Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I.
1. Постановка задачи 8
2. Обобщение понятия дифференцируемое. Необходимое условие критичности 11
ГЛАВА II.
3. Пространство прерывистых функций 20
4. Пространство функций ограниченной со -вариации. Векторнозначные аддитивные функции множества 24
5. Интегрирование в пространстве прерывистых функций 34
6. Представление линейных ограниченных операторов, определенных на пространстве прерывистых функций. Сопряженное пространство 48
7. Положительные функционалы на пространстве прерывистых функций 76
8. Проекторнозначные прерывистые функции. Теоремы о расщеплении функционала 81
ГЛАВА III.
9. Задача оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями 90
10. Линейная задача оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями 106
Литература 123
- Обобщение понятия дифференцируемое. Необходимое условие критичности
- Пространство функций ограниченной со -вариации. Векторнозначные аддитивные функции множества
- Представление линейных ограниченных операторов, определенных на пространстве прерывистых функций. Сопряженное пространство
- Линейная задача оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями
Введение к работе
Математическая теория оптимальных процессов, основополагающая роль в создании которой принадлежит советским ученым, возникла в середине 50-х годов в связи с запросами науки и техники. В последующие годы интенсивное исследование задач оптимального управления продолжалось как в нашей стране, так и за рубежом* В современной технике встречается целый ряд задач оптимального управления, характерной особенностью которых является необходимость учета,ограниченный на управление и траектории изучаемых систем. Они представляют собой большой интерес как для решения внутренних проблем математики, так и для ее разносторонних приложений. Такие задачи рассматривались в работах [1-2], [5-8], [12-13] и других* Тем не менее, даже для линейных систем еще не получены достаточно простые и удобные для приложений условия оптимальности при естественных предположениях на управляемую систему. Причина этого,на наш взгляд, в неудачном выборе пространства управлений. Обычно управления берут либо из класса кусочно непрерывных на некотором интервале функций (см. [2], [8], [І2І ), либо из банахова пространства существенно ограниченных измеримых по Лебегу функций (см. [5-7], [13]); первое не является банаховым пространством, а второе имеет неудобное сопряженное. В работе [I] было предложено рассматривать управления из банахова пространства, получаемого пополнением по равномерной норме множества кусочно непрерывных функций. Однако отсутствие изометрического представления для сопряженного пространства значительно усложнило окончательные результаты. Учитывая, что это пространство все чаще появляется
в приложениях, полезно иметь для него более короткое название* В настоящей работе мы предлагаем использовать с этой целью название "пространство прерывистых функций" Характеризующим свойством функций из этогб пространства является наличие конечных пределов справа и слева в каждой точке области определения* Оно представляет самостоятельный интерес как минимальное расширение пространства непрерывных функций, сохраняющее большую часть его основных свойств* Помимо теории оптимального управления, оно естественным образом возникает в теории случайных процессов* С этой точки зрения геометрия этого пространства рассмотрена в работах [14], [15]. Оно естественным образом возникает также в теории дифференциальных уравнений*[16] и других областях математики*
Целью работы является исследование пространства прерывистых функций, изучение на этой основе задач оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями, получение для этих задач более удобных условий оптимальности, пригодных также и для случая бесконечномерного фазового пространства*
Работа состоит из трех глав* В первой главе в целях единства изложения приводится с некоторыми модификациями способ исследования экстремальных задач, получивший в литературе название "метода совместного накрывания" [17]. Исторически он восходит к работам Грейвса [18] в полном и законченном виде, допускающем рассмотрение задач оптимального управления, метод развит в работах К.Ш.Цискаридзе [I]* Изложение метода следует, в основном, работе [I]* Вторая глава посвящена изучению пространств прерывистых функций и содержит результаты общего характера* В третьей главе изучается задача оптимального управления
со смешанными односторонними ограничениями в -пространствах*
6 первом параграфе показано, как экстремальная задача в В -пространствах может быть сведена к задаче нахождения критических точек некоторого отображения \> JUL »—>- Id* , где сЯ- множество из В-пространства ^ , "U* - В-пространство. Пространства 3 и 'bh , множество JX и отображение Р стандартным образом строятся по исходной экстремальной задаче»
Во втором параграфе вводится понятие дифференцируемости отображения на конусе» Приводится ряд свойств, характеризующих это понятие» Основным результатом этого параграфа и первой главы является необходимое условие критичности, которое сформулировано в конце параграфа - теорема 2.6.
Вторая глава ( 3-8) работы посвящается подробному изучению пространства прерывистых функций.
В третьем параграфе приводятся некоторые свойства, характеризующие пространство прерывистых функций и его подпространство, образованное непрерывными слева прерывистыми функциями.
В четвертом параграфе вводятся основные обозначения, приведены некоторые определения и факты, связанные с пространствами функций ограниченной вариации и ограниченной со-вариации. Обобщены некоторые результаты работы [3]. Определены конечно--аддитивные функции множества, порожденные функциями ограниченной вариации и ограниченной со -вариации. Приведен ряд свойств, характеризующих как функции ограниченной вариации и ограниченной <*> -вариации, так и порожденные ими конечно-аддитивные функции множества.
В пятом параграфе стандартным образом строится интеграл
(см. [9-Ю]) от непрерывных слева прерывистых функций по конечно-аддитивным функциям множеств, порожденных как функциями ограниченной вариации, так и функциями ограниченной со-вариации. Приведен ряд свойств этого интеграла» Эти свойства являются аналогами свойств интеграла Стильтьеса, приведенных в работах [17-183* Приведен аналог теоремы Хелли для функций ограниченной со-вариации - теорема 5.2. С помощью приведенных свойств известная теорема Рисса о представлении линейных ограниченных функционалов на пространстве непрерывных функций сформулирована с помощью конечно-аддитивных функций множества порожденных функциями ограниченной вариации. Такая формулировка интересна тем, что в указанной форме функционал на пространстве непрерывных функций автоматически определен на пространстве прерывистых функций, с сохранением нормы.
В шестом параграфе изучаются изометрические интегральные представления линейных ограниченных функционалов и операторов, определенных как на пространстве прерывистых функций, так и на его подпространстве, образованном непрерывными слева прерывистыми функциями. Построено В-пространство слабо интегрируемых по точечной мере функций. Изучаются изометрические интегральные представления линейных ограниченных функционалов и операторов, определенных на подпространстве пространства прерывистых функций, образованном функциями со счетным носителем.
В седьмом параграфе изучаются положительные функционалы на пространстве непрерывных слева прерывистых функций. В частности, выведены условия ортогональности неотрицательного линейного функционала и неотрицательной функции. Эти условия естественным образом оказываются связанными с условием скачка в зада-
- б -
чах оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями* В восьмом параграфе рассмотрен вопрос о расщеплении функционалов на пространстве непрерывных слева прерывистых функций при помощи проекторноэначных непрерывных слева прерывистых функций* Исследован вопрос о выделении регулярной составляющей в интегральных тождествах методом расщепления вектор-нозначной конечно-аддитивной функции множества с помощью проекторноэначных функций - теорема 8*6* Вопросы, изученные в параграфах семь и восемь, естественно возникают в третьей главе при анализе необходимых условий оптимальности и представляют самостоятельный интерес*
В третьей главе ( 9-Ю) изучается задача оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями в В --пространствах.
В девятом параграфе выводятся необходимые условия оптимальности для общей задачи оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями* Они выводятся в классе непрерывных слева прерывистых управлений без дополнительных предположений на управляемую систему*
В десятом параграфе исследуется линейная задача оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями в В -пространствах. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности в классе непрерывных слева прерывистых управлений* Эти условия получены без дополнительных предположений типа кусочного постоянства множества активных индексов и условий общности положения (см. [8], стр.399-400). Они удобны для приложений, могут быть полезны при разработке численных алгоритмов решения задач указанного класса* Интересно отметить следующий
факт: прерывистая функция, удовлетворяющая достаточным условиям оптимальности, реализует оптимальное значение также и в классе измеримых управлений - теорема 10*5«
Условимся в заключение, что термины и обозначения, используемые на протяжении всей работы без специальных пояснений, употребляются в том же смысле, что и в книге Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца [91.
Обобщение понятия дифференцируемое. Необходимое условие критичности
Обычно экстремальные задачи связаны с нахождением точек минимума или максимума для скалярных функций. Однако в некоторых случаях оказывается полезным рассматривать также и векторные функции, принимающие значения из В-пространства, в котором задано отношение порядка. Напомним некоторые определения, следуя, в основном, терминологии [II].
Банахово пространство ЗЄ называется частично упорядоченным В -пространством, если в нем выделен выпуклый конус К с вершиной в нуле, обладающий свойством: если а: є М, , е Ц, и ос + = о , то ос = =о. Элементы из V» называются положительными элементами пространства ЗЄ , конус К называется конусом положительных элементов пространства ЗЄ , отношение ос є "К записывается в виде ос о или о ос , неравенство оо ч означает по определению, что ос-м уо . Про пространство ЗЄ мы будем говорить, что оно упорядочено при помощи конуса К Конус положительных элементов частично упорядоченного В-пространства 2 мы будем иногда обозначать также через Э+. множество ЗЄ + называется воспроизводящим, если каждый элемент зсєЗЄ представим в виде разности двух положительных элементов.
Частично упорядоченное В -пространство 36 будем называть пространством Крейна или ВК-проетранством, если множество Ж + содержит по крайней мере одну внутреннюю точку. Тот факт, что эс есть внутренняя точка множества Э + , записывается в виде ос о или о "х , неравенство -х : о означает по определению, что - х » о Заметим, что если Э -пространство Крейна, то 2+ является воспроизводящим множеством Если Х- В-пространство, частично упорядоченное при помощи конуса К , то в сопряженном пространстве ЗЄ можно ввести понятие положительности, считая, что функционал ос положителен, если х -х о для всех ее е "К.. Множество всех положительных функционалов образует выпуклый конус, который мы будем обозначать через "К Если Т6 является воспроизводящим конусом, то ЗЄ можно частично упорядочить при помощи конуса.
В дальнейшем относительно каждого встречающегося нам частично упорядоченного В -пространства мы будем предполагать, что конус его положительных элементов является воспроизводящим множеством и замкнут, а сопряженное пространство частично упорядочено так, как описано выше» 2. Общая экстремальная задача, Цусть 9Є , IF , tf , Зі --банаховы пространства, причем пространства " и И частично упорядочены, А - множество из В -пространства 9Є , -f , J , і. - функции, отображающие t# в пространства if", t/ . #f , соответственно. Точку ос0 є сЛ будем называть точкой минимума функции -f на множестве оА при ограничениях 9 (ее) = о (двусторонние ограничения), Кіь) о (односторонние ограничения), (1 1) если (осо о , і(ссо) о и для любой точки осе А , которая удовлетворяет указанным ограничениям и для которой С о) сравнимо с \і -) » выполняется неравенство С о") -(РО . Общую экстремальную задачу можно теперь сформулировать как задачу нахождения точек минимума (или максимума) функции на множестве «# при ограничениях (I.I). При изучении этой задачи технически удобным оказывается прием, позволяющий вместо нескольких функций, несимметрично входящих в условие, рассматривать только одну Именно, аналогично [I], мы введем понятие критической точки отображения и покажем, что сформулированную выше экстремальную задачу можно свести к задаче о нахождении критических точек некоторого отображения 3. Критические точки Цусть «Д множество из & -пространства , р . ЛА v- - Ь)" - отображение сЛА в В -пространство }& Точку -а0 е JU будем называть критической точкой отображения \ на множестве JU , если точка v-0 - Р С о) есть граничная точка множества f (JU) . Легко заметить, что точка 0е М является критической точкой отображения р . JU —v- %У тогда и только тогда, когда для любого положительного числа существует такая точка vre. ЪУ \v-\ t, что образ множества JA при отображении - ,— . ip +u не содержит точки W0 =. IpClLo"). Покажем теперь, как можно свести сформулированную выше общую экстремальную задачу к задаче о нахождении критических точек некоторого отображения. Сохраняя обозначения п.2, положим З ЗЄхїхїН , ,М = с хТ+ СН+, ЪУ- xtfx . Отображение \ : «Л\\— - Ub определим следующим образом. Цусть "2- = і,"іг, і)- точка из ОД Положим Ip s a = Оч. , , v) » где Лемма 1.1« Если о є & - точка минимума общей экстремальной задачи (п.2), то точка г0 = о ,о?- (? oV) принадлежит ДА и является критической точкой отображения р на JA. Доказательство. Очевидно, что . 0eja Допустим теперь, что "2г0 не является критической точкой отображения \э на jL\ , т,е, является внутренней точкой множества \ (jjjf) Тогда существует такое о » что для любого -w- е 1 " э \v-\ » рС 0 ъ If ( ti) Выбирая в качестве вектора -v- вектор оЗ- = - с, о ,о ) , где сеї+ , о \с\т . , получим, что для некоторого вектора u. = u і , u , и. г) є tXA справедливо равенство р(г0") - Ки +гЗ- » что равносильно системе соотношений Так как иъ о , то точка \к е.Л удовлетворяет ограничениям (I.I). В то же время f С - І оУ г- с о) » но это означает, что ос0 не является точкой минимума общей экстремальной задачи. Полученное противоречие доказывает лемму. Таким образом, каждое необходимое условие критичности может быть использовано для получения необходимых условий экстремальности для общей экстремальной задачи
Пространство функций ограниченной со -вариации. Векторнозначные аддитивные функции множества
Для каждого множества Е - і через X Е обозначим характерис тическую функцию множества Е Если Е еостоит из одной точки Е -{ , то ее характеристическую функцию мы будем также обозначать через У ± (вместо -ьл ) ДУСТЬ %± ---Jl v, - система векторов из Э и Ei «-., Е - семейство замкнутых отрезков из 4 Тогда функция -fc V— с(4:)= 2С е.(+)1- є j представляет собой функцию, отображающую отрезок й в пространство 3. Через МСНІ Щ обозначим множество функ ций, являющихся равномерными пределами функций указанного вида Легко можно показать, что есть Р-пространство относительно нормы: Функции из пространства УС будем называть прерывистыми функциями Очевидно, если oceycW(d,3) , то дня каждого {; Є ( 1 существует предельное значение слева в точке т , которое мы будем обозначать ( -) и для каждого те Со- 0 существует предельное значение справа в точке т , которое мы будем обозначать через эс(4+) . Положим по определению зс(і+)я = ос (±) и ос (о-) - х(о). Определение 3.1. Цусть эс tl v— ЗЄ - некоторая функция. Говорят, что функция а. не имеет разрывов второго рода на отрезке З , если для каждого і є (о,і) существуют предельные значения ос( ) » -х-( +)э а в точке 0 (соответственно, I) предел справа (соответственно, слева). Определение 3.2« Цусть cc-. t— X некоторая функция. Говорят, что функция ос имеет на отрезке і не менее v-n . -колебаний (Ч о ) , если существуют точки to,— , , о і0 -І-ЬІ.-С-" -bw i» такие, что Лемма 3.1« Для того чтобы функция ос : d - -- ЗЄ. не имела разрывов второго рода, необходимо и достаточно, чтобы для любого е о у нас было только конечное число -колебаний на 4 (см. [14], гл. ІУ, 4). Лемма 3.2. Если функция ос — X не имеет разрывов второго рода на отрезке і , тогда для любого 0 множество точек -bed , для которых oc(V) - эс(НЬ -) ( + (ос(4+) - x(V)\ , конечно. Доказательство. Введем следующие обозначения: Очевидно, что Et- 1/%V Et/a Поэтому если мы покажем, что множества Е и EJ конечны, то лемма будет доказана. Сначала покажем, что множество конечно. Действительно, допустим противное: пусть для некоторого t 0 Е содержит бесконечное число точек. Тогда El имеет хотя бы одну предельную частоту "t . Поэтому из El можно выделить либо убывающую, либо возрастающую последовательность -к »сходящуюся к 4: . Не нарушая общности, можно считать, что \ \:Л - возрастающая последовательность, т.е. "Ьд. — "bv» — "fc . Так как функция ос не имеет разрывов второго рода, то Зс(Ц V— - х( » При v- -oo И х.( -")у- - 3c(-U-) » при ьн- оо , т.е. существует такой номер N , что при v N имеют места неравенства Тогда при v\ /\/ имеем а это противоречит тому, что "Ььє ЕЦ , для всех к-ца.,—. Полученное противоречие доказывает наше утверждение о том, что множество - конечно. Аналогично можно показать, что множество Е конечно. Лемма доказана. Теорема 3.3. Для того чтобы функция oc-. v— Х принадле жала пространству , необходимо и достаточно, что бы она не имела разрывов второго рода на отрезке і Доказательство. Необходимость непосредственно следует из определения 3.1 и предшествующего ему замечания. Докажем достаточность. Цусть функция ос не имеет разрывов второго рода на отрезке и и - произвольное положительное число. По лемме 3.2 множество Ег всех точек ed , для которых Vx&V a -M- \ос(і- --х.( ) конечно. Пусть Et=V io--- - и Очевидно, что че/Ю/ Эб) Рассмотрим функцию { v- (VV V -Ы Легко видеть, что \г($Ь2&-)\ + + l +V їО) І - дая всех е Аортально, для каждого -J-є 4 существует такой открытый промежуток Q . с центром в точке і , что 1 (0 - IV) 1 для всех s e Q Дусть о s s 2-4--- sp 1 такие числа, что множества Q-s. 1-і, , F , образуют конечное покрытие отрезка 4 Рассмотрим числа о = і0 --- .?_ h.p = l такие, что и,Сгчо( Ч+і. Ї 1 = 1, —,?-! Очевидно, что функция {v- tW= Xc A0W t V4 ,h.# + " 0L -і L]W?W ) {&$) принадлежит пространству yyctf(d,9) . Тогда функция { ь - -х - \tVV tW е , принадлежит пространству /Vc/V (d , Эе) и l1 - -" (V , при ed . Так как Ъ о было выбрано произвольно, получаем, что хе /VC/1/(d,Oey # Теорема доказана. Пусть її,—?lw-система векторов из пространства ЗС и ELI--- - ЕИ семейство отрезков из 3 , таких, что либо Б L - L0 -Л1 » для некоторого -Ь е (о ,l"3 f либо Е-L = С -, 1, для некоторых і и , о -Ь s i f i,zir.. ,
Представление линейных ограниченных операторов, определенных на пространстве прерывистых функций. Сопряженное пространство
Аналогичная теорема приведена в 8] при дополнительном предположении кусочной постоянности множества активных индексов.
Вернемся теперь к условию невырожденности и остановимся на одном интересном частном случае, а именно, предположим, что пространство -конечномерное. Такая ситуация встречается не только в конечномерных задачах (т.е. таких, что пространство эе конечномерно). Она может возникнуть и в бесконечномерном случае, если требуется осуществить переход с одной гиперповерхности, задаваемой конечным числом скалярных соотношений, на другую. Невырожденность отображения Т играет, конечно, принципиальную роль и в этих задачах, но здесь неравенство (9.8) остается в силе. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Сохраняя обозначения, которые применялись при обсуждении вопроса невырожденности, положим Y - % С(4 J2&) х0 (4,), Tv = (Т4.,Та,ТЧ) . Тогда 1ІЇ -ТД . Т = (TV T4) ДЛЯ каждого и є Cv - Ту G O обозначим через (у-) множество таких точек \- &) , что 10-= ( VVT M.) . Тогда, обозначая через "S CY — - сД произвольную функцию, удовлетворяющую условию: для любого u є Cv "ЬІУ") - "2 есть такой вектор, что 4- , а через My множество //(TvJo U , получим, что 4 (р) = \тч {NV \ и si ( )- Тч W + Qi (о) , для всех eCv. Через с# обозначим линейное подпространство, конечномерного пространства & , натянутое на множество $(о) . Дальнейшие рассуждения зависят от того, совпадает пространство или нет.
Если тогда очевидно, что выполняется условие (u%\ этого параграфа. Тогда, как мы показали, конус i"(Jdf) содержит внутренние точки и неравенство (9,7), а вместе с ним и (9.8), следует из теоремы 2.6, гл.1. Рассмотрим теперь случай, когда «4 является собственным подпространством 0 Представим ( в виде прямой суммы = $ 4- В Через fj и р обозначим, соответственно, проекции Tjh в пространства іи В . Тогда для каждого є Су проекция множества $(у ) в пространство состоит ровно из одной точки \% 5бС Р (Тч -5( 4- 1 (U = (тч ОУ) и линейный оператор / : Cv v— - В , определенный условием Ь (у) - f\ Cv » 19- е Cv , однозначно распространяется на все пространство V Очевидно, что оператор непрерывен. Так как ел не совпадает с & , существует отличный от нуля вектор и линейный непрерывный функционал \&$\ , для которого Тогда функционал "и еЛД" , опреде ленный равенством обращается в нуль для всех ТАЬ = T(tAT) В то же время, Следовательно, - ненулевой функционал, удовлетворяющий условию (9.7). Таким образом, если пространство 9 конечномерно, неравенство (9.8) выполняется и в том случае, когда конус T(tU) не содержит внутренние точки. Заметим, однако, что в этом случае в (9.8) имеет место точное равенство. Предположим, что заданы следующие объекты: ЗЄ, ЧЛ? Q - банаховы пространства; tk. и - &к.-пространства; 4=ЕР/].7 йеС ДзеДО), F C/V(d?&t )), b &,W), 6iCV(d;B(fc,aji), Рассмотрим следующую задачу оптимального управления со смешанными ограничениями: среди всех функций хєС(45ЗЄ.) » начальных значений еЗб и допустимых управлений и. є с/У(4,it) , удовлетворяющих ограничениям: Если такая тройка существует, мы будем называть ее оптимальным процессом. Любую тройку Cw?oc,3co) э удовлетворяющую ограничениям 0O.I) - (Ю.З) будем называть допустимым процессом. Цусть для задачи (10.1) - (10.4) выполняется условие невырожденности (Н&) предыдущего параграфа. (Если пространство % конечномерно, тогда, как мы показали в конце предыдущего параг - 107 рафа, условие невырожденности вообще может быть опущено). Тогда теорема 9.1 для этой задачи примет следующий вид. Теорема 10.1. Для оптимальности процесса (и зс осЛ , необходимо существование монотонной невозрастающей фунісции ограниченной вариации е : 3 е- - , (Л4) - о , констант Х 34 , о , е в?" и функции ограниченной вариации о ; 4 1_ . ЗЄ. , {)- о , непрерывной слева в каждой точке \ е. (0,1 ) , удовлетворяющих условиям:
Линейная задача оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями
Отсюда следует, что множество "V - Wir-- "p\ есть конечная Ч -сеть для множества к(А\ Следовательно, для любого о сущентвует конечная -сеть "V для множества u d )» т.е. множество (л) вполне ограничено. Но тогда множество и. MS компактно (см. LI93, гл,П, 7, теорема 3).
Так как \Ц ) компактно, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку. Отсюда следует, что существует такая последовательность - ( - -\ W!$ и такой вектор иєІА э что SH v- 0 » при к. - е » и \к (S у— . -\ , при к »- оо . Тогда, так как для любого к vt=i а. --- выполняется неравенство (10.32) и так как при - = , то очевидно, что выполняется неравенство (10.31). Лемма доказана.
Положим, что К - Vc Тогда неравенство об о означает, что X есть неположительное число. Если ХФо t тогда неравенство (10.13) перепишется в следующем виде
Отсюда следует, что если допустимый процесс О -ко31 0 ) c//(d )xC(d,3 x3c удовлетворяет условиям (а), (Б), (с) теоремы 10.1 и если у, о э тогда этот процесс оптимален и для задачи (ЮЛ) и (10.4), рассмотренной в пространстве. Поставим теперь задачу (10,1)-(10,4) в пространстве оо (d uO c(cJ 3 x ЗС » т е» рассмотрим следующую задачу оптимального управления со смешанными ограничениями: среди всех функций зсєС(4,Х) , начальных значений ас0 є Э и управлений u.e/oof U) 9 удовлетворяющих ограничениям Если такая тройка существует, то мы будем называть ее оптимальным процессом. Любую тройку 0 ) «Л4ЛА)ХС( ЗЬ)К36. J удовлетворяющую ограничениям (10.1 -(10.31) будем называть допустимым процессом. Если допустимый процесс (u., , принадлежит простран ству , тогда очевидно, что условия (ЮЛ) и (10.21) будут выполняться для всех е.4 , т.е. процесс (м., -DL , 4) будет допустимым и для задачи (10.1 -(10.41). Предположим теперь, что пространство ЛК конечномерно. Тогда легко видеть, что любая измеримая по борелю ограниченная функция, отображающая отрезок 4 в конечномерное пространство Я\ , принадлежит пространству BV4/U). Отсюда следует, что если u» . 00(.4,) произвольная функция, тогда существует такая функция w. (4? ) , что W-u.\ ,=0 .Следовательно, из леммы 10,3 легко получаем следующее следствие. Следствие 10.4. Цусть (и ,оі ,х\)єСЛ/(4,,и)хС@ Х ) Э допустимый процесс для задачи (10.1)-(10.4), удовлетворяющий условиям (а), (Б), (с) теоремы 10.1. Тогда для любого допустимого процесса (и.,-х х.) Zо (d, U) х С(4,3с) Эс для задачи (I0.l )-(I0.4 ) справедливо неравенство. Если 3 - R?" , тогда неравенство что % есть неположительное число. Если равенство (10.33) перепишется в виде Для удобства полученные результаты сформулируем в виде одной теоремы. Теорема 10.5. Цусть (u. 1 ,-х.0) е CA/(d;u)xC(d,3e)x ЭС некоторый допустимый процесс для задачи 0Q.I) - 0О.4), рассмотренной в пространстве 0//(4,11) xc(d ,3с) х Зс Если существуют такая монотонная невозрастающая функция ограниченной вариации Б; 3 - » «СО = , константы и Функция ограниченной вариации : 3 v- - эе t Ф (і4) - о непрерывная слева в каждой точке \ є (о, Is) , такие, что удовлетворяются условия (а), (Б), (с) теоремыЮ.1, тогда справедливы следующие утверждения: (I) процесс (w,cc,oc) оптимален для задачи (10.I)--(Ю.4); (П) процесс (и. х5«:0 ) оптимален для задачи (10Л)-(10.4), рассмотренной в пространстве (Ш) если 14 конечномерное пространство, то процесс 0л7х,зс) оптимален для задачи (ЮЛ ) - (10.4 ), рассмотренной в пространстве.
