Ортогональные и экстремальные полиномы на нескольких отрезках Лукашов Алексей Леонидович

Содержание к диссертации

Введение

1 Экстремальные функции на нескольких отрезках 38

1.1 Функции Шоттки-Бернсайда 38

1.2 Алгебраические дроби Чебышева-Маркова на нескольких отрезках 64

1.2.1 Вспомогательные утверждения 64

1.2.2 Основной результат 77

1.3 Рациональные функции Чебышева-Маркова на нескольких отрезках 81

1.4 Тригонометрические функции, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках 88

2 Ортогональные полиномы на нескольких отрезках и дугах 104

2.1 Ортогональные многочлены на нескольких отрезках действительной оси 104

2.2 Ортогональные многочлены на нескольких дугах единичной окружности 115

2.3 Ортогональные рациональные функции на нескольких дугах единичной окружности 124

3 Асимптотическое поведение коэффициентов рекуррентных соотношений ортогональных многочленов 133

3.1 Коэффициенты трехчленных рекуррентных соотношений для многочленов, ортогональных на нескольких отрезках 133

3.2 Круговые параметры ортогональных многочленов на не скольких дугах единичной окружности 145

4 Различные задачи 160

4.1 Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках 160

4.2 Задача построения оптимального электрического фильтра 166

4.3 Тригонометрическая проблема моментов на нескольких отрезках 170

4.4 Интерполяционные процессы на нескольких отрезках 173

4.5 Некоторые обобщения свойств классических ортогональных многочленов 189

Библиография 203

• Алгебраические дроби Чебышева-Маркова на нескольких отрезках
• Тригонометрические функции, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках
• Ортогональные многочлены на нескольких дугах единичной окружности
• Круговые параметры ортогональных многочленов на не скольких дугах единичной окружности

Введение к работе

В диссертации исследуется круг экстремальных задач теории приближений на нескольких отрезках действительной оси. Описано решение задачи Чебышева-Маркова на нескольких отрезках, его тригонометрический аналог; найдены представления ортогональных многочленов, обобщающих многочлены Бернштейна-Сегё, для мер Геронимуса на нескольких дугах единичной окружности; исследовано множество предельных точек последовательностей коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений и круговых параметров для этих ортогональных многочленов; установлены точные оценки производных рациональных функций и их тригонометрических аналогов на нескольких отрезках, точные по порядку оценки констант Лебега соответствующих интерполяционных процессов. В качестве применения разработанных методов и подходов получены результаты, обобщающие свойства классических ортогональных многочленов Чебышёва и Якоби, а также уточнен известный критерий разрешимости тригонометрической проблемы моментов на нескольких отрезках.

Тематика, связанная с полиномами, наименее уклоняющимися от нуля, началась с мемуара П. Л. Чебышёва [94], представленного в Академию Наук в 1853 г. Эта тематика занимала центральное место в теории приближений на первом этапе ее развития (этапе приближения индивидуальных функций посредством полиномов и рациональных дробей). П.Л. Чебышёв нашел точные решения ряда задач в этой тематике, но, поскольку число таких явных решений весьма невелико, в дальнейшем основное развитие теории приближений пошло по пути приближения классов функций различными методами, их сравнении между собой и т.д. (Подробнее см., например, обзор [377]). Тем не менее, точные решения как классических, так и вновь возникающих задач имеют, как правило, мно гочисленные приложения в различных областях. Назовем лишь некоторые из них: вычислительная математика, электротехника, квантовая химия, математическая физика, физика твердого тела, математическая статистика. Многочленам Чебышёва посвящены монографии [286, 330], каждая книга по теории приближений обязательно содержит разделы с изложением их основных свойств. Обзоры [225, 226, 291, 294, 92, 378, 353, 126] содержат сведения о разнообразных применениях их обобщений (многочленов Золотарева, Ахиезера и др.). Приведем более подробные сведения по истории вопроса, точнее, по поводу полиномов по чебышевским системам, наименее уклоняющимся от нуля.

Рассматриваются "рациональные тригонометрические" функции вида , . Acos N(p +В sin N p + ai cos( N-1)р +... + Ъ\щвшШ- [N]) p гЫ = 7m (0.1) где N - полуцелое, N Є N/2, А, В Є R,A2 + В2 0, - фиксированные числа, А( р) - фиксированный действительный тригонометрический полином порядка а, а 2N, положительный на заданной конечной системе ОТреЗКОВ S = [(pi, tp2] U ... U [ 21-1, 2/]} Ь (fi р2 ... у 21 b + 27г; а также их алгебраические аналоги x2N + Ciaj™-l + ... + C2tf VW) (0.2) где А(х) - фиксированный действительный многочлен степени 2а 4N, положительный на Е С [—1,1]. П.Л. Чебышёв [94, 95] нашел дроби вида (0.2), наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной норме на Е = [— 1,1], в случаях А (ж) = 1 и А(х) = Q2{x), где Q - многочлен, А.А. Марков [253] привел другую форму решения этой задачи, а также и более общего случая (Е = [—1,1], А— произвольный положительный на Е многочлен степени, не превосходящей половины степени числителя), поэтому соответствующие функции называются функциями (дробями) Чебышёва-Маркова. Отметим монографию [338], посвященную теории этих рациональных функций. Надо сказать, что в западной литературе работа А.А. Маркова цитируется редко и его результат неоднократно переоткрывался (см. [107, 313] и ДР-) Случай Е — [—1,а] U [Ь, 1],А = 1 полностью решен Н.И. Ахиезером в работах [6]-[9], Е — [— 1,а] U [6,1], Л = Q2,Q— произвольный не обращающийся в нуль на Е многочлен - в работе автора [243], составлявшей основную часть кандидатской диссертации. Найденное Н.И. Ахиезером представление многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на двух отрезках, зависит от геометрии системы отрезков. Полное описание решения распадается на несколько возможных форм представления, использующих либо эллиптические, либо автоморфные (в [6]) функции. Отметим, что в случае возможности использования эллиптических функций эти многочлены Ахиезера по сути совпадают с многочленами Золотарева (см., например, [226], где обсуждаются и другие близкие вопросы). Многочленам Золотарева [404], т.е. многочленам, наименее уклоняющимся от нуля на Е = [—1,1] в равномерной норме с двумя фиксированными старшими коэффициентами, посвящена обширная литература (см., в частности, обзоры [92, 378]). Отметим здесь недавние работы А.Б. Богатырева и В.А.Малышева [74, 252], в которых был существенно развит и дополнен подход Н.Н. Меймана [258, 259] и получено качественное описание решения существенно более общей задачи.

Для А(х) — (а2 — х2)2,Е = [—1, a] U [а, 1], дроби Чебышёва-Маркова были выписаны (в эллиптических функциях) в [236].

Перейдем к случаю Е = [аі,аг] U ... U [0,21-1,0,21],А(х) = 1. "Базовым" здесь является тот случай, когда Е - прообраз отрезка при полиномиальном отображении. Этот случай может быть охарактеризован в различных терминах (см., например, обзор [353]), и тогда для степеней вида п = Nm, где N - степень полиномиального отображения, многочлены Чебышёва весьма просто выражаются через обычные многочлены Чебышёва и полином, осуществляющий упомянутое отображение (вариации на эту тему можно найти в [223, 331, 332, 374]). Вопрос эффективного нахождения "базового" случая, фактически подходящего для рассматриваемого множества Е и степени п, остается открытым до сих пор. Существенное продвижение в решении этого вопроса получено в [73], хотя оно применимо лишь при наличии дополнительной информации об искомом решении. Отметим также глубокую работу [400], содержащую ряд результатов об асимптотиках многочленов Чебышёва для общих компактов комплексной плоскости.

Тригонометрический аналог дробей Чебышёва-Маркова был найден впервые, по-видимому, в [373] (для S — [0,2тг]). Случай / = 2, А = 1 и S, симметрично расположенного относительно 0, рассматривался в [215] и (для использования в хаусдорфовой аппроксимации) в [312]. Харак-теризации "базового" случая в общей постановке для Л = 1 имеются в [305, 308]. Следует отметить, что для несимметрично расположенных отрезков формальное сведение к алгебраическому случаю с помощью обычно применяемой замены cos ц = х невозможно.

Одним из наиболее важных свойств дробей Чебышёва-Маркова на отрезке является обнаруженная С.Н.Бернштейном в [65] связь с ортогональными многочленами: числители этих дробей ортогональны относительно веса специального вида. Впрочем, это свойство можно интерпретировать и как еще одно их экстремальное свойство - каждый ортогональный относительно эрмитовой метрики полином является одновременно и экстремальным в соответствующей 2-метрике. Так как эти ортогональные многочлены (числители дробей Чебышёва-Маркова) исследовались также Г.Сегё и использовались им и С.Н.Бернштейном в построении теории ортогональных на отрезке многочленов относительно весов более общего вида, в теории ортогональных многочленов часто употребляется термин "многочлены Бернштейна-Сегё" [371, 181, 232]. Употребляется также название "ЧМБС-многочлены"(см. [228], там же указаны другие работы В.И. Лебедева, относящиеся к этому кругу проблем, а также [229, 230]).

Аналогичная связь существует и в рассматриваемом общем случае нескольких отрезков, но здесь ситуация сложнее, так как наличие такой связи обусловлено дополнительными требованиями к структуре множества Е(). Для двух отрезков в алгебраическом варианте эта связь была установлена в [288, 352], для произвольного числа отрезков - в [290, 353].

Теория ортогональных многочленов относительно общих весов, первоначально созданная именно с помощью исследования многочленов Бернштейна-Сегё, становится особенно популярной в последнее время благодаря открытым связям с другими областями математики (см., например, книги [108, 117, 341, 275, 72], сборники статей [272, 197, 152], статьи [143, 153]). Ее можно рассматривать также и как часть спектральной теории разностных операторов второго порядка, благодаря наличию трехчленного рекуррентного соотношения, коэффициенты которого составляют соответствующую матрицу Якоби. В рамках этой теории естественный вопрос - исследовать случай периодической матрицы Якоби или матрицы, периодической после удаления главного минора некоторого порядка. Впервые этот вопрос исследовался в работе Я.Л. Геронимуса [164], в которой были найдены меры, относительно которых ортогональны многочлены, имеющие периодические, начиная с некоторого номера, последовательности коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений. Эти меры представляют собой сумму абсолютно непрерывных мер, совпадающих с мерами, связанными с рациональными функциями Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках в "базовом" случае (подробнее см. [289, 290]), и, возможно, конечного числа точечных масс (мер Дирака). Предельно периодические последовательности рассматривались в работе А.И. Аптекарева [28], почти периодические - в работах [354, 156], см. также работы [267, 270, 376], в которых эти вопросы рассмотрены с точки зрения общей теории матриц Якоби. В связи с этим появилась естественная задача исследования поведения последовательностей коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов относительно мер Геронимуса. В случае, когда носитель абсолютно непрерывной части меры состоит из двух отрезков, эта задача была в явном виде поставлена и решена Ф. Пехерсторфером [293], отметим также работы [130, 323], в которых изучались аппроксимации Паде одного класса функций, знаменатели которых являлись ортогональными многочленами относительно более общего класса мер, чем класс мер Геронимуса. Для нескольких отрезков эта задача оставалась открытой. В связи с задачей исследования нулей ортогональных многочленов относительно мер Геронимуса упомянем недавние работы [297, 363], в последней исследованы аппроксимации Паде достаточно общего класса функций, чем достигнуто наибольшее продвижение (по сравнению, например, с [355]-[357]) в положительном направлении в гипотезе Бейкера-Гаммеля-Виллса, недавно опровергнутой как в исходной [239, 242], так и в уточненной Г.Шталем [90] формулировках. Отметим также работы [14, 21, 379, 96], в которых подробно изучались ортогональные многочлены относительно мер из более узких, чем класс Геронимуса, классов, а также работы [289, 290, 291, 227], в которых рассматривались другие аспекты теории ортогональных многочленов относительно мер Геронимуса.

Необходимость рассматривать ортогональные многочлены на нескольких отрезках появилась и во многих приложениях. Так, в теории унитарных ансамблей случайных матриц асимптотики корреляционных функций собственных значений тесно связаны с ортогональными многочленами относительно меняющихся весов, а предельное распределение собственных значений имеет носитель, состоящий из нескольких отрезков. Подробности можно найти в книге [108], а также в недавних работах [70,109,110], подход Римана-Гильберта, развитый в них, хорошо освещен также в работе [35]. В последнее время выявилась также связь между вышеупомянутыми статистическими вопросами и теорией интегрируемых систем (прекрасным обзором здесь служит [268]).

Теория интегрируемых систем является одним из самых бурно развивающихся разделов математики (см., например, обзоры [129, 281]), причем центральным понятием в алгебро-геометрической схеме конеч-нозонного интегрирования является понятие функции Клебша-Гордона-Бейкера-Ахиезера. Работа Н.И. Ахиезера [15], которая обычно цитируется в связи с этим, называется "Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов" и является одной из многих работ, использующих и развивающих аналогии между дифференциальными и разностными операторами. Среди наиболее важных из них укажем книги [37, 60, 234, 235], работы Н.И.Ахиезера [18], М.Г. Крейна [211, 212], А.И.Аптекарева и Е.М.Никишина [34, 274], Б.Саймона и др.[103, 200, 348], а также небольшой, но весьма информативный, обзор [33]. Отметим здесь также работы [29, 295, 365], содержащие результаты, непосредственно связанные и с теорией ортогональных многочленов, и с теорией интегрируемых систем.

Одним из самых последних примеров использования аналогий между спектральными теориями дифференциальных и разностных операторов является построение теории обратной задачи рассеяния для операторов Якоби (см. [376]) для случаев, аналогичных наиболее исследованным в обратной задаче для операторов Штурма-Лиувилля (почти периодических и быстро убывающих потенциалов). Это построение, проведенное в работе [397], также имеет аналог в теории ортогональных многочленов [309]. Отметим также недавнюю работу [342], в которой многие упомянутые ранее результаты были переоткрыты именно в рамках использования спектральной теории.

Конечно, здесь нет никакой возможности дать всесторонний обзор существующих взаимосвязей между теорией ортогональных многочленов и другими разделами математики, упомянем лишь некоторые работы, имеющие непосредственное отношение к теме ортогональных многочленов на нескольких отрезках: [51, 52, 55, 83, 85, 114, 138, 142, 151],[155]-[160],[168, 190, 195, 206, 220, 282, 283, 302, 382, 387, 402]. Необходимо также отметить, что ортогональные многочлены относительно неэрми-тового скалярного произведения являются знаменателями диагональных аппроксимаций Паде, исследованию которых посвящено огромное количество работ (см., например, книгу [47], статьи [176, 177, 280, 364]).

Надо сказать, что с тех пор, как Г.Сегё вывел асимптотические представления для ортогональных многочленов с помощью исследования систем многочленов, ортогональных на единичной окружности, именно таким образом были получены многие важные результаты об асимптотике многочленов, ортогональных на отрезке (см., например, результаты Е.А. Рахманова и В.М. Бадкова [322, 324],[38]-[43]). Заметим также, что даже случай одной дуги вносит существенные трудности. Не останавливаясь на этой ситуации подробно, отметим, что результаты работы [13], открывшей это направление, были доказаны существенно позже [169]. Ситуация существенно меняется для несвязных множеств. Так, в работе [380] (доказательства результатов которой так и не появились) отмечалось, что по сравнению со случаем нескольких отрезков для нескольких дуг имеются дополнительные трудности. Отметим, что веса, рассмотренные в [380], а также более общего вида [304]-[308], впервые появились в работе [162] (см. также [305, 308]) как решение задачи нахождения весов (точнее, мер ортогональности), ортогональные многочлены относительно которых имеют периодические (начиная с некоторого номера) последовательности круговых параметров ап (т.е. коэффициентов соответствующих рекуррентных соотношений). Изучение поведения последовательностей круговых параметров является актуальным и поныне (см. недавние работы [155, 156, 201, 202], связь с теорией рассеяния отмечалась в [154, 153], общая теория ортогональных многочленов на окружности освещена в книгах [371,165, 349], статьях [163,171,196]). В работе [53] был введен и исследован, по аналогии с известным в теории ортогональных многочленов на окружности классом Г.П. Неваи, класс многочленов с асимптотически периодическими последовательностями отношений an+i/an, а также модулей an круговых параметров. Естественный вопрос об исследовании поведения этих последовательностей для мер ортогональности вида, рассмотренного в [162], оставался открытым (если не считать рассмотренного в [400] вопроса о предельных точках последовательности норм ортогональных многочленов, весьма опосредованно связанных с круговыми параметрами).

Здесь уместно упомянуть об еще одном обобщении ортогональных многочленов, а именно, об ортогональных рациональных функциях. Теория таких функций была построена М.М. Држрбашяном [120]-[122], а позже ей был посвящен обширный цикл работ А.Бултхеела, П.Гонсалеса-Веры, О. Ньястада и Э. Хендриксена (см., например, их книгу [87]). Эта теория может рассматриваться и как часть более общей и интенсивно развивающейся в настоящее время теории ортогональных многочленов с переменными весами (см., например, обзор [381] и, по поводу соотношений между этии теориями, [285]), но тем не менее она продолжает привлекать внимание многих исследователей в связи с удобством приложений (среди многочисленных работ укажем [5, 75, 276, 277, 278, 369]). Несмотря на обилие работ, число явным образом конструируемых систем ортогональных рациональных функций весьма невелико,(см., в частности, обзор [123]) в связи с чем представляет интерес построение новых примеров.

Возвращаясь к многочленам Чебышёва, приведем их характеристику из [330]: "Многочлены Чебышёва напоминают бриллиант, переливающийся разными оттенками при освещении под разными углами". Одним из таких ракурсов является их экстремальность в задаче об оценке производной многочлена на отрезке. Эта задача, поставленная Д.И. Менделеевым, была решена А.А. Марковым [254]. Как известно, именно неравенство Маркова и его тригонометрический аналог (неравенство Бернштейна [64]), а также их обобщения особенно важны в обратных теоремах теории приближений. Этим неравенствам посвящены многочисленные книги и статьи (укажем, например, [3, 36, 50, 79, 98, 179, 321, 375]), тем не менее случай неравенств для производных многочленов, рациональных функций и тригонометрических полиномов на несвязных множествах оставался недостаточно исследованным, хотя в теории приближений изучаются вопросы приближения на таких множествах (в работах А.А. Гончара, В.К. Дзядыка, Н.А. Лебедева, П.М. Тамразова, В.Х.Й. Фукса, Н.А. Широкова и др. [57, 99, 102, 131],[146]-[148], [172]-[174], [210, 231, 247, 260, 261, 327, 345, 346, 366]).

Поскольку тема неравенств для производных полиномов слишком обширна, чтобы дать о ней хоть сколько-нибудь полные сведения, ограничимся лишь сведениями, имеющими непосредственное отношение к рассматриваемым в диссертационной работе вопросам. Еще в 1916 году И.И.Привалов [317, 318] обобщил неравенство Бернштейна на случай, когда вместо полного периода рассматривается некоторое его замкнутое подмножество положительной меры. Даже для случая, когда это подмножество - отрезок, соответствующее неравенство приобрело окончательный (нсулучшаемый) вид лишь в работе B.C. Виденского [394]. Позже им же [396] этот результат был перенесен на тригонометрические полиномы полуцелого порядка. Отметим, что недавно интерес к подобным оценкам оживился вновь ([170, 207, 241, 351]). Существенно более об щее неравенство, обобщающее не только упомянутые результаты, но и неравенства С.Н. Бернштейна и А. Шеффера для производных целых функций, получено в работе Н.И. Ахиезера и Б.Я. Левина [20]. Их результат, относящийся к алгебраическим многочленам на нескольких отрезках, был обобщен в недавней работе [383], причем последний результат также может рассматриваться как частный случай неравенства для полиномов от нескольких переменных [49, 384]. Другое обобщение неравенства Ахиезера-Левина (для производных мероморфных функций) получено в [233], различные неравенства для производных многочленов на множествах можно найти также в [77, 78, 137, 316, 385].

Ясно, что обобщить неравенство Маркова для производных алгебраических многочленов на рациональные функции со свободными полюсами нельзя (например, функции є2/(ж2 + е2) ограничены единицей на отрезке [—1,1], а их производные на том же отрезке имеют максимум порядка 0(1/є)). Поэтому для рациональных функций со свободными полюсами неравенства для производных получают либо в других метриках, либо с исключением множеств малой меры и т.д. (среди наиболее значимых работ в этом направлении отметим работы А.А. Гончара, Е.П.Долженко, В.И. Данченко [105, 106, 124, 174]). Другое направление - оценка производных рациональных функций с заданными полюсами. Этому направлению посвящена книга В.Н. Русака [338], в частности, им получено [337] неравенство для производных рациональных функций, включающее как частный случай неравенство Бернштейна-Сегё [63, 370] (точнее, его алгебраический аналог, впервые явно сформулированный в [101]). Здесь следует упомянуть также неравенство В.С.Виденского [395], непосредственно обобщавшее неравенство Бернштейна. Другие результаты в этом направлении можно найти, например, в [79, 80, 81, 127, 264, 265, 310].

Таким образом, актуальна задача нахождения оценки производных рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках в равномерной метрике, из которой в качестве частного случая получались бы упомянутые результаты Н.И. Ахиезера, B.C. Виденского, Б.Я. Левина, В.Н. Русака, В.Тотика.

Еще одним разделом теории приближений, в котором многочлены Че-бышёва играют важную роль, является теория интерполирования. Интерполирование Лагранжа по нулям многочленов Чебышёва изучалось многими авторами, оценки констант Лебега, т.е. норм соответствующих интерполяционных многочленов, рассматриваемых как операторы в пространстве непрерывных функций на отрезке, были получены в работах таких математиков, как С.Н. Бернштейн, В.К. Дзядык, А.X.Турецкий [бб, 134] (более подробно об этом см. монографии [388, 389, 315, 368]).

Одной из причин, обуславливающих интерес к интерполированию именно по нулям многочленов Чебышёва является то, что соответствующие константы Лебега имеют оптимальный рост, т.е., так же как и для наименее возможных среди всех систем (матриц) узлов интерполирования, они имеют порядок роста 0(\ogn). При этом оптимальные, т.е. имеющие наименьшие возможные константы Лебега, матрицы до сих пор не найдены (см. [84, 93, 189, 256], где приводятся результаты численных расчетов по приближенному определению таких матриц и даны дальнейшие ссылки), причем даже критерии, которым они удовлетворяют (т.н. гипотезы Бернштейна и Эрдеша) были доказаны лишь в 1978 году Т. Килгором, К. де Бором и А. Пинкусом [203, 76].

Естественным аналогом для интерполирования рациональными функциями с фиксированными полюсами (см. [398]) для случая одного отрезка служат интерполяционные процессы по нулям дробей Чебышёва-Маркова, введенные В.Н. Русаком [336] и изученные в работах Е.А. Ров-бы, А.П. Старовойтова и (без упоминания предыдущих авторов) Г. Ми-ном [334, 335, 359, 263]. Впрочем, такие процессы можно интерпретировать и как полиномиальное интерполирование с весом, которому посвящено большое количество недавних работ [104, 216, 367, 393] и др. При интерполировании аналитических функций естественно также использовать многоточечные аппроксимации Паде (или интерполянты Паде-Ньютона) [44, 45, 91, 150, 178, 47, 217, 149]. Заметим, что при интерполировании рациональными функциями со свободными полюсами возникает ряд дополнительных трудностей уже на стадии вопросов существования, единственности и представления таких интерполянт, для разрешения которых применяются различные способы (см., например, [27, 48, 67, 68, 97, 145, 184, 271, 329]).

Заметим, что обобщение результатов по оценкам констант Лебега по узлам Чебышёва с одного отрезка на случай нескольких отрезков представляется более естественным именно для рациональных функций с фиксированным знаменателем, ибо за счет условий, накладываемых на знаменатели, можно гарантировать, что все нули соответствующих функций Чебышёва-Маркова, наименее уклоняющихся от нуля, будут находиться именно на системе отрезков, что невозможно обеспечить сразу для всех номеров в полиномиальном случае. Кроме того, поскольку существует тесная связь между многочленами Золотарева и многочленами Чебышева на двух отрезках, интерполирование в экстремумах многочленов Золотарева, исследованное в [188], является частным случаем интерполирования по узлам многочленов Чебышева первого и второго рода на нескольких отрезках.

Среди других свойств многочленов Чебышева отметим найденное в недавней работе [401]: для них, а также для многочленов Чебышева второго рода можно в явном виде подсчитать информационные энтропии, что находит применения в различных вопросах математической физики (см. также работы [30, 31, 32, 112, 113, 187] и обзор [111]). Оказалось, что это свойство легко переносится и на несколько отрезков, но лишь в том случае, когда эти отрезки имеют рациональные гармонические меры (этот результат приведен в данной работе).

Многочлены Чебышева принадлежат также к классу классических ортогональных многочленов, характеризуемых рядом замечательных свойств (см. книгу [362], обзор [23]). Среди этих свойств упомянем ортогональность производных и тот факт, что классические ортогональные многочлены являются решениями дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными коэффициентами. Последнее свойство явилось источником большого количества работ, посвященных различным обобщениям классических ортогональных многочленов: многочленам Стилтьеса, полуклассическим ортогональным многочленам, полиномиальным решениям разностных уравнений и т.п. (см., например, работы [2, 12, 22, 139, 161,185, 209, 218, 245, 255, 333, 360, 371, 390]). В работе приводится обобщение упомянутых свойств на один класс многочленов, ортогональных на нескольких промежутках. Этот класс достаточно широк, соответствующие примеры, построенные с использованием идей из [159], также приведены в работе вместе с их электростатической интерпретацией (о подобных интерпретациях можно ознакомиться по обзору [193], а также по работам [119, 183, 191, 192, 199, 266]).

Еще одно из свойств многочленов Чебышева - их появление в разложении единицы Tn8( )-( s-l) i( ) = l, аналогичном уравнению Пелля из теории чисел. Это уравнение называют также уравнением Абеля или Абеля-Пелля, его различным аспектам повящены работы [69, 250, 252, 284, 287, 314]. Обобщение последнего разложения содержится в теореме Маркова-Люкача о представлении положительного на отрезке многочлена, которое является одним из средств решения проблемы моментов Хаусдорфа (см. книги [17, 19, 214, 350], статьи [61, 115, 219]). Распространение указанного представления на случай нескольких отрезков содержит серьезные трудности (см., например, [118, 213, 292]), и поэтому сведение вопроса о разрешимости проблемы моментов к вопросу о положительной определенности как можно меньшего числа квадратичных форм являлось нетривиальной задачей (см. [141, 214, 279]). Здесь оказалась весьма существенной разница между усеченной и полной проблемами, а также между проблемой моментов на компактном и некомпактном множествах. Окончательное решение данной задачи было найдено в работе [62]. Аналогичная задача для тригонометрической проблемы моментов не была решена.

Наконец, упомянем об еще одной задаче, впервые поставленной и решенной Е.И. Золотаревым [11]. Речь идет о построении рациональных функций со свободными полюсами, ограниченных единицей на [—к, к] и имеющих максимальный минимум на (—оо, — 1/к] U [1//г,+оо). Решение этой задачи и ее обобщения (задачи об оптимальном электрическом фильтре) использует эллиптические функции и находит применения во многих вопросах теории приближений, электротехнике, вычислительной математике [4, 58, 59, 167, 175, 221, 222, 224, 246, 248, 249, 343, 344]. Полное решение задачи об оптимальном электрическом фильтре в явном виде не получено до сих пор. Чтобы проиллюстрировать характер трудностей, возникающих здесь, упомянем о том, что для построения дробей Чебышева-Маркова на нескольких отрезках используется теорема Абеля [1, 186, 194] о том, когда гиперэллиптический интеграл берется в элементарных функциях, а для задачи об оптимальном электрическом фильтре аналогичным образом потребуется знание ответа на вопрос о том, когда гиперэллиптический интеграл берется в эллиптических функциях. Последний вопрос впервые ставился К. Вейерштрассом, среди математиков, которые работали над этой проблемой, можно упомянуть С.Ковалевскую, но ответа той же степени общности, что и теорема Абеля, нет по сей день (по этому поводу см., например, [56]).

Целью настоящей работы является решение следующих задач:

1. дать полное описание решения задачи Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках для фиксированного знаменателя, являющемся произвольным многочленом, степень которого меньше степени числителя, положительным на этой системе отрезков, а также со знаменателем, представляющим собой квадратный корень из много члена, положительного на выпуклой оболочке системы отрезков;

получить представления решений аналога задачи Чебышёва-Маркова для тригонометрических полиномов;

найти представления ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности относительно мер класса Геронимуса;

найти представления ортогональных рациональных функций на нескольких дугах единичной окружности относительно мер из подкласса класса Геронимуса;

исследовать асимптотическое поведение коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов на нескольких отрезках относительно мер класса Геронимуса;

исследовать асимптотическое поведение круговых параметров ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности относительно мер класса Геронимуса;

найти оценки производных полиномов по специальным системам алгебраических, рациональных, тригонометрических и алгебраически-тригонометрических функций на нескольких отрезках;

найти точные по порядку оценки констант Лебега интерполяционных процессов Лагранжа по нулям рациональных функций Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках;

дать частичное решение задачи об оптимальном электрическом фильтре;

10. найти обобщения некоторых свойств классических ортогональных многочленов на системы многочленов, ортогональных на нескольких промежутках.

При решении поставленных задач применяются методы теории функций комплексного переменного, теории приближений и теории ортогональных полиномов.

Все основные результаты работы являются новыми, обобщая известные ранее либо путем использования других средств и методов, либо путем рассмотрения более общих классов. Например, описание решения задачи Чебышёва-Маркова получено путем распространения методов Н.И.Ахиезера на более широкий класс рациональных функций, неравенства для производных получены путем сочетания идей, использованных для доказательства различных частных случаев таких неравенств, известных ранее. При исследовании асимптотического поведения коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений разработан новый метод доказательства непостоянства весьма сложно устроенных функций, основанный на использовании автоморфности по входящему в них постоянному параметру. В ряде результатов (при исследовании круговых параметров, при получении оценок производных, при нахождении критерия разрешимости проблемы моментов) используется также метод вариации фиксированных полюсов, ранее не употреблявшийся.

Основные результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применения в теории приближений, теории ортогональных многочленов и рациональных функций, теории квадратурных формул, теории рядов Фурье.

Результаты работы докладывались на Всесоюзных школе и конференции по теории функций (Днепропетровск, 1990; Одесса, 1991); на 5-й и 6-й Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (Саратов,1990,1992); на конференции по конструктивной теории функций, посвященной 70-летию проф. B.C. Виденского (Санкт-Петербург,1992); на 25 Голландском математическом съезде (Амстердам, 1993); на 7-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений, посвященной памяти профессора А.А. Привалова (Саратов, 1994); на Международной конференции "Функциональный анализ, теория приближений и нелинейный анализ", посвященной 90-летию академика СМ. Никольского (Москва,1995); на 8-й,9-й и 10-й Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов,1996,1998,2000); на Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998); на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж,1999); на Международной конференции по теории приближений, посвященной памяти В.К. Дзядыка (Киев,1999); на школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова (Казань,1999); на Международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения СБ. Стечкина (Екатеринбург, 2000); на и 9 Белорусских Математических конференциях (Минск,2000; Гродно, 2004); на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" (Тамбов,2000); на 2-й Международной конференции "Гармонический анализ и приближения" (Ереван,2001); на 11-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова (Саратов,2002); на Международной конференции "Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании" (Саратов-Энгельс, 2002); на 12-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004); на семинарах под руководством члена-корреспондента РАН П.Л. Ульянова в МГУ, в 1996 и 2003 гг.; на семинаре под руководством академика РАН А.А. Гончара и проф. А.И. Аптекарева в МИР АН, в 1996, 1998, 2001 гг.; на семинаре по геометрии в Гронингенском университете (Нидерланды) под руководством проф. М. ван дер Пута в 1992 г.; на семинарах математических факультетов Амстердамского университета (в 1993 г.) и Университета им. И. Кеплера (Линц, Австрия) в 1998 г.; на семинаре под руководством члена-корреспондента РАН Ю.И. Субботина и проф. Н.И. Черныха в Институте Математики и Механики УрО РАН в г. Екатеринбурге в 2002 г.; на Санкт-Петербургском городском семинаре по конструктивной теории функций под руководством проф. Г.И. Натансона, B.C. Виденского в 2002 г.; неоднократно на семинарах и научно-практических конференциях в Саратовском госуниверситете.

По результатам работы автору была присуждена премия им. М.Я. Суслина (1994 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [405]-[434], причем из работы [419], написанной в соавторстве, в диссертацию включены результаты, составляющие параграф 2.1, носящие вспомогательный для последующего характер, а также Теорема 19, принадлежащая автору.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, каждая из которых разбита на параграфы. Всего в диссертации 14 параграфов.

Первая глава посвящена представлениям экстремальных полиномов по различным системам функций (рациональным, алгебраическим специального вида, алгебраическо-тригонометрическим), наименее уклоняющихся от нуля на нескольких отрезках. Вторая глава содержит представления ортогональных многочленов и рациональных функций на не скольких отрезках или дугах единичной окружности относительно весов класса Я.Л. Геронимуса. В третьей главе исследовано поведение последовательностей коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений, а также последовательностей модулей \ап\ и отношений an/an+i круговых параметров для ортогональных многочленов, рассмотренных в предыдущей главе. В четвертой главе собран ряд результатов, обобщающих известные свойства классических многочленов Чебышева на случай нескольких отрезков. В частности, здесь получены оценки производных алгебраическо-тригонометрических и алгебраических функций на нескольких отрезках.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.

Первая глава посвящена представлениям экстремальных в смысле равномерной нормы полиномов по различным системам рациональных функций на нескольких отрезках. Первый параграф этой главы носит вспомогательный для всего последующего характер. В нем подробно изложена теория функций Шоттки-Бернсайда, включение которой объясняется тем, что имеющиеся источники (статьи Ф.Шоттки и В.Бернсайда [88, 89, 340], книги А.Бейкера [46], Е.Белоколоса, А.Бобенко и др.[56]) либо недостаточно подробны, либо рассматривают чересчур общий случай и нуждаются в подробной детализации для частного случая, используемого в работе. Кроме того, в работах В.Бернсайда, наиболее подходящих для использования, содержится ряд неточностей (в выкладках с аналогами абелевых интегралов третьего рода и клейновой "простой формы", на которые обратил внимание автора А.Б.Богатырев). Второй и третий параграфы содержат главный результат первой главы - Теоремы 10,11, содержащие подробное описание решения экстремальной задачи х п + Сіхп-г + ... + сп y/U ii1 - Чпх) C{F) - • min , (0.3) {ci,...,c„}cR где F - [61,] U ... U [62р-і,М h Ь2 bz ... &2p-i Ь2р. Это описание состоит из трех лемм, содержащих соответственно характе-ризацию "регулярных" случаев, параметризацию соответствующей системы отрезков с помощью отображения на фундаментальную область, запись решения в "регулярном" случае через соответствющие функции Шоттки-Бернсайда, а также из теоремы, содержащей перечисление конечного числа возможных "регулярных" задач, среди решений которых содержится единственное решение данной задачи. Полное описание получено либо в случае, когда действительный многочлен под знаком корня в (0.3) положителен на [Ь\, Ьгр], либо в случае, когда он является полным квадратом положительного на F многочлена. Приведем это описание полностью в первом случае.

Лемма 1 Матрица Л регулярна относительно Е тогда и только тогда, когда при всех п Є N ранг следующей матрицы размера (2q— l)xq равен (q—1) при некоторых натуральных п,-,г = 1,... 5;«i+ 2+- • .+7 = тг : rank t fkj gk где + У?Г-К 4.1 ajnJh(l/ajn)j! 2i dx , і = 1,... q; + . °«.V i7 JUT" ,, , )viig;, = l.-.«t-li ветви квадратных корней в числителях подбираются так, чтобы в знаменателях берутся арифметические корни, и для І/а п Є [&гь Ьгь+і] соответствующий интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Лемма 2 Какова бы ни была система отрезков Е = [Ъи Ъ2) U ... U [Ьз9-и Ьзв], -оо 6i Ъ2 • • • b2g +00, найдется система из q—1 кругов Ki,... , Kq-i, лежащих в верхней полуплоскости во внешности друг друга с центрами на мнимой оси, причем центр круга К\ -точка і , такая, что функция х = (Ьх - Ъ2) -±-У-—— + 62, П №(0-02т?(0 __, _, П; T?(G)(TAQ) - Я2 1 2 где Т?(ЩТІ(0) - О2 осуществляет конформное отображение области G(Ki,... ,Kq-i) на С\Е. Лемма 3 Пусть п-я строка матрицы Л регулярна относительно Е. Тогда где х = ф(г) из леммы 2, ф(&) — 1/а»,п?« = 1,... , 2тг, числа щ, г = 1,... , q из леммы 1, а Ап определяются из условия lim М = 1/ П (- ,»), ж-юо ХКп хх і=к„+1 является решением задачи (0.3) с F = Е. Пусть F = [bi, b2] U... U \b2p-i, b2p], bi Ъ2 Ь3 ... Ь2р. Для определенности будем считать Ъ2р = —bi = 1. Далее, пусть q - натуральное число, 1 Я 2р — 1. Назовем набор множеств {K.q,Cq,Nq}, где Kq = {fcj}jl1 С N,1 kj P;Cq СВ = {Мг,... ,b2p},\Cq\ = q+l;Mq = {n;}?=1 с N, допустимым, если выполняются следующие условия: А п(х) = л последовательность {kj} =1 не возрастает, причем ни для какого j,j = 1,2,... , q — 3, равенство kj = /sJ+i = %+2 невозможно; для каждого j, j = 1,2,... , q — 1 при % ф kj+i ровно одна из точек b2kj+i,b2kj принадлежит Cq. Обозначим ее через 2Л-ь соответственно, а при kj = kj+i Ьщ = b2j,b2kj+i = Ьгі+з, кроме того, bi = Ьі Є Cg и 62р = 6гдС3; X)?=i и» = и, причем для kj = kj+i выполняется равенство nj+i = 1. Легко видеть, что для данных F и п допустимых наборов имеется лишь конечное число. Будем также предполагать, что все l/ Xj,n лежат вне [bi,b2p]. Через En()Cq,Cq,Afq, А) обозначим множество UJ—J[Ь2-?-_і, b2j] такое, что те из bj, которые не входят в Cq , определяются из следующих условий (при q 1 ): ( J \e «-lf«-l J3 I = а — 1, »=l, =l,j=l где j = $L77 dx i = ---- = L-" 9-і; д/-Мх) і ж -J-1 9k = кп 1- - ЧГж 1 - 1 1- 1; , = 1,. Ь2 л//і(х) fkj 9к + ?-« 4-і а,-пл//г(1/аіп)/Г +1 =, & = 1,...,«/- 1; ОД = ПІ( - І); Из леммы 1 легко следует, что для данных п, допустимого набора {)Cq, Cq, Afq}, и матрицы А существует не более одного множества En{JCq,Cq,Afq, А). Обозначив теперь через G(Ki,... , Kq-i)(n,Kq,Cq,Nq, А) область описанного в параграфе 1.1 вида, конформно отображаемую находимой по лемме 2 функцией х = ф(г) на C\En{K,q,Cq,J\fq, А) и построив по ней соответствующую группу Г(п, JCq,Cq,Mq, А), мы можем найти по лемме 3 функцию A n(x) = A n(x,)Cq,Cq,Mq,A), являющуюся алгебраической дробью Чебышева-Маркова на множестве En()Cq,Cq,J\fq,A). Пусть теперь -1 щ • • • 7/П1+1 = Ь2 nni+2 = h ••• r]n+q = 1- точки уклонения А п(х), т.е. \А п(гц)\ = \\A n\\C(En{Kqfi4M4,A))-Кроме того, обозначим & = / -1(1/аііП), г = 1,... , 2га. Теорема 1 Решение задачи (0.3) имеет следующий вид: (Й -РЬ « М )})+1, А» = А» N где функции [z;&] uexp$i(z) - из (1.10), (1.60) и построены по единственной группе V(n,ICq,Cq,Afq,A), такой, что для любого j, 1 j q— 1, множество U,-ij.._ [Ьгі-ь гї] содержит все точки Т]І,І = гаї + п2 + • • • + nj_i,.. .пі+«.2 + - • #+WJ+J, кроме, быть может, той из точек b2j-i; b2j, которая не входит в Cq, а Л определяется из условия Шп А п(х)(Ш2п(х)) = L х-Ц-оо ХКп Четвертый параграф первой главы содержит описание "регулярного" случая решения аналогичной задачи для тригонометрических дробей. Пусть W)=fl™( ) (0.4) тригонометрический полином порядка /, задающий систему 6,6 — [ір\, p2]U ... U [ 21-1, V2«]j b ірі р2 ... p2i b + 2n. Для удобства будем также считать угг+і = і + 27г. Рассматриваются "рациональные тригонометрические" функции вида A cos Nip + В sin N p + ai cos(iV - 1)у? + ... + Ьпуі sin(iV - [N]) p гЫ= тт (0.5) где N - полуцелое, N Є N/2, А, В Є R, А2 + В2 ф О, - фиксированные числа, А( р) - фиксированный действительный тригонометрический полином порядка а, а 2JV, положительный на заданной конечной системе отрезков В. Пусть R - алгебраический многочлен степени 21, получаемый из TZ по правилу #(ei 6) = еифЩф), (0.6) под У/R здесь и далее понимается однозначная в С\Г#, Г# = {г Є С : z = е , ф Є } ветвь, выделяемая равенствами axgy/Rie ) = arg(-l)V 2, 0 Є ( , 2І+1),І = 1,... ,/- 1. (0.7) Далее, пусть A(z) - полученный из «4 аналогично (0.6), алгебраический многочлен, который может быть представлен в виде го 3=1 где с А Є С, z,- = r,-e , j = 1,... ,m , все г,- различны, причем для г,- ф 1 найдется & такое, что Тк — 1/fj, & = j, Wfc = 7. Его степень равна 2а = YJT=I тпз- Многочлен A(z) совпадает со своим взаимным многочленом A {z) = z2aA{l/z), т.е. является самовзаимным. Нетрудно показать, пользуясь, например, композицией дробно-линейного отображения и отображения из Леммы 2, что для любой системы дуг Г.Е единичной окружности найдется область Т+ = Т П {$sz 0} которую можно конформно отобразить на С\Гд. Обозначим через ф(и) это отображение, представление которого через функции Шоттки-Бернсайда дано ниже. Через Vj, будем обозначать соответственно прообразы ZJ, со при отображении ф. В дальнейшем мы будем использовать также некоторые понятия теории потенциала: функция Грина области С\Гд, дв(г,а) и сопряженная ей (вообще говоря многозначная) кв(г, а), гармоническая мера w(z, G, С \ ГБ) множества G С Г# в точке z Є С \ Гв относительно области С \ ТЕ, 1 f4 2 1 д uk{z):=u;(z,rEk,C\rE) = - / — gB{(,z)\dC\, где п - внешняя нормаль в точке (, Г := {( : ( = ег,р,(р Є Ек = [ 2fe-l,V2fc]}, As = 1,.-. ,/. Теорема 2 Пусть А( р) - тригонометрический полином порядка а, положительный на системе отрезков , / 2. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1. Для некоторых А, В Є JR., Л2+2?2 0, тригонометрическая рациональная функция вида (0.5), наименее уклоняющаяся от нуля на среди всех функций этого вида, имеет на максимальное число точек уклонения, т.е. max Ч TN(V) у/Ш = mm max A cos N(p + В sin N p + Ьі cos(iV - 1)(р у/Ш Clsii iV-l)y+.. .+bmcojN-2[%])p+c[N]siv(N -2[f] yffif) = AN 0 (0.8) TN{ P2J) rw( 2j+l) y/Aip2j) y/A((f2j+l) ,j = 1,.. . ,/. (0.9) . Дл-ff каждого j, j — 1,... , /, сумма гармонических мер дуги Vj относительно нулей многочлена A(z) является натуральным числом, точнее 1 т (2N - а)ч(оо) + - -Ы = qf_lqf_\ Є N, j = 2,... ,/. Z fc=l (0.10) 3. Существует действительный тригонометрический полином XJV_I/2 порядка N — 1/2 такой, что для некоторой постоянной Ац О т&Я ) - n P)°2N-i/2( p) = A2KA{V), (0.11) причем TN&) = {У/К ТН-Ф){Ш = 1, - - • ,ш . (0.12) 4- Для некоторых целых q справедливы равенства ехр (2N - а)(Ф,-(0 - Ф,(0) + J2 т&Ы " «"°а = \ fc=i fc=i / (0.13) j = l,...,J-l. ІТри этом числа q- равны числу нулей т ((р) на Ej+i,j = 1,... , I — 1, и полином тм(ір) представляется в виде Аы TN{4 ) = -f (Ми) + FN(-u)) e iNv, (0.14) г е ехр(г р) = ф{и), FN{U) = Щи, -оп К Є) Ц "" К J) ехр Фі(ц) (° 15) и константа AN определяется из равенства Ave» ехр Ей f4(0 fl2 (, -flfi/flfo -ц)П(& i j)fl( -г;д-)\ = (0.16) где А= VA2 + B2cosi( ,B = \/A2 + B2sinip. Дробь т7 можно также записать через плотности гармоничес-у/А(ч ) кой меры VJ{Z, х) = - ш(г,ГЕ П {e v : b р ж},С\Гя), следующим образом: 7 717=7 = о /((2 -аХи оо,0 + 0,0) + Ет (г,-,0) ), (0.17) п[ЬМ -1 б є {-1,1}. Тригонометрический аналог дробей Чебышева-Маркова был найден впервые, по-видимому, в [373] (для / = 1 и р2 = Рі + 27г), т.е. в результате предельного перехода в решении рассматриваемой в теореме 2 задачи. Случай / = 2, Л = 1 и 6, симметрично расположенного относительно 0, рассматривался в [215] и (для использования в хаусдорфовой аппроксимации) в [312]. Эквивалентность 1)-3) в теореме 2 для Л = 1 была установлена (другим способом) в [305, 308]. Следует отметить, что для несимметрично расположенных отрезков формальное сведение к алгебраическому случаю с помощью обычно применяемой замены cos р — х невозможно. Там же приводится алгебраический аналог этой теоремы (Теорема 13), многие утверждения которого были известны ранее. Случай I = 2,/э„ = 1 в теореме 13 рассмотрен Н.И.Ахиезером [6]. Аналог представления (0.14),(0.15), построенный им, использует эллиптические функции, и по сути решение совпадает с многочленами Золотарева (см., например, [225], где обсуждаются и другие близкие вопросы). Надо отметить также, что, приводя полное решение этой задачи (т.е. без каких-либо ограничений на систему отрезков), Н.И.Ахиезер был вынужден рассматривать и по сути случай трех отрезков, в связи с чем он впервые в задачах подобного рода использовал функции Шоттки. Эквивалентность условий 1) и 3) здесь приводит к аналогии с отмеченной С.Н.Бернштейном связью с ортогональными многочленами и она была установлена в [288, 352]. Эквивалентность 1) и 4) (в терминах эллиптических функций) установлена (в различной форме) в [243, 293]. Один частный случай (симметричные отрезки, pv{x) = а2 — ж2) рассматривался в [236]. Для I 2 первые явные решения задачи пункта 1) теоремы 13 приведены в [223, 332]. Эквивалентность 1) и 3) установлена в [291], для pv эквивалентность 1),3) и 2) следует из [289, 28], эквивалентность 1)и 4) доказана в [419, Следствие 2]. (Пользуясь случаем, отметим, что в формулировке этого следствия имеется опечатка - между формулами (60) и (61) должно быть mi,... , mj_i Є 2Z.) Другие эквивалентные характе-ризации приведены (для pv = 1) в [353], в общем случае - в [213, 291], см. также леммы 5,8. Для pv = 1 уравнение Абеля (1.132) исследовано в [250, 287], различные алгоритмы вычисления чебышевских многочленов приводятся в [73, 300, 301, 135, 100]. Представление (1.136) может быть получено из [280],[363] и отмеченной выше связи с ортогональными многочленами [291].

Вторая глава содержит представления ортогональных многочленов и рациональных функций на нескольких отрезках или дугах единичной окружности. В первом параграфе этой главы приводится представление ортогональных многочленов на нескольких отрезках действительной оси относительно мер Я.Л. Геронимуса в терминах функций Шоттки-Бернсайда. Результаты этого параграфа носят вспомогательный характер, они получены совместно с Ф.Пехерсторфером. Следует отметить, что многочлены, ортогональные относительно мер несколько менее общего вида, рассматривались Н.И. Ахиезером и Ю.Я. Томчуком [14, 21, 379] (см. также [96]), а также (для более общих носителей, но без изолированных точек масс) Дж. Натоллом и СР. Сингхом [280]. Второй параграф также носит вспомогательный характер. В нем получены представления ортогональных многочленов относительно мер Я.Л.Геронимуса на нескольких дугах единичной окружности в терминах функций Шоттки-Бернсайда. Здесь следует отметить работу Ю.Я. Томчука [380], в которой рассматривался несколько менее общий случай, и упомянутую выше работу Дж. Натолла и С.Р.Сингха [280]. Третий параграф содержит представления ортогональных рациональных функций на нескольких дугах единичной окружности. Этот результат имеет определенное самостоятельное значение, так как, как уже упоминалось ранее, известно мало примеров явным образом построенных систем ортогональных рациональных функций. Приведем формулировку результата этого параграфа. Пусть заданы 21,1 Є N, точек рі ... (р2і, причем 2/ — (рі 2л-, Е — U _1[ 2i-i, 2j]5 Гд = {е1 , ц Є Е}, и пусть TZ - тригонометрический полином ад = п (4й) Далее, пусть V и W - произвольное разложение 7 (т.е. 71( р) — V( p)W((p)) на тригонометрические полиномиальные множители степеней 1/2 такое, что функция W(v) (ПЛ!± т G Е І 0, рЕ, где ±1/г(уз) = (—l)J/-y/7( ) при 6 ( 2і-і 2і) является весовой, т.е. /(уэ, W) 0 для у? Є int(E). Можно рассматривать и более общие весовые функции, но формулы станут более громоздкими. Теперь пусть {afc}f° где а 1 - произвольная последовательность комплексных чисел, {Вд.}2° - соответствующие конечные произведения Бляшке (Во = 1 и Вп = B„-i(n, где ai z-oti Ш) = -1 a; 1 — a z а для а = 0 мы полагаем, как обычно, сч/\а.{\ = —1), Сп = span{i?o,... , Вп}. Будем использовать обозначения п u0(z) = 1, wn(z) = Y[(z-ak), п = 1,2,..., fc=i -«А и 7r0(z) = l, 7r„(z) = Д(1 - afcz), п = 1,2,.... Через „(z) = / n(z, V) обозначим ортогонализацию {Ді}о° по отношению к весовой функции f( p, W), т.е. •/в An(eJV) „(e )/( , V) = 0, для пфт, п,т Є N. Пусть VVita W) - соответствующие функции второго рода, Mz w)=L У Меіп - 7 ф \ /(y,W)dp, и преобразование Стилтьеса меры f((p, W)d(p. Сопоставим с 72-, V и УУ алгебраические многочлены R{ev) = еІІ Щ р), V{ei4 ) = eilv/2V{ ), W{ei,p) = eil 2W( p), и будем использовать модифицированные взаимные многочлены C (z) степени т, т.е. C (z) = zmC(l/z), и их аналог для рациональных функций f(z) = Yuk-0 akBk(z), а именно, r(z) = Bn(z)WJT). Ради некоторого упрощения доказательства мы будем предполагать, что Wie - Wie™ ) = У(е -1)У(е{™) = 0, j = 1,...,1. Будем также использовать обозначения а1;... ,ап Є Q для образов ctk, І Є G для образа со и w ,... , wi Є Q для образов нулей многочлена W при отображении z = (&) внешности системы дуг на фундаментальную область группы Шоттки. Теорема 3 Пусть z = р(и) - вышеопределенная отображающая функция, и фп - ортогональная функция по отношению к f( p,W). Тогда фп(г) = const (ft„H + fin(t)), (0.18) где Ми). п °{- - ° - « а° -«, щ Е ! ±і»,м, jf=i fl(«,-afc) Ци,«7л-) І2(м,-а„)і)(и,туг) 2 (0.19) величины bj Є T,j = 1,... ,/—1, и целые числа mj1 удовлетворяют системе уравнений п-1 2 (Ф (а,-) - fc(5j)) - 2Ф ВД - 2Ф (0 + 2Ф () (0.20) 3=1 1-і 1-і +2 Ф п))-Х)ші"Ч 0( mod 2 ), Л = 1,..., 7-І. і=і з=і Третья глава содержит еще два основных результата работы, описывающих асимптотическое поведение коэффициентов рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов на нескольких отрезках и нескольких дугах единичной окружности. В первом параграфе этой главы содержится теорема, описывающая случай, в котором последовательности коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов на нескольких отрезках Е имеют множествами предельных точек отрезки. Одна из основных сложностей в доказательстве состояла в доказательстве непостоянства аналитических функций многих переменных, определяющих упомянутые множества. Теорема 4 Пусть (рп) - последовательность многочленов, ортогональных на Е относительно весовой функции вида wR/h, положительной на int(.E) и такой, что w Є С(Е) не имеет нулей на Е, где Е = Ulk=l[a2k-i,a2k},H(x) - Д(ж - а ), 1 = Г J sgn (j\Li(x - aafc-i)) Ы Н{х) для хЄЕ, h(x) \ 0 в противном случае , R(x)S(x) = Н(х) - произвольное разложение на полиномиальные множители. Далее, пусть (а„), (А„) - коэффициенты трехчленных рекуррентных соотношений для (рп)- Если ші(оо),... ,u i(oo) (гармонические меры в бесконечности отрезков, составляющих Е) линейно независимы над полем рациональных чисел, то последовательности (Лп),(ап) имеют своими множествами предельных точек невырожденные отрезки. В этом же параграфе приводятся вспомогательные результаты, полученные совместно с Ф.Пехерсторфером. Во втором параграфе получена аналогичная теорема для последовательностей модулей и отношений круговых параметров ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности относительно мер Геронимуса. Пусть Е = Ulj=1[(p2j-i, p2j], Pi ... P2i, f2i - i 2тг, - заданная фиксированная система отрезков, ТЕ = {z Є С : z = е1(р, ц Є Е} -соответствующая система дуг единичной окружности, пусть 2/ R(z) = CRY[(Z - е ъ) - (0.21) самовзаимный (т.е. такой, что R = R , где через R (z) обозначается взаимный к R многочлен, R (z) — z2lR(l/z)) задающий систему отрезков Е многочлен, A(z) = с A rijLiX2 — zj)m фиксированный алгебраический многочлен степени 2а Є Z+, не обращающийся в нуль на Гд и удовлетворяющий равенству А = —А . Далее, пусть R(z) = W(z)V{z) некоторое разложение многочлена R(z) на самовзаимные многочлены W и V степеней 2w Є Z+ и 2v Є 2+ соответственно, Л = (Лі,... ,Am) — фиксированный вектор такой, что \j Є {+1, — 1}, j = 1,... , га, причем Xj может быть равно —1 лишь для простых нулей Zj = е1 многочлена А, расположенных на Г\Г#. Меры Геронимуса - это меры вида m dv{ p) = d (w A, W, А) = /(р; Д W)d p + тг ]Г W(l - XiW - Zj), 3=1 (0.22) где ,W) = { W(elf) О, Ч ІЕ, рЄЕ, причем А и W таковы, что Sign MM = (_1)J v Є Ьі-ь -),і = 1,... ,/; (0.23) N W(zj) А МуЩъЯ и S(z — ZJ) - -функция Дирака с носителем в точке z = Zj. Кроме того, степени многочленов таковы, что а + 1/2 — w - натуральное число. Многочлены Рп с единичным старшим коэффициентом, ортогональные относительно мер da(ip), т.е. удовлетворяющие равенствам / 27Г /о Рп(е1 )Рт{&)da{ip) = 8щтпп, К 0, п, т Є Z+, fe/ определяют последовательность круговых параметров ап = — Pn+i(0). Напомним также, что задание последовательности круговых параметров {ап}, \ап\ 1, однозначно определяет последовательность ортогональных на единичной окружности многочленов Рп с единичным старшим коэффициентом и, следовательно, меру ортогональности [163]. Теорема 5 а) Последовательность круговых параметров {а„}, \ап\ 1 является псевдопериодической тогда и только тогда, когда отвечающие ей многочлены ортогональны относительно меры вида (0.22) и гармонические меры ajj(oo),j = 1,... , /, дуг Гу, составляющих множество YE, - рациональные числа. б) Если система дуг Г в такова, что гармонические меры Uj(oo), j — 1,... ,/, для множества ГЕ линейно независимы над полем рациональных чисел, то для любой меры вида (0.22) с R(z), заданным системой Е, последовательность {an}, "" (для любого к Є Nj последовательности {an+k/an} имеют своими множествами предельных точек отрезок и континуумы комплексной плоскости соответственно. В четвертой главе диссертации собраны различные результаты, объединяет которые то, что все они являются обобщениями известных результатов для одного промежутка на случай нескольких промежутков. Первый параграф этой главы содержит еще один основной результат диссертационной работы - неравенство для производных рациональных функций с заданным знаменателем на нескольких отрезках. Этот результат приводится в двух формах: в тригонометрической и алгебраической формах. Обе формы имеют и самостоятельное значение. Теорема 6 Для любой рациональной тригонометрической функции вида (0.5), где N - полуцелое, N € N/2, А, В Є Ш,А2 + В2 ф 0, - фиксированные числа, Л((р) = ГП=1 sm 2 " ФиксиРованнЬ1 действительный тригонометрический полином порядка а, положительный на заданной конечной системе отрезков = [v?i,y 2] U ... U [ 21-1 21)1 Ь pi f2 ... Р21 Ь + 27Г, справедливо неравенство I +r2( p) \\r\\2C{ep і Лїі \f ((2ЛГ - а)+М х ,у ) + w(0,p)) + ЕЙ mrt J, J) (0.24) где Zj = е1 -. При этом при выполнении любого из эквивалентных условий теоремы 2 неравенство в (0.24) превращается в тождественное равенство для дробей вида (0.17).

Теорема 7 Для любой алгебраической дроби . хп + Ь1хп 1 + ...+Ьп г(х) = == , У/РЛХ) где 6, bn Є R, /Ок(аз) = ПІ=І(Ж xi)VJ действительный многочлен степени и, положительный на Е = [аі,аг] U ... U [а2/-і,а2/] С R, «і ... агг, справедливо неравенство Г(Ж) +г8(я:) га(л). (0.25) f ((2п - і/)+ета(оо,ж) + 53J=11/,-С7в(я,-,х)) Теорема 6 содержит аналог неравенства Бернштейна-Сегё для тригонометрических полиномов, »аГ ) + ЗІМ2 Гя0(н) (см. [370, 63, 101]), в которое оно превращается в случае I = 1, Л = 1 после предельного перехода 2- 1+ 27Г.После того же предельного перехода из теоремы 6 в случае / = 1, и произвольного Л получаем неравенство из [81, Теорема 3.1]. Из теоремы 6 нетрудно получить аналог неравенства Бернштейна для тригонометрических полиномов, содержащий в качестве частных случаев неравенства В.С.Виденского [394, 396] для оценки производных тригонометрических полиномов целого и полуцелого порядков на отрезке короче периода. В алгебраическом случае история существенно более богатая. Для / = 1,р = 1 неравенство (0.25) превращается в известное неравенство Бернштейна-Сегё, упомянутое выше, из которого в свою очередь следует классическое неравенство Бернштейна \Рп(х)\у/Г= п\\Рп\\с([-1,1]). В случае / = 1 и произвольного ри из теоремы 7 следует неравенство, принадлежащее В.Н.Русаку [337, Теорема 1],[338], позже переоткрытое в [81] и уточненное в [80] (см. [79]): Ап( ) г М\ Л-»5Й- =, €(-!,!), (0.26) лД-х где гп(х) = , Р" ; ад. - либо действительные и lafcl 1, либо попар л/Ш"1(1+а а!) но комплексно сопряженные, рп - алгебраический многочлен степени не ВЫШе П С ДеЙСТВИТеЛЬНЫМИ Коэффициентами, А„(ж) = X)fc=l 1+а х • от факт, что (0.26) следует из (0.25), проще всего вывести, если сравнить два представления дробей Чебышева-Маркова со знаменателем -\/ри(х) = Л/ПЬ"І(1 + акх) и числителем степени га, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке [—1,1]. Первое, найденное А.А.Марковым, имеет вид (см. [337]): Р"(х) л/г ( \ = Mncos p2n(x), \/РЛХ) где ) = --7=. Ы1) = 0. л/1 — Xі Другое, следующее из (1.136), таково: 2п -7=== = бМп COS -/ 2 СТ«( VMS) 7-і J где XJ = — 1/aj, j = 1,... , 2га, є Є {—1,1}. Следовательно, для Е = [—1,1] Лп(ж) 2п Vl-ж2 а тогда импликация (0.25)= (0.26) очевидна. Из неравенства Русака в свою очередь следует оценка бернштеиновского типа, справедливая и для любых комплекснозначных числителей и впервые установленная в [395]. При / 1, ри = 1, из теоремы 7 следует неравенство В.Тотика [383, Теорема 3.1] (необходимо учесть, что плотность равновесной меры U E{X) совпадает с тз7а(оо,ж) [328, Теорема 4.3.14]) (ЩАУ + n Pfe) n \\Pn\\b[B), хЄЕ, (0.27) где Рп -произвольный алгебраический многочлен степени не выше п. В свою очередь, соответствующее неравенство бернштеиновского типа известно достаточно давно даже в более общем случае целых функций экспоненциального типа [20]. Заметим также (см. [384]), что неравенство (0.27) является частным случаем неравенства М.Барана [49, Теорема 1.3], справедливого для компактов в Еп. В общем случае из теоремы 7 немедленно следует оценка бернштей-новского типа, которая, как нетрудно видеть, применяя известный метод (см., например, [337, Глава И.2]), справедлива и для комплекснозначных числителей. Отметим также, что ранее автором [412] была получена более слабая оценка такого типа для 1 = 2 при дополнительных условиях на нули и полюса рациональной функции, которая в свою очередь обобщала один результат из [77].

Второй параграф четвертой главы посвящен обобщению задачи Золотарева - задаче об оптимальном электрическом фильтре. В нем приведен результат, полученный сочетанием идей Е.И.Золотарева с использованием функций Шоттки-Бернсайда.

В третьем параграфе идея вариации полюсов, использовавшаяся в доказательстве нескольких теорем, применяется для уточнения одного критерия разрешимости тригонометрической проблемы моментов на нескольких отрезках.

В четвертом параграфе найдена оценка констант Лебега рациональных интерполяционных процессов Лагранжа по нулям рациональных функций Чебышева-Маркова, описанных в первой главе. Рассмотрим интерполяционные процессы вида адд " н-ІК») (о-28) где М„(21, х) - рациональная функция вида хп + сіж"-1 + • + сп и or _ sa. ln-°° _ матрица обратных величин полюсов, а матрица узлов интерполирования, состоящая из нулей рациональной функции Мп(21, ж). Такие процессы были рассмотрены в книге [398], а в случае, когда Мп - рациональная функция Чебышева-Маркова, наименее уклоняющаяся от нуля на отрезке [—1,1], подробно изучались В.Н.Русаком, Е.А.Ровбой, А.П.Старовойтовым и Г.Мином [336, 334, 359, 263]. Рассматривая эти процессы на нескольких отрезках, естественно требовать, чтобы матрица узлов интерполирования содержалась в этих отрезках. Этому требованию рациональные функции, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках, будут удовлетворять в случае, когда матрица Ш регулярна относительно системы отрезков (см. глава 1, параграф 3)

Е = [&ъ Ь2] U [Ьз, h] U ... U [Ь2/_і, Ь2/], &! ... Ъ21. Другими словами, матрица обратных величин полюсов такова, что при каждом п Є N, п /, для многочлена п рЛх) = П(! - aj,nxY,v = 2?г, выполняются условия Леммы 1. Теорема 8 Пусть {а\,п} - регулярная относительно Е матрица обратных величин полюсов, {1/ал,п} С К, где К - некоторое компактное в сферической метрике подмножество С\Е. Тогда \\Ln\\C(B) Cliin, (0.29) где С — С(Е, К) зависит лишь от Е и К. В четвертом параграфе строятся знакочередующиеся веса на нескольких отрезках, служащие обобщением весов Якоби, поскольку для подпоследовательности ортогональных относительно них многочленов выполнены аналоги свойств, характеризующих классические ортогональные многочлены.

Алгебраические дроби Чебышева-Маркова на нескольких отрезках

В этом параграфе будет описано решение задачи Хп + СІЖ"-1 + ... + сп уП?=і(і-а« ж) C(F) mm {ci,...,c„}cR (1.59) в терминах функций Шоттки-Бернсайда. 1.2.1 Вспомогательные утверждения cav в качестве С достаточно большой контур на верхнем листе, охватывающий множество Е и все полюса (l/a,jtn)2,j — «п + 1,.. . 2п, проходимый по часовой стрелке. Тогда находим, что _! / Ж = _L / (KnUq_l(z) + щШЩ lVW)dz = Аналогично, обозначая через Cj малые окружности с центрами в l/a,jjn, не пересекающиеся с Е, друг с другом и с С, проходимые против часовой стрелки, найдем где mJin - кратность соответствующего полюса. Из вида функции ф(г) немедленно заключаем, что ф(г) имеет нули в ooi порядка кп , в (1/а п)і порядка rrijin . Следовательно, функция ф(г) может быть представлена в виде где R\(z) и Яг (г) -рациональные функции с полюсами в со порядка «ив (l/a,j n) порядка т п. Поскольку при инволюции t(z) меняющей местами листы поверхности R , функция ф(г) меняется согласно закону ф(і(г)) — l/(/ (z) находим, что или i=i где Pi и Pi -многочлены степеней 2те и 2п — q соответственно. Докажем, что , Pl(z) = С п{г) (1.74) Прежде всего убедимся, что P\(z) -действительный многочлен. В самом деле, ТО ДОЛЖНЫ НаЙТИСЬ 2llj + 1 ТОЧеК Є 0 = &2J-1 j,2nj = 62j, в которых \R(ej k)\ = 1 и i2(e,-,fe+i) = -R(ejtk). Таким образом, точки е о,... Єі,2Пі, ег,ь eq,2nq образуют альтернанс, и случай, когда все полюса l/oj,n находятся вне [6і,6г9], доказан полностью. Если допустить наличие полюсов на [&2І, Ьгі+і], то контур 7»5 естественно, должен содержать эти полюса внутри, но поскольку образ кривой 7» при отображении не обходит нуля, то Г. f(z)dz = 0. Окружив полюса, лежащие на [Ь2І, b2i+i], малыми окружностями, лежащими на каждом из листов, и приближая 7» к [Ь2І, &2І+І] и к этим окружностям, находим, что где С к -"окружность" с центром в точке 1/аьіП радиуса є , верхняя дуга которой лежит на верхнем листе, а нижняя - на нижнем, G = [b2i,b2t+i]\Ufc:i/ajtne[b2;,b2,+1][l/afc,n-e, 1/аь,п+є]. Во втором слагаемом, делая замену z = 1/а п + єегф, ж ф 0 для верхних дуг и 0 ф —тт для нижних, а затем устремляя є к нулю, найдем:

Окончательно получаем, что условия (1.72) заменяются на Обратный переход производится так же, как и выше. Для завершения доказательства леммы осталось заметить, что условия (1.72), (1.73) эквивалентны (1.61). Замечание 3 Ф.Пехершторфер и С.Хелцль [299] доказали другим методом утверждение, аналогичное лемме 5 для случая, когда все полюса находятся вне [bub2q]. Замечание 4 М.Г.Крейн, Б.Я.Левин и А.А.Нуделъман [213] рассматривали другие условия, характеризующие регулярные матрицы (типа (1.67)). Замечание 5 В случае Лп — {0} эквивалентная характеризация появилась впервые в явном виде в [332], соответствующая риманова поверхность в этом случае является алгебраической кривой, называемой кривой Тоды [257]. Позже та же характеризация была найдена и в [290], см. также [73]. Лемма 6 Какова бы ни была система отрезков Е = [h,b2] U ... U [625-i,Ц], -оо h Ь2 b2q +оо, найдется система из q—1 кругов Ki,... , if9_i, лежащих в верхней полуплоскости во внешности друг друга с центрами на мнимой оси, причем центр круга К\ -точка г , такая, что функция осуществляет конформное отображение области G(K\,... ,Kq-i) на С\Е. Доказательство. По теореме Кебе [208] (см.также [198]) область С\Е можно отобразить конформно на область Г, являющуюся внешностью q кругов, один из которых можно считать действительной осью. Континуумы, составляющие И\Е , перейдут при этом в q аналитических кривых, связывающих круги К{ ТЯ.КІ+\, г = 1,... q — 2, , а также круг К\ с действительной осью Ко и круг Kq+i с оо. Обозначим эти кривые через Г ,... ,ГЯ . По построению найдется конформное отображение второго рода 1 = х(С) переводящее Т на себя и оставляющее неподвижными точки кривых Tj ,. Гд . Пользуясь принципом симметрии Римана-Шварца, мы можем продолжить это отображение на область, ограниченную окружностью дКі и q — 1 окружностями dKij, симметричными окружностям dKj,j = 1,...г — 1,ї+ l,...g — 1, относительно окружности дК{. Кривые Г[ ,... , Vq перейдут при этом в кривые Г[ , . . . , Г з . Очевидно, что путем последовательного применения этих операций, мы получим функцию х(0 аналитическую во всех обыкновенных точках соответствующей группы Шоттки Г и такую, что х{0 — С на всех кривых Г). Продолжая х(С) по непрерывности в предельные точки, найдем, что х(С) = С также и в предельных точках группы Г. Далее, рассуждая как и в [198], получим аналитичность х(С) во всей плоскоскости. Следовательно! ХІО -дробно линейная функция, оставляющая неподвижным семейство кривых Г) , которое должно быть частью прямой, ортогональной к Ко,... , Kq-i, т.е. мнимой осью. Найдем теперь искомое отображение. При этом для простоты будем считать Ь2 = 0. Тогда функция у = Ф( ), осуществляющая искомое отображение, будет иметь в фундаментальной области G группы Г двойной нуль в точке z = 0 и два полюса - в точках z = и z = . Значит, по теореме 9 Пользуясь тем, что при обходе окружностей дК{ arg j (z) не должен меняться, в то время как из (1.78) следует Дшс,-д-ЩФ(х) — 2ГПІП, получаем т,- = 0, і = 1,... q — 1. Итак, можно записать (z) = const П,. T?(Z)№(0) - ) (вд - 0(т,() - О ( - Ж - О ±х а?(о)СВД - о(ад - 0( (0 - )№() - z) Пользуясь очевидными соотношениями №))Ti(z) _ (tr\t))(zri(Q)) (ад - )вд (z - згЧОК - тг\о)) (ЩО - l)Ti(z) = U - Trl(Q)(z - ТГ1(0)) (ВД - Ї)Ш) (z - тг\ш-тг (о)у вдсгцо)- ) _{Tr\Q)-z)Tr\z) ВД(ВД - z) Tr40)(Tr\z) - z) найдем, что ГТ РГЧО) - z)(Ti(0) - z)(t - Tr (t)) ) = const Ц (z 0(z- 0 1X (0)( (0 - z)(T{(0 - z)Ti(z) (z - Tr\Q)) (t - Tr\l))Tr\z)(Ti{z) - z) = Ti(0)(z - ТГ\№ - Ttn(0))(z - Tri(t))(tri(0))(Tfi(z) - z) fi (, - m))(z - ш) Lb №(o) - z) г,-чоіадзд Tr\zWz) - ХЩ)ТІФ и-тгчожї-тгчожтсч )- ) Элементарное соотношение (2Гг(0) - z){Tr\z) - z)Tr\z) ТГЧО) (Г,(0) - z)1k(z)(Tr\z) - z) Т«(0) показывает, что к ) = con t п ( - ттг ут (с - Tr\t))$ - тгчыътд) Отсюда 2В(г-Ті(0)(г-ТіСОУ что влечет следующее выражение для искомой функции х = ф(г) : = с2тт—v-w» _ +&2 (z - ад)2 X Для нахождения константы С2 достаточно заметить, что (оо) = Ъ\, откуда С2 + b2 = bi, или С 2 = Ьі — Ь2 ) что и требовалось доказать.

Тригонометрические функции, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках

Пусть тригонометрический полином порядка /, задающий систему , = [v?i, 2]U .. U [(f2i-i, p2i], b (pi p2 ... (p2i b + 2тт. Для удобства будем также считать if2i+i — fi + 2я\ Пусть R - алгебраический многочлен степени 21 , получаемый из 71 по правилу под \ЛЙ здесь и далее понимается однозначная в С\Гв, Гв = {г С : z = е , ф } ветвь, выделяемая равенствами аг8л/Д(е ) = arg(-l)V 2, G(&;,&i+i),j = l,...,/-1. (1.108) Далее, пусть А(г) - полученный из Л аналогично (1.107), алгебраический многочлен, который может быть представлен в виде где с А Є С, Zj = Tje yj — 1,... , т , все ZJ различны, причем для TJ ф 1 найдется к такое, что г к = l/rj,k = Cj rnk = "V- Его степень равна 2а = X/jLi ту Многочлен A(z) совпадает со своим взаимным многочленом т.е. является самовзаимным. Нетрудно показать, пользуясь, например, композицией дробно-линейного отображения и отображения из Леммы б, что для любой системы дуг Г# единичной окружности найдется область Т+ = Т П {Sz 0}, которую можно конформно отобразить на С\Гд. Обозначим через ф(и) это отображение, представление которого через функции Шоттки-Бернсайда дано ниже. Через Vj, будем обозначать соответственно прообразы Zj, оо при отображении ф. Следующая лемма, доказательство которой будет приведено позже (в следующей главе), описывает отображающую функцию. Лемма 10 Отображающая функция z = ф(и) области вида Т+ на С\ГЕ имеет вид \сф\ = 1, функция А(ф(и)) допускает следующее представление: В дальнейшем мы будем использовать также некоторые понятия теории потенциала: функция Грина области С\Г#, gE{z, а) и сопряженная ей (вообще говоря многозначная) hE(z, а), гармоническая мера iv(z, G, \ТЕ) множества GCTBB точке z Є С \ ГЕ относительно области С \ Гв, где п - внешняя нормаль в точке , ГЕк = {( С, = etlp, р Ei,, = [ 2fc-i, 2fc]}, ft = 1,... ,1 (см., например, [273, 328, 386]). Теорема 12 ([422]) Пусть Л( р) - тригонометрический полином порядка а, положительный на системе отрезков , I 2. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1. Для некоторых А,ВєШ., А2+В2 ф 0, тригонометрическая рациональная функция вида (0.1), наименее уклоняющаяся от нуля на среди всех функций этого вида, имеет на максимальное число точек уклонения, т.е. 2.

Для каждого j,j = 1,... ,/, сумма гармонических мер дуги Tj от носительно нулей многочлена A(z) является натуральным числом, точнее 1 го (2N - a)Wj(oo) + -J2 rnku,j(zk) = $L qf_\ N,j = 2,... , /. 3. Существует действительный тригонометрический полином O N-I/2 порядка N — 1/2 такой, что для некоторой постоянной А О причем 4- Для некоторых целых q справедливы равенства ( Лри этом числа q- равны числу нулей тдг( ) на Ej+i,j = 1,... ,1 — 1, и полином Tjj{ip) представляется в виде TN&) = 4f №(«) + FN(-u)) e iN , (1.117) где ехр(гуз) = (и), r\2N—a( с\ m — F (tt) = к-о ко Пftw (tt Vj)ехр i(tt) {1 118) и константа А определяется из равенства А„е ехр Д;\ gf%U) QMTfc -g)fi/nfc -Vj№, У±Ш -vj)\ = 1 (1.119) г«?е A = AA42 + 2COSV ,B = Ч/ІЧГВ2 sin V . Дробь TTp01_ можно также записать через плотности гармоничес у/Л(ч ) кой меры w(z,x) = gjw(z,ГЕ П {є1 : b (p ж},С\Гв), следующим образом: -рЩ== = ecos(5/(pJ\r- t o,0+«(DlO) + X;mitu(zi C))dC), Л[М (1.120) ее {-1,1}. Доказательство. 1) = 3). Поскольку { 1 siny cos9? sin(iV—1)у cos(N — 1) р\ yffltf VA$P) yfflri " V %) \ДЫ J (для целого TV) и { sin I cos I sin(iV — 1)90 cos(N — l) p\ (для полуцелого iV) являются чебышевскими системами на S, то по теореме Чебышева об альтернансе получаем, что тдг/vvt имеет не менее 2N — I точек альтернанса ф3- внутри S. Положим (константу с подберем позже) и заметим, что т /А — A2N имеет двойной нуль в каждой точке ф j — 1,... , 2N — I, а также, в силу (1.112) и теоремы об альтернансе, простой нуль в каждом нуле 71((р), откуда можно подобрать с так, чтобы выполнялось тождество

(?) иг _ М -і/гМ N А2 — Л(ч ) N А&) т.е. (1.114) доказано. Точки tf j,j — 1,... , 2п — I, и р — j, j = 1,... , 21, являются точками уклонения т 2_ на , т.е. точками, в которых I - Ш= у/Мч ) \/А(ч ) достигает своего максимума на S, и их число - максимально возможное, т.е. 2N +1. Далее, поскольку из (1.114) следует, что в [6,6 + 2п)\ справедливо неравенство гдг( )/\/И.( ) AN, то функция М Р) + \А&Ы - - (У) def FN{ P) ANy/A( p) у/Л{ р) будет иметь равные 1 по модулю значения для ір Є (так как ТлгМ + y/rHriv) - A]fA{tp) = rN{tp) - y/rN(tp) - AjfAfr)) и действительные большие по модулю единицы значения для (р Є [6,6 + 2п)\. А тогда функция T2N(z) + Г Ы-Л ) FN(z) ANy/A(z) ANy/A(zy где T2W(z) d=f JNvTN(tp),A(z) d= eia A( p),z = e также будет иметь равные единице по модулю значения для z ТЕ- Функция FN(Z) - алгебраическая, и так как она имеет точками ветвления лишь точки ег р , j = 1,... ,21, то она может быть записана в виде Pi(z) + R(z)P2(z), где Р\,Р2 - некоторые многочлены. Таким образом, FN{Z) — T2N(Z) + yfR(z)S2N-i(z), где S2N-I(Z) = e%(N l/2)vaN_i/2( p).

Отсюда видно, что FN(Z) является однозначной мероморфной функцией на двулистной ри-мановой поверхности S функции w = y/R(z) и может иметь полюс лишь в бесконечно удаленной точке одного из листов S. Для определенности будем считать многочлен S2N-I{Z) нормированным так, чтобы FN(Z) имела полюс в ooi. Так как изменение аргумента F (z) при обходе вокруг дуги Tj по часовой стрелке равно изменению аргумента функции J-j ((p) при обходе вокруг отрезка [ j-ijfij] по часовой стрелке, а последнее равно —2nqj , где q- - число нулей т ( р) на [fij-XiVij], то общее изменение аргумента F (z) при обходе по границе области С\Гд равно —AitN. Отсюда по принципу аргумента — 2N = Z — Р, где Z - число нулей F (z) в С\ГЕ, а Р - число полюсов. Учитывая выбор ветви \/R, имеем Р = 2N, а тогда Z = 0. Следовательно, так как (см.(1.114)) (T2N(z) + y/Rjz)SW-i{z)){T2N{z) -УЩмг_і( )) = A2NA(z)z2N a, (1.121) то r2jv( j) = (vRS2N-i){zj),j = 1,... , тп , а это немедленно дает (1.115). 3)=»4) Так же, как и на предыдущем шаге, имеем, переходя к переменной z, что функция FN(Z) = T2N(Z) + y/R(z)S2N-i(z)— мероморфная на ри-мановой поверхности S. Как известно [144] группа Шоттки униформизи-рует поверхность S (инволюции / при этом соответствует отображение и — —и), поэтому функция Рм(ф(и)) - автоморфная относительно группы 0 (далее мы ее будем для сокращения обозначать через F (u)). То же справедливо и относительно функции если и является нулем Gu, то — и будет ее полюсом, и притом того же порядка, и наоборот. Подсчитаем нули и полюса GN 1. Точка и — (ф{) = со) является полюсом порядка 2N — а; 2. Точка и — — (ф(—) = 0) - полюс порядка 2N — а; 3. Точка и = Vj (Ф(У3-) = Zj), является полюсом порядка щ, j = 1,... , m (здесь используем (1.115); 4. С учетом сделанного выше замечания из 1) следует, что и = — является нулем кратности 2N — а; 5. Аналогично, и = - нуль кратности 2N — а; 6. Точка и = — Vj ((/ (VJ) = Zj), является нулем кратности mj, j = 1,...,т . Отсюда см = const п {-щ у) UKOOK-Й; -р 1,ф» (1.123) Возвращаясь к функции F/y, из (1.122),(1.123) и леммы 2 имеем wl (0(,,,00(,.,-0)2 vn(u,o; Отсюда, учитывая, что а -целое и Fjf - автоморфная, получим, что Щ четные и Далее, подсчитав изменение аргумента функции FJV(U) при обходе вокруг окружностей JiTj, j = 1,...,/ — 1, найдем Щ /2 — gj % где gj - число нулей многочлена Т# на Г +1 или, что то же самое, число нулей тригонометрического полинома TN на [ P2j+i, Угі+г]- Тем самым получено (1.118). Записав условие автоморфности функции FN(U), получим (1.116). 4)= 2) Поскольку (1.116) означает автоморфность функции F (u), заданной формулой (1.118), относительно группы (25, то FN(Z) является мероморф-ной функцией на римановой поверхности S, т.е. алгебраической функцией вида Рг(г) + хЩТ)Р2(г) FN{Z) = W) где Pi,P2,Q - некоторые многочлены. Анализ расположения ее нулей и полюсов показывает (после перехода к GN ПО формуле (1.122)), что

Ортогональные многочлены на нескольких дугах единичной окружности

Напомним, что рп, и, значит, по (2.19) также и qm, имеют единичные старшие коэффициенты, а тогда „ ,. ( [S \ I п ,. «„(«) 2 = km Pn + A/ p?m \ / х =cnhm . , что и дает соотношение (2.25). Чтобы получить (2.26), сперва заметим, что по (2.19) и (2.30) gp/R = с2пІЇп(и)ІЇп(-и), и, следовательно, - о Л(ж)ж,у+г,»-г " и-+« [0(гг)]"+а -г Непосредственные вычисления с использованием (2.6) и Щ- ,У) = Щ ,-У) (2.34) приводят к соотношению (2.26). Чтобы доказать единственность решения (2.22), необходимо лишь заметить, что все рассуждения, использованные до сих пор в доказательстве теоремы, могут быть обращены, т.е. если выполнено соотношение (2.22), то Ф из (2.29) автоморфна, ирп и qm, заданные равенствами (2.23) и (2.24), являются многочленами, удовлетворяющими (2.19) и (2.20), откуда единственность получается вследствие предположения об отсутствии общих нулей и из леммы 11. 2.2 Ортогональные многочлены на нескольких дугах единичной окружности Пусть Е = Uli=l[ P2j-i, P2j],(pi ... у 21, 2/ - Vi 27Г - заданная фиксированная система отрезков, Гд = {z Є С : z = elv, (р Є Е} - соответствующая система дуг единичной окружности. Основным объектом исследования в настоящем параграфе являются многочлены, ортогональные относительно мер Я.Л.Геронимуса [162]. Класс таких мер включает в себя все меры, для которых круговые параметры образуют, начиная с некоторого номера, непостоянную периодическую последовательность. Итак, пусть самовзаимный (т.е. такой, что R = R , где через R {z) обозначается взаимный к R многочлен, R (z) = z2lR(l/z)) задающий систему отрезков Е многочлен, A(z) — с А ПуІіС-2 zi)mi фиксированный алгебраический многочлен степени 2а Є Z+, не обращающийся в нуль на ТЕ и удовлетворяющий равенству А = — А . Далее, пусть некоторое разложение многочлена R(z) на самовзаимные многочлены W и V степеней 2u е Z+ и 2v Є Z+ соответственно, фиксированный вектор такой, что Xj Є {+1, — 1}, j = 1,... ,т, причем Xj может быть равно —1 лишь для простых нулей Zj = е1 -» многочлена А, расположенных на Г\Г#. Меры Геронимуса - это меры вида и S(z — Zj) - -функция Дирака с носителем в точке z = Zj. Кроме того, степени многочленов таковы, что а + 1/2 — w - натуральное число. Таким образом, основным объектом изучения в настоящем параграфе будут многочлены Рп с единичным старшим коэффициентом, ортогональные относительно мер da((p), т.е. удовлетворяющие равенствам

Нетрудно показать, что для любой системы дуг Гв найдется область Т+ = Т П {Sz 0} которую можно конформно отобразить на С\Гд. Обозначим через ф(и) это отображение, представление которого через функции Шоттки-Бернсайда вместе с удобной нормировкой будет дано ниже в Лемме 13. Через Vj,,Uj будем обозначать соответственно прообразы zj, оо и тех из точек ехтр(іф , которые являются нулями W, при отображении ф. Напомним также, что числа х\,... ,хп называются линейно независимыми над полем рациональных чисел, если равенство kiX\ + ... + кпхп = 0, где ki,... ,кп - рациональные, возможно лишь при к\ = ... = кп = 0, а последовательность {ап} - псевдопериодическая, если для некоторого йЄМиаЄГи для всех п n0 an+fc = ctan, а = е гкв12. Нам также понадобится двулистная риманова поверхность S, линиями перехода которой являются дуги ГЕ. Через Wj(oo),j = 1,... , I, будем обозначать гармонические меры дуг Fj = {ехр(гф) : ф Є [ гу+ь гі+г]} [400]. Следующая лемма доказана в [304], она является основой для получения представлений рассматриваемых ортогональных многочленов, поскольку позволяет свести нахождение ортогональных многочленов к решению алгебраического уравнения типа уравнения Пелля в теории чисел. При этом условия (2.39)-(2.41) фактически определяют компоненты дивизора мероморфной функции на римановой поверхности S, расположенные над точками Zj,j = 1,... , m; со и 0, а над нулями многочлена #(„) при этом будут располагаться неизвестные компоненты дивизора, асимптотическое поведение которых исследуется в работе сведением к проблеме обращения Якоби. При этом здесь и далее выбирается ветвь квадратного корня так, чтобы Доказательство. Вид функции ф(и) может быть легко получен из леммы 6 путем суперпозиции построенной там функции с дробно-линейным отображением, но для дальнейшего будет удобнее представление (2.42). Для его доказательства заметим, что функция z = ф(и) принимает на границе области Т+ значения, принадлежащие единичной окружности Г, а, значит, ее можно продолжить через границу Т+ по принципу симметрии Римана-Шварца. Продолженная функция будет неизменной при действиях отображений группы Шоттки Ф, т.е. автоморфной. Применяя теорему Бернсайда о представлении, с учетом леммы 4 получим требуемое. Для определенности фиксируем центр одного из кругов, скажем сі = і. Чтобы установить (2.43), подсчитаем ф(0) = ехр(іу 2) и используем (1.57). Доказательства формул (2.44)-(1.110) проводятся аналогично с учетом вида функций Ф и fi, при этом автоморфность этих функций вытекает из установленной автоморфности ф(и). Следующая теорема содержит представление ортогональных многочленов через автоморфные функции, необходимое для дальнейшего. гае

Круговые параметры ортогональных многочленов на не скольких дугах единичной окружности

Всюду в этом параграфе используются обозначения и факты из второго параграфа предыдущей главы. Теорема 20 ([423, 431]) а) Последовательность круговых параметров {ап}, \ап\ 1 является псевдопериодической тогда и только тогда, когда отвечающие ей многочлены ортогональны относительно положительно определенного функционала вида (; Л, W, Л) и гармонические меры u j(oo),j = 1,... ,/, дуг Yj, составляющих множество YE, -рациональные числа. б) Если же гармонические меры u j(oo),j = 1,... ,/, для множества YE - линейно независимы над полем рациональных чисел, то для положительно определенного функционала С с произвольными A,W,\ и TZ, задаваемым соответствующей системой дуг YE по формуле (1.106), последовательность {]ап}, и (для любого к Є N) последовательности {ап+ /ап} имеют своими множествами предельных точек отрезок и континуумы комплексной плоскости соответственно. Лемма 15 Пусть ап - круговые параметры, соответствующие последовательности многочленов {Рп} с единичным старшим коэффициентом, ортогональных относительно меры do( p; A, W, А) вида (2.36), и п а + 1/2 + v. Тогда для них справедливо представление Запишем ортогональные относительно меры da( p; A, W, А) многочлены Рп с единичным старшим коэффициентом в виде Pn{z) = cnPn(z), где Pn(z) = Г2п(м) + J2n(—w), z = ф(и) и Qn задана в Теореме 15. Тогда Подставляя сюда выражения (2.42),(2.48), после несложных преобразований найдем Из определения круговых параметров следует, что Доказательство. Аналог соотношения (3.31) в терминах абелевых дифференциалов на соответствующей римановой поверхности можно найти, например, в [364, (2.26)]. Соответствующее доказательство можно провести и здесь. Поскольку нам потребуются также равенства (3.37), полученные далее, приведем другое доказательство.

Сначала проведем его для такой системы дуг ТЕ, ЧТО на ней существует комплексный Т-многочлен с единичным старшим коэффициентом [305], т.е. такой самовзаимный многочлен TN степени N, что для некоторого самовзаимного многочлена U -i справедливо равенство где L 0. Тогда, применяя рассуждения, аналогичные использованным при доказательстве Теоремы 15, найдем, что 3=1 AN) и mS обозначает число нулей многочлена Ты на Г,-+і, j = 1,...,/ — 1. При этом должно выполняться условие автоморфности функции lN, т.е., с учетом леммы 4, (x (C(z)) ТмШ + г)7", ( ( )) =f Щ )(С + і)21, и»-іШ) =f UN-I(Z)(C + 0 ) из которого следует (с учетом перемежаемости нулей %н и ilv-г), что 1;v(C)/\/(C2 + I)77 наименее уклоняется от нуля на 148 E{ = С(Гв) С К среди всех алгебраических дробей соответствующего вида (см., например [291]). Тогда по теореме 3.3.6 [339] (здесь Е; - образ дуги Vj = {ехр(і ) : р Є [ P2j-i, p2j]} при отображении (3.35), nw - равновесная мера множества Е$ при наличии внещнего поля (веса) w(Q = 1/\/С2 + 1)[339]. Но непосредственно из определения равновесной меры следует, что fiw(Ej ) = fi(Tj), где ц - обычная равновесная мера множества Гд, что, в свою очередь, по определению гармонической меры, равно u j(oo). Таким образом, лемма доказана для системы дуг, на которой существует комплексный Г-многочлен, причем из (3.34) и (3.31) Для завершения доказательства леммы достаточно воспользоваться тем фактом, что рассмотренные системы дуг всюду плотны в множестве произвольных систем дуг Гд (он был установлен для систем отрезков действительной оси независимо и различными способами в [73],[257],[296],[383]). D Доказательство теоремы 20 а) Нетрудно видеть (см. также [305]), что псевдопериодичность последовательности круговых параметров ап — — Pn+i(0) равносильна периодичности последовательности круговых параметров ап многочленов Pn{z) = ехр(—іп9) Рп(ехр(ів)г). Согласно [305, теорема 4.4] периодичность последовательности круговых параметров {а„}, \ап\ 1, начиная с некоторого номера по, равносильна ортогональности последовательности многочленов Pn+\(z) = zPn(z) — anP (z),PQ(z) — 1, относительно некоторой меры da( p , A, W, А) и существованию на соответствующем ГЕ комплексного Т-многочлена, т.е. такого самовзаимного многочлена TN(Z) — el zN + ... , что для некоторого самовзаимного многочлена UN-I справедливо равенство (3.32). Но тогда (3.37) доказывает требуемое. С другой стороны, из (3.37) и леммы 16 следует iV-периодичность (начиная с некоторого номера) последовательности {Щ1 } и равенство k{n+N) = к(п) + m(N) в системе (2 49) для любой меры da( p; A, W, А) с соответствующим множеством Е. Тогда псевдопериодичность последовательности круговых параметров непосредственно следует из теоремы 15, лемм 4 и 15. D б) Доказательство будет состоять из нескольких шагов. На первом шаге установим, что точки Щ ,j = 1,... ,/ — 1, образуют всюду плотное множество в наборе №(x),j = 1,... ,/ — 1, параметризованном переменными х Є К _: (см.(3.44) далее). Для этого используем аппроксимационную теорему Кронекера (см.,например, [82]): если числа а 2(оо),... ,о ;(оо), 1 независимы над полем рациональных чисел, то для любых заданных действительных чисел j/i,... ,уі-і и любой последовательности ёк ] 0 существует возрастающая последовательность натуральных чисел {qk} и / — 1 последовательностей целых чисел к,Р,Р = 1,.-., — 1, таких, что qkb)j+i(oo) = xjj + rhktj + ek,j,) где \ek,j\ ёк, j = 1,... ,1 — 1; к = 1,... . Условие теоремы Кронекера здесь выполнено, поскольку u i(oo) + ... + wj(oo) = 1. Так как матрица A = (a,ij) является матрицей периодов римановой поверхности S (см. [89]), то она невырождена, поэтому, умножая (3.38) на А, получим