Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Вспомогательные результаты 17
1. Вспомогательные результаты 17
ГЛАВА 2. Системы всплесков в несепарабельном случае . 24
2. Масштабирующее уравнение 24
3. Кратномасштабный анализ 29
4. Базисы всплесков 38
ГЛАВА 3. Биортогональность целых сдвигов масштабирующих функций в несепарабельном случае 44
5. Вспомогательные утверждения 44
6. Биортогональность целых сдвигов масштабирующих функ ций в терминах масок 48
7. Характеризация биортогональности в терминах собствен ных векторов оператора 51
8. Достаточные условия биортогональности 53
ГЛАВА 4. Многомерные всплески в двухканальных системах 61
9. Функции всплесков 61
10. Построение гладких масштабирующих функций 63
11. Пример 66
ГЛАВА 5. Периодические системы всплесков в несепара бельном случае 69
12. ПКМА и масштабирующая последовательность 69
13. Пространства всплесков 84
14. Всплески Котельникова-Шеннона 91
Литература 100
- Кратномасштабный анализ
- Биортогональность целых сдвигов масштабирующих функ ций в терминах масок
- Достаточные условия биортогональности
- Построение гладких масштабирующих функций
Введение к работе
\ ~ъ .
Актуальность темы. Базисы всплесков играют важную роль как для решения ряда прикладных задач, так и в качестве аппарата теории приближения функций.
В конце 80-х годов в работах С. Малла и И. Мейера был предложен метод построения базисов всплесков в 2(М), основанный на конструкции кратномасштабного анализа (далее КМА). КМА порождается масштабирующей функцией, т. е. функцией, удовлетворяющую следующему функциональному уравнению
Уравнение (1) называют масштабирующим уравнением, а последовательность с - маской. Масштабирующая функция может быть построена по маске. При этом наибольший интерес вызывают маски с конечным носителем.
По масштабирующей функции строится другая функция (называемая функцией всплесков), сдвиги и растяжения которой и образуют базис всплесков в L2(K). Для построения ортогональных базисов всплесков требуется обеспечить ортогональность целых сдвигов масштабирующей функции уз. Необходимое условие для этого хорошо известно:
2^^^^=^0, leZ. (2)
Но это условие не является достаточным. Достаточные условия ортогональности для одномерного случая активно изучались в начале 90 гг. Всего в одномерном случае известно четыре необходимых и достаточных условия ортогональности целых сдвигов масштабирующих функций. А. Коен показал, что ортогональность зависит от поведения маски на некотором компактном множестве (первое условие), а также от отсутствия циклических множества относительно некоторого оператора, на котором преобразование Фурье маски отлично от нуля (второе условие). В. Лоутон получил (третье) условие ортогональности в терминах собственных чисел некоторого оператора. Переписав это условие в других терминах, получим (четвертое)
. і ОС. fi.-.U ' ' '
БИ5л;ю;ькл
З І С.Петерб'
leK^/
необходимое и достаточное условие, которое говорит, что целые сдвиги ортогональны, тогда и только тогда, когда единственными тригонометрическими полиномами, инвариантными относительно некоторого оператора являются положительные константы. Аналогичная задача рассматривается для построения пары биортогональных базисов всплесков. А. Коен, И. Добеши и Дж.-К. Фово распространили три условия ортогональности (первое, второе, четвертое) на биортогоналышй случай. Причем в четвертом условии, в отличии от ортогонального случая, доказывается существование пары строго положительных тригонометрических полиномов (для каждой масштабирующей функции - свой) таких, что это единственные тригонометрические полиномы (с точностью до постоянного множителя), инвариантные относительно пары вспомогательных операторов. В многомерном случае В. Лоутон, С. Л. Ли, 3. Чен рассмотрели третье необходимое и достаточное условие ортогональности для матрицы в качестве коэффициента растяжения. Случай маски с равными элементами (для конечного носителя) подробно был изучен П.Войтащиком.
Одномерные периодические всплески чаще всего определяются как периодизированные всплески в Ь2(Ш). Такой подход к периодическим объектам не очень естественен, тем более, что в литературе рассматривались периодические всплески (например, в работе Ч.К. Чуй, Х.Н.Маскара ), которые не подходят под такое определение. Определение кратномасштабного анализа периодических функций (далее ПКМА) предлагалось рядом авторов (Ч.К. Чуй, Ж.З.Ванг; В.А.Желудев; С.С. Гон, С.З.Ли, З.Шен, В.СЛЪнг; А.П.Петухов и др.). Наиболее общее определение ПКМА в пространствах І/, 1 < р < оо, и С предложено М.А.Скопиной.
Для построения многомерных базисов всплесков существуют различные подходы. Во-первых, можно взять тензорное произведение нескольких одномерных базисов всплесков. Такой путь прост, но полученный многомерный базис не наследует все достоинства породившего его одномерного базиса. Во-вторых, для построения d-мерного базиса всплесков можно рассмотреть тензорное произведение d одномерных КМА - конструкцию, аналогичную одномерной, порожденную функцией, являющейся тензорным произведением одномерных
масштабирующих функций (сепарабельный случай). В этом случае естественным образом возникает несколько многомерных функций всплесков, сдвиги и,растяжения которых образуют базис в 1?(№.л). В определении КМА И. Мейера коэффициентом растяжения является диагональная матрица с двойками на диагонали, т. е. растяжение по всем направлением одно и то же. Для некоторых прикладных задач представляют интерес и другие коэффициенты растяжения. Более общий подход к многомерному КМА дан, например, в книге П. Войтащика. В качестве коэффициентов растяжения рассматриваются целочисленные матрицы, удовлетворяющие некоторым естественным требованиям.
Задача нахождения функций всплесков в многомерном случае оказалась существенно более сложной, чем в одномерном. При различных предположениях на масштабирующую функцию она рассматривалась в работах К. де Бора, Р. Девора, А. Рона, Р. К. Джиа, К. А. Митчелли, С. Д. Рименшнейдера, 3. Шена. В наиболее общем случае явное описание метода построения функций всплесков получено Р.К. Джиа, 3. Шеном. X. Джи, С.Д. Рименшнейдер, 3. Шен дали описание алгоритма построения ортогональных и биорто-гональных базисов всплесков, в случае, когда соответствующие масштабирующие функции имеют компактный носитель.
В книге И. Добеши изучен вопрос, какими свойствами должна обладать масштабирующая функция в одномерном случае, чтобы она порождала КМА и при каких условиях построенные функции всплесков образуют безусловный базис в і2(М). А. Коен, И. Добеши и ,Zj,2K.-Xv* -**обо рассмотрели последний вопрос б иИОртсгоцальком случае более подробно.
В классической одномерной теории всплесков коэффициентом растяжения в масштабирующем уравнении является "2й, что соответствует одной масштабирующей функции и одной функции всплесков. И. Добеши был разработан метод построения гладких всплесков с компактными носителями в одномерном случае. Если коэффициентом растяжения является матрица М, а модуль ее определителя равен т, то масштабирующая функция порождает (т-1) функцию всплесков и, вообще говоря, многомерного аналога метода И. Добеши не существует.
В то время как теория одномерных всплесков имеет в настоящий момент довольно завершенный вид, многомерные системы всплесков, востребованные приложениями в той же или даже большей степени, чем одномерные, почти не изучены. Имеющиеся результаты относятся главным образом к наиболее простым случаям, когда многомерный базис либо является тензорным произведениям одномерных всплесков, либо порожден сепарабельным кратномасштабньш анализом. Таким образом, изучение многомерного случая в наиболее общей ситуации (несепарабельной), когда коэффициент растяжения - произвольная целочисленная матрица, является актуальной задачей.
Цель работы. Исследование биортогональных систем всплесков (в Rd) в несепарабельном случае, т. е. в качестве коэффициента растяжения рассматривается целочисленная матрица М размером d х d, где d - размерность пространства, такая что все собственные числа по модулю больше единицы.
Научная новизна и практическая ценность.
получено необходимое и достаточное условие биортогональности целых сдвигов пары несепарабельных масштабирующих функций в терминах собственных чисел некоторого оператора;
показано, что необходимым и достаточным условием биортогональности целых сдвигов пары несепарабельных масштабирующих функций является отсутствие нулей у пары порождающих их тригонометрических полиномов на некотором компакте;
получено достаточное условие биортогональности целых сдвигов пары несепарабельных масштабирующих функций в терминах отсутствия циклов у некоторого оператора;
указаны свойства масштабирующих функций, при которых соответствующие функции всплесков порождают биортогональные базисы в Ь2(Ш*); построен двумерный пример биортогональной системы гладких всплесков с компактным носителем;
совместно с М. А. Скошшой разработана общая теория многомерных несепарабельных периодических кратномасштабных анализов. Найдены явные формулы для коэффициентов Фурье всех всплеск-функций. Построен конкретный пример несепарабельного периодического кратномасштабного анализа и в нем найден базис
всплесков.
Работа носит теоретический характер. Ее методы й результаты могут быть полезны специалистам Санкт-Петербургского государственного университета, Воронежского государственного университета, Санкт-Петербургского отделения Математического института Российской академии наук и Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена. Полученные результаты можно использовать при дальнейшем изучении несепарабельных базисов всплесков, а также в цифровой обработке аудио, видео сигналов и изображений, сжатия и передачи информации.
Методы исследований. В диссертации используются в основном теоретические методы функционального анализа, теории при-ближения функций и теории групп.
Все основные результаты работы являются новыми.
Апробация полученных результатов. Результаты работы докладывались на семинарах по конструктивной теории функций (рук. проф. Г.Й.Натансон) и "Всплески и их приложения" (рук. проф. Ю.К.Демьянович, проф. В.Н.Малоземов, проф. М.А.Скошша); на международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики "(Казань 2000т), на Воронежских зимних математической школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж 2001, 2003 гг.), на международной конференции "Optimization of Finite Element Approximations Sc Splines and Wavelets"(С-Петербург, 2001г.), на Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов 2002г.), на II международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Новороссийск 2002г), на международной конференции "Wavelets and Splines"(С-Петербург, 2003г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы, которые указанны в конце автореферата, а также имеются публикации в тезисах конференций "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань 2000г), "Wavelets and Splines "(С-Петербург, 2003г.).
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы. Нумерация параграфов сквозная. Нумерация утверждений (тео-
рем и лемм) ведется совместно, отдельно для каждого параграфа. Текст диссертации изложен на 102 страницах машинописного текста. Список литературы включает 31 наименование.
Кратномасштабный анализ
Определение многомерного кратномасштабного анализа хорошо известно (см., например, [30]). Определение 3.1. Пусть {Vj}JL_QO последовательность замкнутых подпространств в L2(IRd). Будем говорить, что совокупность {Vj}(jlz_00 является кратномасштабным анализом (КМА) в L2(M.d), если MR5. существует функция ц , целые сдвиги которой образуют базис Рисса в VQ. Пусть (р, ф Є L2(Rd) - масштабирующие функции с конечными масками, их целые сдвиги биортогональны. Положим — зо — I Функции ipjk и ifjk, к Є Zd образуют базисы в пространствах Vj и VJ- соответственно. При таком определении выполнены аксиомы MR1 и MR4. Цель этого параграфа выяснить, при каких условиях налагаемых на if, порождаемая ей система пространств будет образовывать КМА. Лемма 3.2. Пусть р є L2(Rd), тогда функция ]CfceZd 1 (ж + )2 суммируема на (0, l)d. Доказательство. Рассмотрим ряд У] / \(p{x + k)\ dx = 22 I \&(х)\ dx — \ \(р(х\2 dx. В силу теоремы Планшереля правая часть этого равенства конечна, а у значит по теореме Леви функция Ylkezd \ (х + )1 почти всюду конечна и Предложение 3.3. Пусть функции / , ф Є L2(Rd) масштабирующие функции с конечными масками, их целые сдвиги биортогональны. Тогда m. е. выполняется условие MR5. Доказательство. Определим функции fo(x) := Yl \&(х + 0I2 iezd и /о(ж) := Z) 1 (ж + 012 х Є d- Из леммы 3.2 следует, что функции Jezd /о, /о из I QO, l)d). Покажем, что /0 тригонометрический полином: /0(n) Из того, что маска конечна, аналогично одномерным рассуждениям, следует, что функция р имеет компактный носитель, и значит, только ко-нечное число /о отлично от нуля, следовательно /о тригонометрический полином. Аналогичными проверяется, что /0 тригонометрический полином. Из равенства (2.6) следует, что iezd Следовательно, из неравенства Коши-Буняковского, Так как и fo(u), и fo(u) ограничены (это тригонометрические полиномы), то (3.4) влечет их отделимость от нуля, или равенства (3.3). ш Рассуждениями, аналогичными одномерным, можно показать, что из неравенств (3.3) следуют неравенсва для любой функции / L2(Rd) Теорема 3.4. Пусть p Є L2(Rd) и выполнено (3.3). Тогда для совокупности пространств Vj, j Є Zd, определенных равенством (3.2), выполняется условие MR3. Доказательство. Покажем, что для любой функции / L2(Rd) Коши-Буняковского, имеем Из (1.4) следует, что диаметр множества M [—R}R]d стремится к нулю при j -» —сю, а, значит, при для достаточно больших по модулю отрицательных j множества M —R, R]d -+- к, к Є Zd, будут попарно дизъюнктными. Поэтому, положив гДе Xs{R,j) - характеристическая функция множества S(R,j). Если у Zd, то
Предельный переход здесь возможен в силу теоремы Лебега. Пусть теперь / - произвольная функция из L2(Rd). Задав є 0, найдем такую финитную непрерывную функцию /, что II/ - /II е. (3.8) d Из (3.5) следует Осталось применить неравенство треугольника и принять во внимание, что для / справедливость (3.6) уже установлена. Предположим, что существует такая функция / Є L2(Md), что / Є Vj для всех j Є Ъ. Из (3.5) следует По (3.6) правая часть стремится к нулю при j — —со. Это влечет / = О, что и означает выполнение условия MR3. Лемма 3.5. Пусть функция у Є L2(Rd), jjk := m 2ry(Mj +k). Тогда для любой функции / L2(Rd) Доказательство. По определению скалярного произведения и используя равенство Планшереля, имеем Сделаем в каждом интеграле замену переменной w = M Jt + М Ч, поменяем местами суммирование и интегрирование, что возможно в силу теоремы Лебега, продолжая цепочку равенств, получим т? I / 53 КМ Ч 4- М ЧЩі + )e27ri(M)cft2 = fceZd [0д)(і «Zd ks% [0l)d где h(t) = Yl f(M 4 + M 4Y({t + l) является 1-периодической по каж eezd дой переменной функцией, причем функция h суммируема с квадратом на (0, l)d из неравенства Коши-Буняковского и леммы 3-2. Заметив, что под интегралом стоят коэффициенты Фурье функции h, используя равенство Парсеваля, продолжим цепочку равенств: mJY \4k)\2 = rnj f \h{x)\2dx = ez" [0,1) = т? j I ]Г f(M jx + М )ч(х + )\2dx ш tezd [0,1) f(w + M j)j(M -jw + )\2dw. m M i[Q,iy eZd Теорема 3.6. Пусть p Є L2(Rd), lim (p(w) = ф(0) 0u выполне-но (3.3). Тогда для совокупности пространств Vj, j Є Ъ, определенных равенством (3.2), выполняется условие MR2. Доказательство проведем от противного. Предположим, что существует функция / є I/2(Rd), f ф 0, такая что / _]_ Vj для всех j Є Z. Поскольку множество финитных функций из C(2d+1\Rd) всюду плотно в L2(M.d), то для любого є 0 найдется финитная функция / Є C 2d+1 (Ed), такая что / — /([2 е. Достаточно доказать, что / є. Пусть Pj ортогональный проектор на Vj. Поскольку функция / ортогональна всем пространствам Vj, имеем скалярного произведения и неравенств (3.5) следует, что
Биортогональность целых сдвигов масштабирующих функ ций в терминах масок
Теорема 6.1. Пусть р, ф Є L2(Rd) масштабирующие функции с конечными масками с, с соответственно, соответствующие этим маскам тригонометрические полиномы то, то удовлетворяют условию (2.8); то(0) = mo(0) = 1. Тогда следующие условия эквивалентны (B) Целые сдвиги ср, ф - биортогоналъны; (C) существует компакт К, конгруэнтный [—1/2, l/2]d по модулю Zd, содержащий окрестность нуля, такой что Замечание 1. Множество К - компактно и, следовательно, ограничено, т. е. существует такое R 0, что К С [-R, R]d. Из непрерывности то и то (они являются тригонометрическими полиномами), того, что mo(0) = m0(0) = 1, и из (1.3) имеем \mo(M ku)rnQ(M ku)\ 1/2 для всех и Є [-R, R]d при к ко. Таким образом, выполнение соотношений (6.1) сводится к требованию, что 2&о функций не имеют нулей на К. Замечание 2. Если то и то не обращаются в ноль в некоторой окрестности нуля, а именно, на множестве [J М [—1/2, l/2]d, то це Jt=i лые сдвиги ср, ф биортогональны (т. е. в качестве компакта К взят куб [—1/2, l/2]rf). Заметим, что из (1.3) следует, что существует к0, такое что для любого к к0 выполнено Af [-l/2, l/2]rf с M _1[-l/2, l/2]rf, значит, достаточно проверить отсутствие нулей на первых ко множествах. В случае если \\М г\\ 1, то M _fc[-l/2, l/2]d С M k+1[ l/2, l/2]d и достаточно того, что то и то не имеют нулей на М _1[—1/2, l/2]d. Доказательство теоремы 6.1. Необходимость. Из биортогональности целых сдвигов /?, ф в силу (2.6) имеем ф(и + 1) ц (и + 1) = 1. iezd Слева стоит непрерывная функция, что проверяется по той же схеме, что в одномерном случае. Применив лемму 5.2 к F = \ р ф\, что возможно из (2.4), получим, что существует компакт К, конгруэнтный [—1/2,1/2] по модулю Zd, содержащий окрестность нуля, такой что но раз произведение функций отделено от нуля, значит, и каждая отделена, что и заканчивает доказательство необходимости. Достаточность. Применим лемму 5.3 к тр(и) = mo(u)rho(u), получим сходятся к ф ф в Ll{ Поскольку компакт К - конгруэнтен [—1/2, l/2]d по модулю Zd, то для любой 1 - периодической по каждой переменной функции / J f = к f f = f f. В частности, используя (6.2), для любого п Є Ъй [-1/2,1/2]" [О,!] получаем mk J f[ m0(M k-jv)rn0(M k-jv)t І i=l k mk І П ma(M k-jv)rno(M k-jv)e-ii2m M kv)dv = К 3 = k-l f Д mo{M lv)mo(M lv)e-2 n M k mo{v)mo{v)dv. [од]" -1 Воспользовавшись леммой 1.1 при A = M (под интегралом стоит 1 периодическая по каждой переменной функция), имеем - -i mk Y1 / ]\m(M lv)rrk(M lv)e-2 W kv)m(v) ddv. Далее, сделаем в каждом слагаемом замену v = и+М 1г, где г Є D(M ), внесем сумму под знак интеграла и, воспользовавшись формулой (2.8), получим r к-1 тк / П {M lu)rnQ{M lu)e- 27T M ku)du. M l[o,i)d f=1 Сделав замену v = М и, а затем заменив I — 1 на I, получим - к-2 тк 1 і Y[m0(M lv)m0(M lv)e-2ni{nM k lv)dv = [o,i)d l- = I vk-i(v) e-2iti{n,v)dVm — 51 — Таким образом для любых к, п Є N, имеем f Vk(v)e-2Wdv = f tik. e- dv. Построив аналогичную цепочку равенств при к тригонометрическими полиномами), того, что mo(0) = m0(0) = 1, и из (1.3) имеем \mo(M ku)rnQ(M ku)\ 1/2 для всех и Є [-R, R]d при к ко. Таким образом, выполнение соотношений (6.1) сводится к требованию, что 2&о функций не имеют нулей на К. Замечание 2.
Если то и то не обращаются в ноль в некоторой окрестности нуля, а именно, на множестве [J М [—1/2, l/2]d, то це Jt=i лые сдвиги ср, ф биортогональны (т. е. в качестве компакта К взят куб [—1/2, l/2]rf). Заметим, что из (1.3) следует, что существует к0, такое что для любого к к0 выполнено Af [-l/2, l/2]rf с M _1[-l/2, l/2]rf, значит, достаточно проверить отсутствие нулей на первых ко множествах. В случае если \\М г\\ 1, то M _fc[-l/2, l/2]d С M k+1[ l/2, l/2]d и достаточно того, что то и то не имеют нулей на М _1[—1/2, l/2]d. Доказательство теоремы 6.1. Необходимость. Из биортогональности целых сдвигов /?, ф в силу (2.6) имеем ф(и + 1) ц (и + 1) = 1. iezd Слева стоит непрерывная функция, что проверяется по той же схеме, что в одномерном случае. Применив лемму 5.2 к F = \ р ф\, что возможно из (2.4), получим, что существует компакт К, конгруэнтный [—1/2,1/2] по модулю Zd, содержащий окрестность нуля, такой что но раз произведение функций отделено от нуля, значит, и каждая отделена, что и заканчивает доказательство необходимости. Достаточность. Применим лемму 5.3 к тр(и) = mo(u)rho(u), получим сходятся к ф ф в Ll{ Поскольку компакт К - конгруэнтен [—1/2, l/2]d по модулю Zd, то для любой 1 - периодической по каждой переменной функции / J f = к f f = f f. В частности, используя (6.2), для любого п Є Ъй [-1/2,1/2]" [О,!] получаем mk J f[ m0(M k-jv)rn0(M k-jv)t І i=l k mk І П ma(M k-jv)rno(M k-jv)e-ii2m M kv)dv = К 3 = k-l f Д mo{M lv)mo(M lv)e-2 n M k mo{v)mo{v)dv. [од]" -1 Воспользовавшись = 1, получим f m(u)e-2iri{n u)du = ...= f e MMdv = Sn0 Vn є N, Rd [0,l)d а, значит, и [ ${u) J(v)e-2 u)du = lim f fik{u)e-2ni u)du = Sn0 Vn Є N. J A- oo J Теорема доказана. Положим Очевидно, что ср непрерывная функция; целые сдвиги /?, ф биортого-нальны тогда и только тогда, когда р (р) — бро для любого р Є Zrf. Заметим, что функция /? является масштабирующей с маской с и, если ш0(0) = то (О) = 1, то с (0) - 1. Определим оператор Wc, действующий из l2(M.d) в l2(Rd) : qZd Если / : M.d — С, то через /і будем обозначать сужение / на целочисленную решетку. Несложно заметить, что последовательность (fi является собственным вектором оператора Wc», соответвующим собственному числу 1.
Достаточные условия биортогональности
Определим операторы Р0, Д : L2(Rd) - L2(Rd) для любого х Є W1: Обозначим через (P) условие: существуют строго положительные полиномы /о, /о такие, что Р0/о = /о, Д/о = /о, и это единственные тригонометрические полиномы (с точностью до постоянного множителя), инвариантные относительно PQ, PQ соответственно. Определим оператор г : [0, l)d — [0, l)d по следующему правилу тсс = М - к, где А; Є Zd, такое что тх Є [0, l)d. Циклическим множеством относительно т назовем множество векторов xi, ...,хп Є [0, l)d, такое что тхп = хп-\, тхп-\ — хп_2, -, тх\ = хп. Обозначим через (СІ) условие: не существует ненулевого циклического множества {жі,...,ссп} относительно т такого, что mo(xj -f M 1s) = 0 или rho{xj+M 1s) = 0 для всех j = 1,..., пи s Е DQ(M ), где DQ(M ) - множество цифр, из которого исключен сравнимый с нулем элемент. Теорема 8.1. Пусть , ф Є L2(Rd) масштабирующие функции с конечными масками с, с соответственно. Пусть соответствующие этим маскам тригонометрические полиномы то, то удовлетворяют условию (2.8), то(0) = то(0) = 1. Тогда выполнены следующие импликации Для доказательства теоремы понадобится следующая лемма. Лемма 8.2. Пусть тригонометрические полиномы то, то удовлетворяют условиям то(0) = то(0) — 1 и (2.8) и пусть f неотрицательный тригонометрический полином, инвариантный относительно PQ. Тогда множество нулей f может быть записано как непересекающееся объединение циклических множеств относительно т. Более того, если f(x) = 0, то то(х + M 1s) = 0 для любого s Є DQ(M ). Доказательство. Если у / нет нулей или единственный ноль функции / это х = О, то нечего доказывать, так как и второй множитель в каждом слагаемом отличен от нуля. Таким образом, не умоляя общности, можно считать, что существует отличный от нуля вектор х Є [0, l)d такой, что f(x) = 0. Тогда имеем Из условия (2.8) следует, что все то(М х + М s) не могут быть равны нулю одновременно, поэтому существует so Є D(M ) такое, что f(M -1x + M -1sQ) = 0. Следовательно с каждым нулем х\ Є [0, l)d, х\ ф О функции / можно ассоциировать цепочку нулей, то есть существуют si, 52, ...,sn_i Є D(M ) и /ь ..., _і Є Ъа такие, что #2 --- ffn Є [0, l)d и f(x\) = f(x2) = - = f(xn) = 0 или, что равносиль-но, Xj+i = TXJ (сдвиги на Ik нужны для того, чтобы Х2,...,хп попали в [О, l)d, эти сдвиги больше ни на что не влияют, так как функции /о и то являются 1-периодичными). Тригонометрический полином / имеет конечное число нулей, поэтому цепочка не может быть бесконечной. Пусть г - первый индекс, при котором происходит рекурсия, то есть Xr = Xk для некоторого к г. Тогда обязательно к = 1, так как к 1 приведет к х\ = тк 1Хк — тк 1хг — xr-k+i, где 1 г — к + 1 г, так что г будет не первым индексом в рекурсии. Следовательно мы имеем цикл нулей х\, ...,xr-i таких, что TXJ+I = Xj при j = 1,..., г — 2 и тх\ = хг-\. Заметим, что rr lXj — Xj для любого нуля в цикле. Если этот цикл нулей не исчерпывает множество нулей отличных от нуля, то мы можем найти отличный от нуля вектор г/1 ф Xj, j = 1,..., г — 1, для которого /(г/і) = 0. Отсюда может быть образована новая цепочка нулей у1} у2,..., 2/г, Каждый элемент этой новой цепочки обязательно отличен от любого Xj, так как гц = Xj влечет у\ = т1 1уі = T1 1XJ, то есть у\ будет совпадать с некоторым х .
Рассуждая как показано выше, получим, что у\ образуют цикл нулей /, инвариантный относительно т, и непересекающийся с первым циклом. Мы можем продолжить конструирование таких циклов пока не исчерпаем конечное множество нулей тригонометрического полинома /. Это доказывает первую часть леммы. Покажем теперь, что если f(x) = О, то /(a; + M _1s) ф О для любого s Є DQ(M ). В самом деле, так как для любого s тх — т(х + M 1s), то х и (х 4- M ls) принадлежат одному циклу нулей, если f(x) = 0 = f(x + M 1s). Если длина цикла равна п, то следовательно х — тпх = тп 1тх = тп 1т(х + M ls) = х + M -1s + /, что невозможно. Наконец, заметим, что если f(x) = 0, то m0(x 4- M -1s) = 0 для любого s Є Do(M ). Действительно, для любого х такого, что f(x) = О, тх - это также ноль функции /, следовательно Так как f{x) — 0 и /(ж + M -1s) 7 0 для любого s Є D0(M ), то то(х + M _1s) = 0 для любого s Є DQ(M ). Таким образом, существование / ведет к существованию циклического множества xi, ...,хп по г такого, что Xj = TXJ+I, j = 1,..., п — 1; х\ = тжп и такого, что тпо(ж -f- M _1s) = 0 для любого S Є Do(M ).
Построение гладких масштабирующих функций
Необходимым условием гладкости порядка N функции всплесков ф является [ша х1ф{х)йх = 0 для всех натуральных векторов /, таких что / Необходимое условие гладкости порядка N функции всплесков ф в двухканальной системе можно сформулировать в терминах масок, а именно D mo(S ) — 0 для всех I, \l\ iV, где символ D1 означает частные производные, которые взяты 1\ раз по первой переменной, І2 раз по второй и т.д. Куклев, Нишихара, Йошида и Саблаташ [13] использовали полиномы Бернштейна для построения двух- и трехмерных пар биорто-гональных масок, удовлетворяющих необходимому условию гладкости, в двухканальной системе для "шахматных" (quincunx) матриц соответственно второго и третьего порядка ("шахматная" матрица второго порядка показана в 11). Но полиномы Бернштейна могут быть использованы при построении пар биортогональных масок в пространствах любой размерности и для широкого класса матриц. Схема построения такова: сначала строится четный (по косинусам) тригонометрический полином то степени N, такой что то имеет в точке S ноль кратности N и mo(w) + rao(w + S ) = 1. Далее, полагаем где полином Е, такой что При таком выборе Е выполнено необходимое условие биортогональности (9.1). Чтобы функция ф имела гладкость порядка К, надо потребовать, чтобы частные производные E(w) до порядка К включительно в точке S равнялись нулю. При таком построении полиномы то и то четные, значит, их коэффициенты образуют симметричный массив чисел, выполнено необходимое условие биортогональности, а также выполнены необходимые условия гладкости для функций фиф порядка К и N соответственно. Пусть d 2 (при d = 1 полиномы Бернштейна используются в несколько другой конструкции, см. [1]). Рассмотрим полином Бернштейна порядка Аг Є N в многомерном случае (х = (xi,...,Xd) Є [0, l]d, j = Из соображений симметрии, координаты вектора S равны либо нулю, либо 1/2 (не все нули). Построим маски в случае, когда имеются хотя бы две ненулевые координаты у вектора S . Для удобства предположим, что первые к координат (к 2) не равны нулю.
Положим Для этой функции выполненно равенство /о(#ъ ..., Xd) + /о(1 — ь 1 — Суммарная степень у мономов (1 — xt)N , і = 1,..., d в каждом слагаемом равна kN — j\ — ... — jk Nk/2 N при к 2. При каждом дифференцировании степень либо понижается на единицу, либо не изменяется. При дифференцировании (неважно по каким переменным) N раз степень в каждом слагаемом может уменьшиться не больше, чем на N, значит, в точке (1,...,1,0,...0) полином Ду/о имеет ноль кратности по меньшей мере N. В качестве гао возьмем Несложно увидеть, что 7710(5 ) = 0, полином 777,0 четный, и m$(w) + mo(w + S ) — 1. Необходимое условие гладкости порядка N функции всплесков ф выполнено, так как функция то имеет ноль в точке S порядка ./V из свойств полин использовали полиномы Бернштейна для построения двух- и трехмерных пар биорто-гональных масок, удовлетворяющих необходимому условию гладкости, в двухканальной системе для "шахматных" (quincunx) матриц соответственно второго и третьего порядка ("шахматная" матрица второго порядка показана в 11). Но полиномы Бернштейна могут быть использованы при построении пар биортогональных масок в пространствах любой размерности и для широкого класса матриц. Схема построения такова: сначала строится четный (по косинусам) тригонометрический полином то степени N, такой что то имеет в точке S ноль кратности N и mo(w) + rao(w + S ) = 1. Далее, полагаем где полином Е, такой что При таком выборе Е выполнено необходимое условие биортогональности (9.1). Чтобы функция ф имела гладкость порядка К, надо потребовать, чтобы частные производные E(w) до порядка К включительно в точке S равнялись нулю. При таком построении полиномы то и то четные, значит, их коэффициенты образуют ома Бернштейна. Если хотим, чтобы функция ф имела гладкость порядка К, то при построении rh(j(w) в качестве Е можно взять Несложно проверить, что при таком выборе Е выполнены условия (10.2) и необходимое условие гладкости порядка К для функции ф. Для того, чтобы проверить достаточное условие гладкости порядка N функции ф, вспомним, что Значит, для того, чтобы существовали производные функции ф до поряд-ка N включительно, нужно чтобы функция ф достаточно быстро убывала на бесконечности, т. е. достаточно проверить, что для всех 1\ + ... + hi — N и для некоторого 0 а 1. Можно проверить эти условия численно.
