Введение к работе
Актуальность темы. Хорошо известно, что всякая радоновская вероятностная мера на метрическом пространстве является образом меры Лебега на отрезке (или любой другой безатомической вероятностной меры) при некотором борелевском отображении. Однако часто возникает задача о преобразовании одной заданной меры в другую с помощью отображений из более узких классов. Эта тематика, восходящая к опубликованным еще в 30-50-х годах прошлого столетия классическим трудам А.Д. Александрова, Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова, Л.В. Канторовича, Дж. фон Неймана, Ю.В. Прохорова (см. ' ' ' ' ), связана с целым рядом классических проблем из теории меры, теории экстремальных задач, нелинейного анализа и теории нелинейных дифференциальных уравнений, а также с известной задачей Монжа-Канторовича о перемещении масс. Взаимодействие всех этих направлений привело не только к ярким результатам о преобразованиях мер, но и к открытию интересных связей между различными областями и неожиданным приложениям. Например, были получены новые нелинейные функциональные неравенства, обобщающие изопериметрические неравенства и неравенства Соболева. В последние два десятилетия здесь появились новые плодотворные идеи, в том числе в работах М. Талаграна , Я. Бре-нье , Р. Маккэна . В частности, Бренье и Маккэн установили, что всякую абсолютно непрерывную вероятностную меру на конечномерном пространстве можно перевести в любую другую вероятностную меру на этом пространстве посредством градиента выпуклой функции, причем преобразование такого типа единственно.
Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, с. 167-174.
Bogoliouboff N.N., KryloffN.M. La theorie generate de la mesure dans son application a I'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire. Ann. Math., 1937, v. 38, p. 65-113. 3Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, с. 227-229.
Neumann J. von. Einige Satze tiber messbare Abbildungen. Ann. Math., 1932, v. 33, p. 574-586.
Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238.
Talagrand М. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct.
Anal., 1996, v. 6, p. 587-600.
Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417.
McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J., 1995, v. 80, p. 309-323.
Обсуждаемые вопросы отражены также в монографической литературе, например, в книгах9'10'11'12'13'1 '15.
Среди разнообразных классов отображений, рассматривавшихся многими авторами, следует особо выделить отображения монотонного типа, представляющие собой различные обобщения возрастающих функций на прямой (к А.Н. Колмогорову восходит важное наблюдение, что всякое вероятностное распределение на прямой можно получить монотонной функцией из всякого безатомического вероятностного распределения на прямой; это делается с помощью функций распределения и обратных к ним). Имеются два почти не пересекающихся класса таких многомерных и бесконечномерных обобщений: градиенты выпуклых функций и рассматриваемые в диссертации треугольные возрастающие отображения.
Треугольные отображения выделяются среди прочих используемых нелинейных преобразований тем, что имеют простую структуру и задаются конструктивно. Они находят многочисленные применения на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей (см. работы16'17). В совместных работах автора с В.И. Богачевым и А.В. Колесниковым [1], [2] было предпринято первое систематическое исследование треугольных преобразований мер (некоторые результаты этих работ включены в диссертацию). Дальнейшее развитие эти исследования получили в работах ' ' , а также в работе автора [4]. Интересно отметить, что треугольные отображения, почти никогда
Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.
Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998. Ustiinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.
19 .
Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc, Providence, Rhode
Island, 2001.
і ч
Villani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc, Rhode Island, 2003.
Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. РХД, Москва-Ижевск, 2006.
Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД, Москва-Ижевск,
2008.
Knothe Н. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J., 1957, v. 4, p. 39-
52.
Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research, 2003, v. 2, p. 151-
175.
1&
Богачев В.И., Колесников А.В. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория веро-
ятн. и ее примен., 2005, т. 51, №1, с. 27-51.
Александрова Д.Е. Сходимость треугольных преобразований мер. Теория вероятн. и ее
примен., 2005, т. 50, № 1, с. 145-150.
Жданов Р.И., Овсиенко Ю.В. Оценки Соболевских норм треугольных отображений.
Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 2007, №1, с. 3-6.
не являясь оптимальными, обладают, тем не менее, многими свойствами, близкими к оптимальным отображениям. С учетом сложной структуры последних это делает треугольные отображения полезным инструментом теории меры и геометрии. Например, в [2] для треугольных отображений весьма общего вида получены обобщения так называемого неравенства Талаграна (установленного им для гауссовских мер). Из эффектных непосредственных применений треугольных преобразований отметим данное с их помощью В.И. Богачевым и А.В. Колесниковым положительное решение старой проблемы из теории гауссовских мер, состоявшей в возможности перевода гауссовской меры на бесконечномерном пространстве во всякую абсолютно непрерывную относительно нее вероятностную меру отображением, представляющим собой возмущение тождественного отображения посредством векторного поля со значениями в пространстве Камерона-Мартина. Треугольные отображения могут быть полезны и при изучении предельных теорем теории вероятностей, использующих какие-либо упорядочения типа ассоциированности (см. ) или мартингальную зависимость.
В диссертации исследован ряд фундаментальных свойств канонических треугольных преобразований. Основные результаты работы относятся к доказательству существенной единственности канонических треугольных преобразований и обоснованию формул замен переменных для них. Кроме того, изучается поведение канонических треугольных преобразований при слабой сходимости мер. Следует отметить, что все эти вопросы ранее не рассматривались, хотя в цитированных выше работах Кноте, Талаграна и Бобкова сами треугольные отображения использовались. Это объясняется тем, что до сих пор рассматривались треугольные преобразования лишь весьма специальных мер типа гауссовских и равномерных распределений на ограниченных выпуклых множествах, что заметно упрощало наиболее характерные для диссертации проблемы.
Цель работы. Установить существенную единственность канонических треугольных преобразований мер. Получить формулы замены переменных для канонических треугольных преобразований мер на конечномерных пространствах. Исследовать слабую сходимость выпуклых мер в случае абсолютно непрерывной предельной меры.
Булинский А.В., Шашкин А.П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. Физматлит, М., 2008.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
Получены формулы замены переменных для канонических треугольных отображений вероятностных мер на конечномерных пространствах.
Доказана существенная единственность канонических треугольных преобразований вероятностных мер на конечномерных и бесконечномерных пространствах.
3. Доказана сходимость по вариации слабо сходящихся выпук
лых мер в случае абсолютно непрерывной предельной меры. В ка
честве применения установлена сходимость канонических треуголь
ных преобразований слабо сходящихся выпуклых мер.
Методы исследования.
В работе применяются методы теории меры, в частности, теория условных мер, функционального анализа, теории вероятностей, а также некоторые оригинальные конструкции.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории меры, нелинейного анализа, теории случайных процессов и их приложений.
Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И. Богачева и Н.А. Толмачева (2004-2008 гг.), на международном семинаре „Бесконечномерный стохастический анализ" в Билефельде (Германия, 2006-2008 гг.), на конференциях молодых ученых Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (2007, 2008 гг.) и на международной конференции „Пространство Скорохода. 50 лет спустя" в Киеве (июнь, 2007 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора (две из них в соавторстве), список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 6 параграфов, и списка литературы из 43 наименований. Общий объем диссертации составляет 60 страниц.
