Введение к работе
Актуальность темы. Развитие функционального анализа привело к появлению в иатеиатике конструктивно сложных объектов (аналитические и проективные множества, псевдотопологии, различные классы векторных пространств со сходимостью, пространства Ы.де Вильде, П.П.ЗабреЯко и Е.И.Смирнова и т.д.), нашедших разнообразные плодотворные приложения. 9 то же время в последнее десятилетие наблюдается бурное развитие теории топологических модулей. В частности, проблема А.Гротендика о построении классов локально выпуклых пространств, обладающих теоремой о замкнутом графике и широкими свойствами перманентности, получила положительное решение в работах JJ.tteap-ца, В.СЛОШКОВСКОГО, Д.А.Райкова, М.де Вильде, П.П.Забрейко, Б.И. Смирнова, ТёА. Ефимовой и многих других.
После появления работы А.Гротендика СП возникла проблемапостроения классов ^ топологических векторных прост-эанств, содержащих все полные метрические векторные простран-їтва (ШЗП) и обладающих следующими двумя свойствами:
1)Для любого UBJI второй категории X и любого пространства Xе.^г справедлива теорема о замкнутом графике для
мнейных операторов, действующих ИЗ X 8 Y .
2)Класс *і аамкнут относительно операций образования
роиэведений, проективных и индуктивных пределов счетного
исла пространств.
Существенно используя конструкции В.Словиковского, эту
роблену впервые решил Д.А.Райков С2Л, который ввел класс
ространств, допускающих так называемые «»)о - представление.
озднее, близкие и более просто описываемые классы были вве-
- * -
дены М.де Вильде, М.Накамурой.П.П.Забрейко, Е.И.Смирновым, Т.А.Ефимовой и другими авторами; Т.А.Ефимовой были изучены взаимосвязи между различными классами пространств. Расширение этого круга вопросов на класс топологических модулей представляет интерес как в теоретическом, так ив практическом плане.
Цель работы. В диссертации вводится и изучается класс модулей с топологией, обладающий аналогии свойств 1) и 2) и расширяющий класс пространств Суслина П.П.Забрейко и Е.И.Смирнова. Устанавливаются условия.совпадения совместной и раздельной непрерывности умножения в модуле на элементы топологической алгебры. Исследуются связи между классами пространств Суслина топологических А -модулей и топологических А -групп с сетями. В классе Н -пространств Е. И. Смирнова Г 33 изучается операция топологического тензорного произведения.
Общая методика,выполнения исследований. Используются классические методы теории топологических векторных пространств (ТБП) и топологических модулей (ТМ), в частности,ка-тегорнне методы и техника, связанная с А -операцией Суслика и OS -операцией Й.Хаусдорфа и А.И.Колмогорова.
Научная новизна. Операция конструирования ТЕП .- предел Суслина распространяется на класс топологических модулей. Получены обобщения теорем о замкнутом графике, доказанных Е.И.Смирновым для МН] и Т.А.Ефимовой для топологических векторных групп (ТБГ) с сетью (С4Э). Рассмотрены условия сохранения свойств Н —пространств при операции топологического тензорного произведения. Доказана теорема о совместной непрерывности в классе топологических модулей, иа которой вы-
-..5-
текает теорема С.Какутани'для квазинормированных пространств. Получены условия уравновешенности бависа окрестностей нуля в топологической А -группе.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит Фундаментальный характер, разработаны новые теоретические положения, развивающие классические результаты. Результаты могут быть использованы в исследованиях, связанных с теоремой о замкнутом графике, в теории дифференциальных операторов, а также при изучении топологических тензорных произведений, а также в вопросах, связанных с применением теории гомологии а топологических модулях.
Апробация. Результаты работы докладывались на ХУ Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в г.Ульяновске, на семинарах профессора В.П.Одинца по геометрии банаховых пространств в Российском государственном педагогическом университете им.А.И.Герцена, профессора И.А.^ахтина по теории банаховых пространств с конусами я Воронежской педагогическом институте и на Герценовских чтениях в г.Санкт-Петербурге в 1992 году.
Публикации.. По теме диссертации опубликовано 4 работы.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 97 стра-ницахницах, состоит из введения и шести параграфов. Список литературы содержит 45 наименований,
