Кратчайшие сети в банаховых пространствах Беднов Бронислав Борисович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Кратчайшие сети и минимальные заполнения 20

1. Существование кратчайших сетей 20

2. Пространства со свойством 3.2.I.P . 23

3. Пространства, реализующие минимальные заполнения 27

Глава II. Сети типа звезды 31

1. Минимальные заполнения типа звезды 31

2. Характеризация пространства L1 в терминах точек Штейнера 32

3. Точки Штейнера в пространстве C 39

4. Некоторые дополнения 47

Глава III. N-антипроксиминальные множества 51

1. Вспомогательные результаты 52

2. Пространства C 55

3. Пространства L1 61

Список литературы

• Пространства со свойством 3.2.I.P
• Пространства, реализующие минимальные заполнения
• Характеризация пространства L1 в терминах точек Штейнера
• Пространства C

Введение к работе

Актуальность темы. Пусть (X, р) — метрическое пространство и G = (V, Е) — связный граф со множеством вершин V и множеством ребер Е. Отображение Г : V —> X называется сетью в X, параметризованной графом G, или сетью типа G. Вершинами сети Г называются точки Г(г>), v Є V, ребрами сети Г называются пары Г(г>), T(w) при условии, что пара -и, w соединена ребром в графе G. Длиной ребра T{v)T{w) называется число р(Г(г>), T(w)), а длиной |Г| сети Г — сумма длин всех ее ребер. Если МсХ- конечное множество и М С Г (У), то говорят, что сеть Г соединяет (или затягивает) множество М. Множество М называется границей сети Г.

Число

|smt|(M, X) = inf{|r| : сеть Г соединяет М}

называется длиной кратчайшей сети для М в X, а

smt(M, X) = {Г : Г— сеть вX, соединяющая М, |Г| = |smt|(M, X)}

есть (возможно, пустое) множество кратчайших сетей для М в X.

Теория кратчайших сетей (и более общо, экстремальных сетей) составляет обширную область метрической геометрии. Теорией кратчайших сетей интересовался Гаусс: в письме к Шумахеру он задал вопрос о том, как построить кратчайшую систему дорог, соединяющих четыре города. Общая задача о поиске кратчайшей сети (то есть связного графа минимальной длины), соединяющей заданное конечное множество точек плоскости, была поставлена Ярником и Кесслером¹ в 1934 году. В книге Куранта и Роббинса "Что такое математика?" эта задача называется проблемой Штейнера. В настоящее время теория экстремальных сетей в метрических пространствах получила значительное развитие благодаря исследованиям А.О. Иванова, А.А. Тужилина и их учеников.

¹ Jarnk V., KosslerM. О minimalnich grafeth obeahujicich n danijch bodu, Cas. Pest. Mat. a Fys., 1934, 63, 223-235.

Типы связных графов, задающих кратчайшие сети, удовлетворяют достаточно жестким условиям, сформулированным в следующей хорошо известной лемме.

Лемма А. Пусть М_п — п-точечное множество в метрическом пространстве X. При поиске графа, параметризующего кратчайшую сеть Г Є smt(M_n,X), достаточно рассматривать деревья, которые имеют не более п — 2 дополнительных {отличных от прообразов точек из М_п) вершин, причем каждая из этих дополнительных вершин имеет степень не меньше 3.

В банаховом пространстве (X, || ||) сети можно представлять себе как связные конечные объединения отрезков, соединяющих точки этого пространства, то есть как связные графы в X с ребрами-отрезками. В случае конечномерных банаховых пространств некоторые свойства кратчайших сетей собраны в книге Сванеполя "The local Steiner problem in Minkowski spaces" (2009). В диссертации исследуются кратчайшие сети в бесконечномерных банаховых пространствах.

Для трехточечных множеств Мз кратчайшая сеть в силу леммы A состоит из трех (возможно, вырожденных) отрезков, соединяющих точки из Мз с их точкой Штейнера, то есть точкой, сумма расстояний от которой до точек из Мз минимальна.

В дальнейшем нам понадобится общее определение: для заданного набора М = {жі,..., х_п} С X множество точек Штейнера (в англоязычной литературе — медиан) st(M, X) состоит из таких точек s Є X, для которых

п ( п \

У \\xk — s\\ = inf у \\xk — х\\ : х Є X =: |st|(M,X).
k=i k=i

В случае гильбертова пространства точка Штейнера s{x\₎X2,x^) существует и единственна: она лежит в плоскости точек х\, #2, х% и либо совпадает с одной из них (если в треугольнике Ж1Ж2Ж3 есть угол, не меньший 120), либо совпадает с точкой Торричелли (из которой все стороны треугольника видны под углом 120).

В широком классе метрических пространств кратчайшая сеть существует для любого набора точек.

В бесконечномерном банаховом пространстве X кратчайшие сети могут не существовать уже для трехточечных множеств Мз — другими словами, множества smt(M3,X) и st(M3,X) могут быть пустыми. Первый пример таких X и Мз построил А.Л.Гаркави² в 1974г. Другие примеры строи-

²Гаркави А.Л., Шматков В.А. О точке Ламе и ее обобщениях в нормированном пространстве //

лись Л. Веселы (1993), М. Баронти, Е. Касини, П. Папини (1993), П. Папини (2005), П.А.Бородиным (2010).

Л. Веселы³ доказал, что всякое нерефлексивное банахово пространство X можно так эквивалентно перенормировать, что в новой норме некоторая тройка Мз С X не затягивается кратчайшей сетью. В.М.Кадец (2011), не зная о работе Веселы, доказал этот результат иным способом. Н.П.Стрелкова (2011) для всякого п > 3 построила пример банахова пространства X и n-точечного множества М_п С X, для которых множество smt(M_n, X) кратчайших сетей пусто. Построение Стрелковой основывается на примере П.А.Бородина (2010), для которого свойство несуществования точки Штейнера приводимых троек х\,Х2,х% устойчиво: для любых троек элементов ж_І5 х₂і ж₃, достаточно близких по норме к х\,Х2,х% соответственно, точка Штейнера также не существует. Пример Гаркави также обладает этим свойством устойчивости.

В главе I диссертации доказывается, что во всяком банаховом пространстве X, 1-дополняемом в своем втором сопряжённом (в частности, в любом сопряжённом пространстве, а также в любом пространстве L\) множество smt(M, X) непусто для всякого конечного М С X.

Недавно в работе А.О.Иванова и А.А. Тужилина⁴ (2012) наметилось новое направление теории кратчайших сетей, связанное с введенным ими понятием минимального заполнения.

Пусть (М, р) — конечное метрическое пространство. Число

|mf|(M) = inf{|smt|((/?(M), Y) : ер : М —> У},

где инфимум берется по всем изометричным вложениям пространства М в различные метрические пространства У, называется длиной минимального заполнения пространства М, а сети — элементы множества

mf(M) = {smt((/?(M),y) : |smt|((p(M),y) = |mf|(M)}

называются минимальными заполнениями пространства М.

Для всякого конечного множества М в метрическом пространстве (X, р), рассматриваемого как метрическое пространство с той же метрикой р, выполнено очевидное неравенство |smt|(M, X) > |mf|(M).

Матем. сб., 1974, 95(137), №2(10), 272-293.

³ Vesely L. A characterization of reflexivity in the terms of the existence of generalized centers // Extracta Mathematicae, 1993, 8, №2-3, 125-131.

⁴Иванов А.О., Тужилип А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении// Матем. сб., 2012, 203, №5, 65-118.

В отличие от кратчайших сетей, минимальные заполнения всегда существуют, то есть mf(M) непусто для всякого конечного метрического пространства М.

Для трехточечного пространства Мз = ({хі,Х2,Хз}, р) минимальное заполнение можно получить в четырехточечном расширении ({Х\, Х'і-, XZi SJ, p), где p(s, Xi) = 7,(p(Xi, Xj) + p(xi, Xk) — p(xj, Xk)) (i = 1, 2,3, {i,j,k} = {1,2,3}) в виде сети-дерева с ребрами sxi, SX2 и sxs. При этом величина |ті|(Мз) равна полупериметру треугольника х\Х2Х%.

Для четырехточечного пространства М^ = ({^1,^2,^3,^4},/)) минимальное заполнение имеет длину |mf|(M4) = ^(max(M4) + min(M4)), где max(M4) и min(M4) — соответственно максимальная и минимальная из сумм p(xi, Х2) + р(жз, х^), p{xi, Х3) + р(х2, х^), p(xi, Х4) + p{x,2i Ж3), и может быть реализовано сетью в некотором не более чем б-точечном расширении М±.

Для произвольных конечных метрических пространств М величина |mf|(M) как функция расстояний между точками из М может быть вычислена по некоторой переборной формуле, полученной А.Ю.Ереминым⁵.

Будем говорить, что метрическое пространство (X, р) реализует минимальное заполнение для своего конечного подмножества М, если |smt|(M,X) = |mf|(M) и множество smt(M, X) непусто.

А.О. Иванов и А.А. Тужилин поставили задачу⁶ об описании всех метрических пространств, реализующих минимальные заполнения для всех своих конечных подмножеств, и вместе со своими учениками привели нетривиальные примеры таких пространств. В частности, З.Н. Овсянников (2011) доказал, что таким пространством является пространство /^ для всякого натурального п (n-мерное действительное пространство с нормой ||ж|| = max{|^i|,... , |ж_п|}), а также пространство 1^ ограниченных последовательностей.

В случае банаховых пространств эта задача полностью решается в главе I диссертации. Именно, оказалось, что банахово пространство реализует минимальные заполнения для всех своих конечных подмножеств в точности тогда, когда оно обладает так называемым свойством 4.2.I.P. (преду-ально к Li, является пространством Линденштраусса).

Напомним необходимые сведения из геометрии банаховых пространств.

Пусть п > 3 — натуральное число. Говорят, что банахово пространство

⁵Еремин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства // Матем. сб., 2013, 204, 9, 51-72.

⁶EdelsbrunnerH., IvanovA., KarasevR. Current Open Problems in Discrete and Computational Geometry // Модел. и анализ информ. систем, 2012, 19, №5, 5-17.

X обладает свойством n.2.I.P. (n.2 Intersection Property), если всякие п попарно пересекающихся замкнутых шаров в X имеют непустое пересечение.

Теорема А (Гротендик⁷, Линденштраусс⁸). Для действительного банахова пространства X следующие свойства эквивалентны:

1. X обладает свойством n.2.I.P. для всякого п > 3;

2. X обладает свойством 4.2.I.P.;

3. X* изометрически изоморфно L\{ji) = Li(E, Е,/і) для некоторого множества Е, некоторой а-алгебры Е подмножеств Е и некоторой о~-аддитивной меры ц, определенной на Е;

4. X** 1-дополняемо в любом содержащем его банаховом пространстве Z {то есть существует линейный проектор Р : Z —> X** нормы 1).

Пространства, удовлетворяющие условиям теоремы A, называются пре-дуальными к L\ или пространствами Линденштраусса. К этому классу пространств относятся все пространства C(Q) действительнозначных функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте Q, пространства Со(Е), 1^ и многие другие. Пространство размерности п предуально к L\ тогда и только тогда, когда оно изометрически изоморфно /^.

Отметим, что класс предуальных к L\ пространств уже известен как описывающий экстремальное геометрическое свойство.

Теорема B (Рао⁹). Действительное банахово пространство X предуально к L\ тогда и только тогда, когда для всякого конечного множества М С X его чебышевский радиус

гс{М) = inf sup \\х — е\\

^еЄЛ- хєМ

равен половине диаметра М.

Нетрудно видеть, что для всякого ограниченного множества в произвольном банаховом пространстве X имеет место неравенство гс{М) > diam(M)/2. При этом Рао показал, что чебышевский центр (точка е, для которой sup_xM \\х — е\\ = гс{М)) в предуальном к L\ пространстве существует для всякого конечного множества М, то есть предуальные к L\ пространства и только они реализуют "минимальные заполнения" всех своих конечных подмножеств в смысле чебышевских центров.

⁷Grothendieck А. Une caracterisation vectorielle-metrique des espaces L¹ // Canad. J. Math., 1955, 7, №4, 552-561.

⁸Lindenstrauss J. Extension of compact operators // Mem. Amer. Math. Soc, 1964, 48, 1-112.

⁹Rao T. S. S. R. K. Chebyshev centers and centrable sets// Proc. Amer. Math. Soc, 2002, 130, №9, 2593-2598.

В главе II диссертации доказывается аналог теоремы B, в котором вместо чебышевских центров фигурируют точки Штейнера. Приведем необходимые определения.

Помимо общих минимальных заполнений, в упомянутой работе Иванова и Тужилина вводятся еще так называемые параметрические минимальные заполнения конечных метрических пространств (М, р), в определении которых изометрично вложенное пространство tp(M) соединяется в пространстве Y кратчайшей сетью заданного типа. Один из таких типов, специально рассматриваемый в работе Иванова и Тужилина, получил название звезды: рассматриваемые сети параметризуются графами-деревьями, в которых одна вершина соединена со всеми остальными. Дадим точное определение в терминах точек Штейнера.

Число

|st|(M) = inf{|st|((/?(M), Y) : ер : М —> У},

где инфимум берется по всем изометричным вложениям пространства М в различные метрические пространства У, называется длиной минимального заполнения типа звезды множества М.

Для трехточечных метрических пространств Мз величина |st | (А/з) совпадает с |ті|(Мз) и равна полупериметру треугольника с вершинами из Мз.

Для четырехточечных метрических пространств М^ нетрудно показать, что |st|(M4) совпадает с определенной выше величиной тах(М4).

Будем говорить, что метрическое пространство (X, р) реализует минимальное заполнение типа звезды для своего конечного подмножества М, если |st|(M, X) = |st|(M) и множество st(M,X) непусто.

Теперь можно сформулировать доказываемый в главе II аналог теоремы B: банахово пространство реализует минимальные заполнения типа звезды тогда и только тогда, когда оно предуально к L\.

Остальные результаты главы II посвящены точкам Штейнера (или, что то же, кратчайшим сетям типа звезды) в пространствах L\ и С.

В пространстве Li(M, ,/і) действительнозначных функций, суммируемых на множестве М по мере /і, определенной на сигма-алгебре Е подмножеств М, точки Штейнера описываются достаточно просто. Для трех функций /ь/2,/3 из этого пространства точка Штейнера s существует, единственна и почти в каждой точке t Є М значение s(t) равно среднему из чисел fi(t), /2(0, fs{t). При этом величина |s|({/i, /2, /з}, L\) равна полупериметру треугольника /ь/2,/3, то есть пространство L\ реализует минимальные заполнения (они же — минимальные заполнения типа звезды) для всех своих трехточечных множеств.

Как показано в главе II, это свойство вместе со свойством единственности точки Штейнера s(/i, /2, /з) полностью характеризует пространство L\ среди всех банаховых пространств.

Отметим, что это не первый результат, в котором пространство L\ характеризуется во "внутренне-метрических" терминах — см., например, теорему 3.10 в работе О.Лимы¹⁰.

Отметим также, что в терминах точек Штейнера были охарактеризованы гильбертовы пространства.

Теорема C (Бенитез, Фернандез, Сориано¹¹). Действительное нормированное пространство X размерности не меньше 2 является гильбертовым тогда и только тогда, когда выпуклая оболочка любых трёх точек из X содержит их точку Штейнера.

Кроме того, в главе II диссертации приводится описание множеств точек Штейнера для троек точек в пространстве непрерывных функций и исследуются свойства этих множеств.

Наряду с точками Штейнера можно (по аналогии с чебышевскими центрами) рассматривать и относительные точки Штейнера, когда для заданных точек xi,... ,х_п банахова пространства X точка s, минимизирующая сумму \\xi — s\\ + + \\х_п — s||, ищется не во всем пространстве X, а в заданном множестве М С X. Такие точки s составляют так называемую метрическую n-проекцию Рм{%1, > ^хп) точек xi,..., х_п на множество М.

Исследование свойств метрической п-проекции — относительно новый раздел теории приближений в нормированных пространствах. В частности, в работе П.А. Бородина¹² поставлен вопрос об исследовании п-антипроксиминальных множеств.

Пусть (X, || ||) — банахово пространство, М С X. Для xi,... ,х_п Є X

положим р(хі, . . . , Х_п, М) = inf_zM Х^Г=1 \\^Xi ~ ^Z\\

Непустое множество М назовём п-антипроксиминальным, если для любых таких х\,..., х_п Є X, что р(х\,..., х_п, М) > р(х\,..., х_п,Х), выполнено Рм{%1, > ^хп) \ {^хг\^=1 = 0.

При п = 1 это определение дает обычные антипроксиминальные множества (то есть такие множества МсХ, что для любой точки х Є X \ М во множестве М нет точки, ближайшей к ж), исследование которых состав-

¹⁰ЫтаА. Intersection properties of balls and subspaces in Banach spaces// Trans. Amer. Math. Soc, 1977, 227, 1-62.

¹¹BenitezC, FernandezM., Soriano M.L. Location of Fermat-Torricelli medians of three points // Trans. Amer. Math. Soc, 2002, 354, №12, 5027-5038.

¹²Бородин П.А. О выпуклости Ж-чебышёвских множеств // Изв. РАН. Сер. Матем., 2011. 75, № 5. 19-46.

ляет заметную область в геометрической теории приближений.

Кли¹³ сформулировал вопрос о существовании в банаховом пространстве выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминального множества. Антипроксиминальные множества начал исследовать Зингер¹⁴. Он называл такие множества "very non-proximinal". Пространство X содержит выпуклое замкнутое антипроксиминальное множество М тогда и только тогда, когда оно не рефлексивно (М — ядро функционала, не достигающего своей нормы). Холмс ввёл термин "антипроксиминальное множество". Эдельштейн (1970) доказал, что в сепарабельном сопряжённом пространстве выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств нет. Эдельштейн и Томпсон¹⁵ (1972) построили первое выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело (в пространстве Со). Кобзаш (1974, 1976, 1978) привёл примеры таких тел в пространствах, изоморфных Со, и доказал, что если измеримое пространство (Е¹, S,/i) содержит атом относительно меры /і, то в пространстве Ьі(Е, ,/і), для которого сопряжённое пространство канонически изоморфно L_(X)(E, ,/і), выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств нет. Борвейн, Эдельштейн и Фелпс доказали отсутствие выпуклых замкнутых ограниченных множеств в пространствах X со свойством Радона-Никодима. Флорет (1978) доказал несуществование таких множеств в пространствах X = Х\ х Х2 с нормой \\х\ + Ж2ІІ = \\^х\\\ + 11^21|, где рефлексивное пространство Х2 ф {0}. В.П.Фонф построил выпуклые замкнутые ограниченные антипроксиминальные тела в широком классе пространств непрерывных функций и доказал, что произвольное бесконечномерное банахово пространство можно так эквивалентно перенормировать, что выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств в новой норме существовать не будет. В.С. Балаганский¹⁶ построил пример такого множества в бесконечномерном пространстве C(Q) для произвольного топологического хаусдорфового пространства Q, а также в некоторых пространствах Гротендика (2012). Борвейн, Хименез-Севилла и Морено (2002) доказали, что в пространстве X = Y х Со с нормой ||ж|| = max{||y||, ||z||} есть выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело. Теория

¹³Шее V. Remarks on nearest points in normed linear spaces//Proc. Colloq. Convexity, Copenhagen 1965. 161-176.

Singer I. Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces. Bucharest-Berlin: Editura Academiei and Springer Verlag, 1970.

¹⁵EdelsteinM., Thompson A.C. Some results on nearest points and support properties of convex sets in Co// Pacific J. Math. 1972. 40, № 3. 553-560.

¹⁶ Балаганский В.С. Антипроксиминальные множества в пространствах непрерывных функций// Математические заметки. 1996. 60, № 5. 643-657.

антипроксиминальных множеств развивалась также и в других направлениях.

Одна из самых интересных нерешённых задач теории антипроксими-нальных множеств формулируется так: существует ли выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело в L₁[0, 1]?

В главе III диссертации исследуется вопрос о существовании выпуклых замкнутых n-антипроксиминальных множеств в пространствах непрерывных функций и суммируемых функций.

Цель работы: исследование существования кратчайшей сети, существования и единственности точки Штейнера, реализуемости минимальных заполнений и минимальных заполнений типа звезды в общих банаховых и конкретных функциональных пространствах, а также существования элемента наилучшего n-приближения.

Научная новизна работы. Все результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Доказано, что в банаховом пространстве X, для которого существует проектор P : X X нормы 1 (в частности, в любом сопряжённом пространстве или в пространстве L₁), для любого натурального n и для любых n точек существует соединяющая их кратчайшая сеть.

2. Доказано, что для действительного банахова пространства X следующие условия эквивалентны: X реализует минимальное заполнение для всякого конечного набора своих элементов; X реализует минимальное заполнение для всякой четвёрки своих элементов; X реализует минимальное заполнение типа звезды для всякого конечного набора своих элементов; X реализует минимальное заполнение типа звезды для всякой тройки и всякой четвёрки своих элементов; X предуально к L₁.

3. Доказано, что действительное банахово пространство X реализует единственное минимальное заполнение типа звезды для всякой тройки своих элементов тогда и только тогда, когда X изометрически изоморфно L₁.

4. Доказано, что в пространствах C и L₁ условия антипроксиминаль-ности и 2-антипроксиминальности множества эквивалентны, и что в этих пространствах не существует n-антипроксиминальных выпуклых замкнутых ограниченных тел при n = 3,4....

Методы исследования. В работе используются различные методы теории функций действительного переменного, функционального анализа, линейной алгебры, выпуклой геометрии.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретиче-

ский характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории функций, функциональном анализе и геометрии.

Апробация работы. Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

семинар по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством профессора Е.П.Долженко (неоднократно, 2010-2014);

семинар по теории приближений в МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством профессора И.Г. Царькова, доцента А.С. Кочурова, н.с. А.Р.Алимова, асс. А.А.Васильевой (2011);

семинар по теории функций в МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством академика РАН Б.С. Кашина, чл.-корр. РАН СВ. Конягина, проф. Б.И.Голубова и проф. М.И.Дьяченко (2012);

научный семинар кафедры высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета) под руководством профессора Е.С. Половинкина (2014);

семинар по геометрической теории приближений в МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством доцента П.А.Бородина (неоднократно, 2009-2014).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

Международная конференция «Теория приближений», посвященная 90-летию со дня рождения С.Б.Стечкина (2010);

школа СБ. Стечкина по теории функций в г.Миасс (2011, 2013, 2014);

17-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2014).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 работах (три из перечня ВАК), список которых приведён в конце автореферата. Из работы [2] в диссертацию включены только результаты, доказанные автором без участия Н.П. Стрелковой. Все теоремы из [1] получены совместно с ПА. Бородиным и включены в диссертацию. В каждой из них автору принадлежит либо первая, либо вторая половина доказательства.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 66 наименований. Общий объем диссертации — 70 страниц.

Пространства со свойством 3.2.I.P

Для произвольных конечных метрических пространств М величина mf(M) как функция расстояний между точками из М может быть вычислена по некоторой переборной формуле, полученной А.Ю.Ереминым [11].

Будем говорить, что метрическое пространство (X, р) реализует минимальное заполнение для своего конечного подмножества М, если smt(M,X) = mf(M) и множество smt(M,X) непусто.

А.О.Иванов и А.А. Тужилин поставили [24] задачу об описании всех метрических пространств, реализующих минимальные заполнения для всех своих конечных подмножеств, и вместе со своими учениками [13, 14] привели нетривиальные примеры таких пространств. В частности, З.Н. Овсянников [14] доказал, что таким пространством является пространство / для всякого натурального п (n-мерное действительное пространство с нормой ж = тах{жі,..., жп}), а также пространство 1 ограниченных последовательностей.

В случае банаховых пространств эта задача полностью решается в главе I диссертации. Именно, оказалось, что банахово пространство реализует минимальные заполнения для всех своих конечных подмножеств в точности тогда, когда оно обладает так называемым свойством 4.2.I.P. (предуально к Lh является пространством Линденштраусса).

Пространства, удовлетворяющие условиям теоремы A, называются пре-дуальными к L\ или пространствами Линденштраусса. К этому классу про странств относятся все пространства C(Q) действительнозначных функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте Q, пространства CQ(E), 1 и многие другие. Пространство размерности п предуально к Ь\ тогда и только тогда, когда оно изометрически изоморфно

Нетрудно видеть, что для всякого ограниченного множества в произвольном банаховом пространстве X имеет место неравенство гс(М) diam(M)/2. При этом в [58] показано, что чебышевский центр (точка е, для которой supxGM \\х — е\\ = гс(М)) в предуальном к Ь\ пространстве существует для всякого конечного множества М, то есть предуальные к Ь\ пространства и только они реализуют ”минимальные заполнения” всех своих конечных подмножеств в смысле чебышевских центров.

Во II главе диссертации доказывается аналог теоремы B, в котором вместо чебышевских центров фигурируют точки Штейнера. Приведем необходимые определения.

Помимо общих минимальных заполнений, в работе [13] вводятся еще так называемые параметрические минимальные заполнения конечных метрических пространств (М, р), в определении которых изометрично вложенное пространство (р(М) соединяется в пространстве Y кратчайшей сетью заданного типа. Один из таких типов, специально рассматриваемый в [13], получил на звание звезды: рассматриваемые сети параметризуются графами-деревьями, в которых одна вершина соединена со всеми остальными. Дадим точное определение в терминах точек Штейнера. Число где infimum берется по всем изометричным вложениям пространства М в различные метрические пространства У, называется длиной минимального заполнения типа звезды множества М.

Для трехточечных метрических пространств Мз величина st (А/з) совпадает с птг(Мз) и равна полупериметру треугольника с вершинами из Мз.

Для четырехточечных метрических пространств М4 нетрудно показать, что st(M4) совпадает с определенной в формуле (0.2) величиной тах(М4).

Будем говорить, что метрическое пространство (X, р) реализует минимальное заполнение типа звезды для своего конечного подмножества М, если st(M,X) = st(M) и множество st(M,X) непусто.

Теперь можно сформулировать доказываемый во II главе аналог теоремы B: банахово пространство реализует минимальные заполнения типа звезды тогда и только тогда, когда оно предуально к L\.

Остальные результаты II главы посвящены точкам Штейнера (или, что то же, кратчайшим сетям типа звезды) в пространствах Lx и С.

В пространстве Li(M,S,/i) действительнозначных функций, суммируемых на множестве М по мере /І, определенной на сигма-алгебре Е подмножеств М, точки Штейнера описываются достаточно просто. Для трех функций /і, /2, /з из этого пространства точка Штейнера s существует, единственна и почти в каждой точке t Є М значение s(t) равно среднему из чисел

Пространства, реализующие минимальные заполнения

Пусть X — линейное нормированное пространство, пространства X и X — первое и второе сопряжённые к X соответственно.

Напомним, что непустое множество Т называется направленным, если на нём введена частичная упорядоченность, удовлетворяющая следующему условию: для всяких t,s Є Т найдётся такое и Є Т, что t и и s и.

Направленностью (см., например, [3, глава 1, 9]) в топологическом пространстве X называется набор элементов {xt}t&T в X, индексируемых направленным множеством Т.

Направленность {xt}teT называется поднаправленностью направленности {ys}sS, если есть такое отображение 7Г : Т — S, что xt = yn(t) и для всякого so Є S найдётся t0 Є Т с условием ir(t) s0 при всех t t0.

По определению, направленность {xt\t&T в топологическом пространстве X сходится к элементу х Є X, если для всякого открытого множества U, содержащего х, найдётся такой индекс to, что xt Є U для всех t Є Т с условием о.

Теорема 1.1. В банаховом пространстве X, для которого существует проектор Р : X -+ X нормы 1 (в частности, в любом сопряжённом пространстве или в пространстве L\ [36]), для любого натурального п и для любых точек xh...,xn существует соединяющая их кратчайшая сеть.

Доказательство. Рассмотрим сети в пространстве X с границей Х\,...,хп Є X. Заметим, что дополнительные вершины кратчайшей сети можно искать лишь в замкнутом шаре В С X радиуса 2 Х Г=і ІІЖ ІІ с цен тром в нуле. Действительно, любая дополнительная вершина связной сети соединяется со всеми ХІ,І Є {1,..., п}, по ломаным, и если некоторая вершина щ кратчайшей сети Г лежит вне шара Б, то длина этой сети больше lh -жі Eti INI. Но сеть иГ=і[0,Жі] имеет длину, равную Eti IWI, что противоречит тому, что сеть Г является кратчайшей. Фиксируем один тип сетей. На множестве S сетей данного типа в пространстве X э X с границей xh ..., жп Є X введём частичный порядок: Гі Г2 тогда и только тогда, когда ГХ Г2. Заметим, что любые две сети одного типа при таком упорядочивании сравнимы.

Пусть у сетей данного типа d дополнительных вершин и N рёбер. Сети s Є данного типа поставим в соответствие элемент 7s = (&i,... ,ad) Є (X )d, состоящий из её дополнительных вершин. Множество направлено, поэтому множество {7S}SG является направленностью.

Пространство (X )d с нормой 7 = (аь ... ,ad) = Eti \Ы\х» явля ется хаусдорфовым в -слабой топологии, и замкнутый шар Bd в этом про странстве -слабо компактен по теореме Банаха-Алаоглу ([3, глава 6, 7]) как шар в пространстве, сопряжённом к (X )d. По теореме 1.9.10 из [3, глава 1, 9], всякая бесконечная направленность в имеет поднаправленность, сходящуюся (относительно -слабой топологии) к некоторому элементу из (X )d. Поэтому существует сходящаяся к 7 = {аи ... ,ad) Є (X )d поднаправленность {gslsescs Q {7t}t =. Сеть данного типа с дополнительными вершинами аь ..., ad и границей жь ..., хп обозначим Г. Докажем, что Г — кратчайшая сеть данного типа, соединяющая точки хь...,хпвХ \ Можно считать Г 0.

Рассмотрим произвольную дополнительную вершину ai сети s данного типа. Пусть из неё выходит щ рёбер к вершинам а\,..., агк,, х\,..., х\, сети s, li + ki = тц. Занумеруем рёбра вершины аг в некотором порядке. Рассмотрим -слабую окрестность U = [Гру, є) = U(ah ..., ad; Д1,..., fni, /?,..., /f,..., /, є) = = {(ai,...,ad): /j(a, -a,)l є,г = 1,... ,d, j = 1,... ,и } точки 7. Здесь функционал /j Є X , /j = 1 при каждом і Є {1,..., d] и j Є {1,..., п,} выбирается так, что если аг соединена ребром с ак (тогда и аг соединена ребром с ак), то \f)(al-ak)\ (1 - є)\\аг-ак\\, а если аг соединена ребром с ж/, то \flm(ai - xi)\ (1 - є)\\аг - xt\\, где j и m - это номера рёбер, соединяющих ai с ак и ж/ соответственно. Тогда для элементов набора (ai,...,ad) Є 7 выполнены следующие неравенства : \\сц—ак\\ \fUa,i—ak)\ = \fj((oi - щ) + (аг-ак) + (ак - ак))\ \р3{аг -ак)\ - 2е (1 - е)\\щ - ак\\ - 2е при соединении ребром вершин агиаки \\аг - хг\\ \Рт{(Ц -xi)\ = \fU(ai аг) + (аг-Хі))\ Д(аі-Жі)-є (1-є)аі-Жі-єпри соединении ребром вершин а,і и х\.

Характеризация пространства L1 в терминах точек Штейнера

Интересно описать все (для начала хотя бы двумерные) банаховы пространства X, в которых для всяких а,Ь,с Є X величина st({a, b, с},Х) зависит только от длин сторон треугольника abc. В класс пространств, обладающих указанным в этой задаче свойством, заведомо входят пространства, предуаль-ные к Lh а также гильбертовы (евклидовы) пространства. Приведем пример двумерного пространства, не обладающего таким свойством.

Пример 2.1 двумерного банахова пространства Х2, в котором есть два треугольника Т и Т с попарно равными сторонами, но st(T, Х2) 7 st(T ,X2).

Возьмем двумерное пространство Х2, единичная сфера в котором — правильный шестиугольник (см. рис. 1). Пусть Т = { , ,6} (светлые точки на рисунке), Г = {а, -а, b-f} (темные точки).

Нетрудно показать, что в каждом из этих треугольников длины сторон равны ,,2. Для треугольника Т пространство Х2 реализует минимальное Таким образом, smt(T ,X2) = mf(T ) = smt(T,X2). Можно показать, что st(T ,X2) Э 0, то есть smt(T ,X2) = 3. Рассмотрение примера закончено.

В связи с теоремой 1.4 возникает естественный вопрос: во сколько раз величина smt(M, X) может быть больше величины mf(M) для какого-либо конечного множества М в банаховом пространстве X? Оказывается, не более чем в 2 раза. В работе [13] введено суботношение Штейнера

В этой терминологии теорема 1.4 описывает банаховы пространства X с ssr(X) = 1 и дополнительным условием существования кратчайших сетей у всех конечных подмножеств. Правое неравенство в (2.10) очевидно, а левое доказывается достаточно просто. Для всякого X и М = {жі,...,жте} С X всякая сеть-дерево Г Є mf(M) имеет обход, при котором каждое ребро в Г проходится по 2 раза. В этом обходе длина каждой ломаной от вершины хг до следующей за ней (в порядке обхода) вершины Xj не меньше \\ХІ — Xj\\. Если L — замкнутая ломаная в X с вершинами только в точках Xk, обходящая эти точки в том же порядке, то получается, что

По лемме 1.1 на X U Го можно так определить метрику, что все расстояния внутри X и внутри Го сохранятся. Вложим полученное метрическое пространство X U Го изометрично в какое-нибудь универсальное банахово пространство С. Существует линейный проектор Р : С - X нормы не больше абсолютной проекционной константы Xd. Сеть Р(Г0) соединяет множество М в X и имеет длину не больше Adr0. Таким образом, mf(M) = Г0 P(r0)/Ad smt(M,X)/Ad, откуда ssr(X) 1/Ad. Известно [52], что А2 = 4/3, А3 {лД + 1)/2, А4 (Зл/б + 2)/5. Эти три числа меньше 2, поэтому для всех не более чем четырехмерных пространств X получается ssr(X) 1/2. Было бы интересно вычислить величины ssr(d) := inf{ssr(X) : dimX = d}. Так, уже можно отметить неравенства

Левые неравенства здесь только что доказаны, а правые получаются из примеров 2.1 и 1.1 соответственно. Глава III. TV-антипроксиминальные множества

Рассмотрим банахово пространство (X, ) и непустое множество М в нём. Для точки х Є X определим метрическую проекцию Рм{х) = {у Є М : \\х - у\\ = р(х, М)}, где р(х, М) = ЫгШ \\х - z\\. Множество М называется антипроксиминалъным, если для любой точки х Є X \ М во множестве М нет ближайшей точки, то есть Рм(х) = 0.

В работе [5] для точек х\,...,хп Є X определена метрическая п-проекция PM(xh ...,хп) = {уєМ: ti \\ХІ У\\ = p(xh ..., хп, М)}, где p(xh ...,хп,М) = ЫхШ Eti \\хг - A, и поставлен вопрос об исследовании п—антипроксиминальных множеств. Введём следующее Определение. Непустое множество М назовём п—антипроксиминалъным, если для любых таких х\,...,хп Є X, что р(хъ ..., хп, М) р(хъ ..., хп, X), выполнено Рм(хъ ...,хп)\ {х =і = 0.

Геометрически свойство множества М быть антипроксиминальным означает, что для любой точки х Є X \ М замкнутый шар В(х, р(х, М)) не имеет с М общих точек. Аналогично п—антипроксиминальность означает, что для любых точек жі,..., хп Є X с условием р(хъ ..., хп, М) р(хъ ...,хп,Х) замкнутыйп-шарВ{х1)...)хП)р{х1)...)хП)М)) = {у Є X : ELill?/- !! р(хи ..., хп, М)} не имеет с М общих точек, кроме, быть может, хг.

При п = 1 п—антипроксиминальное множество есть в точности анти-проксиминальное множество. Действительно, неравенство р(хи ..., жп, М) р(жь ..., жп, X) становится неравенством р(ж, М) р(ж, X), что эквивалентно условию х М, и условие Рм(х) \ {х} = 0 выполнено для антипроксими-нального множества М.

Неравенство р(жь ..., хП) М) р{хъ ... ,хп,Х) в определении означает, что метрическая проекция Рм(%1,) не пересекается со множеством точек Штейнера Px(xh...,xn) = st(xh ... ,хп). Если это условие убрать, то определение потеряет смысл: при п = 2 для всякого непустого множества М X можно найти такие две точки Х\,х2, что интервал (х\,х2) пересекает М; тогда PM(xhx2) \ {хих2} Э (xhx2) П М, и получится, что 2-антипроксиминальных выпуклых множеств вообще нет.

Если же условие Рм{хи ХП)\{ХІ}?=1 = 0 заменить на Рм{хи хп) = 0, то получится более узкий класс Zn(X) множеств в пространстве X, при п = 1,2 совпадающий с уже введённым. Действительно, (1-)шар В{х,р{х,М)) и 2-шар В{х1)х2)р{х1)х2)М)) содержат соответственно точки х и хл,х2 строго внутри себя (при условиях р(х,М) р{х,Х) = О и р{хих2,М) р{хих2,Х) = \\хг-х2\\ соответственно), и если Рм{х)\{х} = 0 или PM(xh x2)\{xhx2} = 0, то и Рм{х) = 0 или PM(xh х2) = 0 соответственно. При натуральном п 3 класс Zn(X) в любом банаховом пространстве X не содержит выпуклых замкнутых множеств (см. ниже утверждение 3.1), поэтому исследование этого класса Zn(X) представляется бессодержательным.

Пространства C

Если ни одной граничной точки у носителей S{i i), і = 1, 2, 3, нет, то, без ограничения общности считаем S (iy3) = [0,1] = S+(i i) = S+{y2). Тогда v3 = /І" - a, z/i + z/2 = /І+ + а при некоторой положительной мере а. В силу равенств і/і + і/2 = ИІ + ИІ = м+ + а = Ц/х -аЦ = ИІ получаем различные нормы у z/j, что не удовлетворяет условию. Пусть, без ограничения общности, граничная точка fe5»n 5+( ) П 5"( ) (точка играет роль точек t\ 3 и 2;з в терминах теоремы 2.3). Если множества "(z/i) и S {y2) пусты, то также верно равенство \\vi\\ + 2 = з и нормы у и І различны, что не удовлетворяет условию. Если же хотя бы одно из множеств S (fi), S {i 2) не пусто, то найдётся его граничная точка из множества S {v3) которая и есть точка th2. Действительно, если 5 (г/3) = [0,1], то для граничной точки t\ множества, без ограничения общности, S (fi), верно включение t\ Є S {v3) П S+(v2), так как граничная точка принадлежит трём носителям одновременно. Если же множество S {v3) имеет граничную точку t2, то эта точка граничная и для одного из множеств S (fi), S {v2). Поэтому t2 принадлежит положительному носителю оставшегося функционала. Таким образом, для данных v\,v2,v3 и соответствующих им х\,х2,х3 Є В(С[0,1]) точка 0 Є Рс[о,і](хі,х2,х3), то есть не выполнено условие 4) леммы 3.2. До казательство завершено.

Заметим, что выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело Vh построенное Кобзашем [16] в пространстве с, 2-антипроксиминально, но не п—антипроксиминально при п 3 (множество V\ строится из упоминавшегося выше множества V, построенного Эдельштейном и Томпсоном [39], при помощи изоморфизма пространств с и Со). Заметим также, что выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело V2, построенное Балаганским [1] в пространстве C[Q], 2-антипроксиминально, но не п—антипроксиминально при п 3. Оба этих наблюдения сразу следуют из теоремы 3.2.

Пространства Ьг

Теорема 3.4. Для пространства Ьі(Е,Т,ф), сопряжённое к которому канонически изоморфно L00(E ,/І), в частности, для пространства Li( ,S,/i) с а-конечной мерой ц, верны следующие утверждения: 1) антипроксиминальность выпуклого замкнутого множества М эквивалентна его 2-антипроксиминалъности; 2) не существует выпуклого замкнутого п—антипроксиминального множества при п = 3,4 ... ; 3) если а-алгебра Е содержит хотя бы один атом относительно меры [і, то в пространстве L\{E,Yi,ix) нет выпуклых замкнутых ограниченных 2-антипроксиминалъных множеств.

Получается, что вопрос о существовании выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминального тела в пространстве Li[0,l] эквивалентен вопросу о существовании выпуклого замкнутого ограниченного 2-антипроксиминального тела в этом пространстве и остаётся нерешённым. Доказательство. Напомним, что функционалы / є «,(,,//), которые не являются опорными к B(Li(E, ,/І)), характеризуются равенством fi({te Е: /(0 = ІІ/Ц}) = 0.

1) По лемме 3.1 из 2-антипроксиминальности множества М следует его антипроксиминальность. Для доказательства 2-антипроксиминальности выпуклого замкнутого антипроксиминального множества М рассмотрим функционал / Є Loo, опорный к этому множеству. По лемме C такой функционал не достигает нормы. Пусть существуют такие опорные к В(Ь\) функционалы /ь/2 одинаковой нормы, что /і + /2 = /. Докажем, что для таких Хі,х2єЬь что fi(xi) = /І \\хг\\, і = 1,2, точка 0 является точкой Штей-нера, то есть Жі + ж2 = жі - х2\\. Заметим, что xt(t) 0 только в тех точках t Є Е, где \f{(t)\ = /г, причём в таких точках знаки xt(t) и fiit) совпадают. Так как каждый из fi достигает нормы, а их сумма — нет, то мера множества {t Є Е : fi(t) f2{t) = /i /2} равна нулю. Поэтому fi({t Є Е : xi(tx2(t) 0}) = 0, следовательно, хл{і) x2(t) 0 для почти всех t Є Е, и выполнено равенство жі + ж2 = \\хі - х2\\. Поэтому разложение любого не опорного к В(Ь\) функционала в сумму двух опорных не удовлетворяет условию 4) леммы 3.2, и множество М является 2-антипроксиминальным.

2) Докажем, что любой не опорный к B(Li) единичный функционал / раскладывается в сумму п 3 различных опорных к В(Ь\) функционалов. Без ограничения общности можем считать, что множество U+ := {t Є Е : f(t) 11/11 - l/(n - 1)} имеет положительную меру. Тогда U+ либо имеет непрерывную часть положительной меры, либо содержит бесконечное число атомов (так как fi({t Є Е : \f(t)\ = /}) = 0). В случае существования непрерывной части рассмотрим п непересекающихся множеств U\,..., Un С U+ положительной меры. В случае бесконечного числа атомов во множестве