Введение к работе
Актуальность темы. Теория интегральных преобразований берет свое начало в работах Фурье, посвященных распространению тепла, где он ввел преобразование, названное впоследствии его именем. Другие выдающиеся математики - Лаплас. Стилтьес, Риман. Лиувилль. Меллин, Эйлер. Гильберт - также изучали интегральные преобразования в связи с решением различных задач анализа. Бдагодаря работам этих математиков и их последователей, интегральные преобразования становятся одним из наиболее мошных инструментов при решении задач математической физики и других разделов математики. Теории интегральных преобразований и ее приложениям посвящена огромная литература, ориентирование в которой весьма затруднительно в силу существования большого количества интегральных преобразований. В этой связи плодотворной оказалась идея рассматривать интегральные преобразования, в качестве ядер которых берутся специальные функции, зависящие от некоторых параметров и сводящиеся в частных случаях к ядрам известных преобразований. Как известно, в классе функций гипергеометрического типа наибольшей общностью обладает Н-функция Фокса. В силу этого обстоятельства исследование интегральных преобразований с Н-Функцией в ядре, которое предпринято в диссертации, представляет собой весьма актуальную задачу, имеющую приложения в математической физике, интегральных и дифференциальных уравнениях.
[Ьль работы. Исследовать интегральное преобразование типа свертки Меллина с Н-функцией Фокса в ядре (Н-преобразование) и связанные с ним объекты: порождающие операторы и свертки. Используя свертки для Н-преобразований. построить операционное исчисление типа Микусинского для кратной производной Эрдейи-Кобера и получить правила Лейбница и их интегральные аналоги для некоторых частных случаев Н-преобразований.
Методы исследования. При исследовании указанных вопросов широко применяются методы теории интегральных преобразований, специальных Функций, комплексного и функционального анализа. В параграфах 8- 10 используются результаты обшей теории операционного исчисления.
Научная новизна. Работа дает систематический подход к изучению теории Н-преобразования и его приложениям к различным задачам
анализа. Устанавливаются операторные соотношения для Н-преобразо-ваний. позволяющие решать уравнения с дробными интегро-дифферен-циальными операторами Эрдейи-Кобера. Другой подход к решению таких уравнений, рассмотренный в диссертации, основывается на построении операционного исчисления типа Микусинского. В диссертации решены следующие задачи:
-
Доказана теорема обращения Н-преобразования в некотором функциональном пространстве.
-
Построен порождающий оператор обобщенного Н-преобразования и изучены его свойства.
-
Построены свертки в смысле Димовского для порождающих операторов обобщенного Н-преобразования.
-
Построены правила Лейбница, их модификации и интегральные аналоги для некоторых частных случаев Н-преобразований.
-
Построено операционное исчисление для кратной производной Эрдейи-Кобера и дано его применение к решению задачи Коши для уравнения с кратной производной Эрдейи-Кобера.
Все перечисленные результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая значимость, ценность полученных в работе результатов определяется теоретическим значением проведенных исследований, являющихся определенным вкладом в разработку теории интегральных преобразований и операционного исчисления. Результаты диссертации могут быть использованы при решении дифференциальных, интегро-дифференшальных, интегральных уравнений и уравнений в частных производных гипербесселевого типа.
Апробации. Основные результаты диссертации докладывались на международном совещании по аналитическим вычислениям на ЭВМ в физических исследованиях (Дубна, май 1990г.), на международном симпозиуме по символьным и алгебраическим вычислениям (Токио, август 1990г.), на международном симпозиуме по символьным и алгебраическим вычислениям (Бонн, июль 1991г.), на международной конференции по комплексному анализу и его приложениям (Варна, сентябрь 1991г.), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара, май 1992г.), на конференции математиков Беларуси (Гродно, сентябрь 1992г.), на семинаре."Функциональный анализ и дифференциальные уравнения" в Белгосуниверсите-те (Минск, ноябрь 1992г.) (руководители - профессоры.А.Б.Антоне
вич. П.П.Забрейко, Н.А.Лукашевич. Я.В.Радыно. Н.И.Юрчук) и. неоднократно, на Минском городском семинаре по краевым задачам им. академика АН БССР Ф.Д.Гахова в Белгосуниверситете (руководитель - профессор Э.И.Зверович).
