Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели эрозионного процесса 16
1.1. Аналитические модели процессов эрозии почв и их реализация 23
1.1.1. Соотношение баланса и уравнение непрерывности 24
1.1.2. Процессы переноса в потоках и уравнение диффузии 26
1.1.3. Уравнение баланса 29
1.2. Численная реализация диффузионных моделей. Метод конечных разностей 34
1.2.1. Сеточная аппроксимация 35
1.2.2. Различные модели сеточных приближений для краевых задач 39
1.3. Компьютерная реализация численных моделей 43
1.3.1. Вычислительные эксперименты с использованием математических моделей эрозии 44
Глава 2 . Математическое моделирование склоновых процессов 56
2.1. Постановка задачи 56
2.2. Моделирование на неподвижных границах 59
2.3. Физический аспект математической модели эрозии 65
2.4. Модифицированная модель эрозии. Учёт выпадения осадков 74
2.5. Прямые методы математического моделирования в экологии почв и их реализация на ЭВМ 86
2.6. Применение прямых вариационных методов для решения уравнения диффузии 100
Глава 3. Компьютерное моделирование поверхности водосборов в целях трассирования противоэрозионных контуров 111
3.1. Технология обработки топографических карт 115
3.2. Оцифровка карты и задача оптимального размещения противоэрозонных рубежей 117
3.3. Практическая реализация 119
3.4. Сканирование изображения топокарты 121
3.5. Фильтрование и удаление шумов 122
3.6. Оцифровка и векторизация 123
3.7. Построение Зс1-поверхности 123
3.8. Определение линий тока и параметров склонов. Триангуляция водосборов для трассирования линий тока 124
3.9. Автоматизированное проектирование противоэрозионных меро- 133 приятии
3.10. Типовое проектирование адаптивно-ландшафтного обустройства 134
Глава 4 . Математическое моделирование динамических переходов в экосистемах 142
4.1. Аналитические модели дефляционных процессов 149
4.1.1. Дифференциальная модель для двух взаимодействующих элементов экосистемы 149
4.1.2. Дифференциальная модель для четырёх взаимодействующих элементов экосистемы 153
4.2. Анализ экстремальных точек поведения экосистемы при аналитическом решении ОДУ 157
4.3. Численное моделирование процессов дефляции 159
4.3.1. Различные схемы взаимных переходов (сукцессии) почвенного покрова
4.4. Сравнение наблюдений с результатами математического моделирования
4.4.1. Решение системы ОДУ с переменными коэффициентами. Полиномиальная регрессия
4.5. Моделирование интегральной динамики с использованием переменных скоростей переходов 184
4.6. Математические модели и прогнозирование 188
4.7. Численное моделирование и прогноз 191
4.8. Оптимальное управление пастбищными экосистемами 194
Глава 5 . Исследование процессов дефляции с помощью марковских цепей 203
5.1. Общие положения 203
5.1.2. Динамическая экология и прогноз 205
5.1.3. Долговременные смены экосистем в прикаспийской низменности и Чёрных землях Калмыкии 208
5.1.4. Динамика структуры экосистем 211
5.1.5. Сложные экосистемы 218
5.2. Моделирование динамики сложных экосистем с помощью цепей Маркова
5.2.1. Марковские цепи дефляционных процессов 225
Глава 6 . Разработка системы компьютерного дешифрирования космического мониторинга деградации экосистем
6.1. Космический мониторинг сукцессии Чёрных земель Калмыкии 241
6.2. Предварительная цифровая обработка АКФ 244
6.3. Распознавание образов 248
6.4. Методы распознавания. Общие положения 251
6.4.1. Задачи систем распознавания 252
6.4.2. Классификация систем дешифрирования 253
6.4.3. Экспертные системы распознавания 255
6.4.4. Нейронные сети в задачах о распознавании 255
6.5. Применение аэрокосмических методов для исследования процессов дефляции экосистем 262
6.5.1. Признаки классов 263
6.5.2. К определению словаря признаков объектов 263
6.5.3. Признаки объектов, подверженных дефляции 264
6.6. Динамика деградации экосистем 266
Приложение 1
- Аналитические модели процессов эрозии почв и их реализация
- Постановка задачи
- Технология обработки топографических карт
- Аналитические модели дефляционных процессов
Введение к работе
В настоящее время, как никогда прежде, ощущается глубокое противоречие между требованиями дальнейшего технического прогресса и необходимостью сохранения природной среды [61, 63, 115,136, 186, 307, 316]. Естественные ресурсы природы ограничены, а неразумная её эксплуатация и урбанизация ведут к нарушению биологического равновесия, саморегулирования, подвергая опасности стабильность существования. Решение этой проблемы имеет глобальный характер и принадлежит к разделу геоэкологии, изучающему условия существования и саморегулирования открытых систем. Проблемы геоэкологии охватывают также задачи устойчивости систем, режимы их самовосстановления, допустимые нагрузки. Биотическая составляющая поверхности Земли имеет большое количество растительных сообществ, существующих в пространстве и времени в виде экосистем. Одной из них является растительный покров. В результате взаимодействия с внешней средой его элементы развиваются, видоизменяются, прогрессируют и деградируют. Обратные связи, существующие в таких системах, управляют их жизненными адаптивными процессами. В почвенном покрове протекают аналогичные явления. При этом существенную роль играет внешняя среда, часто приводящая за счёт неконтролируемого антропогенного воздействия к катастрофическому разрушению экосистем.
Открытые системы в геоэкологии являются сложными и многомерными. Их исследование традиционными методами не представляется возмож- ным. В силу этого, методом исследования динамики их функционирования является математическое моделирование, реализуемое в виде численных экспериментов. В настоящее время математическое моделирование, вычислительный эксперимент на ЭВМ с моделями изучаемых явлений и процессов образуют основу новой технологии научного поиска, анализа и прогноза [273]. Её использование позволяет по-новому рассмотреть полученные ранее результаты с целью более полной интерпретации результатов экспериментов и уточнения теоретических положений. Математическое моделирование, использующее аналоги процессов, протекающих в различных системах, позволяет выявлять законы безотносительно к их пространственно-временному масштабу в рамках классических представлений.
Размеры исследованных нами ранее систем спиновых структур в твёрдом теле и протекающих в них динамических процессов в случае фазовых переходов типа "порядок-порядок" определялись объёмом домена ~мкм, а характерные времена порядка 10"7с [248-251, 347, 349, 350, 364, 365, 368-370]. В системах небиотического происхождения ("неживая" природа или неорганические системы) динамика процессов в точках фазовых переходов и температурных превращений описывается так же, как и в системах, содержащих биотические составляющие (экосистемы). Моделирование состояний систем на математическом языке приводит к одним и тем же математическим конструкциям в виде дифференциальных, интегральных или алгебраических соотношений. Качественное согласие результатов моделирования при этом сопровождает количественное отличие параметров моделей, приводящее к различию скоростей изменения состояний.
При исследовании, например, температурных превращений гидроокислов железа в ходе геологических процессов мы имели дело с геологическими временами порядка 106лет [246, 251, 363].
Для процессов атмосферной коррозии сталей - месяцы [250]. Динамика превращений и изменение фазового состава окисных систем корродируемой поверхности описывается зависимостью, позволяющей прогнозировать их состояние и датировать времена агрессивного воздействия воздушной среды.
Динамика экосистем подстилающей поверхности описывается временами в десятки-сотни лет на площадях порядка 106 га [76, 264-268]. Процессы формирования склонов протекают в геоэкологии с временными интервалами порядка 103-106 лет [88-93, 222, 254-255, 259, 262].
Не смотря на значительный разброс пространственно-временных размеров систем, их поведение описывается одними и теми же математическими моделями. Это означает, что динамика открытых систем в геоэкологии определяется физической природой их взаимодействия с окружающей средой и может быть изучена с использованием знаний о неорганических системах "неживой" природы.
Эрозионные процессы с катастрофическим разрушением почвенного покрова исследуются многими авторами. Различные концепции описания склоновых процессов приводят к различным математическим моделям и, естественно, к различным результатам. В связи с этим весьма существенным является вопрос об адекватности математических моделей. Основной задачей математического моделирования склоновых систем является определение механизма разрушения, динамики формирования рельефа и составление прогнозов. Мы не ставили своей задачей пересмотр всех предложенных к настоящему времени теоретических положений в этой сфере. Некоторые работы в этой области стали классическими [34, 35, 38, 78-85, 107-111, 123-126, 133, 178-182, 371-373]. Экспериментальные и теоретические исследования этих авторов явились основой для создания программы по сохранению почв США, в которой определены предельные нагрузки на почвенный покров в процессе его эксплуатации. Вместе с тем практическая реализация математических концепций при моделировании процессов разрушения систем далека от совершенства. Особенно это относится к краевым задачам диффузионного типа. В этой связи в работе предлагается ряд методов численной реализации математических моделей с применением современных компьютерных средств, включая новые программные разработки. Это позволило вывести использование моделей на уровень численного эксперимента, ценность которого, на наш взгляд, очевидна.
Антропогенное воздействие на природу в последние десятилетия привело к существенному уменьшению плодородных земель из-за невосполнимых потерь гумуса вследствие их деградации. В среднем за год теряется порядка 15 млн га продуктивных угодий. Процесс разрушения усиливается с возрастающей скоростью и его рост за последние 60 лет в тридцать раз превзошел рост за исторической в период голоцена [94, 115]. Потеря почв от смыва при ливневых дождях и весенних паводках в значительной степени повышает общую деградацию земель. В связи с этим существенным становится вопрос о математическом моделировании и составлении прогнозов экологического состояния почвенного покрова.
Не менее важным является исследование поведения профиля поверхности, на которой протекают процессы водной эрозии (здесь и далее под эрозией понимается только водная, "ветровая" называется дефляцией), часто приводящие к образованию оврагов или, наоборот, к их выполаживанию. Динамика русловых процессов в системе оврагов в настоящее время изучена слабо. Нет единой модели водосбора как системы, функционирующей во времени по определённым законам, позволяющим предсказывать изменение его строения, получая при этом полезные данные для природопользования.
Математическое моделирование эрозионных процессов на базе балансового соотношения, приводящего к дифференциальному уравнению диффузии, было предпринято авторами [123-126, 143, 149, 202-207, 296-306]. Оно показало, что аналитическое решение диффузионного уравнения возможно лишь в редких случаях и является сложным для анализа. Как правило, это математические выражения в виде специальных функций типа функций Бесселя, Неймана, полиномов Лежандра и т.п. В связи с этим существенным моментом при решении задач экологической устойчивости систем является проблема численной реализации математической модели.
Применение компьютерных методов моделирования актуально при решении задач, не допускающих аналитических приёмов. Разработанные за рубежом и в России пакеты программ, предназначенные для научных расчётов, в значительной степени облегчают численную реализацию задач Коши, краевых и начально-краевых задач с различными видами граничных условий [41, 318, 320]. Современная библиотека научных программ фортрана, например, насчитывает около полутора тысяч математических процедур, с помощью которых возможно численное решение значительного числа задач математической физики [6, 23, 130].
Прагматический аспект задачи о формировании и эволюции склонов заключается в его конкретных приложениях. Разработанные нами теоретические концепции математического моделирования используются при проектировании противоэрозионных мероприятий, использующих информацию о текущем смыве субстрата в исследуемой точке склона. Эту информацию можно получить с помощью построения адекватной математической модели. Построение линий тока является одной из основных исходных задач при проектировании противоэрозионных рубежей. Решение этой проблемы при наличии лишь топографической информации в виде карт связано со значительными по объёму затратами на их цифровую обработку. Эти затраты вполне оправдываются, если учесть, что количественные характеристики водосборов используются при оптимизации ландшафтов. В нашей работе применение алгоритмов триангуляции позволило полностью автоматизировать процесс проведения линий тока, тальвегов и водоразделов поверхности, заданной топографической картой высот [86-88, 252, 254, 255].
В работе использовались результаты исследований последних двадцати лет, проведённых автором в тесном сотрудничестве с отделом защиты почв от эрозии ВНИагролесомелиорации (ВНИАЛМИ). Идеи Гаршинёва Е.А. яви- лись основой для математических и физических моделей и, несомненно, стимулируют дальнейшее развитие этих работ в будущем.
Значительная часть исследований посвящена изучению динамики поведения антропогенно-нарушенных систем, приводящей к другому экологическому бедствию - опустыниванию. Одной из основных здесь является задача исследования причин возникновения подобных катастроф. Феномен опустыненности есть следствие разрушения экосистем, понимаемого в соответствии с Конвенцией ООН как деградация земель вследствие эрозии, дефляции, засухи и т.п. процессов, характерных для сухих аридных территорий. Масштабы и темпы процессов разрушения почвенного покрова на всей аграрной территории России в последние 30-40 лет заметно возросли. В последние годы катастрофически пострадали от ветровой эрозии целинные земли, в результате превышения норм орошения возникли болота и солончаки в низовьях Дона, Волги, Кубани и Терека. Из-за распашки пастбищ появилась первая в Европе пустыня в Северо-Западном Прикаспии. Процессы разрушения усилились в последнее время в результате техногенной нагрузки.
Юго-восточный регион Европейской России (Прикаспии) является окраиной Русской равнины, где степь сменяется полупустыней и пустыней и в последние годы подвергается интенсивному освоению нефтяных и газоносных месторождений, интенсивно развивается сельскохозяйственное производство. Это приводит к таким негативным явлениям как опустынивание. Природно-климатическими условия усугубляют ситуацию. Практически все пастбища региона площадью свыше 20 млн га из-за регулярного перевыпаса, распашки и неумелой ирригации в значительной степени были деградирова-ны. Здесь насчитывалось около одного миллиона га подвижных песков, свыше двухсот тысяч га вторично засоленной и заболоченной пашни. В некоторых районах, где дефляция приобрела лавинообразный характер, сложилась обстановка экологического бедствия. Только на Черных землях Калмыкии ущерб от деградации пастбищ за последние 30 лет составил свыше 3 млрд долл. В бывшем СССР возникла проблема восстановления пастбищ.
Системы, подверженные разрушению, требуют исследования причин дефляции и прогнозирования её последствий с помощью математического моделирования, выявляющего основные факторы разрушения. Такое моделирование позволяет определять допустимые нагрузки, что весьма важно как с точки зрения сохранения экологического благополучия, так и эффективности природопользования. Математическое моделирование использует экспериментальные данные, полученные различными способами при наблюдении за динамикой функционирования систем. Для выполнения этих работ обычно используются трудоемкие и дорогостоящие экспедиционные исследования. Применение аэрокосмических методов значительно сокращает затраты на проектно-изыскательские работы, повышает качество и точность наблюдений, используемых затем в компьютерных технологиях.
Объектом наших исследований являлся Северо-Западный Прикаспий, в пределах полупустыни и пустыни Прикаспийской низменности. Этот объект является эталонным для исследуемых природных зон, поэтому полученные материалы по методам их дешифрирования и картографирования могут быть экстраполированы и на другие подобные территории как в нашей стране, так и за рубежом. Кроме этого, использование авторами [7, 22, 27, 39, 51-57, 71, 80-83, 209-211, ] аэрокосмических методов при исследовании аридных территорий стимулировало автоматизацию обработки аэрокосмических фотоснимков (АКФ) с применением ЭВМ.
Внедрение информационных технологий для обработки картографической информации и аэрокосмических данных в последнее время в значительной степени увеличило качество и адекватность получаемой информации. Компьютерные технологии интегрируют функции сканирования, обработки картографической информации, хранения и математической обработки снимков аэрокосмического мониторинга в единый программный модуль. При этом успешно решались проблемы моделирования и прогнозирования глобальных процессов в экосистемах [101-106, 221, 229, 240, 263-268]. Вместе с тем существуют трудности, обусловленные качеством входной информации, её репрезентативностью, проблемами неопределённости при дешифрировании и т.д. [2-5, 7, 15-17, 168-177,189, 242, 260, 293, 294, 309, 337, 338].
Разработанная нами интегрированная система компьютерного дешифрирования (ИСКД) [260, 266, 268] была предназначена для изучения динамических процессов. Исходным материалом для прогноза и оценки состояния экосистемы является АКФ. Поэтому основой ИСКД служит пакет программ для анализа изображений. Данные, предварительно обработанные программами статистического анализа, являются исходным материалом для аналитического и интеллектуального блоков. Аналитический блок включает в себя обработку числовых данных с учётом пространственного распределения и временной динамики. Интеллектуальный блок производит оценку и прогноз деградации систем, математическое моделирование функционирования и оптимальное использование. Моделирование процессов деградации проводилось методом численного эксперимента на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с постоянными и переменными коэффициентами. Для исследования точек бифуркации и динамической устойчивости систем использовался математический аппарат цепей Маркова.
Исследования показали, что процесс разрушения открытой системы в виде Чёрных земель Калмыкии имеет сложную динамику взаимных превращений между различными типами составляющих её классов. Сравнение результатов математического моделирования и данных космического мониторинга показало на адекватность модели. Исследование динамики процесса определило точки бифуркации, изменяющих поведение системы [265, 267, 268]. Точки таких переходов вызваны бифуркациями, регистрируемыми также с помощью марковских цепей [145, 247] и их определение имеет большое практическое значение. Появление бифуркаций позволяет определять допустимые нагрузки на экосистему. В связи с этим представляет интерес исследование её устойчивости. Для восстановления уже дефлированных систем требуются дополнительные затраты, определяемые стратегией управления при рациональном природопользовании. Поиск оптимального режима восстановления осуществлялся методом динамического программирования.
Разработанная нами математическая модель функционирования и поиск оптимального управления системами на примере Чёрных земель позволили получить практические результаты для их сохранения и стабилизации. Нелинейные явления, реализующиеся в открытых геосистемах, сопровождают их развитие и самоорганизацию. При взаимодействии с внешней средой любая открытая геосистема стремится к устойчивому состоянию [213, 215, 230, 245, 273]. В отличие от систем замкнутых (консервативных) открытые системы, как правило, нелинейны, с необратимыми процессами, играющими "существенную конструктивную роль в физическом мире" [230, 231]. Примеры из различных областей геоэкологии показывают, что открытые нелинейные системы "своевольны" и мы не получаем ожидаемого результата, воздействуя на природу с целью получения прибыли. "Можно как угодно менять характер воздействия на данную среду, деформировать её самым жестоким образом, а она всё равно "свалится" в одно из устойчивых своих состояний" [273]. Процессы саморегулирования существуют и в неживой природе. СП. Курдюмов и А.А. Самарский утверждают, что самоорганизация возникает независимо от функционального предназначения систем: реакция Бело-усова-Жаботинского, ячейки Бенара, саморазвитие и самоподдерживание и даже размножение структур в плазме [273]. Управление такими системами достигается их открытостью. Качественная устойчивость и равновесие функционирования систем в геоэкологии могут быть обеспечены рациональным динамическим управлением со стороны природопользователя [261, 263-265, 267-271,311,315,319].
Научная новизна работы заключается в разработке теории и методологии математического моделирования антропогенно-деформированных систем. Разработаны математические модели эрозионных процессов и формирования склоновых систем. Реализация моделей в численном эксперименте позволила выявить физические аспекты склоновых процессов. Технология трассирования линий тока с применением алгоритма триангуляции позволила автоматизировать работы по проектированию и оптимальному размещению потивоэрозионных рубежей. Составление алгоритмов для краевых задач с подвижными и неподвижными границами послужило основой для прогнозирования подмываемых склонов. Физическая модель эрозионно-аккумулятивного процесса, дополненная учётом дождевых осадков, является моделью прогнозирования поведения склоновых систем и может быть использована для составления динамических карт уклонов и смыва почв.
Разработана математическая модель разрушения сложной системы Чёрных земель Калмыкии. Выявлены точки бифуркаций, сопровождающих движение экосистемы к состоянию, не способному к самовосстановлению -опустыниванию. Определены предельные нагрузки. Распознавание образов видео изображений использовалось для дешифрирования АКФ на ЭВМ. Пакет интегральной системы компьютерного дешифрирования в практическом отношении может служить основой для создания тематических и прогнозных карт. Методика марковских цепей эффективно моделирует динамику систем в геоэкологии и в методологическом аспекте является основой для разработки оптимальных алгоритмов в природопользовании.
На защиту выносятся следующие основные положения :
Теоретические основы математического моделирования склоновых процессов в геоэкологии.
Совокупность методов реализации моделей (численный эксперимент), позволяющих определять эволюцию и прогнозировать эволюцию склоновой системы.
ЭВМ-технология численного моделирования рельефа и определение дерева линий тока, картографирование динамики смыва и уклонов.
САПР оптимального размещения лесных полос с использованием триангуляции поверхности водосборов.
Модели динамики сложных аридных систем геоэкологии. Дифференциальные уравнения и марковские цепи для исследования устойчивости систем.
Исследование функционирования и прогноз состояния аридных экосистем.
Концепции распознавания образов при дешифрировании аэрокосмических видео изображений аридных экосистем.
Интегрированная система компьютерного дешифрирования.
Концепция единого математического описания динамики неорганических систем и открытых экосистем геоэкологии.
Материалы диссертации использовались при разработке Генеральной схемы борьбы с опустыниванием Чёрных земель Калмыкии. Результаты работы вошли в "Методику полевого моделирования эрозии, расчёта смыва и расстояний между лесополосами" (Москва, 1991), "Методическое пособие по применению информационных технологий в агролесомелиоративном картографировании" (Москва, 2003).
Разработанные теоретические положения математических моделей и методы их реализации используются при ведении курсов по искусственному интеллекту и системному анализу в ВолгГАСА, а также сотрудниками Всесоюзного научно-исследовательского института агролесомелиорации при проектировании и оптимальном размещении лесных полос. По системному анализу выпущено учебное пособие с грифом УМО по образованию в области производственного менеджмента. Система ИСКД внедряется в настоящее время для автоматизации дешифрирования АКФ.
Большое содействие и помощь в проведении работ оказали доктор гео- графических наук, профессор [Виноградов Б.В.|, лауреат Государственной премии; академик РАСХН Кулик К.Н., ведущий научный сотрудник отдела защиты почв от эрозии, доктор с.-х..н., лауреат премии правительства РФ Гаршинёв Е.А., за что автор выражает им искреннюю благодарность.
Аналитические модели процессов эрозии почв и их реализация
В этом разделе приводятся аналитические решения диффузионных уравнений, используемых в математических моделях эрозии почв. Рассматривается задача о плоскостном смыве, т.е. для случая равномерного ламинарного потока воды вдоль некоторого гладкого профиля z(x) представляющего собой форму склона в момент времени t. Физический процесс переноса субстрата при водной эрозии состоит в том, что вода захватывает и переносит частички грунта сверху вниз. Процесс отрыва частицы от поверхности склона наблюдается при определённой локальной скорости перемещения водного потока. Эту скорость будем называть критической vKp. В главе излагаются общие закономерности поведения склоновых систем с точки зрения существующих классических методов описания процессов массопереноса с помощью уравнения диффузии.
Уравнение диффузии, описывающее процесс переноса субстрата полученное нами из балансовых соотношений, содержит переменный в общем случае коэффициент смыва k(x,t). В начале наших исследований примем его неизменным во времени и будем изучать модели, связанные с различными механизмами смыва почвы с поверхности склоновых систем. Математически это выражается различной зависимостью к(х) безотносительно к физической природе разрушения поверхности. В работе выбирались различные математические зависимости изменения коэффициента смыва от положения на склоне. Анализ результатов этих аналитических моделей выявил существенное различие эволюции профиля. Это стимулировало дальнейшие исследования, связанные с разработкой более адекватных моделей, учитывающих физические процессы протекающие на поверхности во время сноса вещества. Изучению процессов эволюции склоновых систем и прогнозированию в диссертации уделяется особое внимание.
При описании склоновых процессов, связанных с эрозией за счет потоков воды используется одно из основных уравнений механики сплошной среды, которое можно записать в виде где z - координата профиля , q - твёрдый расход материала в точке наблюдения, определяется соотношением: q = -k{x)-dzldx. Уравнение (1.1) называется балансовым и описывает саморазвитие склона. В процессе функционирования склоновой системы возникает обратная связь - форма склона влияет на расход выносимого материала и, наоборот, интенсивность смыва влияет на форму профиля склоновой системы. С другой стороны, система уравнений (1.1) означает, что для любого выделенного объема V масса субстрата q не изменяется со временем, так как внутри отсутствуют источники или поглотители. Мутность потока (р) определяется выражением: частиц почвы в каждой точке выделенного объема во время движения воды по склону, вообще говоря, изменяется во времени, но согласно закону сохранения массы в виде балансового соотношения (1.1) можно записать: at v Уравнение (1.3) свидетельствует о постоянстве количества частиц в объёме V. Модели динамических систем с транспортировкой вещества (мас-соперенос) рассчитывают приход и вынос транспортируемой массы из некоторого объёма. Выделим элементарный объем А V в форме параллелепипеда со сторонами Ах, Ay, Az. Определим количество субстрата, проходящего в единицу времени через какую-либо сторону элементарного объема. Масса субстрата, проходящая за 1 с через левое сечение определяется выражением где, pi- мутность на левой стенке AV, V/ — скорость поступающего в объем А V потока. Движение рассматривается в направлении оси Олг. Для правого сечения AyAz получим аналогичное выражение Определим количество вещества, вынесенного из элементарного объема AV. Оно равно разности Aqx = qr -q, =(prvr - p ,v,) AyAz = A{pv)x AyAz. Для направлений у и z аналогично получим Aqy =A(pv) ,AxAz, Aqz = A(pv),AxAy. За время At в объеме AV накопится некоторое количество субстрата (Aqx+Aqy+Aqz)At. С другой стороны, накопление внутри объёма А V можно представить как изменение массы субстрата в виде (р, - p2)AxAyAz, где pj и Р2 - средние значения мутностеи, соответствующих началу и концу времени наблюдения. Запишем соотношение баланса на временном интервале At в ВИДЄ (Aqx + Aqy + Aqz )At = (p, - p2 )AxAyAz Уравнение(1.8) известно в математической физике как уравнение непрерывности [14]. Здесь/? - мутность потока субстрата, v - скорость потока, зависящая от уклона. Моделирование реальных форм склонов, связанных с изменением (деформацией) поля высот z{x,y,t) приводит к соотношению z(x,y,f)=ap(x,y,t). Это означает, что изменение мутности р предопределяет изменение уровня высот z. Расход материала q в единице объема пропорционален скорости потока воды и мутности. Внутри выделенного элементарного объема этот расход будет выражен в виде q-pv. Исходя из этого, уравнение непрерывности для склоновых потоков преобразуется к виду
Постановка задачи
Математическая модель (1.1) является уравнением параболического типа и исследована в работах [41, 292]. Авторы [297] приводят обзор работ, связанных с моделированием геоморфологии склонов с помощью уравнения (1.1). Исследования этих авторов посвящены в основном аналитическим решениям диффузионных уравнений с различными зависимостями коэффициента диффузии (смыва) k(x,t) от координат склона и от времени. Коэффициент к, по их мнению, служит регулятором склонового процесса. От него зависит скорость деформации склона за счет притока внешней энергии от выпадения осадков, изменения климата (осушение и увлажнение). Изменение к от времени по некоторому закону k=kosin{2nnt/T) означает, например, периодическое изменение коэффициента смыва за счёт погодных условий при смене времён года, а зависимость k(x,y,t)=koea - глобальное изменение климата. Остановимся более подробно на основных типах краевых задач, возникающих при математическом моделировании эрозионных процессов, протекающих на склонах.
При математическом описании физической стороны эрозионных процессов прежде всего ставится задача о формировании начальных условий, необходимых для однозначного определения их проявления в будущем. В общем случае дифференциальные уравнения в частных производных имеют бесконечное множество решений. При решении конкретных задач из всего множества выбирают одно, которое удовлетворяет начальным (задача Коши) и краевым условиям задачи (краевая задача). Начальные условия в эрозионных моделях определяют форму склона в начальный момент времени t0, с которого начинаются наблюдения за его развитием. Если длина склона L, то начальные условия в двумерной задаче можно записать в виде где р(х,у) — начальная форма склона, х - пространственная координата наискорейшего спуска, определяющая градиент формы склона z{x,y,f). Из краевых условий видно, что форма склона определяется видом функции р(х,у) и задана полубесконечной пространственной системой линий тока, параллельных плоскости xOz.
Различают краевые условия трех типов, задающих условия развития склона на его границах - линиях водоразделов и тальвегов (оснований склона). Условия первого типа: свидетельствуют о том, что границы склона "закреплены" и его развитие связано только с изменением его формы. Действительно, согласно (2.2) для любого момента времени наблюдения значение функции формы z{x,y,t) в точке водораздела (точка с максимальной высотой при JC=0, у 0, z=h) не изменяется и равно h. У основания склона (х=Ь) значение координаты z =0.
Если на линиях водораздела или тальвега определено значение производной, то получим краевые условия второго типа, т. е. Это означает, что за счет фактора денудации у основания возможно изменение координаты z на отмеченных границах склона. Краевые условия могут быть определены также в виде линейного соотношения между производной и функцией формы склона (третий тип краевых условий):
Условие (2.4) учитывает массообмен в виде изменения во времени коцен-трации частиц смытой почвы в точке водораздела (х=0) с интенсивностью q0(t) и у основания склона (x=L) с интенсивностью qi(t). Краевые условия для склоновых процессов на границах могут иметь различия в зависимости от условий задачи. Так, например, при математическом моделировании эрози-онно-аккумулятивного процесса с учётом выноса аккумулятивного материала вынос его на водоразделе менее интенсивен и определяется лишь выпадающими осадками, тогда как у основания краевой процесс более сложен и определяется аккумуляцией смытого материала с последующим выносом его русловым потоком. Аналогично ставятся и другие краевые задачи с различными комбинациями условий, накладываемых на краях при х=0 и x-L.
Рассмотренная выше формулировка краевых задач приведена для случая с неподвижными границами. При математическом моделировании склоновых процессов возникают ситуации, когда основание склона может перемещаться горизонтально за счет подмыва (боковая эрозия откосов оврага) или вертикально за счет изменения базиса денудации. Ниже мы остановимся более детально на вопросах математического моделирования краевых задач двух типов с неподвижными и подвижными границами. Задачи экологии почв часто связаны с необратимыми процессами катастрофического характера. Необратимость может быть связана с хозяйственной деятельностью человека, естественной динамикой экологических и геологических систем, изменением климата и т.п. Всё это стимулирует развитие новых методов математического моделирования и численных расчётов. Экологическая обстановка бассейна Волги в последние десятилетия резко обострилась. Наступление береговой кромки русла и водохранилищ на прилегающую территорию приводит к её уменьшению, принося значительный экономический ущерб. Не менее важным является исследование процессов катастрофических разрушений береговой кромки при русловом подмыве, приводящем к необратимому разрушению и образованию осыпного склона.
Технология обработки топографических карт
Уровень и динамика развития современной науки об экосистемах - геоэкологии требуют качественно нового подхода для оптимального управления территорий. Внедрение компьютерной техники и соответствующего программного обеспечения позволяют решать эти задачи путём цифровой обработки уже имеющейся топографической информации. Создаются информационные системы различного уровня в этой отрасли науки. До последнего времени задача обработки топографических изображений решалась вручную крайне неэффективными методами. В данной главе приводится краткое описание технологии оцифровки и векторизации с помощью как разработанных автором, так и готовых программ. Технологическая схема (табл.3.1) компьютерной обработки карт позволяет более детально проследить за каждым шагом и понять основные пути продвижения к цели. Отмеченные в табл. 3.1 семь пунктов не равнозначны по своим вкладам в общую проблему. Вместе с тем мы указываем их последовательность, чтобы не упустить непрерывности действий. Существует целое семейство программных продуктов векторизации изображений.
Различные фирмы для различных целей в последние годы разработали множество программ визуализации и обработки видеоинформации. Последовательность выполнения операций при компьютерной обработке топокарт N/nn Технологическая операция Программное обеспечение Тип файла Примечания 1 Сканирование Драйвер устройства .pcx, .bmp, .tif и др. Желательна запись файлов в формате .bmp или .tif 2 Векторизация образа топокарты по координатам X и Y Векторизатор .pcx, .bmp, .tif, .xyz, .arc Предварительная фильтрация изображения. 3 Привязка изолиний к Z-координате Векторизатор .dxf, .xyz, .arc Векторизованные линии не должны иметь разрывов 4 Построение трехмерных изображений Surfer 6.04 .grd, .xyz, .dat Загрузить файл в формате .хуги прочесть его в формате .dat 5 Построение линий тока Программа триангуляции и наискорейшего спуска .exe, .txt, .xyz Программа GeoSan 1.4і 6 Построение продольного профиля склона MathCad,MatLab,Maple .prn, .mcd, .mws, .mat Программа GeoSan 1.4 7 Функции формы склона и математическая модель эрозионного процесса и регрессионный анализ Borland C++, MathCad. .exe, .txt, .xyz Программа GeoSan 1.4 В составлении алгоритма и отладке программы принимали участие А.В. Филиппов и П.Б. Петрюк
Практически все они используют векторизацию растровых изображений по указанным выше причинам. Наиболее удачным инструментом векторизации является пакет R2V. Пакет устойчиво работает с графическими файлами топографических карт и обладает достаточным инструментарием. Файл изображения принимается традиционно, однако перед векторизацией топографический образ предварительно обрабатывается - удаляются ненужные для анализа фрагменты, а также помехи, вызванные техническими причинами. На карте вследствие аппаратных неточностей возникают помехи в виде дополнительных полутонов, помарок, текстовые и цифровые отметки и т.д., которые нежелательны при выполнении векторизации.
Для очистки изображения используется меню сглаживания с различными режимами отвечающим конкретным изображениям. Степень очистки зависит от четкости изображения, обилия помех и их характера, толщины линий. Важно сохранить контуры линий без разрывов. Выбор конкретных функций фильтра зависит от характера изображения. Векторизация может быть ручной, когда оператор самостоятельно выбирает нужные действия и осуществляет векторизацию соответствующими опциями. Эту операцию можно выполнить и в автоматическом режиме.
Промежуточным результатом векторизатора является поле векторов с нулевой координатой z. Для формирования трёхмерных изображений рельефа выполняется привязка изолиний к координате z, определяющей уровень поверхности в заданной точке. Таким образом формируется резко разреженная матрица в виде цифровой последовательности, задающей координаты узлов и высоты. Информация сохраняется в формате xyz-файла, являющегося исходным для дальнейшей работы. т.е. пар (двоек) вида (хь У і), ( ъ У г), ,(Wn)- При обработке такого рисунка система последовательно соединяет эти точки по определённому алгоритму, проводя векторы. Таким образом, вместо множества точек в растровом рисунке, описывающих, например, прямую линию, в векторном достаточно двух пар чисел, которые задают начало и конец этой линии. При масштабировании координаты векторов пересчитываются относительно нового размера (как если бы на резиновом стержне были нанесены две метки и все равно каким образом стержень сжимают или растягивают - он проходит через эти метки). Расчет формальных параметров в векторной графике осуществляется аналитически и, как следствие, точнее при небольшом увеличении сложности расчетов. Концепция метода состоит в комплексном использовании различных графических и математических пакетов, пригодных для указанных целей. Весь процесс можно представить в виде следующей цепочки процедур: - сканирование изображения и получение растрового рисунка карты; - оцифровка образа и получение цифровой модели карты в виде векторов, т.е. перевод формата хранения изображения из растрового в векторный; - привязка изолиний к z-координате; - восстановления исходной карты по полученной информации; - вычисление матрицы градиентов; - построение линий тока (ЛТ) и продольных профилей склонов; Метод дает нужную информацию о линиях тока для оценки смыва почвы. Построение ЛТ используется затем в качестве начального шага в алгоритме оптимального размещения защитных насаждений. Профилирование поверхности по линиям тока позволяет оценивать форму склонов, используемую в дальнейшем при проектировании и оптимальном размещении лесных полос. Алгоритм компьютерной технологии, включающей различные программные блоки, управляется главной программой, написанной на алгоритмическом языке Pascal 7.0 [272]. Интерфейс главной программы реализован в среде визуального программирования Builder 5.0 [121, 321, 325]
Использование динамических библиотек позволило без особых затрат объединить множество модулей проекта, написанных на разных языках программирования, в одну программу GeaSanl.4. Пакет разработанных программ позволяет осуществить построение линий тока, профилей и всю дальнейшую специфическую обработку информации, зачастую отсутствующую в специализированных ГИС-пакетах. Кроме программы GeaSanl.4, написанной в средах Delphi, Builder, Visual Fortran, использовались графические и математические пакеты программ, осуществляющие предварительную обработку информации до подготовки рабочей матрицы.
Аналитические модели дефляционных процессов
Основным результатом взаимных переходов экосистемы, состоящей из двух элементов, является асимптотическое приближение объёмов S\ И 2 к своим предельным значениям. В рассмотренной модели учитываются взаимные превращения только между двумя элементами экосистемы и связь элементов с окружающей средой отсутствует.
Взаимодействие с окружающей средой выражается, как правило, в виде соответствующих дополнительных условий, отражающих определенные стороны контакта. Модель не учитывает также ограниченность ресурсов развития, на базе которых сосуществуют моделируемые объекты экосистемы. Приведённая модель скорее демонстрация приёма дифференциальных моделей, чем реальность. Ниже будут рассмотрены конкретные примеры с учётом всех необходимых для адекватного моделирования факторов. Адекватность дифференциальной модели существенным образом зависит от точности задания начальных условий, определение которых является отдельной проблемой. Отметим лишь, что решая задачу Коши для системы ОДУ, исследователь получает возможность моделирования динамики взаимодействий между элементами внутри экосистемы, определять точку её устойчивости и характер поведения.
Концепция моделирования с применением ОДУ основывается на возможности с помощью качественной теории определять устойчивость экосистем и их эволюцию. Это весьма важно для наших задач, когда знание динамики развития предопределяет режимы управления системой и позволяет делать прогнозы.
В настоящее время развивается новый стиль и язык математического описания систем и явлений с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Вводятся такие понятия как оператор сдвига (оператор эволюции), качественная эквивалентность, бифуркация и т.д. Автор [333] приводит обстоятельное описание реальных проблем в экологии для изучения которых привлекаются обыкновенные дифференциальные уравнения, и приводит качественный анализ математических моделей в различных отраслях знаний. Процесс интенсивной математизации знаний сопровождается умением составлять математические модели. Системы ОДУ, на наш взгляд, -один из эффективных методов описания процессов в многомерных и сложных систем в геоэкологии.
При математическом моделировании динамики экосистем преимущество использования качественной интерпретации решений ОДУ неоспоримо. Кроме того, построение оператора эволюции (сдвиг вдоль траектории), определение точек качественного перелома в ходе эволюции экосистем (точки бифуркации) в настоящее время предопределяет новый стиль моделирования, что отражается в разработках современного программного обеспечения в математических пакетах Maple, MathCad, библиотеках научных программ фортрана и др.
Системы ОДУ применялись нами для моделирования сложных экологических пространств в виде ландшафтов с большим числом разнотипных элементов и динамическим характером взаимодействия между ними. Математические модели динамики экосистем Прикаспийской низменности, содержали систему ОДУ четвёртого порядка, начальные условия для которой задавались данными космического мониторинга. Отметим, что аналитическое решение систем ОДУ было ограничено из-за технических трудностей. Однако качественная картина, выявленная с помощью решения упрощенных аналитических моделей имеет большое значение для выявления физической природы явлений. Результаты такого промежуточного моделирования используются при интерпретации результатов применения более сложных математических моделей. Для случаев, когда аналитическое решение не представлялось возможным, математическая модель реализовывалась численно.
Индексы для коэффициентов переходов заменены: #і2=#і, агъ=( 5, аъ\=а%. Замена нумерации индексов обусловлена векторным представлением данных. Графически решение аналитической модели (4.7) показано на рисунке 4.6. Математическая модель (4.7) предполагает, что обратного восстановительного процесса нет, т. е. процесс восстановления запрещён по каким-либо причинам, а переходы определяются матрицей Рассмотренная модель предполагает, что элементы экосистемы переходят друг в друга по механизму разрушения и восстановление отсутствует.
Модель с четырьмя элементами качественно отличается от предыдущей задачи, где в процессе участвовало всего два элемента. Ярко выраженная немонотонность поведения Si(t) и Srf) и их чётко обозначенные максимумы предсказывают существование устойчивых точек функционирования таких систем. Аналитические выражения, приведённые в результатах окончательных расчётов для Si(t), слишком громоздки для анализа. Однако ценность таких решений очевидна и состоит в том, что здесь представляется возможным с помощью качественной теории дифференциальных уравнений исследовать устойчивость экосистем и делать прогнозы. Кроме того, поиск параметров матрицы переходов Л, соответствующих стационарным фазовым траекториям, может принести практическую пользу при решении задач оптимального природопользования
Похожие диссертации на Динамика и прогноз процессов деградации в антропогенно-трансформированных системах
