Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы приближенных способов уравнивания
І.І. Классификация приближенных способов уравнивания 8
і,2. Критерии опенки приближенных способов
1.3. Строгая оценка точности Б приближенном уравнивании
Глава 2. Анализ точности уравнивания триангуляции по углам при измеренных направлениях 37
2.1. Состояние вопроса уравнивания триангуляции 37
2.2, Теория уравнивания триангуляции по углам с учетом их корреляции 43
.3. Алгоритм строгого уравнивания триангуляции по углам 47
2,5.-';Предрасчет точности уравнивания триангуляции по
углам без учета корреляции '2
2.6. Алгоритм приближенного уравнивания триангуляции по углам без учета их корреляции 75
2.7* Анализ точности результатов уравнивания триангу ляции по углам без учета их корреляции 81
Глава 3, Исследование приближенных способов уравнивания полигонометрических сетей 93
3.1. Сравнительный анализ строгих способов уравнивания полигонометрических сетей 102
3.2. Анализ известных приближенных способов уравнивания полигонометрических сетей 106
3.3. Анализ приближенного модифицированного способа узлов 106
3*4. Исследование влияния пренебрежением корреляцией
дирекционных углов узловых направлений и коорди-\. нат узловых пунктов на точность уравнивания поли-
гонометрических сетей III
Заключение 114
Литература
- Критерии опенки приближенных способов
- Строгая оценка точности Б приближенном уравнивании
- Алгоритм строгого уравнивания триангуляции по углам
- Анализ известных приближенных способов уравнивания полигонометрических сетей
Введение к работе
Основные решения ХХУІ съезда КПСС направлены на повышение эффективности и качества развития всех отраслей народного хозяйства СССР- Эта задача должна решаться на основе дальнейшего развития науки и техники и использования научно обоснованных разработок, направленных на повышение эффективности и качества и рекомендованных к внедрению в производство.
Советская геодезия базируется на прочном теоретическом фундаменте, непрерывно укрепляемом трудами современных ученых-тгео-дезистов.
Развитие народного хозяйства СССР ставит перед топографо--геодезической службой страны большие задачи по увеличению объемов и повышению качества геодезических работ- С ростом объема геодезических работ возрастает объем вычислений, связанный с их математической обработкой, а с требованием повышения качества этих работ усиливается актуальность задачи уравнивания геодезических сетей с целью получения при данном наборе измерений результатов уравнивания с максимально возможной точностью.
Качество результатов уравнивания, экономия времени и средств в существенной мере зависят от способа уравнивания. Использование в уравнительных вычислениях ЭВМ и их непрерывное совершенствовав . ние позволяют применять алгоритмы строгих способов уравнивания, основанных на выполнении всех требований современного метода наименьших квадратов. Однако, это не всегда оправдано, поскольку некоторые из приближенных способов "могут приводить к результатам, по качеству равноценным строгим, при существенном сокращении объема вычислительных работ или упрощении логики алгоритма" [43] . Использование таких способов уравнивания взамен строгих Солее эффективно и экономически выгодно, чем применение строгих способов.
В настоящее время на производстве имеются программы уравнивания триангуляции 2 класса, основанные на уравнивании ее по углам, как независимым результатам измерений, хотя известно, что независимыми результатами измерений являются не углы, а направления. Вопрос о целесообразности и правомерности такой замены до настоящего времени не получил окончательного решения В геодезической литературе, посвященной этому вопросу» содержатся противоречивые выводы [37,55,10,«3,90] . В связи с этим актуальной представляется задача анализа и опенки широко применяемых на производстве приближенных способов уравнивания с целью выявления объективной возможности и правомерности использования их взамен строгих.
С проблемой оценки приближенных способов тесно связан вопрос строгой оценки точности в них результатов уравнивания, поскольку известные формулы [43] слишком громоздки. Поэтому актуальной является задача поиска и создания новых алгоритмов уравнивания геодезических сетей, совмещающих в себе качественные характеристики строгих способов и эффективность приближенных, при этом оценка точности в них должна выполняться по простым формулам.
Основной целью диссертационной работы является исследование и анализ точности приближенных способов уравнивания триангуляционных построений и полигонометрических сетей на основе выполнения строгой оценки точности результатов приближенного уравнивания.
В связи с этим были поставлены следующие задачи;
-выполнить теоретическое обоснование формулы строгой оценки точности результатов измерений в приближенном уравнивании, приведенной в [43] ;
-разработать удобный для программирования алгоритм на основе теории строгого уравнивания триангуляции по углам, т.е. с учетом их корреляции, и рациональной нумерации углов на пунктах сети;
- выполнить анализ точности результатов уравнивания триангуляции по углам без учета их корреляции на основе детальной строгой оценки точности результатов прибликенного уравнивания безотносительно конкретного ряда измерений, дать заключение о степени возможности использования данного приблюкеиного способа уравнивания взамен строгого.
- выполнить с использованием формул строгой оценки точности исследование точности приближенного модифицированного способа узлов для уравнивания полигонометрических сетей и дать заключение о степени возможности использования его взамен строгого;
- выполнить исследование точности приближенного способа уравнивания полигонометрических сетей, заключающегося в пренебрежении корреляцией дирекционных углов узловых направлений и координат узловых пунктов, дать заключение о степени возможности использования его взамен строгого;
- при исследовании всех рассматриваемых приближенных способов выявить возможность использования в них для оценки точности традиционных формул метода наименьших квадратов,
Диссертация состоит из трех глав. Б первой главе диссертации приведена классификация приближенных способов уравнивания в зависимости от характера нарушения строгости уравнивания по методу наименьших квадратов. Выполнен анализ известных критериев оценки приближенных способов с целью выбора наиболее рационального из них для использования в дальнейших исследованиях. Приведены известные формулы строгой оценки точности результатов приближенного уравнивания [43] , на основе которых принят метод исследований. Выполнено теоретическое обоснование формулы строгой оценки точности результатов измерений в приближенном уравнивании, получена формула строгой оценки точности результатов измерений при уравнивании триангуляции по углам без учета корреляции на основе рациональное нумерации углов в се?и - подряд :-:а ка "що:-л пункте.
Во второй главе содержится описание современного состояния уравнивания триангуляции. Приведена теория строгого и приближенного уравнивания триангуляции по углам. На основе рациональной нумерации углов сети разработан удойны; для программирования алгоритм строгого уравнивания триангуляции по угла-.:. Предложен алгоритм строгого уравнивания триангуляции без составления параметрических уравнений поправок с Хормкровапием матрицы коэффициентов нормальных уравнений и вектора их свободных членов по чертежу сети, в котором число выполняемых арифметических операции сведено к минимуму. Выполнен продраєнеє и анализ точности уравнивания триангуляции по углам без учета корреляции для моделей звена, оплошной сети и типовых Хигур, предотавленьых геодезическими четырехугольниками различной конструкции и центральными системами различной сложности,
В третьей главе приведен аналитический обзор и критический анализ основных строгих и приближенных способов уравнивания по-лигопометрических сетей. Выполнен анализ приближенного кодифицированного способа узлов для уравнивания полигопометрических сетей и приближенного способа уравнивания этих сетей, основанного на пренебрежении корреляцией дізрекц;:ошплх углов узловых направлений и рюординат узловнх пунктов сети применительно к моделям полигопометрических сетей 3 и 4 классов, состоящих хз ходов, близких к вытянутым.
Критерии опенки приближенных способов
В групповых параметрических приближенных способах уравнивания нестрогость заключается обычно в пренебрежении корреляцией полученных в первой группе параметров, либо некоторые элементы, уравненные в первой группе, считаются безошибочными при уравнивании второй группы.
Кроме перечисленных нарушений строгости уравнивания, которые можно считать основными, имеют место и иные упрощения, встречающиеся в практике уравнительных работ. Например, при уравнивании центральной системы и цепочки треугольников, когда при решении базисных условий поправки связующих углов одного треугольника полагают равными по величине и противоположными по знаку [79] и другие, в зависимости от вида геодезического построения.
Второй тип - несовместное уравнивание результатов геодезических измерений.
Несовместное уравнивание результатов геодезических измерений имеет место в тех случаях, когда геодезическая сеть при ее обработке разбивается на отдельные части (блоки), каждая из которых уравнивается строго по методу наименьших квадратов. Нестрогость уравнивания выражается здесь, как и в случае несовместного решения исходных условных или параметрических уравнений, в несовпадении порядков матриц нормальных уравнений при строгом и приближенном уравнивании и означает уменьшение числа совместно решаемых нормальных уравнений- В уравнивании участвует не вся геодезическая информация, но "если разбивка сети на блоки будет выполняться достаточно целесообразно, т.е. если деление не будет слишком дробным, а число отброшенных измерений не будет эначи -12 тельным и определение отдельных пунктов не потеряет жесткости, то результаты приближенного и строгого уравниваний мало отли-чаются " [24] .
Этот тип приближенных способов встречается повсеместно. Например, триангуляция 3 класса создается обычно в виде сети, а при камеральной обработке эта сеть разбивается на отдельные системы, уравниваемые строго по методу наименьших квадратов.
Третий тип - несовместное уравнивание результатов геодезических измерений с нарушением строгости уравнивания.
Этот тип приближенных способов уравнивания объединяет в себе два первых и представляет тот случай, когда сеть разбивается на блоки, которые уравниваются каким-либо нестрогим способом,. Например, обработка полигонометрической сети с разбивкой ее на части и уравниванием их по способу Попова,
Классификация всех приближенных способов на три указанных типа продиктована тем, что каждый тип имеет специфические особенности оценки точности поскольку применяя для этой цели обычные формулы метода наименьших квадратов "... мы поступаем вообще заведомо неправильно и только в сравнительно редких случаях получаем ответ, близкий к правильному" [31 ] .
Наряду с проблемой строгой оценки точности приближенных способов уравнивания существует и успешно решается проблема оценки приближенных способов в смысле их близости к строгому, В разное время различными авторами предлагались методы исследования приближенных способов, разрабатывались критерии их оценки.
Критерии оценки приближенных способов уравнивания
Оценка приближенных способов уравнивания возникает в двух различных ситуациях. Первая - когда оцениваются результаты приближенного уравнивания конкретного ряда измерений и вторая - ког -ІЗ да выясняется принципиальная допустимость приближенного способа уравнивания безотносительно результатов конкретных измерений. В условиях второй ситуации может требоваться сравнительная оценка приближенных способов уравнивания.
Известно [ 77] , что "определение величин [ 17а"] и 71# в момент их наименьшего значения дает большие основания для применения приближенных методов отыскания значений неизвестных ( X ), ибо функция в момент экстремума или около экстремального ее состояния изменяется обычно очень медленно по сравнению с другими ее состояниями". Поэтому отношение [p] =t , СІЛ) [PVV] где v и V соответственно строгие и приближенные значения поправок в результаты измерений, можно использовать для сравнения приближенного уравнивания со строгим, а точнее - для сравнения нескольких приближенных способов, поскольку при одном и том же способе уравнивания величина отношения СІЛ) может быть боль ше или меньше в зависимости от поправок, полученных при данном наборе измерений. Из нескольких приближенных способов тот лучше, в котором отношение (1-І) ближе к единице. Величину "можно рассматривать как меру точности подбора поправок V по результатам измерений" [б] .В [б] показано, что если отклонение уравненных строго и приближенно результатов не превосходят 1/4 ... 1/3 от величин их средних квадратических ошибок, то приближенный способ практически не отличается от строгого, т.к. в этом случае ошибки, вносимые нестрогостью уравнивания, будут существенно меньше ошибок измерений.
Строгая оценка точности Б приближенном уравнивании
Как известно, в практике уравнительных вычислений геодезиче ских сетей применяются два основных способа уравнивания - параметрический и коррелатный. Оба эти способа взаимозаменяемы и применение каждого из них зависит от трудоемкости и удобства уравнительных вычислений- Наряду с указанными основными способами успешно применяются также групповые и комбинированные способы.
С появлением и широким внедрением в производство ЭВМ при уравнивании геодезических сетей предпочтение отдано параметрическому способу, как более эффективному по сравнению с коррелатным» особенно при уравнивании сложных сетей [20] , [64] . Алгоритм параметрического способа уравнивания удобнее для программирования, а объем вводимой Б ЭВМ исходной информации одинаков при обоих способах. И если учесть, что при уравнивании параметрическим способом из решения нормальных уравнений сразу получаются поправки к координатам, что удобно, а также проще выполняется оценка точности уравненных координат, то становятся очевидными причины, по которым предпочтение отдается именно параметрическому способу.
Уравнивание сетей триангуляции принято выполнять либо по направлениям либо по углам, хотя в том и другом случае независимыми результатами измерений, как правило, являются направления, поскольку все, применяемые на производстве способы измерения углов в сетях триангуляции приводят в результате уравнивания на станции к ряду равноточных направлений [ 80 . Углы, полученные как разность смежных направлений, связаны корреляционной зависимостью и при строгом их уравнивании эта зависимость должна быть учтена [ВЗ] , И только в том случае, если все углы в сети триангуляции измерены каждый отдельно, они будут независимы.
Практически же при уравнивании триангуляции по углам считают их корреляционно независимыми величинами независимо от существа измерений, выполняемых на каждом пункте сети. При таком подходе все применяемые способы уравнивания триангуляции по углам являются приближенными. В первую очередь это относится ко всем способам, базирующимся на коррелатном уравнивании, основанном на геометрических условиях, связывающих углы и другие элементы сети. Ни в одном из известных таких способов корреляция между углами не учитывается.
К строгим способам уравнивания триангуляции относится уравнивание ее по направлениям, а также двухгрупповой строгий способ на базе параметрического t 411 , в котором в первой группе предварительно уравниваются направления при принятых в качестве необходимых неизвестных (параметрах) дирекционных углах сторон и ориентирующих углах с получением после уравнивания корреляционной матрицы предварительно уравненных дирекционных углов сторон- Во второй группе уравнения поправок составляются относительно предварительно уравненных дирекционных углов, принимая в качестве необходимых неизвестных поправки координат определяемых пунктов, причем при окончательном уравнивании направлений учитывается корреляционная зависимость предварительно уравненных.
Остальные способы уравнивания, применяемые в триангуляцииэ ТІ даже являясь строгими по форме, приближены по существу, если уравнивание выполняется по углам без учета их корреляции.
Установим структуру корреляционной матрицы углов В. , полученных на пункте 3 по измеренным направлениям Ні (рис, 1), если измерения были выполнены, например, способом круговых приемов [43 ] ,
При наиболее рациональной нумерации углов в сети - подряд, на каждом пункте, корреляционная матрица этих углов является квазидиагональной, состоящей из трехдиагональных блоков размера
П: х п.j , где %э - число углов на пункте J . Порядок корреляционной матрицы углов сети равен ft - числу всех углов, принятых в уравнивание. Например, для геодезического четырехугольника, изображенного на рис. 2 корреляционная матрица его углов имеет вид с учетом (2.6)
Строгое уравнивание триангуляции по углам, т.е. с учетом их корреляции, в настоящее время не применяется из-за громоздкости корреляционной матрицы углов. Приближенное же уравнивание используется повсеместно. Однако вопрос о возможности замены. строгого уравнивания приближенным до сих пор не получил однозначного решения. Исследования в этом направлении ведутся давно, но выводы различных исследователей противоречивы. Профессор КрасовскиЙ, например, считал, что "в огромном большинстве случаев вполне допустимо в цепях и сетях триангуляции 2 класса применение уравнивания углов вместо уравнивания измеренных на пунктах триангуляции направлений" t 37 ] . Профессор Никифоров на основе метода сравнительного анализа дополнительных искажений элементов сети триангуляции, возникающих за счет нестрогости способа уравнивания, приходит к выводу, что "в общем случае нельзя рекомендовать уравнивание триангуляционных сетей по углам при измеренных направлениях" и что "усилия геодезистов должны быть направлены на разработку рациональных приемов и схем уравнивания триангуляционных сетей по направлениям, ... а не на обоснование приближенного способа уравнивания по углам при измеренных направленнях" [ 55] . Профессор Визин в [10] на основании анализа результатов эксперимента по уравниванию модели сети триангуляции 2 класса приходит к выводу о нецелесообразности уравнивания сетей 2 класса по направлениям.
Алгоритм строгого уравнивания триангуляции по углам
Как отмечалось выше, применяя соответствуїнцую нумерацию углов на пунктах сети триангуляции (подряд на каждом пункте), можно получить корреляционную матрицу К этих углов в виде квази - 48 диагональной матрицы с блоками К--, , представляющими трехдиа-гональные матрицы вида К: = &; N -0.5 го -0.5 I -0.5 ч -0.5 I j = еїа (2.21) размера Яз х П-з составленные для каждого пункта сети, где Ylj - число линейно независимых углов на пункте с номером J Для всей сети корреляционная матрица углов имеет вид к. Л = 6 оа О Р (2.22) К \ К К, N где О =1,2,..., N - номера пунктов сети, а Ы - их число. Число всех измеренных в сети углов обозначим через а . Оно слагается из чисел flj углов fr » измеренных на каждом пункте сети, т.е. N 3 = 1
На рис. 5 показан порядок нумерации углов на первом пункте сети (0=1). На втором пункте нумерация углов начинается с номера а4+1 и продолжается аналогично первому пункту и так далее для всех остальных пунк тов сети в порядке возрастания их номеров. Угол, помеченный двойной дугой, из уравнивания исключается. Он может быть взят произвольно. р с Пусть требуется определить -49 в сети триангуляции из общего числа N пунктов координаты К пунктов с номерами 3 = 1,2,..., 1С и пусть на каждом пункте с номером J = 1,2,,.., N имеется Гід углов р;, , составленных измеренными смежными направлениями J5 "Не и JS= Ні-и а виде il - Ні-м - Не (2.23) где I = 1,2, ..t Л] Матрицу А коэффициентов параметрических уравнений поправок углов запишем в блочном виде А, А. А = (2.24) IAN J где блоки-матрицы А , Аа.,. содержат коэффициента уравнений, относящиеся к углам, измеренным соответственно на пунктах J"1,2-,...iN j что вытекает из принятой нумерации углов и пунктов в сети. Размер матриц А равен (10 2К
В свою очередь матрицу A j , соответствующую пункту с номером 3 ( 0 =1,2»..., N ) представим в виде Аа = ( Ai Да. ... АО , 2,25) где блоки-матрицы As ( S =1,2,..., 1С ) имеют размер Rjxi и строки, содержащие соответствующие определяемому пункту с номером S элементы ( с± ащ Ї ао (4&ш &1 2-2б где J = S Если же J Ф S і то элементы строк будут содержать нули і, когда пункт J не связан с пунктом S измерением, либо иметь значения ( TCLL-M + Ьы ) , (2.27) -50 если пункту S в (2,22) соответствует направление JS= Hui, или (± СЦ к) 2.28) если пункту S в (2.23) соответствует налравление J$ = Ни Верхние знаки в (3.26)-(3.28) имеют место, когда значения коэффициентов & и В , получаемые по формулам а = 20,6265 —ЕІг Аи (SK)KM (2.29) Е =-20,6265 -CQS s , вычислены по направлению с пункта 3 на пункт S , а нижние в противоположном случае.
В (2.29) через cL и 5 обозначены соответственно приближенные значения дирекционных углов направлений 3S и расстояний между пунктами J и S .
С представлением матрицы А коэффициентов параметрических уравнений поправок в блочном виде (2.24), а матрицы & в виде квазидиагональной матрицы (2-22) получим матрицу Я коэффициентов нормальных уравнений по формуламі N ft =11 Ад Рд Аз , (2.30) считая корреляционную матрицу ft известной с точностью до постоянного множителя &о » т,е, полагая К- 0$ » «з= Орд и Р3= Gjyj . Матрицу рэ назовем весовой матрицей. Вектор В свободных членов нормальных уравнений 6 = II А] Р3 Ез (2.3D 3-М где I] - вектор свободных членов параметрических уравнений, -51-полученный для пункта с номером 3 по известным правилам, т.е, его элемент &t к- К -Д, (2.32) где р 1 приближенное значение угла, полученное как разность дирекцйонных углов, вычисленных по приближенным координатам пунктов J и S ( S =1,2,..., К. ), a fii - измеренное значение этого угла. Размер вектора ь3 равен rij \ .
Весовая матрица Pj получается на каждом пункте обращением матрицы t QA ), т.е. Pi = Op, (2.33) Поскольку матрица ( Qp-j ) трехдиагональная специального вида и для таких матриц известен алгоритм обращения в общем виде [ б ] , то элементы весовой матрицы Pj могут быть вычислены по формуле а + 1 ft + ї ( )і5цИ") = і. pi n П-і 1 4 2 a (2.34)
Таким образом при реализации алгоритма строгого уравнивания триангуляции по углам на ЭВМ корреляционную матрицу 0« углов сети не требуется вводить в память ЭВМ. Элементы блоков P-j обратной к ней матрицы могут формироваться в соответствии с (2.34) непосредственно в процессе вычисления слагаемых в (2.30) и (.31), причем при переходе к вычислению следующего слагаемого матрицу
Pj , соответствующую предвдущему пункту, нужно заменить новой, соответствующей очередному пункту. Необходимость учета корреляции углов сводится к тому, что на любом этапе вычисления матрицы коэффициентов нормальных уравнений по (2.30) и вектора
Анализ известных приближенных способов уравнивания полигонометрических сетей
Из решения нормальных уравнений получим поправки Б приближенные значения координат определяемых пунктов. Сумма квадратов поправок в измеренные величины, необходимая для оценки точности, монет быть получена по формуле, которая обычно при уравнивании употребляется лишь для контроля где В - вектор свободных членов нормальных уравнений; ЛХ- вектор поправок в координаты; L - вектор свободных членов параметрических уравнений поправок.
Аналогичный способ составления нормальных уравнений описан в [44] для случая, когда из системы нормальных уравнений не исключен вектор поправок в ориентирующие углы определяемых пунктов и, таким образом, порядок получаемой матрицы в 1-5 раза больше, чем в предлагаемом нами способе.
К достоинствам изложенного способа уравнивания следует отнести тот факт, что при реализации его на ЭВМ максимально сокращается число выполняемых машиной арифметрических операций, т.к. отсутствуют бесполезные умножения на нулевые элементы, имеющие место при перемножении матриц, содержащих большое их число, В геодезии возникают при уравнивании именно такие матрицы, содержащие большое число нулевых элементов. Таким образом, указанное достоинство изложенного способа уравнивания ведет к максимальной экономии машинного времени.
Необходимо отметить, что идея и некоторые топологические правила составления нормальных уравнений по схеме сети содержатся в работе [ 14 ] .
При оценке точности результатов уравнивания в геодезии наряду с точечной и интервальной оценками используются обобщенные критерии точности, о чем говорилось выше. К ним относятся: обобщенная дисперсия GL&1 1С ; среднее весовое от элементов корреляционной матрицы, например, след Sр С F 1С ) ; спектральная норма ( наибольшее собственное значение Лпиде) матрицы К/ , где К - корреляционная матрица уравненных измерений либо параметровj а F положительно определенная матрица [ 62 ] . Приведенные критерии дают идентичные результаты и показывают некоторую обобщенную точность сети в целом.
В работе [62] вводится критерий Є относительной эффективности оценки как отношение ее обобщенной дисперсии к минимальной обобщенной дисперсии, т.е. detZ е = мї С2-б2) 1С ) где iv - корреляционная матрица уравненных параметров сети определенная из строгого уравнивания по методу наименьших квадратов, а 1С - корреляционная матрица тех же параметров, полученная из приближенного уравнивания по формулам строгой оценки точности, т.е. К= CR-1ATPUL(PAR- )f (2.63) где KL - корреляционная матрица результатов измерений, т.е. принято, что приближенный способ отличается от строгого иной матрицей весов. Установленоэ что величина Є может принимать значения лишь в интервале Ы Є ; (2.64) Act где & - число обусловленности А тип а А - символ собственного значения корреляционной матрицы Ю При строгом уравнивании триангуляции по углам корреляционная матрица (С состоит из трехдиагональных блоков размера ГЬ3 х Пт 5 гДе П-з " число линейно независимых углов на пункте J . Применим критерий относительной эффективности оценки для предрасчета ожидаемой эффективности приближенного способа уравнивания триангуляции по углам, т.е. без учета их корреляции, в расчете до максимально возможного числа ft] = 10 уг лов, составленных измеренными на пункте J сети направлениями. Для вычисления собственных значений корреляционной матрицы К , имеющей структуру