Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теория градуированных п-гомоморфизмов Фробениуса 11
1.1. Градуированная рекурсия Фробениуса 11
1.1. Градуированные п-гомоморфизмы Фробениуса 23
Глава 2. П-гомоморфизмы коммутативных С*-алгебр 44
2.1. Результаты В.М.Бухштабсра и Э.Г.Риса о непрерывных п- гомоморфизмах 44
2.2. Теорема о разложимости п-гомоморфизмов специального типа . 45
2.3. Теорема о непрерывности п-гомоморфизмов. Обобщенное преобразование И.М.Гельфанда 52
Глава 3. Приложения к теории разветвленных накрытий 56
3.1. Определение и основные свойства п-трансфера 56
3.2. Разветвленные накрытия по Дольду-Смиту 65
3.3. Случай многообразий 71
Глава 4. Приложения к теории n-значных топологических групп 80
4.1. n-значные топологические группы и п-алгебры Хопфа 80
4.2. Случай компактных римановых поверхностей 92
Список литературы 99
- Градуированные п-гомоморфизмы Фробениуса
- Теорема о разложимости п-гомоморфизмов специального типа
- Разветвленные накрытия по Дольду-Смиту
- Случай компактных римановых поверхностей
Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертация посвящена развитию алгебраической теории градуированных n-гомоморфизмов Фробениуса и ее приложениям к теории разветвленных накрытий и теории n-значных топологических групп. Разветвленные накрытия представляют собой важный класс отображений пространств и, в первую очередь, многообразий. Такие отображения естественно возникают в топологии, комплексном анализе, алгебраической геометрии и теории особенностей.
В работах Фробениуса1'2 1896 года были введены высшие характеры конечных групп при помощи специальной рекурсии. В работах В.М. Бухштабера и Э.Г.Риса3'4 было введено понятие п-гомоморфизмов алгебр и показано, что они полностью определяются рекурсией, аналогичной рекурсии Фробениуса; поэтому эти отображения были названы n-гомоморфизмами Фробениуса. Теория была развита в3'4'5'6'7.
Введение n-гомоморфизмов алгебр было мотивировано теорией n-значных топологических групп. В классических работах Хопфа было показано, что топологическое пространство X, обладающее умножением с единицей, имеет в своем кольце когомологии специальную алгебраическую структуру, задаваемую кольцевым гомоморфизмом А : Н*(Х) —> Н*(Х) Н*(Х). Это положило начало знаменитой теперь теории алгебр Хопфа. Например, отсутствие структуры алгебры Хопфа в когомологиях пространства X является препятствием к введению на нем структуры топологической группы.
Понятие n-значных формальных групп было введено в работе В.М.Бухштабера и С.П.Новикова8 в 1971 году. Затем В.М.Бухштабером
XG. Frobenius, liber Gruppencharaktere, Sitzungber. Preufi. Akad. Wiss. Berlin 1896, 985-1021.
2G. Frobenius, Uber die Primfaktoren der Gruppendeterminante, Sitzungber. Preufi. Akad. Wiss. Berlin 1896, 1343-1382.
3B.M. Бухштабер, Э.Г. Рис, Многозначные группы и п-алгебры Хопфа, Успехи мат. наук 51:4 (1996), 149-150.
4V.M. Buchstaber, E.G. Rees, Multivalued groups, their representations and Hopf algebras, Transform. Groups 2:4 (1997), 325-349.
5V.M. Buchstaber, E.G. Rees, The Gelfand map and symmetric products, Selecta Math. (N.S.) 8:4 (2002), 523-535.
6B.M. Бухштабер, Э.Г. Рис, Кольца непрерывных функций, симметрические произведения и алгебры Фробениуса, Успехи мат. наук 59:1 (2004), 125-144.
7V.M. Buchstaber, E.G. Rees, Frobenius n-homomorphisms, transfers and branched coverings, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 144:1 (2008), 1-12.
8B.M. Бухштабер, СП. Новиков, Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса, Матем. сб. 84:1 (1971), 81-118.
была развита теория n-значных формальных групп и ее топологических приложений. В его работе9 1990 года была открыта важная структура 2-значной алгебраической группы на сфере S2. Это положило начало топологической теории n-значных групп, которая была развита в работах В.М.Бухштабера и Э. Г. Риса3'4'10, а также в работах А.М.Вершика, А.П.Веселова, А.А.Гайфуллина, С.А.Евдокимова, Т.Е.Панова, И.Н.Пономаренко, А.Н.Холодова и П.В.Ягодовского (см. подробный обзор на эту тему11). Теория n-значных групп, их представ-лении и действии, нашла приложения в теории динамических систем '.
В работе4 было показано, что, если связное топологическое пространство X обладает структурой п-значной топологической группы и имеет нулевые нечетномерные рациональные когомологии, Hodd(X; Q) = 0, то в его алгебре четномерных когомологии Heven(X] Q) существует специальная структура, названная структурой n-алгебры Хопфа. Эта структура задается n-гомоморфизмом A : Heven(X] Q) -> Heven(X] Q) Heven(X] Q).
В данной работе понятие n-алгебры Хопфа обобщено на случай произвольных связных коммутативных градуированных алгебр А*, и доказано, что отсутствие структуры п-алгебры Хопфа в алгебре рациональных когомологии H*(X]Q) связного топологического пространства X является препятствием к введению на X структуры п-значной топологической группы. Также рассмотрено несколько структур, близких к структуре n-алгебры Хопфа. Доказано, что отсутствие структуры n-предалгебры Хопфа (самой слабой из рассмотренных) в алгебре рациональных когомологии H*(X]Q) связного топологического пространства X является препятствием к введению на X структуры n-значного умножения с единицей.
Второе приложение градуированных n-гомоморфизмов, рассматриваемое в диссертации, касается широкого класса разветвленных накрытий топологических пространств, так называемых разветвленных накрытий по Дольду-Смиту. Разветвленные накрытия данного типа были введены
9В.М. Бухштабер, Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы, Успехи мат. наук 45:3 (1990), 185-186.
10V.M. Buchstaber, E.G. Rees, Multivalued groups, n-Hopf algebras and n-ring homomorphisms, Lie groups and Lie algebras, Math. Appl., Vol. 433, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, 85-107.
11V.M. Buchstaber, n-Valued Groups: Theory and Applications, Moscow Math. J. 6:1 (2006), 57-84.
12V.M. Buchstaber, A.P. Veselov, Integrable correspondences and algebraic representations of multivalued groups, Internat. Math. Res. Notices 8 (1996), 381-400
13V. Dragovic, Geometrization and Generalization of the Kowalevski top, arXiv:0912.3027vl 15 Dec 2009, accepted for publ. in Communications Math. Phys.
Л.Смитом в 1983 году в связи с задачей о существовании гомологического трансфера для отображений / : X —> Y. К таким разветвленным накрытиям относятся такие важные классы отображений как неособые конечнолистные накрытия, отображения проекций на факторпространства по действию конечной группы и классические разветвленные накрытия в теории гладких многообразий. А.Дольд в работе15 полностью классифицировал разветвленные накрытия данного типа в терминах действий конечных групп на топологических пространствах.
И.Берстейн и А.Л.Эдмондс в 1978 году неявно доказали16, что всякое открытое конечнократное отображение / : Мт —> Nm связных замкнутых ориентируемых топологических m-мерных многообразий является п-листным разветвленным накрытием по Дольду-Смиту, где п равно максимальной кратности отображения /. Задача, которую решали И.Берстейн и А.Л.Эдмондс, состояла в нахождении нижней оценки на число п листов разветвленного накрытия / : Мт —> Nm при заданных связных замкнутых ориентируемых m-мерных многообразиях Мт и
КМ"1)
Nm. Они получили оценку п > i(Nm{, где 1{Х) — рациональная когомологическая длина пространства X. Их доказательство, помимо собственной алгебраической техники, существенно использовало рациональную двойственность Пуанкаре.
Сама задача о конечнократных открыто-замкнутых отображениях многообразий берет свое начало в работе Дж.Александера17 1920 года, где было доказано, что для любого ориентируемого замкнутого кусочно-линейного многообразия Мт существует открытое кусочно-линейное (следовательно, и конечнократное) отображение / : Мш —> Sm. В 1974 году тремя авторами, Г.М.Хилденом, У.Хиршем и Дж.М.Монтезиносом, независимо была доказана теорема, ставшая знаменитой, о том, что любое ориентируемое связное замкнутое 3-мерное многообразие М3 допускает 3-листное разветвленное накрытие над 5*3. Аналогичный результат в размерности 4 был получен в 1995 году Р.Пиергаллини18, который доказал, что любое 4-мерное ориентируемое связное замкнутое PL многообразие М4 допускает кусочно-линейное 4-листное разветвленное накрытие над 5*4.
14L. Smith, Transfer and ramified coverings, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 93 (1983), 485-493.
15A. Dold, Ramified coverings, orbit projections and symmetric powers, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 99 (1986), 65-72.
16I. Berstein, A.L. Edmonds, The Degree and the Branch Set of a Branched Covering, Invent. Matem. 45 (1978), 213-220.
17J.W. Alexander, Note on Riemann spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 26 (1920), 370-373.
18R. Piergallini, Four-manifolds as 4-fold branched covers of S4, Topology 34 (1995), 497-508.
В диссертации, с помощью развитой техники градуированных п-гомоморфизмов, получена следующая общая оценка на число п листов разветвленного по Дольду-Смиту накрытия / : X —> Y для "хороших", с точки зрения общей топологии, пространств X и Y (например, подходит случай полиэдров, компактных и некомпактных):
п > i(Y)+i ? п — mmfa і (y)+i}i для ЛК)бого простого р, где l(Z) (соответственно, lp{Z)) — это рациональная (соответственно, mod р) когомологическая длина пространства Z.
Цель работы.
Цель диссертации — развить теорию градуированных п-гомоморфизмов Фробениуса и применить ее для исследования разветвленных накрытий и n-значных топологических групп.
Научная новизна.
Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:
Введено понятие градуированного n-гомоморфизма Фробениуса и развита соответствующая теория. Доказаны теоремы о сумме и об универсальном n-гомоморфизме произвольной алгебры.
Доказано, что всякий n-гомоморфизм коммутативных С*-алгебр с единицей непрерывен и его норма равна п. Показано, что введенное В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом обобщенное преобразование И.М.Гельфанда является гомеоморфизмом относительно некоторых естественных топологий.
С помощью теории градуированных п-гомоморфизмов получена оценка снизу на рациональную и mod р, р > п, когомологическую длину базы п-листного разветвленного накрытия по Дольду-Смиту в терминах соответствующей когомологической длины пространства накрытия и числа листов п. Доказана точность этой оценки в случае п = 2.
Доказано, что в алгебре рациональных когомологий связной п-значной топологической группы существует специальная структура п-алгебры Хопфа. С помощью этого результата доказано, что на компактной римановой поверхности рода большего единицы нельзя ввести 2-значное умножение с единицей.
Методы исследования.
В работе используются методы алгебраической топологии, теории разветвленных накрытий, теории n-значных топологических групп и теории n-гомоморфизма Фробениуса.
Теоретическая и практическая ценность.
Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации и развитая в ней техника могут быть полезны специалистам по топологии, алгебре и функциональному анализу.
Апробация диссертации.
Результаты диссертации докладывались:
Неоднократно (2005, 2006, 2009 гг.) на научно-исследовательском семинаре «Алгебраическая топология и ее приложения» кафедры высшей геометрии и топологии МГУ.
На научно-исследовательском семинаре «Геометрия, топология и математическая физика» кафедры высшей геометрии и топологии МГУ, в марте и октябре 2006 г.
На международной конференции Александровские Чтения, МГУ, г. Москва, в 2006 г.
На Пятом Европейском Конгрессе Математиков, постерный доклад, Амстердам (Нидерланды), в 2008 г.
На международной конференции Торическая Топология в Манчестере 09, Манчестер (Великобритания), в 2009 г.
На научно-исследовательском семинаре по алгебре кафедры высшей алгебры МГУ, в 2008 г.
На Петербургском семинаре по теории представлений и динамическим системам, ПОМИ РАН, г. Санкт-Петербург, в 2009 г.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-4].
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст диссертации изложен на 100 страницах. Список литературы содержит 34 наименования.
Градуированные п-гомоморфизмы Фробениуса
Определение 1.2.1. Пусть А и В R -алгебры, В коммутативна, и f : А —» В — R -линейное отображение степени ноль. Тогда отображение f называется п-гомоморфизмом Фробениуса, если выполнены следующие условия: (1) f(ab) = (-1)1 #1/(Ьа) Va, о є A ; (2) /(1) = n (3) Фп+і(/)(аь a2,..., an+1) = 0 Vab ..., an+1 Є A . Замечание 1. Из предложения 1.1.4 легко вытекает, что для любого п-гомоморфизма / : А — В будет выполнено Фп+ (/)(аі,а2,..., an+fc) = 0V/c l,Vab...,an+fcG А . Замечание 2. Понятие 1-гомоморфизма и гомоморфизма алгебр совпадают. Пусть А и 5 — Д -алгебры, В — коммутативна, / , д : A - - В — два /Г-линейиых отображения степени ноль, f(ab) = (—l) a"b /(6a), Va, 6 Є A , #(a&) = (—l)Hlb (ba), Va, Ь Є А . Фиксируем произвольное натуральное m и обозначим через і? множество {1,2,...,77}. Для любых однородных элементов ai,... ,ат Є А и любого множества I d Е, І = {г і,... ,г }, 1 г і %ч ... г к ттг, положим Ф/(/)(аіг Є /) := Ф/(/)(аг , аг-2,... , aZfc)- Если I — 0, то положим Фи(/)(а;г 0) = 1. Лемма 1.2.2. В сделанных выше предположениях существуют такие числа f/;A;i,...,fcm Є {0) 1}) V/ Є E,Vk\,..., fcm G Z, что выполнено тождество: Фт(/ + 7)(аі, - . ,am) = (-1) 1.11 1-1Фт(Я(а,г Є Ф Нг Є Я\ J). Доказательство.
По определению отображения Фт(/), имеем $m(/ + 0)(ai,...,am) = ]Г (-l)a(-l)i(ai - aml)(/( (i) - оад) + p(ai(1)... a ))х aSm (/( (fci+l) ai(fc1+fc2)) + 9{Щ(кх+1) ( +))) x x (/(az(/ci+...+fcs-i+l) a»(m)) + p(a»(fci+...+Jbe_i+l) аг(ш))) Фиксируем а Є Sm и проанализируем полученное произведение s скобок, взятое со знаком (—1)єнІаіІ - ІаІ). Наша перестановка а есть произведение s непересекающихся циклов 7ь 7s- Выбор перестановки г = (г(1),... ,i(m)) равносилен выбору порядка на множестве циклов {7ij--- 7s} и выбору начального элемента ikl+.„+kt_1+i в каждом цикле 7г, 1 5. Каждая скобка в нашем произведении нумеруется некоторым циклом 7t, 1 і s, а порядок скобок соответствует порядку нумерации циклов. Когда мы раскроем все s скобок, то у нас получится следующая сумма 2s слагаемых J2 (-1) - )/11( (1) ai{kl))h2{ai{kl+l)... ai{kl+k2))... х (h1}...,hs)e{f,gy s(a« (fci+...+fcs_i+l) ai{m))i где вектор символов (h\,..., hs) пробегает множество {/, g}s. Фактически, в каждом из этих 2s слагаемых, мы для каждого цикла 7 , делаем выбор ht = f либо д. Закрепим теперь за каждым циклом jt, 1 t s, определенный выбор ht — f либо д, и рассмотрим наш элемент (_1) (І"іІ,-,ат)Лі(а.(і) _ _ _ al{kl))h2(ai{kl+1)... ai{kl+k2))... х hs(ai(kl+...+ks +i) ацт))- (1) Упорядочим каким-либо другим образом циклы 7ъ--- 7в) т-е- присвоим им вторую нумерацию 7« = TJ--I(U)J 1 и s, где j Є Aut{l,..., s}. Выберем в каждом цикле 7t = lj(t)i возможно, другой начальный элемент. Это равносильно выбору новой перестановки г = (г (1),..., і (т)) Є Sm, соответствующей а. Тогда в новой сумме 2s слагаемых, соответствующей выбору перестановки г , нашему фиксированному слагаемому (1) будет соответствовать следующее слагаемое (-l)e (0l"-em) i)(ai (i) av{km))hm{ail{k.{l)+l)... аі/{кяі)+к.{2)))... fy(s)(a» ( j(i)+---+fc,(-i)+l) аї(т)) Несложно проверить, что эти два соответствующих друг другу слагаемых равны.
Действительно, понятно, что для любой новой перестановки г , эти два слагаемых отличаются умножением на некоторый знак (—1)є(м )(ІаіІ - Іа» І). Это следует из того, что перестановка двух соседних циклов jt и 7т выбрасывает некоторый знак (В — коммутативная алгебра), и выбор начального элемента в каждом цикле 7t также выбрасывает знак ht(ab) = (—1)\а ht(ba), 1 t s. Также видно, что этот знак (—l)(M )vlail -,am) совпадает со знаком (все так и было подобрано), на который отличаются следующие элементы в свободной алгебре FA(a[,... ,а т), \а {\ = \щ\, 1 г т: \ L) ai {l) ui (m) Но по лемме 1.1.2, оба эти элемента равны а[ ... а т, т.е. знак (—1)є(м )(ІаіІ.-.Іа».І) тождественно равен +1. Таким образом, мы доказали, что для любых двух перестановок г = (г(1), ., г (га)) и г = (г (1),..., і {га)), соответствующих а, в наших двух суммах соответствующие слагаемые равны. Поэтому, для каждого из 2s слагаемых мы можем взять свою перестановку г = (г(1),..., г (га)). А именно, выберем для данного слагаемого (hi,..., hs) Є {/, g}s такой порядок циклов 7i = 7j(i) 7s = 7j(s)» чтобы новый вектор (/ІДІ),.. , hj ) был вида (f,...,f,g,...,g), т.е. сначала все /, потом все д. Таким образом, мы получаем следующую формулу: Фт(/ + 9)(аи ...,am)=J2 Е (-l)a(-l)i(ail - KI)/Ki) аад) аЄ I zE,a(I)=I /( (fci+...+Av-1+l) a»(fci+...+A;r)) (ai(fci+...+A;r+l) ( +...+ + .+1)) g(ai{h+...+ . 1) Oi(m)), (2) где E — {1,..., га} и внутренняя сумма 2я элементов записана в форме YlicE a(i)=i(- ) потому, что выбор тех циклов jt, на которых ht = f, равносилен выбору объединения этих циклов как инвариантного относительно а подмножества индексов I С Е. Рассмотрим произвольное I G Е. Выпишем по возрастанию индексы, составляющие подмножества I и Е\1: К,(1),г 0(2),... ,i 0(r)} = I,1 г 0(1) ... гі(г) m, / = г {ф),ф),...,і і(т-г)} = Е\1,1 ф) ... i i(m-r) т Это будет исходная нумерация этих индексных подмножеств. Понятно, что выбор перестановки а Є Sm такой, что а(1) = I, равносилен выбору двух перестановок п Є Aut(J) и сг2 Є Aut(E\I). При этом, (-1)ст = (-l)ai(-l)a2.
При фиксированной паре перестановок о"і Є Aut(7) и о"2 Є Aut(E\I) рассмотрим соответствующие им перестановки і — (г (1), ,і (т)) Є Aut(7) и і" — (і"(1),... ,i"(m — г)) Є Aut(E\I). Общая перестановка і = (г(1),...,г(77г)), соответствующая перестановке а = (а\,ао), имеет вид і = (і ,і") = (г (1),...,і (г),і"(1),... ,i"(m — г)). Таким образом, если в формуле (2) поменять местами два знака суммы, мы получим: // 1\J(aiv..,am)/_1\ (a (i)r--,i (r)l) _1 t KI«I»(i)lv-vat»(m-r))Nx ,_1че/(о (1),...,аг/)(г))/_1 г//(аг«(1),..,аг»(т_г))х , \ /(аг/(і) ... a (fcl))... /(oj/(fcl+...+fc(s,_l)+i)... af/(r)) x p(Oi«(i) . . . az"(fc(s4i))) 2(a;"( V+-+V4V -i)+l) ai"(m-r)) Если мы теперь докажем, что знак /_ 1 J(ai,...,am)/_1\ (l (i)lv--J (r)l)/_1 //(at»(1),...,al/)/(m„r)) , ч равен (—l)" .i»ii. -.lomi для некоторого числа /;ai,...,am Є {0,1}, зависящего только от I (Z Е к степеней ai,..., am, то, вынося его за знак внутренней суммы в формуле (3), мы получим утверждение леммы Фт(/ + ?Ж , От) = (-1) 111, Івт1 Х ф/(/)(а (і); а (г))Ф;\/(р)(а (і) і а (т-г))- (5) Докажем теперь, что нужный нам знак (4) зависит только от / С Е и степеней ai,..., \ат\. Рассмотрим свободную коммутативную градуированную алгебру FA(a 1,... ,а т) над Q от формальных переменных а ъ ..., а т, \а[\ — \аг\, 1 г т. В силу леммы 1.1.2, имеем равенства: ai(l) ai(m) — К 1) а1 ami аг(1) аг(т) = аї{1) ai (r)ai"(l) ai"{m-r) - \-Ч \ L) ai 0(l) ai 0{r)ai (l) a»{[(m-r) m ai 0{l) ai 0(r)ai l) аг(, (т-г) — V 4 al
Теорема о разложимости п-гомоморфизмов специального типа
Для дальнейшего нам потребуется некоторая новая информация об п-гомоморфизмах неградуировапных коммутативных алгебр. На протяжении всей второй главы все кольца и алгебры предполагаются неградуированными и коммутативными, при этом мы дополнительно требуем, чтобы основное кольцо R содержало поле Q. Теорема 2.2.1 Пусть А — коммутативная алгебра над R: L — алгебраически замкнутое поле характеристики нуль и a : R — L — гомоморфизм колец, превращающей L в R-алгебру. Пусть таксисе дан п-гомоморфизм f : А — L. Тогда существуют и единственны (с точностью до перестановки) гомоморфизмы алгебр fi, , fn А — L такие, что f = Л +.. + /„. Доказательство. При п — 1 утверждение тривиально. Пусть п 2. В силу теоремы 1.2.8 существует гомоморфизм алгебр / : SnA —» L такой, что f = / ХА, гДе ХА А - SnA — универсальный n-гомоморфизм. Докажем одну вспомогательную лемму. Лемма 2.2.2. Кольцо Ап является целым расширением кольца SnA. Доказательство. Обозначим целое замыкание кольца SnA в кольце Ап через А{п). По известному факту из алгебры А — подкольцо в А0П. Все кольцо А71 аддитивно порождено элементами а\ ... ап, Va; Є А, 1 і п. В свою очередь, элемент а\ g ... g ап есть произведение п элементов 10...0 ( g)... 8 1, 1 г п. Поэтому, чтобы доказать равенство і — е место А(п) = Ап, достаточно проверить, что элементы a g ... S l,l 8 a 8 ... 8 1,..., 1 g)... g) a, Va Є А, лежат в А , т.е. являются целыми над SnA. Введем обозначение bi = 1 g) ... g CL, ... 8 І, 1 і п. г—e место Понятно, что все Ь{,1 і п, — корни многочлена ПІ ІС — ) = z11 — a"i(6i,... ,hn)zn l + ... + (—l)no"n(bi,... , Ъп) с единичным старшим коэффициентом (здесь dk{zi,..., zn), 1 к п, — элементарные Симметрические МНОГОЧЛеНы). Но, ПОСКОЛЬКУ МНОГОЧЛеНЫ 0 ( 1,...,2 ), 1 к п, — действительно симметрические, то, очевидно, все коэффициенты ?k(b\,.. , bn), 1 к п, лежат в SnA. Следовательно, все элементы а 8 .. 8 1,..., 1 g ... 8 a, Va Є А, — целые над SnA. Лемма полностью доказана. По известному факту из алгебры всякий гомоморфизм колец в алгебраически замкнутое поле может быть продолжен с подкольца па его целое расширение. Поэтому, согласно лемме 2.2.2, для нашего гомоморфизма колец / : SnA — L существует продолжение F : Аш — L, F\S A = f, F — гомоморфизм колец. Но, как нетрудно убедиться, поскольку / является R линейным гомоморфизмом колец, то и F будет R-линейным отображением, т.е. гомоморфизмом алгебр. Пусть г : SnA — Ап — вложение.
Пусть также s—е место — вложения А в Ап, «і + ... + іп — і о ХА- Имеем искомое разложение: Таким образом, существование разложения / = ft + ... + fn доказано. Теперь единственность. Пусть / = ft + ... + /„ = дг + ... + дп, где ft, д{ : А — L, 1 і п, — гомоморфизмы алгебр. Покажем, что существует перестановка а Є Sn такая, что ft = дащ, 1 і п. Выберем в А некоторое множество образующих {а\ Є А,Х Є Л} и возьмем соответствующий этому набору эпиморфизм алгебр 7Г : R[x\, Л Є Л] -» А, 7г(жЛ) = «А- Имеем, (Л + ... + /„) о 7г = (gi + ... + дп) о тг, т.е. Д о 7г + ... + fn о 7г = gi о 7г + ... + дп о 7г. Так как 7Г — эпиморфизм, то нам достаточно показать существование такой перестановки а Є Sn, что ft о 7Т = дащ о 7Г, 1 і п. Таким образом, мы можем считать, что А — R[x\, Л Є A],ft,gi : R[x\,\ Є Л] — L, 1 г n, — гомоморфизмы алгебр, /і + ... + fn = gi + ... + gn. Так как всякий гомоморфизм алгебр h : R[x\, Л Є Л] — L задается просто как набор значений h(x\) = 6д Є L, Л Є Л, с правилом h(x ... xxs) = b ... b s плюс линейность, то наша задача эквивалентна этой же задаче с заменой кольца R на поле L. Итак, у нас есть гомоморфизмы L-алгебр ft,gi : L[x\, X Є А] — L, 1 і п, такие, что /і + ... + fn — gi + ... + gn- Для доказательства теоремы достаточно показать, что ft = ),1 і п для некоторой перестановки сг є 5П.
Обозначим ft(x\) = Ьі \,ді(х\) = Q,A 1 г п, Л Є Л. Обозначим через Л/гп множество всех непустых конечных подмножеств в Л. Для любого М = {Аі,...,Ат} Є Afin обозначим через Ем множество всех таких а Є Sn, что 6ZjAfc = са(і \кЛ г гг., 1 к т (иначе говоря, перестановка а принадлежит Ем, если и только если fi\b[xXl,...,xXm] = )1 ,..., ,,])1 - i n). Очевидно, что для любых Мі, М2 Є A fin выполнено Рассмотрим множество Е = ПмеЛ іг - - Если Е = 0, то, поскольку все множества Ем являются подмножествами конечного множества Sn, пустым будет уже Некоторое КОНеЧНОе Пересечение МНОЖеСТВ EjVf, М Є Afin. По свойству ( ) это конечное пересечение есть опять-таки множество Ем для некоторого М Є Afin. Покажем, что все множества Ем, М Є Л/г-п, непусты. Зафиксируем какое-либо М — {Лі,..., Лто} Є Afin. Мы имеем гомоморфизмы L-алгебр Іі\цхХі,...,хХт),9і\ь[хХі,...,хХт] L[x\l,...,x\m] — L, 1 і п. Но алгебра L[x\x,... ,х\т] есть просто координатное кольцо аффинного пространства Lm, и, значит, у нас есть два n-точечника [6Ь ..., Ъп] и [сь ..., сп], Ь{, с,- Є Lm, / (р) = р(Ьі),д5{р) = P(CJ), 1 г, j n, Vp Є [3 ) і ЖАТО]- Мы знаем, что для любого многочлена р Є L[xXl,..., xxj выполнено p(b\) + ...+ р{Ьп) = р(с{) + ... + р(сп). Наша цель — доказать, что [6i,..., bn] = [сі,..., сп], т.е. что существует а Є Sn, для КОТОРОЙ bi = Ca(i), 1 і п. Шаг 1. Каждый элемент bi принадлежит п-точечнику [ci,..., сп], и, наоборот, каждый элемент Cj принадлежит n-точечнику [6i,...,6n], т.е. оба эти n-точечника состоят из одних и тех же элементов, возможно, с разными кратностями.
Разветвленные накрытия по Дольду-Смиту
Определение 3.2.1. Пусть X и Y — хаусдорфовы пространства. Непрерывное отобраэюение f : X — Y называется п-листным разветвленным накрытием,, если отображение f сюрьективно, открыто-замкнуто, и у любой точки у ЄУ множество f l(y) состоит не более чем из п точек. Замечание. Очевидно, что 1-листное разветвленное накрытие есть просто гомеоморфизм. Несложно показать, что 2-листное разветвленное накрытие есть всегда факторизация по действию Z2. Обозначим через ехрп{Х) множество всех непустых, не более чем п-точечных подмножеств в хаусдорфовом пространстве X. Множество ехрп(Х) наделяется стандартной топологией Виеториса. Обозначим через Sym"X = Xn/Sn n-10 симметрическую степень хаусдорфова пространства X с фактор-топологией. Очевидно, что существует каноническая проекция (забывание кратностей) Определение 3.2.2. Пусть X и Y — хаусдорфовы пространства. Непрерывное отображение f : X — Y называется п-листным разветвленным накрытием по Долъду- Смиту, если существует такое непрерывное отображение g : Y — SymnX, что выполнено тождество (g(y)) = f-l(y) yeY. Разветвленные накрытия такого типа были определены в работе Л.Смита [30] в 1983 году как обобщение неособых накрытий, на которое распространяется (ко)гомологический транфсер. В 1986 году А.Дольд[22] полностью классифицировал разветвленные накрытия, введенные Л.Смитом, в терминах действий конечных групп на топологических пространствах.
Впоследствии, отображения этого типа получили название разветвленных накрытий по Дольду-Смиту. Для дальнейшего нам будет очень важна следующая ключевая теорема А.Дольда[22]: Теорема, (г) Пусть X — хаусдорфово пространство, G — конечная группа, действуюищя на X, Н С G — подгруппа индекса п. Тогда каноническая проекция 7Гс,н Х/Н — X/G является п-листным разветвленным накрытием по Дольду-Смиту. (гг) Пусть X и Y — хаусдорфовы пространства и f : X — Y,g : Y — SymnX — п-листное разветвленное накрытие по Дольду-Смиту. Тогда существует канонически получаемое хаусдорфово пространство W с действием группы Sn такое, что X = W/Sn-i, Y = W/Sn и отображение f : X —+ Y совпадает с отображением 7rsU)sn_i : W/Sn-\ —» W/Sn. Несложно проверить, что, если в определении 3.2.2 заменить SymnX на ехрп(Х), то получится в точности определение 3.2.1. Отсюда следует, что при п = 1,2 любое разветвленное накрытие является разветвленным накрытием по Дольду-Смиту. Однако, при п 3 ситуация резко меняется, а именно существуют n-листные разветвленные накрытия (даже графа над графом), которые не будут АГ-листными разветвленными накрытиями по Дольду-Смиту ни для какого N. Приведем пример таких отображений. Положим X С S х I равным объединению следующих трех подмножеств цилиндра: Х\ = S1 х {0), = S1 х {1},Хз = {(emt,t)\0 t 1}. В качестве У возьмем окружность У = {е 0 2тг}и/:Х- У есть проекция X Э (e ,i) t- е Є У. Понятно, что отображение / : X — У сюръективно, не более чем 3-кратно, и отображение полного прообраза f l : У —» ехр3(Х) непрерывно. Таким образом, / есть 3-листное разветвленное накрытие. Покажем, что построенное отображение / : X —» У не является Х-листным разветвленным накрытием по Дольду-Смиту ни для какого N. Предположим противное. Пусть д : У —» Syirr X — непрерывное отображение такое, что f 1(y) = (д(у)) , V / Є У. Фактически, g приписывает каждой точке прообраза у Є
У некоторую натуральную кратность непрерывным образом. Для любой точки ег р є У, 0 р 2-7Г, одной из точек прообраза будет точка (ег1,о,0). Отображение д : У — Sym X приписывает этой точке (ег ,5,0), 0 (/? 2-7Г некоторую натуральную кратность 1 К N. В силу непрерывности д, понятно, что Kv = const = /с, \/0 (р 27Г. Изучим теперь, какую кратность I может иметь точка (1,0) Є X. С одной стороны / должно равняться к, поскольку, чуть отступив от точки 1 — е2 г Є У влево, У-е = е(2?г-є)г, мы в едршетвенной точке прообраза г/_є, лежащей вблизи (1,0), имеем кратность к, которая, таким образом, должна равняться /, кратности точки (1,0). Получаем, что I = к. С другой стороны, / должно равняться суммарной кратности всех близких к (1,0) точек прообраза г/ = е1,0 є 1. Но, таких точек две: (ег,0) и (еєг, ). Поэтому I равно к + (кратность точки (еег, )).Таким образом, I — к и / к + 1. Полученное противоречие доказывает, что рассмотренное 3-листное разветвленное накрытие / : X — У графа над окружностью не является iV-листным разветвленным накрытием по Дольду-Смиту ни для какого N. Этот пример можно легко видоизменить так, чтобы кратность разветвленного накрытия / : X — У была равна любому п 3. Понятно, что любое конечнолистное неособое (неразветвленное) накрытие хаусдорфовых пространств / : X — У является n-листным разветвленным накрытием по Дольду-Смиту, где п — число листов накрытия / : X —» У. При этом отображение g : У - SymnX ставит в соответствие каждой точке у Є Y все n точек ее прообраза / 1(у) с единичными кратностями. Далее, при доказательстве основного результата третьей главы, мы будем пользоваться следующими двумя хорошо известными теоремами о когомологиях паракомпактных пространств с коэффициентами в постоянном пучке. Обе теоремы привс/1,ены, например, в известной монографии [2]. Теорема А. Пусть X — паракомпакт, G — конечная группа, действующая на X, и К — поле характеристики ноль или р, (р, \G\) 1. Пусть 7г : X — X/G — каноническая проекция. Тогда отобраэ/сеиие когомологий с коэффициентами в постоянном пучке 7Г : H heaAX/G; К) — H heaJX; K)G является изоморфизмом. Теорема В. Пусть X — локально стягиваемый паракомпакт, R — кольцо, являющееся или полезь К, или кольцом Ъ. Тогда существует функториальный изоморфизм H (X;R) — H heaJX;R) меоісду R-алгеброй Н (Х; R) сингулярных когомологий пространства X с коэффициентами в R и R-алгеброй H heaJX;R) когомологий пространства X с коэффициентами в постоянном пучке. Теперь мы готовы сформулировать и доказать основной результат третьей главы:
Случай компактных римановых поверхностей
Теорема 4.2.1. Пусть дана компактная римаиова поверхность Тд рода g 2. Тогда ее алгебра рациональных когомологий H (Tg;Q)) не допускает структуру 2-предалгебры Хопфа. В частности, на римановой поверхности Г„ не существует 2-значного умножения с единицей. Доказательство. Пусть Гд — компактная риманова поверхность рода д 2. Обозначим через аІ5..., а2д гамильтонов базис пространства Н 1(Гд; Q), через С стандартную 2д х 2д матрицу кососимметрической формы в базисе Г) F1 \ . Пусть также 7 Є H2(Tg;Q) обозначает -Е О J фундаментальный класс. Тогда алгебра когомологий А — H (Tg;Q) имеет вид и умножение может быть записано в виде cXiCXj — й?7 aij = 0,72 = 0. Наша цель — доказать, что на А при любом д 2 не существует структуры 2-предалгебры Хопфа, т.е. самой слабой из всех структур рассматриваемого типа. Предположим противное. Пусть А : А — А А — 2-гомоморфизм, для которого выполнена аксиома коединицы. В таком случае имеем: Д(1) = 2(11); А(ОІІ) = 2а{ 1 + 1 g 2at, 1 і 2д; Д(7) = 27 8 1 + 127 + 2dstas g at, dst Є Q, 1 s, t 2#. Поскольку A — 2-гомоморфизм, должно выполняться равенство Фз(А)(аі,а2, аз) = 0 Уаі,а2,аз Є А . Прежде чем идти дальше, докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма 4.2.2. Пусть даны R -алгебры А и В , В — коммутативна, и дано К -линейное отобраоїсение степени ноль f : А — В такое, что f{aia2) = (-1)аіІа2І/(а2аі), \/аиа2 Є А , и /(1) = п.
Тогда для любых однородных элементов а±,..., an+i Є А , среди которых встречается единица е алгебры А , выполнено равенство Фп+і(/)(аі, а2,..., an+i) = 0. Доказательство. В силу симметричности отображения Фп+і(/) : Ап+1 — Б , достаточно рассмотреть случай, когда а і = е. Согласно рекурсии Фробениуса, имеем: - пФп(/)(а2,а3,...,ап+і) = (/(є) - п)Фп(/)(а2, а3,..., an+i) = 0. Лемма полностью доказана. Согласно доказанной лемме, проверку того, что Фз(А)(аі,а2, аз) = О Vai, а2, аз Є А , достаточно осуществлять только для однородных элементов аі,а2,аз Є А степени больше нуля. В силу симметричности отображения Фз(А)(аі, аг, аз), мы можем считать, что 1 ai a2 а3. Поскольку алгебра А g А имеет ненулевые однородные компоненты степени до четырех, то, если ai + аг + аз 5, равенство Фз(А)(аі, аг, аз) = 0 будет выполнено по соображениям размерности. Следовательно, нам остается рассмотреть два случая: 1) а\ = щ,а2 = щ,а3 = ак; и 2) oi = a;,a2 = щ,а3 = j, i,j,k = 1,...,2д. Видим, что в обоих случаях ai = аг = 1. Раскроем Фз(А)(аі, аг, аз) согласно рекурсии Фробениуса: Ф3(А)(аь а2, а3) = А(аі)Ф2(А)(а2, а3) - Ф2(А)(аіа2, а3) _ (_і)аіІІ«я=іф2(Д)(а2 аіаз) = Д(аі)(А(а2)А(а3) - А(а2а3)) - (Д(аіа2)А(а3) - Д(аіа2а3)) + (Д(а2)Д(аіа3) - Д(а2аіа3)) = - А(а1)А(а2)А(а3) - А{аі)А{а2а3) - А(аіа2)А(а3) + Д(а2)А(аіа3)+ +Д(аіа2а3) - Д(а2аіа3). В обоих случаях по соображениям размерности выполнено аіа2аз = а2аіаз = 0. Кроме того, в первом случае верно аіаз = (—1) аі"аз =1азаі — —а3а\. Во втором случае получаем аіаз — 0 = —азаі. В обоих случаях также имеем aia2 = 2, поэтому выполнено равенство Д(аіа2)Д(аз) = Д(аз)Д(аіа2). Учитывая все сказанное, имеем следующий вид для выражения Ф3(Д)(аі,а2,аз) в обоих случаях: Фз(А)(аі,а2,а3) = А(аг)А(а2)А(а3) - А(аі)А(а2а3) - A(a2)A(a3a!) - Д(а3)А(аіа2). (1) Положим теперь / = Д : А — А А . Для отображения / имеем: /(1) = 11; /() = а( g 1 + 1 8 а{, 1 г 2д; (2) /(7) = 71 + 17 + dataa 8 otf Согласно формуле (1), интересующее нас тождество Фз(Д)(аі,02,оз) = 0 в обоих рассматриваемых случаях эквивалентно следующему тождеству: 2/(оі)/(о2)/(а3) - /(01)/(0303) - /(02)/(0301) - /(оз)/(ою2) = 0 (3) Рассмотрим теперь последовательно оба наших случая. Случай 1. Пусть сц = а , а2 = а?, а3 = ак, i,j,k = 1,...,2д.
Непосредственное вычисление показывает, что выполнено /(oi)/(a2)/(a3) = (а g 1 + 1 ai)(aj 8 1 + 1 8 -)( 1 + 1 ал) = = Cjj-(7 О afc + afc g 7) + cjfc(7 ац + «І 7) + см(і 8 а? + а, g 7)-Отсюда имеем: 2/(oi)/(o2)/(o3) = 2(са 5 + cjfc# + сн )(7 О ап + ап 7) (4) Распишем теперь, чему равно /(01)/(0203) = /( )/( ). Остальные два слагаемых суммы (3) получаются из этого циклической перестановкой индексов (ijk). Имеем: f{pti)f{oLjOLk) = f((Xi)f(cjkj) = cjk(ai 8 1 + 1 8 0!І)(7 8 1 + 1 8 7 + d8taa g af) = Cjk(j g 0 + «г 7 + dstotias at + dstas g) 0 0) = CJ-A(7 8 a + «І 7 + c,-mdmn7 О an + (1лшстАап g 7) = cifc( 5J» + cimdmn)7 g an + cifc((5? + dnmcmi)an 7. (5) Из (3), (4) и (5), окончательно, получаем: (су( 5 - c,mdmn) + с#( 5? - d") + сы(Я? - cjmd)) 7 » + + (су( $ - 0% ) + cifc( S? - d" ) + cw(d7 - dnmcmj)) an 7 = 0 (6) Из полученного уравнения следует, что наше тождество (3) эквивалентно следующей системе уравнений:
