Содержание к диссертации
Введение
2 Основные этапы вычисления высот квазигеоида с использованием спутниковых данных
2.1 Определение геометрических высот квазигеоида 13
2.2 Вычисление гравиметрических высот квазигеоида
2.2.1 Учет поправочных членов ряда Молоденского 15
2.2.2 Учет поправок за эллипсоидальность фигуры Земли 17
2.2.3 Вычисление гравиметрических высот квазигеоида в стоксовом приближении
2.2.3.1 Вспомогательные функции Молоденского и Остача 20
2.2.3.2 Условие выбора оптимальной вспомогательной функции без привлечения информации о гравитационном поле Земли 21
2.2.3.3 Определение вспомогательной функции, удовлетворяющей условию оптимальности 22
2.2.3.4 Оптимальные вспомогательные функции при N— оо. 24
2.2.3.5 Непосредственное сравнение вспомогательных функций 26
2.3 Определение функции разностей геометрических и гравиметрических высот квазигеоида 34
3 Оценка точности 38
3.1 Точность геодезических высот, полученных по спутниковым измерениям 38
3.2 Точность нормальных высот 39
3.3 Точность гравиметрических высот квазигеоида 40
3.3.1 Ковариационная функция ошибок вклада
гравиметрических данных дальней зоны в высоту квазигеоида
3.3.2 Ковариационная функция ошибок вклада гравиметрических данных ближней зоны в высоту квазигеоида 44
3.3.2.1 Иерархическая схема распространения измерений силы тяжести 45
3.3.2.2 Подготовка гравиметрических данных для вычислений высот квазигеоида 47
3.3.2.3 Оценка ковариационной функции ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками гравиметрических данных 49
3.3.2.4 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками гравиметрических измерений I класса 55
3.3.2.5 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками гравиметрических измерений II класса 59
3.3.2.6 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками гравиметрических измерений в съемочных сетях 61
3.3.2.7 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками геодезических определений 65
3.3.2.8 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками интерполяции аномалий силы тяжести 67
3.3.3 Влияние ошибок, вызванных подготовкой гравиметрических данных для выполнения вычислений высот квазигеоида 69
3.3.3.1 Оценка точности высот рельефа, полученных по модели SRTM. 69
3.3.3.2 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида,
вызванных ошибками осреднения поля аномалий Буге 85
3.3.3.3 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками осреднения поля высот рельефа 87
3.3.4 Обобщение результатов оценки точности
гравиметрических высот квазигеоида 89 Результаты создания модели высот квазигеоида с
использованием спутниковых данных 92
4.1 Фильтрация грубых ошибок высот квазигеоида на
опорных пунктах 93
4.2 Экспериментальная проверка модели высот квазигеоида 98
5 Заключение 101
Список литературы
- Вычисление гравиметрических высот квазигеоида
- Точность нормальных высот
- Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками гравиметрических измерений I класса
- Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками осреднения поля высот рельефа
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Революционные изменения в геодезической практике, произошедшие за последние два десятилетия, привели к кардинальному изменению основных видов геодезических работ. Центральное место в геодезическом производстве заняли спутниковые методы координатных определений, основанные на использовании сигналов спутниковых навигационных систем GPS и ГЛОНАСС. Отличительные характеристики этих методов – высокая точность, оперативность, всепогодность, возможность максимальной автоматизации измерений и снижения затрат труда квалифицированных специалистов, автоматизация процессов обработки. Для эффективной реализации потенциальных возможностей современных методов измерений в масштабах страны необходима соответствующая система геодезического обеспечения. Однако в настоящее время состояние системы геодезического обеспечения в нашей стране можно охарактеризовать как переходное. Несмотря на серьезные шаги по ее модернизации, она во многом сохраняет структуру, сформировавшуюся многие десятилетия назад. Выполнение организационных мероприятий по модернизации системы геодезического обеспечения должно сопровождаться серьезной научной проработкой многих направлений современной геодезии.
В частности, геодезические высоты, вычисляемые в результате обработки спутниковых измерений, и нормальные высоты, определяемые геометрическим нивелированием, существуют независимо друг от друга. Спутниковые измерения не позволяют определять разность значений потенциалов точек земной поверхности, а нивелирные измерения не связаны с принятой системой геодезических координат. Но необходимость установления связи между системой нормальных высот и пространственной системой координат проявляется на всех уровнях топографо-геодезического производства. Так, например, в последнее время большое внимание уделяется проблеме создания условий для формирования единого пространства данных, необходимых для картографирования, ведения кадастров, создания геоинформационных систем. Топографо-геодезические данные, полученные на местах, необходимо уметь передавать заинтересованным организациям и интегрировать с данными из других источников. Здесь возникает проблема унификации систем координат и высот. В одних ситуациях по известным нормальным высотам должны быть получены геодезические высоты, в других - по известным геодезическим высотам должны быть получены нормальные высоты.
Еще одним проявлением необходимости установления точной связи между геодезической системой координат и нормальной системой высот является неоднократно выраженная в документах и планах Роскартографии потребность внедрения метода спутникового нивелирования в геодезическую практику. Геометрическое нивелирование проигрывает определениям геодезических высот с использованием спутниковой аппаратуры по затратам и по производительности. Особенно это заметно в труднодоступных и малообжитых районах, которые занимают большую часть территории нашей страны. Поэтому задача замены геометрического нивелирования методом определения нормальных высот по геодезическим высотам, полученных из спутниковых измерений, является одной из наиболее актуальных задач, стоящих перед геодезическим производством.
Связь между геодезическими высотами в пространственной системе координат и нормальными высотами осуществляют высоты квазигеоида. В структуре системы геодезического обеспечения, которая формируется в настоящее время, модели высот квазигеоида отнесены к отдельному блоку, отвечающему за распространение возможностей спутниковых методов координатных определений на большинство видов работ топографо-геодезического производства.
На государственном уровне основное внимание уделяется развитию и поддержке единой государственной системы геодезических координат и государственной системы нормальных высот. Поэтому, когда речь идет о моделях высот квазигеоида как об элементе государственной системы геодезического обеспечения, следует понимать, что эти модели высот квазигеоида должны осуществлять связь именно государственной геодезической системы координат с государственной системой нормальных высот. Требования, предъявляемые к точности моделей высот квазигеоида, ограничиваются только реально существующими возможностями.
Цель и задачи работы
Целью данной работы является создание модели высот квазигеоида, осуществляющей связь общегосударственной системы пространственных координат и государственной системы нормальных высот. При этом необходимо, чтобы модель сопровождалась оценкой точности, которая могла быть использована при решении геодезических задач. Также важно, чтобы модель позволяла определять нормальные высоты по результатам спутниковых измерений с точностью геометрического нивелирования III – IV классов.
Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:
уточнена методика вычислений гравиметрических высот квазигеоида;
выполнена оценка точности гравиметрических высот квазигеоида исходя из точностных характеристик исходной гравиметрической информации;
выполнена оценка влияния точностных характеристик моделей высот рельефа на точность гравиметрических высот квазигеоида;
даны конкретные рекомендации для достижения современных требований к точности при построении модели высот квазигеоида.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту
Основу данной диссертации составили работы по созданию модели высот квазигеоида, выполненные автором в ЦНИИГАиК по заказу Роскартографии. Модели высот квазигеоида, осуществляющие связь между геодезическими высотами в системе координат, реализованной на пунктах фундаментальной астрономо-геодезической сети (ФАГС) и высокоточной геодезической сети (ВГС), и нормальными высотами в Балтийской системе, до этих работ не создавались. Новыми и выносимыми на защиту являются следующие результаты:
методика вычислений гравиметрических высот квазигеоида, уточненная в части выбора преобразования формулы Стокса;
характеристики ошибок гравиметрических высот квазигеоида, обусловленных ошибками гравиметрической съемки, допущенными при создании гравиметрической карты масштаба 1:200 000;
характеристики точности цифровой модели рельефа SRTM, созданной в результате осуществления международного проекта с целью глобального изучения поверхности Земли;
характеристики ошибок гравиметрических высот квазигеоида, обусловленных ошибками цифровой модели рельефа SRTM, ошибками осредненных аномалий Буге, ошибками осредненных высот рельефа;
модель высот квазигеоида, созданная на основе выполненных исследований и полученная с использованием спутниковых данных по результатам построения государственных геодезических сетей ФАГС и ВГС.
Практическая значимость результатов
Созданная модель высот квазигеоида может быть использована при решении широкого круга топографо-геодезических задач. Возможно применение модели для выполнения спутникового нивелирования с целью замены геометрического нивелирования III – IV классов. Модель может быть использована при производстве топографо-геодезических работ и работ по созданию кадастра недвижимости, в том числе при выполнении работ в реальном времени, для обеспечения преобразований координат из одной системы в другую. Модель может быть использована в качестве необходимого элемента блока преобразований координат в системе, обеспечивающей поддержку создаваемого в настоящее время в нашей стране единого геоинформационного пространства.
Самостоятельное значение имеют вынесенные на защиту результаты оценки точности гравиметрической информации. В частности, они позволяют выполнять предварительную оценку точности создаваемых моделей высот квазигеоида в зависимости от характеристик гравиметрических данных имеющихся в наличии. И в случае необходимости проектировать работы по подготовке более точных гравиметрических данных и более точных цифровых моделей рельефа.
Также интерес могут вызывать результаты оценки точности цифровой модели рельефа SRTM, так как при решении широкого круга топографо-геодезических и картографических задач существует потребность в использовании моделей рельефа.
Апробация результатов
Результаты исследований представлялись в докладах:
на заседании Международной рабочей группы «Системы высот, геоид и сила тяжести в азиатско-тихоокеанском регионе» IAG (International Association of Geodesy), проходившем в июне 2006 г. в гор. Улан-Батор, Монголия;
на XXIV Генеральной Ассамблее Международного союза геодезии и геофизики (IUGG), проходившей в июле 2007 г. в гор. Перуджия, Италия.
Структура и объем работы
Вычисление гравиметрических высот квазигеоида
Поправочные члены ряда учитывают сложный характер земной поверхности. Каждый поправочный член ряда Молоденского представляет выражение, включающее в себя один или несколько интегралов по поверхности Земли. Получили известность различные решения задачи Молоденского, разработанные М.С. Молоденским [32], В.В. Броваром [15], а также решение, полученное независимо друг от друга М.И. Марычем [29] и Г. Морицом [34]. В них выражения для поправочных членов формально имеют различную запись. Однако в работе Л.П. Пеллинена [42] была доказана эквивалентность всех решений.
Наибольшую поправку к значению высоты квазигеоида, вычисленной по формуле (4) дает первый член ряда Молоденского [15] =r[G )da- (5) Здесь принято а и h и h0 — нормальные высоты в текущей точке интегрирования и в точке, в которой вычисляется высота квазигеоида, /# - длина хорды, соединяющей положения этих точек на сфере относимости радиуса R. Если при вычислении высот квазигеоида ограничиться суммой только первых двух членов ряда Молоденского (4) и (5), то из полученного выражения C = - \(hg + Gl)S(k4f)do- (7) видно, что достаточно исправить поправкой (6) аномалии в свободном воздухе, чтобы затем использовать формулу Стокса для вычислений высот квазигеоида. В нашей стране при выполнении обработки результатов гравиметрической съемки принято исправлять полученные аномалии силы тяжести так называемой поправкой за рельеф [23]. Выражение для вычисления поправки за рельеф имеет вид Wfj " (8) где/- гравитационная постоянная, /J, - принятая плотность топографических масс, полагаемая постоянной. В работах Л.П. Пеллинена [42] и Г. Морица [34] показано, что использование аномалий силы тяжести, исправленных поправками за рельеф, позволяет при вычислении высот квазигеоида по формуле Стокса получить близкий к (7) результат. Главная часть отличия полученного значения от строгого решения может быть оценена по формуле & Р=Фу. (9) Здесь в правой части переменной величиной является только высота h. Если принять плотность топографических масс равной 2.67 г/см, то дєр(м) = 0.057 h2 (км) На рис. 1 показано как изменяется величина разности дєр при различных высотах. 25
Как видно, при высотах до 1000 м значения 6ер невелики. Кроме того, при малых высотах рельеф изменяется, как правило, довольно плавно. Поэтому игнорирование величин Зєр не может иметь существенного влияния на результаты интерполяции высот квазигеоида в равнинной и всхолмленной местности. Однако для высокогорных районов при вычислении гравиметрических высот квазигеоида с целью обеспечения интерполяции геометрических высот квазигеоида отличие первой поправки Молоденского от поправки за рельеф необходимо принимать во внимание.
Названные выше решения задачи Молоденского получены без учета полярного сжатия фигуры Земли. Поэтому влияние сжатия на результаты вычисления гравиметрических высот квазигеоида принято учитывать отдельно. Сравнительно недавно коллектив исследователей под руководством В.В. Бровара [17, 13, 16] получил аналитические выражения для единого решения задачи Молоденского, учитывающего влияние рельефа и влияние эллипсоидальное Земли. Методическая точность решения оценивается относительной ошибкой 1-Ю"5, что составляет ошибку в высоте квазигеоида менее 1 см. Однако до настоящего времени это решение не получило проверки на практике.
Учет эллипсоидальное фигуры Земли подробно рассматривался многими исследованиями [43, 41]. В работах [1,28] показано, что поправки к высотам квазигеоида, полученным в сферическом приближении, имеют относительно небольшие значения. Амплитуда значений поправок составляет несколько дециметров. И, главное, эти поправки имеют чрезвычайно плавный характер. Характерно, что изменения в 20 - 30 см практически с одинаковым градиентом наблюдаются на расстояниях между точками более тысячи километров. Поэтому при вычислении гравиметрических высот квазигеоида для обеспечения интерполяции геометрических высот квазигеоида нет необходимости учета эллипсоидальных поправок. Часть гравиметрических высот квазигеоида, вызванная эллипсоидальностью Земли, практически полностью будет учитываться параметрами, согласующими гравиметрические высоты квазигеоида и геометрические высоты квазигеоида.
При вычислении высот квазигеоида по формуле Стокса (4) по предложению Молоденского [32] область интегрирования т разделяют на две части = j— $AgS(yr)dcr+-— \ gS{y/)da, (10) где JQ — ближняя к исследуемой точке зона; сг-а0 - область вне ближней зоны, которую называют дальней зоной. В дальнейшем будем полагать, что ближняя зона представляет собой сферический сегмент с центром в исследуемой точке и радиусом щ. Для учета влияния дальней зоны на высоту квазигеоида второе слагаемое в (10) представляют в виде ряда сферических гармоник. При этом вместо функции аномалий силы тяжести используют разложение Ag в ряд по сферическим функциям. Ядро второго интеграла формулы (10) также необходимо представить в виде разложения по полиномам Лежандра. Однако оно, вследствие выделения ближней зоны, определено только на интервале у/0 у/ ж. Поэтому, прежде всего, необходимо доопределить ядро на интервале 0 ц/ у/й. В связи с этим рассмотрим в качестве ядра функцию
Точность нормальных высот
Геометрические высоты квазигеоида отличаются от гравиметрических высот квазигеоида вследствие ряда причин.
В первую очередь эти отличия обусловлены тем, что система геодезических координат и система нормальных высот, которые связываются геометрическими высотами квазигеоида, отличаются от системы геодезических координат и системы нормальных высот, которые связывают гравиметрические высоты квазигеоида. Главная часть функции расхождений высот квазигеоида А = " - С,гр может быть представлена в виде JV 2 2 a А =—sin ВАе Aa + xcosi?cosZ, + vcossinL + zsinB + IN N 2 -\ e sm2B(a xsinL-(DycosL) + Ah (47) где С - геометрическая высота квазигеоида; гр - гравиметрическая высота квазигеоида; а - большая полуось эллипсоида; е - квадрат первого С эксцентриситета эллипсоида; JV - радиус кривизны первого вертикала; x,y,z — координаты центра геодезической системы координат, определяющей л геометрические высоты квазигеоида, относительно центра масс Земли; сох, соу - угловые элементы трансформирования для осей X и Y соответственно; Ah -разность нулей систем нормальных высот; В, L - широта и долгота точки. Значения параметров, необходимые для вычислений по формуле (47), неизвестны. Эта формула приведена здесь, чтобы показать, что изменения величины А, вызванные различиями систем координат и систем нормальных высот, происходят очень плавно.
На значения функции А также оказывают влияние всевозможные ошибки реализации системы геодезических координат и реализации системы нормальных высот на опорных пунктах. О характеристиках таких ошибок для конкретных систем координат и высот можно только делать предположения. Дополнительными факторами, влияющими на функцию А, являются ошибки гравиметрических данных, по которым вычисляются гравиметрические высоты квазигеоида, а также возможные методические отступления от строгой теории Молоденского, допущенные при вычислении гравиметрических высот квазигеоида. Например, в данной работе принято решение не учитывать поправки за эллипсоидальность фигуры Земли. Для учета функции А необходимо ее аналитическое описание, желательно с помощью небольшого числа параметров. В то же время, множество неизвестных источников, из которых складывается эта функция, часто не позволяют уверенно утверждать, что характер расхождений А известен с достаточной точностью.
Различные варианты учета функции А предлагаются в многочисленных публикациях, посвященных созданию моделей геометрических высот квазигеоида. В нашей стране одним из первых О.М. Остач [39] предложил выполнять косвенную интерполяцию геометрических высот квазигеоида, подобно интерполяции, применявшейся в методе астрономо -гравиметрического нивелирования. К преимуществам такого подхода можно отнести возможность упрощенного вычисления гравиметрических высот квазигеоида. Например, учитывать влияние гравиметрических данных только в ближней зоне, не привлекая глобальные модели геопотенциала, ошибки которых известны с небольшой степенью достоверностью. Или пренебрегать учетом эллипсоидальных поправок. К недостаткам интерполяции следует отнести невозможность выявления грубых ошибок исходных данных без привлечения дополнительных данных.
Несколько другой подход практикуют при создании моделей высот геоида (квазигеоида) в развитых зарубежных странах [3, 8, 9, 10, 12]. На территории этих стран создано большое количество пунктов с известными геодезическими координатами и нивелирными высотами. Плотность пунктов достигает 1 пункт на 15 — 50 км . Количество исходных данных является заведомо избыточным для распространения геометрических высот квазигеоида с использованием гравиметрических данных. Поэтому есть возможность изучать характер функции расхождений А. Для аппроксимации искомой функции расхождений используют наиболее современные математические методы, такие как среднеквадратическая коллокация, wavelet - метод, метод нейронных сетей [6, 11].
В нашей стране в настоящее время плотность опорных пунктов невелика. В наиболее изученной европейской части страны опорные пункты располагаются на расстоянии 150 - 300 км друг от друга. На севере и северо-востоке Сибири эти расстояния достигают 1000 км. Такая плотность опорных пунктов не позволяет выявить вклад отдельных источников ошибок в функцию А. Поэтому наиболее простым решением является восстановление функции целиком на территории определения модели высот квазигеоида по значениям, наблюдаемым на опорных пунктах. Для этого необходимо сделать предположения о характере распространения функции А и, возможно, ее производных. Существует большое количество методов восстановления функции по значениям, заданным в узлах хаотичной сетки. В ряде работ (например [19]) в качестве математического метода восстановления функции разностей геометрических высот квазигеоида и гравиметрических высот квазигеоида предлагается использовать дифференциальный сплайн [21], имеющий вид к А = 2 afi m h +Ti+ T2X + тъУ (48) где К — количество опорных пунктов; / - расстояние между текущей точкой и і-м опорным пунктом; а{ и г/, т2, тз — коэффициенты, вычисляемые по известным значениям функции А на опорных точках.
Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками гравиметрических измерений I класса
Ошибки гравиметрических данных, которые используются для вычисления гравиметрических высот квазигеоида, складываются под влиянием независимых источников ошибок. Независимыми являются ошибки измерений, допущенные на каждом уровне распространения гравиметрических данных, осуществляемом в соответствии с указанной выше иерархией. Измерения, выполняемые на каждом уровне, опираются на данные более высокого класса и, тем самым, распространяют ошибки, полученные на более высоком уровне. Общая ковариационная функция ошибок гравиметрических данных Cg, полученных по результатам гравиметрической съемки масштаба 1:200 000, может быть представлена в виде суммы ковариационных функций ошибок каждого уровня. Cs = С, +С„ +СС+СГ +С„, (61) где С/ - ковариационная функция ошибок, допущенных в сети I класса, С и — ковариационная функция ошибок, допущенных в сети II класса, Сс — ковариационная функция ошибок, допущенных в съемочных гравиметрических сетях, Ср - ковариационная функция ошибок аномалий силы тяжести, вызванных ошибками геодезических данных, С# -ковариационная функция ошибок интерполяции.
Основная трудность выполнения оценок названных ковариационных функций заключается в отсутствии известных исследований, в которых такие оценки были сделаны по результатам обработки измерений. В этих условиях ковариационные функции ошибок могут быть смоделированы. Обычно для практических приложений ковариационные функции представляют в виде гладких функций от расстояния у/, которые при у/ = 0 равны дисперсии. С увеличением расстояния значения таких функций плавно уменьшаются, а, начиная с некоторого расстояния, могут колебаться вокруг нуля в небольшом диапазоне. Важно только, чтобы функция была положительно определенной, т.е. ее коэффициенты разложения в ряд Фурье были неотрицательны. Данный прием может быть использован и для определения ковариационных функций ошибок гравиметрических данных из следующих соображений.
Во-первых, при определении ковариационной функции ошибок для некоторой области происходит осреднение произведений ошибок расположенных в точках на расстоянии ц/. Велика вероятность того, что с увеличением расстояния между точками условия формирования ошибок меняются, и значения ошибок становятся статистически все более независимыми. В связи с этим трудно ожидать, чтобы после осреднения произведений ошибок по всем направлениям и по поверхности выбранной области можно было наблюдать сначала приближение ковариаций к нулю. А затем, при увеличении расстояния, - устойчивый существенный всплеск амплитуды ковариационной функции. Подобные всплески могут быть получены при определении ковариационной функции по экспериментальным данным. Но практически всегда это связано с недостаточной статистической достоверностью исходной информации.
Во-вторых, в данной работе ковариационная функция ошибок аномалий силы тяжести необходима для определения ковариационной функции ошибок высот квазигеоида. Предположим, что истинная ковариационная функция ошибок аномалий силы аппроксимирована некоторой функцией. При интегрировании по формуле (57) возможные отклонения значений ковариаций ошибок аномалий силы тяжести от гладкой функции будут компенсировать друг друга. И поэтому результат интегрирования гладкой функции будет близок истинному результату.
Для моделирования ковариационной функции ошибок необходима некоторая информация об ошибках. На основе этой информации нужно установить существенные параметры ковариационной функции.
В первую очередь в качестве такого параметра называют дисперсию поля ошибок. Чаще всего ее значение известно достаточно надежно. Другим параметром, необходимым для построения ковариационной функции, является расстояние, вне которого значения ковариаций ошибок становятся пренебрежимо малыми и их могут считать равными нулю. Такой параметр может быть назван радиусом корреляции. Обычно его значение с некоторой долей вероятности может быть установлено, но существенно менее надежно, чем дисперсия. Третий параметр должен характеризовать изменения значений ковариационной функции в промежутке между дисперсией и нулем. Например, Г. Мориц [34] при решении задач коллокации предлагал использовать для этого значение кривизны кривой ковариационной функции при у/=0. Как правило, этот параметр установить наиболее сложно, а значит, при моделировании возможны существенные допущения. Оценим на примере, каково влияние названных параметров ковариационной функции ошибок аномалий на ковариационную функцию ошибок высот квазигеоида, вызванных влиянием ближней зоны. При этом будем учитывать, что ковариационная функция Covg может быть представлена в виде Covg{) = DgCorg{yf), (62) где Dg - дисперсия; Corg(y/) - корреляционная функция. Пусть на интервале 0 у/ 1 определены 4 функции:
Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками осреднения поля высот рельефа
На рис. 32 показано расположение пунктов ФАГС/ВГС в европейской части страны. Всего на территорию модели и ее ближайшей окрестности попадает 52 пункта ФАГС/ВГС. Каждый пункт связан спутниковыми измерениями по крайней мере с двумя пунктами нивелирной сети I или II классов. Поэтому вся сеть опорных пунктов, использованная для создания модели высот квазигеоида, разбивается на группы пунктов, сравнительно близко расположенных друг относительно друга. Расстояние между пунктами в каждой группе не должно превышать 30 км [38]. Такая схема опорных пунктов позволяет контролировать наличие грубых ошибок в значениях геометрических высот квазигеоида и оценивать их точность.
Для группы опорных пунктов, расположенной вблизи каждого пункта ФАГС/ВГС, может быть вычислено превышение геометрических высот квазигеоида, а также превышение гравиметрических высот квазигеоида. При этом влияние функции разностей геометрических и гравиметрических высот квазигеоида А (45) на превышения сравнительно невелико. Для приближенных оценок может быть принято, что градиент А составляет 10"6. Предельно допустимое расхождение д между разностями геометрических высот квазигеоида и гравиметрических высот квазигеоида вычислялось с учетом оценок точности по формуле где тш =7лш+5 ЛО 1 DKM - среднеквадратическая ошибка разности геодезических высот; тм = 2.0 MM«JDKV - среднеквадратическая ошибка разности нормальных высот; т = т 2(\ - Сог ) - среднеквадратическая ошибка разности гравиметрических высот квазигеоида, выраженная в миллиметрах; т - среднеквадратическая ошибка гравиметрических высот квазигеоида; Сог - корреляция ошибок гравиметрических высот квазигеоида; D - расстояние между точками выраженное в километрах. Последнее слагаемое (78) учитывает влияние согласующей функции А. При создании модели высот квазигеоида гравиметрические высоты квазигеоида вычислялись с использованием аномалий Фая, осредненных по трапециям 5 х7.5 . На территории модели среднеквадратические значения ошибок осреднения составили 5.3 мГал для поля осредненных аномалий Буге и почти 15 м для поля осредненных высот рельефа. На рис. 33 представлен график полученной для этих условий зависимости среднеквадратической ошибки разности гравиметрических высот квазигеоида от расстояния.
В результате проверки были выявлены 15 пар опорных пунктов, для которых расхождения между превышениями геометрических и гравиметрических высот квазигеоида оказались больше предельно допустимой величины д. Полученные расхождения для остальных пар, прошедших проверку, были использованы для оценки среднеквадратического значения тА совместного влияния случайных ошибок геодезических и нормальных высот на геометрические высоты квазигеоида на опорных пунктах. Полученная оценка /яд составила 0.032 м. Значения разностей геометрических и гравиметрических высот квазигеоида, вычисленные для опорных пунктов, использовались для восстановления согласующей функции А. В качестве математического метода восстановления использовался дифференциальный сплайн (46). Коэффициенты дифференциального сплайна вычислялись с учетом точности тд значений А на опорных пунктах. Очевидно, что любой метод восстановления неизвестной функции по значениям в отдельных точках приводит к ошибкам. Необходимо оценить возможные величины этих ошибок. Кроме того, значения высот квазигеоида на опорных пунктах, разности которых в пределах пары близких пунктов не имеют грубых ошибок, могут иметь общую для этой пары ошибку, которую нельзя объяснить погрешностями измерений. Такие группы опорных пунктов также необходимо выявить и исключить.
Были выполнены исследования, в процессе которых по формуле (46) восстанавливалась поверхность согласующей функции А. При этом каждый опорный пункт поочередно исключался из списка исходных данных. Полученное для такого пункта интерполированное значение функции А сравнивалось со значением, полученным по измерениям, и вычислялась соответствующая невязка. Затем из всех невязок выбиралась невязка наибольшая по абсолютной величине и сравнивалась с некоторым предельным значением. Если она оказывалась больше предельного значения, то данный пункт исключался из списка опорных пунктов. Цикл вычислений повторялся до тех пор, пока максимальная невязка не оказывалась меньше предельной величины. В результате каждому опорному пункту приписывалась характеристика, которую можно рассматривать в качестве ошибки величины А, полученной на этом пункте.
