Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы решения прямых динамических задач сейсмики и модели сред (обзор) 27
1.1. Полуаналитические и численные методы решения прямых динамических задач сейсмики 27
1.2. Некоторые модели сред, используемые в сейсмике 33
ГЛАВА 2. Модель гипоупругой среды 39
2.1 Введение 39
2.2 Определение гипоупругой среды. Полная система уравнений механики деформируемого гипоупругого тела 41
2.3 Тензор Кристоффеля для среды с начальными напряжениями. 46
2. 4. Расщепление поперечных волн и оценки для Земли и планет 50
2. 5 Выводы 57
ГЛАВА 3. О построении разностной схемы. Решение модельных задач 58
3.1 Основные уравнения и построение численной схемы 59
3.2 Модельные задачи 77
3.3 Конечно-разностная схема 99
3.4 Выводы 102
ГЛАВА 4. Описание разрушения при численном моделировании динамических задач сейсмики 104
4.1. Введение. О некоторых подходах к численному описанию разрушения
4.2. Способ описания хрупкости для гипоупругой среды 107
4.3 Влияние трещины на деформирование среды 112
4.4. Выводы 128
ГЛАВА 5. Применение модели гипоупругой хрупкой среды при решении некоторых задач о деформировании геосреды и излучении сейсмических волн при ее разрушении 130
5.1. Прочность реальных сред и критерий разрушения 130
5.2. Излучение упругих волн при разрушении отрывом и сдвигом 141
5.3. Излучение сейсмических волн при равномерном и неравномерном распространении трещин в геоматериалах 154
5.4 Численное моделирование сейсмоакустической эмиссии от формирующейся поверхности скольжения активного гравитационного оползня 168
5.5 Оценка напряженного состояния в теле оползня 176
5.6 Выводы 191
Заключение 193
Литература 197
- Некоторые модели сред, используемые в сейсмике
- Определение гипоупругой среды. Полная система уравнений механики деформируемого гипоупругого тела
- Способ описания хрупкости для гипоупругой среды
- Излучение сейсмических волн при равномерном и неравномерном распространении трещин в геоматериалах
Введение к работе
Объектом исследования диссертационной работы являются процессы деформирования и разрушения геоматериалов, а также поля упругих волн, излучаемые при этом.
Актуальность исследований. В последнее время значительно повысился интерес геофизиков и геомехаников к изучению как собственно процесса деформирования горных пород, так и явлений, его сопровождающих. Деформирование геологической среды зачастую сопровождается ее разрушением и излучением сейсмических волн. Единого подхода, позволяющего в наиболее общей постановке рассчитать поле напряжений в геоматериале при деформировании, разрушение этого материала, излучение и распространение в нем упругих волн нет. Диссертационная работа автора призвана восполнить этот пробел.
Деформирование с последующим разрушением и излучением волн характерно как для больших геологических масштабов и высоких значений высвобождаемой энергии (очаги землетрясений), так и для малоэнергетических по уровню акустической эмиссии, но не менее катастрофических по последствиям оползневых процессов. И в том и в другом случае речь идет о деформировании геоматериала и о попытке его аккомодации, т.е. приспособления, к процессу деформирования. Исследования последних лет в качестве заключительного механизма аккомодации выделяют разрушение на микро и мезоуровнях, при сохранении общей прочности среды, при отсутствии в ней макроразрушений. (Здесь приставки микро и мезо, так же как и макро понимаются только в относительном значении).
Разрушение на любом из этих уровней сопровождается излучением сейсмических волн, а сами разрушения имеют характер трещин отрыва и сдвига. Разрушение подчас распространяется со столь низкими скоростями, что для объяснения этого требуются специальные теоретические исследования и эксперименты. С другой стороны, сейсмические методы еще не очень активно применяются, например, при изучении метастабильных механических систем, таких, как оползни, неустойчивые склоны и.т.п. Инструментальные наблюдения за такими процессами ведутся, но их анализ должен опираться на адекватные теоретические представления об изучаемом явлении. Одним из основных свойств упомянутых процессов являются большие (конечные) деформации.
На основе вышесказанного представляется актуальным создание и развитие метода численного моделирования процессов конечного деформирования и разрушения твердых тел и излучения ими упругих волн, что и выполнено в настоящей работе. Автором предложена оригинальная модель гипоупругой хрупкой среды и на этой основе создан численный метод, весомо дополняющий существующие методы и подходы в решении динамических задач сейсмологии, геомеханики и механики деформируемого твердого тела.
Цель исследований. Поведение геологической среды при деформировании для различных временных масштабов и различных скоростей деформаций описывается различными определяющими соотношениями. Так, построение сейсмических волновых полей вдали от источника обычно выполняют в рамках динамической теории упругости, вблизи же источника учитывается неупругое поведение среды. Деформирование твердых оболочек Земли в масштабах геологических времен моделируют течением вязкой жидкости. Есть природные и техногенные процессы деформирования горных пород, которые сопровождаются локальным разрушением и излучением (эмиссией) сейсмических волн, но в целом среда остается упругой. Эти процессы могут быть изучены с позиций упруго-хрупкого поведения. Построение одной из моделей такого поведения и рассмотрение процессов деформирования геологической среды, ее разрушения и излучения сейсмических волн является целью диссертационной работы.
Для достижения поставленной цели были решены соответствующие задачи. Некоторые из них были необходимы и изложены в тексте диссертации, но являлись при этом вспомогательными. Другие имели основной методологический смысл или носили исследовательский характер и перечислены ниже:
1. Разработана оригинальная физико-математическая модель гипоупругой хрупкой среды, в основе которой лежат: а) закон поведения гипоупругих сред, введенный К. Трусделлом в 1955 г., б) предложенная соискателем специальная методика раздвоения точек расчетной сетки при численном моделировании. В среде, поведение которой может быть охарактеризовано как гипоупругое хрупкое, при данном напряженном состоянии компоненты скоростей изменения напряжений есть однородные линейные функции скоростей деформаций, а сама скорость изменения напряжений определяется с использованием производной относительно собственного вращения. При этом деформации могут быть конечны, вплоть до разрушения всей среды.
2. Создан метод, в основе которого лежит предложенная соискателем модель гипоупругой хрупкой среды, позволяющий решать пространственную задачу о деформировании среды, разрушениях в ней, излучении при этом упругих волн и их распространении.
3. С использованием модели гипоупругой среды выявлена аналитическая связь между касательными напряжениями и скоростью поперечных упругих волн для среды с начальными напряжениями:
касательные напряжения аддитивно входят в выражение для квадрата скорости поперечных волн, при этом поперечные волны расщепляются на две, более быструю и более медленную.
4. Основываясь на решении задачи о сложном нагружении среды с трещиной сделан вывод о том, что распространение трещин отрыва может быть неравномерным, с изменениями скорости в течение всего процесса в несколько раз.
5. Для геоматериалов с использованием модели гипоупругой хрупкой среды проведены расчеты разрушения отрывом и сдвигом; для этих случаев построены функции направленности источника сейсмической эмиссии. Показано, что, в отличие от известных решений, основная энергия от разрушения распространяется вдоль свободных от напряжений берегов трещины, то есть в направлении, противоположном разрыву.
6. По результатам численного эксперимента, проведенного соискателем, построены поляризационные кривые колебаний частиц среды на поверхности активного гравитационного оползня. Сделан вывод, что колебания частиц поляризованы по направлению падения склона и определяются напряженным состоянием в теле оползня.
7. По результатам численного анализа напряженно-деформированного состояния в теле оползня с использованием предложенной модели среды выявлена зона максимальных касательных напряжений, которая при переходе оползня в неустойчивое состояние смещается вниз к подножию склона.
Диссертационная работа посвящена описанию нового подхода к решению задач сейсмики. В этом подходе методы расчета сейсмических волновых полей сочетаются с методами механики разрушения. Основу подхода составляет модель гипоупругой хрупкой среды, среды, которая деформируется конечным образом, в которой по тем или иным причинам развиваются зоны концентрации напряжений, происходит разрушение, излучение сейсмических волн и дальнейшее их распространение.
В диссертационной работе впервые предложен подход к решению динамических задач, в котором методы механики разрушения сочетаются с методами расчета упругих волновых полей.
Предложенный метод численного решения прямых пространственных задач эластодинамики позволяет решать пространственные задачи о деформировании среды, развитии в ней больших деформаций и разрушений, выделении сейсмической энергии и распространении сейсмических волн, что существенным образом расширяет круг решаемых в геофизике, геодинамике и механике деформируемого твердого тела задач и является новым инструментом исследования;
Предложенный новый подход к описанию разрушения при численном моделировании может использоваться и используется рядом научных учреждений при решении теоретических и прикладных задач механики деформируемого твердого тела, геофизики и геодинамики.
Выявленная в численном эксперименте направленность поляризации колебания частиц на поверхности гравитационного оползня использована при анализе микросейсмических наблюдений на оползнеопасных склонах.
Предложенный подход к моделированию напряженно-деформированного состояния активного оползня как динамического процесса может быть использован при применении сейсмических методов для оценки напряженного состояния оползнеопасных склонов.
Предложенный и развитый в диссертации подход, основанный на модели гипоупругой хрупкой среды, может быть использован при анализе геодинамических явлений различных масштабов (землетрясения, оползни, горные удары), для теоретической оценки функций направленности возникающих при разрушении горных пород сейсмических источников, при анализе распространения трещин в твердых телах и конструкциях.
Таким образом, практическая ценность предложенного подхода, модели гипоупругои хрупкой среды и развитого на ее основе метода состоит в возможности проведения в рамках одной вычислительной программы теоретических расчетов и оценок напряженно-деформированного состояния для различных геологических объектов, находящихся в состоянии предразрушения - активных оползней, неустойчивых склонов, разломов, разрушения в этих объектах, излучения сейсмических волн и дальнейшего их распространения.
Основным защищаемым результатом автор считает создание на основе оригинальной модели гипоупругои хрупкой среды метода, позволяющего решать комплексную задачу о деформировании среды, разрушениях в ней, излучении при этом упругих волн и распространении этих волн. Кроме этого, ниже перечислены иные основные результаты и положения, также выносимые на защиту:
1. С использованием модели гипоупругои среды получена аналитическая связь между касательными напряжениями и скоростью поперечных упругих волн для среды с начальными напряжениями: поперечные волны расщепляются на две, более быструю и более медленную.
2. Основываясь на решении задачи о сложном нагружении среды с трещиной, сделан вывод о том, что распространение трещин отрыва может быть неравномерным с изменениями скорости в течение всего процесса в несколько раз.
3. Основываясь на численном расчете, проанализированы функции направленности излучения сейсмических волн при разрушении среды отрывом и сдвигом и показано их отличие от общепринятых представлений.
4. По результатам численного эксперимента сделан вывод, что колебания частиц на поверхности гравитационного оползня поляризованы по направлению падения склона и определяются напряженным состоянием в теле оползня.
5. По результатам численного анализа напряженно-деформированного состояния в теле оползня (с использованием предложенной модели среды) выявлена зона максимальных касательных напряжений, которая при переходе его в неустойчивое состояние смещается вниз к подножию склона.
Обоснованность и достоверность
Высокая степень достоверности полученных результатов определяется решением модельных и тестовых задач, сравнением с результатами физического моделирования, с данными натурных наблюдений и с результатами, полученными иными методами и другими исследователями:
а) характер поведения частиц на поверхности гравитационного оползня, обнаруженный в ходе численных расчетов и отраженный в поляризационных кривых, подтверждает натурные наблюдения на оползне в долине реки Суусамыр в Киргизии;
б) поле деформаций и положение областей максимальных напряжений внутри склона из модельного геоматериала, полученные в результате расчетов, подтверждаются результатами физического моделирования и натурными наблюдениями, выполненными в Институте физики и механики горнах пород НАН Кыргызстана;
в) результаты решения задачи об излучении волн при вертикальном воздействии на поверхности однородного изотропного полупространства соответствуют не только известными аналитическими и численными решениями этой задачи, но и подтверждаются данными физического моделирования, проведенного в Институте геофизики СО РАН;
г) поле максимальных касательных напряжений, численно рассчитанное соискателем для задачи о растяжении тела с надрезом, качественно соответствует экспериментальным данным, полученным методом фотоупругости;
д) выявленный в результате проведенного соискателем численного эксперимента факт, что вершина трещины отрыва является энергетическим стоком, подтверждается теоретическими выводами работы;
е) построенные в ходе численного расчета фронты продольной и поперечных волн, а также области неоднозначности волновых поверхностей для кристалла цинка подтверждаются теоретическим построением лучевых поверхностей для анизотропных сред.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: EGS XXII General Assembly, Vienna, Austria, 21-25 April 1997; V International Conference Computer Aided Design of Advanced Materials and Technologies Augest 4-6, 1997, Baikal Lake, Russia; международной конференции "Вибрационные технологии исследований и мониторинга литосферы" (Новосибирск, 1998 г.); международной конференции "Physical mesomechanics and computer aided design of advanced materials and technologies - Mesomechanics 98" (Израиль, Тель - Авив, 1998), на VI Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1999), на международной конференции "Сейсмология в Сибири на рубеже тысячелетий" (Новосибирск, 2000 г.), . международной конференции "Геодинамика и напряженное состояние недр Земли", (2-4 октября 2001г. - Новосибирск ), на пяти школах-семинарах "Геофизика и геомеханика" (Новосибирск, 1999-2003), на International workshop "Mesomechanics: foundations and applications", March 26-28, 2001, Tomsk, на сейсмическом семинаре Института геофизики СО РАН. Кроме того, полностью результаты диссертационной работы докладывались на специальных семинарах в Институте гидродинамики им. Лаврентьева и в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.
Работа выполнена в рамках научных направлений: "3.1.14. Развитие физико-геологических основ, теории и технических средств геофизических исследований строения и геодинамики литосферы, поисков полезных ископаемых и прогноза землетрясений" по плану работ ОИГГМ СО РАН на 1997-2000 гг.
"5.1.7 Теоретико-экспериментальное изучение неидеальных свойств геосред в связи с их микро- и мезоструктурой и сложным напряженным состоянием" № 01200101573 по плану работ ОИГГМ СО РАН на 2001-2003 годы.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 работы, в том числе две монография (в соавторстве).
Обоснование структуры работы. Основную часть работы предваряет обзорная глава, посвященная моделям поведения , применяемым при описании поведения геоматериалов, а также методов решения прямых задач сейсмики. Вторая глава целиком посвящена свойству гипоупругости и тем особенностям поведения, которые заложены в модели гипоупругой среды. Далее строится численный метод , позволяющий решать динамические задачи сейсмики и механики деформируемого твердого тела. Построение такого метода требует его тестирования, а введение в численный метод модели гипоупругости влечет за собой обязательное решение модельных задач. Этому посвящена третья глава. После всесторонней проверки работоспособности модели и алгоритма в целом вводится описание хрупкости среды как реализованная при построении расчетной сетки возможность разрушения в расчетной точке. На решении известных задач механики разрушения проверена работа алгоритма хрупкого разрушения. И, наконец, решено несколько исследовательских задач - о характере направленности источника сейсмических волн при единичном разрушении отрывом и сдвигом, о равномерном и неравномерном движении трещины, о напряженно-деформированном состоянии в теле гравитационного оползня и о сейсмической эмиссии с его подошвы.
Структура и объем работы.
Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы, состоящего из 207 наименований. Общий объем работы - 217 страниц машинописного текста.
Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель работы, перечислены новые результаты, раскрыта их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.
В первой главе рассмотрены методы и подходы, применяемые в решении прямых динамических задач упругости и сейсмики, проанализированы некоторые используемые модели сред.
Во второй главе вводится понятие гипоупругой среды и изучены некоторые ее свойства.
Необходимость введения модели гипоупругой среды обусловлена желанием более адекватно описать поведение геологической среды - то есть поведение сложно построенной существенно неоднородной среды. С другой стороны, постоянный интерес к воспроизведению (моделированию) динамических процессов, протекающих в таких средах, приводит исследователей к численным методам. Инкрементальный характер гипоупругого описания среды как нельзя более подходит именно для численного моделирования. А резко, на несколько порядков, возросшие за последнее десятилетие вычислительные мощности компьютеров позволяют от численного решения одномерных и двумерных задач перейти к моделированию пространственных процессов.
В сейсмологии настоятельная потребность в решении трехмерных задач вызвана, в первую очередь, необходимостью адекватно описывать динамические процессы в условиях критического состояния геосреды. Это процессы, протекающие в приразломных зонах, вблизи подошвы гравитационных оползней и т. п. Кроме изменения размерности решаемых задач изменяется и качественная сторона проблем. Так, стали появляться работы, в которых учитывается неоднородное начальное напряженное состояние среды, в которых Земля описывается как неупругое тело с использованием определяющих соотношений в инкрементальной форме ..
Необходимость учета реального блочного строения сильно неоднородной геосреды, подвергающейся конечной деформации понимается сегодня большинством геофизиков. При этом отмечается, что если на длительных геологических временах геологическая среда ведет себя как вязкое тело, то на временах, существенных для сейсмологии и сейсмики в целом она может быть описана как упруго-пластическая и упруго-хрупкая. Известно, что среда, которая ведет себя на уровне отдельных частиц как упруго-хрупкая, на макроуровне хорошо описывается соотношениями упруго-пластичности.
Поэтому для довольно точного решения многих задач геомеханики достаточно предположить, что деформации и напряжения конечны, а сама среда хрупкая. Автором диссертационной работы конечность деформаций и напряжений предлагается описывать моделью гипоупругой среды, а хрупкость реализовать на этапе построения численной схемы с помощью оригинальной методики.
Основные законы механики, записанные в виде уравнений в частных производных, устанавливают связь мгновенных значений величин в окрестности бесконечно малой частицы среды. Определяющие соотношения (законы поведения) иногда также формулируют в терминах производных, т.е. мгновенных значений - например, при описании вязкой жидкости. Закон Гука, широко используемый в эластодинамике, связывает напряжения с деформациями раз и навсегда (это, по сути, среда с особой "памятью исходной конфигурации"). В последние же десятилетия используется закон Гука в виде мгновенной связи между напряжениями и деформациями, т.е. в виде связи между скоростями напряжений и скоростями деформаций (см. раздел 1.2.). Вся система уравнений тогда становится, так сказать, однотипной, посредством дифференциальных уравнений в частных производных описывающей мгновенное поведение частиц среды, а сама среда называется гипоупругой.
Вводя понятие скорости напряжений, то есть производной от компонент тензора напряжений, нужно учитывать тот факт, что изменение напряжений должно быть вызвано некоторым изменением деформации (напряжения в упругом теле- это упругая реакция на деформирование). Легко видеть, что при деформировании среды не все изменения напряжений будут упругими реакциями. Так, если среда, в которой задано тензорное поле, вращается как абсолютно твердое тело, то полные производные по времени от компонент тензора будут меняться в неподвижной системе отсчета, в то время как в самой среде компоненты не меняются. Поэтому вычисленный с помощью полных производных тензор скоростей напряжений не является объективным тензором.
Поэтому в определяющих соотношениях гипоупругой среды используется коротационная производная Яуманна, или производная относительно собственного вращения.
Приведем следующее определение гипоупругой среды: среда является гипоупругой, если в каждой точке и в любой момент времени тензор скоростей изменений напряжений есть линейная функция тензора скоростей деформаций, причём эта функция может, в свою очередь, зависеть от тензора напряжений как от параметра. В диссертационной работе всюду рассмотрен простейший случай гипоупругости - когда тензор упругих модулей от напряжений не зависит.
Скорость изменения тензора напряжения может задаваться —»—» различным образом. Так, если задано поле скоростей V(r,t) и поле напряжений aik(r,t), то можно записать следующие выражения для обычной полной производной изменения компонент сгц. относительно пространственной системы координат.
doik _ daik Ьаік dt dt дхі "
где в правой части первый член - локальная часть (локальная производная), а второй член - конвективная часть.
Определённая таким образом скорость изменения напряжений будет зависеть от собственного вращения элемента среды и не является поэтому объективной (материальной) величиной. Для построения закона поведения необходимо использовать производную тензора, которая будет обращаться в нуль при вращении тела как твёрдого относительно реальной системы отсчёта. Для этого Яуманном было введено понятие производной относительно собственного вращения и инкрементальный закон поведения гипоупругой среды может быть записан так:
v и=сик[и,
где
v dov
° и = —— - - производная Яуманна,
QJm - тензор скоростей вращений (спин-тензор),
dor Эаг Эог
1J = IJ + IJ V. - полная производная по времени,
dt at Эхк
1 3v. ЭУ, ,
... = ( + L) - тензор скоростей деформации.
1 2 dxj дх,
a
Полная система динамических уравнений для модели гипоупругой среды выглядит следующим образом:
Уравнения движения (первый закон Коши):
Эс, -- - = p(X,Y,Z)uit 1=1,2,3;
dXj
Определяющие соотношения для гипоупругой среды:
V °" У = сщ и»
тензор скоростей деформаций
ij = о(а + а } 2 dXj dX;
Здесь и - смещения, v - скорость смещений.
Эта система замкнута и при дополнении ее соответствующими граничными и начальными условиями может быть сформулирована соответствующая краевая задача.
В работе была проведена линеаризация системы и построен тензор Кристоффеля.
При упрощающих допущениях, что в исходной конфигурации в каждой точке среды направления главных осей одинаковы (т.н. однородное напряженное состояние) и при совмещении этих осей с координатными компоненты тензора Кристоффеля в изотропной среде Ф имеют вид
Ги = (А, + ЦМ2 + ц + eijkTj2mk2,
Гц =(А. + ц + єиктк)тіші,при i j.
Здесь X, [і - упругие модули в изотропной среде (константы Лямэ), Sj-k - псевдотензор Леви-Чивиты, m - компоненты единичного вектора волновой нормали, тк - главные касательные напряжения.
Далее показано, что максимальное расщепление поперечных волн по
Щ
v скоростям вдоль конкретной оси будет иметь место вдоль 2 главной оси ,
Av р = т, + т3 = -i2.
А максимальная анизотропия получается при сравнении скоростей поперечных волн вдоль 1 и 3 осей:
v xp-v2zp = 2x2.
Анализируется возможная неизотропность напряженного состояния ,0 Земли. На основе полученных формул для поперечных волн проводится оценка вероятного расщепления поперечных волн в Земле за счет наличия в ней скалывающих напряжений.
Третья глава посвящена изложению основных принципов построения конечно-разностной схемы для численного моделирования пространственных динамических задач на основе модели гипоупругой среды.
Кроме того, в ней содержится решение и обсуждение тестовых и модельных задач.
Прежде всего для проверки правильности работы алгоритма и программы была решена задача Лэмба. В целом волновая картина, полученная при расчете, хорошо соответствует теоретическим результатам решения задачи Лэмба об излучении упругих волн при вертикальном воздействии на поверхности однородного изотропного полупространства.
Чтобы убедиться, что расчетные результаты соответствуют и опытным данным, проведено сопоставление расчетных данных с результатами физического моделирования, выполненного Б.А.Бобровым и И.С.Чичининым (ИГФ СО РАН). Ими в лабораторных условиях изучались особенности волнового поля в ближней зоне импульсного ультразвукового источника. Автором диссертационной работы проведено сравнение результатов физического моделирования и расчетных сейсмограмм. Они находятся в весьма неплохом соответствии друг с другом.
Далее была рассмотрена модельная задача о распространении упругих волн в трансверсально-изотропном полупространстве.
В результате расчета для кристалла цинка получены следующие волны: квазипродольная, квазипоперечная, коническая и волна Рэлея. Приводятся зоны области рефракции (области неоднозначности волновых поверхностей), лучевые поверхности. Сравнение проводится с аналитическими волновыми поверхностями для кристалла цинка.
Делается вывод о том, что сравнение теоретических лучевых поверхностей и результатов численного моделирования говорит о применимости модели гипоупругой среды и численного алгоритма для решения прямых волновых задач сейсмики для различных моделей сред.
Во всех перечисленных задачах влияние дополнительных членов в производной Яуманна невелико и это не дает оснований надеяться на правильную работу алгоритма в этой части. Поэтому для тестирования описания отличительных особенностей модели гипоупругой среды в заключение третьей главы приводится результат численной оценки расщепления поперечных волн вследствие неизотропного начального напряженного состояния среды.
Рассмотрена в этой связи модель Земли Б2 Буллена. Для глубины около 250 км основные для нас параметры этой модели следующие:
Плотность 3510 кг/м", скорость распространения продольных волн VP=S400 м/с, скорость распространения поперечных волн (среда считается изотропной) Vs = 4670 м/с, давление (гидростатическое) р=0.09 10п н/м2. Допустим что среда выдерживает следующие значения главных напряжений 0 =-0.16 10п н/м2 , о2-Оъ= -0.0589 10п н/м2 . Главная (первая) ось совпадает с вертикальной осью, с направлением максимального сжатия, сжимающие напряжения отрицательны.
С такими начальными данными был проведен следующий расчет. Имеется модельная среда, по константам соответствующая модели Б2. К верхней правой грани этой модельной среды приложена нагрузка (импульс Рикера) так, что вдоль оси 2 бежит продольная волна, порождая в плоскости 2-3 все типы волн, а вдоль оси 3 бежит плоская SV волна.
На основе анализа векторных полей скоростей смещений, построенных для двух моделей сред - с начальными напряжениями и без, оценено расщепление поперечных волн. Оно хорошо согласуется с аналитическими результатами.
Решение всей совокупности модельных задач показывает, что модель гипоупругой среды и численная схема с высокой степенью адекватности описывают волновые сейсмические поля с точки зрения их распространения. Остальные же главы посвящены вопросам излучения этих волн, генерации их при деформировании и разрушении геоматериалов.
В четвертой главе излагается методология описания разрушения первоначально сплошной среды при численном моделировании.
Автором проанализированы различные подходы к описанию разрушения и предложена методология, позволяющая при численной реализации краевых динамических задач гипоупругости заложить алгоритмы для описания множественного трещинообразования вплоть до дезинтеграции среды. При этом удается численно моделировать концентрацию напряжений при деформировании и излучение упругих волн при любом акте разрушения.
В этой главе рассмотрены только задачи, связанные с нерастущими трещинами отрыва и сдвига. Это, собственно, не трещины, а надрезы, изначально имеющиеся в теле. Нагружение происходит либо нормально к линии трещины (трещина отрыва), либо тангенциально (трещина сдвига). Движение трещин (разрушение) в этом разделе не рассматривается. Однако в среде происходят волновые процессы, вызванные нагружением и цель главы - описать как саму авторскую методологию моделирования трещинообразования, так и рассмотреть проявление трещин при деформировании и распространении волн.
Суть авторской методологии в следующем.
При решении динамических задач используется уже приведенная система уравнений. При их выводе обычно рассматривается элементарный объем (куб или параллелепипед) и записываются условия равновесия этого объема. Далее, в классической теории упругости предполагается, что соседствующие друг с другом элементарные объемы не свободны в своих движениях и видоизменениях, то есть, что деформации совместны.
Нам же для моделирования разрушения среды необходимо допустить относительное движение частиц, относительное их скольжение, отделение одной частицы от другой вплоть до полной дезинтеграции исходной сплошной среды. Это достигается при замене динамических уравнений конечно-разностными соотношениями. А именно, предполагается, что вершины элементарного объема (расчетной ячейки) имеют свои координаты, уникальные для каждой ячейки. Для наглядности будем далее рассматривать двумерный случай (случай плоской деформации). В двумерном случае будем считать ячейки прямоугольниками. Четыре таких ячейки могут соприкасаться вершинами в одной точке. И, первоначально, когда среда сплошная, эти четыре вершины сливаются в одну.
Иначе говоря, когда мы разбиваем расчетную область на ячейки, мы проводим линии, параллельные координатным осям, и каждый узел образуется как минимум двумя такими линиями. Стало быть, каждый узел мы проходим дважды - параллельно одной координате, затем параллельно другой. Линии имеют бесконечно маленькую ширину, но если мы представим, что мы сделали пропил очень тонкой пилой - вся расчетная сетка рассыплется на элементарные ячейки.
Итак, мысленно мы считаем расчетную область состоящей из отдельных ячеек, временно склеенных. Но, если в силу каких-либо условий между соседними ячейками происходит разрыв или сдвиг, то скорости смещений по уравнениям движения рассчитываются для каждой ячейки отдельно.
Предположим теперь, что при аппроксимации уравнений движения координаты и скорости (ускорения) определяются в узлах расчетной сетки. Предположим далее для простоты, что в расчетах используются обычные прямоугольные в начальный момент времени ячейки. Тогда в каждом внутреннем расчетном узле сходятся четыре угла соседних ячеек. Будем такой узел мысленно считать состоящим из 4 точек в плоском случае и из 8 точек - в пространственом. Пока тело сплошное, между этими точками имеются 4 (8) связи и четыре точки сливаются в одну (т.е. для сплошных участков тела эти наборы совпадают). Если разрывающее напряжение в любой связи достигло предела или выполнился иной критерий разрушения, связь рвется. В этом случае для четырех точек разрушенного узла записываются граничные условия с учетом вновь образованных свободных поверхностей. Для точек, соседних к берегам трещины, будут иначе рассчитываться как компоненты скорости, так и компоненты тензора скоростей деформаций. При таком описании каждый расчетный узел состоит из отдельных лагранжевых точек, имеющих при разрушении различные траектории, причем сохраняется взаимнооднозначное соответствие между точками к любых конфигурациях..
Построенную таким образом вычислительную модель мы называем моделью гипоупругой хрупкой среды.
Далее в 4 главе изучено влияния начальных трещин (надрезов) на напряженно-деформированное состояние при отрыве и сдвиге. Получена концентрация напряжений при деформировании среды с имеющимся надрезом, проведено сравнение с результатами, полученными методом фотоупругости. Показано, что вершина трещины отрыва является энергетическим стоком, что имеет теоретическое подтверждение. Показана адекватность применения изложенной методики при решении задач для тел с трещинами.
Последняя, пятая глава посвящена применению модели гипоупругой хрупкой среды и разработанному на ее основе численному методу для решения конкретных задач о деформировании геоматериалов, разрушении их и излучении сейсмических волн. Указывается, что при численном моделировании деформирования горных пород нужно адекватно описывать особенности процесса разрушения. Для этого критерий разрушения должен, прежде всего, учитывать временной характер процесса аккомодации, должен включать в себя параметры, отвечающие за предварительную стадию - накопление микроповреждений, и параметры, относящиеся к потере прочности на макроуровне.
Автор при этом учитывает, что в последнее время, бесспорно, признается необходимость пространственно-временного подхода к процессу разрушения.
Нами используется критерий предложенный В.А.Гридневой с коллегами. Суть его в следующем. Пусть (7 (t) - значение той компоненты тензора напряжений, которая определяет разрушение в интересующем нас направлении. Тогда критерий Гридневой запишется в виде:
с Р Р
J(cr(0-c70) dt=T0(GT-(T0) .
о
Здесь 0"о - напряжение, при превышении которого в среде происходят микроразрушения; 7(t) - текущее значение одной из компонент тензора напряжений.; (Тт - теоретическая прочность материала; Q- P подбираемые параметры. Сам интеграл вычисляется только для тех значений c(t)t которые превышают сг0. Для улучшения точности и придания естественного физического смысла целесообразно подсчитывать интеграл в нескольких расчетных ячейках, окружающих данную ячейку.
Изучен характер зависимости скорости роста трещины от параметров, входящих в формулу для критерия; скорость роста трещины меняется в весьма широком диапазоне: от 100 м/с до 1172 м/с.
При выполнении критерия связи, которыми сцеплены соседние ячейки, рвутся. Компонента напряжения, проверяемая в критерии, определяет, какие из четырех связей будут разорваны. Разрыв связей доставляет приращение свободной поверхности (см раздел 4.2).
Далее в пятой главе изучены сейсмические волновые поля, излучаемые при разрушении различного характера - от элементарных скачков до относительно длительного процесса разрушения. Все эти задачи решаются на основе модели гипоупругой хрупкой среды и использованием описанного выше критерия.
Прежде всего, исследованы акты единичных скачков трещин отрыва и сдвига. Построены функции направленности этих источников.
Рассмотрен рост трещины отрыва при постоянной нагрузке. На основе анализа годографов излучаемых волн показано, что рост происходит почти равномерно.
Решена задача о неравномерном распространении трещины отрыва. Показано, при каких условиях этот сценарий может быть реализован на практике. Проводится анализ полевой сейсмограммы, объяснить которую становится возможным по результатам численного моделирования.
Проведено численное моделирование активизации гравитационного оползня. Оползень был представлен в виде прямоугольной призмы. Нижняя грань моделирует формирующуюся поверхность скольжения. Для имитации ослабленной зоны предполагается, что в начальный момент времени половина ячеек на нижней грани может свободно без трения скользить в направлении оси Y - оси направления скатывающей силы, остальные ячейки жестко закреплены. Координаты закрепленных ячеек задаются случайным образом. Такое граничное условие в совокупности с условием на верхней грани приводит к концентрации напряжений у нижней грани.
При расчетах принимается, что по достижении в жестко закрепленной ячейке некоторого порогового (критического) значения напряжения (компоненты а тензора напряжений), она получает возможность свободно двигаться в направлении У, то есть возникает трещина сдвига. Используется пространственно-временной критерий разрушения
Численное моделирование показало, что нагружение верхней грани приводит к концентрации напряжений на нижней грани. По достижении в некоторой расчетной ячейке критического напряжения происходит образование трещины сдвига. В свою очередь, образование трещин сдвига влечет за собой высвобождение упругой энергии, возникают своего рода источники сейсмических волн, случайным образом распределенные по подошве модели.
Для характерной точки на поверхности призмы были построены поляризационные кривые. Характер поляризационных кривых можно сравнить с полевыми наблюдениями. Так, Ю.И.Колесниковым с коллегами проводились наблюдения акустической эмиссии на оползне в долине реки Суусамыр (Северный Тянь-Шань, Киргизия). Ими показано, что в точках наблюдения, находящихся на поверхности средней части оползня (что исключает краевые эффекты), в основном, характерной является малая вертикальная составляющая колебаний и их субгоризонтальная поляризация с ориентацией по основному склону. Это очень хорошо подтверждается полученными в результате расчета данными.
Кроме того, было выполнено моделирование концентрации напряжений в теле оползня для достаточно реалистичной модели. Показано (и это подтверждено физическим моделированием и натурными наблюдениями), что для неустойчивого оползня область растягивающих напряжений смещается к подножию оползневого тела а около верхней бровки появляется проседание пород.
Итак, расчеты подобного рода могут лежать в основе экспериментальных методик, направленных на обнаружение геологических тел, находящихся в состоянии активного деформирования и разрушения с излучением сейсмических волн. А такое поведение геологических тел часто предшествует перерастанию медленного разрушения в катастрофически быстрое.
Некоторые модели сред, используемые в сейсмике
Соотнесение свойств волн, полученных при решении задачи Лэмба для изотропной гуковской среды, со свойствами наблюдаемых сигналов показало, что необходимы теоретические исследования волновых полей в средах с более сложным поведением. Первые шаги в этом направлении были сделаны, когда появилось осознание анизотропии физических свойств реальных сред.
Впервые анализ анизотропных скоростей (и зависимость их от направлений) продольных и поперечных волн проведён Кристоффелем (изложение одной из его работ 1877 года можно найти в книге А. Лява [83]). Однако задолго до этого, в 1828 году, Пуассон определил, что в изотропном твердом теле существует два типа волн; Стоке только в 1849 году показал, что волны Пуассона есть волны равнообъемного искажения. Коши (1830) и Грин (1839) впервые исследовали распространение плоских волн в кристаллической среде. После Кристоффеля общим анализом трёх типов волн (одной продольной и двух поперечных) занимался лорд Кельвин. Решение простого волнового уравнения (вида Э2ср/Эг2 =с2У2ф) в простейшем виде нашел Пуассон, а в более общей форме - Кирхгофф.
Привычный нам вид матрица упругих модулей получила благодаря работам Фойгхта. Он показал, что в самом общем случае имеется 21 упругая постоянная. Важнейшую роль в выводе 32 кристаллических систем сыграл труд А.В. Гадолина [100] опубликованный в 1867 и изданный в наши дни. Для каждого класса упругой симметрии тензор Кристоффеля был получен Ф.И. Фёдоровым [101], им же была доказана положительность собственных значений этого тензора. Будаев [102] сформулировал на основе анализа корней уравнения Кристоффеля используемую классификацию анизотропных сред. Эффекты высших порядков в акустике кристаллов описаны в [103, 104, 105]. Для того, чтобы достаточно адекватно описывать сейсмические волны в Земле значительные усилия были приложены в направлении создания так называемых эффективных моделей слоисто-неоднородных и трещиноватых сред. Так, удается описать трещиноватую среду эквивалентной ей в некотором смысле анизотропной средой [106]. Эту задачу иногда удается решить и для слоистых периодических структур [107]. Для класса сред, соответствующих в некотором смысле слоистому осадочному чехлу, Г.И. Петрашень решил ряд задач аналитически [9]. Для более сложных сред численные методы были предложены в [8, 10, 36]. Бакулину и Молоткову [24] удалось построить эффективную модель пористой среды, которая оказалась эквивалентна трансверсально-изотропной (гексагональной). Модель анизотропной среды, распространение в такой среде упругих сигналов и некоторые аспекты приема сигналов и их обработки рассмотрены в монографии [108].
Кроме сред, анизотропных изначально и сред, которые мы можем принять за анизотропные в некотором смысле (в случае упомянутых выше эффективных моделей) большой интерес представляют среды, первоначально изотропные, но которые затем под действием напряжения становятся анизотропными. Впервые подобную задачу - об упругих волнах в теле с начальными напряжениями - решил, по-видимому, М.Био [109].
Здесь необходимо отметить, что практический интерес имеет изучение изменения упругих свойств гранулированных и пористых сред, под действием напряжений. Здесь многие работы были выполнены на основе теории Герца, то есть, с учетом лишь нормальных компонент взаимодействия (сферических) гранул. Миндлин [ПО] был одним из первых, кто в изучении гранулированных сред сделал шаг вперед после модели Герца и учел и нормальные, и тангенциальные компоненты сил взаимодействия между сферами гранул. Био в последствии занимался, в основном, именно этими задачами и известная модель Био-Френкеля имеет большую известность, чем работы Био по однородным средам с начальными напряжениями [111]. И все же следует подчеркнуть, что первая модель пористой среды, по которой можно было бы оценить скорость распространения упругих волн была предложена Я.И. Френкелем ещё в 1944 году [112]. Им были рассмотрены: статика сухой почвы, статика влажной почвы; получены уравнения движения почвы при учете сил трения между твёрдой и жидкой фазой; и, наконец, решены (доведены до уравнений) задачи распространения продольных и поперечных колебаний. Итак, в этой модели учтено относительное движение жидкости и скелета. Аналогичную модель позже предложил Био для низкочастотного [113] и высокочастотного [114] случаев. Теория Био применима для мегагерцового и, частично для килогерцового диапазонов [115, 116] (естественно, эти оценки носят относительный характер, и могут меняться в зависимости от соотношения "характерный размер поры" / "длина волны") . Для диапазона частот, используемых в сейсмологии, применима несколько более простая (и требующая меньшего числа констант) теория Гассмана [117]. Заметим, что теория Гассмана, также, как и все "доминдлиновские" работы, основана на теории Герца. Для теории Гассмана существенно то, что нужно из каких-либо соображений знать модуль всестороннего сжатия сухого скелета. Например, можно получать его по лабораторным измерениям [118]. Если эта константа известна, то формулы Гассмана сразу же дают скорости упругих волн для того же скелета, но насыщенного любым флюидом (так называемая проблема замещения флюида). Однако с введением понятия "сжимаемости порового пространства" [119] стали возможными иные способы решения проблемы замещения флюида [120, 121, 122].
Теория Био-Френкеля обогащается в последнее время дополнительными соотношениями и физическими представлениями. Так, создана комбинированная теория BISQ, сочетающая в себе учёт "фильтрационного" движения жидкости с реактивной поперечной составляющей течения (сквайрт) [123, 124]. Второе предположение основано на модели "squirt-flow", описывающей выдавливание вбок или разбрызгивание флюида из микротрещиноватой или пористой среды при нормальном падении продольной волны [125, 126]. Это делает возможным более точно учесть затухание упругих волн в пористой среде [127], см. также [128, 129]. Значительную роль играет анизотропия упругих свойств, вызванная в среднем не хаотичным расположением пор и микротрещин в некоторых средах. В этих случаях такие пористые (или слоистые с заполнением флюидом, или трещиноватые) среды можно заменять эффективными анизотропными моделями [130, 131, 132, 133]. Нелинейные эффекты при распространении в пористых насыщенных средах вибрационных колебаний изучались в [134]. Там показана возможность выделения геологического пласта - коллектора, содержащего газ (газоконденсат) по так называемому нелинейному параметру.
Определение гипоупругой среды. Полная система уравнений механики деформируемого гипоупругого тела
Необходимость введения модели гипоупругой среды обусловлена желанием более адекватно описать поведение геологической среды - то есть поведение сложно построенной существенно неоднородной среды. Инкрементальный характер гипоупругого описания среды как нельзя более подходит для численного моделирования и позволяет изучать конечное деформирование среды.
Поведение геологической среды, как в естественных условиях, так и при искусственных воздействиях - это поведение сложно построенной существенно неоднородной среды. Постоянный интерес к воспроизведению (моделированию) динамических процессов, протекающих в таких средах, приводит исследователей к численным методам. А резко, на несколько порядков, возросшие за последнее десятилетие вычислительные мощности компьютеров позволяют от численного решения одномерных и двумерных задач перейти к моделированию пространственных процессов. В сейсмологии настоятельная потребность в решении трехмерных задач вызвана, в первую очередь, необходимостью адекватно описывать динамические процессы в условиях критического состояния геосреды. Это процессы, протекающие в приразломных зонах, вблизи подошвы гравитационных оползней и т. п. Кроме изменения размерности решаемых задач изменяется и качественная сторона проблем. Так, стали появляться работы, в которых учитывается неоднородное начальное напряженное состояние среды [164], в которых Земля описывается как неупругое тело с использованием определяющих соотношений в инкрементальной форме . [165].
Необходимость учета реального блочного строения сильно неоднородной геосреды, подвергающейся конечной деформации понимается сегодня большинством геофизиков [166]. При этом отмечается, что если на длительных геологических временах геологическая среда ведет себя как вязкое тело, то на временах, существенных для сейсмологии и сейсмики в целом она может быть описана как упруго-пластическая и упруго-хрупкая. Говоря об упруго-хрупком поведении геоматериалов, нужно заметить следующее. В работе [167] на примере бетона и гипса показано, что среда, которая ведет себя на уровне отдельных частиц как упруго-хрупкая, на макроуровне хорошо описывается соотношениями упруго-пластичности.
Итак, для довольно точного решения многих задач геомеханики достаточно предположить, что деформации и напряжения конечны, а сама среда хрупкая. Автором диссертационной работы конечность деформаций и напряжений предлагается описывать моделью гипоупругои среды, а хрупкость реализовать на этапе построения численной схемы оригинальным методом, предложенным еще в 1983 году [168].
Сначала будет дано определение гипоупругои среды и выписана полная система уравнений для нее. Затем для упрощенного случая будут получены компоненты тензора Кристоффеля. Будут приведены некоторые оценки расщепления поперечных волн для Земли .
Основные законы механики, записанные в виде уравнений в частных производных, устанавливают связь мгновенных значений величин в окрестности бесконечно малой частицы среды. Определяющие соотношения (законы поведения) иногда также формулируют в терминах производных, т.е. мгновенных значений - например, при описании вязкой жидкости. Закон Гука, широко используемый в эластодинамике, связывает напряжения с деформациями раз и навсегда (это, по сути, среда с особой "памятью исходной конфигурации"). В последние же десятилетия используется закон Гука в виде мгновенной связи между напряжениями и деформациями, т.е. в виде связи между скоростями напряжений и скоростями деформаций (см. раздел 1.2.). Вся система уравнений тогда становится, так сказать, однотипной, посредством дифференциальных уравнений в частных производных описывающей мгновенное поведение частиц среды, а сама среда называется гипоупругой.
Вводя понятие скорости напряжений, то есть производной от компонент тензора напряжений, нужно учитывать тот факт, что изменение напряжений должно быть вызвано некоторым изменением деформации (напряжения в упругом теле- это упругая реакция на деформирование). Легко видеть, что при деформировании среды не все изменения напряжений будут упругими реакциями. Так, если среда, в которой задано тензорное поле, вращается как абсолютно твердое тело, то полные производные по времени от компонент тензора будут меняться в неподвижной системе отсчета, в то время как в самой среде компоненты не меняются. Поэтому вычисленный с помощью полных производных тензор скоростей напряжений не является объективным тензором. Поэтому в определяющих соотношениях гипоупругой среды используется коротационная производная Яуманна [138, 139], или производная относительно собственного вращения.
В работе[139] даётся следующее определение гипоупругой среды: среда является гипоупругой, если в каждой точке и в любой момент времени тензор скоростей изменений напряжений есть линейная функция тензора скоростей деформаций, причём эта функция может, в свою очередь, зависеть от тензора напряжений как от параметра. Ниже всюду мы будем рассматривать простейший случай гипоупругости - когда тензор упругих модулей от напряжений не зависит.
Способ описания хрупкости для гипоупругой среды
В изотропной среде лучевые и фазовые скорости совпадают -фронты (волновые поверхности) представляют собой сферы, и нормаль в любой точке фронта коллинеарна лучу, проведенному к этой точке из места излучения.
В анизотропной среде в общем случае аналитические выражения, описывающие волновые поверхности, получить не удается, расчет их нетривиален, этому вопросу посвящены многочисленные публикации. В нашем же случае, при расчете прямой задачи сквозным конечно-разностным методом, волновые поверхности (часто их называют фронтами) получаются естественным образом в ходе расчета.
Перейдем непосредственно к результатам расчетов, опубликованным автором в [180]. Были взяты следующие константы цинка Zn: Сц=16.1, Сзз=6.1, С44=3.83, Сіз=5.01, (все константы, следуя [104], даны в-1011 дин-см"2 ), и плотность р=7.14 г/см3. Было рассчитано волновое поле от сосредоточенного импульсного источника, действующего на поверхности модельной среды с константами кристалла цинка. Исходный сигнал - импульс Рикера (формула (3.13). На рис.3.13. приводится численный снимок, составленный из векторов смещений u(x,z), изображенных в каждой расчетной точке. Чтобы лучше понять особенности волновой картины для анизотропной среды, необходимо сравнивать рисунок 3.13 с рисунком 3.10 для изотропной среды
В изотропной среде выделяются, как уже говорилось, продольная волна, поперечная волна, волна Рэлея и волна, соответствующая в пространственном случае конической волне. Если мысленно провести лучи из точки приложения нагрузки. То хорошо видно, что в тех точках, в которых лучи пересекают фронты продольной и поперечной волн, нормаль, восстановленная к фронту, совпадет с направлением луча. Кроме того, можно видеть, что продольная волна всюду поляризована по лучу, а поперечная почти всюду - поперек луча. Фронты (волновые поверхности в пространственном случае, и линии в нашем случае) - дуги окружностей.
В результате расчета получены следующие волны: квазипродольная, квазипоперечная, коническая и волна Рэлея. Две последние волны появились, как и в случае с изотропной средой, из-за решения задачи в полупространстве. Дисперсионное уравнение корней для таких волн не содержит, так как составлено без учета граничных условий. Если уравнения Кристоффеля дополнить условиями на границах и задать функцию источника, в результирующие формулы для компонент смещений будет входить так называемый знаменатель Рэлея. При расчетах полного волнового поля по таким формулам получаются и волны Рэлея, и конические волны.
На рис. 3.13. цифрами 3 указаны области рефракции - это области неоднозначности волновых поверхностей. Рассмотрим луч, опущенный из точки излучения вертикально вниз (0 = 0). Двигаясь по лучу, мы встретим квазипоперечные колебания, распространяющиеся с разными скоростями, затем - продольные колебания (в этом направлении квазипродольная волна является чисто продольной). Видно, что, если восстановить нормали из точек пересечения вертикального луча с фронтами, то для продольной волны нормаль коллинеарна лучу, а для двух ветвей квазипоперечной волны проходит под значительным углом к вертикали (около 30). Если обратиться к рис. 3.12., можно видеть, что углам наклона 60, 120, 240, 300, то есть отклоняющимся от вертикали на 30, как раз соответствуют границы вогнутостей. Вогнутость поверхности обратных скоростей соответствует рефракции на фронтах. На рис. 3.12. видно также, что у квазипродольной волны областей рефракции нет.
Для второго луча, отмеченного на рис. 3.13., показаны нормали к фронтам (обозначены цифрами 2). Ни для одной волны нормали не коллинеарны лучам. Хорошо видно также, что смещения в самой быстрой волне перестали быть продольными, и станут таковыми опять лишь для горизонтальных лучей. Для медленных волн вблизи горизонтальных лучей картина осложняется появлением конической и рэлеевскои волн, что не позволяет строго выделить направление смещения частиц.
Итак, сравнение теоретических лучевых поверхностей и результатов численного моделирования говорит о применимости модели гипоупругой среды и численного алгоритма для решения прямых задач сейсмики для различных моделей сред.
В предыдущих модельных задачах собственно одно из основных свойств гипоупругой среды - расщепление в ней поперечных волн - не было выявлено. А в главе 2 аналитически доказана возможность такого расщепления (или вынужденной анизотропии). Это вызвано тем, что для рассмотренных уже модельных задач напряжения в среде невелики, и добавочные члены производной Яуманна имеют порядок 10"6. Рассмотрим в этой связи модель Земли Б2 (см. Буллен [ 170 ]). Для глубины около 250 км основные для нас параметры этой модели следующие:
Излучение сейсмических волн при равномерном и неравномерном распространении трещин в геоматериалах
Из формул (5.4) и (5.5) можно сделать следующий вывод. При а « b максимальные напряжения могут превысить предел прочности. Это и происходит на практике при деформировании реальных неоднородных сред.
А именно, в начале неупругого поведения микроконцентраторы, характеризующиеся исключительно близкодействием, вызывают зарождение и движение дислокаций (и, возможно, других дефектов) в локальных зонах кристаллических решеток материалов, составляющих неоднородную среду. Плотность дислокаций и других дефектов возрастает, что ведет, вообще говоря, к снижению предела сдвиговой прочности в значительных (протяженных) областях. Концентрация напряжений, которая ранее не была критической, становится таковой. Это делает возможным реализацию дефектов мезоуровня: дисклинаций, полосовых структур и т.п. Они зарождаются на мезоконцентраторах напряжений - тех неоднородностях, которые значительно больше дефектов микроуровня, и которые являются характерными для внутренней структуры данной неоднородной среды. Сразу оговоримся, что это понятие относительное в достаточной степени. Однако для каждого реального процесса можно дать однозначную рекомендацию, что отнести к мезоуровню.
Это можно сделать благодаря фундаментальному утверждению, впервые теоретически и экспериментально обоснованному В.Е.Паниным (см, например, [193]), что носителем пластической деформации должен быть объемный структурный элемент, обеспечивающий не только трансляционную (как дислокации), но и поворотную моды деформации. Это могут быть субзерна, зерна материала, более протяженные части материала. Еще раз подчеркнем, что, с позиций мезомеханики, важно определиться с масштабными уровнями процесса деформирования. Они определены средой, граничными условиями и характерным временем. Для задачи взаимодействия литосферных плит мезоуровнем могут оказаться блоки с характерным размером 200м, для изучения пластического течения поликристаллита свинца носителями трансляционно-поворотного вихря могут стать зерна размером порядка сотен мкм.
Наконец, мезодефекты начинают взаимодействовать друг с другом, в определенном месте может возникнуть макроконцентратор напряжений, увеличивающий напряжения по формулам (5.4) - (5.5) ("макро" здесь -относительное понятие!!). Основная диссипация энергии начинает происходить в локальной макрообласти. Зачастую при этом имеет место трансляционно-ротационный вихрь макроуровня. Если в среде достаточно диссипативных механизмов, чтобы обеспечить пластическое течение согласно этому вихрю, то материал среды останется сплошным. (Здесь и "сплошным", и "пластичность" - понятия, тесно связанные с масштабом. На микроуровне сплошности уже почти нет - есть множество дефектов, микротрещин, дилокаций). В этом случае говорят, что материал обладает хорошими аккомодационными свойствами.
Итак, разрушение (макроразрушение) (заключительный этап развития течения на микро- и мезоуровнях) происходит после того, как материал исчерпал свои аккомодационные возможности.
При численном моделировании деформирования горных пород нужно адекватно описывать процесс разрушения. Для этого критерий разрушения должен, прежде всего, учитывать временной характер процесса аккомодации, должен включать в себя параметры, отвечающие за предварительную стадию - накопление микроповреждений, и параметры, относящиеся к потере прочности на макроуровне. Что же касается учета пластичности среды, то необходимо отметить следующее.
В работе [167] моделировался процесс разрушения гипса и бетона. Принималась случайная модель повреждения элементов среды, поведение считалось упруго-хрупким. В среде при деформировании происходило множественное трещинообразование. Анализировалось осредненное приложенное напряжение и осредненная по всей среде деформация, при этом учитывалось, что микроразрушение - это всегда увеличение локального размера, микрообъема. На рис. 5.1 приведены полученные кривые (7—Є для трех значений параметра повреждаемости. Итак, хорошо видно, что хрупкое разрушение, происходящее во многих локальных частицах среды, в сумме дает такую же кривую а-є, как для пластического течения. Поэтому автор диссертационной работы считает оправданным применение модели гипоупругой хрупкой среды для описания деформирования и разрушения горных пород, во многом весьма близких по поведению к гипсу и бетону.
Исходя из изложенного выше, материал среды при деформировании будет описываться определяющими соотношениями гипоупругой среды, и в процессе численного моделирования будет проверяться временной критерий разрушения, учитывающий микроповреждения. Предполагается, что перехода в область пластичности нет. Остановимся подробнее на используемом в настоящей работе критерии разрушения.
В последнее время, бесспорно, признается необходимость пространственно-временного подхода к процессу разрушения. Так, в работе [194] обобщены основные подходы к описанию разрушения, закрепившееся к настоящему времени, приведены критерии разрушения, и делается вывод, что в общем случае неоднородного динамического процесса разрушения необходимо применять следующий структурно -временной критерий:
