Кратчайшие сети в банаховых пространствах Беднов, Борислав Борисович

Введение к работе

Диссертация посвящена вопросам геометрии банаховых пространств, связанным с понятиями кратчайшей сети, минимального заполнения, точек Штейнера (и соответствующих им кратчайших сетей типа звезды) для конечных подмножеств этих пространств. В работе исследуются существование кратчайшей сети, существование и единственность точки Штейнера, реализуемость минимальных заполнений и минимальных заполнений типа звезды в общих банаховых и конкретных функциональных пространствах, а также существование элемента наилучшего п—приближения.

Актуальность темы. Пусть (X, р) — метрическое пространство и G = (V, Е) — связный граф со множеством вершин V и множеством ребер Е. Отображение Г : V —> X называется сетью в X, параметризованной графом G, или сетью типа G. Вершинами сети Г называются точки Г(г>), v Є V, ребрами сети Г называются пары Г(г>), T(w) при условии, что пара -и, w соединена ребром в графе G. Длиной ребра T{v)T{w) называется число р(Г(г>), T(w)), а длиной |Г| сети Г — сумма длин всех ее ребер. Если МсХ- конечное множество и М С Г (У), то говорят, что сеть Г соединяет (или затягивает) множество М. Множество М называется границей сети Г.

Число

|smt|(M, X) = inf{|r| : сеть Г соединяет М}

называется длиной кратчайшей сети для М в X, а

smt(M, X) = {Г : Г— сеть вX, соединяющая М, |Г| = |smt|(M, X)}

есть (возможно, пустое) множество кратчайших сетей для М в X.

Теория кратчайших сетей (и более общо, экстремальных сетей) составляет обширную область метрической геометрии. Теорией кратчайших сетей интересовался Гаусс: в письме к Шумахеру он задал вопрос о том, как построить кратчайшую систему дорог, соединяющих четыре города. Общая задача о поиске кратчайшей сети (то есть связного графа минимальной длины), соединяющей заданное конечное множество точек плоскости, была поставлена Ярником и Кесслером в 1934 году. В книге Куранта и Роббин-са "Что такое математика?"эта задача называется проблемой Штейнера. Сейчас теория экстремальных сетей в метрических пространствах развивается в нашей стране благодаря исследованиям, в основном, А.О. Иванова, А.А. Тужилина и их учеников.

Типы связных графов, задающих кратчайшие сети, удовлетворяют достаточно жестким условиям, сформулированным в следующей хорошо известной лемме.

Лемма А. Пусть М_п — п-точечное множество в метрическом пространстве X. При поиске графа, параметризующего кратчайшую сеть Г Є smt(M_n,X), достаточно рассматривать деревья, которые имеют не более п — 2 дополнительных (отличных от прообразов точек из М_п) вершин, причем каждая из этих дополнительных вершин имеет степень не меньше 3.

Из леммы A сразу следует, что граф, параметризующий кратчайшую сеть, можно искать среди графов конечного числа различных типов. Действительно, число топологически различных деревьев с не более чем n + N вершинами, конечно.

В банаховом пространстве (X, || ||) сети можно представлять себе как связные конечные объединения отрезков, соединяющих точки этого пространства, то есть как связные графы в X с ребрами-отрезками.

Для трехточечных множеств Мз кратчайшая сеть в силу леммы A состоит из трех (возможно, вырожденных) отрезков, соединяющих точки из Мз с их точкой Штейнера, то есть точкой, сумма расстояний от которой до точек из Мз минимальна.

В дальнейшем нам понадобится общее определение: для заданного набора М = {жі,..., х_п} С X множество точек Штейнера (в англоязычной литературе — медиан) st(M, X) состоит из таких точек s Є X, для которых

п ( п \

У \\xk — s\\ = inf у \\xk — х\\ : х Є X =: |st|(M,X).
k=i k=i

В случае гильбертова пространства X = Н точка Штейнера s(xi, Х2, х%) существует и единственна: она лежит в плоскости точек х\, #2, х% и либо совпадает с одной из них (если в треугольнике X\X2Xs есть угол, не меньший 120), либо совпадает с точкой Торричелли (из которой все стороны треугольника видны под углом 120).

В широком классе метрических пространств кратчайшая сеть существует для любого набора точек.

В бесконечномерном банаховом пространстве X кратчайшие сети могут не существовать уже для трехточечных множеств Мз — другими словами, множества smt(M3,X) и st(M3,X) могут быть пустыми. Первый пример таких X и Мз построил А.Л. Гаркави в 1974 г.

Л. Веселы (1993) доказал, что всякое нерефлексивное банахово пространство X можно так эквивалентно перенормировать, что в новой норме некоторая тройка Мз С X не затягивается кратчайшей сетью. Конструкция новой нормы у Л. Веселы основана на идее СВ. Конягина¹ (1988). В.М.Кадец (2011), не зная о работе Веселы, доказал этот результат иным способом. Наконец, Н.П. Стрелкова (2011) для всякого п > 3 построила пример банахова пространства X и n-точечного множества М_п С X, для которых множество smt(M_n,X) кратчайших сетей пусто. Построение Стрелковой основывается на примере Бородина(2010), для которого свойство несуществования точки Штейнера приводимых троек жі,Ж2,Жз устойчиво: для

любых троек элементов Ж_1? X₂i Ж₃, достаточно близких по норме к Х\,Х2,Х%

соответственно, точка Штейнера также не существует. Пример Гаркави также обладает этим свойством устойчивости.

В I главе диссертации доказывается, что во всяком банаховом пространстве X, 1—дополняемом в своем втором сопряженном (в частности, в любом сопряжённом пространстве, а также в любом пространстве L\) множество smt(M, X) непусто для всякого конечного М С X.

Недавно в работе А.О.Иванова и А.А. Тужилина² (2011) наметилось новое направление теории кратчайших сетей, связанное с введенным ими понятием минимального заполнения.

Пусть (М, р) — конечное метрическое пространство. Число

|mf|(M) = inf{|smt|((>(M), Y) : ер : М —> У},

где infimum берется по всем изометричным вложениям пространства М в различные метрические пространства У, называется длиной минимального заполнения пространства М, а сети — элементы множества

mf(M) = {smt((/?(M),y) : |smt|((/?(M),y) = |mf|(M)}

называются минимальными заполнениями пространства М.

Для всякого конечного множества М в метрическом пространстве (X, р), рассматриваемого как метрическое пространство с той же метрикой р, выполнено очевидное неравенство |smt|(M, X) > |mf|(M).

Отметим, что определение минимального заполнения аналогично определению минимального поперечника, введённому Р.С. Исмагиловым (1999).

¹ КонягинС.В. Замечание о перенормировке нерефлексивных пространств и существовании чебы-шёвского центра// Вестник МГУ, 1988, Т. 2, С. 81 - 82.

²Иванов А.О., Тужилип А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении// Матем. сб., 2012, Т. 203, №5, С. 65-118.

В отличие от кратчайших сетей, минимальные заполнения всегда существуют, то есть mf(M) непусто для всякого конечного метрического пространства М.

Для трехточечного пространства Мз = ({хі,Х2,Хз}, р) минимальное заполнение можно получить в четырехточечном расширении

({#1, Х2, Жз, <}, р), где

p(s, ЖЛ = -(p(Xi, Xj) + р(Жі, Ж/;) — P(Xj, Xkj)

(і = 1, 2,3, {і, j, к} = {1, 2,3}) в виде сети-дерева с ребрами sxi, SX2 и йЖз.

При этом

1
mi (Мз) = —P(xi,Х2_}жз), (1)

где Р(жі,Ж2,Жз) — периметр треугольника Х\Х2Х%.

Для четырехточечного пространства М4 = ({хі,Х2,хз,Х4}, р) минимальное заполнение имеет длину

mi (МП = —(пісшТщ) + тіщМП), (2)

где тах(М4) и min(M4) — соответственно максимальная и минимальная из

сумм p(xi, Х2) + р(^з, Ж4), p(^i, Жз) + Р(^2, Ж4), p(^i, Ж4) + p(#2, Ж3), и может

быть реализовано сетью в некотором не более чем б—точечном расширении

Для произвольных конечных метрических пространств М величина |mf|(M) как функция расстояний между точками из М может быть вычислена по некоторой переборной формуле, полученной А.Ю. Ереминым (2012).

Будем говорить, что метрическое пространство (X, р) реализует минимальное заполнение для своего конечного подмножества М, если |smt|(M,X) = |mf|(M) и множество smt(M, X) непусто.

А.О. Иванов и А.А. Тужилин поставили задачу об описании всех метрических пространств, реализующих минимальные заполнения для всех своих конечных подмножеств, и вместе со своими учениками привели нетривиальные примеры таких пространств. В частности, З.Н. Овсянников (2011) доказал, что таким пространством является пространство /^ для всякого натурального п (n-мерное действительное пространство с нормой ||ж|| = max{|^i|,... , |ж_п|}), а также пространство 1^ ограниченных последовательностей.

В случае банаховых пространств эта задача полностью решается в главе I диссертации. Именно, оказалось, что банахово пространство реализует

минимальные заполнения для всех своих конечных подмножеств в точности тогда, когда оно обладает так называемым свойством 4.2.I.P. (преду-ально к Li, является пространством Линденштраусса).

Напомним необходимые сведения из геометрии банаховых пространств.

Пусть п > 3 — натуральное число. Говорят, что банахово пространство X обладает свойством n.2.I.P. (n.2 Intersection Property), если всякие п попарно пересекающихся замкнутых шаров в X имеют непустое пересечение.

Теорема А. (Гротендик³, Линденштраусс⁴). Для действительного банахова пространства X следующие свойства эквивалентны:

1. X обладает свойством n.2.I.P. для всякого п > 3;

2. X обладает свойством 4.2.I.P.;

3. X* изометрически изоморфно L\{ji) = Li(E, Е,/і) для некоторого множества Е, некоторой а-алгебры Е подмножеств Е и некоторой о~-аддитивной меры ц, определенной на Е;

4. X** 1-дополняемо в любом содержащем его банаховом пространстве Z {то есть существует линейный проектор Р : Z —> X** нормы 1).

Пространства, удовлетворяющие условиям теоремы A, называются пре-дуальными к L\ или пространствами Линденштраусса. К этому классу пространств относятся все пространства C(Q) действительнозначных функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте Q, пространства Со(Е), 1^ и многие другие. Пространство размерности п предуально к L\ тогда и только тогда, когда оно изометрически изоморфно /^.

Отметим, что класс предуальных к L\ пространств уже известен как описывающий экстремальное геометрическое свойство.

Теорема B. (Рао⁵). Действительное банахово пространство X предуально к L\ тогда и только тогда, когда для всякого конечного множества М С X его чебышевский радиус

гс{М) = inf sup \\х — е\\

^еЄЛ- хєМ

равен половине диаметра М.

Нетрудно видеть, что для всякого ограниченного множества в произвольном банаховом пространстве X имеет место неравенство гс{М) > diam(M)/2. При этом Рао показал, что чебышевский центр (точка е, для

³Grothendieck А. Une caracterisation vectorielle-metrique des espaces L¹// Canad. J. Math., 1955, T. 7, №4, C. 552-561.

⁴Lindenstrauss J. Extension of compact operators // Mem. Amer. Math. Soc, 1964, T. 48, C. 1-112.

⁵Rao T. S. S. R. K. Chebyshev centers and centrable sets// Proc. Amer. Math. Soc, 2002, T. 130, №9, C. 2593-2598.

которой sup_xM \\х — е|| = гс{М)) в предуальном к L\ пространстве существует для всякого конечного множества М, то есть предуальные к L\ пространства и только они реализуют ”минимальные заполнения” всех своих конечных подмножеств в смысле чебышевских центров.

Во II главе диссертации доказывается аналог теоремы B, в котором вместо чебышевских центров фигурируют точки Штейнера. Приведем необходимые определения.

Помимо общих минимальных заполнений, в упомянутой работе Иванова и Тужилина вводятся еще так называемые параметрические минимальные заполнения конечных метрических пространств (М, р), в определении которых изометрично вложенное пространство tp(M) соединяется в пространстве Y кратчайшей сетью заданного типа. Один из таких типов, специально рассматриваемый в работе Иванова и Тужилина, получил название звезды: рассматриваемые сети параметризуются графами-деревьями, в которых одна вершина соединена со всеми остальными. Дадим точное определение в терминах точек Штейнера.

Число

|st|(M) = inf{|st|((/?(M), Y) : ер : М —> У},

где infimum берется по всем изометричным вложениям пространства М в различные метрические пространства У, называется длиной минимального заполнения типа звезды множества М.

Для трехточечных метрических пространств Мз величина |st | (А/з) совпадает с |ті|(Мз) и равна полупериметру треугольника с вершинами из Мз.

Для четырехточечных метрических пространств М^ нетрудно показать, что |st|(M4) совпадает с определенной в формуле (2) величиной тах(М4).

Будем говорить, что метрическое пространство (X, р) реализует минимальное заполнение типа звезды для своего конечного подмножества М, если |st|(M, X) = |st|(M) и множество st(M,X) непусто.

Теперь можно сформулировать доказываемый во II главе аналог теоремы B: банахово пространство реализует минимальные заполнения типа звезды тогда и только тогда, когда оно предуально к L\.

Остальные результаты II главы посвящены точкам Штейнера (или, что то же, кратчайшим сетям типа звезды) в пространствах L\ и С.

В пространстве Li(M, ,/і) действительнозначных функций, суммируемых на множестве М по мере /і, определенной на сигма-алгебре Е подмножеств М, точки Штейнера описываются достаточно просто. Для трех функций /ь/2,/3 из этого пространства точка Штейнера s существует, единственна и почти в каждой точке t Є М значение s(t) равно среднему

из чисел fi(t), /2(0, fs{t). При этом выполнено равенство

1 , — s\\ = -( /і — /2 + /і ^— / 3 + /2 ^— /3 ) 2

к=\

Нетрудно заметить, что в любом банаховом пространстве для любых элементов жі,Ж2,Жз и любой их точки Штейнера s = s(xi,X2,Xs) верно неравенство }^к=1 \\^Хк ~ s\\ > ^vll^i ^{— Ж}2|| + I pi ^— Жз|| + \\X2 — Xz\\).

Таким образом, пространство L\ реализует минимальные заполнения (они же — минимальные заполнения типа звезды) для всех своих трехточечных множеств (см. формулу (1) выше).

Как показано во II главе, это свойство вместе со свойством единственности точки Штейнера s(/i, /2, /з) полностью характеризует пространство L\ среди всех банаховых пространств.

Отметим, что это не первый результат, в котором пространство L\ характеризуется во ”внутренне-метрических” терминах. Например, справедлива

Теорема C. (Лима⁶). Действительное банахово пространство X изометрично пространству L\ тогда и только тогда, X обладает R^—свойством, то есть для любых жі,Ж2,Жз Є X существуют такие Uij Є X, 1 < і < j < 4, что

X\ = U\2 + Іііз + ІІ14, ||жі|| = ||М12І| + ||^М13І| + ||^М14І|?

Х2 = —U\2 + U22, + М24, 11^211 = ||^М12І| + ||^М23І| + ||^М24І|,

Хз = —Щз — U23 + ^34, |\хз 11 = Ціііз || + ||^23І| + ||^М34І|,

\\хі + Х2 + Х%\\ = \\ии + ІІ24 + ^34 11 = ||^М14І| + ||^М24І| + ||^М34І|-

Отметим также, что в терминах точек Штейнера были охарактеризованы гильбертовы пространства.

Теорема D. (Бенитез, Фернандез, Сориано⁷ ). Действительное нормированное пространство X размерности не меньше 2 является гильбертовым тогда и только тогда, когда выпуклая оболочка любых трёх точек из X содержит их точку Штейнера.

^вЫтаА. Intersection properties of balls and subspaces in Banach spaces// Trans. Amer. Math. Soc, 1977, Т. 227, С. 1-62, теорема 3.10.

⁷Benitez C, FernandezM., Soriano M.L. Location of Fermat-Torricelli medians of three points // Trans. Amer. Math. Soc, 2002, Т. 354, №12, С. 5027-5038.

Кроме того, во II главе диссертации приводится описание множеств точек Штейнера для троек точек в пространстве непрерывных функций и изучаются свойства этих множеств.

Наряду с точками Штейнера можно (по аналогии с чебышевскими центрами) рассматривать и относительные точки Штейнера, когда для заданных точек xi,... ,х_п банахова пространства X точка s, минимизирующая сумму \\xi — s\\ + + \\х_п — s||, ищется не во всем пространстве X, а в заданном множестве М С X. Такие точки s составляют так называемую метрическую n-проекцию Рм{%1, > ^хп) точек xi,..., х_п на множество М.

Исследование свойств метрической п-проекции — относительно новый раздел теории приближений в нормированных пространствах. В частности, в работе Бородина⁸ (2011) поставлен вопрос об исследовании п—антипроксиминальных множеств.

Пусть (X, || ||) — банахово пространство, М С X. Для xi,... ,х_п Є X

положим р(хі, . . . , Х_п, М) = inf_zM Х^Г=1 \\^Xi ~ ^Z\\

Непустое множество М назовём п—антипроксиминалъным, если для любых таких xi,..., х_п Є X, что р(жі,..., х_п, М) > р(хі,..., х_п,Х), выполнено Рм{%1, > ^хп) \ {^хг\^=1 = 0.

При п = 1 это определение дает обычные антипроксиминальные множества (то есть такие множества МсХ, что для любой точки х Є X \ М во множестве М нет точки, ближайшей к ж), исследование которых составляет заметную область в геометрической теории приближений.

Кли сформулировал вопрос о существовании в банаховом пространстве выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминального множества. Антипроксиминальные множества начал исследовать Зингер. Он называл такие множества "very non-proximinal". Пространство X содержит выпуклое замкнутое антипроксиминальное множество М тогда и только тогда, когда оно не рефлексивно (М — ядро функционала, не достигающего своей нормы). Холмс ввёл термин "антипроксиминальное множество". Эдельштейн (1970) доказал, что в сепарабельном сопряжённом пространстве выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств нет. Эдельштейн и Томпсон (1972) построили первое выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело (в пространстве Со). Кобзаш привёл примеры таких тел в пространствах, изоморфных Со, и доказал, что если измеримое пространство (і?,Е,/і) содержит атом относительно меры /і, то в пространстве Li(E, ,/і), для которого сопряжённое пространство канонически изоморфно L_(X)(E, ,/і), выпуклых замкнутых

⁸Бородин П.А. О выпуклости N—чебышёвских множеств // Изв. РАН. Сер. Матем., 2011. 75, № 5. 19-46.

ограниченных антипроксиминальных множеств нет. Борвейн, Эдельштейн и Фелпс доказали отсутствие выпуклых замкнутых ограниченных множеств в пространствах X со свойством Радона-Никодима. Флорет (1978) доказал несуществование таких множеств в пространствах X = Х\ х Х2 с нормой \\х\ +#21| = ІІ^жі|| + ІІ^Ж2І|, где рефлексивное пространство Х2 ф {0}. В.П.Фонф построил выпуклые замкнутые ограниченные антипроксими-нальные тела в широком классе пространств непрерывных функций и доказал, что произвольное бесконечномерное банахово пространство можно так эквивалентно перенормировать, что выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств в новой норме существовать не будет. В.С. Балаганский (1996) построил пример такого множества в бесконечномерном пространстве C(Q) для произвольного топологического хаусдор-фового пространства Q, а также в некоторых пространствах Гротендика (2012). Борвейн, Хименез-Севилла и Морено (2002) доказали, что в пространстве X = Y х Со с нормой ||ж|| = max{||y||, ||z||} есть выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело. Теория антипроксиминальных множеств развивалась также и в других направлениях.

Одна из самых интересных нерешённых задач теории антипроксиминальных множеств формулируется так: существует ли выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело в Li[0,1]?

В главе III диссертации исследуется вопрос о существовании выпуклых замкнутых п—антипроксиминальных множеств в пространствах непрерывных функций и суммируемых функций.

Цель работы: исследование существования кратчайшей сети, существования и единственности точки Штейнера, реализуемости минимальных заполнений и минимальных заполнений типа звезды в общих банаховых и конкретных функциональных пространствах, а также существования элемента наилучшего п—приближения.

Научная новизна работы. Все результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Доказано, что в банаховом пространстве X, для которого существует проектор Р : X** —> X нормы 1, для любого натурального п и для любых п точек существует соединяющая их кратчайшая сеть.

2. Доказано, что для действительного банахова пространства X следующие условия эквивалентны: X реализует минимальное заполнение для всякого конечного набора своих элементов; X реализует минимальное заполнение для всякой четвёрки своих элементов; X реализует минимальное заполнение типа звезды для всякого конечного набора своих элементов;

X реализует минимальное заполнение типа звезды для всякой тройки и всякой четвёрки своих элементов; X предуально к L\.

3. Доказано, что действительное банахово пространство X реализует единственное минимальное заполнение типа звезды для всякой тройки своих элементов тогда и только тогда, когда X изометрически изоморфно L\.

4. Доказано, что в пространствах С и L\ условия антипроксиминаль-ности и 2—антипроксиминальности множества эквивалентны, и что в этих пространствах не существует п—антипроксиминальных выпуклых замкнутых ограниченных тел при п = 3,4 ....

Методы исследования. В работе используются различные методы теории функций действительного переменного, функционального анализа, линейной алгебры, выпуклой геометрии.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории функций, функциональном анализе и геометрии.

Апробация работы. Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

семинар по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ под руководством профессора Е.П. Долженко;

семинар по теории приближений в МГУ под руководством профессора И.Г. Царькова и доцента А.С. Кочурова;

семинар по теории функций в МГУ под руководством академика РАН Б.С. Кашина, чл.-корр. РАН СВ. Конягина, проф. Б.И. Голубова и проф. М.И.Дьяченко;

семинар по геометрической теории приближений в МГУ под руководством доцента ПА. Бородина;

научный семинар кафедры высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета) под руководством профессора Е.С. Половинкина.

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

Международная конференция «Теория приближений», посвященная
90-летию со дня рождения С. Б. Стечкина (2010);

школа СБ. Стечкина по теории функций в г.Миасс (2011, 2013);

17-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2014).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 работах (три из перечня ВАК), список которых приведён в конце автореферата. Из работы [3] в диссертацию включены только результаты, доказанные автором без участия Н.П. Стрелковой. Все теоремы из [4] получены совместно с П.А. Бородиным и включены в диссертацию. В каждой из них автору принадлежит либо первая, либо вторая половина доказательства.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 66 наименований. Общий объем диссертации — 70 страниц.

Похожие диссертации на Кратчайшие сети в банаховых пространствах

Кратчайшие сети в банаховых пространствахБеднов Бронислав Борисович