про-

странство, порожденное векторами е\, ...,е_п Иногда вместо Е будем писагь

Е" Обозначим через so(l, п + 1)r_p подалгебру в во(1, n + 1), сохраняющую изотропную прямую Шр. В базисе p,e\,...,e_n,q алгебра Ли $о(\,п + 1)r_p имеет следующий маїричньїй вид

^{( (} а -X^і О ^N

О Л X О 0 -а

50(1,П +

>.

а Є Е, X є Rⁿ, А Є so(n)

/

_{I V}

Всякая слабо неприводимая, не являющаяся неприводимой, подалгебра g С so(l,n + l) сохраняет некоторую изотропную прямую, поэюму g сопряжена некоторой слабо неприводимой подалгебре в 5о(1, n+ 1)r_p Напомним, что для всякой подалі ебры f) С so(n) имеем 1) = (/ %(t)), где ()' - коммутант \) и з(()) - центр I). Л Берард-Бержери и А. Икемакхеп показали, чго подалгебра g cso(1,7i+1)r_p является слабо неприводимой тогда и только тогда, когда g является алгеброй одного из следующих типов:

^{( (} а -X^і 0^Х

Тип 1. д¹^ = <

{ \

подалгебра;

О А X О 0 -а

/

а Є Ш, X Є Ш^п, А Є f)

>, где f) С so(n)

^ 0 -X^і о ^

Тип 2. g²'^ = <

_{I V}

О А X 0 0 0

X еШ^п,Ае\)

>;

^{( (}<р(А) -X^і о ^

Тип 3. д³'^ = <

0 А

X є Ш^п, А Є f>

>_; actef) с 5о(гг)

^{До о -^(Л)у}

- подалгебра с условием 3(f)) т^ {0} ^и Ч> ' Ь отображение со свойством <р\у = 0;

ненулевое линейное

^0 -X^і -ф(АУ о ^

ф(А)

Тип 4. q⁴*'^ = <

X є R^m, А є \)

[ \

О < т < п - некоторое целое число, \) С so(m) - подалгебра с условием dim^fj) > п — т, а ф : Ї) — Ш.^п~^т - сюръективное линейное отображение со свойством ф\у = О

Подалгебра F) С 50(/г), ассоциированная выше со слабо неприводимой подалгеброй q с so(l,n + 1)к_р, называется ортогональной частью алгебры Лид.

Доказательство этого результата было алгебраическим В главе II мы приводим геометрическое доказательство эюго результата. Мы рассматриваем векторную модель (п + 1)-мерного просгрансіва Лобачевского L^n+l С R¹'""¹"¹ и его абсолют dL^n+l, который диффеоморфен п-мерной единичной сфере. Имеем естественные изоморфизмы

0'(1, п + 1)~ Іьот Lⁿ⁺¹ ~ Conf 8Lⁿ⁺¹ и 50(1, п + 1)_Нр ^ Sim Е,

где 0'(1, п +1) есть подгруппа Ли в 0(1, п +1), сохраняющая пространспю Lⁿ⁺¹, IsomL"⁺¹ - группа всех движений пространства Lⁿ⁺¹, ConidL^n+l -группа конформных преобразований dLⁿ⁺¹, 50(1, п + 1)r_p - подгруппа Ли в 0'(1,п + 1), сохраняющая изотропную прямую Ер, и Sim Е - группа преобразований подобия Е Мы отождествляем множество dLⁿ⁺¹\{Rp} с евклидовым пространством Е. Тогда всякая подгруппа G С 50(1, n + \)щ, действует на Е, более того, G С SimE Мы доказываем, чю связная подгруппа G С 50(1, п + 1)ш_Р является слабо неприводимой тогда и только тогда, когда соответствующая подгруппа G С SimZ? при изоморфизме 50(1, п+ 1)к_р ~ Sim Е действует транзитивно в Е. Это дает взаимно однозначное соответствие между связными слабо неприводимыми подгруппами в 50(l,n + 1)ір и связными транзитивными подгруппами в SimE

Используя описание связных транзитивных подгрупп в SimE, данные в [2] и [3], мы доказываем следующую теорему.

Теорема 2. Связная подгруппа G С SimE¹ транзитивна тогда и только тогда, когда G сопряжена группе одного из следующих типов

Тип 1. G = (А х Я) X Е, где A = R⁺ - компонента единицы группы гомотетий Е с центром О, Я С SO(n) - святая подгруппа Ли и Е

- группа сдвигов;

Тип 2. G = Я X Е;

Тип 3. G = (А^ф х Я) X Е, где Ф : А —» SO(n) есть гомоморфизм и

А^ф = {Ф(а) а|а Є Л} С 50(n) х Л

- группа винтовых гомотетий Е;

Тип 4. G = (Я х С/^ф) X W, где имеем ортогональное разложение E = UW, Я С SO(W), Ф : U -> 50(^) - гомоморфизм (U рассматриваем как группу переносов в Е на векторы из U), и

U* = {Щи) и\и eU}c SO(W) х U

- группа винтовых движений Е.

Соответствгующие подгруппы в 50(1, п + 1)к_р гари изоморфизме SO(l,n + 1)к_р ~ SimE исчерпывают все связные слабо неприводимые подгруппы в S0(1, п + 1)r_p и ш; алгебры Ли имеют тот же тип, определенный Л. Берардом-Бержери и А Икемакхеным.

Одним из применений теоремы 2 является классификация транзиіив-ных группы движений пространства Лобачевского Lⁿ⁺¹

Теорема 3. Пусть G С 50(1,п + 1) - связная подгруппа, действующая транзитивно в пространстве Лобачевского Lⁿ⁺¹. Тогда, либо G = 50(1,п + 1), либо G сохраняет изотропную прямую I С IR^1,n+1, и

существует базис р,е\,..., e_n,q пространства Е¹'""¹"¹, как и выше, такой, что I = Шр и G является одной из следующих групп

3. (Ах Н) X Е, где Н С SO(n) - подгруппа;

4. (А^ф х Я) X Е, где Ф : А —> SO(n) - нетривиальный гомоморфизм и

А^ф = (Ф(а) а\а Є А} С SO{n) х А.

Более того, группы вида АЛЕ и А^ф X Е исчерпывают все связные подгруппы в SO(l,n -\- I), которые действуют просто транзитивно в L^n+l.

Геометрическое доказательство результата Л Берарда-Бержери и А. Икемакхена дает также идею для классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подгрупп в [/(1, п +1) С 50(2,2гг + 2), для этого нужно использоваїь комплексное пространство Лобачевского [26, 32]

Перейдем теперь к рассмотрению проблемы (2). В главе III мы описываем пространства Що) для слабо неприводимых подаліебр g С 5о(1, n + 1)r_p в терминах их ортогональной части f) С so(n). Мы сводим классификацию слабо неприводимых подалгебр Верже g С so(l,n 4- 1)к_р к классификации неприводимых подалгебр f) С so(n), обладающих некоторым алгебраическим свойством (слабые алгебры Берже)

Более точно, для всякой подалгебры \) С so(n) определим пространство

Щ) = {Ре Hom(Eⁿ, f))| Tj(P(u)v, w) + J]{P{v)w, и) + r]{P(w)u, v) = 0

для всех u,v,w Є E"} и векторное подпространство

L{V{\))) = span{P(«)|P Є V{t)), и Є Е^га} С J),

порожденное тензорами Р Є V(t)) Мы называем V() пространством слабых тензоров кривизны типа fj Подалгебра I) С 50(п) называется слабой алгеброй Берже, если L("P(f))) = \).

В следующей іеореме мы даем описание пространсів іензоров кривизны Щд) для алгебр каждою типа с произвольной ортогональной частью f) С 5о(п) в терминах пространства V(\))

Теорема 4. Для всякой подалгебры f) С so(n) имеем-
(I) Щ^) = Я(д²'") ЩЕ, Ж) 0 ЩШ, Щ;

(її) тг^) = ад є ще, у е 7г(р л я),

7(і2, R) ~ Нот(.Е,Е), изоморфизм имеет следующий вид: всякое линейное отображение L : Е —> R соответствует тензору кривизны, определяемому следующими условиями R^L Є ЩЕ,Ж), R^L(qAu) = L(u)pAq, R^L(apAq) = pAL*(a), R^L(pAu) = 0, R^L{uAv) = 0 для всех а Є R, u,v Є E;

ЩЖ,Ш) ~ E, всякое А Є E соответствует тензору кривизны R^x Є 7(Е, Е), определяемому следующими условиями Д^л(р Л д) = Ар Л 5, #^А(р Л м) = 0, R^x{q А и) = 0, #^А(и Л и) = 0 для всех и, v Є ;

7^(^, I)) — V{b)> всякий элемент Р Є V{t)) соответствует тензору кривизны R^p Є ЩЕ, I}), определяемому следующими условиями R^p{q А и) = Р{и), R^p{u A v) = -\{р А Р*{и A v)), R^p{p A q) = 0, R^p(p А и) = 0 для всех и, v Є Е;

Щр А Е) ~ S²(E), всякое линейное отображение Т : Е —> Е, такое что Т* = Т, соответствует тензору кривизны R¹ Є ЩрАЕ), определяемому следующими условиями R^T(qAu)=pAT(u), R^r(uAv) = 0, R^T(p A q) = 0, R^T(p А и) = 0 для всех u,v Є Е.

(Ill) Если з(()) ф {0}, то для любого линейного отображения ip : f) —> Е г условием ip\y = 0 имеем

_я(0³_{'^) = 7г(кег v?) ф тг(я, ї>, у?) 0 7г(р л Е),}

K(E,t),(p) ~ V{\}), произвольный элемент Р Є V(l)) соответствует тензору кривизны R^p Є 7^.(^,^,^), такому что R^p{q А и) = Р{и) + ip{P{u))p A q, R^p{u A v) = -\{р Л Р*(и Л v)), R^p(apAq) = -\р Л Р* (ц>* (а)), R^p(pAu) = 0 Для всей а ЄШ, u,v Є Е,

(IV) Ьш существует ортогональное разложение Е = Е\@ Еч, такое что 1)(2) = {0} (те f) С so(#i)^, сІітз(Ь) >п-т, гдет = dim?i, то длл любого линейного сюръективного отобраоїсения ф : \) —> Еч с условием ф\у = 0 имеем

ft(g⁴'^w) = 7l(ker^) ЩЕ_и Ь,Ф)@ЩрА Ei),

ЩЕ\,\),ф) ~ ^(ї))» произвольный элемент Р Є 'P(l)) соога-ветствует тензору кривизны R^p Є Л(Еі,1),ф), такому что R^p{q А щ) = Р{щ) +рА ф{Р{щ)), R^p{_Ul А ы) = -\{р А Р*{щ А ы)), RP(p а щ) = -\р А Р*(ф*Ы), R^P{p Л q) = 0, R^p{p А и) = О, R^p(u2 А и) = О для всех щ, v\ Є Е\, щ Є Еч, и є

Следствие 1. Всякая слабо неприводимая подалгебра 0 С so(l, n+l)i_p является алгеброй Берже тогда и только тогда, когда ее ортогональная часть \) С so(n) является слабой алгеброй Берже.

Следствие 2. Всякая слабо неприводимая подалгебра 0 С 5o(l,n + l)i_p, такая что ее ортогональная часть \) С 5о(п) является алгеброй голономии риманова многообразия, является алгеброй Берже

Следствие 1 сводит проблему (2) к проблеме классификации слабых алгебр Берже \) С 50(п). Далее мы изучаем их свойсіва

Теорема 5. (I) Для всякой слабой алгебры Берже f) С so(n) существует ортогональное разложение Ш^п = Ж^п ф Ш^Пі ф ф М^Пг пространства W¹ и разложение алгебры Ли \) в прямую сумму идеалов

Ь = {0} Ф f)i Ф ' Ф Ъп при этом f)_z(M"^J) = 0 при г ф j, \)_г с 5о(п_г) и представление rj_z неприводимо в W¹'

(II) Предположим что дана подалгебра f) С so(n), для которой существует ортогональное разложение Rⁿ = Rⁿ ф К"¹ ф ф W^lr пространства Rⁿ и разложение алгебры Ли ї) в прямую сумму идеалов I) = {0} Ф f)i ф Ф 1}г, при этом f)j(R^nj) = 0 при г ф j, \)_г С $о(п_г) и представление \]_г неприводимо в Ш^п'. Тогда имеет место равенство Я(Ь)=Р(Ьі)Є---0Р(ї)г).

Следствие 3. При тех же предположениях, что и в пункте (II) теоремы 5, f) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда алгебра \)_г является слабой алгеброй Берже при всех г — 1, ...,г.

Используя теорию представлений компактных алгебр Ли, мы получаем список неприводимых подалгебр \) С so(n) для п < 9. С помощью программы Mathematica 4 0 мы находим пространства V(i)) как решение системы линейных уравнений Доказываем следующую теорему

Теорема 6. Для п < 9 неприводимая подалгебра f) С so(n) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Следующая теорема, доказанная Т Лейстнером, обобщает этот результат для произвольных п.

Теорема О. Всякая неприводимая подалгебра Ї) С so(n) является слабой алгеброй Берэюе тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Доказаіельство этой теоремы изложено на более чем 100 страницах, оно использует классификацию неприводимых представлений компактных алгебр Ли В [47] эта теорема была доказана для rj С и(|) С so(n) Теорема б была получена независимо и помещена в математический архив (arXiv math DG/0304407,[30]) После эюго появились работы [48] и [49], где

теорема О была доказана для простых I) С so(n), f) . u(^), а потом для произвольных f) С во(п). Требуется получить более прямое доказательство этого результата Такого доказательсгва пока нет, но в замечании в конце главы IV говорится об одной из возможностей

Теперь решение проблемы (2) можно сформулировать следующим образом:

Теорема 7. Подалгебра g С so(l,n + 1) является слабо неприводимой, не являющейся неприводимой, алгеброй Берже тогда и только тогда, когда g сопряжена одной из следующих подалгебр 9¹^ 9²^ 9^3,1^ 9^4,(,'^т^ _{с 50}(1_?П4- i)_a^ _г^_е (j q so(n) - алгебра голономии

риманова многообразия

Связные неприводимые группы голономии римановых и псевдо-римановых многообразий

В предыдущем пункте мы видели, что задачу классификации подалгебр 0 С so(r, s) со свойством Ь(Щ$)) = 0 можно свести к задаче классификации слабо неприводимых подалгебр 0 С so(r, s), удовлетворяющих этому свойству Для подалгебры 0 с so(n) слабая неприводимость равносильна неприводимое і и Напомним, что псевдориманово многообразие {М,д) называется локально симметрическим, если для его тензора кривизны вы полнено Vi? = 0. По всякому локально симметрическому псевдоримано-ву многообразию можно построить односвязное псевдориманово симметрическое многообразие с гой же алгеброй голономии. Имеется классификация Э Картана односвязных симметрических римановых многообразий [23, 7, 38] Если группа голономии такого пространства неприводима, і о она совпадает с подгруппой изотропии. Итак, связные неприводимые группы юлономии локально симметрических римановых многообразий известны. В 1955 юлу М. Верже получил список возможных связных неприводимых групп голономии римановых многообразий, [10].

Теорема J. Если G С SO(n) - связная подгруппа Ли, алгебра Ли g С so(n) которой удовлетворяет условию L(1Z(Q)) = g, то либо G является группой голономии локально симметрического риманова пространства, либо G является одной из следующих групп: SO{n); U(m), SU(m), п = 2m; Sp{m), Sp{m) Sp(l), n — 4m; Spin(7), n — 8; G2, n = 7

Первоначально в списке Верже присутствовала также группа Spin(9) С 50(16). В [1] Д.В. Алексеевский показал, что римановы многообразия с группой голономии Spm(9) являются локально симметрическими Список всех связных возможных неприводимых групп голономии римановых многообразий, не являющихся локально симметрическими, из іеоремьі J совпадает со списком связных подгрупп Ли G С SO(n), действующих іранзитивпо на единичной сфере б1"-1 С Ж" (из которого нужно исключить группы Spin(9) и Sp(m) Г, где Г-окружность) Заметив это в 1962 году, Дж Саймоне получил в [53] более простое и геометрическое доказательство результат М Верже

Доказательство теоремы J М Берже основано на классификации неприводимых вещественных линейных представлений вещественных ком-пак іньгх алгебр Ли Каждое такое представление можно получить из фундаментальных представлений с помощью тензорных произведений и разложения последних на неприводимые компоненты. Доказательство М Берже сводится к проверке того, чго такие представления (за небольшим числом исключений) не могуг являться представлениями голономии- из тождесіва Бьянки следует, что Що) = {0}, если представление содержит больше одного тензорного сомножителя. Остается исследовать только фундаментальные представления, явно описанные Э. Картаном. С помощью сложных вычислений для них также удается показать, что из тождества Бьянки вытекает, что либо VR = 0, либо R = 0, за небольшим числом исключений, указанных в теореме J.

Примеры римановых многообразий с группами голономии [/(f), SU{%), Sp{Tj) и Sp{ ) Sp{l) построили Э.Калаби, СТ.Яу и Д В Алексеевский В 1987 году Р. Брайнт построил примеры римановых многообразий с группами голономии Spm(7) и (?2- Это завершает классификацию связных групп голономии римановых многообразий

Дадим описание геомеїрических структур на римановых многообразиях с группами голономии из теоремы J. SO(n): Эта группа голономии римаиова многообразия общего положения. На таком многообразии не возникает никаких дополнительных геометрических структур, связанных с группой голономии U(m) (п = 2т): Многообразия с этой группой голономии являются кэле-ровыми, на каждом из этих многообразий существует параллельная комплексная структура (пример 3) SU(m) (п = 2т)

Движения пространств Лобачевского

В эюм пункте излагаюіся результаты книги [3] с небольшими дополнениями из [21] и [43]. Пусть р, Єї, ...,en, q - базис векторного пространства М1,га+1, рассмотренный выше. Рассмотрим базис eo,ei, ...,en,en+i пространства E1,n+1, где eo = f(p-q) и en+i = f-{p+q) Относительно этою базиса матрица Грама /-1 о \ метрики ц имеет вид , где Еп+\ - (п + 1)-мерная единичная \ 0 En+l J матрица Векторная модель (п + 1)-мерного пространства Лобачевского определяется следующим образом Ln+l = {хе Rl n+1\ г](х,х) = -1, XQ 0}.

Здесь XQ означает первую координату вектора х относительно базиса eo,...,en+i- Напомним, чю Ln+l является (n + 1)-мерным римановым подмногообразием К1 " 1. Касательное пространство в точке х Є Ln+l отождествляется с векторным подпространством (х)1г С К1 ""1"1, и ограничение формы ц на это подпространство положительно определено. Обозначим через 0 (1,п + 1) подгруппу Ли в 0(1,/г + 1), сохраняющую ориентацию временной оси Еео, 0 (1,п + 1) = {А Є 0(1, п + 1)\г}(Аео, е0) 0}.

Подгруппа 0 (1,п + 1) сосюит в точности из тех элементов / Є 0(1,72+ 1), которые сохраняют пространство Ln+l Более того, для всякою / Є 0 (1,п + 1) ограничение /І«+І является движением пространства Ln+1, и всякое движение Ln+1 может быть получено таким образом Следовательно, имеем изоморфизм 0 (l,n + l) IsomLn+1, где IsomLn+1 обозначает группу всех движений пространства Ln+1. Рассмотрим световой конус в R1,n+1, С = {хеШ1 п+1\ф,х) = 0}.

Подмножество (п + 1)-мерного проективного пространства РМ1 ""1"1, состоящее из всех изотропных прямых / с С, называется абсолютом пространства Лобачевского Ln+1 и обозначается dLn+l.

Мы отождествляем dLn+l с n-мерной единичной сферой 5" следующим образом Рассмоірим векторное подпространство Е\ = Е@Жеп+\. Каждая изотропная прямая пересекает аффинное подпространство ео + Е\ в единственной точке Пересечение (ео + Е\) Л С представляет собой множесіво которое является n-мерной сферой Sn Это даег нам оюждествление dLn+l Sn.

Обозначим через Conf5n группу всех конформных преобразований сферы Sn. Всякое преобразование / Є 0 (1,/г + 1) переводит изотропные прямые в изотропные прямые. Более того, пользуясь нашим оюждествле-нием, имеем /І0//Н-1 Є ConidLn+l, и всякое преобразование из СопїдЬп+1 может быть получено таким образом. Получаем изоморфизм 0 (l,n + l) ConfdLn+1.

Обозначим через 50(1, п + 1)кр подгруппу Ли в 0 (1,п + 1), сохраняющую прямую Шр Пусть / Є 50(1, п + 1)мр Соответствующий элемент / Є Conf dLn+1 (мы обозначаем его той же буквой) сохраняет ючку Ро = ШрП(ео+Е\) Ясно, чторо = V P- Обозначим за so стереографическую проекцию s0 : Sn\{po} — Е Так как / Є Conf 5й, то SQOJOSQ1 : Е — Е является преобразованием подобия евклидова пространства Е (здесь мы оюждествляем ео + Е с Е) Обратно, всякое преобразование подобия Е может быть получено таким образом Следовательно, имеем изоморфизм 50(l,n + l)% Sim.

Плоскостью в просгрансіве Лобачевского Ln+1 называется непустое пересечение Ln+1 и некоторого векторного подпространства U С R1,n+1 Пересечение Ln+l Л U непусю гюгда и только тогда, когда ограничение формы г\ на U имеет сигнатуру (l,dimf/ - 1). Подгруппа G С IsomLn+1 называется неприводимой, если она не сохраняет никакие собственные плоскости в ГП+1

Транзитивные группы движений нространства Лобачевскої о Ln+

Отождествим пространство R1,n+1 с сопряженным просі рапсі вом (М1,п+1) с помощью формы rj- вектору v Є Rl,n+l соответствует форма v Є (М1 "" "1) , задаваемая равенством v (u) = r](v,u) При этом пространство эндоморфизмов R1,n+1, есіественно изоморфное R1,rH"1 g)(R1 rH"1) , оюждествляется с пространством R1,n+1 0 R1 n+1. Кососиммеїрические относительно формы г] эндоморфизмы соответствуют кососимметриче-ским билинейным формам, поэтому 5o(l,n + 1) отождествляется с К1-""1"1 Л R1,n+1. Для U,V Є Ш.1,п+1 вычислим эндоморфизм и Л v, (и Л v)w = {и 0 v — v 0 u)w = г](и, w)v — 77( , w)u. В частности, для а Є Ш имеем a(pAq)p = —ар, a(pAq)q = aq и a(p/\q)E = 0, поэтому a(pAq) соответствует элементу (-а, 0,0) Є so(l,n + 1)кр Далее х(р Л ег)е = —x5tk, х(р Л ег)р = 0, х(р Л el)q = хег, те. х(р Л ег) сооїветствуег элементу (0,0, X) Є so(l,n + 1)мр, где Xj — 5г]х. Аналогично х(егЛе3) сооївеїпвуеі элементу (0, Л,0) Є 5о(1,п + 1)кр, где Д = х, AJt = —ж, а все остальные элементы матрицы А - нулевые Получаем, что Л = Шр A q, /С = Е А Е, Я = р А Е и имеем разложение so(l, п + 1)%, = {Шр Л g ф Е А Е) к р А Е. Отметим, что К1 "- "1 Л К1-"-1"1 = so(l, n + l)Rp 0 g Л Е.

Слабо неприводимые подалгебры в so(l, п+ 1)кр можно описать теперь следующим образом: Тип 1. Q1 = {Rp A q Ф ()) к р А Е, где f) С so(n) подалгебра; Тип 2. g2 = f) к р Л Я, Тип 3. 03 = { (Л)р Л q + ЛЛ Є f)} к р Л ?, где І) С so(n) - подалгебра с условием з(ї)) 7 {0} и : 1) - R- непулевое линейное отображение со свойством y?fj/ = 0; Тип 4. д4 Ь" = {Л + р А ф{А)\А Є \)} к р А Е2, где Е = Е1@Е2- ортогональное разложение, 0 dimEi = m n, I) С so(m) - подалгебра с условием сіітз(ї)) п — т, & ф : I) — Е2 - сюръективное линейное отображение со свойством ф\у = 0.

Определение. Для подалгебры \] С 5о{п) положим V{\)) = {Р є Hom(, f)) r]{P{u)v, w) + r]{P{v)w, и) + 7]{P{w)u, v) = 0 для всех u,v,w Є Е}.

Множество T{b ) называется пространством слабых тензоров кривизны для \). Через L{V{1))) будем обозначать линейное подпространство в \), порожденное элементами вида Р{и) для всех Р Є V{\)) и и Є Е. Алгебра \) называется слабой алгеброй Берже, если выполнено равенство L{V{\))) = Ь Предложение 2. Пусть \) С so{n) - произвольная подалгебра. Если R Є ЩЬ) то для всякого z Є Е имеем Р{-) = R{-, z) Є V{\)). Доказательство. Так как R Є T y), то R{u A v)w + R{v A w)u + R{w A u)v = 0 для всех u,v,w Є E. Умножая обе части скалярно на z Є Е, получим r)(R(u A v)w,z) + rj(R(v A w)u,z) + rj(R(w A u)v,z) = 0 Из (1) следует r](R(w A z)u, v) + rj(R(u A z)v, w) + rj(R(v A z)w, u) = 0.

Предложение 3. Для всякой подалгебры f) С so(n) линейное подпространство L(P(f))) С f) является идеалом в J). Доказательство. Для произвольных Р Р() и ( G I) положим Р${и) = — о Р{и) + Р(и) о + P(fu) для всех и Є Е. Прямая проверка показывает, что Р Є V(fy). Значит [Р(и),] = Р${и) — Р(«) для всех и Є Е, Є І) П

Введем скалярное произведение Т] 8 ц в R1,n+1 g) R1,n+1, полагая г] S г]{и 8 и, ги 0 z) = TI(U,W)T](V,Z). ОНО порождает скалярное произведение ц А г] в R1 " 1 Л R! n+1 = {иЛи = и ; - v g u\u,v Є R1 n+1}, а именно: г/ Л T;(W AV,W A Z) = 77 //(и v — f w, w; 8 z — 2w) = nr](u0v,wz)—r]r](u0v,z S w) — r] T](v S u,w S)z)-\-r] S r](v )u,z S w) = 2r?(w, W)TJ(V, z) — 2r]{u, z)r](v, W).

При формулировке следующей і еоремы нужно учесть замечание.

Пусть линейное подпространство Г С Е1'714"1 Л Е}'п+1 являє і-ся суммой некоторых из подпространств Е А Е, р А Е, q А Е, RpAqC E1'n+1 ЛЕ1'"*1. Предположим, что Г ф Rl>n+1 ARln+1 ЛE1,n+1 = Е AEpAEqAERpAq. Всякое линейное отображение / : Г —> E1,n+1 Л E1,n+1 может быть продолжено до линейного отображения / : Rl'n+1 A R1,n+1 —> Щ}>п+1 ЛЕ1,П+1, если положить f\r = 0.

Структура пространсїв тензоров кривизны

Выше мы получили классификацию слабо неприводимых алгебр Берже, содержащихся в so(l,n + 1)RP В этой главе мы покажем, что все зі и алгебры Берже могут быть реализованы как алгебры голономии лоренцсвых многообразий Для этого в пункте 4 2 мы строим специальные лоренцевы метрики на Rn+2 Как следствие получаем классификацию слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, алгебр голономии лоренцсвых многообразий. В пункте 4 1 мы напоминаем координаїьі А Г Валкера и приводим примеры метрик, посіроенньїх Л. Берардом-Бержери и А Икемакхеным в [8] и [40]

Координаты Валкера и примеры метрик Л. Берарда-Бержери и А. Икемакхена Как показывает теорема Е алгебра голономии лоренцева многообразия (М,д) слабо неприводима и не является неприводимой тогда и только тогда, когда на М локально существует параллельное распределение изотропных прямых Последнюю ситуацию описал в 1949 А Г.Валкер в [55], доказав следующую іеорему.

Теорема Р. На (п + 2)-мерном лоренцевом многообразии в окрестности каждой точки существует параллельное распределение изотропных прямых I тогда и только тогда, когда существуют координаты ж0, a:1, ...,хп,хп+1, в которых метрика g имеет вид п п g = 2dx{]dxn+1 + Y, h xJ + 2 Yl uldx dxn+l + f (dxn+l)2, i,j=i i=i где htJ uul - некоторые функции, зависящие от х1,..., хп, xn+l, a f - функция, зависящая от х\х1, ...,#",xn+l. При этом ly = Щ]Го)у для всех точек у из этой координатной окрестности

Отметим, что слагаемое X "?=i Kj x представляє г собой семейство римановых метрик, зависящих о г параметра хп+1 Эти римановы метрики могу г бьиь не связанными с ортогональной частью алгебры голономии Например, они могу г бьпь плоскими, а ортогональная часть - нетривиальной.

Метрики, реализующие алгебры Берже типов 1 и 2 построили Л Берард-Бержери и А Икемакхеп в [8]. Приведем эти метрики Пусіь \) С so(п) - алгебры голономии риманова многообразия, h - соответствующая метрика на Еп. Рассмотрим функцию f(x,...,xn+1) со свойством г Ф » & 0 Если й Ф то алгебра голономии g = 2dxdxn+l + h + f-{dxn+1)2 совпадает с Q1,1}, если = 0, то алгебра юлономии метрики g совпадает с

Заметим, чю в эюй конструкции для получения орюгоналыюй части используется тензор кривизны Щ Є 7(fy) В главе 2 мы видели, чю для того чтобы породить алгебры Берже типов 3 и 4, нужно иснользоваїь тензор кривизны вида Rp. Значит необходимо использовать метрики дру-101 о вида Идея конструкций пункта 4 2 исходит из следующего примера А Икемакхена, данного в [40] Рассмотрим на W следующую меірику 5 5 g = 2dxdx6 + (сіяг)2 + 2 uldxldx\ z=l г=1 где «і= -(яг1)2 - 4( 4)2 - (а )2, и2= w4 = 0, и3= -2 /Ъх2хъ-2хЧ\ и5= 2УДХ2Х5 + 2х3х\ Аліебра юлономии этой метрики в точке 0 совпадает с g2- (so(3)) Q 50(\ 6). Векторное подпространство 7r (so(3)) CSO(5) порождается матрицами /О 0 -10 0 \ /000-4 0 \ /0000-1 , / 0 0 \/3 0 0 \ , / 0 0 0 0 0 \ . /0000 -v/3 л = 5 8 8, А2=(ШИ 3= 8Г \0 0 0 10/ Х002 \1 \/31 о о Имеем рг5о(п)(Я( з, ё)0) = Лі, рг50(п)(Д( , )0) = Л2, Prso(n) ( (&Ї, ё)о) = з и prso(n) (Я (д , б)()) = ргв0(п) (R ( 2, ё)0) = О Важно отметить следующее. Определим линейное отображение Р Є Hom(Rn,fj), полагая Р(е{) = Р{е2) = О, Р(е3) = Ль Р(е4) = Л2 и Р(еь) = Лз Имеем Р є P(f)), P(Rn) = Ь и prso(n) (і? (, &)Q) = Р(ег) для всех 1 г 5.

Конструкции метрик, реализующих все алгебры Берже Рассмоірим произвольную алгебру голономии \) С 5о(п) риманова многообразия. Будем исходить из того, что Ї) является слабой алгеброй Берже, те. L(V(i))) = f) Теорема 5 дает нам разложение Rn = Rni0---0Rns0Rnstl (11) и соответствующее разложение ї) = Ьі Є ---01)50(0), (12) такие что l)(Rns+1) = {0}, f)t(Rn ) = 0 при г / j и (), С 5о(пг) - неприводимая подалгебра для всех 1 г s. Более того, все \)г являются слабыми алгебрами Берже, и имеем

Похожие диссертации на Алгебры голономии лоренцевых многообразий

Эрмитовы метрики в алгебрах и их применение к геометрии многообразий прямых и плоскостей вещественных пространствВыплавина, Раиса Порфирьевна